Resistencia de Materiales de Singer 304-325
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Descripción: Solución de ejercicios de Singer Torsión 304-325...
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Cal c u l a r el mí n i m o di á met r o de un ár b ol de ac e r o que s o met i d o a un moment o t3oͦenernsiounanantleongide 14KN. m , no debe exper i m ent a r una def o r m ac i ó n angul a r s u per i o r a tud de 6m. ¿Cuáles. entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use G= 83GN/
L= 6 m
Θ
= 0,05236 rad
83 1039N/2 14 10 N. m
G=
T=
En el árbol macizo de acero establecemos un eje de referencia matemático (xyz). El par de fuerzas o momento ocasiona una deformación angular como se observa en una gráfica tridimensional del eje.
Observamos el área transversal del eje macizo de acero (árbol) y establecemos el diámetro, el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular que provoca el par de fuerzas, como se observa en la siguiente gráfica:
Para realizar el ejercicio de torsión se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuer esfuerzos zos no sobre sobre asan asan el límite límite de ro orciona orcionalid lidad. ad. Primero usaremos la condicion de resistencia en donde existe el esfuerzo cortante máximo para un eje macizo (el ( el árbol de acero es un eje macizo).
16 Al analizar la fórmula notamos que existen dos variables el diámetro y el esfuerzo cortante por lo que no se puede resolver esa ecuación.
Para realizar el ejercicio de torsión se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuer esfuerzos zos no sobre sobre asan asan el límite límite de ro orciona orcionalid lidad. ad. Primero usaremos la condicion de resistencia en donde existe el esfuerzo cortante máximo para un eje macizo (el ( el árbol de acero es un eje macizo).
16 Al analizar la fórmula notamos que existen dos variables el diámetro y el esfuerzo cortante por lo que no se puede resolver esa ecuación.
Entonces debemos recurrir a la fórmula de condicion de rigidez viene dada por la ecuación:
θ ∗∗
J que es el momento polar de inercia para un eje macizo, lo expresamos según su fórmula:
32 θ ∗∗ ∗ 32
Remplazamos J en la fórmula de condicion de rigidez obteniendo la siguiente ecuación:
Obsérvese la fórmula y nótese que se tienen todos los datos excepto por el diámetro que es lo que buscamos. Entonces despejamos el diámetro de la fórmula quedando como única incógnita.
0.05236r14 10adN. 83m610mN/ ∗ 32 √ √ 196, 196,88 10− =
*32
Con el diámetro del eje de acero (árbol) volvemos a usar la ecuación de condicion de resistencia y establecemos el esfuerzo cortante máximo que soportará el eje de acero sin romperse.
16 1 6 ∗ 1 4 10 1 0 0.1185N. m .. //²²
Esfuerzo cortante máximo
En un ár b ol mac i z o de 5m de l o ngi t u d, en el que el ángul o t o t a l de t o r s i ó n es de 4 ,ͦ el esfuerzo cortante máximo es de 60MPa. Si G83GPa,
calcular su diámetro.
Qué potencia podrá transmitir a 20 r/s?
L= 5 m
Θ
= 4° = 0,06981 rad
83 109N/2 14 103 N. m 20 / 60 103 N/2 G= T=
Mediante la lectura se sabe que te tiene un árbol macizo de acero en el cual debemos establecer un eje de referencia matemático (xyz). El par de fuerzas o momento que ocasiona una deformación angular expresada en radianes como se observa en una gráfica tridimensional del eje.
Observamos el área transversal del eje macizo de acero (árbol) y establecemos el diámetro, el esfuerzo cortante máximo y la deformación angular que provoca el par de fuerzas al que está expuesto el eje macizo; como se observa en la siguiente gráfica:
Se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático, las cuales bajo ciertas circunstancias pueden llegar a convertirse en afirmaciones. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Primero se planteó las ecuaciones de torsión que son la condicion de resistencia y la condicion de rigidez para analizarlas.
θ ∗32
á
Ecuación 1 Ecuación 2
De las dos ecuaciones tenemos como incógnita el diámetro del eje macizo y el momento torsor. Se conoce datos como el esfuerzo provocado y claramente se nota que el momento torsor tiene que ser uno solo que provoque dicho esfuerzo. Por lo tanto despejamos T de las dos ecuaciones e igualamos porque este momento torsor debe ser igual, para que la única variable desconocida sea el diámetro.
Θ ∗32
á 16 á
Igualamos el momento torsor de obtenidos de la condicion de resistencia y de rigidez.
θ32 á16 0,0698132 835 10N/ 60 1016 . 113769440
= 11780972,45
Diámetro del eje macizo
Una vez encontrado el diámetro del eje macizo (d) observamos que como variable desconocida se tiene el momento torsor (T) el cual podemos obtener reemplazando los datos en cualquiera de las dos fórmulas de condicion de resistencia o de rigidez.
τá 16Tπd τ πd á T 16 6 0 10 0 , 1 035 16 .
Momento torsor al que está sometido el árbol de acero
La potencia (P) que necesita el eje para revolucionar o girar se conoce como el producto entre el momento torsor (T) y la velocidad angular (w). En este caso se calculó el valor del momento torsor que es igual T = 13061.775 N y el valor
de la velocidad angular que viene dado por la formula w2πf en donde la f es
la frecuencia con la que gira el eje. Entonces con los datos ya conocidos se usa la siguiente ecuación, y se establece la potencia de giro del eje en watts (W):
∗ ∗2π *2π * 20
P= (13061, 775 N
.
) Potencia de giro del eje.
Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70MPa. Use G=35GNPa.
2 0,002
720°12.56637 á 70910 83 10 N/2 G=
Lo primero que debemos saber es que la deformación angular al que esta sometido eje de bronce es de 720° lo cual debe estar expresado en radianes
como se indica en los datos del ejercicio; entonces se dice que el eje se ha torcido 2 vueltas de 360°.
Obsérvese la vista lateral derecha de la varilla de bronce en el cual se establece el área transversal del el cual tiene un diámetro (d), el esfuerzo cortante
á
máximo (
) y la deformación angular ( ) provocada por el par de fuerzas o
Se debe tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático, las cuales dicen: Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuer esfuerzos zos no sobre sobre asan asan el límite límite de ro orcion orcionali alida dad. d.
Ahora lo primero que debemos hacer es plantear las ecuaciones de torsión. En este caso usaremos la ecuación de condicion de resistencia para determinar el momento torsor al que está sometido la varilla de bronce
τá 16∗T π ∗ d τ πd á T 16
T=
70 106N/216∗∗ 0,0023
. .
Momento torsor al que está sometido la varilla de bronce
Luego se hace uso de la ecuación de condicion de rigidez en donde como una variable desconocida la longitud de la varilla de cobre. Por lo tanto despejo la longitud L y reemplazo datos:
Θ ∗ 32 4 ∗∗ 32 ∗ 12. 1 2. 5 6637 0 . 0 02 3 5 10 N/ 0,1099N.m32 . Longitud de la varilla en metros (m)
Un gran árbol de transmisión para la hélice de un barco tiene que transmitir 4,5M W a 3 r/s sin que el esfuerzo cortante exceda de 50 MN/
y sin que el ángulo
de torsión sea superior a un grado en una longitud de 25 diámetros. Determinar el diámetro más apropiado si G=83G N/
25
.
1° 0.0174 á 50 10 83 109N/2 3/ 6 4.5 10 W G=
P=
Primero se grafica el árbol de transmisión de material desconocido en forma tridimensional en el cual se establece un sistema de referencia matemático (xyz). Obsérvese el par de fuerzas o momento que ocasiona una deformación angular expresada en radianes y la longitud (L).
Obsérvese la vista lateral derecha de la varilla de bronce en el cual se establece el área transversal del el cual tiene un diámetro (d), el esfuerzo cortante
Al pedir un diámetro apropiado se refiere a escoger el que soportará las condiciones que nos da, ambas condiciones (resistencia y rigidez), por lo que se obtendrá un diámetro que soportará características de rigidez y uno que soportará ruptura (resistencia). Y después de un análisis de verificará cual es el adecuado. Para resolver y encontrar el diámetro necesitamos del momento torsor al que está sometido el árbol de transmisión (T). En este caso se cuenta con la potencia y la frecuencia de giro del árbol con lo que para determinar el momento torsor se hara uso de la siguiente fórmula:
2πf
4, 5 10 2π3r/s W .
Momento torsor al que está sometido el árbol
Con el momento torsor establecido procedemos a determinar el diámetro del árbol de transmisión para ello se hara uso de la condicion de rigidez y resistencia respectivamente y así determinar el diámetro en cada uno de los casos.
θ ∗32
3 ∗ =
32
4 02,38,017473210rad N.83m10 92N/52 ∗32 44 0,0421 √ 3 √0, 0421 =0,0421 d
, 16 16 38,73210 N. m 1652010 N/ . =0,024317
Diámetro (d) con la condicion de resistencia.
De las respuestas obtenidas comparo el diámetro (d) obtenido con la condicion de rigidez y de resistencia respectivamente:
-
Por lo tanto el “
. ,
d” de resistencia es suficiente para soportar ruptura pero
no rigidez. -
El diámetro de rigidez soporta rigidez y como es mayor también soporta ruptura por lo tanto la respuesta es:
Demostrar que un árbol hueco de sección circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a tiene un árbol macizo del mismo diámetro exterior.
de la que
.. =
En este caso se tiene un árbol de forma cilíndrica macizo y hueca en donde el diámetro interior del cilindro hueco es la mitad del diámetro exterior del mismo o el diámetro del diámetro del eje macizo como apreciamos en la siguiente fi ura:
En este caso se conoce que el diámetro d es igual tanto para el eje macizo como el eje hueco. Entonces se usara la relación dada es en función de esfuerzos por lo que buscaremos estos valores tanto del árbol hueco como del macizo para después relacionarlos. CONDICIÓN DE RESISTENCIA PARA UN CILINDRO HUECO
. 16
CONDICIÓN DE RESISTENCIA PARA UN CILINDRO MACIZO
. ∗16
Par el caso del eje hueco se sabe que el diámetro interior es la mitad del diámetro
. − =
. −/ . −/ . / =
=
=
Luego usamos la relación establecida en los datos que viene dado por:
.. .. / ∗ =
Y comprobamos si esta hipótesis es correcta o incorrecta.
=
=
=
=
=
Hipótesis de relación de esfuerzos falsa
Entonces la relación de esfuerzos entre el eje hueco y el eje macizo establecido es falso ya que mediante cálculos de establecer que la relación correcta seria:
.. =
Relación de esfuerzos correcta
309. Un árbol de acero de diámetro constante e igual a 60mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, según se muestra en la figura P-309. Usando un módulo G=83GN/ respecto al A.
, calcular el ángulo de torsión del engrane D con
800 N.m 1000 N.m
1200 N.m 2m 1000 N.m 3m 3m
Figura P-309 D=60mm = 0,06 m
83 / 83 10N/
G=
Ángulo de torsión del engrane D con respecto al A.
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
1200 N.m
1000 N.m
800 N.m
2m
3m
Conociendo que:
800 . 1000 . 1200 . 1000 .
(Sentido horario respecto de A) (Sentido antihorario respecto de A) (Sentido horario respecto de A)
(Sentido antihorario respecto de A)
2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático.
0
Para
con respecto a
1000 N.m
3m
= -800N.m (sentido horario)
Para
con respecto a
= (-800+1000) N.m =200N.m (sentido antihorario)
Para
con respecto a
= (-800+1000-1200) N.m = -1000N.m (sentido horario)
3. Obtener
ecuaciones
mediante
relaciones
geométricas
entre
las
deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad). De tal manera que para calcular el ángulo en toda la longitud es necesario buscarlo en cada sección, el ángulo pedido será la suma del resultado obtenido en cada sección. Partimos de la fórmula de condición de rigidez y reemplazando los datos que se nos han proporcionado, sabiendo para cada sección variará L y T pero J y G son constantes. Además de que J es el momento polar de inercia lo expresamos según su fórmula: J=
/32.
Como se necesita hallar el momento polar de inercia se procede a reemplazar el diámetro en la fórmula de J.
El torque en la sección
032.06 −
es -800 N.m en sentido horario por lo tanto
reemplazo valores en la ecuación.
=
,− / =
El torque en la sección
es 200 N.m en sentido antihorario por lo tanto
reemplazo valores en la ecuación.
=
,/ =
El torque en la sección
es -1000 N.m en sentido horario por lo tanto
reemplazo valores en la ecuación.
=
,− / =
Con los ángulos hallados de cada sección se procede a sumar los mismos obtenidos en las tres secciones, de tal manera:
=
- 0, 01518 rad + 0, 00569 rad - 0, 02846 rad
= ,
Se puede dejar el ángulo en función de grados realizando la siguiente transformación para su mejor interpretación:
° , ° =0, 03795 rad (
)
Ángulo de torsión del engrane D con res ecto al A.
310. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar un árbol hueco de sección 100mm y 70mm de diámetro exterior e interior respectivamente, sin que sobrepase un esfuerzo cortante de 60
10 . N/
y sin que la deformación
sea superior a medio grado por metro de longitud. Use G=83GN/
L= 1 m
Θ 60 8,1072N/10− 83100/0, 831 10N/ 70 0, 07 =0, 5° = =
G=
D= d=
El máximo momento torsionante que puede soportar el árbol hueco.
Para poder visualizar de mejor manera el árbol hueco, graficamos en 3D:
1m
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez, condiciones de resistencia y las condiciones de equilibrio estático.
a. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión b. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores. Radial(+)
0.5°
Radial(+)
100mm
τ
70mm
2. Reemplazar los datos obtenidos, aplicando las condiciones de resistencia y rigidez.
Partimos de la fórmula de condición de resistencia y rigidez reemplazando los datos que se nos han proporcionado respectivamente, sabiendo que siempre debe estar expresado en radianes por lo que
0.5°180°8,72 10−
Al solicitar el momento torsionante notamos que tendremos dos momentos distintos uno que provoque ruptura y uno de rigidez. El máximo momento
El momento polar de inercia será constante tanto para resistencia como para rigidez:
32 − − 1 00∗ 10 7 0∗ 10 32 32 7,599∗10− , ∗− 2 0,21 0,05 − 60∗10 7, 4 6∗10 0,05 , .
Donde r está dado por:
De tal manera que:
Valor máximo a la ruptura
Reemplazando los datos tenemos:
8,727∗ 10−∗83∗ 10∗7,46∗ 10− , .
Valor por metro de longitud
En consecuencia el valor máximo de Tmáx es el de la ruptura:
, .
Máximo momento torsionante que puede soportar el árbol hueco
311. Un árbol de transmisión de acero consta de una parte hueca de 2m de longitud y diámetros de 100mm y 70mm, y otra parte maciza de 70mm de diámetro 1,5m de longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de 70MN/
, .
ni el angulo total de torsión supere el
valor de 2,5° en la longitud total de 3,5m. Use 83GN/
L= 1,5 m
Θ 70 10 N/ 10− 83 10N/ 8370 / 0, 07 Θ 70 10 N/ 10− 83100/0, 831 10N/ =2, 5° = 43,63 =
G=
D=
L= 2 m
=2, 5° = 43,63 =
G= d=
El máximo momento torsionante que puede soportar el árbol de transmisión.
Para poder visualizar de mejor manera el árbol de transmisión con sus secciones, graficamos en 3D:
2m 1.5m
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez, condiciones de resistencia y las condiciones de equilibrio estático. f. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión g. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. h. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. i. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. . Los esfuerzos no sobre asan el límite de ro orcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
Radial(+)
2.5°
100mm Radial(+)
70mm
2. Reemplazar los datos obtenidos, aplicando la condición de resistencia.
Partimos de la fórmula de condición de resistencia reemplazando los datos que se nos han proporcionado respectivamente, sabiendo que siempre debe estar expresado en radianes por lo que
0.5°180°8,72 10−
Para determinar el momento total hay que tener en cuenta que el elemento consta de dos cilindros que tienen cada uno un estudio diferente. El primero un cilindro hueco que tiene su propio ángulo de torsión, y el segundo un cilindro macizo que tiene también un ángulo de torsión diferente del primero, además son diferentes la longitud y el momento polar de inercia; se obtendrán momentos que actúan tanto en el eje macizo como en el hueco.
En el cilindro macizo Conociendo que para el eje macizo:
16 ∗∗ 16 7010 N 0 , 0 7 16
Reemplazando los datos tenemos:
T=4714,3635 N.m
En el cilindro hueco
, .
Conociendo que para el eje hueco:
16
Reemplazando los datos tenemos:
,,−,
T=
, .
Con los datos obtenidos determinamos que el cilindro macizo está limitando al cilindro hueco, por ende ahora pasamos a encontrar el momento de rigidez de ambos donde el ángulo total es la suma de los ángulos de deformación parciales de cada eje, de la fórmula que relaciona ángulos de torsión también se obtendrá un nuevo valor de T.
θ J.. J.. .. ..
Despejo T de la ecuación y reemplazo valores.
..+ .. +/, ,, ,
T=
T=
T= 4004, 198 N
,
Valor ideal para ambos ejes, ya que al elegir cualquier valor de torsión de la condición de resistencia uno de los dos ejes fallará.
312. Una transmisión flexible consta de un alambre de acero de 5mm de diámetro encerrado en un tubo guía en el que encaja tan ajustado que produce un par torsor resistente por fricción de 2Nm/m. Determinar la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo cortante no debe exceder de 140 MPa. ¿Cuál será el ángulo total de torsión? Use 83GN/
.
R=2 Nm/m=2 N
140 MPa140 10 N/ 83 / 83 10N/ =
d=5 mm = 0,005 m G=
Ángulo total de torsión
Para poder visualizar de mejor manera el árbol de transmisión con sus secciones, graficamos en 3D:
L
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores. Radial(+)
Θ
T
2. Obtener
ecuaciones
Radial(+)
τ
mediante
5 mm
relaciones
geométricas
entre
las
deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad). De tal manera que para calcular el ángulo total será necesario integrar en función de los datos obtenidos. Cabe destacar que al mencionar fricción, aparece una fuerza adicional al torque en este caso denominada R (Fricción) donde se puede deducir el valor de T(Torque) en función de L, conociendo el valor de R: T=R L T=2L Partiendo de la fórmula de condición de resistencia al tener un torque en función de L como única incógnita:
16 162 ,
Despejando L se procede a reemplazar los valores:
,
Longitud del árbol de transmisión
Para el análisis del ángulo total, la longitud L variará, por lo que necesitamos
saber el valor de θ en cada nuevo valor de L, para esto es necesario integrar θ o sumar cada una de estas expresiones.
Pero estas variaciones deben ser muy pequeñas por lo que expresamos en términos muy pequeños:
θ ∫dθ∫
Para integrar se reemplaza T por RL del valor del torque por lo que L hace referencia a la longitud. Se procede a integrar sabiendo que J, R y G son constantes.
∫dθ∫ ∫dθ ∫ , ∫dθ ∫
Los límites de L será la longitud del eje desde 0 hasta 1, 718
θ ||. , θ θ 1,475762 Para el valor de J se considera que se trata de un área llena por ende su momento polar de inercia es:
∗ 32 − 5∗10 32 6, 1359 ∗10−
Reemplazando los valores obtenidos a lo largo del ejercicio en la ecuación de
θ
finalmente hallamos su respectivo valor:
6,13592∗101,475762 −83∗10 0, 5795
Se puede dejar el ángulo en función de grados realizando la siguiente transformación para su mejor interpretación:
0, 5795 ° ,°
Ángulo total de torsión
313. El árbol de la figura P-313 gira a 3r/s absorbiendo 30KW en A y 15KW en B de
10 .
los 45KW aplicados en C. Si G=83
N/
Calcular el esfuerzo cortante máximo
y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material Acero)
75 mm diam.
50 mm diam.
4m
2m
Figura P-313 f=3r/s
30 15 45 83 / 83 10 N/ =
=
=
G=
Esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C.
Para poder visualizar de mejor manera el árbol de transmisión con sus secciones, graficamos en 3D, considerando los datos expresados anteriormente:
TA 50 mm diam. TB TC
75 mm diam.
Del grafico se puede observar que elegimos el signo de las cargas de acuerdo a lo que expresa el enunciado como es el termino absorbiendo (pierde, sale, chupa) y el termino aplicados (entra, ingresa, suministra).
Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión b) Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d) El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e) Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
Radial (+)
75 mm diam. 50 mm diam.
Longitudinal (+)
4m
2m TB
TA
TC
1. Reemplazar los datos obtenidos, utilizando fórmulas de potencia, condición de resistencia y condición de rigidez acorde a os datos dados: Con las potencias dadas primero buscaremos el valor de T en cada punto, con la ayuda de estos encontrar T en cada sección.
2 2
Reemplazo los valores en la ecuación:
30∗10 23 1591,55 . 15∗10 23 795.77 . 45∗10 23
(Sentido horario con respecto a C)
(Sentido horario con respecto a C)
2387.324 .
(Sentido antihorario con respecto a C)
Para el sigo de cada Torque se consideró si la potencia está siendo absorbida o aplicada por se conserva os signos anteriormente establecidos, además de estar respecto al C.
Con los valores encontrados de T se puede encontrar los esfuerzos en cada sección aplicando la fórmula de condición de resistencia, de estos valores se definirá la mejor solución:
16 1620,387,03752 . ,∗/ 16 ,,. 64,8455∗10/ ,/
Esfuerzo cortante máximo
Calculamos el momento polar de inercia de las dos secciones con sus recpectivos radios:
. J=
=
310− . 6 10− 3,106
=
,1359
Con estos valores se puede reemplazar directamente en la fórmula de condición de rigidez para hallar la deformación angular en cada tramo:
θ
,/. , ,/. , =
=
Finalmente para hallar el ángulo total desde C hasta A se tiene la sumatoria de las deformaciones angulares en cada tramo:
0,0180,125 θ 0,143519 rad =
Se puede dejar el ángulo en función de grados realizando la siguiente transformación para su mejor interpretación:
θ 0,143519rad∗° ,°
Ángulo de torsión de la rueda A respecto de la
G= 83G N/m²
60 /² 4° Figura P-314 Vista isométrica de las cargas en el cuerpo
∅
Podemos observar en la figura P-314 una de las formas de en donde la hace referencia a la
y la
del mismo esto para representar en 2D, para continuar con la solución se bebe tener en cuenta ciertas hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.: Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 4. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
Se puede observar los torques accionantes de color rojo y el que se crea en el extremo A debido al empotramiento de color verde la dirección de este último lo asignamos de forma arbitraria.
Para representar los torques de forma lineal hacemos lo siguiente: Primero nos ubicamos en un extremo sea A o C de ahí observamos los giros, si el giro es Anti horario es positivo y se horario negativo, para este caso no ubicamos en A: T (+), 500 [NM] (+), 1000 [NM] (-), estos resultados ubicamos nuevamente en el árbol considerando las direcciones que damos a nuestro sistema de referencia:
5. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático. Para ello considero
0 500 500 N. m 1000 N . m 0 N . m 60 /²
6. Sabemos que el esfuerzo es igual a
vamos a encontrar un
aproximado de diámetro en función de la carga reaccionantes en cada sección de corte AB y BC. Corte AB
0 500 N . m 0 500 N. m
Por lo tanto, el esfuerzo en la sección AB:
Corte BC
16 6010 1616500500. 500500 . 166010 500500 . 16166010 0,035
Diámetro sugerido por la sección AB
0 500N.N. m1500 N . m 0 000 N. m Esto quiere decir que tomamos equivocadamente la dirección del vector
Por lo tanto, el esfuerzo en la sección AB:
16 1000. 6010 16161000 1000 1000. 166010 1000 1000.. 16166010 0,044
Diámetro sugerido por la sección BC
7. Sabiendo del ejercicio que en ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder a 4° esto hace referencia a la deformación máxima que debe tener entonces: Al sumar las deformaciones parciales AB y BC obtendremos la deformación total debe ser a 4° o su equivalente en radianes 0,070 rad.
podemos calcular:
podemos calcular:
4° 0,070 0 . 3 N 325005083x10 100083x10 .2 N 321000
Entonces:
.3 N 1000 100083x10 .. 2 N 4° 0,070 3250050083x10 32 5005083x10 0 . 3 N 1000 100083x10 .. 2 N 0,070 32 1500 32 2000 183x10500.. N 83x10 2000.. N 0,070 32 3500 3500 .. 32 0, 0 70 83x10 N 32 112000 183x1012000. 0,070 112000 83x10 83x10112000 0,0,070 83x10 83x100,0,070 112000 83x10 83x100,0,070 0,050
Diámetro sugerido por la deformación de 4°
Ahora debemos escoger uno de los tres diámetros que resultaron en el cálculo:
∅∅12 00,,003454 3454 ∅3 0,050 50
Sabemos que entre más grueso sea el material más resistente será en base a esto concluimos:
RESPUESTA
Sección constante= A L=5 [m] Frecuencia= 2 [rad/s] G=83G [N/m²]
Figura P-315
70K[W] a 2 [m] del extremo izquierdo
20K[W] extremo izquierdo 30K[W] extremo derecho 20K[W] a 1,5[m] del extremo izquierdo
Ʈ Si ∅ 10 mm determine
a) Calcule A si =60M [N/m²] θ de torsión b)
decimos de cuando esta genera movimiento mayormente creada por motores esta la consideramos a comparación de la que gasta el movimiento utilizado para mover algún elemento mecánico creado por la potencia aplicada entonces esta la consideramos .
Podemos observar en la figura P-315 no está representado por torques si no por potencia aplicada en dicho punto, sin embargo, se representa de esta forma sabiendo muy bien que la potencia en este caso genera movimiento circular, las direcciones son tomadas aleatoriamente solo se debe precautelar que a la la
y a opuesta, para continuar con la solución
se bebe tener en cuenta ciertas hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático. a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión b) Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d) El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e) Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
1. Transformar de Potencia a Torques.
Para ello aplicamos la fórmula:
Donde: T= torque [Nm] P= potencia [W] f= frecuencia [rad/s]
2πf
Los signos se establecen por positivo si la potencia es aplicada y si es absorbida se considera negativa
2πf 20. 1 0 2π2r/s 2πf 70. 1 0 2π2r/s 2πf 20. 1 0 2π2r/s 2πf 30. 1 0 2π2r/s En base a esto podemos diagramar el DCL para el árbol o eje.
2. Dibujamos el DCL
Las direcciones de los torques se pueden establecer de manera aleatoria, pero con la diferencia que el resultante de la potencia aplicada debe ser opuesta a los que resultaron de la potencia absorbida 3. Seccionamos al eje en desde una carga inicial hasta el último punto en donde esta misma carga sigue siendo constante:
0 2387, 3 2 N m 0 2387,32 Nm
0 1591,3978, 55N. m2387,87 N3m2 Nm 0
0 5570,4255NmNm2387, 1591,55 Nm1591, 3 2 N m0
4. Con la ayuda de la fórmula del esfuerzo cortante podemos encontrar el diámetro y dimensionar el eje en función de este y en cada sección o corte
16 3 16 3 161591,6010556 N2m 1591,55 Nm 166010 0,0513 51,31 16 3 16 3 163978,6010876 N2m 3978,87 Nm 166010 0,0696 69,64
Diámetro sugerido por AB
Diámetro sugerido por BC
16 3 16 3 162387,6010326 N2m 2387,32 Nm 166010 0,0587 58,73
Diámetro sugerido por CD
Ahora para escoger el diámetro debemos tener en cuenta que entre más denso y
“gordo” sea el material más resistente será, sabiendo esto escogemos el diámetro , ≅ máximo encontrado:
RESPUESTA
5. El
pide calcular el ángulo de torsión con los mismos datos, pero
con un diámetro de 100 [mm] del eje.
Sabemos que el ángulo de torsión o deformación angular por torsión se calcula mediante la fórmula:
Donde:
= ángulo de torsión en [rad]
T= torque reaccionante [Nm] L= Longitud del eje J= Momento polar de inercia de ejes macizos =
G= Coeficiente de rigidez para la torsión Sabemos que cada corte o cada sección produce una pequeña parte de deformación entonces la deformación total será igual a la sumatoria de las deformaciones infinitesimales del eje:
Entonces:
/ / /
Sabemos que tanto el momento polar de inercia y el coeficiente de rigidez de torsión son constantes para cada sección sacamos como factor común:
32 322,38710 1.53,97810 1.51,59210 2 0,1 3260106 27090 0.007813
En grados sexagesimales:
θT0,447635°
RESPUESTA
L= 3 [m]
∅ ∅
inicial=60 [mm] final= 30 [mm]
Figura P-316
Podemos observar la Figura P-316 en donde exageramos las dimensiones del eje con el fin de explicar que su sección trasversal será variable en toda su longitud, al no cumplir solo con una hipótesis para la solución con las formulas directas estas ya no se pueden solucionar.
Para solucionar tenemos los siguientes aspectos:
El par torsor está tomado con respecto al punto A:
La ecuación (3-1):
T = + 170 Nm sentido anti horario
∗32
Sabemos que no se puede aplicar esta ecuación para una solución directa, pero en el enunciado nos dice que esta solución es válida para una parte infinitesimal o para una diferencial de este.
∗∗32 1
Al final realizaremos una sumatoria de un punto inicial a un punto final, en otras palabras, integraremos esta ecuación.
Por motivo de análisis tomaremos el “semi cono” para realizar las respetivas -
relaciones fundamentándonos en la geometría plana.
Procedemos a realizar las relaciones de los trapecios B1D2 de color verde y el trapecio F3G4 de color azul Trapecio B1D2
Trapecio F3G4
Entonces:
0,030,3015 0,015 0,0315 0,015 0,01530,045 0,005 0,015
Radio en función de la diferencial de longitud
Ahora reemplazamos los valores en la ecuación [1] del ejercicio
∗∗32 2 ∗∗32 2 ∗∗32 2 (20,0∗∗32 05 0,015)
Sabemos que el diámetro es igual a dos radios
Hasta ahora hemos analizado en partes infinitesimales para obtener el ángulo de torsión debemos realizar una sumatoria o integramos.
∫ 16 032∗∗ ,0050,015
La razón por lo que se cambia en el denominador de
a
debido a que esta es
constante en toda la longitud y funciona para cualquier punto del eje.
∫ 0,02∗∗ 050,015
En donde T, π, G son constantes: 2 ∫ 0,0050, 015 0,0050,015 0,005
Realizamos un cambio de variable para facilitar su solución.
0,005 2 ∫ 0,005 2 ∫ 0,005∗ 2 ∗∗0,005 ∫ − 2 1 ∗∗0,005 ∗[ 3] 2 1 ∗∗0,005 ∗[ 30,0050,015] ∗∗0,2 005 [ 30,005∗310,015 30,005∗010,015] ∗83102170∗0,005 12345,6898765,43 217086419,∗0,70505 ∗8310
Entonces la integral nos quedaría de la siguiente forma:
0,02054 1,291°
D= 50 mm= 0,05 m
83/ 83 10N/ 50 750, 0 75 0,050
Figura P-317
Para continuar con la solución se bebe tener en cuenta ciertas hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático. a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión b) Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d) El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e) Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Realizamos un DCL para visualizar las cargas externas aplicadas al eje: Posteriormente aplicamos ecuaciones de estática para obtener una resultante:
DCL
0 3000 1
Ahora
Sabemos que el ángulo de torsión o deformación angular por torsión se calcula mediante la fórmula:
Donde:
= ángulo de torsión en [rad]
T= torque reaccionante [Nm] L= Longitud del eje J= Momento polar de inercia de ejes macizos = G= Coeficiente de rigidez para la torsión
4 4 32
ejes huecos =
Sabemos que el ángulo de deformación tanto del acero como del bronce serán el mismo debido a la manera que se encuentran
Reemplazando valores
∗32 ∗32 3000 3000 3 000 0 , 0 5 0,0750,05 − 6, 2 510 0, 0 1875 2,539062510− 0,738,2461538 46150, 2738, 4615384615 10, 21105, 461538738, 4 615 75
Reemplazando valores de la ecuación [1]
30001105,74 1894,26
Torque en el acero
Ahora calculamos el torque en el bronce:
Ahora procedemos a buscar el esfuerzo máximo en cada material: Sabemos que el esfuerzo máximo se calcula:
Torque en el bronce
16 1610,105,0574 45,052 / 16 1601,894,075260,00,0575 28,49 /
Torque en el acero
Esfuerzo en el Bronce
/
/ /
? 28 / 83/ 35/
b) Angulo de Rotacion del extremo libre del arbol
Para empezar el análisis se representa tridimensionalmente el presente caso para poder identificar la interacción de las cargas y cada elemento o material:
Para determinar el esfuerzo cortante máximo alcanzado en cada material y el ángulo de rotación (distorsión) producido en los mismos ,se debe considerar las siguientes hipótesis:
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.
Una vez identificadas las hipótesis anteriores se puede realizar el análisis respectivo del presente caso siguiendo los siguientes pasos: 1.-Dibujar un diagrama de cuerpo libre en el que se representan las cargas exteriores, cabe recalcar que en este caso las cargas exteriores accionantes son las cargas de tipo rotacionales es decir momentos específicamente el momento
⃗
más conocido como Torque:
Al definir el sistema de coordenadas se realiza suma de momentos para hallar el torque en A haciendo de referencia al diagrama de cuerpo libre. Al encontrarse empotrado en el punto A se procede a realizar todo con respecto en ese punto.
2.-Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático, para este caso mediante el DCL se tiene:
; ;
Por lo tanto se tiene que:
0
0 4.1,5 . 2,5 . ℎ . 2,5.4. 1500 . 1500 . Para determinar la carga que actúa sobre el acero se tiene :
Finalmente, la carga que actúa sobre el bronce será:
Una vez determinados los momentos que producen la torsión en cada uno de los materiales se procede a buscar el esfuerzo cortante máximo que se genera en cada uno de los materiales. Por otra parte, como se trata de elementos macizos se aplica la siguiente formula:
16 16 16 16 1602,5001 160,1050075 160,1050075 , / , / , /
Los esfuerzos máximos cortantes del acero y bronce son iguales debido a que comparten el mismo momento Torsor y además sus diámetros son los mismos. Por otra parte los valores hallados
anteriormente de esfuerzos en cada material la satisfacen la condición de resistencia.
Para hallar en ángulo de rotación, es decir la condición de rigidez, se debe considerar:
32 2 3 2 θ θ 0,01500 7583180°10 1500 1,532 θ 0,0116 θ 0,07535 10 ,° θ 0,0206 180° , °
En este caso J representa el momento polar de inercia y se puede calcular mediante:
02,50012833102 0,02728 180° ,°
(Ángulo del extremo libre)
/ /
∅75 τ≤60MN/ τ ∅50 35/ τ≤80MN/83/τ
Tramo AB
(
Tramo BC
(
T=?
A continuación, se representa tridimensionalmente (para visualizar que se trata de ejes circulares) el presente caso para poder identificar la interacción de las cargas y cada elemento o material:
Para continuar el análisis en necesario realizar un DCL de pares de fuerzas aplicadas sobre el eje:
Para hallar el valor de T se debe realizar la sumatoria de momentos:
0
0
Posteriormente se debe tomar en cuenta que el árbol esta empotrado firmemente en sus extremos, debido aquello el momento Torsor accionante que se aplica sobre el cuerpo AC no produce ninguna distorsión o variación del ángulo de rotación.
0 0 0
A partir de los anterior se puede deducir que:
Desglosando la expresión anterior:
=
El momento Torsor intenta hacer rotar al árbol es decir deformar, pero cada material se opone hacer deformado por torsión a esto se le llama momento polar de inercia que debe ser calculado para cada uno de los materiales que componen el árbol: Momento polar de inercia para el bronce
∗ ∗, ∗ ∗0, 3205
Momentos polares de inercia para cada tramo.
Momento polar de inercia para el acero
Una vez obtenidos estos valores, se los reemplaza en la condición de rigidez de cada tramo del árbol:
, ,, =
Despejando variables:
1,839,10 −2, 945 10− , , 0.6246 =
Momentos Torsores accionantes que se generan en cada Tramo del árbol.
=
= 1,601
La condición de resistencia de cada material está definida por:
, =
y
=
Para continuar con el análisis se tiene como dato los esfuerzos que soportan cada uno de los materiales que componen el árbol.
60 →
Cuando material.
se tiene las respectivas cargas circulares que se aplican en cada
, 60 , 4,97 =
Momento Torsor accionante máximo que se aplica en el tramo AB(Bronce).
Empleando la ecuación 2 para determinar la carga circular en el acero
0.6246 0.62464,97 3.104 80 → , )
Cuando tramos ue com onen al e e AC. =
Momento Torsor accionante que se genera en el tramo BC(Acero) cuando
4,97
, se puede determinar los momentos torsores de cada uno de los
,
80=
1,963
Momento Torsor accionante máximo que se aplica en el tramo BC(Acero).
Empleando a ecuación 1 para determinar la carga sobre el bronce:
1,96 3.142 1,963 = 1,601
= 1,601(
Momento Torsor accionante que se genera en el tramo AC(Bronce) cuando
1,963
3.104
3.142
Finalmente, de los 4 valores de momentos torsores calculados se elige los valores de debido a que el valor de supera a la condición de resistencia y acero llegarían a la ruptura, por lo tanto:
3.142 1,963 5.105
Par Torsor accionante máximo que se puede aplicar en el punto B.
y
b/a T
0,075 35/ 60/ 0,83/05 80/ Acero
? .?
A continuación, se representa un DCL de par tortores del presente caso para poder identificar la interacción de las cargas y cada elemento o material:
Del análisis realizado para el problema anterior se tiene que las cargas máximas que se deben aplicar para que el bronce y el acero trabajen al máximo esfuerzo posible son:
4,97K Nm 1,963 KNm y
Se debe tener en cuenta que las deformaciones en los extremos de un eje son las misas en valor numerico pero de sentido contrario ,apartir de esto se tiene que la deformación total es :
0 =-
La deformacion total es nula ya que los extremos del arbol se encuentran empotrados y evitan que el cuerpo se deforme.
+
Desglosando la expresión
,−, ,, +
=0
Reemplazando valores: +
=0
-0,0457 a +0,0385 b= 0
0, 04570, 0 38 0,0,00457385 1,1857
Relación de distancia que debe existir para que el bronce y acero trabajen al máximo esfuerzo osible.
Como el sistema está en equilibrio se realiza la sumatoria de momentos.
T T T4,97.1,963 . 6,9336 .
Par Torsor necesario par a que los materiales trabajen a su máximo esfuerzo.
≤ , ≤
28/ ≤70/ ≤10083// 12° π/15rad ¿?
A continuación, se representa Tridimensionalmente el presente caso para poder identificar la interacción de las cargas y cada elemento o material:
A
B C
A continuacion se realiza un DCL con los pares torsores accionantes que se aplican sobre el àrbol.Cabe recalcar que el sistemas referencial escogio para el analisis es ubicado a conveniencia.
Para determinar en torque máximo se debe determinar la sumatoria de momentos: Analizando el DCL de pares torsores se tiene :
0 2 3
0
Reemplazando los valores analiticos de cada uno de los pares torsores de cada punto :
con respecto a A
Valor del par torsor en el punto A cuando se ubica el sistema referencial en el mismo punto A.
Ahora es necesario saber que cargas se aplican en cada un de los materiales qu componen el árbol del problema: Analisando el Tramo AB-Aluminio,es decir, realizando la sumatoria de momentos se tiene:
2
Valor del analitico del par torsor accionante en el
3
Analizando el Tramo BC-Acero,es decir,realizando la sumatoria de pares torsores:
2
Valor del analitico del par torsor accionante en el Aluminio.
Para hallar el maximo valor admisible de T bajo las condiciones presentes se debe realizar en analisis mediante las ecuaciones de condiciones de resistencia de cada material que conforma el arbol.
≤100 , ≤70 =
=
Al despejar las cargas en cada una delas ecuaciones de las condiciones de resisitencia : Par Tosor accionante en el tramo AB
7 0 10 0 , 0 75 ≤ 316 ≤1932,816 N.m 1 00 10 0 , 0 5 ≤ 216 ≤1227,1846 N.m
Par torsor accionante maximo que se puede aplicar en el Aluminio.
Par Torosr accionante en el BC Par torsor accionante maximo que se puede aplicar en el Acero.
De los datos del problema se sabe que el angulo de rotacion en el extremo libre del arbol(extremo C) esta limitado a una deformacion de 12°.El arbol esta compuesto por dos materiales distintos pero a a vez estos foman un solo cuerpo (el arbol),por lo tanto si el extremo C ,esta limitado a una deformacion de 12 ° ,todo el cuerpo estara limitado a esa deformacion,de lo anterior se puede expresar:
≤ +
Desgolzando la expresión y reemplazando datos conocidos:
, ≤ , , rad 6,89810− 5,8906 10−T ≤ 0,2094 +
T ≤ 1637,6 N.m
Par torsor accionante maximo que se aplica en el punto B.
Finalmente se toma como par torsor maximo admisible que se puede aplicar en el arbol a , es decir al par torsor del acero,debido a que al realizar el analisis se predente hallar valores de cargas que eviten la ruptura dentro de los materiales y este valor carga es el que podran soportar ambos materiales,mientras que si se escoje cualquiera de las otras cargas halladas como maxima el arbol llegaria a la ruptura ya que solamente uno de los materiales resistira a dichas cargas en este caso el acero.
Por lo tanto el máximo torque que soporta el arbol es:
1227,1846 .
Par torsor accionante maximo que se puede aplicar para que el arbol no llegue a ruptura.
322. Un par torsor T se aplica como indica la figura P-322, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son y . Varían estos valores si el árbol fuera hueco
/ /
Figura P-322
Demostrar:
/ / Para realizar la demostración tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 8. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
9. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático.
0 + =0
10. Obtener
ecuaciones
mediante
relaciones
geométricas
entre
las
deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad).
+ =0
Partimos de la fórmula de condición de rigidez y reemplazando los datos que se nos han proporcionado, sabiendo que sus extremos están empotrados por lo tanto no existe ángulo de deformación en los extremos.
0 T a + =0
+ =0 ;
Aplicando la condición 1, el momento polar de inercia y la constante de rigidez son las mismas ya que constan del mismo material
Por lo tanto:
;
Aplicando la condición 1
b+a es igual a L, Nótese el gráfico. Primera demostración
Reemplazo T2.
=Tb
b+a es igual a L, Nótese el gráfico.
Segunda demostración
Los valores no cambian ya que al reemplazar valores se eliminan J y G.
Un árbol de 100mm de diámetro y 3m de longitud, con los extremos empotrados, se somete a un par torsor de 4 KN.m aplicado a 1m del extremo izquierdo y a otro del mismo sentido de 16 KN.m a 2m de ese extremo. Determinar el esfuerzo cortante máximo en cada porción del árbol. Indicación: Aplicar el método de superposición con la solución del problema anterior.
Datos:
3 100 4 . 16 .
SOLUCIÓN
Para determinar el esfuerzo cortante máximo en cada porción del árbol tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático.
0
+ =0- Para T=4 kN*m
+ =0- Para T=16 kN*m
3. Obtener
ecuaciones
mediante
relaciones
geométricas
entre
las
deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad).
+ =0
Como existen dos momentos en la misma dirección entonces en los extremos existen momentos con dirección contraria para que exista equilibrio estático
Se procede a obtener los torques T1 y T2 aplicamos las fórmulas del ejercicio anterior: Con T= 4 kN*m
Con T=16 kN*m
4 .31 43 .
16 .32 323 .
4 ∗3 2 83 ∗
1 16 ∗ 316 3 ∗
Sumo los resultados T1y T2 para obtener el valor total del torque en cada extremo
4 32 3312∗ 8 16 3 3 8.
Elegimos este torque ya que es el mayor y así obtener el esfuerzo cortante máximo
12.
es el torque máximo, para buscar el material es homogéneo.
∗16∗ 1610200. ,1 , /
se usa este torque ya que
Por tanto el esfuerzo cortante máximo en cada porción del árbol es de 61,115 MN/m2
. Un árbol se compone de tres porciones AC, DC y DB soldados entre si y el conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura P324. Para el acero G= , para el aluminio G= y para el bronce y G= . Determinar la tensión cortante máxima en cada material.
83/ 35/
28/
Datos:
Acero
83/ 25 28/ Aluminio
50 mm
Bronce
35/ 25
SOLUCIÓN
Para determinar el esfuerzo cortante máximo en cada porción del árbol tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático. a. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión b. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores. En el gráfico se obtienen los valores de Torsión en cada una de las secciones mediante el método de secciones:
Realizamos un corte entre los puntos A y C.
(Sentido antihorario con respecto a B)
Realizamos un corte entre los puntos C y D
Tramo DB
300.
(Con respecto a B)
300. – 1000.
700N.m
(Con respecto a B)
2.
Obtener ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad)
Del enunciado notamos que al estar firmemente empotrado la relación entre ecuaciones de rigidez es:
0 +
Reemplazamos Valores
.. .. .. 0 2 300. 1, 5 0,025 /3281000. 3 10/10,050/32 28 10/ 0,025/32 35 10/
∗1, 5 2 9/ 2 0,054/3228 109/ 2 0,0254/3283 10450. ∗ 0,3205428102 9 0,032254351029 1000. 0,0254/3235 109/ 2 0 0.026 1.342∗10 0.7450 6.283∗10−1.5 17.18110 6.283∗10−8.731∗100.7−717.452∗10−0.771 1.461∗10− . .
Reemplazamos el valor de
en las ecuaciones de cada tramo
527.9898 .
(Sentido antihorario con respecto a B)
300. 527.227. 98989.8989 300. . 300. – 1000. 472.0102. (Sentido antihorario con respecto a B)
700N.m
(Con respecto a B)
(Sentido horario con respecto a B)
Reemplazamos los valores calculados para obtener los esfuerzos cortantes: El esfuerzo máximo del acero es:
16 16∗527,0,0925898 . 172,094 16 16∗227,09,8989. 0 5 9,28 16 16∗472,0,0025102. 153,85
El esfuerzo máximo del acero es 173 MPa
El esfuerzo máximo del aluminio es:
El esfuerzo máximo del aluminio es 10 MPa
El esfuerzo máximo del bronce es:
El esfuerzo máximo del cobre es 154 MPa
. Los dos árboles de acero demostrados en la figura P-325, cada uno con un extremo empotrado en un apoyo rígido tienen sendas bridas rígidamente sujetas a sus extremos libres los ejes están atornillados uno al otro en sus bridas. Sin embargo existe una desalineación de 6° en la localización de los barrenos de los tornillos según se ilustra en la figura. Calcule el máximo esfuerzo cortante en cada árbol una vez que los ejes se hayan atornillado uno al otro. Use un valor de G= y desprecie la deformación de tornillos y bridas.
83/
Datos:
Acero
83/ 50 40 6° 30
SOLUCIÓN
Para calcular el máximo esfuerzo cortante en cada árbol una vez que los ejes se hayan atornillado uno al otro tenemos que tener en cuenta las siguientes hipótesis para poder aplicar las condiciones de rigidez y las condiciones de equilibrio estático.
a) Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión b) Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. c) La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. d) El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. e) Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. Tras haber comprendido las hipótesis realizamos los respectivos cálculos teniendo en cuenta los siguientes pasos a elaborar: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre representando las cargas exteriores.
2. Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático.
∗ ó : ó 0 ∗ó 1
3. Obtener ecuaciones mediante relaciones geométricas entre las deformaciones elásticas producidas por las cargas y por las fuerzas
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desconocidas (Ecuaciones de compatibilidad).
Se analiza por separado para cada sección
Condición de equilibrio
∑ 0
Cuando las bridas están conectadas, las torques en B y B1 son los mismos.
Y las deformaciones parciales de cada sección deben ser igual a
6°
30
Sus momentos polares de inercia son:
∗ 32 − ∗50∗10 32 6,1359∗10− ∗ 32 − ∗40∗10 32 2,5132∗10− 1 2 2 1 83 10 12 83 10 30 2 1 1 83 10 − 83 10 30 8,720910 1 30 , . 16 1200,7−87 1650∗10 , /
Reemplazando valores
16 1200,7−87 1640∗10 , /
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