RESISTENCIA DE MATERIALES 2

Problema:

Una barra de cobre de sección uniforme esta rígidamente unida por sus extremos a 2 muros como se muestra en la figura. La longitud es de 150 cm y la sección es de 12 cm² . la temperatura es de 18°C. sobre la varilla no se ejerce tensión alguna. Determinar el valor de la tensión que ejerce la varilla cuando la temperatura es de 10°C. si el modulo de elasticidad del cobre es -6 6 Ecu= 1.1 x 10 kg/cm² y su coeficiente de dilatación lineal es ∞= 16 x 10 /°C. Datos: L = 150 cm ; To = 18°C y T1 = 10°C ∞= 16 x 10-6 /°C ; Ecu = 1.1 x 106 Kg/cm²

150 cm -6

∆L = ∞ x L x ( T1 – To ) = 16 x 10 /°C x 150 cm x ( 10 – 18 )°C ∆L = 0.0192 cm Esto significa que la varilla tiende a reducir su longitud pero los muros no lo permiten, por lo que esta soportando una tensión. PxL P = σ :. ∆L = como = ∆L x Ecu σ Si no fuera x A x Ecu A L

σ = 0.0192 cm x 1.1 x 10 kg/cm² 150 cm

= 140. 140.8 8

los muros seri un esfuerzo de compresión po kg/c kg/cm² m² eso es de

Problema: Una barra de acero cuadrado tiene 5 cm por lado y 25 cm de longitud, se s e cargo con una fuerza de compresión axial de 20,000 kg la relación de poisson es de 0.3. determinar la variación unitaria de volumen. Datos: 6  A = 5 x 5 = 25 cm²; L = 25 cm ; P = 20000 kg ; E = 2.1 x 10 kg /cm² ; µ = 0.3 ∆V = ? V PxL 20,000 kg ∆L =  A x E 20000 x 25 cm ∆L = 6 25 cm² x 2.1 x 10 kg/cm² 25 cm ∆L = 0.0095 cm ∆V V

=ϵ

∆L ( 1-2µ ) como ϵL=

∆V    m   c = ∆L ( 1- 2µ )    5 V L 5 cm ∆V 0.0095 = 1- ( 2 x 0.3) = 0.000152 V 25

Se tiene

Calculo de la variación de volumen

∆L ( 1- 2µ ) X V L ∆V = ∆L ( 1- 2µ ) X A x L L ∆V = 0.095 cm³ ∆V =

Problema: Durante un ensayo de tracción de una varilla de acero en frio de 13 mm de diámetro, se obtuvieron los siguientes datos: No. Carga axial Alargamien

No.

Carga axial en kg

Alargamien to cm

1

0

0

2

570

0.0010

3

830

0.0015

4

1020

0.0020

5

1380

0.0025

6

1650

0.0030

7

1920

0.0035

8

2200

0.0040

9

2460

0.0045

10

2750

0.0050

11

3040

0.0055

12

3300

0.0060

13

3110

0.0100

en kg

to cm

14

3140

0.0200

15

3140

0.0300

16

3140

0.0400

17

3120

0.0500

18

3140

0.0600

19

3160

0.1250

20

3500

0.2500

21

4230

0.5000

22

4460

0.7500

23

4560

1.0000

24

4560

1.2500

25

4460

1.5000

26

4300

1.7500

27

4020

1 8750

 A la rotura el diámetro final de la barra en la sección que se produce, este fue de 0.75 cm. La longitud patrón es de 5 cm. Aumento a 6.875 cm. Con los datos Calcular: a)El limite de proporcionalidad del material b) El modulo de elasticidad c) El porciento de alargamiento y el de reducción de area. d) La resistencia a la rotura Datos: diámetro = 13 mm ; L = 5 cm ;  A = π x D² = 0.785 ( 1.3 cm )² = 1.327 cm²

4 σ = P = de tabla = 570 kg = 429.54 kg/cm² A 1.327 cm² 1.327 cm² ϵ

∆L

=L

=

0.0010 cm 5 cm

= 0.0002

830 kg = 625.47 kg/cm² 1.327 cm² De tablas 0.0015 cm = ϵ = 5 cm = 0.0003 L σ=

No.

σ

ϵ

No.

σ

ϵ

1

0.0

0.0

2

429.54

2 x 10-4

15

2366.24

0.006

3

625.47

3 x 10-4

2366.24

0.008

4

768.65

4 x 10-4

16 17

2351.16

0.010

5

1039.94

5 x 10-4

18

2366.24 0. 012

6

1243.40

6 x 10-4

7

1446.872

7 x10-4

19

2381.31

0.025

-4

20

2637.53

0.050

21

3187.64

0.100

22

3360.96

0.150

23

34.32

0.200

8

1657.875

8 x10

9

1853.805

9 x 10

10

2072.34

0.001

24

3436.32

0.250

11

2290.88

0.0011

25

3360.96

0.300

12

2486.81 0.0012

26

3240.39

0.350

27

3029.39

0.375

-4

13

2343.63

0.002

14

2366 24

0 004

a) Limite de proporcionalidad del material = P = 2486.812 kg/cm² Es la máxima b) Calculo del modulo de elasticidad = E = E = 2,086,620 kg/cm² E=

σ ϵ

=

σ ϵ

2290.882 kg/cm² = 0.0011

Tensión

6

Aprox. E = 2.1 x 10 kg/cm²

2290.882 – 1657.875 -4 0.0011 – 8 x 10

6

= 2.11 x 10 kg/cm²

c) Calculo del porcentaje de alargamiento , Si L = 5 cm y LF = 6.875 cm Diámetro inic. = 13 mm , diámetro final = 0.75 cm

%  Alargamiento

= LF – Lo

= 6.875 cm – 5 cm 5 cm

Lo

% Reducción =  Ao – AF Ao de área

X

100 =

X 100 = 37.5

1.327 – 0.4417 X 100 = 66.7 1.327

Tensión

σ= P  A

x

Tensión de rotura x

Punto de Fluencia x x

Punto de rotura real

Punto de rotura aparente Esfuerzo ultimo o´ limite de resiliencia x

x

Limite elástico Limite de proporcionalidad

0

Deformación

Diagrama – tensión - deformación

=

ϵ

L

=

(∆L)

L

27

σ = 3436.22 kg/cm²

26

25

Resistencia a la rotura del material = B= 3029.39 kg/cm² Zona plástica

24

23

22

  a   c   a    i    t   n   o  s    á    Z    l   e

21

20

19

18

17

16

15

14

2366.24 K g/cm²

2343.632 = Limite elástico

Problema Se tiene una placa de acero rectangular de 3 x 1.2 m y 8 mm espesor sobre la que se coloca un cilindro macizo de acero de 10 cm de diámetro mismo que soporta una carga de 1450 kg y tiene una longitud de 30 cm. Calcular la tensión de corte o el esfuerzo cortante que se induce en la placa de acero. 1450 kg Esta es el área de 10 cm Datos . trabajo de corte 8 mm 30 cm e = 8 mm = 0.8 cm  A = π x D x e Cilindro macizo Diam= 10 cm ; L = 30 cm Carga= P= 1450 kg     m      3  A = πDe = 3.14 x 10 x 0.8  A = 25.1328 cm² 1.2 m Ƭ

=P  A

=

1450 kg = 57.6935 kg/cm² 25.1328 cm²

Ƭ =Tensión cortante o esfuerzo cortante en kg/cm²

Problema. Calcular la tensión de cortante o el esfuerzo que se ejerce sobre una placa de acero rectangular de 30 x 1.20 cm y de 8 mm de espesor, por un cilindro hueco de 10 cm de diámetro exterior y 8 cm de diámetro interior y 30 cm de longitud. Datos: Cilindro hueco Diam int.= 8 cm; diam ext.= 10 cm ; L = 30 cm P = 1450 kg Ƭ=?  A Trab. = A ext. + A int  A ext. = π x diam ext. X e = 3.14 x 10 x 0.8 cm²= 25.133 cm²  A int = π x diam int x e = 3.14 x 8 x 0.8 cm² = 20.106 cm²  A trab. = 25.133 + 20.106 = 45.23904 cm² Ƭ

=P  A

=

1450 kg = 32.0519 kg/cm² 45.239 cm²

Problema Se desea saber la capacidad adherente de una adhesivo, pegamento o cola, para lo cual se utilizan unos trozos de madera encolados como se muestra en la figura. Calcular cual es la tensión cortante a la que será expuesto el material, si requiere una resistencia de adherencia de 30 kg/cm². ¿ pasara o no la prueba de adherencia P= 120 kg la cola? 30°   m Datos:   c    8 P = 120 kg ; A = 10 x 8 = 80 cm² P = 120 cos 30° = 103.923 kg 2 cm 103.923 kg = = 1.299 kg/cm² 2 cm Ƭ=P 80 cm²  A 10 cm P = Ƭx A = 30 kg/cm² x 80 cm² = 2400 kg Esta fuerza es cuando se aplica al eje P = 120 kg de la x. P = 2400 kg = 2771.281 kg 30° Cos 30° Esta fuerza es cuando se tiene un > 30° Esta carga como se puede observar es muy pequeña comparada con la carga máxima que puede resistir el adhesivo que puede ser hasta 2771 kg. Por lo

Problema

Determinar el esfuerzo en cortante que una polea con una carga de 5000 kg cm, ejerce sobre la cuña de sección rectangular de 3 x 12 cm, que esta insertada en una flecha de 5 cm de diámetro.      M cuña     = Datos:     m    c M = 5000 kg cm polea     g  D = 2.5 cm      k 5 cm 15 cm      0  A = 3 x 12 cm = 36 cm²      0 flecha      0      5 M M = F x d = P x d :. P = d 5000 kg cm cuña P= = 2000 kg 2.5 cm polea P 2000 kg cm Ƭ= = = 55.556 k/cm² 3 cm flecha  A 36 cm² 3 cm

 c m  1 2

Problema

Diseñar una flecha maciza de acero para transmitir 40 kw de potencia con una rapidez de 25 hz. El esfuerzo cortante permisible de la flecha es de 60 MPa. Datos: -2 1 j = N x m = ( kg m/s² ) x m = kg m² / s² ; 1 Pa= 1 N/m² = 1 kg m-1 s Potencia = 40 Kw = 40 x 10³ w = 40 x 10³ J/s Flecha ƒ = frecuencia = 25 Hz = 25 1/s Ƭ = 60 MPa = 60 x 106 Pa Ƭ

=P  A

M=

; A = π(d/2)²

P 40 x 10³ j/s = ƒ 25 1/s

:.

Ƭ=

P π ( d/2 )²

:.

P = Ƭ x π (d/2 )²

= 1600 j

Trabajo = T = P x d; si T = M ; M = P x r como r = d/2 , entonces M = P x d/2 :. P = M Igualando d d² d³ M = Ƭ x π (d/2)² ; M d/2 = 2 4 = 8 d/2 Ƭx π 1600 kg m²/ s² x 8 d= 60 x 106kg /m s² x π

1/3

= 0.04079 m = 4.08 cm diámetro de la flecha

Problema En el sistema mostrado en la figura con los datos que se adjuntan Calcular  a)La deformación de cada barra b) El alargamiento total del sistema c)La deformación unitaria de cada barra y el esfuerzo unitario de cada barra Datos: 6 E latón = 1.1 x 10 kg/cm² E acero = 2.1 x 106 kg/cm²  A latón = 6 cm² ; L latón = 80 cm  A acero = 2 cm² ; L acero = 50 cm P = 18 KN = 18000 /9.80665 kgf = 1835.489 Kgf  ∆L latón = ? ∆L acero = ? Solución a) ∆L latón = P L =  AE

1835.489 x 80 6 x 1.1 x 106

∆L acero = P L 1835.489 x 50 =  AE 2 x 2.1 x 106

80 cm 50 cm

= 0.022 cm 0.022 cm

=

 A latón = 6 cm²  A acero = 2 cm²

P = 18 KN

b) Calculo del alargamiento total del sistema = ∆L T = ∆L lat. + ∆L  Ac = 0.022 + 0.022 ∆L T = 0.044 cm ∆L latón 0.022 c) ϵ = = L latón 80

= 0.000275

∆L acero 0.022 = L acero 50

= 0.00044

=

ϵ

Calculo de la tensión unitaria de cada barra:

σlatón = 1835.489 kg = 305.91 kg 6 cm²

cm² σacero = 1835.489 kg = 917.7445 kg 2 cm² cm²

σ=

P  A

Problema

Un cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto esta sometido a una carga axial de 25,000 kg. La sección de acero es de 18 cm², mientras que la del cobre es de 60 cm², ambos cilindros tienen la misma longitud antes de aplicar la carga. Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para colocar toda la carga en el cilindro de cobre y la placa de la cubierta de la parte superior del 6 -6 conjunto. Considerar para el cobre E = 1.1 x 10 kg/cm² y ∞ = 17 x 10 1/ °C y para el acero E = 2.1 x 10 6 kg/cm² y ∞ = 11 x 10- 6 1/ °C. 25,000 kg 25,000 kg t1 =? cobre

to

acero Cu

acero ∆L = ∞ x L x ∆T

 Aumento de longitud por  temperatura

PL ∆L =  AE

Deformación x carga

L Cu = L  Ac ; ∆L Cu = ∆L  Ac y ∆T  Ac = ∆TCu La dif. De la long. Por  x Lcu = ∞ AC x L  AC x ∆T  AC ∞Cu x L Cu x ∆T Cu -  APCu temperatura menos la cu x E Cu deformación por carga del P cu L Cu ∞Cu x ∆T Cu Cu es igual al aumento de = L AC ( ∞  AC x ∆T AC )  Acu ECu long. Por temperatura del acero ∞Cu x ∆T Cu - Pcu = ∞  AC x ∆T AC  Acu ECu

∞Cu x ∆T Cu - ∞  AC x ∆T AC = Pcu  Acu ECu Pcu  Acu ECu 25000 kg Pcu 1 1 ∆T= x x = -6-11 x10- 6  Acu ECu ( ∞Cu - ∞  AC ) 6 17 x 10 60 cm²x 1.1 x 10 kg/cm²

∆T ( ∞Cu - ∞  AC ) =

∆T =

25000 kg

66 x 10 kg ( 6 x

= 25000

10-61/°C)

396 x 1/°C

= 63.13°C

Problema.Una columna de concreto reforzado con cuatro varillas de 2.4 cm de diámetro colocadas como se muestra en la figura, es sometida a una carga de 6 ton. Determinar el esfuerzo en el concreto y el acero así como la longitud final del sistema. E acero = 30 x 106 lbs./ plg²40 cm 6 ton 6 E concreto = 3.8 x 10 lbs/plg² Solución Diámetro de la varilla = 2.4 cm Vista de 2.4 cm = 0.945 pulg. planta  Avarilla = π/4 x D²  Avarilla = 0.785 ( 0.945 )² = 0.701 plg²  ATOT Ac = 4 ( 0.701 ) = 2.804 plg²

30 cm

250 cm

Carga de la columna = P= 6 ton = 6000 kg x 2.2 lb = 13,200 lb 1 kg Calculo del esfuerzo acero

= σ AC =

P = 13,200 lb = 4707.56 lb  A AC 2.804 plg² plg²

 A TOT concreto = Área de la columna – Área total del acero =

30 x 40 2.54 2.54

- 2.804 = 183.2 plg²

Calculo del esfuerzo en el concreto = σ concreto = 13,200 lbs. = 72.05 lb/plg² 183.2 plg² El esfuerzo total es : σ TOT = σacero + σ concreto = 4707.56 + 72.05 = 4779.61 lb/plg² L = 250 cm/2.54 = 98.425 plg. Calculo del alargamiento o contracción en este caso el que origina la carga sobre la columna:

∆L AC = σ AC L E AC

4707.56 lb/plg² x 98.425 plg = 30 x 10 6 lb/plg²

= 0.01544 plg

σconc L 72.05 lb/plg² x 98.425 plg 0.0019 plg = = Econc 3.8 x 106 lb/plg² ∆L T = ∆L AC + ∆L conc = 0.01544 + 0.0019 = 0.01734 plg ∆L conc =

LF = Lo - ∆LT = 98.425 - 0.01734 = 98.408 plg x 2.54 cm= 249.95 cm

Problema.Tres barras cilíndricas con un diámetro de 2 plg. unidas rígidamente como lo muestra La figura. Determinar la deformación total del sistema de acuerdo a los datos que se indican: P1=1700 lb ; P2 = 1300 lb y P3 = 2300 lb 36 cm 14.173 plg

P1 = 1700 lb

26 cm 10.236 plg

P2 = 1300 lb

E1 = 30 x 10 6 lb/plg²

acero

E2 = 17 x 10 6 lb/plg²

bronce

16 cm 6. 3 plg

P3 = 2300 lb

E3 = 10 x 10 6 lb/plg²

aluminio

2 plg.  Área transversal de las barras = AT = π/4 x D² = 0.785 x (2)² = 3.14 plg² Volumen = A x L :. V AC = 3.14 ( 14.173 ) = 44.5 plg² Vbronce = 3.14 ( 10.236 ) = 32.14 plg² Valuminio = 3.14 ( 6.3 ) = 19.782 plg² Como no tenemos datos de los pesos específicos de los materiales de las barras, los esfuerzos unitarios se van a calcular con las cargas que

P AC

1700 lb 3.14 plg²

σ AC =  A AC

=

σBRONCE =

P AC + PBronce ABRONCE

= 541.4 lb/plg² =

1700 lb + 1300 lb 3.14 plg²

σaluminio = P AC + Pbronce + Paluminio

A aluminio

= 955.414 lb/plg²

1700 lb + 1300 lb + 2300 lb 1687.898 lb/plg² = = 3.14 plg²

Cálculos de las deformaciones longitudinales de cada barra:

∆L= σL E

x 14.173 plg = 0.0002558 plg ∆L AC = 541.4 lb/plg² 6

30 x 10 lb/plg² ∆L Bronce = 955.414 lb/plg² x 10.236 plg = 0.0005752 plg 17 x 106 lb/plg²

∆L  Aluminio = 1687.898 lb/plg² x 6.3 plg 10 x

106

lb/plg²

= 0.00106 plg

La deformación total del sistema es :∆L

∆Lbronce + ∆L aluminio = 0.00189 plg

TOT

∆L TOT = 0.0002558 + 0.0005752 + 0.00106 =

=∆L

 AC +

Problema.Una varilla de acero de 150 mm² de sección, esta sujeta de sus extremos a dos puntos fijos, estirada por una fuerza total de 8570 kg a 20°C. Calcular el esfuerzo de la varilla a – 20°C e indicar a que temperatura se anulara el esfuerzo. P = 8570 kg Datos: 6 σ=? E = 2.1 x 10 kg/cm² 30 cm -6 T1 = ? ∞ = 11 x 10 1/°C

L = 30 cm

To = 20°C

 A = 150 mm² = 1.5 cm² σinic. = P =

 A

σ = ∆L x E

L

;

8570 kg 1.5 cm²

= 5713.33 kg/cm²

-6 ∆L = ∞ x L x ∆T = 11 x 10 1/°C x 30 cm x ( - 20 – 20 )°C

∆L=- 0.0132 cm σa - 20°C = ∆L x E L

6

- 0.0132 cm x 2.1 x 10 kg/cm² = 30 cm

= 924 kg/cm²

Calculo de la deformación inicial ∆Linic.

∆L Inic. = a 20°C

σL E

∆L = L x ∞ x ∆T

=

5713,33 kg/cm² x 30 cm 2.1 x 10 6 kg/cm² :.

= 0.08162 cm

∆T = ∆L = 0.08162 cm -6 = 247.33°C Lx∞ 30 cm x 11 x 10 1/°C

∆T = 247.33°C = ( T F – To ) = ( TF – 20)°C :. TF = 247.33 + 20°C = 267.33 °C A esta temperatura el esfuerzo unitario es igual al inicial, por lo tanto este se anula o neutraliza.

Problema Se desea perforar una placa de acero con un esfuerzo cortante ultimo de 300 Mpa Si el esfuerzo de compresión admisible de la barra de punción es 400 Mpa, determine el máximo espesor de la placa, para perforar un orificio de 100 mm de diámetro.

σ =400 MPa e

Ƭ =400

10 cm

σ= P  A

Ƭ

=

MPa

:. P = σ A = 400 x 106 x 0.00785 = 3.14 x 106 N

 A = 0.785 (0.1)² = 0.00785 m²

P = 300 x 10  A

6

6

:.  A = 3.14 x 106 = 0.01047 m²

300 x 10

 A = π x d x e =0.01047 m² = 104.7 cm² e = 104.7 = 3.33 cm 10