Resistance Des Materiaux

PDM3

Résistance des Matériaux 2006/20071

La Résistance Des Matériaux (RDM) c’est l’étude des effets produits par les efforts qui agissent sur une structure

h

F

A L/ 2

B L/ 2

d

IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007

2

plan 1) rappels et objectifs 2) sollicitations simples 3) sollicitations composées 4) flambage élastique 5) concevoir une structure 6) éléments finis 3 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007

Chapitre 1

rappels et objectifs 4 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007

1.1 . Hypothèses • Structure : poutre homogène isotrope

section

ligne moyenne r

ligne moyenne = lieu de tous les centres de gravité

G(s) S(s)

L 5

• Contrainte et déformation : définitions : contrainte σ = force / surface unité : pascal (Pa) déformation ε = variation de longueur / longueur initiale unité : sans unité (µm/m) rappels : • grandeurs physiques ponctuelles • Re limite élastique d’un matériau = contrainte maximale

supportée par le matériau sans déformation irréversible de celui-ci 6

• Matériau : H : déformations élastiques

RR Re

σ

point de striction

zone plastique zone élastique

ε

9 contraintes inférieures à la limite élastique Re 9 déformations extrêmement petites (allongements négligeables devant les dimensions de l’élément)

L’élément peut être considéré comme indéformable 7

• Intérêt de ces hypothèses lois classiques de la mécanique générale (mécanique MPh1)

conditions complémentaires de déformation résultant des propriétés des matériaux (matériaux MPh1)

permet de déterminer - les efforts intérieurs engendrés par les efforts appliqués - les contraintes et déformations qui en résultent 8

1.2 . Coté industrie Objectif industriel Connaître le niveau de chargement maximal qui existe dans la structure étudiée. En précisant : 9Où ? 9Combien ? 9Quoi ? 9Quelle amélioration possible ?

9

Comment est conçu un produit ? cahier des charges schéma fonctionnel calcul de pré-dimensionnement avant projet validation projet

10

En pratique, trois cas se présentent :

chargement connues

structure

problème à résoudre dimensionnement

inconnues

inconnues

connues

connues

connues

détermination des conditions d’utilisation vérification des conditions d’utilisation 11

1) dimensionnement •

cahier des charges :

Chargement que doit supporter la structure Idée de la géométrie globale de la structure Informations sur le type de matériau à utiliser • objectif : Définir les dimensions de la structure et choisir le matériau qui permet la tenue mécanique de la structure Préciser le niveau maximal de chargement autorisé 12

2) détermination •

des conditions d’utilisation

cahier des charges :

Géométrie exacte de la structure Matériau

•

objectif :

Définir le chargement que peut supporter la structure Préciser le niveau maximal de chargement autorisé 13

3) vérification •

des conditions d’utilisation

cahier des charges :

Chargement que doit supporter la structure Géométrie exacte de la structure Matériau

•

objectif :

Vérifier le niveau maximal de chargement autorisé 14

1.3. Réflexion sur la démarche Objectif : Définir le chargement maximal autorisé 9 Quoi ? (quel type de sollicitation ?) 9 Combien ? (quelle marge de sécurité ?) 9 Où ? (en quel point ? c’est le point critique) 9 Quelle amélioration possible ? 15

9Quel type de sollicitation ? Sollicitations élémentaires (mécanique MPh1)

Traction / compression

Cisaillement F

F

F

F

Torsion

Flexion C

x

F

16

Sollicitations composées Dans une structure réelle, soumise à des chargements réels, toutes ces sollicitations existent simultanément.

Démarche : • On repère tous les efforts extérieurs appliqués • On calcule les sollicitations élémentaires • On les combine pour évaluer le niveau global de contrainte dans la structure (cf chapitre 3) 17

9Quelle marge de sécurité ? Hypothèse : on reste dans le domaine élastique

On compare : la contrainte maximale existant dans la structure σmax à la contrainte élastique admissible par le matériau Re M.S. = σmax

< 1 ?? 18

9En quel point ? Il faut déterminer les efforts intérieurs en chaque point de la structure pour calculer les contraintes en chaque point

coupe

Principe de la coupe : transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs

19

1.4. Démarche de calcul 1) Comprendre la réalité

2) Établir le schéma de calcul •poutre = ligne moyenne •forces extérieures = connues •réactions aux appuis = inconnues

?

3) Calculer les efforts intérieurs en chaque point

?

20

• établir le schéma de calcul 1) Forces C O N N U E S

appliquées ponctuelles ou réparties

I N C O N N U E S

de contact système considéré : la poutre efforts extérieurs : forces de contact planche- appuis ⇒ dépendent des conditions aux limites (CL)

21

2) Conditions aux limites on idéalise les CL : réactions aux appuis et encastrements

schéma

réalité appui mobile

RY

1 inconnue

RY appui fixe encastrement

2 inconnues RX

RY RX M

3 inconnues 22

• calculer les efforts intérieurs 1) principe de la coupe - Si on retire une partie de la structure : - Pour conserver l’équilibre de la structure initiale, définition d’un torseur d’efforts N,T,Fz,Mt,Mfz,Mfy éléments de réduction du torseur en M y x

T M

N

Mt x

Mf 23

2) démarche de calcul a. Établir le schéma de calcul b. Calculer les réactions extérieures (issues des CL)

c. Étudier les discontinuités (où sont les changements de chargement ou de sections ? combien de coupes faut-il faire ?)

d. Calculer les éléments de réduction pour chaque coupe e. Tracer les diagrammes 24

3) calcul des éléments de réduction sur une coupe (à faire pour chaque coupe) (rappel) • On calcule N(x),T(x),Mf(x) et Mt(x) en chaque point M d’abscisse x : ΣF=0 ΣM=0 • On vérifie les résultats à l’aide de la relation T(x) = - d ( Mf (x)) / dx • On trace les graphes N, T, Mf et Mt en fonction de x, c’est-à-dire en chaque point de la poutre 25

4) intérêt de la détermination des éléments de réduction

Chaque élément de réduction N(x),T(x), Mf(x), Mt(x) est lié à une sollicitation élémentaire.

traction/compression cisaillement torsion flexion

T M Mf

N

Mt x

N effort normal T effort tangentiel Mt moment de torsion Mf moment fléchissant 26

5) exemple a. Schéma

a

A

b. Efforts extérieurs

2a

C

B F 2F/3

F/3 x

F

c. Où faire les coupes ? d. Calcul des éléments de réduction Exemple sur la première coupe •On coupe avant B •On conserve la partie gauche

A

C B 27

calcul…

28

1.5. Ordres de grandeur : caractéristiques mécaniques élastiques Metals and alloys Re MPa

90-150 120-170 100-230 12-17 60-80 275-1100 250-300 430-490 29 1000-1500 -

Glasses

Plastics All plastics are viscoelastic and consequently the elasticity varies considerably with temperature and strain rate. The table below gives approximate values at 20°C for slow rates of strain.

Re MPa

20-30 76-97 62-83 82-117 55-65 21-35 69-104 50-76 30-40 34-52 10-20 55-80

30

Chapitre 2

sollicitations simples 31 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007

A) traction et compression

32

A.1 . Définition sollicitation par un effort normal aux sections droites de la poutre

dans une section droite :

N≠0

( effort normal )

tous les autres éléments de réduction sont nuls

N

x

33

Exemples • Éprouvette de traction S0 L0

• Effet poids propre d’un câble suspendu

L

34

A.2 . Contrainte de traction σN F

F F

dS

dFx

def : F

S

N

σN

dFx = ds

dFx N = ∫∫ dFx = ∫∫ ds = ∫∫ σ N ds ds

Si σN = constante, alors

σN

=N S

35

• traction F

S

N>0

F

S

N0

• compression donc σN 0 )

σf est une contrainte normale

74

Hypothèse : ( BERNOUILLI 1705 ) Pendant la déformation, les sections droites - restent planes - restent perpendiculaires aux fibres déformées

Pour un point P quelconque :

y z P dS

σf(P)=Mfz yP Iz

avec Iz = ∫∫y dS 2

S

σf

yP

x