Reservorios II - Intrusion de Agua 3

RESERVORIOS RESERVORIOS II INTRUSIÓN DE DE AGUA AGUA Ing. M.Sc. Paola Adriana Coca Suaznabar e-mail: [email protected] [email protected] om

INTRODUCCIÓN PETRÓLEO AGUA

GAS AGUA

INTRODUCCIÓN PETRÓLEO AGUA

GAS AGUA

INTRODUCCIÓN PETRÓLEO

AGUA Volumen de agua que fluye del acuifero al reservorio

GAS

AGUA

INTRODUCCIÓN Volumen acumulado de agua proporcionado por el acuifero al reservorio, a través del contacto reservorio  – acuifero, hasta un tiempo determinado: We

Modelo más simple  – Ecuación de la compresibilidad

W e = c t W i ( pi   p) Ct = Compresibilidad total del acuifero Wi = Volumen inicial del agua en el acuifero Pi = Presión inicial P = presión en el contacto

INTRODUCCIÓN Ecuación de la compresibilidad

Acuiferos muy pequeños, admite la ecualización inmediata de presiones entre el reservorio/acuifero

Modelo matemático

Dependencia entre el tiempo. Van Everdingen & Hurst, Modelo aproximado de Fetkovivh, Hurst Modificado, Carter-Tracy.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) - Ecuaciones diferenciales (parametros de roca y fluidos) = flujo de fluidos en el reservorio. - Modelos de reservorio   Consideran condición de contorno interna caudal constante - Acuifero  Presión constante - Aplica la transformada de Laplace para resolver la ecuación de la difusividad: Radial y lineal.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949)

Ecuación de la Continuidad: Ecuación de la conservación de la masa.

Ecuación de estado: Ley de los gases o ecuación de la compresibilidad (líquido)

Ley de Darcy: Ecuación de transporte de masa

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) Geometrías de flujo •

Yacimiento

Flujo lineal Yacimiento Acuífero

Acuífero

Yacimiento está en contacto, pero parcialmente con el acuífero  Empuje hidráulico lateral

Acuífero

Empuje de fondo  Empuje hidráulico de fondo

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) Geometrías de flujo •

Flujo lineal

Pozo fracturado hidráulicamente: Yacimiento aporta a la fractura a través de un flujo lineal que corre a través de esta hacia el pozo

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN (1949) Geometrías de flujo

Flujo radial: Caso normal en un yacimiento cuando se tiene un pozo que atraviesa toda la formación y está cañoneado en todo el espesor de la misma

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL:

Variables adimensionales Radio

r0

r D =

θ

res

acuifero

r  r o

Tiempo

t D = re

kt  c t r o2

Presión

 pi   p  pD =  p  p

 pi   p =  p

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: ΔP0 = pi  – p0 ; Caida de presión constante en el contacto. El caudal que el acuifero proporciona en el punto r = r0 : q=

2 fkh

 p r  ÷ r  r 0

f  =

2

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: æ  ¶ p ö ç r D ÷ è  ¶r  ør 

q º qD (t D ) = 2 fkh  p0 1

D=

t D

t 

2 fkh  p0

ò qdt  ò =

0

dt  dt D

0

=

dt  qD (t D ) dt D dt D

c t r 02 k 

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: W e 2 fkh  p0

=

W D (t D )

2 t  0

c r  k 

2 0

W e = 2 f  c t hr   p0W D (t D ) We = Influjo de agua acumulado debido a la caida de presión en un t=0 WD(tD) = Influjo adimensional acumulado para una caida de presión cte en el contacto.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO RADIAL: W e = U   p0W D (t D ) 2 0

U  = 2 f  c t hr 

U = Constante de influjo de agua del acuifero.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Considerar tres modelos:  Transiente (infinito)  Con manutención de presión en el límite externo (Permanente)  Acuifero sellado en el límite externo (Pseudopermanente)

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: Permanente (Steady-state flow)

Tiene alimentación externa y la presión en el límite del reservorio (Pe) es constante. Influjo de agua y Inyección de agua.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO:    P      n     ó    i    s    e    r    P

Pe=cte q

Pw Alimentación externa

rw

Radio

re

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: Pseudopermanente (Pseudosteady-state flow)

Se admite que el reservorio produjo por un periodo de tiempo para salir del flujo transiente, pero no tiene re-alimentación

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN RÉGIMEN DE FLUJO: Transiente (Unsteady-state flow), la presión en

el fondo del pozo se mantiene constante hasta que la perturbación llega al límite exterior del yacimiento.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN El problema de flujo en el acuifero puede ser escrito como: 2

 pD E . D.P . : 2 r D

+

1  pD

r D r D

=

 pD t D

C . I . : pD (r D ; t D = 0) = 0

C .C . I . : pD (r D = 1; t D ) = 1

Ecuación de la difusividad hidraulica: ecuación diferencial parcial

Condición inicial: Inicalmente las presiones en cualquier punto del acuifero estaen equilibrio e igaules a Pi

Condición de contorno interna impone la condición de caida de presión cte en el contacto acu/res

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN La diferencia entre los tres regimenes de flujo condición de contorno externa (condición impuesta en el limite externo del acuifero). Infinito C .C . E . : pD (r D ® 0) = 0

Finito sellado

 pD C .C . E . : ÷ r D r 

D =r e

=

0

r 0

Finito con Pcte en limite externo C .C .I . : pD (r D = r e r 0 ; t D ) = 0

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Influjo puede ser calculado con la siguiente ecuacion: t D

W D º

t D

qD (t D ) dt D = 0

0

 pD r D dt D ÷ r D r  1 D=

Valores de WD  en función de tD en forma de tablas.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN  Tabla K.4  Acuifero radial infinito  Tabla

K.5   acuifero sellado y realimentado (presión cte en el limite externo). Para acuiferos sellados existe un valor máximo para el influjo acumulado. Este valor es alcanzado despues de la ecualización de las presiones del reservorio e del acuifero. 2 r eD 1 W Dm  x  = 2 á

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Ejemplo: Un reservorio de petróleo con geometria aproximadamente radial tiene un radio de 500 m y es circundado por un acuifero de grande extensión, que para efectos prácticos puede ser considerado como si fuera infinito. Durante 50 dias tal reservorio, cuya presión original era de 100kgf/cm2, fue mantenido a una presión cte de 90 kgf/cm2

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Datos: Porosidad del acuifero = 0,2 Permeabilidad del acuifero = 100 md Espesor del acuifero = 1 m Viscosidad del agua = 1 cp Compresibilidad total del acuifero = 10-5 (kg/cm2)-1 Calcular el influjo de agua en el reservorio al final de los 50 dias anteriormente mencionados.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Ejemplo: Un reservorio de petróleo con 800 m de radio es circundado por un acuifero con las siguientes caracteristicas: Radio externo = 5000 m Espesor de la formación = 15 m Porosidad = 0,2 Permeabilidad = 150 md Viscosidad de agua = 1 cp Compresibilidad de agua = 40 x 10 -6 (kgf/cm2)-1 Compresibilidad de la formación = 50 x 10 -6 (kgf/cm2)-1 Presión inicial = 180 kgf/cm2

Sabiendo que la presión en el contacto petróleo/agua es cte e igual a 150 kgf/cm2 desde el inicio de la producción del reservorio, calcule: a) Influjo acumulado de agua despues de 400 dias b) Influjo acumulado máximo para la presión en el contcto de 150 kgf/cm2

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN ACUIFERO LINEAL

Variables adimensionales Longitud

 x D 

Reservorio

 x  L

Tiempo

t  D 

Acuífero 0 x L

h w

kt 

 ct  L2

Presión

 p D 

 pi   p  p   p



 pi   p

p

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO LINEAL: ΔP0 = pi  – p0 ; Caida de presión constante en el contacto. El caudal que el acuifero proporciona en el punto X = 0 : q

kA   p 

      x  x  0

 A  wh

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO LINEAL:   p D        x D   x



 D 1

  L

kA p0

q  L kA p0

 q D (t  D )

t D

t 

 qdt    q

 D

0

(t  D )

0

dt  dt  D



 ct  L2

k 

dt  dt  D

dt  D

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN - ACUIFERO LINEAL: W e  wLh ct  p0W  D (t D ) U   wLh ct  W e  U  p0W  D (t D )

We = Influjo de agua acumulado debido a la caida de presión en un t=0 WD(tD) = Influjo adimensional acumulado para una caida de presión cte en el contacto.

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN El problema de flujo en el acuifero puede ser escrito como:  2 p D  p D  E . D. P . :  2  x D t  D C . I . :  p D ( x D ; t  D



0)  0

C .C . I . :  p D ( x D  0; t D )  1

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN La diferencia entre los tres regimenes de flujo condición de contorno externa (condición impuesta en el limite externo del acuifero). Infinito C .C . E . :  p D ( x D

; t  D )  0



Finito sellado C .C . E . :  p D ( x D  1; t D )  0

Finito con Pcte en limite externo   p D    C .C . E . :  0   x  

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Influjo acumulado adimensional puede ser calculado con la siguiente ecuacion:   p D    W  D   q D (t  D ) dt  D      x D   x 0 0   t D

t D

 D  0

dt  D

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN  Tabla K.6  Acuifero

lineal (WD) El comportamiento del influjo acumulado adimensional en función del tipo de C.C.E:    D

   W  ,     l    a    n    o    i    s    n    e    m    i     d    a    o    j    u     l     f    n    I

Sellado

TEORIA DE HURST & VAN EVERDINGEN Ejemplo: Son conocidos los siguientes datos de un acuífero que produce con geometría de flujo lineal e con Pcte en el contacto petróleo/agua: Ancho del acuífero = 600 m Longitud del acuífero = 3200 m Espesor del acuífero = 11,5 m Porosidad = 0,25 Permeabilidad = 300 md Viscosidad del agua = 1 cp Compresibilidad total del acuífero = 78 x 10 -6 (kgf/cm2)-1 Caída de presión en el contacto = 5 kgf/cm 2

Considerando los tres casos, calcule el influjo acumulado al final de un periodo de 100 días.

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Acuíferos finitos y admite que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre régimen pseudopermanente. - Admite régimen pseudopermanente para el flujo del acuífero hacia el reservorio q

dW e dt 

  J  p a   p 

J  indice de productividad del acuifero. Pa  Presión media del acuifero P  presión en el contacto reservorio-acuifero

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - A partir de un balance de materiales: W e  ct W i ( pi  p a ) ct   cw  c f  

    W e   W e      p a   pi 1   p a   pi 1    ct W i pi     W ei   - Sea Wei el influjo máximo que un acuífero sellado puede proporcionar, correspondiente a la expansión del agua del acuifero al ser despresurizado de pi para la presión cero W ei  ct W i pi

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971)   W e     p a   pi 1    W ei  

- Derivada en relación al tiempo d pa dt  q

dW e dt 

  J  p a   p 

=

 pi  dW e W ei  dt  d pa dt 

=

 pi  J ( pa  p) W ei 

Jpi  d pa dt  = W   p  p

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Integrar de t=0 (cuandoWe = 0 y pa = pi) Jpi  W ei 

t 

0

 pa

d pa dt  =  pi   pa  p

Jpi  pa  p t  = ln W ei   pi   p  pa  p = ( pi   p) exp

Jpi  t  W ei 

q

dW e dt 

  J  p a   p 

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) q = J ( pi   p) exp

Jpi  t  W ei 

- Ecuación del caudal con la que el agua fluye del acuifero al reservorio en función del tiempo y la cida de presion en el contacto, (pi  – p). - Ecuación general e independiente la geometria del acuifero

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) t 

t 

qdt  = J ( pi   p) exp

We 0

0

W ei  We = ( pi   p) 1 exp  pi 

Jpi  t ÷dt  W ei  Jpi  t ÷ W ei 

- Ecuación proporciona el influjo del acuifero en función del timepo para una caida de presión constante (pi  – p), en el contacto.

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 1: Con el pasar del tiempo el caudal proporcionado por el acuifero: Jpi  q = J ( pi   p) exp t  W ei 

Disminuye exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por: W ei  We = ( pi   p) 1 exp  pi 

Tiende a un valor máximo.

Jpi  t ÷ W ei 

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 1: Con el pasar del tiempo el caudal proporcionado por el acuifero: Jpi  q = J ( pi   p) exp t  W ei 

Disminuye exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por: W ei  We = ( pi   p) 1 exp  pi 

Tiende a un valor máximo.

Jpi  t ÷ W ei 

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: En la práctica la caida de presión en el contacto no es constante y: We =

W ei  ( pi   p) 1 exp  pi 

Jpi  t ÷ W ei 

No es directamente aplicable. En caso de tener mas de un pozo se tiene el caso del método de superposición.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS - Aplica a las ecuaciones diferenciales lineares. - Cualquier combinación linear de soluciones de este tipo de ecuación también es una solución de la ecuación. - Ecuación de la difusividad hidráulica es una ecuación diferencial parcial. - Aplicada al tiempo y espacio.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: Fetkovich mostró una forma de utilizar la ecuación previa cuando la presión varia en el contacto, sin realizar la superposición. El influjo durante el primer intervalo (Δt1) puede ser expresado por: æ  Jpi   ö W ei  W e1 =  pi   p1 ) ê1 exp ç t 1 ÷ú (  pi  è  W ei   øû ë

Donde p1 es la medida de las presiones en el contacto en el intervalo de tiempo Δt1

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: Para el segundo intervalo de tiempo (Δt2): æ  Jpi   ö W ei  W e2 =  pa1  p2 ) ê1 exp ç t 2 ÷ú (  pi  è  W ei   øû ë

Donde pa1 es la presión media del acuifero al final del primer intervalo de tiempo y es calculada a partir de la ecuación de balance de material en el acuifero. æ   pa1 = pi ç1 è 

W e1 ö ÷ W ei   ø

Y p2  es la media de la presion en el contacto en el intervalo de tiempo Δt2

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 2: Para un intervalo de tiempo Δtn æ  Jpi   ö W ei  W en =  pan 1  pn ) ê1 exp ç t n ÷ú (  pi  è  W ei   øû ë  pan 1

=

pi  çç1

è 

1

n 1

å W  ei   j =1

æ  W e  ö W ej  ÷÷ = pi  ç1 ÷ è  W ei   ø  ø n 1

 pn 1 + pn  pn = 2

Fetkovich mostró para diferentes geometrias que su metodo produce resultados semejantes al modelo de Van Everdingen & Hurst para acuiferos finitos.

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 3: Al utilizar el indice indice de productividad del acuifero, acuifero, J, para flujo permanente, se admite que el acuifero sea realimentado de modo que la presión en su limite externo se mantiene constante constante e igual a pi. La condición de flujo permanente implica que no hay limite para el influjo maximo, esto es, Wei  infinito. q

dW e = J ( pi   p) dt 

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 3: Cuya integral integral es el e l influjo acumulado: t 

( pi   p) dt 

W e = J 0

Es un caso particular del modelo de Fetkovich. Fetkovich.

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 4: Indice de productividad del acuifero, J. Condición de fluxo

Acuifero radial J  =

Pseudopermanente

Permanente

J  =

Acuifero Lineal

2 fkh

r e 3 ln ÷ r D 4

J =

3khw 

2 fkh

r e ln ÷ r D

J  =

L

khw  L

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) - Observación 4: Para otras geometrias, el indice de productividad para el regimen pseudopermanente puede ser definido como: 2 fkh

J  = 2

ln

4 A ÷ C  Ar 02

Donde CA es el factor de forma (Tabla K.3), A es el área del acuifero, γ es la exponencial de la cte de Euler (γ = 1,78108) y r0 es el radio del reservorio. En la tabla K.3 el tiempo adimensional tDA es definido como:

t DA =

kt  c t  A

MODELO APROXIMADO DE FETKOVICH (1971) Resuelva el ejemplo anterior utilizando el modelo de Fetkovich:

MODELO DE HURST MODIFICADO  – DESCRITO POR PIRSON (1958) El caudal de agua proporcionado por el acuífero:  pi   p  dW e  C  log ct 

dt 

Donde C y c  cte. El influjo acumulado:

 pi   p  W e  C  dt  log ct  0 t 

Constante C y c son estimadas: ajuste historico

MODELO DE CARTER-TRACY (1960)  Aplicable

a cualquier geometría de flujo, desde que se conozca la solución para la presión adimensional en función del tiempo.

 No

requiere de la aplicación del principio de superposición.

MODELO DE CARTER-TRACY (1960)  Influjo acumulado: t  Dj

W e t  Dj   U   p  

 0

dW  D t D    d  

d  

Donde tD  es tiempo adimensional definido para cada geometría de acuífero, U constante de influjo de agua, p(tD)=pi  – p(t D) caída de presión en el contacto, WD(tD) influjo de agua acumulado adimensional,  variable de integración y j discretización del tiempo. Apendice L para U y t D

MODELO DE CARTER-TRACY (1960)  Valor de

influjo acumulado We

W e t  Dj



W e t  Dj

1 



a j

1



t  Dj

t 

  Dj 1

 a j-1   cte.

Intervalo entre tDj-1 y tDj el influjo varia linealmente con el tiempo t  Dj



U   p   0

dW  D (t  D   ) d  

d    W e t  Dj 1   a j 1 t  Dj  t Dj 1 

 Aplicando la transformada de Laplace

Uu  p u W  D u  

W e t  Dj 1  a j 1t  Dj 1 u



a j 1 u2

MODELO DE CARTER-TRACY (1960) 

También se tiene

1  u p D (u )W D (u ) 2 u

Donde pD(tD) solución para la presión adimensional en la fase interna de un acuífero produciendo a caudal constante y WD(tD) es un influjo adimensional para el caso de presión constante en el contacto. 1  p u   W e t  Dj 1   a j 1t  Dj 1 u p D (u )  a j 1 p D (u ) U  1  p t  Dj   W e t  Dj 1   a j 1t  Dj 1  p´ D t  Dj   a j 1 p D t  Dj  U  p´D(tDj) derivada de la presión adimensional en relación al tiempo adimensional 





MODELO DE CARTER-TRACY (1960) a j 1 

W e t  Dj

U  p (t  Dj )  W e t  Dj 1  p´ D t  Dj  p D t  Dj   t  Dj 1 p´ D t  Dj  

W e t  Dj   W e t  Dj 1  

W e t  Dj

1 



a j

t 

t 

1  Dj   Dj 1



U  p t  Dj  W e t  Dj 1  p´ D t  Dj  p D t  Dj   t  Dj 1 p´ D t  Dj 

t 

 Dj

 t Dj 1 

Ecuación para el cálculo de influjo acumulado

MODELO DE CARTER-TRACY (1960)  La

función pD(tD) representa la presión adimensional en la cara interna del acuífero produciendo a q cte.  En acuífero lineal infinito (transiente) la presión adimensional  p D t  D   2  Acuífero

t  D  

radial infinito  p D t  D  

1 2

ln t  D   0,80907

MODELO DE CARTER-TRACY (1960)  Resolver

el ejercicio anterior usando el modelo de Carte-Tracy

MODELO DE LEUNG (1986)  Aplicables a

acuíferos finitos  Flujo del acuífero hacia el reservorio es régimen pseudopermanente  Ventaja en relación al modelo de Van Everdingen & Hurst (método computacionales)  Modelo Pseudopermanente (PSS model)  Modelo Pseudopermanente Modificado (MPSS model)