Resavanje Slozenih Kola Metodom Konturnih Struja

SEMINARSKI RAD PREDMET : ELEKTROTEHNIKA TEMA : REŠAVANJE SLOŽENIH KOLA METODOM KONTURNIH STRUJA

PROFESOR:

STUDENT:

SADRŽAJ UVOD............................................................................................................................................................3 METOD KONTURNIH STRUJA..............................................................................................................3 ODREĐIVANJE SKUPA NEZAVISNIH KONTURA............................................................................4 METOD KONTURNIH STRUJA U KOMPLEKSNOM OBLIKU.......................................................4 PRIMER 1.................................................................................................................................................7 REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA.......................9 PRIMERI METODA KONTURNIH STUJA...........................................................................................9

2

UVOD Električna kola ( električne mreže ) to su veze izvora ems i otpornika, i to su veze koje se najčešće sreću u praksi. Pojam rešavanja električne mreže podrazumeva izračunavanje jačine struje u svakoj grani mreže. Mreža sa ng grana ima i ng struja nepoznate jačine. Da bi se izračunalo ng nepoznatih jačina struje, treba formirati i rešiti sistem od ng linearne nezavisne jednačine. Postoji više načina za rešavanje linearnih električnih mreža. A dva najvažnija su: metod direktne primene Kirhofovih zakona i metod konturnih struja, a u ovom radu će biti iznet drugi. Pod električnim kolima se podrazumeva da svaki sistem treba da se sastoji iz proizvoljno povezanih generatora čije ems ne zavise od smera, jačine struje i otpornika za koje važi Omov zakon. U jednoj elektricnoj mreži broj čvorova se označava sa nč , broj grana sa ng . U mreži su uglavnom poznati svi ems generatori i otpornosti svih otpornika,a a nepoznate su jačine struja u granama. Čvorovi to su mesta u kolu gde se spajaju najmanje tri provodnika, a redna veza elemenata, koja povezuje dva čvora i kroz koje teče ista struja naziva se grana. Zatvorena putanja duž grana kola je kontura. Svaka električna mreža sadrži određen broj zatvorenih kontura. Svaka električna mreža sadrži određen broj zatvorenih kontura koje se mogu pisati drugim Kirhofovim zakonom, odnosno metod konturnih struja omogućava da se na šematizovan način prikaže nk jednačina po drugom Kirhofovom zakonu u kojima se figurišu kao nepoznate samo tih nezavisnih nk jačina struje. Kada rešavamo električnu mrežu za drugi Kirhofov zakom piše se za skup nezavisnih kontura. Skup nezavisnih kontura čine sve one konture koje sadrže jednu granu mreže koja ne pripada ni jednoj ni drugoj konturi iz ovog skupa. Postoji više načina izbora skupa nezavisnih kontura.

METOD KONTURNIH STRUJA Kada električna mreža ima veliki broj grana, onda je broj jednačina pisan neposrednom primenom Kirhofovih zakona, koji je isto veliki. Rešavanje sistema velikog broja jednačina je naporno i zahteva dosta vremena. Koristeći činjenicu da se struje grana koje pripadaju stablu grafa mogu izraziti pomoću struja spojnica, može se napisati sistem jednačina čiji je broj jednak broju nezavisnih kontura i pomoću tih jednačina se odrede jačine struja u spojnicama. Jačina struja u granama stabla se izračunavaju primenom prvog Kirhofovog zakona za poznate jačine struja spojnica. To je suština metoda konturnih struja. Broj jednačina po ovom metodu je jednak broju nezavisnih kontura: ng – ( nč – 1 ). Direktna primena Kirhofovih zakona nas upućuje na relativno veliki broj jednačina pa je zato često i nepraktična. Metodom konturnih struja njihov broj se reducira na ng – ( nč – 1 ), dakle na onoliko jednačina koliko bi trebalo postaviti za drugi Kirhofov zakon. U svojoj osnovi jednačine konturnih struja nisu ništa drugo nego jednačine dgugog Kirhofovog zakona za pojedine konture, u kojima je zbog dobre definicije tih struja ujedno sadržan i prvi Kirhofov zakon. Cilj ove metode je u sledećem: 1. Odaberemo ng – ( nč – 1 ) nezavisnih kontura

3

2. U svakoj konturi ucrtamo po jednu konturnu struju proizvoljnog smera, koja teče duž čitave konture.U delovima koli pripadaju samo toj konturi konturna struja jednaka je stvarnoj struji. U granama koje su zajedničke za dve konture stvarna struja jednaka je zbiru, odnosno razlici, konturnih, zavisno od njihovog smera. 3. Postavljamo jednačine drugog Kirhofovog zakona za odabrane konture, uzimajući smer konturne struje kao pozitivan smer obilaženja. 4. Rešavanjem postavljenog sistema jednačina nalazimo konturne struje.Struje pojedinih grana, dakle stvarne struje, koje dobijamo na osnovu onog što je rečeno pod 2.

ODREĐIVANJE SKUPA NEZAVISNIH KONTURA Radi određivanja skupa nezavisnih kontura prvo mora da se nacrta graf mreže. Stablo grafa je skup grana mreže koje povezuju sve čvorove mreže a da pri tom ne formiraju zatvorenu konturu.Takodje jedan graf može sa se sastoji iz više stabala. Ako mreža ima nč čvorova, a graf onada bi trebao imati nč – 1 grafa. Spojnice to su grane koje ne pripadaju stablu. Ako mreža ima ng grana i nč čvorova, onda spojnica ima ns = ng – ( nč – 1 ). Izboru nezavisnih kontura se pristupa tek kada se nacrta graf zadate mreže i izabere jedno stablo. Konture će biti nezavisne samo ako se izabere da konturu čini jedn aod spojnica sa odgovarajućim granama stabla. Ako ima ng – ( nč – 1 ) spojnica, onda će i biti i ng – ( nč – 1 ) nezavisnih kontura.Svaka spojnica pripada samo jednoj izabranoj konturi.

METOD KONTURNIH STRUJA U KOMPLEKSNOM OBLIKU Sve metode koje služe za rešavanje električnih kola sa vremenski konstantnim stujama i sve te teoreme su zasnovane na dva Kirhova zakona. Ta dva zakona u komplesnom obliku su isti i za mreže koje imaju prostoperiodične struje, takođe sve teoreme i metode koje važe za mreže sa vremenski konstantnim strujama važe i za mreže sa prostoperiodičnim strujama. A razlika je jedino u tome što se ovde radi sa kompleksnim naponima i strujama a ne sa intenzitetima tih veličina, i dolazi se na mesto otpornosti. Ovde ćemo napisati jednačinu za rešavanje električnih kola sa prostoperiodičnim strujama po metodi konturnih struja. Videli smo u već napisanom da je moguće da šematski prikaz se može direktno napisati ng – ( nč – 1 ) jednačina po II Kirhofovom zakonu, u kojem je uzeto u obzir ( nč – 1 ) jednačina po I Kirhofovom zakonu. Jednačine konturnih struja u kompleksnom obliku su: Prisutnost naponskih izvora u električnim mrežama održava struje u granama kola kao i odgovarajuće napone na krajevima elemenata u granama kola. Rešavanje kola se upravo sastoji u određivanju struja pojedinih grana mreže kao i napona na elementima smeštenim u granama mreže. Da bi se složena mreža mogla rešiti potrebno je orijentisati njegove konture koje odabiramo i da one budu linearno nezavisne. Orijentaciju kontura biramo proizvoljno na 4

početku izračunavanja i nju zadržavamo do kraja računanja ukoliko tokom izrade zadataka se ne ukaže potreba za izmenom smera konturne struje neke konture. Posmatraćemo jedno složeno kolo koje se vidi na slici čije smo konture proizvoljno orijentisali kako je na datoj slici naznačeno.

Iz ove slike vidimo da je struja koja protiče kroz otpornost RA struja koju smo obeležili sa I1 , dok će struja kroz otpornost RB biti I1- I2 . Struja bilo koje grane date mreže se može odrediti na sličan način. Napon na krajevima bilo kog elementa kola je tada proizvod struje koja protiče kroz odgovarajuću granu i otpornosti te grane. Da bismo napisali tri jednačine po II Kirhofovom zakonu, taj zakon ćemo promenuti za svaku od orijentisanih kontura. Kontura sa strujom I1 je prikazana na slici : Drugi Kirhofov zakon za tu konturu daje sledeću jednačinu:

I1RA + (I1 – I2)RB = EA Druga kontura ne sadrži izvor napona pa će njen oblik jednačine biti:

(I1 – I2)RB + I2Rc + (I2 – I3) RD = 0 I treća kontura daje jednačinu:

(I3 – I2)RD + I3RE = EB Ovo kolo ima tri nezavisne konture orijentisane kružnim strelicama kao smerovima konturnih struja, pa zato možemo napisati opšti oblik tri linearne nehomogene jednačine čiji je oblik:

R11I1 + R12I2 + R13I3 = E1 R21I1 + R22I2 + R23I3 = E2 R31I1 + R32I2 + R33I3 = E3 U ovom modelu su R11, R22, R33 sopstvene otpornosti prve, druge i treće konture respektivno. One su definisane kao zbirovi otpornosti pojedinih kontura i to: 1. sopstvena otpornost prve konture

R11 = RA + RB 2. sopstvena otpornost druge konture

R22 = RB + RC + RD 3. sopstvena otpornost treće konture

R33 = RD + RE One su u opštem matematičkom modelu uvek pozitivne.

5

Preostale otpornosti na levim stanama matematičkog modela su uzajamne otpornosti preko kojih se graniče dve susedne konture. Tako se oznake R 12 i R21 odnose na istu otpornost grane kola preko koje se dve susedne konture graniče u ovom slučaju konture sa strujama I1 i I2 i važi R12 = R21. Ako se dve orijentisane konture međusobno ne graniče njihova je uzajamna otpornost nula, na primer R13 = R31 = 0 što je evidentno iz kola. Članovi u kojima figurišu uzajamne otpornosti u jednačinama mogu biti pozitivni ili negativni. Struje suprotnog smera su uvek pozitivne. Na desnim stranama jednačina su algebarski zbirovi napona naponskih izvora obuhvaćenih posmatranim konturama, vodeći računa o usmerenosti naponskih izvora i smerovima konturnih struja. Proizvoljno je odabiranje linearno nezavisnih kontura i njihovo orijentisanje. Jednom orijentisana kontura na početku rada zadatka mora se održati do kraja računa ukoliko se to tokom računa ne izmeni iz određenih razloga. Odabiranje nezavisnih kontura se može lako izvesti koristeći se osnovnim topološkim metodama. Posmatrajmo kolo na slici Ako izostavimo elemente iz grana kola dobićemo graf kola prikazan na slici

Slika 1

Slika 2

Skup grana grafa (a, b, c, d, e, f, g) možemo podeliti na dva podskupa čiji je presek prazan skup. Jedan podskup je stablo grafa a drugi podskup su spone grafa. Grane stabla moraju biti međusobno povezane ne formirajući ni jednu zatvorenu konturu. Stablo će dakle činiti maksimalan broj grana kola koje će ispunjavati navedeni uslov. Preostale grane grafa su spone. U našem posmatranom primeru grane stabla grafa su izvučene punim linijama, a grane spona isprekidanim linijama što je prikazano na slici 2. Nezavisne konture se lako definišu. Svaka spona sa određenim granama stabla formira nezavisnu konturu. Tako spona (a) formira konturu (a,b). Spona (c) formira konturu (a, b, d). Spona (f) formira konturu (d, e, f) i spona (g) formira konturu (d, e, g). Evidentno je da smo dobili četiri konture od kojih je svaka nezavisna jer sadrži bar po jednu sponu koja samo njoj pripada. Međutim mogli smo za stablo kola odabrati i neke druge grane kola, recimo (c, d, e). Tada bi spone bile (a, b, f, g) pa bi smo opet dobili četiri nezavisne konture. Matematički model se napiše na bazi kada se jednom odaberu nezavisne konture, iste se proizvoljno orijentišu. Sistem linearnih nehomogenih jednačina se može napisati u obliku matrične forme na sledeći način:

R11

+ -

+ -

+ -

R22

+ -

+ -

+ -

R33

R21 R31

R12

R32

R13 R23

*

I1

∑E1

I2

= ∑E2

I3

∑ E3

6

R*I=E Odnosno što predstavlja matričnu forumu Omovog zakona za dato kolo. Nepoznate su nam u ovom problemu konturne struje njih ćemo odrediti iz jednačine:

I = R-1 * E Gde je R-1 inverzna matrica matrice R. Ako su konture odabrane kao nezavisne onda je matrica R nesingularna, što znači da ima svoju inverznu a to opet dalje određuje jednoznačno rešenje za konturne struje.

PRIMER 1 Napred navedeno ćemo ilustrovati na sledećem primeru. Odrediti struje u granama dole prikazanog kola ako su sve otpornosti međusobno jednake i iznose 1Ω a izvor E = 10 V.

Slika 1.1

Slika 1

Slika 2

Grane grafa ćemo podeliti na stablo i spone. Neka skup grana (b, c, e) predstavlja stablo grafa onda će skup grana (a, d, f) predstavljati spone kola, što je predstavljeno na slici 2. Zatvaranjem svake od spona dobijamo po jednu nezavisnu konturu koju ćemo orijentisati kako je to prikazano na slici 1.1. Za tako uvedene orijentacije konturnih struja možemo napisati sistem jednačina konturnih struja.

3I1 – I2 – I3 = 0,

-I1 + 3I2 – I3 = 0,

7

-I1 - I2 – 3I3 = 0,

ili u matričnoj formi 3 -1 -1 I1 -1 3 -1 * I2 -1 -1 3 I3

0 = 0 10

Ali sada matricu R unesemo u računar (program Matlab, Mathcad, Mathematica) i zatražimo njenu inverznu matricu komandom R1 = R-1 = inv (R) dobićemo

0,50 0,25 0,25 R1 = R-1 = inv (R) = 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50

Množenjem

R-1 * V

dobijamo rešenje

2,5 I = 2,5 5,0

što znači da su nam konturne struje

I1 = 2,5 [A],

I2 = 2,5 [A],

I3 = 5 [A],

I iz ovih konturnih struja se mogu izračunati stvarne struje pojedinih grana.

IAB = 2,5 [A],

IBC = 2,5 [A],

IAD = I3 – I1 = 2,5 [A], IDC = I3 – I2 = 2,5 [A], IBD = I1 – I2= 0 [A],

ICA = I3 = 5 [A],

Jednačine konturnih struja u kompleksnom obliku:

8

Z11I 1 + Z12I 2 + ...+ Z1nI n = E11 ....................................... Zn1I 1 + Zn2I 2 + ...+ ZnnI n = Enn Smisao oznaka Zjk, Ij i Ejj je sličan onome u slučaju vremenski konstantnih struja: Ij = jačina struje u konturi j, j = 1, 2, ..., n

Zjj = zbir impedansi svih elemenata duž konture j, j = 1, 2, ..., n Metoda konturnih struja se može primeniti i za rešavanje mreža koje pored naponskih sadrže i strujne generatore. U tome slučaju potrebno je bilo strujne generatore transformisati u ekvivalentne naponske generatore (ako se ne radi o idealnim strujnim generatorima, u kom slučaju takve ekvivalencije nema).

REŠAVANJE ELEKTRIČNIH MREŽA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA U granama koje sadrže idealne strujne generatore (vezane u grani na red) jačinu struje znamo. Po metodi konturnih struja, jačine struja u svim granama predstavljamo kao zbir (ili razliku) konturnih struja (zamišljenih struja koje se zatvaraju same u sebe duž grana mreže), čime automatski zadovoljavamo prvi Kirhofov zakon u svim čvorovima mreže. Da bi to ostalo u važnosti i kada mreža sadrži i grane sa strujnim generatorima, moramo zamisliti sa se i struje svih strujnih generatora zatvaraju same u sebe duž grana mreže. Razume se, konturna struja nekog strujnog generatora ne sme da prolazi ni kroz jedan drugi strujni generator. Mada za te konture ne pišemo jednačine po metodi konturnih struja (jačine tih konturnih struja znamo), podesno je i te konture obeležiti brojevima, jer se njihove struje javljaju u ostalim jednačinama.

PRIMERI METODA KONTURNIH STUJA Ako posmatramo graf električne mreže koji je dat na slici 1, odabraćemo stablo koje je na slici izvučeno debljim linijama. Mreža ima tri čvora (označeno A, B, i C) i pet grana. Stoga za mrežu možemo postaviti nk = 3 jedančine po drugom Kirhofovom zakonu. Odaberimo tri konture kao na slici, označene sa I, II i III. Po pravilu koga se družimo, svaka kontura ima jednu granu (jednu spojnicu) koja ne pripada ni jednoj drugoj konturi. Osim te grane, svaka kontura sadrži i grane stabla, koje su zajedničke za dve (ili više) kontura. Jačinu struje u granama obeležavaćemo sa Ig i brojem te grane, na primer I g1, Ig6, itd. Posmatrajmo struju Ig1 u grani 1. Pretpostavimo da smo na neki način označili pokretna opterećenja koja se u jednom trenutku nalaze u toj grani mreže. Posle izvesnog vremena, ta obeležena opterećenja bi se razišla po svim granama mreže. Međutim, možemo da zamislimo i da se sva ta opterećenja kreću samo duž grana koje pripadaju konturi koju smo označili sa I. 9

10