Resavanje Jednacina i Nejednacina Sa Apsolutnim Vrednostima

Primer resavanja resavanja jednacina sa apsolutnim vrednsotima: | x – 3 | = | 3x + 2 | – 1 Postupak se svodi na to da resavamo odgovarajuce ekvivalentne jednacine na koje se data jednacina svodi. Najjednostavnije je moda kad ima vise apsolutni! vrednosti postupiti tako da citavu x osu podelimo na intervale koristeci tacke na x osi u kojima irai pod apsolutnom vrednoscu imaju vrednost "# tj menjaju nak. $nda u svakom od ti! intervala resavamo odgovarajucu jednacinu nastalu od pocetne dreci se de%nicije apsolutne vrednosti. &akle gornji primer 'i se mogao resiti ovako: (

)

)2*3

3

x)3

))))))))))))))))))))) )

))))))))))))))

3x+2

))))))))))))))))))))) "

+++++++ ++

Podelicemo dakle celu x osu na intervale :

+

" +++++++++ ++ + +++++++++ ++

#

+++++ + +++++ +

i

 slucaj nterval u kom traimo resenje je

Polana jednacina se dakle u inetrvalu

svodi na jednacinu ),x)3-=)

,3x+2-)1 ,o'a iraa u apsolutnim vrednsotima su negativna pa umesto apsolutne vrednosti ti! iraa moemo ueti njima suprotne irae ,o'a iraa uimamo sa nakom minus-. esenje koje do'ijemo tre'a da 'ude u posmatranom intervalu  . /ko nije onda u tom interval nema resenja. $vde je )x+3=)3x)2)1 tj. 2x=)0 tj x=)3 . ako to resenje pripada intervalu u kom smo traili resenje# to je ovo prvo resenje polane jednacine. .nterval u kom traimo resenje je

Polana jednacina se dakle u inetrvalu

svodi na jednacinu

),x)3-=,3x+2-)1 ,prvi ira je negativan a drugi poitivan pa umesto apsolutne vrednosti ti! iraa uimamo a prvi ira njemu suprotan a a drugi sam taj ira. esenje koje do'ijemo tre'a da 'ude u posmatranom interval xe, )2*3#3-. /ko nije onda u tom interval nema resenja. $vde je )x+3=3x+2)1 tj. x=2 tj x=1*2 . ako to resenje pripada intervalu u kom smo traili resenje# to je drugo resenje. .nterval u kom traimo resenje je Polana jednacina se dakle u inetrvalu

svodi na jednacinu

,x)3-=,3x+2-)1 ,o'a su iraa poitivna pa umesto apsolutne vrednosti ti! iraa uimamo nji! same. esenje koje do'ijemo tre'a da 'ude u posmatranom interval . /ko nije onda u tom interval nema resenja. $vde je x+3=3x+2)1 tj. 2x=2 tj x=1 . ako to resenje ne pripada intervalu u kom smo traili resenje# to nije resenje.  ime smo analiirali celu x osu i nasli sva resenja.

 4a nejednacine je postupak isti samo se ne resavaju  jednacine nego nejednacine. &akle recimo da je nak 5:  slucaj nterval u kom traimo resenje je

Polana nejednacina se dakle u inetrvalu

svodi na nejednacinu ),x)3-5)

,3x+2-)1 ,o'a iraa u apsolutnim vrednsotima su negativna pa umesto apsolutne vrednosti ti! iraa moemo ueti njima suprotne irae ,o'a iraa uimamo sa nakom minus-. esenje koje do'ijemo tre'a da 'ude u posmatranom interval ./ko nije onda u tom interval nema resenja. $vde je )x+35)3x)2)1 tj. 2x5)0 tj x5)3 . ako to resenje mora da pripada intervalu u kom smo traili resenje# to traimo presek skupa do'ijeni! resenja i intervala koji smo ramatrali. ,raimo sva do'ijena resenja koja pripadaju intervalu koji smo ramatrali. ako su svi x5)3 u posmatranom intervalu to su resenja

 .nterval u kom traimo resenje je

Polana nejednacina se dakle u inetrvalu

svodi na nejednacinu

),x)3-5,3x+2-)1 ,prvi ira je negativan a drugi poitivan pa umesto apsolutne vrednosti ti! iraa uimamo a prvi ira njemu suprotan a a drugi sam taj ira. esenje koje do'ijemo tre'a da 'ude u posmatranom interval

. /ko nije

onda u tom interval nema resenja. $vde je )x+353x+2)1 tj. x62

tj x61*2 . &akle resenja su svi x)ovi koji su 61*2 i pripadaju

posmatranom interval. 4naci

# to je drugi skup resenje.

.nterval u kom traimo resenje je Polana nejednacina se dakle u inetrvalu

svodi na nejednacinu

,x)3-5,3x+2-)1 ,o'a su iraa poitivna pa umesto apsolutne vrednosti ti! iraa uimamo nji! same. esenje koje do'ijemo tre'a da 'ude u posmatranom interval . /ko nije onda u tom interval nema resenja. $vde je x+353x+2)1 tj. 2x62 cine treci skup resenja

tj x61 . &akle resenja koja pripadaju posmatranom interval .

7kup svi! resenja je dakle