Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Plannar dan Graf Dual

Representasi Graf, Graf Isomorfik, Graf Planar dan Graf Bidang Oleh Kelompok II

MATERI Representasi Graf Graf Isomorfik Graf Planar dan Graf Bidang Graf Dual

Representasi Graf Terdapat beberapa macam representasi graf. Namun di sini hanya diberikan tiga macam representasi yang sering digunakan, yaitu matriks ketetanggaan, matriks bersisian dan senarai ketetanggaan.

1. Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matrix) Matriks ketetanggan menyatakan ketetanggaan simpul-simpul di dalam graf. G adalah matriks dwimatra yang berukuran n  n. Misalkan G 

V , E

adalah graf dengan n simpul, n  1. Bila matriks tersebut

dinamakan A = [a ij ], maka a ij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya a ij = 0 jika simpul i dan j tidak bertetangga.

Matriks ketetanggaan dinamakan juga matriks nol-satu karena pada matriks tersebut hanya berisi dari nol dan satu. Selain angka 0 dan 1 elemen matriks juga dapat dinyatakan dengan nilai false (menyatakan 0) dan true (menyatakan 1). 1

1

1

5 2

3 3

4

2

4

4

1 2 3 4

1  0  1   1   0

2 3 4 1 1 0 0 1 1  1 0 1  1 1 0

Matriks ketetanggaannya simetri

3

2

1 2 3 4 5

1  0  1   1   0  0

2 1 0 1 0 0

3 1 1 0 1 0

4 0 0 1 0 0

5 0 0  0  0 0

Matriks ketetanggaannya simetri

1 2 3 1  0 1 0 2  1 0 1  3 1 0 0  4  0 1 1

4 0 1  0  0

Matriks ketetanggaannya tidak

1 e

e

4

e

1

e

2 e

Matriks ketetanggaannya simetri

3

e

2

e

5

8

3

6

e

7

1 2 1  0 1 2  1 0  3  2 1  4  0 1

3 4 2 0 1 1  1 2  2 0

4

Jumlah elemen matriks ketetanggan untuk graf dengan n simpul adalah n 2 .

Keuntungan representasi dengan matriks ketetanggaan adalah elemen matriksnya dapat diakses langsung melalui indeks. Selain itu, kita juga dapat menentukan dengan langsung apakah simpul i dan simpul j bertetangga.

Derajat tiap simpul i dapat dihitung dari matriks ketetanggan. n

Untuk graf tak-berarah,

d ( vi )   aij j 1

n

Sedangkan untuk graf berarah,

d ( v j )  jumlah nilai pada kolom j =  aij i 1

d ( vi )  jumlah nilai pada baris i

n

=  aij j 1

Contoh 1

Berdasarkan gambar disamping, tentukan derajat simpul 2 dan derajat simpul 4 !

2

Jawab :

3

Derajat simpul 2 = 1  0  1  1  3 Derajat simpul 4 = 0  1  1  0  2

4 1

Berdasarkan gambar disamping, tentukan derajat simpul 4 dan derajat simpul 5 !

5

3 2

4

Jawab : Derajat simpul 4 = 0  0  1  0  0  1 Derajat simpul 5 = 0  0  0  0  0  0

Contoh 1

Berdasarkan gambar disamping, tentukan derajat simpul 2 ! Jawab :

3

2

Derajat-masuk simpul 2 = 1  0  0  1  2 Derajat-keluar simpul 2 = 1  0  1  1  3

4

Di bawah ini merupakan gambar graf berbobot.

a 10 e 15 d

12 8

b 11

14

9 c



a b c d  e 









a  12   10

b 12  9 11 8

c  9  14 

d  11 14  15

e 10 8    15 

Tanda  menyatakan bahwa tidak ada sisi dari simpul i ke simpul j atau dari simpul i ke simpul i itu sendiri, sehingga aij dapat diberi nilai tak hingga.

2. Matriks Bersisian (Incidency Matrix)

Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Matriks bersisian G adalah matriks dwimatra yang berukuran n  m.

Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukkan label sisi. Bila matriks tersebut dinamakan A   aij , maka aij = 1 jika simpul i bersesuaian dengan sisi j, sebaliknya aij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j. Matriks bersisian dapat digunakan untuk mempresentasikan graf yang mengandung sisi ganda atau sisi gelang.

Di bawah ini diperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang direpresentasikannya. Maka jumlah elemen matriks bersisian tersebut adalah 4  6  24 elemen.

1 e

e

1

e

2

2 e

3

4

4

3

e

5

e

6

e1 e2 e3 e4 e5 e6 1 2 3 4

1  1   0   0

1 1 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

0 0 1 1

0 0  0  1

3. Senarai Ketetanggaan (Adjacency list) Kelemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah sisi relatif sedikit atau bersifat jarang (sparse), yaitu banyak mengandung banyak elemen nol, sedangkan elemen yang bukan nol sedikit. Ditinjau dari implementasinya di dalam komputer, kebutuhan ruang memori untuk matriks jarang boros karena komputer menyimpan elemen 0 yang tidak perlu. 1 1 1 5 3 2 2 3 3 4 2 4 4 Senarai ketetanggaan: 1: 2, 3 2:

1, 3, 4

3: 4:

1, 2, 4 2, 3

Senarai ketetanggaan:

1: 2:

2, 3 1, 3

3:

1, 2, 4

4:

3

5:

-

Senarai ketetanggaan: 1: 2 2:

1, 3, 4

3: 4:

1 2, 3

Graf Isomorfik (Isomorphic Graph) Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1 , maka sisi e ' yang berkorespon di G2 juga harus bersisian dengan simpul u ' dan v ' di G2 . Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyaknya cara.

3

1

d

4

G1

2

a

c

v

w

b

y

x

G2

G3

Pada gambar diatas, G1 isomorfik dengan G2 . Simpul 1, 2, 3, dan 4 di G1 berkoresponden dengan simpul a, b, c, dan d di G2 . Sisi (1,2), (2,3), (3,1), (3,4), (1,4) dan (2,4) berkoresponden dengan sisi (a , b), (b, c ), (c, d ), (a, d ), (a, c), (b, d ). Semua simpul di G1 dan G2 berderajat 3. G1 maupun G2 tidak isomorfik dengan G3 , karena simpul-simpul di G3 dua buah berderajat dua dan dua buah lagi berderajat tiga, sedangkan simpul-simpul di G1 dan G2 semua berderajat tiga.

Contoh lain graf yang isomorfik.

Dari definisi isomorfik kita menyimpulkan dua buah isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut: 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama. 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama. 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu.

Namun ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin keisomorfikan. Contohnya sebagai berikut. u x (a)

w

y v

(b)

Dua buah graf di atas memenuhi ketiga syarat yang telah disebutkan sebelumnya. Padahal keduanya tidak isomorfik. Di (a ) terdapat dua simpul anting-anting (berderajat 1) yang bertetangga dengan simpul x, sedangkan di (b) hanya terdapat satu buah simpul anting-anting yang bertetangga dengan y. Itulah sebabnya kedua graf di atas tidak isomorfik.

Contoh Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

d

a

p

e

t

h

f g

b

s

w

u

q

v

c

r Tidak isomorfik . Karena tidak ada korespodensi satu-satu antara simpul pada

kedua graf. Tinjau misalnya simpul d , simpul d bertetangga degan dua buah simpul berderajat 2 (a dan c) dan sebuah simpul berderajat 3 (h ). Graf disebelah kanannya tidak mempunyai simpul yang berkoresponden dengan d (jika s dianggap sebagai simpul yang berkoresponden dengan d , maka ini jelas tidak benar, sebab s bertetangga dengan sebuah simpul berderajat 2 (r ) dan dua buah simpul berderajat 3 ( p dan w).

Contoh Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik? b

a e d

q

p

f

t c

s

u r

Iya , isomorfik . Karena terdapat koresponden satu-satu antara simpul pada graf sebelah kiri dengan simpul-simpul pada graf sebelah kanan, yaitu: a berkoresponden dengan u; b berkoresponden dengan q; c berkoresponden dengan r; d berkoresponden dengan s; e berkoresponden dengan p; f berkoresponden dengan t;

Untuk memperlihatkan bahwa dua buah graf isomorfik, kita dapat menunjukkan bahwa matriks ketetanggan kedua graf itu sama. z

a e

Matriks ketetanggaannya

a b c d

e

 0 1 1 1 0  1 0 1 0 0    1 1 0 1 0   d  1 0 1 0 1 e  0 0 0 1 0 a b c

w

y

x

d

c

b

v

Matriks ketetanggaannya

w

x

y v

z

 0 1 1 1 0  1 0 1 0 0   1 1 0 1 0     v  1 0 1 0 1 z  0 0 0 1 0

w x y

SAMA Kedua graf tersebut isomorfik

Contoh Apakah graf sederhana yang disajikan oleh pasangan matriks ketetanggaan di bawah ini isomorfik? Jelaskan jawaban, lalu gambarkan grafnya!

0 1  0  1

1 0 0 1

0 0 0 1

1 1  1  0

0 1  1  1

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1  1  0

Jawab: Keduanya tidak isomorfik karena jumlah sisi pada graf pertama dan graf kedua tidak sama. Graf pertama (G1 ) mempunyai 4 buah sisi, sedangkan graf kedua (G2 ) mempunyai 5 buah sisi.

(G1 )

(G2 )

Graf Planar dan Bidang Graf yang 'dapat digambar' tanpa terjadinya perpotongan antar dua sisi disebut graf planar. Jika tidak disebut graf tak-planar. Graf planar yang 'digambarkan' tanpa ada perpotongan antar sisi disebut graf bidang. Graf bidang pasti merupakan graf planar, tapi graf planar belum tentu graf bidang.

Contoh Graf K 4 adalah Graf Planar

Graf K 6 bukan Graf Planar

Contoh Terdapat tiga buah rumah H1 , H 2 , dan H 3 , masing-masing dihubungkan tiga buah utilitas -air(W ), gas(G ), dan listrik(E )- dengan alat pengantar (pipa, kabel, dsb). Mungkinkah membangun utilitas sehingga tidak ada pengantar yang saling berpotogan?(sebab kalau berpotongan dikhawatirkan timbul masalah yang serius, misalnya bila kabel listrik berpotongan dengan pipa gas dapat terjadi ledakan) H1

W

H2

H3

G

E

H2

H1

W Graf K 3,3 bukan Graf Planar

H3

G

E

Contoh Gambarkan graf planar di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang).

Jawab: Susun kembali sebuah simpul untuk mendapatkan sebuah solusi.

Rumus Euler Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region atau face). Jumlah wilayah pada bidang datar termasuk wilayah luar. Jumlah wilayah pada graf planar sederhana dapat dihitung dengan rumus, ne f 2 atau f en2 yang dalam hal ini, n = jumlah simpul e = jumlah sisi

Contoh Tentukan jumlah wilayah pada graf planar berikut!

R2

R1

R3

R5

R4

Jawab: f  e  n  2  11  7  2  6 Jadi, jumlah wilayahnya = 6

R6

Contoh Misalkan graf sederhana planar dan terhubung memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk? Jawab: Diketahui n = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul adalah 24  4 = 96. Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2  jumlah sisi, sehingga jumlah derajat 96 Jumlah sisi (e) = = = 48. 2 2 Dari rumus Euler, n - e  f  2, sehingga f  jumlah wilayah  2 - n  e  2 - 24  48  26 buah

Ketidaksamaan Euler Setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh tiga atau lebih sisi. Jadi, total banyaknya sisi lebih besar atau sama dengan 3 f . Tetapi, karena suatu sisi barada pada batas paling banyak dua wilayah, maka total banyaknya sisi lebih kecil atau sama dengan 2e. Jadi, 2e 2e  3 f atau  f 3 dari rumus Euler, f  e - n  2 2e sehingga: en2 3 2e 1  e  -n  2  - e  - n  2 3 3 1 e  n - 2  e  3n  6 (ketidaksamaan Euler) 3

Suatu graf dikatakan planar jika memenuhi ketidaksamaan Euler. Jika tidak memenuhi maka graf dikatakan tidak planar.

Contoh Pada graf K 4 berikut, n  4, e  6. Tentukan apakan graf tersebut memenuhi ketidaksamaan Euler?

K4

Jawab: 3n - 6  3(4) - 6  6 karena e  6, maka graf K 4 dikatakan memenuhi ketidaksamaan Euler e  3n - 6. Maka graf tersebut merupakan graf plannar

Contoh Pada graf K 5 berikut, n  5, e  10. Tentukan apakah graf di bawah ini memenuhi Ketidaksamaan Euler?

K5

Jawab: 3n - 6  3(5) - 6  9 Karena e  10  9, maka graf K 5 dikatakan tidak memenuhi Ketidaksamaan Euler e  3n - 6. Artinya graf K 5 tidak planar.

Perlu diketahui bahwa Ketidaksamaan Euler merupakan syarat perlu; 'bukan' syarat cukup. Artinya jika suatu graf memenuhi Ketidaksamaan Euler, maka belum tentu graf tersebut planar.

Contoh Pada graf bipartit K 3,3 berikut, n  6, e  9. Tentukan apakah graf tersebut memenuhi Ketidaksamaan Euler?

K3,3

Jawab: 3n - 6  3(6) - 6  12 Didapat e  9  12. Walaupun memenuhi ketidaksamaan Euler, kita telah mengetahui bahwa graf K 3,3 bukan graf planar.

Untuk menunjukkan bahwa K 3,3 bukan graf planar menurut ketidaksamaan Euler, kita perlu membuat asumsi baru bahwa setiap wilayah pada graf bidang dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi (4 f ), sehingga berlaku ketidaksamaan: e  f 2 dari rumus Euler, f  e - n  2 e sehingga:  e-n 2 2 e e - e  -n  2  -  -n  2 2 2 e  n - 2  e  2n - 4 2 dengan demikian, graf K 3,3 tidak memenuhi ketidaksamaan e  2n - 4, karena 2e  4 f atau

e  9; n  6 9  2(6) - 4  8 (salah) hal ini berarti bahwa K 3,3 bukan graf planar.

Teorema Kuratowski Menurut Kuratowski terdapat 2 jenis graf tidak planar, yaitu: 1. Graf lengkap yang mempunyai 5 buah simpul (K 5 ), adalah graf tidak planar. 2. Graf terhubung teratur dengan 6 buah simpul dan 9 buah sisi(K 3,3 ) adalah graf tidak planar. Sifat graf Kuratowski: 1. Kedua jenis graf Kuratowski adalah graf teratur. 2. Kedua graf kuratowski adalah graf tidak planar. 3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf kuratowski menyebabkan menjadi graf planar. 4. Graf kuratowski pertama adalah graf tidak planar dengan jumlah simpul minimum, sedangkan graf kuratowski keda adalah graf tidak planar dengan jumlah sisi minimum. Keduanya adalah graf tidak planar paling sederhana.

Graf G adalah tidak planar jika dan hanya jika mengandung upagraf yang isomorfik dengan K 5 atau K 3,3 atau homoerfik dengan satu dari keduanya. Perhatikan graf berikut. Graf G mengandung G1 yang isomorfik dengan graf K 3,3 , jadi G tidak planar.

a

b

f

e G

c

a

b

c

d

e

f

d G1

Graf G tidak planar karena upagrafnya G1 isomorfik dengan K 3,3 . b

c

a

b

c

d

e

f

d

g

G f

a

e

c

b

a

e

f

d

G1

K3,3

Homeomorfi k Dua graf G1 dan G 2 dikatakan Homeomorfik jika salah satu dari kedua graf tersebut dapat diperoleh dari graf yang lain dengan cara menyisipkan dan /atau membuang secara berulang-ulang simpul yang 'berderajat 2'. y

v

G

x

G1

Ketiga graf diatas adalah Homeomorfik satu sama lain. Graf G 2 didapat dengan menghilangkan simpul v pada G1. Sedangkan G 3 didapat dari G 2 dengan menambahkan simpul x dan y.

K5

Contoh Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen di bawah ini tidak Planar! 1 6

1 2

7 10

Buatlah sebuah upagrafnya dengan membuang simpulsimpul berderajat 2.

8 9

5

6

3

2

7

9

3

(G ) Graf Petersen

4

yang homeomorfik dengan G1 .

8 5

Kita akan peroleh G2

(G1 ) Upagraf dari G

4 1

6

2

5

3 4

(G2 ) Homeomorfik dengan G1

1

3

2

4

5

6

( K 3,3 ) hom eomorfik dengan G2

Terapan Graf Planar Perhatikanlah bahwa teorema Kuratowski lebih mudah digunakan untuk menentukan bahwa sebuah graf tidak planar. Untuk membuktikan bahwa suatu graf planar relatif lebih sulit. Terapan graf planar , yaitu persoalan utilitas dalam merancang jaringan pipa air, pipa gas, dan kabel listrik bawah tanah agar ketiganya tidak saling bersilangan. Terapan graf planar lainnya adalah pada perancangan integrated circuit (IC) pada sebuah papan. Kawat-kawat yang menghubungkan simpul-simpul IC harus dirancang sedemikian rupa agar tidak bersilangan, sebab persilangan dua buah kawat yang beraliran listrik dapat menimbulkan interferensi arus, yang mengakibatkan terganggunya fungsi IC tersebut.

Graf Dual Misalkan kita mempunyai sebuah graf planar G yang direpresentasikan sebagai graf bidang. Kita dapat membuat suatu graf bidang G * yang secara geometri merupakan dual dari graf tersebut dengan cara: 1. Pada setiap wilayah atau muka (face) f di G, buatlah sebuah simpul v * yang merupakan simpul untuk G *. 2. Untuk setiap sisi e di G, tariklah sisi e * yang memotong sisi e tersebut. Graf yang terbentuk dengan cara penggambaran demikian disebut graf dual (dual geometri ) dari graf G.

Sebuah graf memiliki dual hanya jika graf tersebut merupakan graf plannar.

e* v1 * v2 *

v3 *

Pembentukan graf dual G* dari graf G.

Perhatikan dua representasi bidang yang berbeda dari graf yang sama di bawah ini. e5

e7 e5 e4

e6 e7

e6

e3 e2

e1

e4 e3

e1

e2

Telah nyata bahwa kedua graf di atas adalah isomorfik. Lalu apakah graf dualnya juga akan isomorfik? Graf dualnya akan dipaparkan pada slide selanjutnya.

Perhatikan graf pertama di bawah ini.

Di atas merupakan graf dualnya.

Perhatikan graf pertama di bawah ini.

Di atas merupakan graf dualnya.

Dari kedua graf dual tersebut dapat kita gambar sebagai berikut.

Dari kedua graf dual di atas, telah terlihat bahwa ternyata keduanya tidak isomorfik.

Demikian presentasi dari kami Semoga Bermanfaat

TERIMA KASIH