Representantes de La Logica

El nacimiento de la lógica prop iamente dicho está directamente relacionado con el nacim iento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en e l enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: de l rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática, Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la próxima y prevista Revolución Lógica.

Lógica Matemática

La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

Las matemáticas y la lógica

Del año 600 aC hasta 300 aC se d esarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonam iento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Elementos Euclides  Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistem ática, rigurosa, altamente eficaz.

Platón

Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo diálogo como  como forma de transmisión del pensamiento.

Aristóteles

Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos comoOrganón comoOrganón,, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lóg ica una disciplina metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento lógico y estructura ontológica. El silogismo silogismo fue  fue adoptado por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se comp letó hasta principios del siglo XX con B oole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el silogismo silogismo se  se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

Euclides

Matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos. Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en e l año 300 aC. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver tal h ipótesis ocupa hasta el siglo X IX con la construcción de las geometr ías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

Apolonio de Perga

La obra sobre curvas cónicas de Apolonio de Perga, «un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana»4.

La ciencia matemática

Ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemát icas. Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1 500dC al 1800 dC.

René Descartes

Filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. De scartes duda de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto (« pienso, luego existo»). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métod os algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos -a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde hay duda hay libertad.

Isacc Newton

A Isacc Newton , 1642-1727, se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos de la filosofía natural  (1686).

Gottfried W. Leibniz

Filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias de B erlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal puramente for mal. Como matemático, su principal trabajo publicado en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticip ándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum y Fundamenta calculi logici  .

Georg Wilhelm Friedrich Hegel

Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau. Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo la constitución de lalógica dialéctica entendida como principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades de lo universal.

Nikolai I. Lobachevsky

Matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euc lidiana y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban la ciencia de la Geometría. Lobachevsky lleva a cabo su revolución en el p lanteamiento que hasta entonces había utilizado la ciencia Matemática para resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados campos de lo físico y lo real .

Formalización de las Matemáticas

Esta etapa se caracteriza por el resurgimiento de la formalización rigurosa de las matemáticas, que en la etapa clásica griega fué representativa. El uso de los infenitesimales fue una de las prácticas más notoria en la época renacentista, para la cual no se ofrecía una justificación. La rigorización del análisis llegó con la e liminación de los infinitesimales y la presencia de los límites como argumento. En este periodo se crea la lógica simbólica, la escuela formal, la lógica booleana, el cálculo proposicional, la inducción matemática, el cálculo de secuentes,.... Personajes muy notables de esta etapa son: Peano, Hilbert, Frege, Boole, de Morgan, Gentzen, Russell, Gödel y Whitehead. A Rusell y Gödel se deben los planteamientos de las limitantes de la lógica y de la ciencia en general.

Guiseppe Peano

La enunciación de los principios del italiano Gu iseppe Peano, 1858-1932, acerca de lógica mate mática y su aplicación práctica quedaron contenidos en su obra Formulaire de mathematiques. Los axiomas de Peano permiten definir el conjunto de los números naturales.

David Hilbert

Matemático alemán, 1862-1943, aporta grandes avances a campos fundamentales de la relatividad y la mecánica cuántica con la Teoría de Invariantes y el concepto de Espacio de Hilbert . A partir de las fuentes griegas de Euclides, publica en 1899 su obra Fundamentos de Geometría, en la que formula sus principios de axiomatización de la geometría. Según sus teorías, es necesario establecer un conjunto de postulados básicos antes de plantear de modo más detallado cualquier tipo de problema físico o matemático. Estos principios deben ser simbólicos, sin recurrir a dibujos y representaciones gráficas, y es necesario preveer la mayoría de las posibilidades c on antelación. Su concepción reconocía tres sis temas de entes geométricos, puntos, rectas y planos a los que pueden aplicarse axiomas distribuidos en c inco categorías: pertenencia, orden, igualdad o congruencia, paralelismo y continuidad.

Friedrich G. Frege

Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege, 1848-1925, partiendo del análisis de los fundamentos de la matemática lleva a cabo la más profunda renovación y desarrollo de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir los cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la Cuantificación.

George Boole

El lógico y matemático George Boole, 1815-1864 aplica el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica. En cierto modo realiza el sueño de Leibniz de una characteristica universalis o cálculo del raciocinio. El empleo de símbolos y reglas operatorias adecuados permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones (ecuaciones) entre ellas. Boole dio un método general para formalizar la inferencia deductiva, representando complicados raciocinios mediante sencillos sistemas de ecuaciones. Así, la conclusión de un silogismo se encuentra eliminando el tér mino medio de un sistema de tres ecuaciones, conforme a las reglas del álgebra común, La formalización de la lógica, iniciada por Boole, ha contribuido poderosamente a aclarar la estructura de los objetos lógicos, en contraposición a los materiales y aun en contraposición a los matemáticos, pese a las analogías formales entre la matemática y la lógica, que Boole señaló. Su obra principal es Investigación de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad, 1854, que aún hoy se lee con de leite.

Augustus De Morgan

La mayor contribución de Augustus De Morgan (1806-1871) en el estudio de la lógica incluye la formulación de las Leyes de Morgan y su trabajo fundamenta la teoría del desarrollo de las relaciones y la matemática simbólica moderna o lógica matemática. De Morgan es autor de la mayor contribución como reformador de la lógica.

Georg F. Cantor

Al matemático alemán Georg F. Cantor, 1845-1918, se debe la idea delinfinito continuo, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.

Gentzen

El alemán Gentzen (1909-1945) formuló la prueba de la consistencia de un sistema de aritmética clásica en el cual el método no elemental es una extensión de inducción matemát ica a partir de una secuencia de números naturales a un cierto segmento de números ordinales transfinitos.

Bertrand Rusell

Bertrand Rusell (1872-1970) es uno de los creadores de la logística y uno de los pen sadores de mayor influencia en la filosofía científica contemporánea. Lo fundamental en su obra es su aportación a la lógica. Antiaristotélico por excelencia llegó a afirmar que para iniciarse en lógica lo básico era no estudiar la lógica de Aristóteles. Conociendo los trabajos de Cantor descubre en laTeoría de Conjuntos varias paradojas que resuelve mediante la Teoría de los Tipos. Años más tarde establece una teoría similar, -la de la jerarquía de los lenguajes- para eliminar las paradojas semánticas. Siguiendo además de los trabajos de Cantor, a Peano y Frege, Rusell se propone fundamentar y axiomatizar la matemática a partir de conceptos lógicos. Este empeño culmina con la publicación (1910-1913) de los monumentales Principia Mathematica -en colaboración con Whitehead-, obra que, además, sienta las bases de la moderna lógica formal.

Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978) aporta múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba de incompletez semántica. En Sobre las  proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal  establece que es imposible construir u n sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización completa de la matemática

propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero admita demostración. Siempre ha brá enunciados que no son demostrables ni refutab les. Para probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.

La Revolución Digital

Esta revolución se inicia con la invención de la co mputadora digital y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Tur ing relaciona lógica y computación antes que cualquier co mputadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra con un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.

Alan Turing

Matemático y Lógico pionero en Teoría de la Computación que contribuye a importantes análisis lógicos de los procesos computacionales. Las especificaciones para la computadora abstracta que él idea -conocida comoMáquina de Turing-, resulta ser una de sus más importantes contribuciones a la Teoría de la Computación. Turing además prueba que es posible construir una máquina universal con una programación adecuada capaz de hacer el trabajo de cualquier máquina diseñada para resolver problemas específicos. La Máquina de Turing es un intento para determinar si la matemática se puede reducir a algún tipo simple de computación. Su objetivo fué desarrollar la máquina más simple posible capaz de realizar computación. La máquina propuesta por Turing es un dispositivo relativamente simple, pero capaz de realizar cualquier operación matemática. Turing se ilusionó con la idea de que su máquina podía rea lizar cualquier proceso del cerebro humano, inclusive la capacidad de producir conciencia de uno mismo.

Norbert Weiner

El científico norteaméricano Norbert Weiner (1894-1964) en 1947 publica su libro más famoso: Cibernética, o control y comunicación en el animal y la máquina; en donde se utiliza por primera vez la palabra Cibernética. Existen muchas definiciones de Cibernética -del griego kybernetes, piloto-, y Norbert Weiner da vida a la palabra con una definición simple: La Cibernética es la ciencia que estudia la traducción de procesos biológicos a procesos que reproduce una máquina. Desde los inicios la Cibernética se relaciona d irectamente con ciencias como Neurología, Biología, Biosociología, Robótica e Inteligencia Artificial.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Matemático y lógico alemán (1881-1966) conocido como LEJ Brouwer y fundador de la escuela de la Lógica intuicionista contrarrestando definitivamente el formalismo de Hilbert. Miembro del Significs Group son significativos sus trabajos Life,  Art and Mysticism (1905) y Sobre la infiabilidad de los principios lógicos.

Alfred Tarski

Matemático y lógico y filósofo polaco (1902-1983). Emérito profesor de la University of California, Berkeley, realiza importantes estudios sobre álgebra en general, teoría de mediciones, lógica matemática, teoría de conjuntos, y metamatemáticas. El trabajo de Tarski5 incluye respuestas a la paradoja de Banach-Tarski, el teorema de la indefinibilidad de la verdad, las nociones de cardinal, ordinal, relación y es inductor de las álgebras cilíndricas.

Benoit Mandelbrot

El gran impulsor de la matemática contemporánea y pionero de la geometría fractal 6 a quien la computación pura revela la moderna Geometría de la Naturaleza. Fractal y geometría fractal son el corpus principal de sus investigaciones además de los sistemas irreversibles. A la práctica totalidad de disciplinas se aplican hoy sus principios dando por sentado paradigmas como la Teoría del Caos que a finales del siglo XX ya contemplaba el estudio de sistemas dinámicos, irreversibles, caóticos.

La siguiente revolución lógica

La siguiente Revolución Lógica incorpora la fusión entre matemáticas y computación. Las computadoras t ienden a explorar datos inteligentementetransfiriendo información de las bases de datos a las bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a escala infinitesimal.

La lógica evoluciona pues como un gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace del rigor formal de la Matemática griega; emerge renovadamente de etapas de persecución tan oscuras como la Edad Media y otros intentos más recientes; hasta el intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de e structura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la Humanidad.

In fieri .

Notas 1 - Henri Poincaré. University of St. Andrews. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk

2 - Antonio Escohotado. Génesis y Evolución del Pensamiento Científico. www.escohotado.com

3 - Cfr. Escohotado. El Pensamiento Precientífico. Tema 1. www.escohotado.com

4 - Cfr. Las trivialidades del rigor , Escohotado, Caos y Orden, 1999.

5 - Alfred Tarski. Wikipedia. en.wikipedia.org/wiki/Tarski

6 - Benoit Mandelbrot. Historia de las Fractales. www.geometriafractal.com

Bibliografía Recomendada

TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS de WITTGENSTEIN, LUDWIG EDITORIAL TECNOS Nº Edición:1ª Año de edición: 2007 Plaza edición: MADRID

Mayores Representantes de la Lógica. • Aristóteles: Aristóteles es ampliamente reconocido como el padre fundador de la lógica. Sus

trabajos principales sobre la materia, que tradicionalmente se agrupan bajo el nombre Órganon(herramienta), constituyen la primera investigación sistemática acerca de los principios del razonamiento válido o correcto. La noción central del sistema lógico de Aristóteles es el silogismo (deducción). Un silogismo es un discurso (logos) en el cual, establecidas ciertas cosas, resulta necesariamente de ellas, por ser lo que son, otra cosa diferente. Aristóteles construyó la primera teoría de la inferencia válida. Conocida como la silogística. • Euclides: Se le conoce como "El Padre de la Geometría". La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras. • René Descartes: En general se considera a Descartes como el padre de la filosofía moderna. Este  juicio se justifica, principalmente, por su decisión de rechazar las verdades recibidas, p. ej., de la escolástica, combatiendo activamente los prejuicios. Y también, por haber centrado su estudio en el propio problema delconocimiento, como un rodeo necesario para llegar a ver claro en otros temas de mayor importancia intrínseca (la moral, la medicina y la mecánica). Descartes considera que aunque la lógica tenía muchas reglas válidas, en general éstas son inútiles, puesto que, como afirma en las Reglas para la dirección del espíritu, la capacidad de razonar es básica y primitiva, y nadie puede enseñárnosla. • Isaac Newton: entre los que destaca la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, su

desarrollo de las bases de la mecánica clásica, la formalización del método de fluxiones y la generalización del teorema del binomio, poniendo además de manifiesto la naturaleza física de los colores. Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. • Gottfried W. Leibniz: l pensamiento filosófico de Leibniz aparece de forma fragmentada, ya que

sus escritos filosóficos consisten principalmente en una multitud de textos cortos: artículos de revistas, manuscritos publicados mucho después de su muerte y gran cantidad de cartas con personajes múltiples. Escribió únicamente dos tratados de filosofía, y el que se publicó durante su vida, la Théodicée de 1710, es tanto teológico como filosófico. Tenía un profundo interés por los nuevos métodos yconclusiones de Descartes, Huygens, Newton y Boyle, pero observaba sus trabajos desde una perspectiva bastante influida por las nociones escolásticas. Sin embargo, sigue

siendo notable el que sus métodos y preocupaciones anticipan con frecuencia la lógica y la filosofía analítica y lingüística del siglo XX. • Guissepe Peano: Su primer trabajo importante, un libro de texto sobre cálculo, fue atribuido a

Genocchi y publicado en 1884. Tres años después, Peano publicó su primer libro sobre lógica matemática. Este libro fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos. • David Hilbert: Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de ecuaciones diferenciales e

integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el análisis funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclídeo de infinitas dimensiones, llamado más tarde espacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base de importantes contribuciones a la matemática de la física en las dos décadas siguientes, aunque en direcciones que por entonces no se podían anticipar. Más tarde, Stefan Banach amplificó el concepto, definiendo los espacios de Banach. El espacio de Hilbert es por sí misma la idea más importante del análisis funcional, que creció a su alrededor durante el siglo XX. • Gottlob Frege: Frege fue un defensor del logicismo, la tesis de que las matemáticas son

reducibles a la lógica, en elsentido de que las verdades de la matemática son deducibles de las verdades de la lógica. Sin embargo su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola sólo a la aritmética, puesto que Frege permaneció en gran medida kantiano respecto de la geometría. Su obra titulada Leyes básicas de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik) fue un intento de llevar a cabo el proyecto logicista. legó a publicar una serie de importantes artículos, entre los cuales destaca El pensamiento: una investigación lógica, en donde básicamente se examina el contenido de las proposiciones, aquella parte objetiva que es transmisible a todo hablante en un enunciado declarativo. • George Boole: Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional

moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas. • Augustus Morgan: De Morgan se interesó especialmente por el álgebra. Fue tutor de Ada Lovelace. Escribió varias obras de lógica en las que se encuentra la idea de aplicar en esta esfera los métodos matemáticos, así como los primerosresultados de tal aplicación. En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: «la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones»; «lanegación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones». • Georg Cantor: Fue un matemático alemán, inventor con Dedekind yFrege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre losconjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el

raciocinio lógico. • Gerhard Gentzen: introduce la noción de sistema de deducción natural para lógica clásica y

lógica intuicionista. Demuestra que toda prueba puede escribirse de manera normalizada sin cortes. Para ello introduce el cálculo de consecuencias lógicas o secuentes. • Bertrand Russel: Russell es reconocido como uno de los fundadores de la filosofía analítica, de hecho, inició diversas vías de investigación. Interesado en la definición de número, Russell estudió los trabajos de George Boole, Georg Cantor y Augustus De Morgan, mientras que en los Archivos Bertrand Russell en la Universidad McMaster se encuentran notas de sus lecturas de lógica algebraica por Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder. Se convencióde que los fundamentos de matemáticas serían encontrados en la lógica, y siguiendo a Gottlob Frege aplicó un acercamiento extensionista en donde la lógica a su vez se basaba en la teoría de conjuntos. • Kurt Godel: El más célebre de sus teoremas de la incompletitud establece que para t odo sistema

axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (la aritmética de Peano), existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales. • Alan Turing: uring diseñó labombe, una máquina electromecánica — llamada así en reconocimiento de la diseñada por los polacos bomba kryptologiczna — que se utilizaba para eliminar una gran cantidad de claves enigma candidatas. Para cada combinación posible se implementaba eléctricamente una cadena de deducciones lógicas. Era posible detectar cuándo ocurría una contradicción y desechar la combinación. La bombe de Turing, con una mejora añadida que sugirió el matemático Gordon Welchman, era la herramienta principal que usaban los criptógrafos aliados para leer las transmisiones Enigma. • Alfred Tarski: Junto con Aristóteles, Gottlob Frege y Kurt Gödel, Tarski es considerado uno de los lógicos más grandes de todos los tiempos. De los cuatro, Tarski es uno de los mejores matemáticos, el másprolífico y el que desarrollo una actividad educativa más intensa. Tarski contribuyó a la madurez de la lógica estándar —de primer orden— fundando una metodología conjuntista de las teorías deductivas sobre dos bases: la noción de teoría como conjunto de proposiciones cerrado bajo una noción de derivación mediante aplicación de reglas, y el desarrollo de una semántica basada en las nociones de satisfacción, verdad y consecuencia lógica. • Alfred North Whithead: Publicó trabajos sobre álgebra, lógica, fundamentos de las m atemáticas,

filosofía de la ciencia, física, metafísica, epistemología y educación. El trabajo más conocido, del que es coautor con Bertrand Russell, es Principia Mathematica. En ese tiempo partiendo de una teoría relacionista (o más bien relativista) del espaciocentró su epistemología en la naturaleza de las cosas. Mantuvo tal postura hasta la década de 1930. A partir de entonces su obra tomó visos más metafísicos. • Rudolf Carnap: La estructura lógica del mundo (En alemán: «Der logische Aufbau der Welt»), en

el que desarrolló una versión formal rigurosa del empirismo, definiendo todos los términos científicos en términos fenomenalísticos. Pseudoproblemas de filosofía afirmaba que muchas preguntas filosóficas carecen de sentido, esto es, la manera en que eran planteadas suponían un abuso del lenguaje. Una implicación operacional de esta radical frase se tomó p ara eliminar la

metafísica del discurso humano responsable. • John Venn: Destacó por sus investigaciones enlógica inductiva. Es especialmente conocido por su

método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y cantidad) y silogismos. Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de la verdad o falsedad de un silogismo. Posteriormente fueron utilizados para mostrar visualmente las operaciones más elementales de la teoría de conjuntos. • Charles Pierce: Es considerado el fundado r del pragmatismo y el padre de la semióticamoderna. Denominara al pragmatismo como una filosofía proto-positivista (EP 2:339, 1905), sería más que inexacto decir que Peirce fue un filósofo positivista en sentido estricto. En primer lugar, una de las lecciones que más vivamente aprendió del devoto espíritu unitario de Harvard, —del que su padre, Benjamin Peirce, fue incansable promotor— era la idea de reconciliar ciencia y religión. Este es, efectivamente, un impulso central en toda la obra de Peirce que a menudo ha pasado desapercibido por los autores que sostienen una lectura naturalista de la máxima pragmática y del método científico. • Hans Reichenbach: ue físico, lógico y uno de los más importantes filósofos de la ciencia del siglo

XX. Hizo importantes contribuciones a la teoría de la de probabilidad y a las interpretaciones filosóficas de la relatividad, de la mecánica cuántica y de la termodinámica. Fundó el Círculo de Berlín, cuyos miembros participaron de muchas de las discusiones del Círculo de Viena, por lo que a veces se les considera como representantes del positivismo.

En un comienzo no se llamó lógica al estudio que abarca hoy ese nombre. Por ejemplo para  Aristóteles, o mejor dicho lo que nosotros llamamos lógica fue llamada dialéctica y a veces, se sigue de las premisas. El término lógica aparece en el título de la obra de Demócrito. Los estoicos utilizaron el término Dialéctica para designar la disciplina que hoy nos interesa. En Aristóteles la palabra dialéctica caracteriza a las argumentaciones que parten de proposiciones generalmente aceptadas. En el siglo I a.C. los discípulos de Aristóteles su publicaron sus obras con el titulo de ORGANON, instrumento y retomaron el nombre dado por Demócrito; LÓGICA. Los escritores latinos al transmitirnos los escritos lógicos antiguos prefirieron la palabra dialéctica. Pedro  Abelardo, por ejemplo, es autor de una dialéctica. Pero ya en el siglo XIII empieza a dominar la denominación LÓGICA. Pero en siglo XVI se prefiere nuevamente la denominación de DIALÉCTICA. A PARTIR DEL SIGLO XVII definitivamente se utiliza la palabra LÓGICA. ETAPAS: A) EDAD ANTIGUA. PARMENIDES DE ELEA Se cree que fue el creador del principio de IDENTIDAD. Consideró que la razón es la única capaz de conocer el ser y la verdad de las cosas.

ZENON DE ELEA  Apoyo la posición de Parménides. Dio origen al método dialéctico, al razonamiento hipotético y a la reducción al absurdo. Sus argumentaciones se conocen como aforias. DEMÓCRITO Ideó el principio DE LA RAZÓN SUFICIENTE. SÓCRATES En su lucha contra los sofistas utilizo el método MAYÉUTICO. PROTAGORAS Fue el primero en utilizar las oraciones en el plano sintáctico y semántico. PLATÓN En su obra EL SOFISTA, trato de las afirmaciones y negaciones. Descubrió el principio de la CONTRADICCIÓN O NO CONTRADICCIÓN. Teorizo y esquematizo la división y la definición lógica. Empleo el método axiomático. PERÍODO ARISTOTÉLICO Tenemos que reafirmar y aclarar que antes de Aristóteles no existe ningún documento que pruebe que antes del haya existido una exposición teórica de la lógica, y el mismo Aristóteles nos dice refiriéndose al estudio de la lógica; “de nuestra investigación actual no es verdad decir que haya

sido elaborada en parte sí y en parte no; no existía en abs oluto”.  Aristóteles desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez). En el razonamiento los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. En el ejemplo más famoso, “Todos los humanos son mortales” y “Todos los griegos son humanos”, se llega a la conclusión válida de que “Todos los griegos son mortales”. La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento

más complejos. En su lógica, Aristóteles distinguía entre la dialéctica y la analítica; para él, la dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa. Esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía. Los discípulos de Aristóteles llamaron ORGANON a sus obras lógicas. No creemos que  Aristóteles haya considerado la lógica en sí misma; propiamente le intereso llegar al conocimiento verdadero de la naturaleza, de las cosas. Pero podemos hacer una distinción en sus obras y

considerar sólo aquellas que se dedican a la lógica en el sentido que utilizamos aquí el término. Para Aristóteles una argumentación es un encadenamiento de enunciados y estos son un encadenamiento de términos. El libro llamado CATEGORÍAS estudia los términos. El libro llamado DE LA INTERPRETACIÓN estudia el enunciado y los PRIMEROS ANALÍTICOS considera la argumentación.  Aportes : Es el descubridor del principio del tercio excluido. Introdujo el uso de variables. Explicación sintáctica y semántica de las proposiciones. Desarrollo la lógica de predicados. Desarrollo el silogismo. Desarrollo la lógica formal de ahí que se le conozca como el PADRE DE LA LÓGICA FORMAL. Los continuadores de Aristóteles Mas tarde los discípulos de Aristóteles, Teofrasto y Eudemo estudiaron y aportaron a la obra de su maestro los silogismos hipotéticos condicionales pertenecientes a la lógica de proposiciones. Este tema también fue desarrollado por los megáricos y los estoicos. Entre los megáricos: Diodoro Crono y Filón de Megara avanzan con el estudio de los conceptos modales y por primera vez en la historia de lógica plantean el significado de las proposiciones si...entonces..... Entre los estoicos, Crisipo de Soli es él mas representativo y desarrolla la lógica bivalente (verdadero /falso) de las proposiciones. Los Comentadores Posteriormente, la lógica Aristotélica y la lógica estoica no tuvieron continuadores. Lo que se hace es comentar las obras de Aristóteles, Teofrasto y Crisipo. Entre los mejores lógicos de esta época de comentadores se tiene a Galeno, Alejandro de Afrodisia, Porfirio y posteriormente Boecio este ultimo descubre las leyes de la inferencia inmediata y logra sistematizar las proposiciones categóricas A/E/I/O* B) EDAD MEDIA. Se denomina lógica medieval a la lógica desarrollada en las escuelas y universidades de Europa Occidental entre los siglos XI y XV. Surgen una clase de lógicos profesionales. Pedro Abelardo fue el primer lógico medieval de mayor importancia. Posteriormente surgen teólogos que trataron de recuperar el Aristóteles original estudiando y comentando el Organón. Entre los mas importantes figuran Robere Grosseteste, Tomas de Aquino y Alberto Magno entre otros. A fines del siglo XIII, Oxford es el centro de la lógica y Duns Scoto fue uno de sus mas altos exponentes. El periodo de madurez de la lógica medieval se expuso con Guillermo de Ocam y Juan Buridan. Cabe una mención aparte el ARS MAGNA de Ramón Llul, quien dio el primer paso en la elaboración de un lenguaje completo automático para el razonamiento. Llul diseñó incluso máquinas formadas por discos giratorios superpuestos por medio de los cuales podían realizar cálculos mecánicamente. Sus obras Art demostrativa (Arte demostrativo, 1283), Taula general (Tabla general, 1293), Lógica nova (Lógica nueva, 1 303) y Ars Dei (Arte de Dios, 1308) Los aportes de la lógica medieval, por sus representantes fueron mínimos, toda vez que se concentraron en fundamentar la teología.

Aportes: Raymundo Lulio, Pedro Hispano, Guillermo de Ocam; establecieron reglas de inferencia. Guillermo de Shyreswood  termina en 1230 el manual de lógica escolástica más antiguo, en donde formula por primera vez el esquema de división dicotómica conocido como "árbol de Porfirio" y, también, enuncia por primera vez los famosos versos mnemotécnicos sobre la reducción de los silogismos a los modos de la primera figura aristotélica: Barbara celarent darii ferio baralipton Celantes dabitis fapesmo frisesomorum; Cesare campestres festino baroco; darapti Felapton disamis datisi bocardo ferison.

Pedro Hispano, Juan Buridan, Alberto de Sajonia y Pedro Abelardo. Destacaron por emplear una forma especializada el lenguaje. Redescubrieron la inferencia coligativa. Tomas Hobbe: Considera al razonamiento como una especie de calculo de signos. Desarrolla la lógica formal como combinación de nombres de acuerdo a las reglas establecidas. C) EDAD MODERNA. Lógica Moderna.  A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica simbólica o moderna, que más tarde fue desarrollada por el matemático alemán Gottlob Frege y de un modo especial por los matemáticos británicos Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Matematica (3 vols., 1910-1913) El sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como “o”, “y”, “si… entonces…”. Cuenta con

símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase; y adjudica símbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B”; lo que, a diferencia de la

lógica tradicional, no significa que todo A existe. Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. En cierto sentido, las premisas de una proposición válida contienen la conclusión, y la verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas. También se han hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de la verdad de la evidencia. La contribución más importante a la lógica inductiva es la del filósofo británico John Stuart Mill, quien en Sistema de lógica(1843) estructuró los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. Este estudio ha desembocado, en el siglo XX, en el campo conocido como filosofía de la ciencia. Muy relacionada con ésta se encuentra la rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad.

Tanto la lógica moderna como la clásica asumen en sus formas más corrientes que cualquier proposición bien elaborada puede ser o verdadera o falsa. En años recientes se han desarrollado sistemas de la llamada lógica combinatoria: una afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de probabilidad expresado como una fracción que oscila entre 0 y 1 o entre -1 y +1. También se han llevado a cabo serios trabajos por desarrollar sistemas de lógica modal, con el objeto de representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de posibilidad e imposibilidad, de necesidad y contingencia. Otra vía es la que supone lógica deóntica: la investigación de las relaciones lógicas entre órdenes o entre afirmaciones de obl igación. APORTES DE LOS MÁS IMPORTANTES REPRESENTANTES DE LA LÓGICA MODERNA Bacon, Francis: En su Novum Organum, hace la primera formulación moderna del método científico, establece de manera explícita y sistemática la inducción experimental, expone métodos para determinar las relaciones de causalidad, enuncia las bases empíricas del descubrimiento y la invención, y desarrolla una teoría de la expe riencia. Se le conoce como el “Padre de  la Lógica Inductiva”

LEIBNIZ, GOTTFRIED WILHELM (1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. LEIBNIZ, quien introdujo el cálculo lógico llamado MATHESIS UNIVERSALIS que fuese operacionalmente mecánico, inequívoco y no cuantitativo que permitiera acabar con todas las disputas y controversias. También desarrollo el cálculo de la lógica proposicional. Consideró también que para comprobar la verdad del entendimiento bastan los principios de identidad, contradicción y tercio excluido; para comprender la verdad de hecho es indispensable la razón. Estableció la ley de la tautología. Extrae de su experiencia como matemático genial las ideas que habrían de sacar a la lógica formal del estancamiento a que la había llevado la escolástica. Leibniz intenta formular unacharacteristica universalis, es decir, un lenguaje simbólico para expresar sin ambigüedad todos los elementos del pensamiento y luego combinarlos rigurosamente, formando así conceptos,  juicios y razonamientos. Paralelamente, Leibniz formula una teoría general de la ordenación, establece una teoría lógica de las estructuras, planea la teoría de la lógica matemática, constituye una teoría de la definición, por analogía con la descomposición de los números enteros en sus factores primos, intenta establecer una lógica del descubrimiento y enuncia una teoría de las permutaciones. Fórmula LA LEY DE LA Razón Suficiente. LEONHARD EULER (1707-1783), En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de

números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo e Introducción al diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) álgebra  (1770) Es otro de los de la lógica matemática introdujo los diagramas que llevan su nombre para ilustrar geométricamente los silogismos. A. de MORGAN (1806-1871) considera que base común de la lógica en las relaciones de inclusión o exclusión, parcial o total, entre clases; y su objetivo fue mostrar que el silogismo no es mas que una serie de combinaciones de relaciones desarrolla el cálculo de relaciones, establece varios razonamientos no-silogísticos, enuncia las leyes de transitividad y expresa rigurosamente las leyes distributivas de la negación, que llevan ahora su nombre. (Ley de Morgan) BOOLE, GEORGE (1815-1864), lógico y matemático británico, elaboró el álgebra de Boole.La primera formulación propiamente algebraica de la lógica, estableciendo definidamente las leyes para la ejecución de las operaciones y dando una interpretación coherente de los resultados, se debe a George Boole, quien es así el creador de la lógica simbólica moderna. Boole funda el cálculo proposicional, enuncia las leyes del cálculo de clases, hace una sistematización de la lógica de la probabilidad y formula explícitamente la dualidad de las operaciones algebraicas. El álgebra de Boole sirve de base a los trabajos de una activa escuela de lógica. En gran medida autodidacta, Boole fue nombrado profesor de matemáticas en el Queen‟s College de Cork en Irlanda (hoy el

University College) en 1849. En 1854, escribió Investigación sobre las leyes del p e n s a m i e n t o ,  en donde describe un sistema algebraico que m ás tarde se conoció como el álgebra de Boole. En él, las proposiciones lógicas se indican por símbolos y pueden relacionarse mediante operadores matemáticos abstractos que corresponden a las leyes de la lógica. El álgebra de Boole es fundamental en el estudio de las matemáticas puras y en el diseño de los ordenadores o computadoras. VENN, John. (1834-1923) Fue el que trato de encontrar la significación lógica de operaciones como la sustracción y la división. El mérito de Venn es básicamente el haber aclarado los procedimientos de Boole representando los procesos algebraicos en los diagramas de Venn. FREGE, GOTTLOB (1848-1925), matemático y filósofo alemán, fue el fundador de la lógica matemática moderna. Nació en Wismar y estudió en las universidades de Jena y Gotinga; posteriormente se incorporó a la facultad de matemáticas de Jena. Frege intentó deducir los principios de la aritmética de los principios de la lógica. Enfrentándose a la ambigüedad del lenguaje normal y a la insuficiencia de los sistemas lógicos disponibles, inventó muchas notaciones simbólicas, como cuantificadores y variables, estableciendo así las bases de la lógica matemática moderna. Su trabajo influyó especialmente en el filósofo británico Bertrand Russell. Su obra Notación conceptual   (1879) está considerada como la más importante de sus publicaciones, entre las que también destacan Fundaciones de la aritmética (1884) yLeyes básicas de la aritmética (2 volúmenes, 1893-1903) Es el personaje más resaltante de esta época, su obra Begriffsschrift: CONCEPTOGRAFIA, marca el comienzo de la lógica moderna y; solo es comparable con los Primeros Analíticos de

 Aristóteles, dado que ambas obras hay una serie de perspectivas totalmente nuevas, de ahí que a Frege se le puede considerar el PADRE DE LA LÓGICA MODERNA. Frege es el primero en formular de manera clara y concisa la distinción entre variable y constante, el concepto de función lógica, la idea de varios argumentos y el concepto de cuantificador, da una formulación notablemente mas rigurosa a la teoría aristotélica de sistema axiomático, distingue cuidadosamente entre ley y regla, introduce la diferenciación igualmente precisa entre lenguaje y metalenguaje.

PEANO, GIUSEPPE (1858-1932), matemático italiano, autor del primer ejemplo de fractal. Nació en Cuneo en 1858 y fue profesor en la Academia Militar de Turín. Creó un sistema descriptivo que permitía enunciar cualquier proposición de lógica o de matemáticas sin recurrir al lenguaje. Fundador de dos publicaciones de matemáticas, propuso en sus escritos la „aritmética de Peano’, una exposición axiomática y deductiva de la aritmética de los enteros naturales. En 1890 creó la „curva de Peano‟, el primer ejemplo de fractal. En 1903 sus trabajos de búsqueda de una lengua internacional llevaron al „latín sin flexiones‟, cuyo vocabulario comprende las palabras latinas

comunes al francés, al inglés y al alemán. Fue el primero en dar a la lógica el nombre de Lógica Matemática. Considero que la lógica es el instrumento de la matemática. Creo un lenguaje simbólico para las demostraciones matemáticas, elaborando de esta manera un sistema axiomático de la matemática con la aplicación instrumental de la nueva lógica. Propuso uso de puntos auxiliares en reemplazo de los signos de agrupación y un modo de simbolizar los cuantificadores. RUSSELL, BERTRAND, tercer conde de Russell (1872-1970), filósofo y matemático británico, galardonado con el Premio Nóbel, cuyo énfasis en el análisis lógico repercutió sobre el curso de la filosofía del siglo XX. Nacido en Trelleck (Gales), el 18 de mayo de 1872, Russell estudió en el Trinity College de la Universidad de Cambridge. Tras graduarse en 1894, viajó a Francia, Alemania y Estados Unidos, y luego fue nombrado miembro del consejo de gobierno del Trinity College. Desde muy joven mostró un acusado sentido de conciencia social; al mismo tiempo se especializó en cuestiones de lógica y matemáticas, áreas de las que dio conferencias en muchas instituciones de todo el mundo. Russell alcanzó el éxito con su primera gran obra Principios de matemáticas (1902), en la que intentó trasladar las matemáticas al área de la filosofía lógica y dotarlas de un marco científico preciso. Colaboró durante ocho años con el filósofo y matemático británico Alfred North Whitehead para elaborar la monumental obra Principia Mathematica (Principios Matemáticos; 3 volúmenes, 1910-1913), donde se mostraba que esta materia puede ser planteada en los términos conceptuales de la lógica general, como clase y pertenencia a una clase. Este libro se convirtió en una obra maestra del pensamiento racional. Russell y Whitehead demostraron que los números pueden ser definidos como clases de un tipo determinado, y en este proceso desarrollaron conceptos racionales y una anotación que hizo de la lógica simbólica una especialización

importante dentro del campo de la filosofía occidental. En su obra PRINCIPIA MATHEMATICA, propone que las matemáticas pueden reducirse a una rama de la lógica. Este proyecto fue escrito en la obra antes mencionada, escrita en colaboración con Whitehead, obra aparecida en tres volúmenes. formulan rigurosamente la lógica matemática dentro del sistema más completo que se ha establecido, realizan un tratamiento detallado del cálculo preposicional, el cálculo de clases y el cálculo de relaciones, establecen la teoría de los tipos, analizan las paradojas, hacen una crítica refinada y profunda de la lógica simbólica, y crean el lenguaje formalizado que más se utiliza en laactualidad. WITTGENSTEIN En la evolución filosófica de Wittgenstein pueden distinguirse dos épocas distintas: un primer periodo, representado por el Tractatus, y otro posterior, representado por las Investigaciones filosóficas.  A lo largo de la mayor parte de su vida, sin embargo, Wittgenstein, de modo coherente, concibió la filosofía como un análisis conceptual o lingüístico. En el Tractatus defendió que la “filosofía pretende la clarificación lógica de las ideas”. En las Investigaciones filosóficas, sin embargo, mantenía que la “filosofía es un combate contra el hechizamiento de nuestra i nteligencia por medio del lenguaje”. El Tractatus En el Tractatus,  Wittgenstein sostenía que el lenguaje se compone de proposiciones complejas que pueden ser analizadas en proposiciones más sencillas hasta llegar a una formulación simple o elemental. De modo similar, el mundo se compone de hechos complejos que pueden ser analizados en hechos menos complejos hasta llegar a los hechos simples, o atómicos. El mundo es la totalidad de esos hechos. Según la imagen de la teoría del significado de Wittgenstein, es la naturaleza lógica de las proposiciones elementales la que representa hechos atómicos o “situaciones”. Afirmaba que la naturaleza del lenguaje requiere proposiciones elementales, y su

teoría del significado exige que haya hechos atómicos representados por proposiciones elementales. Sobre este análisis, sólo las proposiciones que representan hechos —las proposiciones de ciencia—  son consideradas cognitivamente significativas. Las declaraciones éticas y metafísicas no son afirmaciones significativas ni relevantes. Esta teoría produjo un gran efecto sobre las teorías del positivismo, y los positivistas lógicos adscritos al Círculo de Viena reconocieron la trascendencia de esta conclusión. Ideó el método de la tabla o matriz para determinar la significación de autenticidad de los ciertos de probabilidad. JAN LUKASIEWICZ (1878-1950). Se ocupó de la lógica de sentencias, de la lógica plurivalente, de la lógica modal, del silogismo aristotélico y de la historia de la lógica, Lukasiewicz inventó un simbolismo que evita los paréntesis y puntos. Se preocupó de la axiomática de la lógica de sentencias formulando un interesante sistema de tres axiomas; por otra parte, logró formular un sistema con un solo axioma. En 1917 construyó el primer sistema de lógica plurivalente. Expone así la idea que dio origen a la lógica trivalente: “Puedo suponer sin contradicción que mi presencia en Varsovia en un momento

dado del año próximo, por ejemplo a mediodía del 21 de diciembre, no está determinada en este

momento, ni positiva ni negativamente. Es entonces  posible pero no necesario que estaré presente en Varsovia en el tiempo mencionado. Basado en este presupuesto, el enunciado «estaré presente a mediodía del 21 de diciembre del año próximo», en este momento, no es ni verdadero ni falso. Pues si en este momento fuera verdadero, mi presencia futura en Varsovia sería necesaria, lo cual contradice el presupuesto; si, en este momento, fuera falso, mi presencia futura en Varsovia sería imposible, lo cual, una vez más, contradice el presupuesto. El enunciado citado no es en este momento ni verdadero ni falso; debe tener, entonces, un valor diferente de O, o lo falso, y de 1, o lo verdadero. Lo podemos indicar por 1/2 : es «lo posible», que se agrega como tercer valor a «lo falso» y a lo «verdadero». Éste es el curso de pensamiento que dio origen al sistema trivalente de lógica preposicional". Este texto se conecta con sus reflexiones sobre la cuestión de los futuros contingentes de Aristóteles. En el estudio de la silogística de Aristóteles y de la historia de la lógica en general es tan importante la contribución de Lukasiewicz que quien se proponga realizar estudios en esos campos de investigación se enfrentará constante e inevitablemente con el nombre de este gran lógico polaco.

TARSKI, Alfred (1902) Lógico y matemático, notable representante de la Escuela Lvoviano-Varsoviana. También es fundador de la semántica formal, que estudia las significaciones de los juicios y conceptos en lógica. Estudia también los problemas de la construcción de las teorías deductivas, de lametalógica, la semiótica,  define el concepto de verdad en los lenguajes formalizados, estableció que cada enunciado es demostrable, es verídico pero no cada enunciado verídico es demostrable, etc. Obras principales: "Lógica, semántica, metamatemáticas" (1956), "Lógica, metodología y filosofía de la ciencia" (1962). KURT GÖDEL Lógico estadounidense de origen austriaco, conocido sobre todo por sus investigaciones en filosofía y en matemáticas. Nació en Brünn (hoy Brno, República Checa). Estudió en la Universidad de Viena y dio clases en esta institución desde 1933 a 1938. Emigró a los Estados Unidos en 1940 y se nacionalizó estadounidense en 1948. Fue miembro del Instituto para Estudios  Avanzados de Princeton, Nueva Jersey, hasta 1953, fecha en la que empezó a enseñar matemáticas en la Universidad de Princeton. Gödel se dio a conocer con una obra, publicada en 1931, en la que enunció lo que se conoce como teorema de Gödel. Este principio establece que en cualquier sistema simbólico formal es posible construir una proposición que no se puede probar ni refutar en el mismo sistema. Gödel también escribió The Consistency of the Continuum Hypothesis  (La consistencia de la hipótesis del continuo , 1940) y Rotating Universes in General relativity Theory  (Los universos giratorios en la teoría de la relatividad general , 1950).

FRANCISCO MIRÓ QUESADA Filósofo peruano. Nacido en Lima, fue profesor en dos universidades de su ciudad natal, la Peruana Cayetano Heredia y la Nacional Mayor de San Marcos. Algunas de las principales aportaciones de su pensamiento se centraron en la reivindicación de la exactitud en el planteamiento de los problemas filosóficos. Para ello, Miró Quesada aplicó los logros de la lógica y de las matemáticas, así como la defensa de una filosofía racionalista que subraya la importancia del método y de la exactitud. Para él, la filosofía se sitúa en el ámbito de las ciencias, por lo que prestó una atención especial al desarro llo de las llamadas “lógicas no ortodoxas”. La razón posee un dinamismo propio y sus contradicciones pueden refinar su empleo, pero nunca detener su fuerza. Realizó, además, interesantes análisis sobre la unidad posible entre la lógica teórica y la lógica de las acciones, en la búsqueda de la estructura de la logicidad pura. En el conjunto de su vasta producción escrita, deben ser citados los siguientes trabajos: Sentido del movimiento fenomenológico (1940), El problema de la libertad y la ciencia (1943),Lógica (1946), Iniciación lógica (1958), La otra mitad del mundo (2 vols., 1959), Apuntes para una teoría de la razón (1963), Humanismo y revolución (1969), Filosofía de las matemáticas(2 de filosofía del derecho  (1986), Las vols., 1976), Ensayos Supercuerdas (1993), Hombre, sociedad y política (1993) y Razón e historia en Ortega y Gasset  (1993).

LÓGICA DIALÉCTICA La lógica dialéctica iniciada por Heráclito, desarrollada parcialmente por Platón y bosquejada fragmentariamente por Aristóteles, es tratada más tarde por J. H. Eckhart (1260-1327) y porJ. Boehme (1575-1624) y, después, es estudiada por I. Kant (1724-1804) en las antinomias de la razón y analizada por J. G. Fichte (1762-1814) en la actividad de la conciencia y en las antinomias de la acción. La formulación general de la lógica dialéctica es hecha por G. W. F. Hegel (17701831) en su Ciencia.de la Lógica. Hegel elabora el método dialéctico, formula las leyes de la negación de la negación, de la unidad de los opuestos y de la transformación recíproca entre cantidad y cualidad, hace un desarrollo dialéctico de las categorías, establece nuevas formas del juicio, estudia el proceso del conocimiento científico, aplica la lógica dialéctica a la teoría del conocimiento, incorpora la actividad práctica a la teoría del conocimiento y formula el esquema tríadico del desarrollo en forma de tesis, antítesis y síntesis. Después, K. Marx (18181883) formula el método materialista dialéctico y lo aplica consecuentemente en la investigación científica da la economía. F. Engels (1820-1895) formula con precisión las leyes dialécticas y destaca su función metódica, analiza la estructura dialéctica de la ciencia y desarrolla las categorías del conocimiento. V. I. Lenin (1870-1924) desarrolla la dialéctica como metodología científica, estudia la función que desempeña la práctica en el proceso del conocimiento y lo establece como criterio de verdad. En otros sentidos, B. Croce (1866-1952) desenvuelve la dialéctica del concepto, J. Cohn desarrolla la teoría lógica de la dialéctica, J. Cavaillés (1903-1944) hace un análisis