Reporte

Examen No. 14 Instituto Politécnico Nacional UPIITA 1ER Examen Departamental MECATRÓNICA II ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE MECANISMOS Nombres: Franco García Oswaldo Ignacio Patiño Ortega Jonathan Israel

EQUIPO #: 4 . Grupo: 2MM1 Fecha de Entrega: 30/11/2012

Instrucciones. Modele y simule utilizando el método gráfico, álgebra compleja, método analítico y método matricial apoyándose en el software Mathematica ® 8.0, lo siguiente: a) Grados de libertad. b) Análisis de posición:  = 0 a 360. c) Análisis de velocidad: n = 10 rad/s. d) Análisis de Aceleración: = 0 rad/s2 Se entregará impreso el desarrollo de la solución, incluyendo:  Redacción del problema incluyendo el dibujo del mecanismo (dimensiones, etc.).  El impreso deberá contener el desarrollo detallado (Tipo tutorial) de la solución como: fórmulas, gráficas, validación de resultados numéricos, programas, etc. (Memoria Técnica)  Se entregará en un CD el desarrollo de la solución además del código en Mathematica® 8.0. (archivo: *.docx y el archivo *.nb).  Guardar todas las imágenes *.ai de illustrator en una carpeta: figura1.ai, figura2.ai,…, La presentación al grupo será a través de la plantilla de página web, suministrada por el profesor.

Prof. Dr. Juan Alejandro Flores Campos.

C O N TE NI D O I. Planteamiento del Probelma ................................................................................ 4

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I.1 Grados de Libertad ............................................................................................ 4 II. Definición de Lazos del Mecanismo .................................................................... 5 III. Análisis de Posición ............................................................................................ 5 III.1 Método Gráfico ................................................................................................ 7 III.2 Método Analítico ............................................................................................. 8 III.3 Método matricial ........................................................................................... 12 III.4 Método de Álgebra Compleja .......................................................................... 15 III.5 Análisis de Resultados ................................................................................... 19 III.6 Conclusiones ................................................................................................. 19 III.7 Simulación posicion del mecanismo ............................................................... 19 IV. Análisis de Velocidad ........................................................................................ 20 IV.1 Método Gráfico .............................................................................................. 21 IV.2 Método Analítico ........................................................................................... 22 IV.3 Método Matricial ........................................................................................... 27 IV.4 Método de Álgebra Compleja ......................................................................... 33 IV.5 Análisis de Resultados ................................................................................... 38 IV.6 Conclusiones ................................................................................................. 38 IV.7 Simulación de Velocidad del Mecanismo ......................................................... 38 V. Análisis de Aceleración...................................................................................... 41 V.1 Método Gráfico ............................................................................................... 41 V.2 Método Analítico ............................................................................................. 43 V.3 Método Matricial ............................................................................................ 49 V.4 Método de Álgebra Compleja ........................................................................... 52 V.5 Análisis de Resultados .................................................................................... 57 V.6 Conclusiones .................................................................................................. 57 V.7 Simulación de Aceleración del Mecanismo ....................................................... 58 VI. Trabajo Virtual ................................................................................................... 59 VI.1 Analizando sin gravedad ................................................................................ 59 VI.2 Simulaciòn del analisis sin gravedad ............................................................. 60 VI.3 Analizando con gravedad ................................................................................ 60 VI.4 Simulaciòn del analisis con gravedad ............................................................ 61 VII. Inercia Generalizada ........................................................................................ 61 VII.1 Posición de los Centros de Gravedad ............................................................. 61 VII.2 Velocidad de los Centros de Gravedad ........................................................... 62 VII.3 Coeficientes de Velocidad de los Centros de Gravedad .................................... 63 VII.4 Derivada de los Coeficientes de Velocidad de los Centros de Gravedad ........... 64 VII.5 Energía Cinética ........................................................................................... 65

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VII.6 Inercia Generalizada ..................................................................................... 66 VII.7 Derivada de la Inercia Generalizada ............................................................... 66 VII.8 Energía Potecial ............................................................................................ 67 VII.9 Derivada de la Energía Potecial ..................................................................... 67 VIII. Modelo Dinámico ............................................................................................ 67 VIII.1 Simulación del modelo Dinámico .................................................................. 67 IX. Conclusiones ..................................................................................................... 68 X. Reacciones de los Pares Cinemáticos ............................................................... 70 X.1 Aceleraciones de los centros de masa de los eslabones ..................................... 70 X.2 D.C.L. ............................................................................................................. 71 X.3 Aplicación de las ecuaciones de movimiento .................................................... 73 X.4 Gráficas de Reacción de q................................................................................ 76 X.5 Comparación de Resultados WM ..................................................................... 76 XI. Planteamiento de Resortes y Amortiguadores ................................................. 77 XI. Simulación del Mecanismo Amortiguado .......................................................... 77 XII. Control de Posición del Mecanismo ................................................................ 78 XII.1 Esquema de control Working Model ............................................................... 79 XIII. Control de Velocidad del Mecanismo ............................................................. 80 XIV. Conclusiones .................................................................................................. 80

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I.

PLANTEAMIENTO DEL PR OBELMA

A continuación, se presenta el desarrollo y la memoria técnica del análisis de posición, de velocidad y de aceleración del mecanismo mostrado en la figura 1, se presenta a detalle el desarrollo del análisis de posición, velocidad, aceleración utilizando los métodos: gráfico, analítico, matricial y de álgebra compleja para la parte cinemática (posición, velocidad y aceleración). Se comparan e interpretan los resultados obtenidos de los cuatro métodos entre sí, con el fin de validarlos. Nos apoyamos en el software de cálculo simbólico formal de Mathematica® 8; y para ilustración nos apoyamos de Illustrator®CS5.

Figura 1. Mecanismo de 2 lazos: Colisa Invertida y Biela Manivela

Datos: q=120 qp= 10 rad/s m

AC= 0.40 m CD = 0.500 m

AB= 0.600 m DE= 1.5

qpp= 0 rad/s2

I.1 GRADOS DE LIBERTAD La movilidad de un mecanismo se puede definir como el número de entradas independientes que tiene un sistema para conocer la posición de todos los puntos de todos sus eslabones, referidos a un sistema inercial (fijo) de coordenadas. En este caso XY. El número de grados de libertad se puede determinar mediante el criterio de KutzbachGrübler: (

)

(1.1)

donde: : Es el número de pares cinemáticos superiores. En este caso particular, Página 4 de 80

:Denota el número de pares cinemáticos inferiores, marcados con números romanos (i,ii,..,vii)

: Es el número de eslabones que tiene el mecanismo.

Sustituyendo en la ecuación (1.1) (

)

( )

Estos significa que basta una sola entrada a la colisa (eslabón 1) para conocer la posición de cualquier punto de cualquier eslabón del mecanismo con respecto al sistema de coordenas XY. Recordando que es necesario haber obtenido el modelo cinemático del mecanismo que relaciona las coordenadas de posición de los eslabones con la variable de entrada, en este caso . II. DEFINICIÓN DE LAZOS DEL MECANISMO

La imagen siguiente ilustra de manera sencilla la separación por lazos que se hizo del mecanismo, de color verde se colorearon los eslabones del lazo 1 y de color azul los eslabones del lazo 2, más adelante procederemos a detallar de mejor manera el comportamiento y caracteristicas de cada uno.

III. ANÁLISIS DE POSICIÓN

Figura 3.Identificacion de los lazos a estudiar

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El mecanismo está conformado por 6 eslabones 2 vigas simples, 1 viga doblada a 90° (divida en 2 secciones para su estudio, A, B), 2 correderas y una tierra común, para su estudio dividiremos al mecanismo en 2 lazos. El primer lazo consta de una viga simple de 0.6m de longitud, la sección A de la viga a 90°, una corredera y dos puntos de contacto con la tierra común. La interacción de estos elementos se presenta de la siguiente forma; la distancia entre los dos puntos de tierra común (pares cinemáticos inferiores A y C) es de 0.4m, el mecanismo inicia en el par cinemático inferior A con la unión de la tierra y la viga simple y termina en el par cinemática inferior C donde hace unión con el punto a 90° de la viga doblada; el ángulo existente entre la tierra común y la viga simple es de 30°, al final de la viga simple hay por unión en par cinemático inferior una corredera que hace de eslabón 2; en conjunto la unión de estos elementos crea un mecanismo de colisa invertida como se muestra en la figura 4.

Figura 4. Lazo I

Para el lazo 2 se cuenta con 1 viga simple de 1.5m de longitud, la sección B de la viga a 90° de 0.5m de longitud, 1 corredera y tierra común. La interacción de estos elementos se presenta de la siguiente forma: inicia tierra común con par cinemático inferior C que hace unión con la sección B de la viga a 90°, esta al final hace unión en par cinemático inferior 5 con la viga simple, al finalizar esta, crea un par cinemático inferior E con la segunda corredera, quien a su vez, genera el último par cinemático del mecanismo haciendo contacto con la tierra común; en conjunto la unión de estos elementos crea un mecanismo de biela-manivela-corredera como se muestra en la figura 5.

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Figura 5. Lazo II

III.1 MÉTODO GRÁFICO

El método gráfico se basa en la medición directa de las longitudes y de los ángulos de los eslabones del mecanismo. Es decir, Se puede utilizar una regla y un transportador para trazar la configuración cinemática del mecanismo, y así obtener los valores de incógnitas que permitan ensamblarlo. En este método se hace uso de la ecuación vectorial de posición:

Sin embargo, los signos de las coordenadas deben definirse visualmente. Para determinar las longitudes y ángulos que deben tener los eslabones del mecanismo, y este pueda ser ensamblado con la configuración mostrada en la figura 6. Se puede utilizar el método gráfico, que consiste en los siguientes pasos: Supongamos que el mecanismo es el mostrado en la figura 6, con la configuración geométrica presentada y una incógnita es determinar el vector posición del punto B (R4), primero se traza un vector de posición desde el origen de coordenadas XY al punto B, se mide con una regla y un transportador, o utilizando un software de CAD, su magnitud y ángulo.

De la misma manera se miden los ángulos. Midiendo de la figura 6, se obtiene:

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Figura 6. Método Gráfico

Es importante señalar, que este método tiene un error considerable en los resultados obtenidos, debido a que la obtención de la información fue de manera visual y depende de la habilidad que se tenga con la regla. Como herramienta alternativa se puede utilizar algún software de CAD, o Geogebra® para trazarlo y obtener valores más exactos.

III.2 MÉTODO ANALÍTICO

Introducción.- Para este método es importante recordar el concepto de vector, debido a que representaremos a los eslabones físicos a través de vectores de posición. Usaremos la representación de Euler 1843, en los sistemas de coordenadas polares y coordenadas cartesianas: ( Dónde:

denota la magnitud y

su dirección.

), Nota: En la figura el eje y = iy.

Para facilitar la obtención de las longitudes y ángulos incógnita del mecanismo utilizando el método analítico, se utiliza el desacoplo cinemático, que consiste en separar en dos lazos el mecanismo a analizar, para plantear las ecuaciones vectoriales de lazo, respectivamente. Primero se analizará el lazo I, el cual se muestra en la Figura 4. (3.1) (3.2)

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Figura 4. Dónde, en términos de números complejos:

*

+ (dato)

En este caso el único ángulo conocido es , por lo que es necesario encontrar el valor del ángulo (Θ3), que suponemos desconocido. De la ecuación (3.2) se obtiene la ecuación de lazo, para el lazo I; * *

+

+

*

+

(3.3)

Utilizando la representación de Euler, se obtienen los siguientes términos:

 

 

(3.4)



(3.5)

Sustituyendo las ecuaciones (3.4) y (3.5) en (3.3), se obtiene la ecuación de lazo, en coordenadas cartesianas, esto es para el lazo I. (

) (3.6)

(



 )

*

+

*

+

Separando en componentes reales e imaginarias:

  Página 9 de 80

Se formó un sistema de ecuaciones no lineales en términos de sus incógnitas:  y , para encontrar la solución se hace uso del programa Wolfram Mathematica ®1 8.0. La solución obtenida, es:

y

Ahora que se conocen el ángulo y la magnitud del lazo 1, de igual forma se realiza el análisis del lazo II. De lo anterior se obtienen las siguientes ecuaciones de lazo:

(3.7) *

+

(3.8)

Figura 5.

Igualando las ecuaciones (3.7) y (3.8)

*

+

(3.9)

Tomando en cuenta que cada vector puede ser representado en términos de Euler.

1

(

)

(

)

® Marca Registrada versión Trial.

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La ecuación (3.9) se puede reescribir de la siguiente forma: (3.10)

Separando la ecuación (3.10) en componentes (coordenadas cartesianas) se obtienen dos ecuaciones: (3.10a) (3.10b)

Al sustituir los datos conocidos (y calculados) y resolver el sistema de ecuaciones anterior, se encuentran los valores de la posición del último eslabón del sistema, que es la corredera x, y el ángulo , auxiliándose nuevamente con el software Wolfram Mathematica® 8.0. Nota 1: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Analitico_P.NB”, ubicado en la carpeta: Analitico/Analitico.nb

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Por lo que los resultados obtenidos son:

III.3 MÉTODO MATRICIAL Lazo 1 Para encontrar la posición de los elementos del primer lazo del mecanismo, se tiene las siguientes ecuaciones de restricción mediante la implementación de entidades trigonométricas. (3.11) (3.12) (3.13) (3.14)

Figura 9. Código que permite la resolución del problema usando el método Solve

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Figura 6. Dónde: Las primeras 2 ecuaciones es decir f1 y f2 representan las ecuaciones de lazo del primer lazo y las otras 2 es decir f3 y f4 representan las ecuaciones correspondientes al segundo lazo Figura 7.

Figura 7. Introduciendo este sistema de 4 ecuaciones en el software Wolfram Mathematica® 8.0 para resolverlo. Nota 2: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Método matricial posición.nb”, ubicado en la carpeta: Matricial/Matriz_P.nb

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Dando como resultados:

III.4 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA

Introducción.- Este método es muy interesante debido a que utiliza una transformación lineal, ortogonal de determinante positivo. En otras palabras esta transformación representa una rotación. Es decir, cualquier vector que sea transformado sufre una rotación conservándose la norma del vector (magnitud). La notación de la transformación es la siguiente: ( ) , donde el punto “ ” significa todo el espacio vectorial , y la letra ( ) es un parámetro de rotación que contiene la información de la cantidad de rotación y el eje de giro con el que va a rotar el vector. El significado físico de los componentes del parámetro son los siguientes: . La transformación está definida como:

(

)

| |

*

+

, y donde

vector a rotar y tiene componentes ( ) , por otro lado la norma | | unitaria para obtener los parámetros de Euler. La operación binaria define como: ( Siendo (

)(

)

) (

)

(

es el

se vuelve , se

)

,

Para utilizar este método se plantea la siguiente metodología, en base a la siguiente ecuación cinemática de posición de un mecanismo dado:

(

)

(

)

1) Definir el problema: Cinemática Directa: Dados como datos se debe hallar , que satisface a la ecuación anterior, se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal a resolver. Cinemática Inversa: Dados como datos . Se debe hallar los parámetros p y q, se obtendrá un sistema no lineal simultáneo de ecuaciones a resolver. Síntesis: dados como datos: y encontrar: , se obtendrá un sistema de ecuaciones lineal.

2) Definir las bases para cada eslabón, encontrar la representación de cada base respecto a la base inercial y construir los vectores de posición. 3) Plantear la relación de la posición para resolver el problema: ecuación de lazo.

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Una ventaja al utilizar este método es que el sistema de ecuaciones que se obtiene está en términos de parámetros y no de funciones trigonométricas que son sensibles a las perturbaciones numéricas. Otra ventaja consiste en que los valores iniciales que se utilizan en el método de Newton-Raphson para resolver el sistema de ecuaciones (comando: FindRoot[]), están dentro del rango: -1 a 1. Lo anterior, permite controlar el conjunto de soluciones a obtener, debido a que existen dos conjuntos de soluciones posibles. 1) Planteamiento del problema. Se trabajará con la cinemática directa, es decir, dados como datos los ángulos y las longitudes de los eslabones encontrar el vector posición del punto E.

2) Definición de las bases. En este punto, se define la base global (inercial) alineada paralelamente al sistema de coordenadas XY, luego se define una base local para cada eslabón del mecanismo. Es importante hacer coincidir paralelamente el vector ( ) de cada base con cada eslabón del mecanismo. Número de bases locales: n=4.

Base Inercial: *

+

*

+

*

+

Bases móviles: (

)

(

)

(

)

(

)

Datos: ,

,

,

,

Entonces: *

+

*

+

*

+

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*

+

3) Se define la ecuación de lazo y se representa en un sistema de ecuaciones. 4)

Pero explicitando *

+

*

+

(3.15)

Separando en componentes la ecuación (3.15) y apoyándonos en la ecuación auxiliar: (3.15a) (3.15b) (3.16) De donde se obtiene un sistema de ecuaciones no lineal de 3x3 donde las variables a considerar son , y . A continuación se presenta el código desarrollado en Mathematica® 8.0 Nota 3: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Método álgebra compleja posición.nb”, ubicado en la carpeta: Algebra_Compleja/Algebra_Compleja_P.nb

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Arrojando como resultados:

III.5 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Tabla 1. Despliegue de resultados numéricos y comparación de los métodos aplicados. Incógnita Método Método Método Álgebra Gráfico Analítico Matricial Compleja

1.213 m

1.2135m

1.2135m

1.213m

Como se puede observar en la tabla 1, los resultados obtenidos con cada método son muy cercanos entre sí, el método gráfico es el más sencillo de entender pero tienen un error mayor, por otro lado, el método de álgebra compleja genera resultados exactos. III.6 CONCLUSIONES El uso de los diferentes métodos nos permitió comparar los resultados obtenidos para validarlos. Cabe mencionar, que el método de álgebra compleja utiliza parámetros de rotación, en lugar de sen(), cos(), etc. funciones trigonométricas. Una ventaja de usar parámetros en las rotaciones de cuerpos rígidos es que son insensibles a las perturbaciones numéricas, el valor inicial (data guess) se encuentra entre -1 y 1, por lo que se puede encontrar la una solución de las dos que existen, permitiendo mantener la configuración del mecanismo consistente a su geometría en movimiento. III.7 SIMULACIÓN POSICION DEL MECANISMO

Figura 8.

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Figura 9.

IV. ANÁLISIS DE VELOCIDA D Para el lazo uno se presenta una velocidad angular dada de 10rad/s que afecta al eslabón 1 haciéndolo rotar en sentido anti horario; la corredera, al final de esta viga, por sus condiciones, contara con la velocidad angular del eslabón 1 y con una velocidad lineal que se direccionara en el sentido de la sección A de la viga a 90°, la viga a 90° tendrá una velocidad angular distinta a la del eslabón 1 (llamada ̇ ) y poseerá velocidad lineal para r3 denominada ̇ . Para el lazo 2 la segundo sección de la barra a 90° tendrá por velocidad angular a ̇ sin velocidad lineal, esto generará en el eslabón 4 una velocidad angular distinta llamada ̇ y una velocidad lineal en el par cinemático con la corredera llamada ̇ , la corredera solo contará con una velocidad lineal la cual será igual a ̇ .

Figura 10.

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IV.1 MÉTODO GRÁFICO Introducción.- El método gráfico para analizar la velocidad de un mecanismo, se basa en la ecuación vectorial de velocidad, que se obtiene derivando la ecuación vectorial de posición: con respecto al tiempo.

Donde , denota la velocidad absoluta del punto B referido al origen del sistema de coordenadas inercial (fijo). , denota la velocidad absoluta del punto B referida al punto c, y es una velocidad relativa, esto es; la velocidad del punto B desde r4 con respecto a la velocidad de B desde r2. Lazo I Por definición la velocidad es perpendicular a la barra AB, ya que el valor de la velocidad angular es conocido, se puede calcular su magnitud.

( Midiendo, se velocidades

)(

)

puede

obtener

las

Para calcular sabemos que esta definida por la distancia y

Figura 11. Polígonos de Velocidad para el lazo I

̇ Lazo II Para este lazo se conoce la velocidad por lo que es posible calcularla. (

)(

, la velocidad

es perpendicular al eslabón CD

)

Después

decimos que de donde sabemos que es paralela Página 21 de 80 Figura 12. Polígonos de velocidad para el lazo II

al eje x y es perpendicular al eslabón DE. Trazamos los vectores y con ayuda del CAD obtenemos las medidas,

Y para calcular

se sabe que esta está dada por la relación.

Por lo que sustituyendo los valores obtenemos.

IV.2 MÉTODO ANALÍTICO

Figura 13. Primer lazo método analítico Lazo I Para obtener las velocidades angulares del ecuaciones vectoriales de velocidad:

mecanismo se utilizan las siguientes (4.1)

Donde y , se leen como velocidad relativa del punto B con respecto a relativa del punto B con respecto al punto , respectivamente.

y velocidad

Recordando que la velocidad relativa es el vector diferencia entre los vectores de velocidad de dos objetos o puntos, medidos desde un mismo sistema coordenado, como puede observarse del polígono de velocidad formado en el origen B mostrado en la figura 20. Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:

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*

+

La velocidad es la derivada con respecto al tiempo de la posición de los puntos del mecanismo, por lo tanto: (4.2) (4.3)

Utilizando la representación de Euler se obtiene:

Utilizando la ecuación (4.1): *

+

Sustituyendo las representaciones en la ecuación (

)

(

)

*

+

(4.4)

Separando en componentes la ecuación (4.4), derivando y dándole dirección a toma la forma siguiente

, (4.4a) (4.4b)

Donde nuestras incógnitas son Lazo II (4.5)

Del análisis de posición con el método analítico se tiene que:

*

+

Al igual que en el lazo I, se deriva la posición con respecto al tiempo para obtener las ecuaciones velocidad.

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Figura 14. Segundo lazo método analítico

* ̇

+

Sustituyendo las ecuaciones de velocidad en la ecuación (4.5):

* ̇

+

*

+

(4.6)

Utilizando la representación Euler

Sustituyendo en la ecuación (4.6) (

)

(

)

* ̇

+

*

+

(4.7)

Separando en componentes reales e imaginarias, la ecuación (4.7) toma la forma siguiente: ̇

(4.7a) (4.7b)

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Las ecuaciones (4.3), (4.4), (4.7a) y (4.7b) forman un sistema de ecuaciones no lineal 4x4. A continuación, se presenta el código desarrollado en el software de cálculo simbolico Wolfram Mathematica 8 ® para resolver dicho sistema. Nota 4: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “Método analítico velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: Analitico/Analitico_V.nb

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Resultados obtenidos: ̇ ̇

̇ ̇

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IV.3 MÉTODO MATRICIAL Caso I

Figura 15. Método matricial. Lazo 1 De las ecuaciones obtenidas en el análisis de posición del método matricial tenemos:

Estas definen el ángulo y para conocer la velocidad angular ̇ y la velocidad lineal ̇ se deriva con respecto al tiempo: ̇ ̇

̇

(4.8a)

̇

(4.8b)

Se representan las ecuaciones (4.8a) y (4.8b) en forma matricial y se despejan ̇ y [

][

̇

]

[

]

( ̇) (4.9)

Lazo 2 Para el lazo 2 del análisis de posición del lazo 2 obtenemos:

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̇ y la velocidad del punto E, ̇ , se derivan Para encontrar las velocidades angulares ̇ con respecto al tiempo las ecuaciones anteriores, obteniéndose la siguiente expresión: ̇

(4.10a) (4.10b)

Expresando las ecuaciones (4.10a) y (4.10b) en forma matricial quedan de la siguiente manera: [ 0 ̇ 1

]0 ̇ 1 [

]

[ [

]

(4.11)

]

Figura 16. Método matricial. Introduciendo este sistema de 4 ecuaciones en el software de cálculo formal Wolfram Mathematica 8® y resolviendo obtenemos Nota 5: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Método matricial velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: Matricial/Matricial_V_T

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Resultados obtenidos: ̇

̇ ̇

̇

Caso II Para el caso 2 hacemos uso de las ecuaciones antes obtenidas del Caso I para calcular lo que ahora conoceremos como coeficientes de velocidad, los cuales nos serán de gran ayuda en temas posteriores, estos coeficientes dependen de la posición de los eslabones del mecanismo

Lazo I De la matriz (4.9) [ Dividiremos las incógnitas ̇ y

][

̇

]

[

]

(4.9)

entre la entrada, es decir, la variable generalizada, ̇

[

]

A estos 2 nuevos valores nombraremos respectivamente como: [

]

Que ya son por principio los coeficientes de velocidad, finalmente reacomodando las ecuaciones y escribiéndolas en forma de matriz obtenemos la siguiente estructura que define el valor de cada uno de los coeficientes.

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[

]

[

̇⁄ ⁄

]

[

]

[

]

(4.12)

Lazo II

Procedemos de la misma manera a la obtención de los coeficientes de velocidad para el lazo 2, tomamos las matriz calculadas en el caso I para el lazo 2 donde nuestras incógnitas ahora son y ̇ y, la variable de entrada es que fue determinada en lazo 1 0 ̇ 1

[

]

[

]

(4.11)

La división entre las incógnitas y la variable de entrada es: [

] ̇

Y da por resultado los coeficientes que llamaremos [

y

:

]

Que son ya los coeficientes de velocidad para el lazo 2, reacomodando las ecuaciones y escribiéndolas en forma de matriz obtenemos la siguiente estructura que define el valor de cada uno de los coeficientes.

[

]

[ ̇

]

[

][

]

(4.13)

Nota 6: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado “Cálculo de coeficientes de Velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: Matricial/Matriz_V_J.nb

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Resultados obtenidos: ̇ ̇

̇ ̇

IV.4 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA DEFINICIÓN DE LAS BASES Número de bases: 4 Base Inercial: *

+

*

+

*

+

Bases móviles: (

)

(

)

(

)

(

)

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Datos: , (

)

, (

,

)

,

(

)

, (

)

,

Lazo I Entonces: *

+ (4.14)

*

+ (4.15)

*

+ (4.16)

*

+ (4.17)

Figura 16. Método matricial.

Las velocidades angulares están representadas vectorialmente por los números duales: *

+;

(4.18)

*

+;

*

+;

(4.19) (4.20)

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Para establecer el sistema de ecuaciones se define (ver Fig.27): (4.21) Se calculan los vectores de velocidad por medio del rotacional del número dual con respecto a su b correspondiente , ,

-

* -

+ * *

+ *

+

(4.22) +

(4.23)

Se separa en 2 funciones y se resuelve el sistema arrojando como resultados

Lazo II Se establece la ecuación de lazo (4.24) Se calculan los vectores de velocidad por medio del rotacional del número dual con respecto a su b correspondiente ,

-

*

+ *

+

(4.25)

,

-

*

+ *

+

(4.26)

Figura 18. Método matricial.

Con las ecuaciones (4.22), (4.23), (4.25) y (4.26) se establece un sistema no lineal de 4x4 que se resolverá con ayuda del software de apoyo. A continuación, se presenta el código en Mathematica® 8.0. Nota 7: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “Método álgebra compleja velocidad.nb”, ubicado en la carpeta: Algebra_Compleja/ Algebra_Compleja_V.nb

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Página 36 de 80

Resultados obtenidos: ̇ ̇

̇ ̇

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IV.5 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Tabla 2. Despliegue de resultados numéricos y comparación. Incógnita

Método Analítico

Método Gráfico

̇

Método Matricial

̇

̇

Álgebra Compleja

̇

IV.6 CONCLUSIONES En la tabla 2 se puede observar que, una vez más, el método gráfico es el que presenta un error mayor, sin embargo la importancia de este método no radica en su exactitud, sino en que ofrece un visión general del comportamiento del mecanismo, en este caso, la dirección y magnitud de las velocidades de cada eslabón, además de ser un método sencillo y fácil de realizar. IV.7 SIMULACIÓN DE VELOCIDAD DEL MECANISMO Imagines de la simulación del mecanismo en diferentes software.

Figura 19. Simulación geogebra

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Figura 20. Simulación geogebra

Figura 21. Simulación geogebra

Página 39 de 80

Figura 22. Simulación mediante el programa matlab.

FIN

1

er

EXAMEN

Página 40 de 80

V. ANÁLISIS DE ACELERACIÓN V.1 MÉTODO GRÁFICO Lazo I Para encontrar la aceleración del punto B se utilizan las fórmulas

La velocidad angular del eslabón AB (n) es constante, por lo tanto:

Sustituyendo los valores necesarios en su ecuación obtenemos el valor de la aceleración de Coreolis: (

)(

)

De la ecuación vectorial de velocidad

Se deduce

Esta ecuación es la base para trazar el polígono de aceleración. Se conoce tanto dirección y sentido de las componentes normal de aB4 y aB2, pero solo se conoce el sentido de la componente tangencial de aB2. Para obtener el valor de las componentes normales de aceleración: ( (

)( )(

) )

Y se miden las magnitudes de los demás vectores de aceleración:

Para calcular

se divide

entre r2

Lazo II

Página 41 de 80

Figura 23. Polígono de aceleración primer lazo.

Para el lazo 2 de igual manera se calculan las aceleraciones normales de

(

)(

(

)

)(

)

Y la aceleración tangencial de

(

)(

)

Este lazo no posee aceleración de coreolis, sus únicas componentes son las aceleraciones normales y tangenciales, graficando y midiendo obtenemos los valores de

Además se puede calcular

Página 42 de 80

Figura 24. Polígono de aceleración primer lazo.

V.2 MÉTODO ANALÍTICO

Figura 25. Aceleración primer lazo método analítico.

Lazo I El análisis parte de la siguiente ecuación vectorial (5.1) Donde cada termino posee su componente normal y tangencial Página 43 de 80

(5.2) (5.3) (5.4) Escritos en términos de Euler las componentes de aceleración quedan

Utilizando la representación de Euler en senos y cosenos: (

) (

(

) (

(

)

( )

) (

))v

Sustituyendo en la ecuación (5.1)

(

(

( (

) ( )

(

)

(5.5)

))

( ))

( ( ) ( ))

( )

(

( )) (5.6)

Separando la ec. (5.6) anterior en componentes reales e imaginarias (

)

( )

( )

( )

(5.6a)

(

)

( )

( )

( )

(5.6b)

Reordenando (

)

( )

( )

( )

(5.6a)

(

)

( )

( )

( )

(5.6b)

Página 44 de 80

Figura 27. Aceleración segundo lazo método analítico.

Lazo II Par el lazo 2 tomamos en cuenta la siguiente ecuación vectorial de aceleración (5.7) Donde

y

tienen componentes de aceleración normal y tangencial

Escritas en términos de Euler dan por resultado:

La aceleración del punto E está restringida de forma que solo posee una aceleración, en el eje x * ̈

+

Utilizando la representación de Euler en términos de senos y cosenos: (

)

(

)

(

)

(

) Página 45 de 80

Sustituyendo en la ecuación (5.7) * ̈

+

(

( )

ó (

( )

( ))

( (

( )

( )

( )) ( ))

* ̈

( ))

+

Separando en componentes reales e imaginarias: ( )

( )

( )

( ))

( )

( )

( )

( ))

̈

(5.7a) (5.7b)

Las ecuaciones (5.6a), (5.6b), (5.7a) y (5.7b) forman un sistemas de ecuaciones de 4x4, dicho sistema se soluciona con el siguiente código desarrollado en Mathematica® 8.0. Nota 8: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “Método ánalitico aceleración.nb”, ubicado en la carpeta: Analitico/Analitico_V

Página 46 de 80

Página 47 de 80

Página 48 de 80

V.3 MÉTODO MATRICIAL Caso 1

Figura 28. Aceleración del mecanismo método matricial

Para este método se derivan las ecuaciones de velocidad antes obtenidas para el lazo I y lazo II Ecuaciones de velocidad: Lazo I ̇

(4.11)

̇

(4.12)

Lazo II ̇

(4.17a) (4.17b)

Se derivan respecto al tiempo para obtener las ecuaciones de aceleración: Lazo I ( )

( )

( )

( )

( )

(5.8)

( )

( )

( )

( )

( )

(5.9)

Lazo II ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(5.10)

( )

(5.11)

Una vez obtenidas las ecuaciones de aceleración se representan en forma matricial:

Página 49 de 80

( ) ( )

( ( ( (

[

,

-[

( ) ( )

]

,

( ( ( (

[

) ) ) )]

,

) ) ) )

-[

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

]

(5.12)

]

,

-[

( )] ( )

Al despejar las incógnitas se tiene

[

( ) ( )

]

( ( ( (

[

, [

-[

( ) ( ) ]

,

[

( ( ( (

) ) ) )]

,

-[

) ) ) )

( ) ( )

]

( ) ( )

,

-[

(5.13) ]

( )] ( )

]

A continuación, se presenta el código en Mathematica® 8.0. para resolver la matriz (5.13) Nota 9: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “Método matricial aceleración.nb”, ubicado en la carpeta: Matricial/Matriz_A_J.nb

Página 50 de 80

Página 51 de 80

V.4 MÉTODO DE ÁLGEBRA COMPLEJA

Figura 29. Aceleración Lazo 1 método de algebra compleja

Lazo I Se hace uso de los valores previos obtenidos en posición y velocidad Usando la ecuación de lazo: |

|

|

|

(5.14)

Donde Ac es la aceleración de Coreolis, que está dada por: |

|

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Se definen los números duales para las componentes de aceleración:

Donde

*

+

*

+

es 0 debido a que n es constante

Se definen los rotacionales ,

-

,

-

Se calculan los vectores de velocidad por medio del rotacional del número dual con respecto a su b correspondiente ,

-

*

+ *

+

(5.15)

,

-

*

+ *

+

(5.16)

Al separar la ecuación de lazo en sus componentes X y Y se pueden obtener los resultados de y de

Lazo II Ahora se definen los números duales para las componentes de aceleración; definido en el lazo I y definimos ahora *

+

quedo (5.17)

Figura 30. Aceleración del Lazo 2 método algebra compleja.

Página 53 de 80

Se definen los rotacionales ,

-

(5.18)

,

-

(5.19)

Debido a que el lazo II no presenta aceleración de coriolis la ecuación de lazo se expresa de la siguiente forma: (5.20) La cual al separarse nos genera un sistema de ecuaciones que nos permite calcular la aceleración del bloque en x y la aceleración angular del eslabón 7

A continuación, se presenta el código en el software de cálculo simbólico Wolfram Mathematica® 8.0. para resolver el sistema de ecuaciones. Nota 10: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “Método álgebra compleja aceleración.nb”, ubicado en la carpeta: Algebra_Compleja/ Algebra_Compleja_A.nb

Página 54 de 80

Página 55 de 80

Página 56 de 80

V.5 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Tabla 3. Despliegue de resultados numéricos y comparación. Incógnita

Método Gráfico

Método Analítico

Método Matricial

Álgebra Compleja

V.6 CONCLUSIONES En la tabla 3 se observan los resultados obtenidos con cada método, al hacer el análisis para aceleración se puede notar como el método de álgebra compleja y matricial se vuelven más complicados, por lo cual se requiere más tiempo para su análisis, por otro

Página 57 de 80

lado, el método gráfico conserva una estructura fácil y rápida de entender pero con la desventaja de no ser un método de precisión y exactitud. V.7 SIMULACIÓN DE ACELERACIÓN DEL MECANISMO

Figura 31. Simulación hecha en Working Model

Figura 31. Simulación hecha en Matlab

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VI. TRABAJO VIRTUAL Se parte de la ecuación de trabajo virtual que es: ∑

∑

(6.1)

Dónde: Derivada parcial del trabajo ∑ ∑

Sumatoria de fuerzas aplicadas en el mecanismo Sumatoria de momentos aplicados al mecanismo

VI.1 ANALIZANDO SIN GRAVEDAD Tomando en cuenta que la gravedad no ejerce fuerza en el sistema, el peso del sistema es cero, lo que hace que sólo se considere el momento inicial, en este caso de 10 Nm Por lo que la ecuación (6.1) queda:

Para poder poner en equilibrio el sistema la derivada parcial del trabajo debe ser igual a cero

Despejando la formula en términos de la fuerza nos queda (6.2) Al resolver la ecuación, la fuerza para equilibrar el sistema es de

Página 59 de 80

VI.2 SIMULACIÒN DEL ANALISIS SIN GRAVEDAD

Figura 32. Simulación hecha en Working model.

VI.3 ANALIZANDO CON GRAVEDAD Esta vez se toman en cuenta los pesos de las barras así como de las correderas, las masas de estas fueron propuestas y se calculó el peso de manera normal, las masas propuestas fueron las siguientes:

Esto hace que nuestra ecuación de fuerza tome la siguiente forma: (

)

(6.3)

Siendo y los coeficientes de velocidad requeridos para el análisis del mecanismo, sustituyendo los datos del problema en la ecuación obtenemos que la fuerza que equilibra al sistema da por resultado:

Página 60 de 80

VI.4 SIMULACIÒN DEL ANALISIS CON GRAVEDAD

Figura 33. Simulación hecha en Working model.

VII. INERCIA GENERALIZADA VII.1 POSICIÓN DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD En el mecanismo podemos identificar claramente 5 centros de gravedad, 3 pertenecientes a las barras y los otros 2 a las correderas que conforman la unión de colisa invertida y biela-manivela-corredera. Gráficamente se pueden localizar como en la figura NN.

Figura 34. Posicion de los centros de masa.

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Se nombran a cada centro de gravedad conforme al eslabón al que pertenece y renombraran a los ángulos ; a continuación procederemos a calcular su posición referenciado al sistema fijo de coordenadas o a sistemas móviles según sea el caso. CG2 ( )

(7.1a)

( )

(7.2b)

( ) ( )

(7.2a) (7.2b)

CG3

Para el CG4 utilizaremos un sistema móvil de coordenadas que estarán acoplados al eslabón 4, el eje X será nombrado U y el eje Y será nombrado V, serán las componentes del vector de posición que nace del sistema móvil al centro de masa del eslabón 4 CG4 ( (

) )

( (

) )

(7.3a) (7.3b)

( )

(7.4a)

CG5 (

) ( )

(7.4b)

CG6 (

)

( )

(7.5a)

VII.2 VELOCIDAD DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD Para la velocidad de los centros de masa, derivamos la posición con respecto al tiempo de cada uno. CG2

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̇

( ) ̇

̇

( ) ̇

̇

̇ ( ) ̇

(7.6a) (7.6b)

CG3 ( ) ̇

(7.7a) (7.7b)

CG4 ̇

) ̇ ) ̇

(

̇

(

( (

) ̇ ) ̇

(7.8a) (7.8b)

CG5 ̇

) ̇

( ̇

( ) ̇

(7.9a)

( ) ̇

(7.9b)

CG6 ̇

( ̇

) ̇

( ) ̇

(7.10a)

VII.3 COEFICIENTES DE VELOCIDAD DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD Reacomodaremos las velocidades de los CG´s a modo de obtener los coeficientes de velocidad de cada uno. Antes de conocer los coeficientes de velocidad de los CG´s es bueno conocer los coeficientes de velocidad generales del mecanismo, Ka y Kb. (

)

(

) (

(7.11) (7.12)

)

(7.13)

( ) ( )

Donde B está definida como:

( )

(7.14)

CG2 ( ) ( )

(7.15a) (7.15b)

CG3

Página 63 de 80

( )

( ) ( )

(7.16a) (7.16a)

( )

CG4 (

(

) (

( )

(

)) (

(7.17a) (7.17a)

))

CG5 (

)

( )

(7.18a)

( )

(7.18a)

CG6 (

)

(

)

( )

(7.19a)

VII.4 DERIVADA DE LOS COEFICIENTES DE VELOCIDAD DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD Ahora procedemos a calcular la derivada de los coeficientes de velocidad de los CG´s, mismos que detallamos anteriormente. ( (

)(

(

)

) ( )

( )

(

) (

(7.20) )

)

(7.21)

CG2 ( )

(7.22a)

( )

(7.22b)

CG3 ( (

( )

( )

( ))

( )

( ))

( )

( )

(7.23a)

( )

(7.23b)

CG4 (

( (

(

) )

(

)) ))

(

(

( (

(

) )

( (

)) ))

(7.24a) (7.24b)

CG5 (

)

.

( )/

.

( )/

(7.25a)

Página 64 de 80

(

)

( )/

.

( )/

.

(7.25b)

CG6 (

)

(

)

(

( )

)

(7.26a)

( )

VII.5 ENERGÍA CINÉTICA Para el cálculo de energía cinética procederemos a utilizar el teorema de superposición el cual nos permite calcular la energía cinética de cada eslabón por separado y al final sumarlas en conjunto. La ecuación de la energía cinética para nuestro mecanismo quedaría de la siguiente manera: (7.27) Por consiguiente procederemos a calcular uno por uno la energía cinética de cada eslabón. Eslabón 2 ,

(

)

- ̇

(7.28)

,

(

)

- ̇

(7.29)

,

(

)

- ̇

(7.30)

,

(

)

- ̇

(7.31)

,

(

)

- ̇

(7.32)

Eslabón 3

Eslabón 4

Eslabón 5

Eslabón 6

Ahora sustituyendo las ecuaciones anteriores en el teorema de superposición obtenemos que la energía cinética de nuestro mecanismo es: *,

(

) ,

(

)

(

-

+ ̇

)

(

)

(

)-

(7.33)

Página 65 de 80

VII.6 INERCIA GENERALIZADA Para el cálculo de inercias debemos de recordar las masas que en algún momento ya propusimos, estas son:

Siguiendo la metodología de estudio procedemos a calcular los momentos de inercia de cada eslabón del mecanismo. Para el cálculo de la inercia de los eslabones 2 y 5 aplicaremos el teorema de ejes paralelos y para el de las correderas y eslabón 3,4 y 6, nos apoyaremos del software de simulación de mecanismos Working Model 2004®

( )

Para la Barra 1

(7.34)

Para la Corredera 1

Calculado en Working Model

Para la Barra 4

Calculado en Working Model ( )

Para la Barra 5 Para la Corredera 2

(7.35)

Calculado en Working Model

Por lo tanto podemos resolver que la Ig (Inercia Generalizada) del mecanismo quedando de la siguiente forma:

( (

)

(

)

) (

(

)

) (7.35)

VII.7 DERIVADA DE LA INERCIA GENERALIZADA

Derivando la inercia generalizada obtenemos lo siguiente ( (

)

(

)

(

) ) (7.36)

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VII.8 ENERGÍA POTECIAL Para el cálculo de la energía potencial sabemos que , donde V es la energía potencial y W es el trabajo realizado por el mecanismo, la cual se calcula de la siguiente manera: ( )

(

( )

)

( )

(7.37)

VII.9 DERIVADA DE LA ENERGÍA POTECIAL Derivamos la energía potencial y obtenemos

( )

( )

(

)

( )

(7.38)

VIII. MODELO DINÁMICO VIII.1 SIMULACIÓN DEL MODELO DINÁMICO

Figura 34. Simulación hecha en Working model.

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Figura 34. Simulación hecha en Simulink de matlab.

IX. CONCLUSIONES

Para poder calcular la inercia generaliza, energía cinética y potencial de cualquier mecanismo, sigue siendo de vital importancia el conocimiento de la posición ya que gracias a la metodología de estudio, todos estos nuevos cálculos siguen estando parametrizados a las variables que de ahí vienen, sin un buen cálculo de posición no es posible calcular las energías que en el existen.

Página 68 de 80

FIN

2

do

EXAMEN

Página 69 de 80

X. REACCIONES DE LOS PARES CINEMÁTICOS X.1 ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE MASA DE LOS ESLABONES Las aceleraciones de los eslabones del mecanismo están dadas por la fórmula: ̈

̇

(10.1)

Por lo tanto para los centros de gravedad tenemos la siguiente relación de aceleraciones CG2 ̈

̇

̈

̇

(10.2a) (10.2b)

CG3 ̈

̇

̈

̇

(10.3a) (10.3b)

CG4 ̈

̇

̈

̇

(10.4a) (10.4b)

CG5 ̈

̇

̈

̇

(10.5a) (10.5b)

CG6

̈

̈ ̇

̇

(10.6a) (10.6b)

Página 70 de 80

Figura 35. Reacciones en las juntas del mecanismo.

X.2 D.C.L. El diagrama de cuerpo libre de las fuerzas en los eslabones se ilustra en la siguiente imagen creada en Adobe Ilustrator 5®, cabe destacar que la dirección y magnitud de los vectores fuerza no son los reales, estos, dirección y magnitud, serán descritos al finalizar el cálculo correspondiente, por el momento son enteramente representativos.

Figura 36. D.C.L. Primer eslabón.

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Figura 33. D.C.L. Cuerpo rígido “L”.

Figura 36. D.C.L. Quinto eslabón.

Figura 36. D.C.L. de las Correderas.

Página 72 de 80

X.3 APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO Una vez determinadas las fuerzas de reacción del mecanismo procedemos a aplicar las leyes de Newton en sumatorias de fuerzas en componentes X, Y y momentos, se deben hacer estas 3 sumatorias para cada uno de los eslabones del mecanismo.

Eslabón 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ̈ ̈

(10.7a) (10.7b) (10.7c) (10.7d)

Eslabón 3 ∑

(10.8a) (10.8b)

∑

(10.9a) (10.9b) (10.9c) (10.9d)

∑ Eslabón 4 ∑ ∑ ∑ ̈ ̈

Eslabón 5 ∑ ∑ ∑ ∑

̈ ̈

(10.10a) (10.10b) (10.10c) (10.10d)

Eslabón 6 ∑ ∑

(10.11a) (10.11b)

Tenemos un Score de 13 Ecuaciones y 23 incógnitas, por lo que debemos de encontrar ecuaciones auxiliarles, por la tercera ley de Newton sabemos que:

(10.12a) (10.12b) (10.12c) (10.12d)

Página 73 de 80

Revalorando nuestras ecuaciones ∑

(10.13) (10.14) (10.15) (10.16) (10.17) (10.18) (10.19) (10.20) (10.21) (10.22) (10.23) (10.24) (10.25)

∑ ∑ ∑ ̈

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

̈

∑ ∑

̈

∑

∑

Lo que nos da un score de 13 ecuaciones, 14 incógnitas, por lo que tenemos que plantear una ecuación para asegurar que sea perpendicular a u 〈

̂ (

)

̂〉 〈

̂〉

|

|| ̂|

(10.26) (10.27)

Por lo que la ecuación 14 queda de la siguiente manera: (10.28) ( )

( )

De tal manera que ahora tenemos un sistema de 14 ecuaciones con 14 incógnitas.

[

][

]

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(

) ̈

(

)

(

) ̈

(

) ̈

[

]

Para resolver este sistema haremos uso del software de cálculo simbólico Wolfram Mathematica 8, donde utilizando el comando solve podremos eficazmente obtener los resultados. Nota 10: El código mostrado a continuación, se encuentra en el archivo llamado: “Cálculo de Reacciones.nb”, ubicado en la carpeta: Reacciones/calculo_reacciones.nb

Página 75 de 80

X.4 GRÁFICAS DE REACCIÓN DE Q

Figura 37. Simulación simulink

X.5 COMPARACIÓN DE RESULTADOS WM A continuación se muestran un par de imágenes con las gráficas del cálculo de reacciones obtenido para el mecanismo con los simuladores de Working Model 2004 y Simscape de Simulink Matlab. La primera corresponde a las reacciones de la corredera y la segunda, al de la unión par cinemático inferior 5.

Página 76 de 80

Figura 38. Comparación de graficas matlab vs. Simulink. XI. PLANTEAMIENTO DE RES ORTES Y AMORTIGUADORES XI. SIMULACIÓN DEL MECANISMO AMORTIGUADO En la siguiente imagen se mostraran las gráficas del comportamiento del resorte amortiguado implementado a la corredera del lazo 2 de nuestro mecanismo, los softwares con los que fue simulado y con los que se hace la comparación son Working Model 2004 y Matlab Simulink; cabe destacar que las gráficas son iguales.

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Figura 39. Mecanismo con resorte y amortiguador incluido.

XII. CONTROL DE POSICIÓN DEL MECANISMO El control es el proceso mediante el cual se logra que un mecanismo alcance un valor deseado, mediante entradas o inputs, el sistema debe generar salidas o outputs que el controlador establece. También puede ser definido como proceso mediante el cual se logra que una variable controlada llegue a un valor deseado, mediante la medición de un error y una variable controlada. El error dentro del control está determinado por la siguiente ecuación: (12.1) Donde Vd es el valor deseado y Vo el valor original en el que se encuentra el sistema. Para poder eliminar el error en nuestro sistema debemos aplicar la ecuación de la ganancia, que es la siguiente: ̇

∫

(12.2)

Donde F es una fuerza estabilizadora, Kp es la ganancia proporcional, Kd la ganancia derivativa y Ki la ganancia integrativa, en la mayoría de las ocasiones basta solo con asignar valores a las ganancias proporcional y derivativa para sintonizar el sistema o mecanismo.

Figura 40. Control de posición del mecanismo.

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XII.1 ESQUEMA DE CONTROL WORKING MODEL En la imagen siguiente hacemos una comparación del control logrado con el software Working Model 2004 y Simulink de Matlab, se puede apreciar que en las 2 graficas, el comportamiento de la señal es el mismo.

Figura 41.Gráfica generada por Working Model al aplicarle control al mecanismo de prueba

Figura 42.Comparaciòn de las gráficas generadas por ambos software al aplicarle control al mecanismo de prueba

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Figura 43.Diagrama a bloques en Simmechanics XIII. CONTROL DE VELOCIDAD DEL MECANISMO XIV. CONCLUSIONES El control es una herramienta trascendental si se quiere lograr una mecatrónica real, el análisis de un mecanismo, sus reacciones, fricciones y amortiguaciones pueden no servir para nada si no se tiene dominio sobre lo que se está desarrollando, un buen control nos permite llevar toda nuestra investigación a un punto tal que puede ser utilizada hasta por infantes, lo cual, en nuestra opinión, sería un punto importante a alcanzar para todo Ingeniero Mecatrónico.

FIN

3

er

EXAMEN

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