Octubre de 2016La verdad os hará libres
REPORTE DE PROYECTO DE LEVAS Mendoza Flores Carlos Refugio
[email protected] [email protected]
Septién Valtierra Valtierra Gerardo Jesús
Garcia Téllez Omar Christian
[email protected]
[email protected]
Análisis y Síntesis de Mecanismos Dr.. . esús Cervantes Sánchez Dr
I. I NTRODUCTION
E
L PROYE OYECTO TRAT RATA DE RESOL SOLVER UN PROBLEMA QUE CONTIENE EL MECANISMO DE UNA LEVA Y SU SEGUIDOR, EL CUAL A SU VEZ ESTÁ UNIIDO A OTRO UN OTROS S DISP DISPOS OSIITI TIVO VOS S (RE (RESOR SORTE, 2 PISTONES, EL CUERPO DE LA BOMBA, UN ACUM CU MULAD UL ADO R NY ELUNMÉTO TAC ÓN) ÓNDEL ). LELDR. SE RE RESOL SOLV VER ERÁ ÁOCON CO MÉTODO DO DE DR.CU J.AL JE JESÚ SÚS S CERVANTES SÁNCHEZ, APLICANDO CADA PASO Y DIBU DI BUJO JO O GRÁFI GRÁFICO CO NECE NECESA SARI RIO, O, PARA VER VER EL PROBLE PRO BLEMA MA TANTO ANTO VISUAL VISUAL,, COMO COMO ANALÍ ANALÍTIC TICO, O, HACIENDO AL FINAL UNA REFLEXIÓN DE LO QUE SIGNIFICA EL RESULTADO FINAL DEL PROBLEMA.
II. E NUNCIADO DEL PROBLEMA Un fabricante de calzado atlético desea un dispositivo para probar los tacones de caucho en cuanto a su capacidad para soportar millones de ciclos de fuerza similares a los que un pie humano aplica al caminar. La figura c) muestra una función tiempo de fuerza típica apli ap lica cada da por por un ma mara rato toni nist staa al tacó tacónn si simi mila larr al mostrado. Seleccione diámetros de pistón apropiados en cada extremo. Diseñe un sistema de leva-seguidor para crear en el pistón la función fuerza-tiempo sobre el tacón similar al mostrado.
Haciendo referencia a la figura c.1) , en ella se muestra un diagrama esquemático del mecanismo de leva con rodillo
Figura c.1 Diagrama Diagrama esquemático
1
Octubre de 2016La verdad os hará libres
El punto Q es un punto fijo en la leva, mientras que P es el punto donde hace contacto la leva con el rodillo del seguidor y, junto con el punto T, representan una línea que es tangente a la leva en el punto P. Antes de resolver el problema por el método del Dr. J. Je Jesú súss Cerv Cervan ante tess Sá Sánc nche hez, z, no noss dedi dedicam camos os a ha hace cer r algunas consideraciones respecto al problema, ya que est estee nos señ señala ala que deb debemo emoss pro propon poner er las med medida idass según nuestro criterio. Rad adio io Pis Pisto ton n Lev Leva a
Rad adio io Pist Pistón ón Tacón cón Volumen Vo lumen desplazado 1 cilindro leva
0.75
0 0.668450761 0.48343314 0.65054583 0
Considerando que la ecuación de la velocidad angular es: ω=
2 π 0.5
=4 π rad / s
De acuerdo a la figura a) del problema, se obtiene la siguiente tabla: Tiemp o
Fuerza
0 0.078 0.172 0.274 0.358
0 112 81 109 0
Tomando en cuenta los siguientes ángulos se tiene: Angulo Ra Radianes
Angulo G Grrados
0 0.980176908 2.161415746 3.443185548 4.49876068
0 56.16 123.84 197.28 257.76
Haciendo la relación de desplazamiento contra la fuerza se obtiene las siguientes tablas:
2
Desplaza miento
Fuerza Leva
0 0.378265752 0.273567196 0.368133634 0
0 35.4375 25.62890625 34.48828125 0
De acue acuerd rdoo a la figura b del problema y a las consideraciones hechas, se Volumen Vo lumen desplazado obtiene lo siguiente: cilindro tacón
0 1.188356908 0.859436693 Angulo 0 1.15652592 29 0 87.944 121 152 197 224.186 257.76
Velocidad
0 9.685 -2.334 0 1.892 0 -8.841 0
Angulo
Aceleració n
0 14 42 56
0 391.227 -391.227 0
72 105 122 142 175 197 210 240.253 257.76
-77.599 77.599 0 56.747 -57.277 0 -332.624 330.92 0
Con ayuda de Excel obtenemos las siguientes gráficas, las cuales nos dicen cómo será el comportamiento de la leva con el seguidor:
Octubre de 2016La verdad os hará libres comprender con facilidad los detalles del problema:
Desplazamiento 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
50
100
150
200
2 50
300
2 50
300
velocidad 15 10 5 0
Figura 1. Diagrama cinemático auxiliar
0
50
100
150
200
-5 -10
ángulo θ representa el ángulo que gira la leva, mientras que ф es el ángulo variable que existe entre la línea tangente y el radio de giro ρ. Finalment nte e, el parámetr tro o cons co nsta tant nte e e de defn fne e la exc xcen entr tric icid idad ad de dell se seg gui uid dor or,, mien mientr tras as que el pará parám met etrro geométrico a representa el radio del rodillo
aceleracion 600 400 200 0
0 -200
En la fgura 1, 1, las varia variabl bles es β y ρ son las coor coorde dena nada das s pola polare res s que que en el sist sistem ema a giratorio Ouv defnen el perfl de la leva. El
acoplado al seguidor. 50
100
1 50
2 00
25 0
300
-400 -600
Basándonos en la geometría mostrada en la fgura x.2, pueden plantearse las siguientes expresiones: e − ρ cos ( θ + β )− a sin (θ + β + ϕ )=0 … ( 1)
s − ρ sen ( θ + β ) + a cos ( θ + β + ϕ ) =0 … ( 2 ) Estas ecuaciones son válidas para cualquier instante de tiempo. 1) DCA
ar la figura c.1) ( Leva Al observ observar Leva con el seguidor ), trazamos trazam os nuest nuestro ro diag diagrama rama cinem cinemático ático auxi auxiliar liar para 3
Octubre de 2016La verdad os hará libres
2) PVP
Ahora con ello, procedemos a obtener el polígono de vector posición:
dici cion onal alm men ente te,, ta tamb mbié iénn se gira rattorio Ouv . Adi supondrá conocido el ángulo β. Así, mediante el conocimiento de ρ(β) y β se tendrá completamente especificado el perfil de la leva. Primer Prim eram amen ente te,, de dell an anál ális isis is ve vect ctor oria ial, l, pu pued edee demostrarse que el ángulo ф está dado por la siguiente ecuación: tan ϕ
Figura 2. Polígono de de vectores posición
Del cual su ecuación característica es
⃗ r ⃗+r ⃗= r C /O
P / C
P /O
. . . (3 )
3) ERPs
De acuerdo al polígono de vector posición y al DCA se obtienen las siguientes ecuaciones:
⃗r ⃗r ⃗r
= esen ( θ + β ) ^i + ρ cos ( θ + β ) ^ j
P / O
C /O
=s ^ j
=−a cos ( θ + β + ϕ −π ) i^ + ¿
P / C
ρ ( β )
=
'
β ) ρ ( β
dρ dρ ( β ) ρ ' ( β ) ≡ dβ
con est staa ecuac aciión se puede en enco cont ntra rarr qu quee el án ángu gulo lo ф se calcula como: ф = arctan
( ) ρ ( β ) ρ ' ( β )
senθ =
2 τ
+ τ 2
1
s + a se sen n ( θ + β + ϕ − π )− ρ cos (θ + β )=0 … ( 5 )
4) Síntesis del desplazamiento del seguidor.
En este proceso de síntesis se supone conocido el perfil de la leva, esto es, se conoce la función ρ = ρ(β) que genera el perfil de la leva en el sistema
4
,
…
2
τ cos θ = − 2 , 1+ τ 1
a cos ( θ + β + ϕ −π )+ e sen ( θ + β )=0 … ( 4 )
… (7)
Por Por ot otro ro la lado, do, ex expan pandi dien endo do la ec ecua uaci ción ón (1 (1)) y ut util iliz izan ando do la lass siguientes identidades trigonométricas:
^ + a sen sen ( θ + β + ϕ − π ) j
Por lo tanto, sus sustituye uyendo en la ecuac aciión cara caract cter erís ísti tica ca y reso resolv lviien endo do ob obtten enem emos os las ecuaciones
… (6)
τ ≡ tan (
Ɵ 2
(8)
)
se obtiene que: ϕ + ¿ + asenβsen ϕ ρ sen β − a cos β cos ¿ τ + e − ρ cos β − asenβ cos ϕ − a cos β ( e + ρ cos β+ asenβ cos ϕ + a cos β sen ϕ ) τ 2 + 2 ¿
… (9)
de esta ecuac aciión cua uaddrática solución viene dada por:
la
… (9)
Octubre de 2016La verdad os hará libres
− B ± √ B – AC
2
2
τ =
a
( θ + β + ϕ − π ) =s −¿ 2
2
cos
A
−2 ρs sen ( θ + β )+ ρ sen ( θ + β ) … (14 ) 2
2
donde: a sen ( θ + β + ϕ −π )= ρ 2
A ≡e + ρ cos β + asenβ cos ϕ + a cos β sen ϕ
B≡ ρ sen β − a cos β cos ϕ + asenβsen ϕ
2
2
( θ + β ) … (15 )
2
cos
Sumando las últimas dos ecuaciones: a = s −2 ρs sen ( θ + β ) + ρ … ( 16 ) 2
C ≡ e − ρ cos β −as enβ cos ϕ −a cos β sen ϕ
de donde, finalmente, el ángulo θ se calcula como:
( −B ± √ B – AC )
2
2
Hacien Haci endo do el de desp spej ejee pa para ra la ec ecua uaci ción ón qu quee se necesita:
2
θ= 2arctan
… (10)
ρ= s ( sen ( θ + β ) )− ¿
A
…
obteniéndose así dos posibles valores de θ. Para ob obtten ener er un solo solo val valor de θ, si sim mpl plem emen entte se selecciona uno de los signos, + o −, que afectan a la raíz cuadrada involucrada. Una vez conocidos los valores de θ, β y ф, se sustituyen en la ecuación, de la cual se obtiene que: s = ρ sen( θ + β )− a cos( θ + β + ϕ )
5) Síntesis del Perfil de la leva.
la
función
que
describe
el
desplaz desplazamient amiento o del seguido seguidor r podemos partir las ERP’s para obtener una función que nos del de valor de ρ(β). Así
de esta manera despejando a cos ( θ + β + ϕ −π ) y asen (θ + β + ϕ − π ) y elevando al cuadrado las ecuaciones respectivas resultantes tendremos que: a cos ( θ + β + ϕ −π )= s− ρ sen ( θ + β ) … (12) asen (θ + β + ϕ − π )= ρ cos (θ + β ) … ( 13)
Elevando al cuadrado:
5
2
2
2
2
2
… ( 17 )
… (11)
quedando así resuelto el problema de síntesis del desplazamiento del seguidor. Conociendo
−√ 4 s sen (θ + β )+ 4 a −4 s
Lo an antter erio iorr qu quiier eree de deci cirr que que ex exiist stiirá ránn do doss resulta resu ltados dos posibl posibles es para para ρ y además debemos encontrar los valores de que harán que la raíz exista para esto lo igualamos a cero para poder determinar las raíces que hacen esto posible: 4s
2
sen (θ + β )+ 4 a −4 s =0 … ( 18 ) 2
2
2
Desarrollando y proporcionadas:
usando
las 2
identidades
()
− σ β senβ = cosβ = σ =tan 2 1 + σ 1 + σ 2 σ
2
… (19)
1
2
A partir de este punto se usó el software MAT MA TLAB LAB para para re real aliz izar ar lo loss si sigu guie ient ntes es pasos debido a la complejidad de la ecuación, dando que las raíces para σ son 4:
√ s σ =
cos
√ s σ =
cos
2
2
σ =
σ =
2
2
−√ s −√ s
2
2
2
2
2
Octubre de 2016La verdad os hará libres
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
cos
2
2
2
( θ )+ s sen (θ )+ s cos ( θ) k 4
2
2
2
sen (θ + β )+ 4 a −4 s
2
2
Así, siendo ya conocidos a, β , θ , s para cada instante se procede a graficar en forma polar para poder obtener el perfil de la leva, en este caso se hizo uso de Dynacam
mas pequeño,
2
2
k 4
√ 4 s ρ= s ( sen ( θ + β ) )−
β
2
2
2
( θ )+ s sen (θ )+ s cos (θ )
Estos valores se sustituyen en:
Teniendo las raíces posibles la sugerencia del texto
√ s σ =
2
k 4= ssen (θ )+ √ a + s √ s −a
( θ )+ s sen ( θ ) + a − s −s cos ( θ ) ssen ( θ ) + √ a + s √ s − a
es escoger un valor que haga nuestra selección fue la silucion:
2
cos
3
( θ )+ s sen ( θ ) + a − s + s cos (θ ) ssen ( θ ) + √ a + s √ s− a
2
√ a −s + s k = 2
2
2
2
2
2
2
( θ ) + s sen ( θ ) + a −s − s cos ( θ ) ssen (θ ) + √ a + s √ s −a
cos
√ a −s + s k = 2
2
( θ ) + s sen ( θ ) +a −s + s cos(θ ) ssen ( θ ) + √ a + s √ s − a
Se especifica que a es el radio del seguidor y es ig igua uall a 0. 0.5i 5in, n, s y θ nos las da la grafica de desplazamient desplaz amientoo mostrada mostrada y también también conocemos conocemos de acuerdo a las gráficas que la velocidad angular ω es 12.56 rad/s.
2
( θ ) + s sen ( θ ) + a −s + s cos (θ ) ssen ( θ ) + √ a + s √ s − a
…
De esta solución se obtienen valores para β sin
β =
2 k 1
−1
√ s + k √ s − k + s sen ( θ ) 3
3
(
k 12
√ s + k √ s − k ssen ( 2
2
2
Donde los coeficientes son: s
2
(θ )+ s sen ( θ ) + ¿ a − s + ¿ √ ¿ ¿ ¿ 2 + s cos (θ ) ¿ ¿ ¿ s cos ( θ ) + s sen ( θ ) + ¿ k =√ ¿ 2
2
cos
2
2
2
2
1
6
2
2
2
Como podemos ver el perfil cumple con la forma en que se mueve el seguidor en la gráfica de desplazamiento s respecto de θ .
Octubre de 2016La verdad os hará libres
El software también nos permite ver las gráficas de desplazamiento, velocidad y aceleración generadas con los datos proporci proporcionados onados y cómo podemos ver en la figura que sigue los diagramas coinciden y además se incluye uno extra que es el del tirón (jerk):
7
Podemos interpretar la gráfica y la leva como el comportamient comport amientoo del pie humano al pisar, pisar, esta leva simula éste y permite así haciéndola girar a altas velocidades probar el ciclo de vida del calzado.
