REPARTO PROPORCIONAL

GRUPO PRE-MILITAR MARINES

ARITMÉTICA MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL Magnitud: Es todo aquello que puede ser medido, ejemplos el área de un terreno, la edad de una persona, etc. Magnitudes Proporcionales: Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía. CLASES DE MAGNITUDES

Del cuadro observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para este cuadro, 160, una cantidad constante.

1.

Gráficamente:

Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.) Simplemente proporcionales. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante. Es decir:

A D.P. B 

A  K (constante) B

También: A = KB Se lee "A" es directamente proporcional a "B". Esto significa que cuando A se duplica, triplica, cuadruplica, etc.; B también se duplica, triplica, cuadruplica, etc.

PROPIEDADES

Ejemplo: Si dos cuadernos cuestan S/.6,00 entonces seis cuadernos costarán: Como el número de cuadernos se ha triplicado, también el costo se triplicará es decir 3 x S/.6 = S/.18.

1.

Si:

Podemos llenar un cuadro con algunos datos:

2.

Si:

3. Del cuadro observamos que si dividimos el costo entre el número de cuadernos se obtiene una cantidad constante. Gráficamente:

Si:

A D.P. B → A = KB

................. (1)

B D.P. C² → B = K1C²

............... (2)

Note que en la relación (2) la constante es diferente, por que son magnitudes diferentes. LUEGO (2) en (1) A = KB A = K(K1C²) A = K2C²

→ A D.P. C²

"k.k1 = k2" el producto de dos constantes me da una nueva constante" Esta gráfica nos indica que a medida que B (N° cuadernos) aumenta, también A (costo) aumenta, o si B disminuye también A disminuye. 2.

Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.) Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante es decir:

REPARTO PROPORCIONAL Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman "índices" de proporcionalidad. Se estudia en el capítulo:

A I.P. B  A.B = K (constante) ó

A. B. C.

K A B A. Se lee "A es inversamente proporcional a B" esto significa que al duplicarse A, B se reduce a su mitad; si A se cuadriplica, B se reduce a su cuarta parte, etc. Ejemplo: Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad 20km/h se demoró 8h, si duplica su velocidad entonces demorará: Como duplica su velocidad se demorará menos tiempo recorrer el mismo tramo específicamente la mitad del tiempo, decir 8h/2 = 4h. Podemos llenar un cuadro con algunos datos

Reparto simple Reparto compuesto Regla de Compañía

REPARTO SIMPLE En este caso el reparto puede ser directo o inverso. 1.

de se

REPARTO DIRECTO: Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad. Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:

en es

1. 2. 3.

Se suman los índices Se divide la cantidad dada entre dicha suma, siendo el cociente la "constante"de proporcionalidad (K) Las partes se obtienen multiplicando cada "índice" por la "constante".

1

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ARITMÉTICA Ejemplo: Repartir a 750 en forma D.P. a 6; 7 y 12.

C. REGLA DE COMPAÑÍA PROPIEDAD Si a todos los índices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo número, entonces el reparto no se altera. Ejemplo:

Es un caso particular de Reparto Proporcional, donde el objeto es repartir la ganancia o pérdida de una sociedad, empresa o negocio, entre las personas que han intervenido en la sociedad aportando sus capitales. El reparto se hará directamente proporcional al capital y al tiempo que aporto y estuvo cada persona.

En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6,7 y 12 se obtuvieron como resultados: 180, 210 y 360 ................... pero ...... ¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P. a 6x2; 7x2; y 12x2? .... Veamos ......

O sea, que si todos los índices se multiplican por un mismo número, el reparto no se altera. 2.

REPARTO INVERSO: Se hace en forma I.P. a los índices, para ello se invierten los índices y luego se efectúan en reparto directo, como ya se conoce. Ejemplo: Repartir 594 en forma I.P. a 2; 3; 6 y 10.

Ejemplo de Aplicación: Se han asociado dos personas para formar una empresa exportadora de espárragos La primera aportó $25000 y estuvo en el negocio 8 meses, la segunda aporta $30000 y estuvo 10 meses en el negocio. Si obtuvieron una utilidad de $7200. ¿Cuánto le corresponde a cada uno.

5k = 7200 k = 1440 G = 2(1440) = $2880 A G = 3(1440) = $4320 B PROBLEMAS

1.

A es D.P. con la raíz cuadrada de B y además A es I.P. con el cubo de C. Si A = 3 para B = 256 y C = 2. Hallar B para A = 24 ; C = 1/2. a) 1 d) 32

2.

b) 4 e) 5

Sabiendo que ”A” es D.P. con B e I.P. con C. Si A = 8 , B = 9 y C = 17. Hallar “C” cuando A = 34 y B = 36. a) 27 d) 17

B.

REPARTO COMPUESTO En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: 1. Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices) 2. Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P. 3. Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.

c) 2

b) 37 e) 16

c) 47

3.

En un edificio el volumen de agua que se lleva a un cierto piso es I.P. a Tn, donde “T”, es el tiempo que demora en llegar el agua al piso n. Cuando se lleva 80 lt al piso 2, la demora es de 4s. ¿Qué tiempo demora en llevar 5 lt al 4to piso?. a) 4 s b) 5 s c) 6 s d) 4,5 s e) 3 s

4.

El peso de un disco varía proporcionalmente al cuadrado de su radio y también a su espesor. Dos discos cuyos espesores están en relación de 9 a 8, el primero pesa el doble del segundo. Determinar la relación de sus radios.

Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.

a) 1/2 d) 2/3

b) 4/3 e) 5/2

c) 2/5

2

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ARITMÉTICA 5. Si una cantidad A es proporcional al cociente de otros dos B y C, entonces B es I.P. a: a) AC d) C/A

b) A/C e) N.A.

c) 1/AC

6. La velocidad del sonido en el aire es D.P. a la raíz cuadrada de la temperatura (T°). Si la velocidad es de 340 m/s a la temperatura de 289 °C. Determinar la velocidad en 324 °C. a) 380 d) 360,4

b) 830 e) N.A.

c) 382

7. El número 732 se divide en 3 partes que son I.P. a las raíces cúbicas de los números 54, 128 y 686. Una de las cantidades es: a) 144 d) 100

b) 142 e) N.A.

c) 140

8. Repartir 85 000 en 4 partes que sean D.P. a los número: 3 7

; 31 ; 38 ;0,5 , e indicar una de las cantidades. a) 8000 d) 10

b) 6720

c) 10000 e) N.A.

9. Se reparte cierta cantidad “N” en partes D.P. a los números naturales menores que 50, la suma de la mayor y menor es 150. Calcular el valor de N. a) 3675 d) 3200

b) 2300 e) N.A.

c) 4600

10. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 15 años. ¿Dentro de cuantos años cuadruplicará su sueldo?. a) 30 d) 20

b) 15 e) 22

c) 18

a) se gana 80

b) se pierde 4000

c) se gana 160

d) se pierde 240 000

e) N.A. 12. Se tiene 3 engranajes A y B y C; donde A con 24 dientes, está engranado con “B” que tiene 36 dientes y ésta a su vez esta engrando con “C” que tiene 45 dientes. ¿Cuántas vueltas habría dado el engranaje “B” cuando la diferencia entre el número de vueltas dados entre A y C sea 168 vueltas?. b) 210 e) 300

a) 25 b) 20 c) 15 d) 30 e) N.A. 14. Sabiendo que N es la suma de 2 cantidades. Una proporcional a x2 y la otra I.P. a x2. Además: Para x = 1 entonces N = 6. Para

x

1 2 entonces N = 9

Hallar N cuando x = √ a) 6 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

15. La corriente de un tubo electrónico es D.P. al cubo de la raíz cuadrada del voltaje. Si el voltaje se hace 3 veces mayor. ¿Cuántas veces mayor se hace la corriente?. a) 3 veces c) una vez

b) 4 veces

d) 8 veces

e) 7 veces

16. Se reparte la cantidad “S” en 3 partes A, B y C que son D.P. a 15, 13 y 17 e I.P. a 5, 39 y 85 respectivamente. Además la parte que le toca a “A” más 1800 es a la parte que le toca a “B” más la de “C”, como 6 es a 1. Hallar S. a) 29 300 d) 31 800

b) 30 600 e) 32 400

c) 31 200

17. Al repartir cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3n, 3n –1 y 3n + 1 e I.P. con 4n –1, 4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que la primera excede a la última en 216. Hallar la cantidad a repartir. a) 1480 d) 1660

b) 1980 e) 1530

c) 1660

18. Repartir 1380 en 3 partes, tal que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que esta sea a la tercera como 5 es a 7. ¿Cuál es la cantidad menor?.

11. El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su volumen. Si un diamante de S/. 360000 se parte en 3 trozos iguales. ¿Cuánto se gana o se pierde?.

a) 180 d) 240

más que el segundo y sus pensiones están en relación de 91 a 65. ¿Cuántos balazos recibió el segundo?.

a) 300 d) 480

b) 360 e) 630

c) 420

19. Un gerente desea repartir una gratificación de S/. 42000 entre sus tres empleados; en partes D.P. a sus sueldos (S/. 3200, S/. 4200, S/. 5400) e I.P. a sus faltas (4, 6 y 9 días respectivamente). ¿Cuánto le corresponde al que falto menos días? a) 16000

b) 14000

d) 18000

e) 20000

c) 12000

20. En un negocio un socio puso S/. 3000 es “t1” meses y ganó S/. 400, el otro puso S/. 5000 en ”t2” meses y gano S/. 300. Hallar la relación entre t1 y t2.

c) 270 a) 20/9 d) 20

b) 9/20

c) 1/20 e) N.A.

13. Dos veteranos de guerra tienen concedidos pensiones que son D.P. a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos

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ARITMÉTICA 21. En una sociedad A aporto S/. 25 000 y B S/. 36000, 8 meses después C y D ingresan a la sociedad aportando S/. 40 000 y S/. 20000 respectivamente si el beneficio al término del año fue S/. 43740. ¿Cuánto le correspondió a “B”?. a) 1000 d) 17500

b) 19440 e) N.A.

c) 1944

22. Dos socios aportan s/. 1500 y s/. 3500 en una empresa. Alos 6 meses se retira el 1ro. Al liquidar la empresa, terminando el año. La ganancia del 1ro. es s/. 510. Hallar la ganancia del 2do. a) s/. 2360 d) 2390

b) 2370 e) N.A.

c) 2380

23. Se han asociado 3 personas aportando la primera $4000 durante 8 meses, la segunda $6000 durante 5 meses y la tercera $3000 durante 9 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de $3560. ¿Cuánto le corresponde al que colocó el menor capital? a) $980 c) $1150 e) $1050

b) $720 d) $1080

b) $7260 d) $8320

1. “A” es D.P. a B2 e I.P. a “C” cuando “A” es 32, B vale 4 y “C” vale 6. Hallar “C” cuando B = 18 y A es 24. b) 120 e) 240

c) 144

2. 3 personas se repartieron una suma de dinero, proporcionalmente a los números 7, 9 y 15 respectivamente. Si el 2do. hubiera recibido 24000 soles más tendría tanto como le correspondió al tercero. ¿Cuál fue la suma repartida?. a) 124 000 d) 10

b) 124 e) N.A.

c) 10 000

b) 336 e) N.A.

c) 252

5. Repartir 2500 en partes que sean D.P. a 220; 223 y 224 y dar como respuesta la suma de la parte menor con la mayor. a) 1700 d) 2400

b) 1600 e) N.A.

c) 100

6. Repartir S/. 9500 entre “J”, “P” y “C” de modo que la parte de “J” sea ala de “P” como 4 es a 3 y la parte de “P” ala de “C” como 6 es a 5. ¿Cuánto recibe “P”?. a) 280 d) 270

b) 400 e) 320

c) 300

7. 3 comerciantes se asociación aportando capitales proporcionales a 9, 11 y 5; sabiendo que el segundo invierte S/. 3102 menos que la suma de los otros dos. ¿Cuánto aportó el segundo? b) 1137 e) N.A.

c) 113

8. Los señores A, B, C y D, se asocian para formar una empresa siendo sus capitales de S/. 130, S/. 110. S/. 70 y S/. 40 respectivamente y los tiempos de imposición 4, 3, 5 y 6 años respectivamente. Al final obtuvieron S/. 7200 de ganancia. ¿Cuánto recibió B?. a) 3300 d) 4400

TAREA

a) 18 d) 162

a) 144 c) 222

a) 11374 d) 133

24. Al formar una empresa, se aportaron los siguientes capitales: $6500, $5000 y $4500. Si luego de un período de 1 año, se repartieron una cierta ganancia, tocándole al tercero $1040 menos que al primero, ¿cuál fue la ganancia de la empresa? a) $6400 c) $7450 e) $9000

4. El número 732 se divide en 3 partes que son I.P. a las raíces cúbicas de los números 54; 128 y 686. ¿Cuál es la menor parte?.

b) 300 e) 1650

c) 400

9. Tres amigos se reunieron para formar una empresa. Los capitales fueron de S/.2000; S/.3600 y S/.4000. Si al cabo de los primeros 6 meses obtuvieron una ganancia de S/.1440. ¿Cuánto le corresponde al que puso mayor capital? a) c) e)

S/.650 S/.500 S/.300

b) d)

S/.600 S/.400

10. Un negocio dió una utilidad de 3200 soles. Si los capitales impuestos fueron de 18000; 30000 y 48000 soles durante 8; 16 y 12 meses respectivamente, ¿cuánto le corresponde al que estuvo más tiempo en el negocio? a) c) e)

S/.1280 S/.1536 N.A.

b) d)

S/.1460 S/.1444

3. La capacidad de un condensador es D.P. a su longitud “L” e I.P. a su sección “A”. ¿Qué sucede con la capacidad si “L” se hace la 3ra parte y “A” se hace la sexta parte?. a) se hace la mitad c) no varía e) N.A.

b) se duplica d) se cuadruplica

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