Reparto Proporcional PDF

 

REP

RTO PROPOR

REPA RE PART RTO O PROPO PROPORCION RCIONAL AL

a 3

Es  

b

  6

ION

c

=0

9

pll e El repartimiento proporcional puede s e r s i m p compuesto.

b

c

a

b

c

3

6

9

3

6

9

=0

1 2 6 00

a

b

c

18

3

6

9

0  

2100

12600 3

18

Se dice qu e e s s im im pl pl e cuando la lass partes   repartidas so n proporcionales a numeros simples; y compuestas si la lass partes  repartidas so n proporcionales a lo s

b = 1 2 60 0 . 6 = 4 20 0 18

productos d e varios numeros.

c = 12 6 00 . 9

REPA RE PART RTO O PR PROP OPOR ORCI CION ONAL AL SIMPLE En  

a

rm i tte e r ep e p a rrtt ir ir procedimiento de dJculo qu e p e rm

u n a cantidad e n partes proporcionales a atras.

L

6 30 0

18

oporc i on ona al sim mpl pl e se presenta repartimiento pr oporc

3 casas:

Observaci6n: El factor

l e r . CASO

es denominado   fa fa c ttor or de pr op opor or c iiona ona llii da dad d

Repartir u n a cantidad en partes proporcionales a

numeros dados. El s i gui gui e ent nt e e j e em m pl plo o n os lleva a comprender esta cuesti6n.

Ejemplo:

6

9

REGL RE GLA A pRACTI pRACTICA CA:: Para repartir u n a cantidad en partes proporcionales a numeros dados basta multiplicar la c a an n ttii da da d q ue ue debe repartirse po r cada u n o de los n um um e err os os q ue ue va n a   recibir la repartici6n

Repartir 1 2 6 0 0 proporcionalmente a 3 ; 6

3

y dividir

lo s productos p o r la  suma

de estos m i smo smo s n u m er er o ss..

y 9.

2do. CASO Soluci6n:

Repartir u n numero en partes proporcionales a

C on on si si de de rre em mo os qu ue e de la lass 1 2 6 0 00 0 un nii da da de de s a repartirse  a

unidades  

unidades a 6

y  c

corresponde a 3

b

unidades a 9. P o r d ef e f iin n ic ic ii6 6n

par t iim mie ent nt o pr op opor or c iiona ona l de r e par

y p o r propiedad

de p r op op o rci rci on on es p o d em o s establecer:

varios quebrados.

Ejemplo: R ep ep ar ar ti ti r 1 3 94 0 e n pa rt rt e s pr op opor or c iiona ona lle e s a 3/4 1/ 3 Y 5/8

 

S ol uc i6 n:

Ej empla:

Dando comun denominador, tendremos:

R ep ep aarr t iirr 7 26 0 e n partes inversamente proporcianales a 7; 11 Y 21.

3 4

 18 24

1

8

3

24

5

15

8

24

Soluci6n: Podemos establecer q u e d e l a s 7 26 0 unidades, le less

carrespanden a a : 1 / 7 , a  b

Sabemos q ue si dos magn magnitud itudes es s o n J P los los val valore oress

De las las 13940 unidades a repart repartirs irse, e, corresponden a a : 1 8 / 2 4 , a b 8/24 Ya c 15 15/2 /24. 4. P a r la qu e

DP de u n a de el so n ella las s a l as as i nv nv eerr sa sa s d e l os os v aall or or es es de la otra magnitud, asi:

podemos establecer:

b c

18

8

15

24

24

24

7

11

1

33

7

231

1

21

11

231

1

11

21

231

la i g lass razones y se tendra: gu u a lld da ad d d e la b

~

24

8

4

·

24

c 4

a

b

c

18

8

15

~

24

4

Basta c o n repartir 13 940 pr op opor or c ciona ionalm lm ente ente a 18; 8 y 15  l e r casal, asf:

= b=

=

21

homogenizando los denominadores de la lass razo razone nes: s:

Multip Mul tiplic lica a nd ndo o por 24 l o s denominadores, no se

a

 1)

 

 b c

altera

1111, a c 1/ 1/21 21..

13 94 0 . 18

41 13940.8 41

= 6120 = 2 7 20

13940.15

41

5100

REGL RE GLA A pRACTICA pRACTICA:: Para repartir u n numero e n partes proporcionales a quebradas, se d a n a estos u n c o m u n denominador y se r e ep pa arr tte e e l numero

Reemplaz Reem plazando ando estos valores en  

a

b

c

33

21

11

231

231

231

a

b

c

33

21

11

:

 1)

simplificando:

Basta repartir 7 260 proporcionalmente a 3 3 ,2 1 Y 11 , asi: a =

en p ar tes tes p r o p po o r cio cio n al ales es a lo s numeradores de lo s

7260.33

3685, 85

65

quebradas as farmadas.

7 2 6 0 . 21   er CASO Repartir u n a cantidad en partes inversamente

me ro ro s d ad a d os. proporcionales a n u me

2 3 4 5 ,5 4

65

c=

7 2 6 0 . 11 65

=

1 2 28 28 ,6 ,6 1

 

REGL EGLA pRAC pRACTI TICA CA:: Para repartir u n a cantidad e n partes inversamente proporcionales a lllJ lllJ.m .me e ro s dados se d a las razones inversas de dichos numeros y luego se procede como e n e l 2 d o caso.

REP RE PAR ART TO DE

UTILI

4536 25 20

ob bjj et et o r ep ep ar ar ti ti r proporcionalmente

ganancias

p e rd rd i da da s h a bi bi d as as e n la explotaci6n de u n

la s

ne eg g o ci ci o e n tr tr e las pe rs rs ona ona s que h a n intervenido en   negocio aportando su s c api apitt al al es es . Es simplemente u n ejemplo especial d e l a regIa d e r e ep p a rt rt o p rro opo orr c iio o n al al .

 

18

1800

25

Rpta .: I 8 00 2.- U n premio deb debe e rep repart artirs irse e e n raz6n inversa de las edades de c a d a u n o de los lo s ganadores quienes tienen 8 16 Y 2 0 a no ot al al ganado no s . S iie e nd nd o e l t ot S

sos:: Se presenta 4 c a sos

ler

El m ay ay o r s er er a para 25:

ES

Tiene p or 0

Se reparte proporcionalmente a l o s numeradores: 2 0 ; 1 8 ; 25:

1 6 5 5 9 7 .  :Cuanto Ie corresponde al mayor?

Soluci6n:

Se

Cuando lo loss capitales y l o s t ie ie m mp p os o s d e imposici6n

s o n iguales. En e s tte e c a s o l a s ganancias

0

Se repa reparte rte direc directamen tamente te a: 1/8 1/11 1/16 Y 1/20

perdidas

se reparten p or partes iguales entre lo loss sodos. Dando com un denominador:

2do

 

se

110/880

Lo Loss sodos aportan distintos capitales po r iguales tiempos. En es este te ca caso so la lass gana gananc ncia iass 0 per perdid didas as res res pectivas seran proporcionales a l os c a p i t a l e s y el tiempo no influye po r se r el mismo para todos. 3er

 

55/880 Y 44/880.

Luego se reparte proporcionalmente a: 110 55

Y 44

16 5 59 7 11 0   80   55   44

57 3

El mayor recibe: 44 573=

Se

Lo Loss sodos aportan capitales desiguales en tiemp os des desigu iguale ales. s. La Lass ganancias 0 perdidas so n prolo s porcionales a l o s productos d e l o s tiempos p or los capitales.

80

Se calcula el valor de pro proporc porciona ionalida lidad: d:

se

Lo Loss s o d o s aportan ig uale ualess cap capita itales les po r tiempos distintos. Se repartira los benefi beneficio cioss proporcionalmente a l o s t iie e m po po ss.. 4

80/880

25 21 2

Rpta.: 2 5 2 1 2 soles. Tres ciclista ciclistass quedan d e a cu 3. Tres cu er er do do p ar ar a d iiss tr tr ib ib ui ui rs rs e S

9 450 proporc proporcionalm ionalmente ente a l a s velocidades c o n

qu e corran u n a misma d is is ta ta nc nc ia ia . E fe fe ct ct ua ua nd nd o e l r ec ec o rrrr id id o r e ssu u l tta a qu e e l p ri ri m me e ro ro t a arr d6 d6 3 horas el

segundo 5 y el t e r c e r o 6 .  :Cuanto recibe el rruis

EJER EJ ERCIC CICIO IOS S RES RESUELT UELTOS OS

veloz?

1.- :Cmil :Cmil es el m a yo yo r d e tres numeros qu e suman 4 5 3 6 Y qu e so n proporcionales a: 2 3 5 Y 5 6? Soluci6n:

Dando com un denomi denomi nad nador or a l o s quebrados: 20/30 ;

18/30

;

25/30

Soluci6n:

Para Para distan distancia ciass igua iguale less la lass veloci velocidad dades es s on inversa mente proporcionales a l o s tiempos empleados en recorrerlas po r tanto habra qu e dividir Sf. 9 45 0 6.. en partes inversamente proporcionales a 3; 5 Y 6 Es dec decir ir pro propor porcio cional nales es a 1 / 3 1 / 5 Y 1/6. Dando comlin denominador: 1 0/ 0/ 3 0 6 / 30 30 Y 5 /3 /3 0. 0.

 

Se calcula  l  factor de proporcionalidad :

9 45 0

9 45 0

10   6   5

 

l e r socio

= 450

2d do o so oc c iio o

9 meses

3 er socio

5 meses

Total tiempo =

El ma s veloz recibe: 45 0 . 10 = 4 5 00

meses

 

28 meses

Llamando U 1   U 2 Y U3 a l a s utilidades para cada

socio. Cada u n o recibi6:

Rpta Rp ta.: .: 4 50 0 sales. 4. - Tres amigos se r e un un i e err o n p a rra a u n negocio contri buyeron c a n 5/. 2 4 0 0 5/. 3 60 0 Y 5/ 5/. 3 0 0 0 r eess pec pec

u

5 6 0 00

= 14·

28

tivamente. Alliquidar  l negocio obtuvieron u n a utilid uti lidad ad de 5/. 4 5 00 . LCuanto Ie correspondi6 a c a cia uno?

U2 =

5/. 28 0 00

56 00 0

9·

5/. 1 8 0 0 0

28

Soluci6n:

Como l o oss t ie ie mp m p os o s s o n iguales se distribuira lo s

4 5 0 0 soles

56 00 0

directa y proporcionalmente a lo s

capitales capit ales aport aportados: ados:

l e r socia

2400

2d o socia

3600

3 er socia

3 0 00

Total aportado:

9 0 00

5/. 1 0 0 0 0

28

6 .- Tres s o d o s intervienen e n u n negocio

el pri

5

mero aporta 10 0 0 0 durante u n ano el s e u a ttrr o m e ess es e s y el ter gundo Sf. 8 0 0 0 durante c ua cero 5

19 0 0 0 durante d o s meses. El negocio

6 650. De 

q u eb eb rr6 6 d ej e j an an do d o u n a perdida d e S terminar la perdida de cada socio.

Llamando U p U 2 Y U3 a l a s u ti ti li li d da ad de es pa arr a c a ad da

Soluci6n:

socia. Cada u no cobr6:

La perdida l a absorberan lo s s o d o s e n forma

u u u

 

=

4 5 00 . 2 4 0 0 = 5/. I 20 0 9 00 0

=

4 5 00 . 3 60 0 = 5/. I 80 0 9 00 0

2

= 3

d i r ec ec t am am e n tte e propo orr c i on on a l al p r o d u c to de lo s capitales

y su uss t ie ie m mp p os os d e i m mp p os os ic ic i6 i6 n. n.

l e r socio

00 10 0 00 . 12 = 1 2 0 0 00

8 000. 4

2d o socio

4 5 00 . 3 00 0 = 5/. I 5 00 9 00 0

19 0 0 0 .

3 e r socio Suma total

2

3 2 00 0 38 00 0 19 0 00 0

5. - U n i n du du st rrii a l e m p pe e z 6 u n negocio. A lo s 5 meses

admiti6 u n socia y 4 m es es e ess d es es pu p u es es d e este entr6

u n terce tercerr socia. socia. Cada u n o de ellos aport6 al nego ci a l a

misma cantidad. El negocio

duro

 

meses

cabo d e l o s cua1es  a utilidad fu fuee de 5/. 5 6 000.

 :Cuanto Ie t o c o a cada uno? Soluci6n:

Como aportaron la m i sma sma c a n ti ti d ad ad se repartirala

Dividiendo entre 2 00 0 cada producto:

J

60

l

16

 

s um a = 95

19

utilidad e n p a rt rt e s p r o op p o rc rc i on on a le le s al tiempo de

Si llamamos P   P 2 Y P3 a l a s perdidas se tendra

imposici6n.

q ue ue c ad ad a u n o perdi6:

 

P

6650

= 60·

P2

95

Rpta.:

6650

16 .

=

La ganancia de cada socio es:

5/.4200

B = 144.202,2

5/. 1 12 0

95

6650

C=

29 116,80

35.202,2 =

7 0 7 7 ,0 0

para p e la la r p a p pa a s y empez6 u n n e go go c iio o p a rra a fabri-

7. - A lo s d o s afios de estar constituida u n a sociedad, s e hizQ la liq liquida uidac c i6n, i6n, r e ssulta ultando ndo u n a ganancia

d e 61 67 1 soles. Empez6 la sociedad c o n d o s industriales q ue contribuyeron c o n 1 0 0 0 0 0 Y 1 2 0 0 0 0 soles respectivamente, u n tercer socia

entr6 a lo s 10 meses y contribuyo c on 5 0 00 0 soles; 4 meses antes de la liquidaci6n,  l primer

socia irnpuso  

=

8. - U n ingeniero i nd n d us u s tr t r ia i a l i nv n v en en t6 t 6 u n a maquina

5/. 1 33 0

95

A= 1 2 6 . 2 0 2 , 2 = 25477,20

soles adic adiciona ionales. les. Calcular

carla. I mp mp u uss o c om om o capital inicial 5/. 6 0 0 0 0 Y 6 meses despues entr6 al negocio u n segundo socio aportando u n capital de 5/. 40 000. U n a no rruis tarde, u n tercer socio se incorpor6 a la fabrica c a n u n capital de S 25 000. Se liquid6 e l nego c i o al cabo de 5 a n os os , o b t e en nie en n d o u n a utilidad de 5 5 1 7 560. LQue c an an ti ti d da a d c ob ob ra ra rra a c ad ad a socio p o r el capital impuesto ma s el beneficio, tenien do e n cuenta q u e el inventor c ob ob r a a d em em a ass de la parte d e la ganancia q ue Ie c o rr rr e sp sp o n di di 6 c o m mo o

la ganancia de cada socia.

socio, e l1 5

Soluci6n:

Soluci6n:

epartiremos la ganancia e n f o rm rm a d i re re c tta a m en en t e proporcional al producto de lo s capitales p o r s u s

El inventor cobra el 15

d e l o s beneficios?

1 5 . 5 1 7 56 0

respectivos tiempos:

10 0 Tatales

1 0 0 0 0 0 . 24

2400000

4

120000

5 1 7 5 6 0   7 7 63 4 = 5/. 4 3 9 9 2 26 6

2520000

Lo s 4 3 9 92 6 soles se repartira e n forma directa mente proporcional al producto de lo s capitales

2d o socia:

p o r lo s t ie ie m mp p os os d e imposici6n.

2880000

120000.24

2880000

Lo s capitales y tiempos son:

3 e r socia:

5 0 0 0 0 . 14

700000

Total:

6

700000

6 100000

Dividiendo entre 20 0 00 00 t od od o s lo s numeros, co n el fi fin n qu e lo s ca ca.l .lcu culo loss se h ag a g an an c o on n num me e rro o s rruis

pequenos, no s da da:: 126; 14 4 Y 35 . P a r   siendo A

= 77 6 34

Queda para el reparto:

l e r socia:

30000.

, esto es:

y

l

ganacia de cada s o oc c iio o el fa ac c tto or

de proporcionalidad

A

B

C

12 6

14 4

35

tanto,

sera:

5

. 12

4 0 0 0 0 . (6 0   6)

2160000

2 5 0 0 0 . (5 4   12 )

1 05 0 00 0

Dividiendo e nt nt re re 3 0 000, para simplificar:

l e r socio

12 0

2d o socio

72

3 er socio

35

61671

126+144+35 = 202,

2

30 5

3600000

suma:

227 22 7

 

Llamando, U  

;

U   y U3 a l o s beneficios de lo s

sodas, es to to s s er eran an :

10 0.. - D o s industriales formaron u n a sociedad p o r u n

ana, co n u n capital de 1 00 0 0 00 00 , p er er o  

segun

do s610 pudo pone r s u capital cuatro meses ma s

439926

U, = 12 0 .

22 7

t a r d e ; s i obtuvieron  

mismo beneficia: decir

qu e cap capita itall ir np np u sso o cada uno. Soluci6n:

439926

U, = 72·

5/. 2 3 2 5 6 0

139536

S

22 7

enef icio icioss , s e t iie en nee : Siendo B1 = B2 lo s b enef

B 439926

1

67830

S

22 7

C,.

t

q ue co b r6 r6 c a da da s o oc c ia ia sera:

l e r socia:

77 63 4

60 0 00   2 3 2 5 6 0  

=

5/. 3 7 0 19 4

2d o socia:

4 0 0 0 0   13 9 5 36 = 5/. 17 9 5 3 6

es decir lo loss capita capitales les aportados s o n inversamente proporcionales a lo s tiempos. como lo s tiempos son: t 1 = 1 2 meses y t 2 = 8 meses, se repartira el millon directament directamente e propor proporcional cional a: 1/12 y 1 //8 8 es d e ci ci r d i rre ecta am m e n tte e pro op p o rc rc i o on n a l a:

3 e r socia: 25 00 0  

na rro o n e n u n negocio 7 8 7 5 soles 9 ..- D o s amigos g a na urr a n tte e 3 meses y   prim e err o p u uss o 5/. 5 0 0 0 d u

segundo

puso

_ 1 _ . 24 = 2 12

6 7 8 3 0 = 5/. 9 2 8 3 0

,:Cuanto irnpuso  

2

1 00 00 0 00 00 0 2

= 4 0 0 00 0

3

El capital aportado p o r el segundo:

Soluci6n:

Sean U 1 Y U2 las utilidades;

segundo

8

4=3

durant e

duplic6?

Si  

 ·

El capital aportado p o r el primero:

8 meses. segundo, si s u capital se

s u dinero

1

Y

duplico s u

igual al capital U   ,

y C 1 Y e 2 Ia s capitales.

3·

capital, s u utilidad ru e

2

= C ,l

Tenemos:

= 600 000

3

Rpta.: Aportaron : 5/. 4 0 0 00 0 Y 5/. 6 0 0 0 0 0

U

respectivamente.

C .t;

5 00 0 . 3 8

1 00 0 00 0

11.- 3 s o d o s h a n ganado e n u n n e g o c i o 1 3 6 0 0 0

=

1 87 5

s ol ol es es . El p r im im e rro o c o n ttrr i b bu u y o co n 6 4 0 0 0 soles; el segundo c o n 3 0 0 0 0 soles durante 8 meses, y el tercero c o n 20 0 00 soles durante 6 m es es es es . L a sobre s u g an an an an ci ci a d el el p ri ri m me e ro ro fue fu e de l 100 in nv ve err ssii o on n.

C al al c cu u la la r el

tiem po

que

estuvo

impuesto el primer capital y la s g an an a n nc cia ass d e lo s

U , = 7 8 7 5 - U, = 7 8 7 5 - 1 8 7 5

U3 = 6 00 0 = C ,

otros dos. Solucion:

Como la ganancia de l primero se d u up p llii c o; o; q u iie ere

Rpt pta. a.:: El segundo irnpuso : 5/. 6 00 0

d ec ec i r q ue ue g an an o 6 4 0 0 0 soles.

 

Entre  

segundo y t er er ce ce ro ro h a n ganado:

Soluci6n:

13 6 00 0 - 6 4 0 0 0 = 7 2 0 0 0

6 00 0 t1

Repartiremos lo s 7 2 0 0 0 soles e n f o orr ma ma d iirr e ec c ta ta -

mente proporcional al producto de los lo s capitales

;

C2 = N

8 a fi os 4 meses = 3 00 0 dias

po r su s respectivos tiempos:

G2

S oc oc io io N° 2: 6 0 0 0 . 3 00 0 30 00 0 . 8 =

240 24 0 00 0

pero:

S o c i o N ° 3:

G2

G2

9

G

8

N2

G2

9

18 0 0 0 0 0 0

G

8

G

20 00 0 . 6 = 12 0 00 0

8

y socio N° 3 es como 1 entonces se reparte lo s 7 2 0 0 0 soles proporcionalmente a 2 y   :

G

2=

 

2

9

I

.

.

N2

7 2 0 0 0 = 4 8 00 0 2

1

9 8

18 0 00 00 0 00 00 de donde:

7 2 0 0 0 = 24 00 0 2

6

 

Dividiendo entre 1 20 20 0 0 00 0 socio N° 2 es como 2

G

N N

1

N2

Po r otro lado:

=

9

18 0 0 0 0 0 0

8 N2 =

64 0 00 . t

9

9 . I 000 000

4

20000 6

64 000

N

24 00 0

64 0 00 . t

=

9 00 0 2

=

4 5 00

20000 6

C 2 = 4 5 00 sales. d e d on on de de :

t 2 = 4 5 00 dias = 12 a fi os 6 m es es es es . 6 4 0 0 0 . 20 00 0 . 6 6 4 0 00 . 24 00 0

5 meses

Rpta. pta.:: 4 5 0 0 s ol ol eess y 1 2 a f iios os 6 m es es es es . 13. Cuatro sodos forman u n negocio aportando 5/.

Rpta.: Primer capitalS meses. Ganancia de los lo s otros dos: 4 8 00 0 Y 24 00 0 sales. 12.

En u n a sociedad u n socio impuso 6 0 00 soles durante 4 a fi o s 4 m e s e s ;  

otro socio impuso

u n capital en soles durante u n tiempo en dias c uyos uyos num nume e r ale ale s eran igua iguale less si la utilidad de l p ri ri m me e rro o e rra a co om m o 8 y la utilidad de l segundo er a como 9. Calcular  

capital y  

im pos pos ic ic i6n i6n de l s egun egundo. do.

tiempo de

5 60 60 0 00 00 5/. 4 2 0 000 5/. 8 00 00 0 0 0

Y 5/. 22 0 000.

El negocio fra fraca casa sa y los do s pr im im e rros os pie pierr de den n8 lo s d o 00 0 soles m en en os os q ue ue los oss u lt lt im im o oss . LCuanto pierde cada uno? Soluci6n:

Lo Loss primeros invierten: 56 0 00   4 2 0 0 0 0 = 9 8 0 0 0 0

 

Lo s ultimos invierten:

Se debera repartir l

utilidad de l o oss 2 4 46 6 00 0 sales

directament direc tamente e propo proporcion rcional al a lo s n u um me err os os : 6 , 10 ,

80 0 00 0   22 0 0 00 = 1 0 2 20 0 00 00 0

18,21 Y 27  uma

En consecuencia:

= 82).

Luego las la s ganancias de cada u no fueron:

1 02 0 00 0   9 8 0 0 0 0 = 4 0 0 0 0 sales dieron u n a perdida de 8 0 00 soles y u n so l clio

un a perdida de:

8 00 0 4 0 00 0 Luego la lass

G 2 = 10 .

24 6 00 0

5 6 0 00 0 . 0, 2

11 2 0 0 00 0 s al al e ess

2do:

4 2 0 0 0 0 . 0 ,2

84 0 0 00 0 s al al e ess

3 ra

8 00 0 0 0 . 0, 2

1 6 0 0 00 00 s a all e ess

4 to

22 0 00 0 . 0 ,2

44 0 0 00 0 s al al e ess

G3 = 18 .

G = 4

1 4. 4. - C in in c co o p e rs rs o na na s i n v vii er er t e en n lo s i nt n t e rre e s es es q u e les le s produce su s capitales e n u n n e g o c i o q u e d e ja ja 246 000 de

u t i l i d a d , los

.

G, = 2 7 ·

24 6 00 0

5 /.5 4 00 0

82

24 6 00 0

5 /.6 3 00 0

82

24 6 00 0 82

5/. 81 00 0

t r e s primeros

tenian el mismo capital impuesto al 3 ; 5 y 6 respectivamente; el cuarto

21

5 /.3 0 00 0

82

perdidas fueron:

Ira :

5/. 1 8 0 00

82

0 ,2

Rpta.:

 Sf

24 6 00 0

G1 = 6 ·

y quinto tenian u n

capital doble de l o s a n t e err i o orr e s, impuesto al 3, 5

y 4,5 . LQu e beneficios obtuvo cada uno, si lo s i nt n t er er es es e s f u ue e ro r o n p o r i mp mp o oss ic ic iio on ne e s d e sus

capitales a lo s d o s afios p o r lo s d os o s p rrii me m e ro ro s

y

a lo s 3 a f i o s p o r lo s tres ultimos?

1 5. 5. - R e ep p ar ar ttii r 2 0 8 0 en 3 partes proporcionales a lo s

cubos de 1 05 05 , 6 3

Y 42 .

Soluci6n: Elevemos cada u n o al cubo

y descompongamos

su s factores.

Soluci6n: 3

Calculemos lo s i nt nt er er es es es es d e cada u n o q ue seran capitales e n  l negocio:

1

=

1

33

 

33

C . 3 2   6C 1

1 = C .5 .2 2 1

laC

. 53 .

Se divide cada u no entre 33

.

73 .

23

3

7

33 .

73

73

= 12 5

1 3

=

C .6 .3 1

1 8C

27

8

1 4

1  

= 2C. 3 5 3

1

= 2 C . 4 ,5

1

= 2lC

. 3 = 27 C

suma

= 16 0

Se reparte entonces proporcionalmente a 125, 2 7 Y 8:

 

17.- U n n u um me err o se reparte e n f o rm rm a d ir irecta ectam m ente ente p r o  porcional a aa y aaa correspondiendole al m e

2 0 8 0 . 12 5 = I 62 5

I

16 0

n o r 5 5. 5 . Calcular dicho numero.

2080 .27=351

Soluci6n: Se a N el numero:

16 0

2080

3

 

=

N

10 4

16 0

55   x

=

Relaciomindolos proporcionalmente y luego p o r

descomposici6n polinomica se tendra:

Rpta.: 1 6 2 5 ; 35 351 1 Y 10 4 16.- Si se d iiv v iid d e e l numero 4 48 8 en 3 partes   P a

0 1222... ; 0 3555 ....

Y 0 2111. .. e inversamente

proporcional a la s rakes cuadradas d e 1 7 5 ; 4 4 8

Y 567.  :Cuanto es la m e nor parte?

aa

aa a

5 5

x

=0

lIa

lila

5 5

x

x = 55 5

Soluci6n:

Se trans transform forma a convenientement convenientemente e lo loss numeros qu e indican repa reparto rto propor proporcional cional directo 0 inverso. 0 1 2 = 11 9

A

-YU5=

0 35 3 5 = 3219

A

1448 =

0 21 =

A

19 9

 f

  fT

  15 1 567 = 9 f T

Efectuando lo s productos y simplificando p o r el factor comun

~

_ 90

   

_ = ~ = ~ 5-17

5

5

18. Se reparte 5/. 1 0 5 0 0 e n 3 partes de tal manera qu e la primera y la segunda s o n entre sf como 2 es a 3; y la segunda y   tercera s o n entre sf como

4 e s a 5. H al al lla a r l a m e nor de dichas cantidades. Soluci6n:

9 = 9 9

5 =4 .5 .9

le r a

2 da

2

3

= 180

8-17

.  _ =  90

Rpta.: N = 61

luego obtenemos:

.  _ =4 90

N = 5 5   55 5 = 61

9-17

=  9

. 5 . 9 = 95 9 suma = 374

La m e nor parte sera:

x = 4 488·

 

3ra

5

8

12

15

Se reparte proporcionalmente a 8 12 Y 1 5 : La m e nor sera proporcional a 8:

  3 74

= I 14 0

x = 10 5 0 0 ·

 

35

=

Sf

2 40 0

 

E ER I IOS PROPUESTO PROPUESTOS S 1. Descomponer el numero 93 4 en partes   a lo s cuadrados de   1/ 2 Y 3. Indique la lass pa part rtes es..

Rpta.: Las partes son: 9; 90 0 Y 25 2

Dividir 5 95 0 e n tres partes D P

a l a s rakes

cuadradas de lo s numeros 3 2 5 0 Y 128. Indicar la mayor d e l a ass p a rt rt e ess .

Rpta.: 2 8 0 0 3. D i v i d i r 7 9 56 e n tres partes tales qu e s us rakes cubicas sean I p a 1/4 1/ 8 Y 1112. Indicar Ia d ifer ifer e en n cia cia d e la s d o s menores.

Rpt a.: 1 5 4 7 4 . Se divide el numero N en d o s partes tales qu e s u suma la suma de su s cuadrados y la diferencia de estos sean proporcionales a 1; 17 0 Y80 Y80.. Hall Hallar ar la s um a d e l a s cifras de N.

Rpt a.: 5 5. Se reparte u n a cantidad e n forma D P a 1 ; 2 y 4. La primera parcion seria 2 42 4 2 u n iid dad de e s m e nor si

el reparto se hubiera realizado e n forma D P a l o s cuadrados de lo s numeros d a do do s. s. H a all la la r la canti-

d a d repartida.

Rpta.: 2 5 4 1 6. U n numero se reparte e n forma directamente proporcional a:

b b y bbb correspondie correspondiendoIe ndoIe aI menor 5 5. Calcular d ie ie ho ho n u m me e ro ro .

Rpta.: 61 7. Hallar el numero qu e repartido e n forma direetamente proporeional a lo s 5 0 primeros numeros enteros de para el mayor 8.

Rpta.: 20 4 8. Al repartir el n u m e r o 5 9 e n f o rm rm a d i re re e tta amen ntt e proporeional a 10 numeros eonseeutivos el m e nor reeibe 5. Hallar el mayor de lo s 10 .

Rpta.: 34/5

9. Si 6 00 0 se reparte e n f or or m ma a d ir i r ee ee ta ta m e en n te t e p ro ro poreional a l o s numeros a 3a Sa y 7a .  C uanto Ie toea al menor?

Rpta.: 4 0 0 10.Si u n numero se reparte en f o rm rm a d i rre e e tta ame en nte proporeional a 2 y 5 se

btiene para el segundo pa rt rt i e err a d e manera in valor 63 ma s qu e s i s e r e pa 0

v e rsa rsa m e en nte pro op p o re re i on on a l a lo s mismos valores. Hallar el numero.

Rpta.: 1 4 7 11 . D es es p pu ue ess d e 3 m es es e s q u ue e A h ab ab ia ia f u n nd dad do o una empresa para 1 eual deposito 5 / . 1 2 0 0 0 0 0 0 se asoeio c o n B qu e aporto 20 m en en o oss q u ue e A; 2 m es es es es m a ass tarde se le less unio C qu e aporto el 75 de 1 q ue habf habfan an depos depositad itado o A y   AI c a bo bo d e 2 m es es es es l iq iq ui ui d da a ro ro n la empresa y t u v i e r o n q u e afrontar u n a perdida d e 5/. 7 7 74 4 00 00 0 . LC u an an to to t u u-vo qu e ab o on na arr C p a ra ra s al al da d a r la deuda?

Rpta.: Sf. 16 2 0 00 12.Si se reparte 5/. 2 7 0 0 0 0 e n forma direetamente da a de de s d e A B Y C a A Ie toea proporeional a l a s e d la quinta p a arr tte e d e 1 q ue Ie toea a B y a C Ie toea l os 4/ 5 q ue a B Sabiendo q ue B tiene 1 0 afios

hallar 1

q ue Ie toearia a B si l a repartieion se

hieiese 4 a f i o s ma s tarde e inversamente propor-

cional a la s edades de A B Y C e n es e tiempo.

Rpta.: Sf. 6 0 0 0 0 13. EI g e r e nt nt e d e un a fabrica reparte Sf. 12 1 00 0 entre tres de s us mejores empleados y 1 haee tomando e n e u e n t a lo s afios de servieios y l a s inasisteneias q ue esee lapso. Si lo s ue t u uv v ie ie ro ro n e n es e m p le le a d o oss t u v vii e rro o n 10 5 Y 3 a f i o s de servieios y 9 ; 4 y 3 inasis inasisteneias teneias respeetivamente respeetivamente hallar la d ifer ifer e en n eia eia d e 1 qu e Ie toea a lo s empleados d e 5 y l 0 a f i o s d e servieios s a ab b ie i e nd nd o q u e e l heeho de uv v ie ie se se n q ue ue v er er la q ue e n la repartieion t u lass inasisteneias perjudieo al qu e t e n i a 1 0 afios de servicios e n dieha fabriea.

Rpta.: Sf. 5 0 00

 

14 . A inici6 u n negocio; 6 meses despues se asoci6 co n B quien aport6 el 6 0 de l capital qu e A ha bia bia im pue pue sto, sto, 2 meses m.as tarde s e l e s uni6 C q ue ue a po po rt rt o el 7 p or 8 de   qu e A y B h a b f a n impuesto e n el negocio. Si despues de u n a n o d e empezado el negocio consiguieron u n a utilidad

Pueblos

Habitantes

Bajas

a

y

21 600 60 0

12960

8910

51 0

4 20

36 0

Rpta.: 5/. 49 2 8 0 ;

S

3 5 904 Y S

28 7 9 8

de 5/. 3 7 1 0 0 0 . LCual es l a u ttii l id id a d liquida qu e Ie corresponded a C, c on on si si de de ra ra n nd do qu ue e tiene q u e p a g a r u n impuesto a l a renta de 4.5

?

Rpta.: 5/. 93 59 0 1 5 . Ju Ju l y , B e t t y y Carmen iniciaron u n negocio co n capitales proporcionales a 5 , 7 Y 9 r e s p e c t i v a mente y l os tiempos que pe r m ma a ne c ce e n e n el negoci cio o s o n proporcionales a 2, 5 Y 6 r e s p e c t i v a mente. H a l l e la ganancia total obtenida, si la d if if er er een n c iiaa d e las g aan n aan n ccia iass de Betty y July 750.

Rpta.: 5/. 2970 16 . Al repartir 3 5 6 2 e n part parte e proporc proporciona ionales les a 4 2 2 , 28 3 Y 5 6 2 . LCual e s la mayor diferencia entre las partes part es obtenida obtenidas? s?

Rpta.: 2678 17. Tre s p o bl bl a c cii o ne ne s t i en en e n q ue pagar u n impuesto d e g u e r r a d e 1 1 3 98 2 soles, e n partes proporcionales al numero d e h ab ab it it a nt nt e ess q u e t e n i a n d e s p u e s d e l a guerra y e n raz6n inversa de l numero de bajas q ue tuvieran durante l a m iiss m ma a. Calcular 1 q ue ue c or or re re sp sp on on di di 6 pagar a cada loss datos siguientes: poblaci6n, c o n lo

18. 18 . Descomponer el numero 35,1 en 3 sumandos q u e s e a n directamente proporcionales a l o s cuadrados de 2; 3 Y 4, e inversamente propordonal a l o s cubos de 2; 3 Y 4. 4.

Rpta.: 16,2; 10,8 10,8 Y8, Y8,1 1 1 9 . L a presi6n es I p al volumen qu e contiene cierta cantidad de gas. Calcular la presi6n a l a c u a l se halla u n g a s s i al aumentarla en 2 atm6sferas el volumen varia e n u n 40 .

Rpta.: 3 20 20.. Indicar Indicar cual de la lass siguie siguiente ntess propo proposici siciones ones es falsa: I

Si u n a c a an n ttii da da d A es proporcional   e invers a me me nt nte e pr o opor porc c iona iona l a C, entonces cuando lo oss v al al or or es es d e A no varian, B y C s o n directamente proporcionales.

II. Si u n a cantidad A es proporcional al producto de otras do s B y C, entonces B es inversamente proporcional al cociente G III. Si P varia proporcionalmente a Q entonces P  2   Q2 es inversamente proporcional a   2 _ Q2 ) .

Rpta.: La III