Repartido 2-2011 Soluciones

Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar

Curso 2011

Repartido 2 – Ley de Gauss Ejercicio 1.- (R.H.K 29.4) La carga en un conductor aislado originalmente descargado se separa al sostener una barra cargada positivamente muy cerca de él, como se muestra en la figura. Calcule el flujo para las cinco superficies gaussianas mostradas. Suponga que la carga negativa inducida sobre el conductor es igual a la carga positiva q sobre la barra.

El sistema se puede modelar como constituido por cargas puntuales que sustituyen a las concentraciones de cargas sobre los conductores. Por hipótesis la carga inducida en le conductor es igual al de la barra, S2 encierra una carga –q, y S1 una carga q (ya que el conductor debe conservar su neutralidad eléctrica). Por la ley de Gauss:

∫

ε 0 ΦE = ε 0 E.nˆ dA = q S

Para S1: Φ E1 =

q

ε0

⇒ ΦE =

q

ε 0 siendo q la carga encerrada por S.

Para S2: ΦE2 =

−q

Para S3: Φ E3 =

ε0

Para S4: Φ E4 =

q −q

ε0

= 0 Para S5: Φ E5 =

q ε0

q −q +q q = ε0 ε0

Ejercicio 2.- (R.H.K 29.7) Una carga puntual +q está a una distancia d/2 de una superficie cuadrada de lado d y está directamente arriba del centro del cuadrado como se muestra en la figura. Halle el flujo eléctrico a través del cuadrado. (Sugerencia: Considere el cuadrado como una cara de un cubo con arista d.)

q Si suponemos ε0 que la carga está exactamente en el centro, por simetría el flujo a través de cualquier de sus caras valdrá 1/6 del total. q Por tanto para la configuración mostrada en la figura, el flujo vale: Φ E = 6ε 0 El flujo total a través de un cubo que contiene una carga q en su interior vale Φ E =

1

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Ejercicio 3 Considere una esfera conductora neutra aislada, maciza excepto por un hueco en el del cual se encuentra una carga puntual q como muestra la figura. Discutir el flujo de campo eléctrico a través de cada una de las superficies esféricas señaladas. En caso que se pueda hallarlo.

Por la ley de Gauss el flujo del campo eléctrico a través de una q superficie cerrada vale Φ E = . La única carga presente es la presente

ε0

es la carga puntual q, pues el conductor es neutro. Sin embargo, en condiciones electrostáticas el campo eléctrico en el interior de un conductor debe ser nulo, por lo que se debe inducir en la superficie de la cavidad, una carga distribuida en la misma igual a –q, que apantalle la carga q. Por conservación de la carga en el conductor, en la superficie externa se debe inducir una carga igual a q, que se distribuye en la misma. Además salvo en las superficies, el conductor permanece neutro eléctricamente. Para SA: Φ EA < 0

(ya que encierra parte de la carga inducida –q de la superficie interna)

Para SB: Φ EB > 0 puntual +q) Para Sc: Φ EC = 0 q Para Sc: Φ ED =

(ya que encierra parte de la carga inducida –q de la superficie interna y la carga (ya que encierra la carga inducida –q de la superficie interna y a la carga +q)

ε0

Ejercicio 4 - En el sistema de la figura existe un campo eléctrico dado por E = bx j donde b = 800 V/m. El cubo tiene arista a=10cm. Determine la carga eléctrica dentro del cubo.

El flujo del campo eléctrico a través del cubo es igual a la suma del flujo a través de cada una de las caras.

∫E.nˆ dA = ∫E.nˆ

1

S

∫

ˆ 2 dA + dA + E.n

S1

S2

∫E.nˆ

3

∫

∫

ˆ 4 dA + E.n ˆ 5 dA + dA + E.n

S3

S4

S5

∫E.nˆ

6

dA

S 61

De las 6 integrales, son todas nulas salvo aquellas que se evalúan en las caras y= a e y= 2a, ya que el producto escalar es nulo (pues E =Eˆj ) Para estas, el campo y la normal son colineales, supongamos que esas caras son la 1 (y=a) y 2 (y=2a). Además dA= adx

∫

∫

1

2

a

a

a

0

0

0

∫EdA +∫EdA = −∫(bx)(adx) +∫(bx)(adx) = −ab ∫( x − x)dx =0

ˆ 1 dA + E.n ˆ 2 dA = − ΦE = E.n

1

2

2

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Ejercicio 5.- (R.H.K. 29.8) -

Una red para cazar mariposas está en un campo eléctrico E uniforme como se muestra en la figura. El aro, un círculo de radio a, está alineado perpendicularmente al campo. Halle el flujo eléctrico a través de la red, respecto a la normal hacia fuera.

ˆ dA =q ε0 ΦE =ε0 ∫E.n S

   E.n ˆ dA + ˆ dA =0 ⇒ E.n   círculo red 

∫

∫

(no hay cargas)l

∫E.nˆ dA =− ∫E.nˆ dA =− ∫E dA =−E ∫ dA =−Eπa

red

círculo

círculo

2

Φ E red = − Eπ a 2

círculo

Ejercicio 6.- .- (R.H.K. 29.18) Un conductor aislado de forma arbitraria contiene una carga neta de +10 µC. Dentro del conductor hay una cavidad hueca en la cual hay una carga puntual q = +3,0 µC. ¿Cuál es la carga (a) en la pared de la cavidad y (b) en la superficie externa del conductor?

a) El campo eléctrico, en condiciones electrostáticas dentro de un conductor es nulo. Por tanto, si considero cualquier superficie gaussiana dentro de su interior, el flujo del campo eléctrico es nulo y por la ley de Gauss, la carga encerrada debe ser nula. Por tanto en la pared de la cavidad debe haber una carga igual y opuesta a la carga puntual, para que la apantalle.

Φ E = 0 ⇒ q cavidad = −q = −3,0 µC

q cavidad = −3,0 µC

b) Como la carga total del conductor vale +10 µC, y en la pared de la cavidad hay -3,0 µC q sup erficie externa = q conductor − q cavidad = +10,0 − ( −3) =13µC

q sup erficie externa = +13µC

Ejercicio 7.- (R.H.K. 29.22)

Dos láminas no conductoras largas y delgadas de carga positiva están una frente a la otra como en la figura. ¿Cuál es E en los puntos a) a la izquierda de las láminas, b) entre ellas y c) a la derecha de las láminas? Suponga la misma densidad superficial de carga σ para cada lámina. Considere únicamente los puntos que no estén cerca de los extremos, o sea cuya distancia a partir de las láminas es pequeña comparada con las dimensiones de la lámina.

Las láminas se modelan como planos infinitos con una densidad de carga superficial σ. El campo que crea un plano infinito es normal al plano y de valor

σ . 2ε 0

Consideremos que el plano 1 está en x= 0 y el plano 2 en x=d.

 σ ˆ  − 2ε i x < 0 0 E1 =  σ ˆ  i x>0  2ε 0

 σ ˆ  − 2ε i x < L 0 E2 =  aplicando superposición σ ˆ  i x> L  2ε 0

 σ ˆ − ε i x < 0  0 E= 0 0< x< L  σ ˆ i x> L  ε  0

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Ejercicio 8

El campo eléctrico en la atmósfera sobre la superficie terrestre es aproximadamente 200 V/m, dirigido hacia abajo. A 1400 m por encima de la superficie terrestre el campo eléctrico de la atmósfera es de sólo 20 V/m, también dirigido hacia abajo. ¿Cuál es la densidad media de carga en la atmósfera por debajo de 1400 m? ¿Consiste predominantemente de iones positivos o negativos?

Consideremos como superficie gaussiana un cilindro circular de sección A, generatrices verticales, cuya base está sobre la superficie terrestre (h=0) y la “tapa” está en h= 1400 m.

∫

ˆ dA = ΦE = E.n S

∫E.nˆ

base

Base

dA +

∫E.nˆ

tapa

dA +

tapa

∫E.nˆ

Slateral

dA =

Slateral

De las tres integrales, la que se calcula sobre la superficie lateral es nula, ya que E ⊥ nSlateral ΦE =

∫E dA − ∫EdA =E (h =0) A −E (h =1400m) A =( E (h =0) −E (h =1400m) ) A

Base

tapa

Por la ley de Gauss, Φ E =

q ε0

siendo q la carga encerrada en el cilindro: q = ρAh

( E (h = 0) − E (h =1400m) ) A = ρAh ε0

⇒ ρ = ε0

(

)

E (h = 0) − E (h = 1400m) 200 − 20 = 8,854 ×10 −12 1400 h

=1,138×10-12 C/m3

ρ = 1,1×10-12 C/m3

Ejercicio 9.- (R.H.K. 29.25) Una esfera pequeña cuya masa m es de 1,12 mg contiene una carga q = 19,7 nC. Cuelga en el campo gravitatorio de la Tierra de un hilo de seda que forma un ángulo θ = 27,4º con una lámina grande no conductora y uniformemente cargada como en la figura. Calcule la densidad de carga uniforme σ para la lámina.

Como la esfera está en equilibrio Tsen θ = FE Tcos θ = W = mg Dividiendo miembro a miembro:

tgθ =

FE qE q  σ  = = mg mg mg  2ε 0

   

σ=

2ε 0 mgtgθ 2(8,854 ×10 −12 )(1,12 ×10 −6 )(9,8)tg ( 27,4º ) = = 5,11×10-9 C/m2 q 19,7 ×10 −9

σ=

2ε 0 mgtgθ = 5,11×10-9 C/m2 q

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Ejercicio 10.- (R.H.K. 29.28)

La figura muestra una carga +q dispuesta como una esfera conductora uniforme de radio a y situada en el centro de una esfera hueca conductora de radio interior b y radio exterior c. La esfera hueca exterior contiene una carga de –q. Halle E(r) en las ubicaciones (a) dentro de la esfera (r < a), (b) entre la esfera sólida y la hueca (a < r < b), (c) dentro de la esfera hueca (b < r < c), y (d) afuera de la esfera hueca (r > c). (e) ¿Cuáles cargas aparecen en las superficies interna y externa de la esfera hueca?

∫

ˆ dA = ΦE = E.n S

q

ε0

El campo eléctrico en el interior de un conductor es nulo. En las fronteras, el campo eléctrico es discontinuo debido a que aparecen densidades de cargas superficiales. a) 0 < r < a

E (r) = 0 por estar en el interior de un conductor.

b) a < r < b

∫E.nˆ dA =∫EdA = E (r ) ∫dA = E (r ) 4π r S

S

2

=

S

q

ε0

⇒ E (r ) =

q 4πε 0 r 2

c) b < r < c E (r) = 0 por estar en el interior de un conductor. d) r > c

∫E.nˆ dA = ∫EdA = E (r ) ∫dA = E (r ) 4π r S

S

2

=

q −q

S

e) q (r=b) =- q (para que apantalle a +q)

ε0

=0

⇒

E (r) = 0

q (r=c) = 0 (pues la carga neta de la esfera es –q)

Ejercicio 11.- (R.H.K. 29.29)

Un cilindro conductor muy largo (de longitud L) conteniendo una carga total +q está rodeado por un tubo cilíndrico (también de longitud L) con una carga total – 2q, como se muestra en sección transversal de la figura. Use la ley de Gauss para hallar (a) el campo eléctrico en los puntos afuera del tubo conductor, (b) la distribución de la carga en el tubo conductor y (c) el campo eléctrico en la región comprendida entre el tubo y el cilindro a) El campo eléctrico tiene simetría cilíndrica (se desprecian los efectos de bordes). Consideremos como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r > R TE (RTE es el radio exterior del tubo). Para calcular el flujo, dividiremos la superficie gaussiana en tres: la superficie cilíndrica lateral, y las dos “tapas”

∫E.nˆ dA = ∫E.nˆ S

SL

∫

∫

ˆ T 1 dA + E.n ˆ T 2 dA = dA + E.n

SL

T1

T2

q neta

ε0

Por la simetría cilíndrica del campo, el mismo es perpendicular a las normales de las tapas, por lo que el producto escalar será nulo y por tanto sus integrales nulas. q ˆ dA = E.n ˆ SL dA = E dA =E ( r ) dA =E (r )(2πrL ) = neta ΦE = E.n

∫ S

E (r ) =

∫

∫

SL

∫

SL

ε0

SL

q neta (−2q + q ) = = 2πε 0 rL 2πε 0 rL

E( r ) = −

q rˆ 2πε0 rL

b) Sobre el tubo conductor, habrá en la superficie interior (de radio R TI) una carga –q (para apantallar la carga q del conductor central) y sobre la superficie externa del tubo habrá una carga –q (de modo que la total sea -2q).

σ RTI =

−q 2πRTI L

σ RTI =

−q 2πRTE L

c) Considerando como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r < R TI

y haciendo consideraciones

similares a a) (considerando que la carga neta encerrada es +q), obtenemos: E( r ) =

q 2πε0 rL

rˆ

(r < RTI)

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Ejercicio 12

Considere una distribución esférica de carga positiva de radio a. La densidad volumétrica de carga es tal que aumenta proporcionalmente con la distancia al centro de la distribución. Es decir ρ(r)=αr (r