rentas diferidas

Unidad 7 Anualidades diferidas

Objetivos  Al fi final naliza izarr la unid unidad, ad, el alum no: • • • •

Calculará Calculará Calculará Calculará

el monto producido producido por una anualidad diferida. el valor presente presente o actual actual de una anualidad diferida. el valor de la renta de una anualidad diferida. el tiempo o plazo de una anualidad diferida.

Introducción

E

n la actualidad actual idad estamos muy acostumbrados a promociones promociones en tiendas departamentales, donde nos ofrecen mercancía, para pagar con mensualidades f ijas durante 3 o 6 meses, realizando realiza ndo el primer pago tres meses después de realizada la comp compra, ra, o promociones en agencias de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan “viaje “ viaje ahora y pague después”; pues bien, situaciones como éstas, desde el punto de vista de las matemáticas fi nancieras, se conocen como anualidades diferidas. Revisaremos a lo largo de esta unidad los elementos de las anualidades diferidas, asimismo estudiaremos cómo calcular el valor de las rentas, el número de pagos y el valor presente de la anualidad.

7.1. Cálculo del monto En la unidad 5 se definieron las anualidades diferidas como una serie de pagos iguales realizados en periodos de t iempos iguales, siempre que el primer pago se efectúe cierto tiempo después de la firma del convenio, por ejemplo: cuando se adquiere un compromiso de pago el día de hoy, mediante abonos mensuales, pero realizando el primero de ellos dentro de 6 meses, esto lo podemos apreciar mejor si observamos la gráfica gráf ica 7.1 7.1..

Firma del contrato  R

 R

R

R

R

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.1.

209

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Si observas con cuidado la figura 7.1, podrás darte cuenta que los pagos se inician cierto tiempo después de pactada la operación. Al tiempo que se deja antes de pagar se le conoce como tiempo de aplazamiento , el cual representaremos con la letra m, y para efecto de operaciones, debe estar expresado en las mismas unidades de tiempo que los pagos, es decir, si los pagos son mensuales el tiempo de aplazamiento debe expresarse en meses.  Al igual que en el caso de las anualidades anticipadas, su monto y algunos otros de sus  valores, se pueden calcular por medio de las fórmulas para anualidades vencidas. La figura 7.2 nos permite visualizar la relación entre las anualidades vencidas y las diferidas.

 Anualidad vencida

Firma del contrato  R

R

R

R

R

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.2.

  Si observas la figura 7.2, cuando se calcula el monto, el tiempo de aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo previo a los depósitos, durante ese tiempo no se ganaron y ni se pagaron intereses, lo que nos permite definir el monto de una anualidad diferida de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad es poco usual el cálculo del monto de una anualidad diferida, se puede realizar con la misma fórmula que para una anualidad vencida:

¿Por qué no afecta el tiempo de aplazamiento para el cálculo del monto?

 M =R

210

(1 + i )n − 1 i

Donde:  M  es el monto de la anualidad  R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos

UNIDAD  7

Ejemplos 1. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes que le entregaron inmediatamente. Si acordó pagar mediante 4 mensualidades de $975 cada una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha que se realizará el último pago? Solución

Se identifican los datos:  R=$975  i

=

0.18 = 0.015 12

 n=4

pagos mensuales

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad diferida y se realizan las operaciones,  M

=

 M  =

 M  =

 M

R

(1 + i) n − 1  i

975

(1 + 0.015)4 − 1 0.015

975

(1.015)4 − 1 0.015

= 975

1.061363551 − 1 0.061363551 = 975 = 975(4.0909034) 0.015 0.015

= 3 988.63

Los trajes tendrán un costo de $3 988.63 para cuando termine de pagarlos. 2.   Armando Rodríguez adquirió un equipo de cómputo, para lo cual le dieron la oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $2 700 cada uno, realizando el primero

211

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

de ellos 6 meses después de efect uada la compra. Si Armando liquidara su equ ipo con un solo pago el día que corresponde al último pago, ¿con cuánto pagará su deuda, considerando una tasa de interés de 18% anual compuesto mensualmente? Solución

Se identifican los datos:  R=$2  i

=

700

0.18 = 0.015 12

 n=5

pagos mensuales

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad diferida y se real izan las operaciones:  M

=

R

(1 + i) n − 1  i

(1 + 0.015)5 − 1  M  = 2700 0.015  M  =

2700

(1.015)5 − 1 0.015

= 2700

1.077284004 − 1 0.077284004 = 2700 0.015 0.015

= 2 700(5.152266933)  M

= 13 911.12

El equipo tendrá un costo de $13 911.12 para cuando termine de pagarlos.

7.2. Cálculo del valor presente Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida, sin embargo es de suma importancia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso

212

UNIDAD  7

genera intereses en este periodo, ya que el dinero se trasladó en el tiempo hacia el pasado, lo cual podemos observar de manera sencilla en la figura 7.3.

Firma del contrato

 Anualidad vencida

 R

R

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

R

R

R

Pagos

Figura 7.3.

  Si obtenemos el valor presente como si se tratara de una anualidad vencida, tendríamos después que trasladar dicho valor al momento del inicio de la anualidad, es decir, a la fecha de la firma del convenio, lo cual podemos lograr realizando un traslado de  valores tal como lo hicimos en la unidad 4 (ecuaciones de valor), utilizando la fórmula para el cálculo del valor presente de una cantidad dada: C=

M 

(1 + i)

 n

¿Cómo afecta el valor del tiempo diferido para calcular el valor presente de una anualidad diferida?

=  M(1 + i)− n

Donde  n  en realidad corresponde al tiempo diferido, el cual, como ya se mencionó, se identifica con la letra  m, y el monto ( M ) está determinado por el valor presente de una 1 − (1 + i)− n anualidad vencida ( R )  i

Se sustituyen estos elementos (monto y m) en la fórmula para valor presente: C= M (1+ i)– n

213

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

  C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

Donde: C  es el valor presente de la anualidad  R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos m es el número de periodos diferidos

Para poder definir el valor de  m  (periodos diferidos), es necesario trazar la gráfica de tiempo. Ejemplos 1. Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 años, si el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si consideramos una tasa de 32% capitalizable semestralmente. Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.4) para determinar el valor de  m:  R=$3  i

=

0.32 = 0.16 2

 n=6  m=2

214

200

(2)=12 pagos semestrales durante 6 años semestres

UNIDAD  7

Valor  actual

 Anualidad vencida m =

2  R1

0

1

R2

R3

R4

R11

R12

Semestres

2 n =

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

12

Figura 7.4.

Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida y se realizan las operaciones: C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.16)−12 C = 3200 (1 + 0.16)−2 0.16 1 − (1 .16)−12 C = 3200 (1 + 0.16)−2 0.16 C  =

3 200

C  =

3200

C

1 − (0.168462844) (0.743162901) 0.16

0.831537156 (0.743162901) = 3 200 (5.197107225) (0.743162901) 0.16

= 12 359.35

Significa que el valor actual es $12 359.35. 2. ¿Cuál es el precio de contado de una recámara que se compró con pagos mensuales de $2 150 durante 24 meses, comenza ndo a pagarlos 6 meses después de entregada, con una tasa de interés de 19.2% anual capitali zable mensualmente?

215

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.5) para determinar el valor de  m:  R=$2  i

150

0.192 = 0.016 12

=

 n=24  m=5

Valor  actual

 Anualidad vencida m =

5  R1

0

1

2

3

4

5

R2

R3

R4

 R23

R24

Meses

6 n =

24

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.5.

Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida y se real izan las operaciones: C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.016) −24 (1 + 0.016)−5 C = 2 150 0.016 1 − (1.016)−24 C = 2150 (1.016)−5 0.016

216

UNIDAD  7

C  =

2 150

1 − (0.683204957)  (0.923701098) 0.016

C  =

2 150

0.316795043 (0.923701098) 0.016

C

= 2 150(19.79969019) (0.923701098)=39 321.34

El precio de contado de la recámara es $39 321.34.

Ejercicio 1 1. La Señora Gómez pretende realizar 8 depósitos bimestrales de $8 000 en el banco, realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. ¿Cuál será el saldo en la cuenta después de realizar el último depósito si el banco le paga 12% anual capitalizable bimestralmente? 2. Un ganadero estima que su ganado comenzará a producir dentro de seis meses, con una producción con valor de $120 000 mensuales y que se mantendrá durante 10 años. ¿Cuál es el valor actual de la producción si se fija una tasa de 16% anual capitalizable mensualmente? 3. Si se compra una camioneta mediante un programa de financiamiento que consiste en realizar 48 pagos mensuales de $5 400 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses después de entregada la camioneta, ¿cuál es el precio de contado del automóvil si la tasa de interés es de 18% anual capitalizable mensualmente? 4.  Adrián compró un equipo de sonido el cua l se comprometió a liquidar con 10 pagos mensuales de $1 200 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después de adquirido el equipo, con una tasa de interés de 24% anual convertible mensual. ¿Cuál es el precio de contado del equipo? 5. ¿Cuánto ahorrará una persona que realiza 20 depósitos mensuales de $9 000 cada uno, si realiza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un interés de 30% anual con capitalización mensual?

217

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

7.3. Cálculo de la renta Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en las anualidades diferidas se presentan situaciones en las que se requiere conocer el valor de las rentas a realizar, esto se puede determinar despejándolo de las fórmulas para calcular el monto, o calcular el valor presente, esto en función de los datos con que se cuente; aunque ya se ha mencionado que en el caso de las anualidades diferidas la mayoría de los cálculos se realizan en función del valor presente, por lo cual en esta parte nos limitaremos a explicar el cálculo del valor de las rentas cuando se conoce el  valor presente de la anualidad. ¿Cómo se puede determinar el valor de la renta de una anualidad diferida?

Ejemplos 1. El señor Ramírez deposita el día de hoy $370 000 en una institución bancaria que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de año y medio pueda disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro mensual? Solución

Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.6): Valor  actual

 Anualidad vencida

 R1

0

1

16

17

R2

R3

R4

n =

Figura 7.6.

218

R36

Meses

18

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 17

 R35

36

UNIDAD  7

C=$370  i

=

000

0.18 = 0.015 12

 n=36  m=17 

Se sustituyen los datos en la fórmula: C=R

1 − (1 + i) − n i

(1 + i )− m

370 000 =  R

1 − (1 + 0.015)−36 (1 + 0.015)−17  0.015

370 000 =  R

1 − (0.585089735) (0.77638526) 0.015

370 000 =  R

0.414910265 (0.77638526) 0.015

370 000= R(27.6606843)(0.77638526) 370 000= R(21.4753476)  R  =

370 000 = 17 229.06 21.4753476

Lo que signif ica que se pueden realizar retiros de $17 229.06. . 2.  Ana Patricia González contrajo una deuda con valor actual de $742 000, la cual se comprometió a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un año después de adquirida la deuda. Si la tasa de interés pactada es de 13.8% anual convertible bimestralmente, ¿cuánto pagaría Ana Patricia cada bimestre? Solución

Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.7):

219

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Valor  actual

 Anualidad vencida

 R1

0

1

4

5

R2

R3

R4

C=$742  i

=

Figura 7.7.

000

0.138 = 0.023 6

 n=24  m=5

Se sustituyen los datos en la fórmula: C= R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.023)−24 742 000 =  R (1 + 0.023)−5 0.023 742 000 =  R

1 − (0.579408405) (0.892527962) 0.023

742 000 =  R

0.420591595 (0.892527962) 0.023

742 000 = R(18.28659109)(0.892527962) 742 000 = R(16.32129388)  R  =

742 000 = 45 462.08 16.32129388

Los pagos deben ser de $45 462.08 cada uno.

220

R

Bimestres

6 n =

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 5

 R

24

UNIDAD  7

Ejercicio 2 1. Ricardo Pereira solicita un crédito para comprar una casa con valor de $1 536 000. Si acuerda liquidarlo con pagos mensuales durante 15 años, y el banco le permite iniciar sus pagos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 21% anual convertible mensual, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual? 2. Lupita decide comprar un equipo de cómputo con valor de $28 750. La tienda ofrece una promoción que consiste en realizar 18 pagos mensuales, iniciando los pagos 3 meses después de realizada la compra. ¿Cuál es el importe de cada pago si la tienda aplica una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensual mente? 3. Una persona que se va a jubilar dentro de 6 años actualmente tiene depositados $250 000 en una cuenta bancaria que le paga 15% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuánto podrá retirar semestralmente durante los 15 años siguientes a su jubilación? 4.  Al realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantación de café, se esti ma que ésta tardará 4 años en producir, manteniendo dicha producción durante 20 años. Si el dueño de la plantación considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone una tasa de interés de 7% anual con capitalización anual, ¿de cuánto será la producción anual de dicha plantación de café durante los 20 a ños que se mantendrá la producción? 5. Una inmobiliaria ofrece unos departamentos con valor de $520 000 en preventa, mediante un crédito que consiste en mensualidades fijas durante 30 años, las cuales se comenzarán a pagar cuando se entregue el departamento, lo cual se espera sea 10 meses después de la firma del convenio. Si la inmobiliaria trabaja con una tasa de interés de 24% anual compuesto mensualmente, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual?

7.4. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad diferida Cuando se requiere conocer el número de pagos o plazo de una anualidad diferida se puede recurrir a las fórmulas para calcular su valor presente o el monto, sin embargo, tal como ocurre con el valor de la renta, el monto se comporta como una anualidad vencida, por lo tanto, la mayoría de los cálculos se enfocará al valor presente; en nuestro caso nos referiremos únicamente a cálculos en los cuales el valor presente es un dato conocido.

221

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Para determinar el número de rentas, simplemente despejaremos su valor de la fórmula 1 − (1 + i)− n del valor presente C = R (1 + i)− m  i

Ejemplo 1. Rosario Luna guarda en una cuenta bancaria $240 000 con una tasa de interés de 15% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuántos retiros bimestrales de $12 000 podrá realizar, comenzando dentro de 2 años? Solución

Se identifican los datos y se realiza la gráf ica de tiempo (figura 7.8): C=$240  R=$12  i

=

000

000

0.15 = 0.025 6

 m=11

bimestres

Valor  actual

 Anualidad vencida

 R1

0

1

10

11

R2

R3

R4

Bimestres

12 n

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 11

Figura 7.8.

222

 Rn

UNIDAD  7

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo de u na anualidad diferida: C= R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.025)− n 240 000 = 12 000 (1 + 0.025)−11 0.025 240 000 1 − (1.025)− n = (1.025)−11 12 000 0.025 20 =

1 − (1.025)− n (0.762144782) 0.025

20 1 − (1.025)− n = 0.762144782 0.025 1 − (1.025)− n 26.24173316 = 0.025 (26.24173316)(0.025)=1–(1.025) – n (1.025)– n=1–0.656043329 (1.025)– n=0.343956671 Ya que esto es una ecuación exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la igualdad y se utilizan sus propiedades: log(1.025)– n=log 0.343956671 (– n)log1.025=log 0.343956671 − n =

log 0.343956671 − 0.463496263 = = − 43.22 log 1.025 0.010723865

multiplicando por –1:  n=43.22

Se requieren aproximadamente 44 pagos.

223

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato. En este curso no se realizará el ajuste del último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato.

Otra opción es despejar primero el valor de  n  de la fórmula para calcular el valor presente de la anualidad, obteniendo con esto una fórmula que nos permita calcular de manera directa el número de rentas. De esta forma el despeje quedaría: C= R

 R

1 − (1 + i)− n  i

1 − (1 + i)− n  i

1 − (1 + i)− n  i

−(1 + i)− n =

=

=

(1 + i)− m C

(1 + i)− m C − m

 R (1 + i) Ci

−1

− m

 R (1 + i)

 Multiplicando por –1 y aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos:

  Ci − n − + − = ( 1  i ) 1   (−1) − m ( ) +  R 1 i  

(1 + i)− n = 1 −

Ci − m

 R (1 + i)

  Ci log (1 + i)− n  = log 1 − − m    R (1 + i)    Ci (− n) log(1 + i) = log 1 − −m    R (1 + i)    Ci log 1 − − m   R (1 + i)   (− n) = log(1 + i)

224

UNIDAD  7

 Multiplicando por –1 para que  n sea positiva se tiene que:  



log 1 − n



=−

 −m   R (1 + i )  Ci

log (1 + i)

Donde: n es el número de pagos C  es el valor presente de la anualidad  R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización m es el número de periodos diferidos

Ejemplo

Regina Luna compró una videograbadora con valor de $2 700, la cual acordó pagar mediante pagos mensuales de $350 cada uno con un interés de 24% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora, si el primero se realiza 3 meses después de haberla adquirido? Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica de tiempo (figura 7.9): C=$2

700

 R=$350  i

=

0.24 = 0.02 12

 m=2

Valor  actual

 Anualidad vencida m =

2  R1

0

1

2

R2

R3

 Rn

R4

3 n

Meses

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.9.

225

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Se sustituyen en los datos en la fórmula que tiene despejado el número de rentas:

    2 700 (0.02)  54 log 1 − log 1 −    350 (1 + 0.02)−2  3 50 (0.961168781)     =−  n = − log(1 + 0.02) log 1.02  n

=−

log(1 − 0.160518857)  log 1.02

 n

=−

log(0.839481143) − 0.075989054 =− = − (−8.84) = 8.84 log 1.02 0.008600171762

Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 9 pagos.

Ejercicio 3 1. La Señora Flores compra un automóvil con valor de $195 620, mediante un crédito que se liquidará con pagos bimestrales de $11 500 cada uno con una tasa de interés de 18% compuesto bimestralmente, con el acuerdo de realizar el primer pago un año después de otorgado el préstamo. ¿Con cuá ntos pagos saldará su deuda la señora Flores? 2. Si solicitas un crédito por $150 000, el cual te comprometes a pagar mediante abonos trimestrales de $9 750 cada uno y realizar el primero de ellos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 20% anual compuesto trimestralmente, ¿con cuántos pagos se saldará tu deuda? 3. Una empresa comercializadora requiere comprar una bodega para almacenaje, la cual tiene un precio de $750 000. Si le otorgan un crédito hipotecario, la empresa pagará con mensualidades de $8 750 cada una con una tasa de interés de 10.8% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para liquidar el crédito si además acuerda realizar el primero 8 meses después de entregada la bodega? 4. Para pagar una sala que tiene un costo de $18 000 se debe realizar una serie de pagos mensuales por $6 500 cada uno, iniciando 6 meses después de la compra. ¿Cuántos pagos se deben realizar para liquidar la sala si la tasa de interés es de 15% anual convertible mensualmente?

226

UNIDAD  7

5. La señora Martínez compró una cocina con valor de $35 000 mediante un crédito que consiste en pagos mensuales de $4 500 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después, con una tasa de interés de 10.2% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos hay que realizar para saldar la deuda?

Problemas resueltos 1. Durante el mes de noviembre una tienda departa mental anuncia su promoción anual “compre ahora y pague hasta febrero”. La señora Urquiza decidió aprovechar la oferta y comprar ropa que le entregaron inmediatamente (en noviembre). Si acuerda pagar mediante 6 mensualidades de $523 cada una (iniciando en febrero por la promoción), con un cargo de 21% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por la ropa si se comprara en la misma fecha en que se reali zará el último pago? Solución

Se identifican los datos:  R=$523  i

=

0.21 = 0.0175 12

 n=6

pagos mensuales

Como se pide determinar el valor de la ropa en el momento del último pago, significa que se debe calcular el monto de las rentas, por lo tanto el tiempo diferido no afecta para nada. Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad diferida y se realizan las operaciones:  M

=

 M  =

R

(1 + i) n − 1  i

523

(1 + 0.0175)6 − 1 0.0175

227

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

 M  =

 M

523

(1.0175)6 − 1 0.0175

= 523

1.109702354 − 1 0.109702354 = 523 = 523(6.268705943) 0.0175 0.0175

= 3 278.53

La ropa tendrá un costo de $3 278.53 para cuando termine de pagarla. 2. Calcula el valor actual de una renta semestral de $8 645 efectuada durante 10 años, si el primer pago se debe realizar dentro de 4 años y consideramos una tasa de 18% capitalizable semestralmente. Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.10) para determinar el valor de  m:  R=$8  i

=

645

0.18 = 0.09 2

 n=10

(2)=20 pagos semestrales durante 10 años

 m=7 

 Anualidad vencida

Valor  actual  R1

0

1

6

7

R2

R3

R4

 R19

R20

Semestres

8 n

= 20

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 7

Figura 7.10.

Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida y se real izan las operaciones:

228

UNIDAD  7

C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.09)−20 (1 + 0.09)−7  C  = 8 645 0.09 1 − (1 . 09)−20 (1 .09)−7  C  = 8 645 0.09 C  =

8 645

1 − (0.178430889) (0.547034244) 0.09

C  =

8 645

0.821569111 (0.547034244) = 8 645(9.128545678)(0. 547  7034244) 0.09

C

= 43 169.91

Significa que el valor actual es $43 169.91. 3.  Alberto deposita el día de hoy $150 000 en una cuenta banca ria que le paga 18% anual convertible trimestralmente, para que dentro de 5 años pueda disponer de una cantidad trimestral fija para gastos personales durante 7 años. ¿Cuál es el valor de cada retiro trimestral? Solución

Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.11):  Anualidad vencida

Valor  actual  R1

0

1

18

19

R2

R3

R4

 R27

R28

Trimestres

20 n

= 7(4) = 28

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 19

Figura 7.11.

229

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

C=$150  i

=

000

0.18 = 0.045 4

 n=28  m=19

Se sustituyen los datos en la fórmula: C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.045)−28 (1 + 0.045)−19 150 000 = R 0.045 150 000 =  R

1 − (0.291570691) (0.433301788) 0.045

150 000 =  R

0.708429309 (0.433301788) 0.045

150 000 = R(15.74287353)(0.433301788) 150 000 = R(6.82141525)  R  =

150 000 = 21 989.57  6.82141525

Lo que significa que se pueden reali zar retiros de $21 989.57. 4. ¿Cuántos retiros bimestrales de $10 420 se podrán realizar, comenzando dentro de año y medio, si la cuenta tiene actualmente $240 000 y gana un interés de 18% anual capitalizable bimestralmente? Solución

Se identifican los datos y se realiza la gráf ica de tiempo (figura 7.12):

230

UNIDAD  7

C=$240  R=$10  i

=

000

420

0.18 = 0.03 6

 m=8

 Anualidad vencida

Valor  actual  R1

0

1

7

8

R2

R3

R4

 Rn

Bimestres

9 n

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento m = 8

Figura 7.12.

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo de u na anualidad diferida: C

=

R

1 − (1 + i)− n  i

(1 + i)− m

1 − (1 + 0.03)− n (1 + 0.03)−8 240 000 = 10 420 0.03 240 000 1 − (1.03)− n (1.03)−8 = 10 420 0.03 1 − (1.03)− n (0.789409234) 23.03262956 = 0.03 23.03262956 1 − (1.03)− n = 0.789409234 0.03 1 − (1.03)− n 29.17704603 = 0.03

231

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

(29.17704603) (0.03) = 1–(1.03) – n (1.03) – n = 1–0.87531138 (1.03) – n = 0.12468862 Ya que esto es una ecuación exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la igualdad y se utilizan sus propiedades, log(1.03)– n = log0.1248862 (– n)log 1.03 = log0.12468862 − n =

log 0.1248862 − 0.904173181 = = −70.43 log 1.03 0.012837224

 Multiplicando por –1:  n=70.43

Se requieren aproximadamente 71 pagos. Nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato. En este curso no se realizará el ajuste del último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato.

5. Una empresa compró equipo con valor de $985 620, el cual acordó liquidar med iante pagos semestrales de $250 000 cada uno, con u n interés de 32% capitalizable semestralmente. ¿Cuántos pagos se necesitan realizar para liquidar el equipo, si el primero de ellos se realiza 18 meses después de haberlo adquirido? Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica de tiempo (figura 7.13):

232

C=$985

620

 R=$250

000

UNIDAD  7

 i

=

0.32 = 0.16 2

 m=2

Valor  actual

 Anualidad vencida m =

2  R1

0

1

2

R2

R3

 Rn

R4

Semestres

3 n

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Figura 7.13.

Recuerda que puedes sustituir los valores en la fórmula para determinar el valor presente de la anualidad, y posteriormente se despeja el número de rentas (tal como el ejercicio anterior) o bien se sustituyen los datos en la fórmula que tiene despejado el número de rentas, que es lo que se presenta a continuación:

  Ci log 1 − − m   R (1 + i)    n = − log(1 + i)     985 620 (0.16)  157 699.2 log 1 − l o g 1 −    250 000 (1 + 0.16)−2  250 000 (0.743162901)      n = − =− log(1 + 0.16) log 1.16 =−

 n

log(1 − 0.848800174) log 1.16

=−

log(0.151199826)  −0.820448708 7  ) = 12. 73 =− = −(−12.73 log 1.16 0.064457989

Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 13 pagos.

233

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Problemas propuestos 1. Se estima que un pozo petrolero comenzará a producir dentro de 2 años, con una producción con valor de $982 000 anuales y que se mantendrá durante 32 años. ¿Cuál es el valor actual de la producción, si se fija una tasa de 19% anual capitalizable anualmente? 2. ¿Cuál es el monto de una deuda que se cubre con 10 pagos semestrales de $16 500, si el primero de ellos se realiza 2 años después de formado el convenio con una tasa de interés de 15% anual compuesto semestral mente? 3. La señora Martínez pretende realizar 7 depósitos de $68 000 trimestrales en el banco, realizando el primero de ellos dentro de 12 meses. ¿Cuál será el saldo en la cuenta después de realizar el último depósito si el banco le paga 24% anual capitalizable trimestralmente? 4. Una persona que se jubilará dentro de 8 a ños actualmente tiene depositados $1 250 000 en una cuenta bancaria que genera 25% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuánto podrá retirar semestralmente durante los 30 años siguientes a su jubilación? 5. El señor Fernández compra un automóvil con valor de $216 585, mediante u n crédito que se liquidará con pagos mensuales de $14 500 cada uno con una tasa de interés de 12% anual compuesto mensualmente, acordando realizar el pri mer pago 6 meses después de que le entregan el automóvil. ¿Con cuántos pagos saldará su deuda el señor Fernández?

234

UNIDAD  7

Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. $68 663.75 2. $6 704 567.55 3. $170 641.90 4. $10 360.54 5. $229 901.92

Ejercicio 2 1. $30 666.18 2. $1 889.86 3. $46 899.59 4. $17 345 308.95 5. $12 438.93

Ejercicio 3 1. 31 pagos, aproximadamente. 2. 34 pagos, aproximadamente. 3. 193 pagos, aproximadamente. 4. 4 pagos, aproximadamente. 5. 9 pagos, aproximadamente.

235

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Respuestas a los problemas propuestos 1. $4 326 603.32 2. $233 426.94 3. $570 780.96 4. $915 120.72 5. 18 pagos, aproximadamente.

236

 Matemáticas nancieras

Unidad 7. Anualidades diferidas

Nombre: Grupo:

Número de cuenta:

Profesor:

Campus:

Autoevaluación 1. El señor Ramírez piensa depositar $500 mensuales en una cuenta de ahorros comenzando dentro de 8 meses. Si el banco paga 18% de interés anual capitalizable mensualmente, la cant idad que habrá reunido después de 15 depósitos es:

a) b) c) d)

$6 341.04 $7 341.07  $8 341.07  $9 341.07 

2.  Alberto compró un equipo de son ido en una promoción de compre ahora y com ience a pagar dentro de seis meses, con 12 pagos mensua les de $378. Si la tasa de interés es de 21% anual con capitalización mensual, el precio actua l del equipo de sonido que compró Alberto es:

a) b) c) d)

$3 722.25 $4 222.25 $4 722.25 $5 222.25

3. Indica el número de pagos semestrales por $3 00 0 que se requieren para liquidar una deuda de $50 243.64, si la tasa de interés es de 9.1% convertible semestralmente y si el primer pago se rea liza 2 años después de autorizado el crédito:

a) b) c) d)

44 pagos. 45 pagos. 46 pagos. 47 pagos.

237