Relatorio Pendulo Simples

Universidade xxxxxxx xx xxxxx xx xxxxx Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias Laboratório de Física II - Prof. xxxxxx

Física Geral II Relatório Pêndulo Simples xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

Cidade - Estado Mês, Ano

Sumário Introdução

1

Objetivo

2

Materiais

2

Procedimento

2

Análise dos dados

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Questões

7

Referências Bibliográficas

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Anexo

10

ii

Introdução

Segundo Moysés, em seu livro Curso de Física Básica, volume 2, Fluidos, Oscilações, Calor e Ondas, as oscilações correspondem a vibrações localizadas e são encontradas em todos os campos da Física. A exemplo de sistemas mecânicos vibratórios estão pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro. Sendo assim, um pêndulo que é tirado de sua posição de equilíbrio e depois solto exemplifica uma oscilação em que o sistema, após serem estabelecidas as configurações iniciais, não é submetido à forças externas oscilatórias, e estabelece seu próprio período de oscilação, determinado pelos parâmetros que o caracterizam. O pêndulo simples trata de um sistema onde uma massa m suspensa por um fio de comprimento l e massa desprezível, apresentam-se como no sistema abaixo.

Sistema 1, pêndulo simples

A massa m move-se sobre um círculo de raio l sob a ação do peso m.g (considerando g = gravidade) e da tensão T. Onde, decompondo a aceleração em componentes tangencial e radial, as equações de movimento são para um ângulo de desvio ɵ em relação à posição vertical de equilíbrio.

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Objetivos   

Entender o pêndulo simples como um sistema oscilante. Obter a aceleração da gravidade. Realizar análise estatística de dados e comparar métodos de análise.

Materiais

    

01 Fio de nylon 01 Pequeno corpo de chumbo (peso de pesca) 01 cronômetro digital (erro instrumental: 0,001 s) 01 régua milimetrada (erro instrumental: 0,005 cm) Um cadarço de sapato

Procedimento

    

Com a fita métrica foi medido o comprimento do fio, obtendo-se 2,05 cm; Para que o peso preso no fio fosse deslocado a 10°, mediu-se por trigonometria a distância s (interpretada como cateto oposto), de 36 cm, da posição de quilíbrio; Foi medido o tempo de oscilação do pêndulo montado (peso na ponta do fio) a 10° da posição de equilíbrio 20 (vinte) vezes seguidas; Também a 10° da posição de equilíbrio, foi medido o período de 10 oscilações contínuas; Os últimos dois passos foram repetidos a um ângulo de 20°, obtendo-se s2 = 75 cm.

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Análise dos dados

A partir dos dados dos tempos de oscilação, foram calculados a média, o desvio-padrão ´ e o desvio-padrão da média. Onde, para o cálculo da média ( T ), considerou-se: 20

1 T´ = ∑ X i n i=1

Para o cálculo do desvio-padrão ( σ ), considerou-se:

σ=

√

n

1 ´ 2 ∑ ( X − X) n−1 i=1 i

Para o cálculo do desvio-padrão da média (ϵ), que indica o quão dispersos os valores estão da média, considerou-se:

√

n

1 σ ϵ= ( X i− X´ )2= ∑ n(n−1) i=1 √n Considerando T10 como a medida de tempo de dez oscilações contínuas, calculou-se o período T, dado pela equação: T=

T 10 10

Para σ10, erro de T10, considera-se a soma do erro instrumental (0,01 s) com o erro aleatório, que, no caso, utilizou-se o tempo de reação do estudante que leu a medida (0,30 s), baseado na literatura, dado por: σ10 = 0,3 s Assim, a propagação do erro de T,

σT ,

dá-se por:

√

σ 10 2 σ T =T ( ) =0,004 s T 10 3

Tabela 1: Dados do Pêndulo

Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 T´

Tempo (s) para 10º 2,72 ± 0,31 2,69 ± 0,31 2,68 ± 0,31 2,66 ± 0,31 2,70 ± 0,31 2,67 ± 0,31 2,71 ± 0,31 2,69 ± 0,31 2,69 ± 0,31 2,64 ± 0,31 2,66 ± 0,31 2,70 ± 0,31 2,71 ± 0,31 2,67 ± 0,31 2,69 ± 0,31 2,69 ± 0,31 2,69 ± 0,31 2,67 ± 0,31 2,67 ± 0,31 2,66 ± 0,31

Tempo (s) para 20º 2,75 ± 0,31 2,83 ± 0,31 2,72 ± 0,31 2,76 ± 0,31 2,78 ± 0,31 2,78 ± 0,31 2,78 ± 0,31 2,76 ± 0,31 2,70 ± 0,31 2,78 ± 0,31 2,79 ± 0,31 2,79 ± 0,31 2,83 ± 0,31 2,80 ± 0,31 2,73 ± 0,31 2,77 ± 0,31 2,80 ± 0,31 2,78 ± 0,31 2,74 ± 0,31 2,78 ± 0,31

2,68

2,77

σ

0,02

0,03 ϵ 0,01 0,01 T10 28,40 ± 0,31 28,61 ± 0,31 T 2,84 2,86 * σT 0,004 0,004 * Valores expressos com maior número de casas decimais para explicitar σT. 4

Com a finalidade de analisar a teoria, desprezando a resistência do ar e possíveis erros aleatórios, onde se considera um sistema harmônico, pode-se calcular o período. A partir da forma geral das oscilações livres do oscilador harmônico, dado por: x (t)= Acos( ωt+ φ) Onde ω é a frequência do oscilador e φ é a fase. Então, substituindo a equação (onde são considerados ângulos muito pequenos e, por ~ tanto, sen θ ¿ θ ): ω=

√

g l

Na equação: τ=

2π ω

E assim: τ =2 π

√

l g

Utilizando-se da aceleração gravitacional g = 9,80 m/s2, baseado na literatura. Temos que: τ =2 π

√

Para cálculo da propagação do erro de comprimento l do fio como

σl

2,05 =2,87 s 9,80 τ , considerou-se o erro de medida para o

= 0,005 m, tem-se:

√

σl 2 σ τ =τ ( ) =0,003 s 2l Então, τ = 2,870 s ± 0,003 s Analisando

T´

e T percebe-se que há uma diferença de período mesmo para

oscilações sob o máximo de 10°. Sabe-se que na prática existem diversas interferências que podem influenciar nos valores obtidos, como resistência do ar e tempo de reação humana (considerado nos cálculos dos erros, inclusive). Pode-se considerar também a dissipação de energia como um fator relevante.

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Esperava-se que T fosse, de fato, maior que

T´ , uma vez que com a dissipação de

energia, no decorrer das oscilações contínuas, o pêndulo começa a perder o alcance máximo (que seria o alcance da primeira oscilação) e por isso, menor tempo de ´ oscilação. T pode ter assumido valor maior que T devido ao cenário do experimento, onde a dissipação de energia pode não ter sido observada através dos cálculos, já que analisando as medidas feitas após muitas oscilações, há diluição de erro, comparado ao erro experimental atribuído à medidas individuais. Sugere-se, então, que sejam

realizadas mais medidas de oscilações individuais para este procedimento experimental, a fim de uma melhor observação da dissipação de energia. Na análise dos dados do ´ experimento, também não foi considerada a propagação de erro para T , uma vez que trata-se de medida direta, mesmo existindo um tempo de reação atribuído a cada uma das 20 medidas. As mesmas observações de comparação entre T e

T´

foram feitas para o ângulo de

20°, indicando que a esta variação ainda não foi suficiente para novos resultados. Através do experimento com o pêndulo simples é possível medir-se a gravidade. Assim, para o sistema sob o ângulo de 10°: g=

l T 2 ( ) 2π

g=

2,05 m =10,02 2 2 2,84 s 2π

( )

Para propagação de erro de g, fez-se:

√

σl 2 σT 2 σ g=g ( ) +( ) = 0,01 2l 2T

Considerou-se que

σl

m s2

não existe.

m Então, para 10°, g = 10,02 ± 0,01 ( s 2 ). Para o sistema sob o ângulo de 20°, m ¿ encontrou-se g2 = 9,88 ± 0,01 ( s 2 . Pode-se analisar que os valores de gravidade encontrados diferenciam-se do valor esperado na literatura pelos motivos de influência de erros atribuídos ao experimento já explicados na análise dos dados de período.

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Questões

1)

Quais são os parâmetros relevantes na determinação do período do pêndulo simples? Para ângulos menores que 10º o parâmetro relevante é o comprimento do fio.

2) Determine para pequenas oscilações a equação de movimento de um pêndulo simples. Considerando um sistema de pêndulo simples, como uma massa m suspensa por um o de comprimento l e massa desprezível. A massa m move-se sobre um círculo de raio l sob a ação do peso m: g (considerando g = gravidade) e da tensão T. Onde, decompondo a aceleração em componentes tangencial e radial, as equações de movimento são para um ângulo de desvio θ em relação à posição vertical de quilíbrio. Dadas as equações de movimento em relação à aceleração radial e tangencial respectivamente temos: 2

m. a r=−m. l .(

dθ ) =m. g . cos θ−T dt

m. aθ =−m. l.(

d2 θ )=m. g . sen θ 2 dt

Tem-se a equação de movimento do pêndulo simples: d 2 θ −g = senθ l dt 2 Medindo o ângulo θ em radianos, tem-se, para ângulos pequenos, θ ≪1 ⇒senθ ≅ θ

Logo, para pequenos desvios da posição de equilíbrio estável, a equação de movimento de pêndulo simples se reduz à equação de oscilação harmônica, dada por: d2 θ g + θ dt 2 l

que corresponde à: g θ+¿ θ=0 l ¿´ 7

3) Obtenha a solução para a equação da questão anterior. Usando a equação de Euler, dada por: e ix = cos x + i senx Tomando a equação diferencial do oscilador: ´x + ω2 x=0 Temos que, para determinar x(t), vamos usar apenas a parte real da equação de Euler: / x ( t )=ℜ[z ( t ) ]

Onde: 2

z ( t )= A e i(φ+ω ) Já que e ix=cosx+ i senx A solução do pêndulo simples é dada ´por: x ( t )=ℜ [ z ( t ) ]= A . cos ⁡( ωt + φ)

4) Determine a equação de movimento de um pêndulo simples para valores de oscilações em segunda ordem. 3 De acordo com a expansão da série de Taylor sin θ = θ−θ /3 ..., truncando os

dois primeiros termos da série, pois os elementos seguintes são muito pequenos, temos que:

3

senθ ≅θ−

θ 6

A partir dos cálculos já detelhados, tem-se: θ3 θ− 6 2 ) d θ g ≈ .¿ 2 l dt

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Referências Bibliográficas

H.M Nussenzveig. Um curso de física básica: Volume 2, Edgar Blucher, São Paulo (2003).

HALLIDAY, DAVID. Fundamentos de física, Volume 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro (2009).

Apostila de Física Geral e Experimental I – (ICADS-UFOB);

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