Relatório Parcial da Fapesp

Relatório Científico de Progresso Iniciação Científica

Superfícies mínimas cíclicas

Aluno: André Scandar Prata Orientador: Prof. Dr. Fernando Manfio Processo FAPESP: 2010/07529-9

Sumário:

Conteúdo 1.

Introdução ............................................................................................................................ 1

2.

Objetivos do projeto ............................................................................................................. 2

3.

Plano de trabalho ................................................................................................................. 3

4.

Curvas ................................................................................................................................... 4

5.

4.1.

Curvas Parametrizadas ............................................................................................... 4

4.2.

Curvas Regulares; Comprimento de Arco .................................................................. 5

4.3.

Teoria Local das Curvas Parametrizadas pelo Comprimento de Arco .................... 7

Superfícies Regulares ......................................................................................................... 11 5.1.

Superfícies Regulares; Imagens inversas de valores regulares ............................. 11

5.2.

Mudança de Parâmetros; Funções Diferenciáveis sobre superfícies .................... 17

5.3.

Plano Tangente; Diferencial de uma Aplicação ....................................................... 20 Primeira forma fundamental; Área .......................................................................... 22

6.

7.

Aplicação de Gauss ............................................................................................................. 25 6.1.

Propriedades fundamentais ..................................................................................... 25

6.2.

A aplicação de Gauss em Coordenadas Locais......................................................... 30

6.3.

Superfícies Regradas e Superfícies Mínimas ........................................................... 34

Bibliografia ......................................................................................................................... 43

1. Introdução Uma superfície regular, cuja curvatura média é nula em todos os seus pontos, é chamada de superfície mínima. A palavra mínima, neste caso, está relacionada com o seguinte problema proposto por Joseph Louis Lagrange em 1760:

Dado uma curva fechada , sem auto-interseções, achar a superfície de área mínima que tem esta curva como fronteira. Lagrange apresentou este problema sumariamente, como um mero exemplo de um método, por ele desenvolvido, para determinar curvas ou superfícies que minimizassem certas quantidades como, por exemplo, área, comprimento, energia, etc. Estes métodos constituem hoje o chamado Cálculo das Variações. Um exemplo simples de superfície mínima são as películas de sabão. Imaginemos uma curva fechada feita de um arame fino, e mergulhemos em uma solução de água com sabão. Retirando cuidadosamente o contorno da solução, surge uma película fina de líquido, que tem em geral a forma de uma superfície regular tendo como fronteira, e que está em equilíbrio sob a ação da tensão superficial do líquido. É possível provar que esta superfície de equilíbrio tem curvatura média . Isso decorre de uma fórmula, devida a Laplace, estabelecendo que a pressão em casa ponto exercida pela superfície sobre o meio ambiente é dirigida na direção normal à superfície e proporcional a . Como a superfície está em equilíbrio, tal pressão, e assim , se anula em todos os seus pontos.

1

2. Objetivos do projeto O objetivo deste projeto é realizar um estudo sobre as superfícies mínimas que são folheadas por curvas de curvatura constante, ou seja, por retas e círculos. Em uma primeira etapa, estudaremos as superfícies regulares que são folheadas por retas, conhecidas como superfícies regradas. De forma mais precisa, uma superfície regrada é descrita como segue. Uma família a 1-parâmetro de retas é uma correspondência que associa a cada t ∈ I R um ponto ∈ e um vetor ∈ , , de modo que e dependem diferenciavelmente em t. Para cada t ∈ I, a reta que passa por na direção de chama-se a reta da família em t. Então, dado uma família a 1-parâmetro de retas , a superfície parametrizada x( , ) =

; t ∈ I; u ∈

;

é a superfície regrada gerada pela família ; a curva chama-se a diretriz da superfície x. O objetivo principal desta primeira etapa é estudar o resultado que afirma que as únicas superfícies mínimas regradas são o plano e o helicóide. A segunda etapa do projeto consiste em estudar as superfícies regulares que são folheadas por círculos, conhecidas como superfícies cíclicas. Em nosso estudo, estaremos supondo que os círculos estão contidos em planos paralelos. Assim, uma tal superfície pode ser parametrizada, localmente, por ∈

∈

,

onde é a projeção dos centro dos círculos que geram a superfície e é o raio de um círculo, para cada ∈ . O principal objetivo nesta etapa é estudar o resultado que afirma que as únicas superfícies mínimas cíclicas são o catenóide e a superfície de Riemann.

2

3. Plano de trabalho O desenvolvimento do projeto, até o momento, foi realizado através de seminários semanais, onde a teoria e os exercícios relacionadas com o assunto eram debatidos. Os seminários foram apresentados pelo aluno. Como o curso de Eng. Civil da USP- São Carlos não oferece a disciplina de Geometria Diferencial, foi necessário estudar todos os pré-requisitos necessários para poder abordar o problema proposto no projeto. O ponto de partida foi realizar um estudo em alguns tópicos de Cálculo Avançado, onde usamos a bibliografia [4]:  

Continuidade e diferenciabilidade em O teorema da função Inversa.

,

Em seguida, realizamos um estudo sobre curvas regulares em referências [1] e [3]:   

, utilizando as

Curvas parametrizadas, A teoria local de curvas regulares, O teorema fundamental da teoria local de curvas.

Posterior, realizamos um estudo profundo em vários tópicos de Geometrial Diferencial local, utilizando as referências [1], [6]:    

Superfícies regulares, A geometria de aplicação de Gauss, Tópicos de geometria intrínseca de superfícies, Superfícies regradas e cíclicas.

O último tópico acima contempla o estudo do primeiro problema proposto no projeto, de que as únicas superfícies mínimas que são regradas são o plano e o helicóide. O segundo problema, por ser de uma complexidade maior, será estudado nesta segunda etapa de desenvolvimento do projeto, e será apresentado no relatório final. A seguir, faremos uma apresentação do conteúdo estudado nesta primeira etapa. Daremos ênfase à parte da Geometria Diferencial, onde os pré-requisitos do Cálculo Avançado serão usados naturalmente.

3

4. Curvas 4.1.

Curvas Parametrizadas

Definição 1 : Uma curva diferenciável parametrizada é uma aplicação diferenciável , definida em um intervalo aberto de . Observação: A palavra diferenciável na definição 1 significa que é uma correspondência que associa a cada ∈ um ponto ∈ , de modo que as funções reais são diferenciáveis. Denomina-se a variável como o parâmetro da curva. O intervalo é dado em sentido amplo, não excluindo os casos onde . Também convém elucidar que denotando a derivada de por em um ponto t, e utilizando notações análogas para as funções , , o vetor é chamado o vetor tangente(ou vetor velocidade) da curva em t. A imagem é chamada o traço da curva . Exemplo 1: A aplicação dada por ), ∈ não é uma curva diferenciável parametrizada, pois não é diferenciável em Porém a restrição de a um intervalo real que não contém a origem é uma curva diferenciável. Exemplo 2: As duas curvas parametrizadas distintas

onde

∈

, possuem o mesmo traço, a saber, o círculo . Observe que o vetor velocidade da segunda curva é o dobro da primeira, calculando o valor de e concluímos que . Proposição 1: Seja uma curva parametrizada e ∈ um vetor fixado tais que seja ortogonal a , para todo ∈ . Se é ortogonal a então é ortogonal a , para todo ∈ Prova: Queremos provar que definida por

∈

Considere a função

∈ Derivando , obtemos: ,

4

para todo ∈ logo, é ortogonal a , tem-se

i.e., . Portanto como queríamos.

4.2.

, para alguma constante . Usando a hipótese que

, para todo ∈ , ou seja,

para todo ∈ ,

Curvas Regulares; Comprimento de Arco

Definido o conceito de curva diferenciável parametrizada, deseja-se que para cada ∈ , tal que , exista uma reta contendo o ponto e o vetor , sendo esta reta chamada a reta tangente a em t. Assim, um ponto ∈ tal que será chamado um ponto singular de e, portanto, estudaremos aqui apenas as curvas sem pontos singulares. Definição 1: Uma curva diferenciável parametrizada se para todo ∈ .

é chamada regular

Exemplo 1: A curva ∈ é regular, pois e as funções e nunca se anulam simultaneamente. Por outro lado a curva ∈ Tal ponto é chamado de ponto singular da curva. Podemos ver e para , , o que caracteriza um ponto singular. Exemplo 2: onde

é o angulo que o vetor faz com o eixo-y O ç h tractriz. Neste caso, é uma curva diferenciável parametrizada, regular exceto em e o comprimento é constante e igual a 1. De fato, temos . Assim,

se, e somente se,

. Além disso, a reta tangente a

em

é

dado por ∈ Logo,

intercepta o eixo-y para

Segue que o ponto de interseção da reta tangente com o eixo-y é:

5

Assim a distância a ser calculada é dada por: .

Definição 2: Dado ∈ , o comprimento de arco de uma curva parametrizada regular , a partir do ponto , é por definição

onde

é o comprimento do vetor

Como

função diferenciável de t e

.

, o comprimento de arco s é uma

Observação: Pode ocorrer que o parâmetro t já seja o comprimento de arco medido a partir de um certo ponto. Neste caso,

, isto é, o vetor velocidade

tem comprimento constante igual a 1. Para simplificar a exposição, nos restringiremos às curvas parametrizadas pelo comprimento de arco s. Exemplo 3: O comprimento do arco da ciclóide, dado por ∈ é dado por: .

Exemplo 4: Considere a catenária parametrizada por: h O comprimento de arco, de

∈

até , é dado por h

h

h

6

h

4.3.

Teoria Local das Curvas Parametrizadas pelo Comprimento de Arco

Seja uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s. Como o vetor tangente é unitário, o módulo da derivada segunda mede a taxa de variação do ângulo que as tangentes vizinhas fazem com a tangente em s. Definição 1: Seja ∈ . O número

uma curva parametrizada pelo comprimento de arco chama-se curvatura de em .

Observação: Observe que mudando-se a orientação, o vetor tangente muda de sentido, isto é, se , então

Portanto, orientação.

e a curvatura permanecem invariantes por mudanças de

Nos pontos onde vetor unitário derivando

, fica bem definido pela equação na direção de Além disso, é normal a , obtemos .

um pois

Assim é normal a e é chamado de vetor normal em . O plano determinado por e é chamado o plano osculador em . Nos pontos onde , o vetor normal (e portanto o plano osculador) não está definido. Portanto, é conveniente dizer que ∈ é um ponto singular de ordem 1 se (neste contexto, os pontos onde são chamados pontos singulares de ordem 0). Indicaremos por o vetor tangente unitário de em . Temos então O vetor unitário é normal ao plano osculador e será chamado o vetor binormal em . Como é unitário, o módulo mede a taxa de variação do ângulo do plano osculador em com os planos osculadores vizinhos; isto é, indica quão rapidamente a curva se afasta, em uma vizinhança de , do plano osculador em . Para calcular lado,

observamos que, por um lado,

Isto é, é normal a podemos escrever

é normal a

Decorre daí que

é paralelo a ,

p

f

ç

τ 7

e, por outro

e, assim

Seja

uma curva parametrizada pelo comprimento de arco para todo ∈ . O número , definido por chamado a torção de em .

tal que , é

Observação: Mudando-se a orientação, o vetor binormal muda de sinal, pois . Decorre daí que , e, conseqüentemente, a torção, permanecem invariantes por uma mudança de orientação. Em suma, a cada valor do parâmetro s associamos três vetores unitários e ortogonais , . O triedro assim construído chama-se triedro de Frenet em . As derivadas , dos vetores e quando expressas na base , fornecem entidades geométricas (curvatura e torção ) que informam sobre o comportamento de em uma vizinhança de . A procura de outros entes geométricos locais nos levaria a calcular Entretanto, como , teremos , e obtemos novamente a curvatura e a torção. Destacando as equações encontradas, temos:

que são chamadas formulas de Frenet (emitimos o por comodidade). É usual chamar o plano de plano retificante e o plano de plano normal. As retas passando por , e contendo e , são chamadas a normal principal e a binormal,respectivamente, em . A inversa da curvatura é chamada raio de curvatura em Pode-se verificar facilmente que um círculo de raio r possui um raio de curvatura igual a . Fisicamente, podemos pensar uma curva em como sendo obtida a partir de uma reta quando esta é entortada (curvatura) ou torcida (torção). Mais precisamente, o teorema seguinte mostra que a curvatura e a torção descrevem completamente o comportamento local de uma curva. Teorema fundamental da teoria Local das curvas: Dadas duas funções diferenciáveis e , ∈ , existe uma curva parametrizada regular tal que é o comprimento de arco, é a curvatura e é a torção de . Além disso, qualquer outra curva , satisfazendo às mesmas condições, difere de por um movimento rígido, isto é, existe uma transformação linear ortogonal de , com determinante positivo, e um vetor c tal que

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Exemplo 1: Dado

, consideremos a curva , ∈

ou seja, é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo de raio e centro em . Desejamos encontrar a curvatura desse círculo. Para isso, observamos que

e

Logo,

e

Proposição 1: Seja identicamente nula

uma curva regular. Então sua curvatura é ç á

D ç h z identicamente nula, então, pelas equações de Frenet, temos que:

for

. Portanto, existem ∈ (com ) tais que . Logo, é um subconjunto da reta paralela a e que passa por . Reciprocamente, se o traço de está contido em uma reta e é parametrizada pelo comprimento de arco, então ∈ Logo, sendo Proposição 2: Seja circunferência de raio

, concluímos que

.

v se, e somente se,

E

um subconjunto de uma

Demonstração: Do exemplo 1.3.1, sabemos que uma circunferência de raio tem curvatura .R v q z pelo comprimento de arco e que , isto é, . Definindo a curva

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∈ Temos: . Concluímos então que ∈ para todo ∈ está contida numa circunferência com centro em e raio vale supondo .

, isto é, A mesma conclusão

Exemplo 2: Seja uma curva regular tal que as suas retas tangentes se interceptam em um ponto fixo ∈ . Então, é um subconjunto de uma reta. De fato, suponha q z E x uma função diferenciável tal que: ∈ Derivando a expressão acima e usando as fórmulas de Frenet, temos que: ∈ . Como os vetores t(s) e n(s) são linearmente independentes, a igualdade acima ocorre se, e somente se: ∈ Portanto,

para todo ∈ e a conclusão segue da proposição 1 de 4.3..

Exemplo 3: Seja por um ponto fixado suponha que função diferenciável

uma curva regular tal que toda ∈ . Então ç z tal que:

í E

De fato, x

∈ Ou seja,

é paralelo a e ainda:

e, portanto, é ortogonal a

. Assim temos que

Concluímos então que ∈

∈

Se teremos e a curva não será regular. Logo, um arco de círculo centrado em p e de raio a.

10

e, portanto,

é

5. Superfícies Regulares

5.1.

Superfícies Regulares; Imagens inversas de valores regulares

Introduziremos a noção de uma superfície regular em Em linhas gerais, uma superfície regular em é obtida tomando-se pedaços do plano, deformandoos e colando-os entre si, de tal modo que a figura resultante não apresente pontas, arestas ou auto-interseções, e que tenha sentido falar em plano tangente nos pontos desta figura. A idéia é definir um conjunto que seja, em certo sentido, bidimensional e que seja também suave de forma que as noções usuais do Cálculo possam ser estendidas a um tal conjunto. Definição 1: Um subconjunto existe uma vizinhança sobre tal que a.

é uma superfície regular se, para cada ∈ , e uma aplicação de um aberto

diferenciável, ou seja, se escrevemos ∈ têm derivadas parciais contínuas de todas as

as funções ordens em . b. é um homeomorfismo. (Como (b) implica que tem uma inversa c. Para todo injetora.

é contínua pela condição (a), a condição que é contínua.)

∈ , a diferencial

é uma transformação linear

Observação: A aplicação é chamada uma parametrização ou um sistema de coordenadas em . A vizinhança é chamada uma vizinhança coordenada. Com o intuito de apresentar a condição (c) de uma forma mais familiar, iremos calcular a matriz da aplicação linear nas bases canônicas de , com coordenadas coordenadas . Seja cuja imagem por é a curva

, com . O vetor

Esta última curva, chamada curva coordenada vetor tangente

11

é tangente à curva

, está em S e tem em

o

, onde as derivadas são calculadas em ( e um vetor é indicado pelas suas componentes na base . Pela definição de diferencial, temos . Analogamente, usando a curva coordenada , obtemos:

, imagem de

da curva

. Portanto, a matriz da aplicação linear

nas bases consideradas é dada por

.

A condição (c) pode agora ser expressa exigindo-se que dois vetores coluna desta matriz sejam linearmente independentes, ou, de forma equivalente, que o produto vetorial

seja diferente de zero. Ou ainda, que um dos determinantes

Jacobianos

seja diferente de zero em

Exemplo 1: A esfera unitária ∈

,

é uma superfície regular. Primeiro verificaremos que a aplicação

dada por ∈

onde parametrização de

∈ . Observe que

xy. Como

, a função

∈ é a parte (aberta) de

, é uma acima do plano

tem derivadas parciais contínuas

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de todas as ordens. Portanto, é diferenciável e a condição a é satisfeita. A condição c é verificada facilmente, uma vez que

Para verificar a condição (b), observamos que é bijetora e que é a restrição da projeção(contínua) ao conjunto . Assim, é contínua em . Podemos cobrir a esfera inteira utilizando parametrizações similares. Procedemos da seguinte maneira. Definimos por ∈ De forma análoga se mostra que cobre a esfera a menos o equador

é uma parametrização, e que

∈ Utilizando então os planos

que juntamente com uma superfície regular.

, definimos as seguintes parametrizações

, cobrem inteiramente

. Mostramos, assim, que

é

Proposição 1: Se é uma função diferenciável em um conjunto aberto U de , então o gráfico de , isto é, o subconjunto de dado por x y f x y para ∈ , é uma superfície regular. Demonstração: Basta mostrar que a aplicação

,dada por ,

é uma parametrização do gráfico, cuja vizinhança coordenada cobre todos os pontos do gráfico. A condição (a) é satisfeita pois cada coordenada é uma função diferenciável. A condição (c) também se verifica, uma vez que Finalmente, cada ponto (x,y,z) do gráfico é a imagem por

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.

de um único ponto

gráfico de

∈ . Conseqüentemente, é bijetiva, e como é a restrição ao da projeção (contínua) de sobre o plano xy, é contínua.

Definição 2: Dada uma aplicação diferenciável definida em um conjunto aberto , dizemos que ∈ é um ponto crítico de se a diferencial não é uma aplicação sobrejetiva. A imagem ∈ de um ponto crítico é chamado um valor crítico de . Um ponto de que não é um valor crítico é chamado um valor regular de . Observação: Se é uma função diferenciável, então vetor (1,0,0) é obtida calculando-se o vetor tangente em à curva

aplicada ao

. Decorre daí que . Analogamente, obtemos: . Concluímos que a matriz de

na base (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) é dada por

Note que, nesse caso, dizer que não é sobrejetiva é equivalente a dizer que Portanto, ∈ é um valor regular de se, e somente se, não se anulam simultaneamente em qualquer ponto da imagem inversa ∈ Proposição 2: Se regular de , então

é uma função diferenciável e é uma superfície regular em .

∈

é um valor

Demonstração: Seja um ponto de . Como a é um valor regular de , podemos admitir, trocando os nomes dos eixos coordenados se necessário, que Definimos uma aplicação por

e indicamos por (u,v,t) as coordenadas de um ponto do valores. A diferencial de em é dada por

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onde

toma seus

donde

Podemos então aplicar o teorema da função inversa que garantir a existência de vizinhanças tais que é inversível e a inversa é diferenciável. Segue-se que as funções coordenadas de , i.e., as funções ∈ são diferenciáveis. Em particular, diferenciável definida na projeção de sobre o plano-xy. Como

concluímos que o gráfico de é uma vizinhança coordenada de regular.

é uma função

. Pela Proposição 1 de 5.1., é . Conseqüentemente, é uma superfície

Exemplo 2: O elipsóide

é uma superfície regular. De fato, o elipsóide é o conjunto

onde

é uma função diferenciável e 0 é um valor regular de . Isso segue do fato de que as derivadas parciais

se anulam simultaneamente apenas no

ponto (0,0,0), que não pertence a caso particular (

Este exemplo inclui a esfera como um

Proposição 3: Sejam uma superfície regular e ∈ Então existe uma vizinhança V de p em S tal que V é o gráfico de uma função diferenciável que tem uma das seguintes formas: Demonstração: Seja

uma parametrização de S em p, e escreva ∈ Pela condição (c) da Def. 1 de 5.1,

um dos determinantes Jacobianos

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não se anula em onde

Suponha que

e considere a aplicação

é a projeção de

, e, como

. Então

, podemos aplicar o teorema da função

inversa para garantir a existência de vizinhanças de q e de tais que transforma difeomorficamente sobre . Decorre daí que restrita a é bijetiva e tem uma inversa diferenciável ( . Observe que, como é um homeomorfismo, V é uma vizinhança de p em S. Agora, considerando a composição da aplicação ( com a função podemos notar que V é o gráfico de uma função diferenciável e isso conclui a demonstração deste primeiro caso. Os casos que restam poder ser tratados da mesma maneira, fornecendo-nos Exemplo 3: O cone de uma folha C, dado por ∈ não é uma superfície regular. Observe que não podemos concluir isto somente pelo f z ç “ ” ∈ não ser diferenciável; poderiam existir outras parametrizações satisfazendo a condição(a) da def.1 de 5.1. Para mostrar que isto não acontece, utilizamos a Proposição 3 de 5.1. Se C fosse uma superfície regular, então, em uma vizinhança de ∈ , o gráfico de uma função diferenciável tendo uma das três formas: As duas primeiras formas podem ser descartadas pelo simples fato de que as projeções de C sobre os planos xz e yz não são injetivas. A forma restante teria que coincidir, em uma vizinhança do (0,0,0), com impossível, já que Exemplo 4: O cilindro x y z ∈ fato, considere a função

Mas isso é

não é diferenciável em (0,0). dada por

é uma superfície regular. De .

Como

as derivadas parciais se anulam simultaneamente somente em (0,0,0) e visto que segue que 0 é um valor regular de . Portanto, 16

∈ é uma superfície regular.

Exemplo 5: Seja ainda assim,

Temos que 0 não é um valor regular de , mas é uma superfície regular. De fato, como

as derivadas parciais se anulam simultaneamente em (0,0,0). Dado que ∈ concluímos que 0 não é um valor regular de Finalmente, observe que ∈

,

é uma superfície regular.

5.2.

Mudança de Parâmetros; Funções Diferenciáveis sobre superfícies

Nesta seção, definiremos o conceito de função diferenciável definida em uma superfície regular S. Proposição 1: Seja p um ponto de uma superfície regular S, e sejam duas parametrizações de S, tais que ∈ E “ ç ”

é um difeomorfismo, isto é,

é diferenciável e tem uma inversa diferenciável

Em outras palavras, se

e

são dadas por ∈ ∈

então a mudança de coordenadas

dada por ∈

é tal que as funções Além disso, a aplicação

têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens. pode ser invertida, fornecendo 17

∈ onde as funções ordens. Como

e

também possuem derivadas parciais contínuas de todas as

isso implica que os determinantes Jacobianos, tanto de diferentes de zero em todos os pontos.

como de

são

Demonstração: A aplicação sendo a composição de homeomorfismos, é um homeomorfismo. Não é possível concluir, por um argumento análogo, que é diferenciável, já que está definida em um subconjunto aberto de S, e não sabemos ainda o que vem a ser uma função diferenciável definida em S. Procedemos da seguinte maneira. Seja ∈ e defina Como é uma parametrização, podemos supor, renomeando os eixos, caso necessário, que

Estendemos

a uma aplicação

definida por ∈

∈

Geometricamente, transforma v C b U “ v ” b levando cada seção de C com altura t na superfície onde é um vetor unitário do eixo . É claro que F é diferenciável e que a restrição Calculando o determinante da diferencial

obtemos:

Podemos então aplicar o teorema da função inversa, que garante a existência de uma vizinhança M de em tal que existe e é diferenciável em M. Pela continuidade de , existe uma vizinhança N de r em V tal que Observe que, restrita a N, é a composição de aplicações diferenciáveis. Assim sendo, podemos aplicar a regra da cadeia para aplicações e concluir que é difernciável em . Como é arbitrário, é diferenciável em (W). Aplicando exatamente o mesmo argumento, pode-se mostrar que a aplicação é diferenciável, e portanto é um difeomorfismo. 18

Definição 1: Seja uma função, definida em um subconjunto aberto V de um superfície regular S. Então f é diferenciável em ∈ se, para alguma parametrização , com ∈ , a composição é diferenciável em . A função é diferenciável em V se é diferenciável em todos os pontos de V. Observação: A definição acima não depende da escolha do sistema de coordenadas. De fato, como foi visto na proposição 1, independentemente da parametrização escolhida, a definição será satisfeita. Exemplo 1: Seja S uma superfície regular e um conjunto aberto tal que Seja uma função diferenciável. Então a restrição de a S é uma função diferenciável sobre S. De fato, para qualquer ∈ e qualquer parametrização em p, a função é diferenciável. Em particular, temos os seguintes exemplos de funções diferenciáveis: a)A função altura relativa a um vetor unitário ∈ ∈ onde o ponto denota o produto interno usual em altura de ∈ relativa a plano normal a e passando pela origem de b)O quadrado da distância a um ponto fixo ∈ necessidade de considerar o quadrado vem do fato da distância diferenciável em .

dada por éa ∈ A não ser

A definição de diferenciabilidade pode ser estendida a aplicações entre superfícies. Diremos que uma aplicação contínua , de um conjunto aberto de uma superfície regular em uma superfície regular , é diferenciável em ∈ se, dadas parametrizações , Com

∈

e

, a aplicação

É diferenciável em A aplicação

é diferenciável se, quando expressa em coordenadas locais como , as funções e têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens. É conveniente elucidar que a noção natural de equivalência associada à diferenciabilidade é a noção de difeomorfismo. Duas superfícies regulares e são difeomorfas se existe uma aplicação diferenciável com uma inversa diferenciável , logo é chamada um difeomorfismo de em .

19

Observação: A noção de difeomorfismo desempenha para as superfícies regulares o mesmo papel que a noção de isomorfismo para os espaços vetoriais, ou o mesmo papel que a noção de congruência para a geometria Euclidiana. Do ponto de vista da diferenciabilidade , duas superfícies difeomorfas são indistinguíveis. Exemplo 2: A aplicação antípoda A: , dada por , onde denota a esfera unitária, é um difeomorfismo. De fato, considere a aplicação definida por

é diferenciável e

i.e.,

logo,

difeomorfismo e como

5.3.

é diferenciável. Além disso, dado ∈ , ou seja, . Assim, a restrição , é um difeomorfismo.

, tem-se é um

Plano Tangente; Diferencial de uma Aplicação

Um vetor tangente a uma superfície , no ponto ∈ , é o vetor tangente de uma curva parametrizada regular , com . O conjunto de todos os vetores tangentes a em é caracterizado pela proposição seguinte. Proposição 1: Seja uma parametrização de uma superfície regular e seja ∈ . O subespaço vetorial de dimensão 2, , coincide com o conjunto de todos os vetores tangente a em Demonstração: Seja

Portanto,

∈

o vetor tangente em , isto é, seja , onde é diferenciável e . Tem-se a curva diferenciável . Pela definição de diferencial, temos . .

Por outro lado, seja , onde curva dada por

∈

. É claro que ∈

Pela definição de diferencial, vetor tangente. O plano da escolha de

.

, onde

, passando pelo ponto , será denotado por

é o vetor velocidade da

. . Isso mostra que

é um

, que pela proposição 1 independe . A escolha de uma parametrização 20

determina uma base ∈ , tem-se diferenciável dada por

de

. De forma mais precisa, dado um vetor , onde é uma curva , com Assim,

, com

, para . Ou seja, na base

,

tem coordenadas

.

Considere agora uma aplicação diferenciável entre duas superfícies regulares. Gostaríamos de definir a diferencial de . Dados ∈ e ∈ , temse , onde é uma curva diferenciável tal que .A curva diferenciável é tal que e, portanto, ∈ .A proposição seguinte mostra que esta é uma boa definição. Proposição 2: Dado um vetor A aplicação

∈ , o vetor definida por

h é linear. Dem: cf.[1],

pág. 100, Prop. 2 Exemplo 1: Seja ∈ um vetor unitário e seja a função altura definida no exemplo 1 de 5.2. Dados ∈ e ∈ , para calcular escolha uma curva diferenciável com . Como , obtemos:

Portanto,

.

Proposição 3: Se e são superfícies regulares e é uma aplicação diferenciável de um conjunto aberto tal que a diferencial , é um isomorfismo, então é um difeomorfismo local em . Exemplo 2: Seja . Então,

dada por ∈ é tal que

, onde . De fato, se

é um ponto fixado de

e

, então

, Como queríamos. 21

5.4.

Primeira forma fundamental; Área

O produto interno usual do induz, em cada plano tangente de uma superfície regular S, um produto interno, que indicaremos por da seguinte forma: dados ∈ é definido como o produto interno de como vetores em . Associado a esse produto, que é uma forma bilinear, simétrica definida positiva, corresponde uma forma quadrática dada por ∈ Definição 1: A forma quadrática em forma fundamental da superfície regular

. (1)

definida por (1) é chamada a primeira ∈

A primeira forma fundamental é simplesmente a expressão de como a superfície S herda o produto interno natural do . Expressaremos a primeira forma fundamental na base { associada a uma parametrização Como um vetor tangente ∈ é o vetor tangente a uma curva parametrizada ∈

, com

obtemos:

onde os valores das funções envolvidas são calculados em

,e

, , , são os coeficientes da primeira forma fundamental na base { de . Fazendo variar na vizinhança coordenada correspondente a , obtemos funções que são diferenciáveis nessa vizinhança. Exemplo 1: O cilindro circular de raio unitário reto admite a parametrização dada por

onde, ∈ Para calcular a primeira fórmula fundamental, notamos que 22

Portanto, .

Exemplo 2: Considere a hélice dada por . Por cada ponto da hélice, trace uma reta paralela ao plano e que intersecta o eixo . A superfície gerada por essas retas é chamada um helicóide. Uma parametrização do helicóide é dada por: . aplica uma faixa aberta de largura 2 do plano sobre a parte do helicóide que corresponde a uma rotação de ao longo da hélice. O cálculo dos coeficientes da primeira fórmula fundamental nesta parametrização nos dá . Definição 2: Seja uma região limitada de uma superfície regular, contida em uma vizinhança coordenada de uma parametrização . O número positivo , é chamado área de R, onde

.

Observe que como , o integrando de pode ser escrito em termos dos coeficientes da primeira forma fundamental como sendo . Exemplo 2: Vamos calcular a área do toro. Para isto, consideramos a vizinhança coordenada correspondente à parametrização:

Onde e , que cobre o toro, exceto por um meridiano e um paralelo. Os coeficientes da primeira forma fundamental são: ,

23

logo

Considere agora a região q ,

dada pela imagem por

da região

∈

dada por .

Utilizando a definição 2, obtemos

. Fazendo

na expressão acima, obtemos .

Exercício 2: A área de uma região limitada R da superfície é uma função diferenciável, é dada por

, onde

onde Q é a projeção ortogonal de R sobre o plano xy. De fato, é uma parametrização que cobre toda superfície. Assim,

, logo .

24

6. Aplicação de Gauss

6.1.

Propriedades fundamentais

Dado uma parametrização de uma superfície regular S em um ponto ∈ , podemos escolher, para cada ponto ∈ , um vetor normal unitário pela regra ∈

.

Assim, temos uma aplicação diferenciável que associa a cada ∈ um vetor normal unitário . De maneira geral, se é um conjunto aberto em e é uma aplicação diferenciável que associa a cada ∈ um vetor normal unitário em , dizemos que é um campo diferenciável de vetores normais unitários em V. Diremos que uma superfície regular é orientável se ela admite um campo diferenciável de vetores normais unitários definido em toda a superfície. A escolha de um tal campo é chamada uma orientação de S. Uma orientação em induz uma orientação em cada plano tangente ∈ , da seguinte maneira. Definimos uma base como sendo positiva se é positivo. Definição 1: Seja uma superfície com uma orientação toma seus valores na esfera unitária.

. A aplicação

∈ A aplicação

, assim definida, é chamada a aplicação de Gauss de S.

Observação: A diferencial aplicação linear de em

da aplicação de Gauss no ponto ∈ é uma . Como e são planos paralelos,

pode ser vista como uma aplicação linear de em , operando da seguinte maneira. Para cada curva parametrizada em S, com , consideramos a curva parametrizada na esfera ; isso equivale a restringir o vetor normal à curva . O vetor tangente é um vetor de . Ele mede a taxa de variação do vetor normal , restrito à curva , em . Assim, mede quanto se afasta de em uma vizinhança de . No caso de curvas, esta medida é dada por um número, a curvatura. Para as superfícies, esta medida é caracterizada por uma aplicação linear. Exemplo 1: Para um plano P dado por unitário

é constante. Portanto,

Exemplo 2: Considere a esfera unitária 25

, o vetor normal

∈ Se

.

é uma curva parametrizada em

, então

, mostrando que o vetor

é normal à esfera no ponto . Assim são campos de vetores normais unitários em . Fixamos uma orientação para escolhendo como um campo normal. Note que aponta para o centro da esfera. Restrito à curva o vetor normal

é uma função vetorial de t e, portanto,

isto é, escolha de

, para todo ∈ e todo ∈ como um campo normal, teríamos obtido

. Observe que com a

Exemplo 3: Considere o cilindro ∈ Com um argumento análogo ao do exemplo anterior, vemos que são vetores normais unitários em Fixe uma orientação escolhendo como o campo de vetores normais. Considerando a curva contida no cilindro, isto é, = 1, podemos ver que, ao longo dessa curva, e portanto,

Concluímos o seguinte: se então

é um vetor tangente ao cilindro e paralelo ao eixo

,

; se é um vetor tangente cilindro e paralelo ao plano , então Segue que os vetores são auto-vetores de com auto-valores 0 e -1, respectivamente. Uma propriedade importante sobre a diferencial proposição. Proposição 1: A diferencial linear auto-adjunta. Demonstração:

Como

é dada pela seguinte

da aplicação de Gauss é uma aplicação é linear, para uma base 26

basta de

verificar . Seja

que uma

parametrização de e a base associada de . Se é uma curva parametrizada em , com , temos

, em particular, e auto-adjunta, é suficiente mostrar que

. Portanto, para provar que

é

. Para ver isto, derivamos respectivamente, e obtemos

e

, em relação a v e u, , ,

Assim, . Definição 2: A forma quadrática

, definida em

por

v

,é

chamada a segunda forma fundamental de S em p. Definição 3: Dado um ponto ∈ , seja uma curva regular em , passando por com curvatura em . Se é o vetor normal a em e é o vetor normal a em , seja o ângulo entre e . O número chama-se a curvatura normal de em . Observação: é o comprimento da projeção do vetor superfície em , com um sinal dado pela orientação

sobre a normal à

Para dar uma interpretação da segunda forma fundamental , considere uma curva regular parametrizada por , onde é o comprimento de arco de C, com . Se indicarmos por a restrição do vetor normal à curva , teremos , donde . Portanto,

. 27

Em outras palavras, o valor da segunda forma fundamental em um vetor unitário ∈ é igual à curvatura normal de uma curva regular passando por p e tangente a . Segue, em particular, o seguinte resultado: Proposição 2: (Meusnier). Todas as curvas de uma superfície que têm, em um ponto ∈ , a mesma reta tangente têm, neste ponto, a mesma curvatura normal. Definição 4: Como

é um operador linear auto-adjunto, segue do

Teorema Espectral (cf. [5]) que existe uma base ortonormal escalares tais que

de

e

,

Os números e curvaturas normais . O produto

são, respectivamente, os valores mínimo e máximo das , ∈ , e são chamados de curvaturas principais de é chamado a curvatura Gaussiana de e

será denotada por e é denotada por Se

é chamada de curvatura média de

. A média .

é uma base arbitrária de

, com , ,

então , , , , ou seja, . Calculando o determinante de ambos os membros da equação acima, obtemos: . (+) 28

Observação: No plano, todas as direções em todos os pontos são principais, o mesmo com uma esfera (segunda forma fundamental, restrita a vetores unitários, é constante). No cilindro os vetores fornecem as direções principais em , correspondendo às curvaturas principais 1 e 0, respectivamente. No parabolóide hiperbólico, os eixos estão nas direções principais com curvaturas principais 2 e -2, respectivamente. Definição 5: Se uma curva regular e conexa C em S é tal que para todo ∈ a reta tangente a C é uma direção principal em , então dizemos que C é uma linha de curvatura de S. Proposição 3: (Olinde Rodrigues). Uma condição necessária e suficiente para que uma curva conexa e regular seja uma linha de curvatura de S é que

para qualquer parametrização função diferenciável de t. Nesse caso,

onde é uma é a curvatura principal segundo

Demonstração: Basta observar que se então é um auto-vetor de e

está contido em uma direção principal, .

Definição 6: Um ponto

de uma superfície S é chamado

1. í 2. Hiperbólico se 3. Parabólico se 4. Planar se 5. Umbílico se

em ; em particular os pontos planares são umbílicos.

Observação: Pontos elípticos possuem curvatura Gaussiana positiva (pontos de uma esfera). Pontos Hiperbólicos possuem curvatura Gaussiana negativa(ponto (0,0,0) do parabolóide hiperbólico). Pontos parabólicos possuem curvatura Gaussiana nula, mas uma das curvaturas principais diferente de zero(pontos de um cilindro).Pontos planares apresentam todas as curvatura principais nulas(pontos de um plano). A proposição seguinte nos dá uma classificação das superfícies umbílicas, i.e., aquelas cujos pontos são todos umbílicos. Proposição 4: Seja uma superfície regular conexa umbílica. Então, é um subconjunto aberto de um plano ou é um subconjunto aberto de uma esfera. Demonstração: cf. [1], pág. 173, Proposição 4.

29

6.2.

A aplicação de Gauss em Coordenadas Locais

Obteremos aqui as expressões da segunda forma fundamental e da diferencial da aplicação de Gauss em um sistema de coordenadas locais. Dado uma parametrização em um ponto ∈ de uma superfície S, seja uma curva parametrizada em S, com . Para simplificar a notação, convencionaremos que todas as funções que aparecem abaixo indicam seus valores no ponto O vetor tangente a em p é e

Como

e

pertencem a

, podemos escrever

. Portanto, , isto é,

Isto mostra que, na base { é dada pela matriz ( esta matriz não é necessariamente simétrica, a não ser que { ortonormal.

Note que seja uma base

Por outro lado, a expressão da segunda forma fundamental na base { dada por

é

, onde, , ,

, acima determinados, são chamados os coeficientes da segunda forma fundamental de S relativo à parametrização . As constantes

30

Encontrando os valores de (

, chegamos a seguinte matriz: (*)

E daí decorrem as seguintes expressões para os coeficientes ( na base { :

da matriz de

As equações acima são conhecidas como equações de Weingarten. Da equação (*) obtemos:

Para o cálculo da curvatura média, lembremos que

e

satisfazem à equação

, para algum

∈

onde I é aplicação identidade. Decorre que a aplicação linear invertível logo, tem determinante nulo. Assim, , ou seja, . Como

são as raízes da equação quadrática acima, concluímos que

donde

e, portanto, 31

não é

A partir da relação acima, segue-se que, escolhendo ∈ as funções são contínuas em S. Além disso, são diferenciáveis em S, com a possível exceção dos pontos umbílicos de S. Proposição 1: Seja ∈ um ponto elíptico de uma superfície S. Então existe uma vizinhança em S tal que todos os pontos de V estão do mesmo lado do plano tangente Seja ∈ um ponto hiperbólico. Então em cada vizinhança de existem pontos de ambos os lados de . Demonstração: conferir na pág.186 de [1]. Observação: Uma curva regular conexa em uma vizinhança coordenada de é uma linha de curvatura se e somente se para uma parametrização qualquer ∈ de temos: . Segue-se que as funções

,

satisfazem o sistema de equações: , .

Eliminando curvatura,

no sistema acima, obtemos a equação diferencial das linhas de

Utilizando o fato das direções principais serem ortogonais, decorre da equação acima que uma condição necessária e suficiente para que as curvas coordenadas de uma parametrização sejam linhas de curvatura é que . Exemplo 1: Considere a superfície de revolução parametrizada por . Os coeficientes da primeira forma fundamental são dados por . Convém supor que a curva geratriz é parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, que . O cálculo dos coeficientes da segunda forma fundamental fornece . 32

Como ( vista que

, concluímos que os paralelos ( ) e os meridianos de uma superfície de revolução são linhas de curvatura. Tendo em

e que é positiva, segue-se que os pontos parabólicos são dados por (a reta tangente à curva geratriz é perpendicular ao eixo de revolução) ou (a curvatura da curva geratriz é zero). Um ponto que satisfaz às duas condições é um ponto planar, já que essas condições implicam que . Convém exibir ainda uma outra expressão para a curvatura Gaussiana. Diferenciando , obtemos . Assim, . A equação acima é uma expressão conveniente para a curvatura Gaussiana de uma superfície de revolução. Para o cálculo das curvaturas principais, faremos primeiro uma observação geral: se a parametrização de uma superfície regular é tal que

, então as curvaturas principais são dadas por

e . De fato, nesse caso,

a curvatura Gaussiana e a curvatura média são dadas por . A nossa afirmação decorre imediatamente do fato de das curvaturas principais.

ser o produto e

a soma

Assim, as curvaturas principais de uma superfície de revolução são dadas por

, daí, a curvatura média de uma tal superfície é .

Proposição 2: Seja p um ponto de uma superfície S tal que a curvatura Gaussiana , e seja V uma vizinhança conexa de p onde não muda de sinal. Então

33

Onde A é a área de uma região A á B aplicação de Gauss , é o limite é tomado através de uma seqüência de regiões que convergem para p, no sentido em que toda esfera centrada em p contém todos os pontos , para suficientemente grande.

6.3.

Superfícies Regradas e Superfícies Mínimas

Este tópico será destinado ao estudo da teoria das superfícies regradas e a uma introdução à teoria das superfícies mínimas. Definição 1: Uma família diferenciável a 1-parâmetro de retas é uma correspondência que associa a cada ∈ um ponto ∈ e um vetor ∈ , tais que ambos sejam diferenciáveis em . Para cada ∈ , a reta passando por e que é gerada por é chamada a reta da família em . Dada uma família a 1-parâmetro de retas parametrizada ∈

, a superfície ∈

,

é chamada superfície regrada gerada pela família . As retas são chamadas as geratrizes, e a curva é chamada uma diretriz da superfície . A expressão superfície regrada é às vezes usada significando o traço de . Deve-se observar que estamos admitindo a possibilidade de que tenha pontos singulares, isto é, pontos onde . Exemplo 1: O exemplo mais simples se superfície regrada é o plano, onde uma reta e é constante, para todo ∈ .

é

Exemplo 2: Outros exemplos simples de superfícies regradas são as superfícies tangentes a uma curva regular, os cilindros e os cones. Um cilindro é uma superfície regrada gerada por uma família a 1-parâmetro de retas ∈ , onde está contida em um plano é paralelo a uma direção fixa em . Um cone é uma superfície regrada gerada por uma família ∈ onde e todas as geratrizes passam por um ponto . Exemplo 3: O helicóide (cf. exemplo 2, Seção 5.4) é uma superfície regrada, gerada pela família , onde é uma hélice e são direções ortogonais ao eixo da hélice, passando por cada ponto de .

34

Exemplo 4: Sejam o círculo unitário no plano-xy, e parametrização de pelo comprimento de arco. Para cada , seja , onde é o vetor unitário do eixo . Então

uma

, é uma superfície regrada. Podemos colocá-la em uma forma mais familiar escrevendo

e observando que . Isto mostra que o traço de é um hiperbolóide de revolução. É interessante observar que se tomarmos , teremos novamente a mesma superfície. Isto mostra que o hiperbolóide de revolução tem duas famílias geratrizes. Proposição 1: Se S é uma superfície regrada então , para todo ∈ . Além disso, se, e somente se, as retas forem linhas de curvatura de associadas à curvatura principal 0. Demonstração: Escolha um vetor unitário ∈ de modo que reta que passa por contida em . Então, derivando

seja tangente à

∈ , em

, obtemos: ,

onde e

é uma parametrização pelo comprimento de arco da reta , com . Assim, se é ortonormal, segue da fórmula (+)

que . Além disso, se, e somente se, , ou seja, as retas são linhas de curvatura de associadas à curvatura principal 0. Definição 2: Uma superfície parametrizada regular é dita mínima se a sua curvatura média é identicamente nula. Uma superfície regular é mínima se cada uma de suas parametrizações é mínima. Vamos agora introduzir a noção de variação, com o intuito de entender melhor a noção de superfícies mínimas. Seja domínio limitado

uma superfície parametrizada regular. Escolhendo um e uma função diferenciável , onde é a união do 35

domínio D e sua fronteira aplicação dada por,

. A variação normal de

, determinada por , é a

∈ Para cada ∈

fixado, a aplicação

∈

.

dada por

uma superfície parametrizada com , . Assim, denotando por , obtemos

os coeficientes da primeira forma fundamental de , , .

Utilizando o fato de que , e que a curvatura média

é dada por ,

obtemos

, onde

. Segue-se que se

é suficientemente pequeno,

superfície parametrizada regular. Além disso, a área

de

é

,

36

é uma

onde derivada em

. Assim, se é pequeno, A é uma função diferenciável e a sua é .

(1)

Estamos agora preparados para justificar o uso da palavra mínima em conexão com as superfícies com curvatura média nula. Proposição 2: Seja uma superfície parametrizada regular e seja um domínio limitado em . Então é mínima se, e somente se, para todo tal e toda variação normal de . Demonstração: Se é mínima, e é claro que a condição é satisfeita. Reciprocamente, suponha que a condição é satisfeita e que para algum ∈ . Escolha tal que , , e seja identicamente nula fora de uma pequena vizinhança de . Então para a variação determinada por essa função , o que é uma contradição. É conveniente introduzir, para uma superfície parametrizada regular, o vetor curvatura média definido por . O significado geométrico da direção de pode ser obtido a partir da equação (1). De fato, escolhendo , temos que para essa variação particular, . Isto significa que se deformarmos na direção do vetor , a área é inicialmente decrescente. Agora vamos obter outra interpretação para o vetor curvatura média. é chamada isotérmica se

Uma superfície parametrizada regular

Proposição 3: Seja que é isotérmica. Então

uma superfície parametrizada regular e suponha ,

onde Demonstração: Como

. é isotérmica,

e

.

Derivando, obtemos: . Logo, . 37

Analogamente, . Segue-se que

é paralelo a . Como

é isotérmica, .

Assim, ; donde, . Exemplo 5: A superfície mínima mais simples é o plano, pois como, suas curvaturas principais são nulas, temos que

.

Exemplo 6: O helicóide é uma superfície mínima. De fato, considerando uma hélice dada por ∈

,

o helicóide pode ser parametrizado por ∈

.

Calculando os coeficientes das primeira e segunda forma fundamentais, obtemos:

. Portanto, pela fórmula da curvatura média, obtemos superfície mínima.

, i.e., o helicóide é uma

Nosso objetivo agora é provar que o helicóide é a única superfície mínima, além do plano, que também é regrada. Para isso, necessitamos de dois resultados. Proposição 4: Seja uma família de curvas com curvatura e torção não nulas. Suponha que toda reta normal a uma curva ∈ seja normal a todas as demais curvas da família. Então, as curvas da família são hélices circulares. Demonstração: Sejam escrever

e

duas curvas da família

38

. Da hipótese, podemos

, onde n é o vetor normal à curva . Mostremos que é constante. De fato como , temos

. Logo

.

Considere então e parametrizadas pelo comprimento de arco (denotaremos os comprimentos das curvas por , respectivamente). Sejam os vetores unitários tangentes às respectivas curvas. Como

, temos: . Temos então

e, consequentemente,

. Tomando

, segue que

onde e é uma constante que depende somente de e do ângulo (constante) entre as curvas. Sejam então e duas curvas distintas de (i.e., Conforme obtido, existem constantes e tais que

39

, observe que (caso contrário, ). Diferenciando ambas as expressões, obtemos e . Portanto, e . Como a hélice circular satisfaz essas equações, segue da unicidade do Teorema Fundamental da Teoria Local das curvas, as curvas de devem ser hélices. O segundo resultado nos dá informações sobre a curvatura gaussiana de uma superfície mínima. Sua prova ser encontrada em [2]. Proposição 5: A curvatura Gaussiana de uma superfície mínima é não-positiva e, a menos que a superfície seja um plano, os zeros de são pontos isolados. Podemos agora provar o seguinte: Teorema 1: O plano e o helicóide são as únicas superfícies mínimas e regradas. Prova: Seja uma vizinhança da superfície na qual . Como , é coberta por duas famílias de curvas assintóticas ortogonais em cada ponto de . Dado que a superfície é, por hipótese regrada, uma dessas famílias é formada pelas geratrizes. Supondo que a superfície não é um plano, existe um ∈ tal que a curva assintótica em que não é a geratriz tem torção que não se anula em (com efeito, dado que a curva assintótica tem curvatura não nula, por hipótese, pelo Teorema de Beltrami-Enneper, a torção dessa curva é, em módulo, igual a ). Dado que a curvatura normal na direção do vetor tangente a essa curva é zero, as normais principais coincidem com as geratrizes da superfície. Conforme a proposição 4, tais curvas assintóticas devem ser hélices circulares. Como a torção dessa curva é constante, toda a superfície, supondo-a contínua, deve estar contida em um helicóide. Exemplo 7: O catenóide, parametrizado por h com

h

e ∈ , é a superfície de rotação obtida pela rotação da catenária em torno do eixo-z. Um cálculo simples mostra que h

,

e . Assim, usando a Proposição 3, concluímos que , ou seja, o catenóide é uma superfície mínima. O catenóide é caracterizado como a única superfície de rotação que é mínima.

40

A afirmação acima pode ser provada da seguinte maneira. Queremos encontrar uma curva tal que, ao ser girada em torno do eixo , descreva uma superfície mínima. Como os paralelos e meridianos de uma superfície de revolução são linhas de curvatura da superfície, é necessário que a curvatura da curva seja o negativo da curvatura normal do círculo gerado pelo ponto . Como a curvatura de é

e a curvatura normal do círculo é a projeção da sua curvatura usual ( vetor normal

) sobre o

à superfície, obtemos .

Mas –

, e como

, obtemos

, como a equação a ser satisfeita pela curva . É claro que existe um ponto onde . Trabalharemos em uma vizinhança deste ponto onde . Multiplicando ambos os membros da equação acima por , obtemos

. Colocando

, logo

, temos ,

que, por integração, nos dá, sendo

uma constante:

ou . Essa última expressão pode ser escrita como , que, novamente por integração, nos dá, sendo c uma constante: h 41

ou h

.

Assim, em uma vizinhança de um ponto onde , a curva é uma catenária. Mas então pode ser zero apenas para , e se queremos uma superfície conexa, ela é, por continuidade, um catenóide, como havíamos afirmado.

42

7.

Bibliografia [1] do Carmo, M., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, SBM,2005. [2] OSSERMAN, R., A survey of minimal surfaces, Mineola, New York: Dover, 2002. [3] K. Tenemblat, Introdução à Geometria Diferencial, 2ª edição, Ed. Edgard Blucher, 2006. [4] Lima, E. L., Curso de Análise, vol. 2, Projeto Euclides, IMPA, 1981. [5] Lima, E. L., Álgebra Linear, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1996. [6] Struik, D.J., Lectures on Classical Differencial Geometry, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1950.

43