Relatório Física Experimental Determinação constante Elastica Massa-mola - 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI Departamento de ciências naturais

João Leno Antônio de Sousa

Determinação da Constante Elástica de Arranjos de Molas em Série e em Paralelo (Equilíbrio)

São João Del – Rei 18 de Outubro de 2010

Objetivo: Determinar, experimentalmente, a constante elástica em um sistema massa-mola e em arranjos em série e em paralelo. Deduzir, utilizando conceitos de conservação de energia e do trabalho realizado por uma força com dependência espacial (Lei de Hooke), porém, conservativa, as equações que permitem encontrar a constante elástica em um sistema massa-mola.

Introdução A lei de Hooke descreve a força restauradora que existe em diversos sistemas quando comprimidos ou distendidos. Qualquer material sobre o qual exercermos uma força sofrerá uma deformação, que pode ou não ser observada. Apertar ou torcer uma borracha, esticar ou comprimir uma mola, são situações onde a deformação nos materiais pode ser notada com facilidade. Mesmo ao pressionar uma parede com a mão, tanto o concreto quanto a mão sofrem deformações, apesar de não serem visíveis. A força restauradora surge sempre no sentido de recuperar o formato original do material e tem origem nas forças intermoleculares que mantém as moléculas e/ou átomos unidos. Assim, por exemplo, uma mola esticada ou comprimida irá retornar ao seu comprimento original devido à ação dessa força restauradora. Enquanto a deformação for pequena diz-se que o material está no regime elástico, ou seja, retorna a sua forma original quando a força que gerou a deformação cessa. Quando as deformações são grandes, o material pode adquirir uma deformação permanente, caracterizando o regime plástico. Nesta aula trataremos de deformações pequenas em molas, ou seja, no regime elástico. A figura 1a mostra uma mola com comprimento natural x0. Se esta for comprimida até um comprimento xxo a força restauradora F terá o sentido mostrado em 1c. Em todas as situações descritas a força F é proporcional à deformação ∆x, definida como ∆x = x − xo.

Figura 1

Em outras palavras, no regime elástico há uma dependência linear entre F e a deformação ∆x. Este é o comportamento descrito pela lei de Hooke: F = −k∆x, onde k é a constante de proporcionalidade chamada de constante elástica da mola, e é uma grandeza característica da mola. O sinal negativo indica o fato de que a força F tem sentido contrário a ∆x. Se k é muito grande significa que devemos realizar forças muito grandes para esticar ou comprimir a mola, portanto seria o caso de uma mola ”dura”. Se k é pequeno quer dizer que a força necessária para realizar uma deformação é pequena, o que corresponde a uma mola ”macia”.

As figuras 2a e 2b mostram a situação que iremos tratar nesta experiência. Consiste de uma mola não distendida suspensa verticalmente, com comprimento natural x0. Em 1b, temos a mesma mola sujeita a ação de uma força que a distende até um comprimento x=xo+∆x.

Figura 2: (a) Mola sem ação de força externa. x0 corresponde ao seu comprimento natural. (b) Mola sob ação de um corpo de peso P=mg, o qual deforma a mola de um valor ∆x = x – x0.

A força que distende a mola é devida ao peso P de um corpo com massa m, pendurado na extremidade inferior da mola. Na situação de equilíbrio mostrada na figura 1b, temos duas forças de módulos iguais e sentidos contrários F e P agindo sobre o corpo. Uma delas é devida ao peso P = mg, onde g é a aceleração da gravidade. A outra se deve á força restauradora da mola e á tal que F = -P. Temos então da Lei de Hooke: F = −k∆x = −P

=⇒

P = k∆x

Ou, analisando a equação em módulo: P = k∆x Pode-se notar que a equação acima descreve uma dependência linear entre P e a deformação da mola ∆x. Escrevendo esta dependência na forma y=ax+b, temos a seguinte correspondência:

Figura 3

Ou seja, em um gráfico do m´módulo do peso P versus a deformação ∆x da mola, teremos o coeficiente angular a correspondendo ao valor da constante elástica k da mola, e o coeficiente linear correspondendo a b=0. Portanto, é possível determinar a constante elástica da mola graficamente.

Fundamento Teórico Um sistema massa-mola é constituído por uma massa acoplada a uma mola que se encontra fixa a um suporte. A deformação da mola e proporcional à força aplicada para comprimir e/ou esticar a mola, a qual é dada pela Lei de Hooke: F = - kx; onde x é a deformação da mola em relação à posição de equilíbrio (x = 0) e k é a constante elástica. No caso de uma massa suspensa em uma mola a força é realizada pela gravidade agindo sobre a massa. Na situação de equilíbrio temos: mg = kx; portanto: . Quando as molas são associadas em série ou em paralelo a constante de ∑ ∑ elasticidade equivalente é dada por: e .

Procedimento Experimental 1. MATERIAL UTILIZADO i) ii) iii) iv)

Trena; Duas molas e um suporte para peso; Pesos de 10g e 20g; Suporte de ferro;

2. MONTAGEM DO EXPERIMENTO Foi montado o experimento conforme a figura-1

Figura 1 – Arranjo da parte experimental.

Resultados Obtidos Nessa seção estão as tabelas com os valores obtidos no experimento e os cálculos realizados para encontrar os valores médios e os respectivos erros. Para a obtenção dos valores das seguintes tabelas foram feitos os seguintes procedimentos: i) Medido o valor do comprimento das molas; ii) Colocado os pesos e medido por trena a deformação das molas em x1, x2,x3,x4,x5,x6;

iii) Feito os arranjos em série e em paralelo, e obtidos por medição os valores da deformação da mola em x1, x2,x3,x4,x5,x6; iv) Cálculo dos desvios e do valor da constante de k e das forças que agem sobre o sistema.

1. Tabelas dos valores obtidos nos experimentos com respectivos cálculos de valor médio. ∑

m

Tabela 1 - Deformação da mola G01 (metros)

G01

x0

x1 = 10g

x2 = 20g

x3 = 40g

x4 = 60g

x5 = 80g

x6 = 100g

1 (m) 2 (m) 3 (m) 4 (m) 5 (m) Média (m)

0,201 0,2 0,202 0,2 0,2 0,2006

0,207 0,206 0,207 0,206 0,206 0,2064

0,21 0,209 0,208 0,211 0,21 0,210

0,224 0,225 0,224 0,223 0,223 0,2238

0,251 0,25 0,251 0,25 0,251 0,2506

0,282 0,283 0,281 0,283 0,282 0,2822

0,31 0,311 0,309 0,31 0,311 0,3102

Legenda das tabelas:    

G01 – Nome da mola; x0 – Mola no estado relaxado; xn – Valor da deformação da mola em cada vez que foi adicionado uma massa; (m) – Unidade de medida do SI, metros;

Tabela 2 - Deformação da mola G02 (metros)

G02

x0

x1 = 10g

x2 = 20g

x3 = 40g

x4 = 60g

x5 = 80g

x6 = 100g

1 (m) 2 (m) 3 (m) 4 (m) 5 (m) Média (m)

0,202 0,201 0,2 0,201 0,2 0,2008

0,204 0,205 0,206 0,205 0,204 0,2048

0,208 0,207 0,209 0,207 0,208 0,208

0,232 0,231 0,234 0,233 0,231 0,2322

0,262 0,261 0,262 0,263 0,261 0,2618

0,3 0,299 0,301 0,302 0,3 0,3004

0,332 0,333 0,334 0,332 0,333 0,3328

Tabela 3 - Deformação da associação em série das mola G01 mais G02 (metros)

G01+G02

x0

x1 = 10g

x2 = 20g

x3 = 40g

x4 = 60g

x5 = 80g x6 = 100g

1 (m) 2 (m) 3 (m) 4 (m) 5 (m) Média (m)

0,28 0,279 0,278 0,28 0,279 0,2792

0,286 0,285 0,286 0,287 0,284 0,2856

0,296 0,295 0,297 0,296 0,295 0,296

0,338 0,339 0,337 0,336 0,338 0,3376

0,4 0,401 0,399 0,4 0,4 0,4000

0,462 0,463 0,464 0,462 0,461 0,4624

0,525 0,524 0,526 0,527 0,524 0,5252

Tabela 4 - Deformação da associação em paralelo das mola G01 e G02 (metros)

G01//G02

x0

x1 = 10g

x2 = 20g

x3 = 40g

x4 = 60g

x5 = 80g x6 = 100g

1 (m) 2 (m) 3 (m) 4 (m) 5 (m) Média (m)

0,224 0,225 0,223 0,221 0,224 0,2234

0,226 0,227 0,226 0,228 0,227 0,2268

0,228 0,229 0,227 0,228 0,229 0,228

0,232 0,231 0,233 0,232 0,232 0,2320

0,236 0,237 0,236 0,235 0,239 0,2366

0,244 0,245 0,243 0,246 0,244 0,2444

0,259 0,26 0,261 0,26 0,262 0,2604

2. Tabela dos valores médios e seus respectivos desvios seguindo a equação do desvio padrão.

[∑ (

) ]

Tabela 5 - Médias e Desvios dos Valores Experimentais

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

Peso (Kg)

G01 (m)

σG01 (m)

G02 (m)

σG02 (m)

G01+G02 (m)

σ(G01+G02) (m)

G01/G02 (m)

σ(G01//G02) (m)

0 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,2006 0,2064 0,210 0,2238 0,2506 0,2822 0,3102

0,0009 0,0005 0,001 0,0008 0,0005 0,0008 0,0008

0,2008 0,2048 0,2078 0,232 0,2618 0,300 0,3328

0,0008 0,0008 0,0008 0,001 0,0008 0,001 0,0008

0,2792 0,286 0,2958 0,338 0,4000 0,462 0,525

0,0008 0,001 0,0008 0,001 0,0007 0,001 0,001

0,223 0,2268 0,2282 0,2320 0,237 0,244 0,260

0,002 0,0008 0,0008 0,0007 0,002 0,001 0,001

[(

)

(

)

(

) m

(

)

(

) ]

Associação em Série Na associação em série, temos que a deformação de cada mola equivale à deformação total da mola, então: X TOTAL  X 1  X 2

F F F   K eq K1 K 2

1 1 1   K eq K1 K 2

Similar a resistores em paralelo ou capacitores em série. Se, podemos usar também: 1 1 1   K eq K1 K 2

ou ainda K eq 

K 1 .K 2 K1  K 2

K eq 

para duas molas em série

K n de.molas o

para várias molas em série.

Associação em Paralelo Na associação em paralelo, temos que as molas sofrem ação de duas forças, que somadas dão a força total, então: FTOTAL  F1  F2

K eq . X  K1. X  K 2 . X

K eq  K1  K 2

Similar a resistores em série ou capacitores em paralelo.

3. Tabela dos valores calculados para K e seus respectivos desvio, K médio e seus desvio seguindo as equações abaixo:

|

|

| |

|

|

|

|

∑

∑

Tabela 6 – Valores da constante elástica (Newton/metro) K G01 σK K G02 σK K G01+G02 σKs K G01//G02 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Média

0,00 17 21 17 11,8 9,6 8,9 14

0,00 3 5 1 0,2 0,2 0,2 2

0,00 25 28 13 9,6 7,9 7,4 15

0,00 12 8 1 0,3 0,2 0,1 4

0,00 14 12 6,7 4,87 4,29 3,99 8

0,00 4 1 0,2 0,08 0,05 0,03 1

0,00 26 38 44 42 37 26 35

σKp 0,00 18 24 15 12 5 2 13

4. Tabela dos valores calculados para F e P desvio seguindo as equações abaixo: *0,0058

Obs.: Os valores de m e g são constantes. Não foi calculado o erro de F, devido esta tabela ser apenas para demonstração da teoria que . O valor adotado para a -2 aceleração da gravidade é de 9,8 ms . Tabela 7 - Deformação da mola - Valor da Força (Lei de Hooke) F=-KΔx F x G01 (N) F x G02 (N) x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 -0,098 -0,196 -0,392 -0,588 -0,784 -0,980

0 -0,098 -0,196 -0,392 -0,588 -0,784 -0,980

F x G01+G02 (N)

F x G01//G02 (N)

0 -0,098 -0,196 -0,392 -0,588 -0,784 -0,980

0 -0,098 -0,196 -0,392 -0,588 -0,784 -0,980

Tabela 8 - Valor da Força Exercida para a deformação da mola P=mg x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

P x G01 (N)

P x G02 (N)

P x G01+G02 (N)

P x G01//G02 (N)

0 0,098 0,196 0,392 0,588 0,784 0,980

0 0,098 0,196 0,392 0,588 0,784 0,980

0 0,098 0,196 0,392 0,588 0,784 0,980

0 0,098 0,196 0,392 0,588 0,784 0,980

5. Gráficos da Força Peso em relação a Deformação das molas e suas associações.

De acordo com a melhor reta entre os pontos dos Gráficos, foi comparada a equação da reta com a de obtenção da constante elástica conforme figura abaixo:

Onde o coeficiente angular é a constante elástica. Foi feito um calculo para cada um dos quatro gráficos. 

Gráfico 1



Gráfico 2



Gráfico 3



Gráfico 4

Conclusão De acordo com os resultados, pode-se provar que, à medida que se aumenta o peso (F), o comprimento da mola aumenta proporcionalmente de acordo com a equação, na qual k é a constante de deformação da mola e X a deformação sofrida, enunciada pela lei de Hooke. Outro ponto observado é que em nenhum dos experimentos realizados a mola ultrapassou seu limite de elasticidade, uma vez que, ao serem retirados os pesos, as molas retornaram para a posição inicial. Na associação de molas foi notado que quando em série o valor da constante elástica obtido é menor que o de uma mola simples e, quando associada em paralelo, o valor da constante é maior que a simples.

Bibliografia Universidade Federal de Juiz de Fora, fragmento da aula 6 do departamento de Física. Universidade Federal de Sergipe. http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/dinamica/trabajo/muelle/muelle.htm

Biblioteca UFSJ:  HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de física. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC,  

1994. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 330 Ramos, Luís Antônio Macedo. Física Experimental. Porto Alegre: Mercado Aberto, 1984. 344 p.