Equações da Cinemática. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado Leandro Dillmann; Tiffany Mak Yu Departamento Acadêmico de Física – Universidade Tecnológica Federal do Paraná Av. Brasil, 4232, Independência, Medianeira, Paraná e-mail:
[email protected] Resumo: Dado um sistema de referência, o movimento é chamado retilíneo uniformemente variado (MRUV) quando a trajetória é uma reta e a velocidade varia linearmente com o tempo, isto é, a aceleração é constante. O presente artigo tem como objetivo o estudo do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) por meio do experimento de um carrinho que desliza sobre um trilho de ar. O trilho de ar é usado para minimizar a força de atrito. A partir do experimento construíram-se gráficos que comprovam que o experimento realizado condiz com MRUV. Palavras chave: Movimento retilíneo uniformemente variado; Trilho de ar; Aceleração.
Introdução Cinemática é a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento descritos por diferentes tipos de corpos, sem se preocupar com suas causas. O movimento retilíneo é a forma mais simples de deslocamento, visto que os movimentos são ao longo de uma reta, quer seja horizontal, movimento de um carro, quer seja vertical, queda ou lançamento de um objeto. Como tudo ocorre em uma dimensão pode-se dispensar o tratamento vetorial mais rebuscado e tratarmos em termos de grandezas escalares, com o devido cuidado de analisar os sentidos de velocidades e as mudanças de sinais que são frequentes quando redefinimos o eixo de referência. Dado um sistema de referência, o movimento é chamado retilíneo uniformemente variado (MRUV) quando a trajetória é uma reta e a velocidade varia linearmente com o tempo, isto é, a aceleração é constante. Por exemplo: a queda livre no ar, o avião decolando e um carro de corrida. No MRUV a aceleração média assim como sua aceleração instantânea são iguais, sendo calculada por: a=
∆𝑉 ∆𝑡
(1)
onde: Δv = variação de velocidade; Δt = variação de tempo, ou intervalo de tempo.
Considerando t1 = 0, ou seja, que o intervalo de tempo é marcado a partir do instante inicial de observação do movimento. E o instante final do intervalo pode ser tomado como um instante genérico, t2 = t. A expressão (1) fica: V = Vo + at
(2)
Sendo conhecida como a equação horária da velocidade e seu gráfico é:
Figura 2: Gráfico velocidade x tempo. Por outro lado, a área da figura definida entre o gráfico do módulo da velocidade instantânea em função do tempo e o eixo dos tempos entre os instantes t1 e t2 representa o módulo do deslocamento no intervalo de tempo definido por esses instantes. A1 + A2 = ∆x, substituindo na equação de velocidade média: Vm =
∆𝑥 ∆𝑡
→ 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 =
1 2
(𝑉𝑖 + 𝑉𝑓 )𝑡
Substituindo a equação Vf pela equação (1) temos: Figura 1: Gráfico da aceleração x tempo de uma partícula em MRUV.
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑉𝑖 𝑡 +
1 2
𝑎𝑡 2 , para a constante
(3)
O gráfico correspondente a posição em função do tempo, equação horária da posição, está mostrado abaixo.
carrinho está em repouso, sua velocidade inicial será Vo = 0 m/s. Ligou-se o cronômetro, verificando se o equipamento identificou os cinco sensores, testando cada um com a passagem do “carrinho”. Após, configurou-se o cronômetro e, em seguida, ligou-se o eletroímã fixando o “carrinho” na parte esquerda do trilho, e a bomba de ar. Para iniciar o experimento, clicou-se em START no cronômetro, desligamento do eletroímã. A contagem de tempo se inicia pela passagem do móvel pelo 1º sensor e é interrompida no 5º. Finalizado o experimento a tela do cronometro apresenta o intervalo de tempo decorrido para cada deslocamento Δx do móvel. Repetiu-se o procedimento de medida 3 vezes.
Figura 3: Gráfico posição x tempo. Considerando a velocidade inicial V i = 0 m/s, obtemos a seguinte equação a partir da equação (3): 1
∆x = 2 𝑎𝑡
2
Resultados e Discussão Do experimento obtiveram-se os seguintes dados na tabela 1. Os valores das posições (x) e os tempos t1, t2 e t3 em segundos são medidas tiradas do experimento, enquanto tmédio é o tempo médio calculado das três medidas realizadas e tm2(s) é o tempo médio elevado ao quadrado. A aceleração [a(m/s2)] foi calculada utilizando a equação (3). Nota-se pela tabela 1 que a aceleração apresenta uma leve variação, devido ao atrito e outros fatores, que pode ser desprezada, dando um valor médio de 1,405 m/s2. A partir dos dados da tabela 1 construiu-se o gráfico “posição versus tempo”, x = f(t), que é representado por uma curva e possui o seguinte aspecto.
(4)
O presente artigo tem como objetivo o estudo do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) por meio do experimento de um carrinho que desliza sobre um trilho de ar. O trilho de ar é usado para minimizar a força de atrito. Procedimentos Primeiramente, posicionaram-se os sensores (S1, S2, S3, S4, S5) no trilho de ar (figura 4), de modo que a distância entre eles sejam de 15 cm. Colocou-se no suporte de massa 40g de modo que não toque a mesa/chão antes que o carrinho passe pelo S5.
0.8 0.7 0.6 0.5
X (m)
0.4 0.3 0.2 0.1
Figura 4: Imagem ilustrativa do trilho de ar.
0.0 -0.1
Ajustou-se o eletroímã para que o carrinho permaneça na posição 0,30 m (posição inicial xo = 0 m) na régua do trilho. Como inicialmente o
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Tempo (s)
Figura 5: Gráfico posição (m) x tempo(s).
Tabela1: Dados do experimento de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Massa Posições x(m) t1 (s) t2(s) t3(s) tmédio tm2(s)
a(m/s2)
1
0
0
0
0
0
0
0
02 (S1)
0,15
0,4591
0,4585
0,4585
0,4585
0,2102
1,4272
03 (S2)
0,3
0,6531
0,6529
0,6527
0,6527
0,426
1,4085
04 (S3)
0,45
0,8024
0,8022
0,8019
0,8019
0,643
1,3997
05 (S4)
0,6
0,9284
0,9282
0,9278
0,9278
0,8608
1,3941
06 (S5)
0,75
1,038
1,0378
1,0373
1,0373
1,076
1,3941
40g
A figura 5 nos faz chegar à conclusão que a velocidade varia em certos pontos, logo a velocidade do corpo varia em intervalos de tempo. Uma analise mais aprofundada nos permite dizer que a aceleração e a velocidade têm sinais iguais, logo a concavidade é crescente, V > 0 e a > 0.
cálculos de (velocidade em m/s, e aceleração m/s²) e montar gráficos que nos ajudaram a fazer a demonstrações necessárias e esperadas ao objetivo do experimento.
Referências
0,8 0,7 0,6
X (m)
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 -0,1 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
2 2 Tempo (s )
Figura 6: Gráfico posição(m) x tempo2 (s2). O gráfico acima representa uma aceleração constante aplicada sobre o coeficiente angular que resulta na velocidade do móvel. A provável função que representa a curva do gráfico é a função: Y = 0,69546x + 0,00224 Os coeficientes angular e linear da reta formada pelo gráfico de X =f(t²) (que é o gráfico x=f(t), linearizado) são, respectivamente, os valores de a (aceleração instantânea) e x0 (posição inicial – deslocamento quando o tempo é igual a zero). Portanto o coeficiente angular é a = 0,69546 e o coeficiente linear é x = 0,00224. Lembrando que pela equação (4) a aceleração = 2α, a aceleração do móvel é 1.39092m/s2, sendo este valor próximo da média calculada anteriormente. Considerando t0 = 0s e V0 = 0m/s2 teremos a seguinte função horária do movimento e velocidade: X(t) = (1.39 m/s2)t2 V(t) = (1.39 m/s2)t Conclusão Em nosso experimento para investigar o movimento descrito por um móvel em trajetória retilínea através de medidas de tempo, ficaram demonstradas as principais características dos movimentos do MRUV – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Podemos comprovar através da inclinação da reta do gráfico x contra t, que o seu coeficiente angular é a aceleração e que permanece constante ao longo do tempo. Os resultados encontrados em nosso experimento foram bons, pois apesar dos valores que serviram para preencher as tabelas não serem exatamente iguais, eles foram satisfatórios na hora de efetuar os
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