Relatório 2 - Circuitos Elétricos e Fotônica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

Fernanda Tavares Gabriela Abdul Ghani Kamila Mota Yasmin Marcos

RELATÓRIO 2 – MEDIDAS DE SINAIS SENOIDAIS EM CIRCUITO RC

Santo André 2016

Fernanda Tavares

RA: 11095314

Gabriela Abdul Ghani

RA: 11106713

Kamila Mota

RA: 11108513

Yasmin Marcos

RA: 11125611

RELATÓRIO 2 – MEDIDAS DE SINAIS SENOIDAIS EM CIRCUITO RC

Relatório apresentado à Universidade Federal do ABC como parte dos requisitos para aprovação na disciplina Circuitos Elétricos e Fotônica.

Prof. Dr. Jorge Diego Marconi

Santo André 2016

SUMÁRIO

1.

RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................................................... 4

1.1.

Familiarização com o Osciloscópio e medidas de amplitude e frequência................... 4

1.2.

Medidas com o Circuito RC em Série .......................................................................... 5

1.3.

Obtenção da forma de onda de corrente ..................................................................... 7

1.4.

Cálculo teórico dos valores das amplitudes e defasagens .......................................... 8

1.5.

Comparação entre valores experimentais e calculados teoricamente ......................... 8

1.6.

Aplicação das Leis de Kirchhoff às amplitudes de pico-a-pico..................................... 9

1.7.

Frequência (Hz) x Vr (V) ............................................................................................. 9

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 11 APÊNDICES ........................................................................................................................ 12 APÊNDICE A - Cálculo de Vpp a partir do Vef medido através do multímetro e incerteza ... 12 APÊNDICE B - Incertezas das medidas no osciloscópio ..................................................... 13 APÊNDICE C - Equação para cálculo da Frequência e sua respectiva incerteza ................ 13 APÊNDICE D - Equações para cálculo da incerteza da resistência e capacitância ............. 14 APÊNDICE E – Equações para cálculo da defasagem em graus e incerteza ...................... 14 APÊNDICE F – Equações para cálculo teórico de amplitude e defasagem e incertezas ..... 14 APÊNDICE G – Equação para cálculo de Erro Normalizado ............................................... 17 APÊNDICE H – Gráfico de Frequência versus Vr ................................................................ 18

4

1. RESULTADOS E DISCUSSÕES A seguir encontram-se relacionados os dados obtidos experimentalmente e calculados de forma teórica. 1.1.

Familiarização com o Osciloscópio e medidas de amplitude e frequência Na Tabela 1 encontram-se relacionados os dados de amplitude Vpp, período

T e frequência f obtidos de três formas estipuladas diferentes, descritos abaixo, e suas respectivas incertezas, estimadas de acordo com o que se encontra no Apêndice B. Também foi medido com o multímetro, na função VAC, o valor eficaz (tensão eficaz True RMS) de valor (1.773 ± 0.02)V. A tensão de pico a pico (Vpp) foi calculada através da Equação 1 e sua respectiva incerteza a partir da equação no Apêndice A.

(Eq. 1) Tabela 1: Resultados de medidas do sinal senoidal

Vpp ± µVpp (V)

T ± µT (µs)

f ± µf (kHz)

Osciloscópio/visual

5.0 ± 0.1

1.00 ± 0.03

1.00 ± 0.03

Osciloscópio/cursores

5.1 ± 0.1

1.00 ± 0.02

1.00 ± 0.02

Osciloscópio/automático

5.0 ± 0.1

1.0 ± 0.1

1.0 ± 0.1

5.02 ± 0.06

-

-

Multímetro

Comparando-se os valores lidos, é possível notar que os valores tensão, período e frequência são todos próximos, apesar da mudança na forma de leitura dos resultados. Quando foram lidos de forma visual, a tensão foi obtida contando a quantidade de divisões verticais, mostradas na tela do osciloscópio. Cada divisão representava 1V. O período foi lido de maneira semelhante, porém foram lidas as

5

divisões horizontais, cada uma representava 200μs. A frequência foi calculada como sendo, um sobre o período. Utilizando-se os cursores, simplesmente foram usados os cursores verticais e horizontais do equipamento. Para fazer a leitura da tensão, foram posicionados entre dois picos e para ler o período posicionou-se entre uma onda. A frequência novamente foi calculada pela expressão f = 1/P, porém com o valor do período referente a esse tipo de leitura. A leitura automática foi feita pelo multímetro, apenas foi utilizada uma função do equipamento e os valores foram obtido automaticamente. O valor eficaz foi lido utilizando o multímetro Minipa ET-2510. 1.2.

Medidas com o Circuito RC em Série Os valores da capacitância e resistência foram medidos utilizando um

multímetro Minipa ET - 2510 antes do início da prática e foram obtidos os resultados relacionados na Tabela 2. No entanto, foram medidos valores que divergem bastante dos valores nominais destes, de 12kΩ para o resistor e 15nF para o capacitor. As equações para os cálculos das incertezas encontram-se no Apêndice D. Tabela 2: Valores da capacitância e resistência medidos com o multímetro

C ± µC (nF)

R ± µR (kΩ)

9.86 ± 0.27

9.90 ± 0.09

Os valores obtidos experimentalmente através do circuito RC e suas respectivas incertezas podem ser observados na Tabela 3. Tabela 3: Resultados de medidas do circuito RC

CH1 - Vpp (V)

CH2 - Vpp (V)

CH1 - CH2 Vf - Vr (V)

Δt (µs)

Defasagem θ (°)

500 Hz

5.0 ± 0.1

1.47 ± 0.03

4.78 ± 0.02

440.0 ± 0.1

79.20 ± 0.02

1 kHz

5.03 ± 0.01

2.64 ± 0.16

4.25 ± 0.02

166.0 ± 0.2

58.76 ± 0.07

10 kHz

5.04 ± 0.01

4.97 ± 0.12

0.81 ± 0.02

3.2 ± 0.2

11.5 ± 0.7

6

É possível observar nas Figuras 1, 2 e 3 as formas de ondas senoidais obtidas no osciloscópios para frequências de 500 Hz, 1 kHz e 10 kHz, respectivamente.

Figura 1: Onda senoidal obtida no osciloscópio (500Hz). Fonte: Acervo pessoal.

Figura 2: Onda senoidal obtida no osciloscópio (1kHz). Fonte: Acervo pessoal.

7

Figura 3: Onda senoidal obtida no osciloscópio (10kHz). Fonte: Acervo pessoal.

1.3.

Obtenção da forma de onda de corrente Sabemos que a tensão do capacitor é dada por:

(Eq. 2) Pelo circuito RC série da Figura 1 do item 3.2b) do Roteiro, sabemos também que: (Eq. 3) Onde ic é a corrente referente ao capacitor e ir é a corrente referente ao resistor. Como o resistor obedece a lei de ohm, podemos substituir “ir” por V/R e podemos também substituir o valor (2) em (3), assim temos:

8

(Eq. 4) Utilizando o resultado (4) na equação (1), temos:

(Eq. 5) 1.4.

Cálculo teórico dos valores das amplitudes e defasagens Os valores teóricos de amplitudes e defasagens para o circuito RC

calculados e suas respectivas incertezas encontram-se na Tabela 4. As equações utilizadas nestes cálculos encontram-se no Apêndice F. Tabela 4: Resultados calculados para o circuito RC

Vf (V)

Vr (V)

Vf - Vr (V)

Defasagem θ (°)

500 Hz

5.0 ± 0.1

1.47 ± 0.03

4.8 ± 0.1

72.95¹

1 kHz

5.1 ± 0.1

2.64 ± 0.06

4.3 ± 0.1

58.48¹

10 kHz

5.0 ± 0.1

4.97 ± 0.12

0.81 ± 0.02

9.26¹

¹ Os valores de incerteza são bastante pequenos, da ordem de 10-4

1.5.

Comparação entre valores experimentais e calculados teoricamente Os valores medidos de Vf, Vr e Vf-Vr durante o experimento e os calculados

teoricamente para todas as frequências (500 Hz, 1 kHz e 10 kHz) foram bastantes semelhantes. No entanto, os valores de defasagem θ, para todas as frequências, apresentaram incompatibilidade mesmo apesar da proximidade entre os valores. Utilizando o conceito de erro normalizado, cuja equação utilizada para o cálculo encontra-se no Apêndice G, foi possível confirmar que os valores de Vf, Vr e Vf-Vr medidos experimentalmente (Tabela 3) e calculados (Tabela 4) são compatíveis (εn1) para todas as frequências. Na Tabela 5 constam os valores de erro normalizado calculados.

9

Tabela 5: Valores de Erro Normalizado (εn) para cada frequência

εn (500Hz)

εn (1kHz)

εn (10kHz)

Vf

0.27

0.17

0.02

Vr

0.09

0.004

0.17

Vf-Vr

0.003

0.62

0.003

θ

347.15

17.80

3.14

É possível justificar a pequena disparidade entre os valores de defasagem medidos e calculados devido à fontes de incerteza de tipo B, podendo justificar como principal incerteza experimental a inexperiência dos operadores na utilização do osciloscópio e possíveis desvios nos cursores do equipamento. 1.6.

Aplicação das Leis de Kirchhoff às amplitudes de pico-a-pico A segunda Lei de Kirchhoff diz que a soma algébrica das tensões (f.e.m.s e

quedas de tensões) ao longo de uma malha elétrica é igual a zero. Portanto, se uma corrente de malha é uma senoide com uma certa frequência, só poderá ser satisfeita se todas as outras correntes da malha do circuito forem senoides com a mesma frequência. No caso deste circuito, é possível concluir que a Segunda Lei de Kirchhoff poderá ser aplicada às amplitudes pico a pico dos sinais, uma vez que a corrente que passa em cada elemento do circuito (gerador, capacitor e resistor) é a mesma. 1.7.

Frequência (Hz) x Vr (V) Os dados utilizados para a construção do Gráfico 1, que encontra-se no

Apêndice H, estão na Tabela 6. Tabela 6: Dados de frequência e de tensão no resistor (Vr)

F (Hz)

Vr (V)

2272.73 ± 0.52

1.47 ± 0.03

6024.1± 7.3

2.64 ± 0.06

(3.13 ± 0.20) 105

4.97 ± 0.12

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O circuito passa-altas é um circuito que permite a passagem das frequências altas com facilidade, porém, atenua a amplitude das frequências abaixo das frequências de corte. O entendimento desse tipo de circuito envolve saber que o capacitor leva um determinado tempo para carregar e descarregar através de um resistor, e que em baixas frequências existe muito tempo para que o capacitor se carregue até atingir a mesma voltagem que a tensão de entrada, de modo que a tensão no resistor R se aproxima do zero (ALMEIDA, 2010). Analisando o gráfico, é possível observar este comportamento, já que em frequências mais baixas a tensão no resistor (Vr) também se mostra baixa. Já para frequências mais altas, o capacitor tem tempo apenas para uma pequena carga antes as entradas invertam suas polaridades, sendo que quando a frequência é dobrada, existe tempo apenas para que o capacitor se carregue metade do que poderia carregar antes, de modo que a tensão no resistor se aproxima ao valor de entrada. E analisando novamente gráfico, é possível notar que em frequências maiores a tensão no resistor (Vr) é próxima a tensão de entrada (5 V).

11

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA, A. R. Laboratório de circuitos- elétricos (Prática 1: Filtro RC - Passabaixa/

Passa-

alta)

[Relatório

na

internet].

Piauí;

2010.

Disponível

em:

. Acesso em 07 de agosto de 2016.

12

APÊNDICES APÊNDICE A - Cálculo de Vpp a partir do Vef medido através do multímetro e incerteza O cálculo de Vpp a partir do valor eficaz (True RMS) medido pode ser realizado através da dedução da seguinte equação:

V (t )  V0 sen(t ) Vef 2 

1 T V (t ) 2 dt  0 T

1 T 2 2 V0 sen (t )dt T 0

Vef 

 1  T sen(2T ) 0 sen(0)   Vef 2   V02      4 2 4   T  2 V 2  T sen(T ) cos(T )  Vef 2  0    T 2 2  Vef  V0

1  sen(T ) cos(T )  T   2T   

Para T=2π e ω=2πf, sendo f=

Vef  V0

2 1  1. , ω= T T

1  sen(2 ) cos( 2 )  1 (2  0)  2    V0 4  1 4  Vef  V0 Vef 

2 1  V0 4 2

V0

 V0  2  Vef 2 Vpp  2V0

Vpp  2 2  Vef Onde: ω: velocidade angular (rad/s); f: freqüência (Hz); T: período (s); Vpp: tensão de pico a pico (V); Veff: valor de tensão eficaz (True RMS) (V).

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A incerteza do valor eficaz (Vef) é calculada através da informação fornecida pelo fabricante no manual do multímetro, através da equação a seguir.

Vef  0.9%  5 D  E a incerteza de Vpp é calculada através da propagação de incertezas, conforme deduzido abaixo.

Vpp

 Vpp    Vef  Vef

Vpp 

2

2  Vef

  

2



2

Vpp  2 2  Vef Onde: µVpp: incerteza da tensão de pico a pico (V); µVef: incerteza da tensão eficaz (V); Vpp: tensão de pico a pico (V); Veff: valor de tensão eficaz (True RMS) (V). APÊNDICE B - Incertezas das medidas no osciloscópio Foi definido como incerteza das medidas visuais realizadas no osciloscópio como a metade da menor medida na tela. E para as medidas realizadas com os cursores, a incerteza foi estimada pela espessura do sinal na tela do osciloscópio. APÊNDICE C - Equação para cálculo da Frequência e sua respectiva incerteza Para calcular a frequência, foi utilizada a equação a seguir. f 

1 T

E, para o cálculo da incerteza da frequência, foi realizada propagação de incertezas e o resultado encontra-se abaixo.

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 f   f    T   T 

2

 1   f   2   T  p 

2

Onde: µf: incerteza da frequência (Hz); f: frequência (Hz); T: período (s). APÊNDICE D - Equações para cálculo da incerteza da resistência e capacitância µC = ± (1.9% + 8D) µR = ± (0.7% + 2D) Onde: µC: incerteza da capacitância (F); µR: incerteza da resistência (Ω).

APÊNDICE E – Equações para cálculo da defasagem em graus e incerteza Para o cálculo da defasagem foi utilizada a equação a seguir.

  360 ft E para a incerteza, foi realizada a propagação de incertezas.

   * t   t 

2

    

360 * f *  t 2

  360 f t Onde: θ: defasagem (°); µθ: incerteza da defasagem (°).

APÊNDICE F – Equações para cálculo teórico de amplitude e defasagem e incertezas Velocidade angular

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  2f Reatância capacitiva

Xc 

1 1  2fC C  X c  * C   C 

2

X   c

X

 1    * C  2  C 

c

2

Onde: Xc: reatância capacitiva; C: capacitância; µXc: incerteza da reatância capacitiva; ω: velocidade angular. Impedância

Z  R 2  X C2  Z   Z  Z   *  R    *  XC  R   X C 2



 

R2

  

2



X2

 Z   2 *  R2    2 C 2 *  X2  2 R  X C    R  XC  C

Onde: Z: impedância; R: resistência (Ω); XC: reatância capacitiva; µZ: incerteza da impedância; µR: incerteza da resistência (Ω); µXc: incerteza da reatância capacitiva. Corrente do Circuito RC

I (t ) 

V (t ) Z

 I   I  I   * V    * Z   V   Z  2

     V (t )  I   V    2 * z    Z   Z 2

2

2

16

Onde: I(t): corrente do circuito RC (A); V(t): tensão (V); Z: impedância; µI: incerteza da corrente (A); µV: incerteza da tensão (V); µZ: incerteza da impedância. Tensão sobre o resistor

Vr (t )  R  I (t )  R 

V (t ) Z

  Vr   Vr     R    *  I (t )   R   I (t )  2

Vr

Vr 

2

I (t ) *  R 2  R *  I (t ) 2

Onde: Vr(t): tensão sobre o resistor (V); R: resistência (Ω); V(t): tensão (V); I(t): corrente do circuito RC (A); µVr: incerteza da tensão sobre o resistor; µR: incerteza da resistência (Ω); µI(t): incerteza da corrente do circuito RC (A). Tensão sobre o capacitor

Vc(t )  X C  I (t )

 Vc

 Vc   *  XC  X C

 Vc 

2

  Vc     *  I (t )     I (t )

I (t ) *    X 2

XC

Onde: Vc(t): tensão sobre o capacitor (V); Xc: reatância capacitiva; I(t): corrente do circuito RC (A); µVc: incerteza da tensão sobre o capacitor; µXc: incerteza da reatância capacitiva; µI(t): incerteza da corrente do circuito RC (A).

*  I (t ) 

2

C

2

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Defasagem

 1    arctg  C  R  

     

         * C    * R   C   R  2

2

2

R C         2 2 * C     2 2 * R   C R 1   C R 1 

2

Onde: Θ: defasagem (°); ω: velocidade angular (rad/s); C: capacitância (F); R: resistência (Ω); µθ: incerteza da defasagem (°); µC: incerteza da capacitância (F); µR: incerteza da resistência (Ω).

APÊNDICE G – Equação para cálculo de Erro Normalizado

n 

1   2 12   22

Onde: εn: erro normalizado; ε1: valor medido experimentalmente; ε2: valor calculado teoricamente; µ1: incerteza do valor medido experimentalmente; µ2: incerteza do valor calculado teoricamente.

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APÊNDICE H – Gráfico de tensão sobre o resistor versus frequência Gráfico 1: Vr (V) em função da Frequência (Hz)