Relatividad 1

 

 RELATIVIDAD  RELATIVIDA D1 1 . -  Una barra s e mueve c on veloc veloc idad c ons tante v a lo lo larg larg o del eje de abscisas respecto de un sistema inercial S. Un obss ervado ob ervadorr s ituado ituado en el sis tema S enc uentra que que la lo long ng itud de de la barra es 1% menor que s u long long itud propia. Calcular el mód módulo ulo de v. La longitud propia de la barra L o, es lo que mediría un observador situado en un sistema inercial S´ respecto del cual la barra se encuentre en reposo. Entre ambas medidas existe la relación L = L o 1 −

v2

  c2 El valor de L que mide el observador situado en S es 1% menor que Lo L=L

−  o

0,99 L o

= Lo 1 −

v2 c

2

1

= 0,99 L  

L

100

⇒

0

o

v2 c

= 1 −  0,99 2

2

⇒

v = c 1 − 0,99 2

= 0,14c  

 2 . -  Des de un sis tema de de referencia inercial S s e mide el tiemp tiempo o entre dos dos s uces os que que ocurren en un s is tema inercial S ´, encontrándose un intervalo de tiempo ∆t =5,0 s. Si el intervalo de tiempo tiem po de ese mis mo suces o se mide desde S ´ s e encuentra que dura dura 0,1 s eg undo undo menos meno s que en S . Determi nar lla a velocidad velocidad c on que que el obser o bser vador vador de S ve des pl plaz azarse arse al s is tema S ´. Los sucesos que ocurren en el sistema S´, se miden en el sistema S, por tanto el llamado tiempo impropio vale 5,0 segundos. Desde S´ se mide el intervalo de dos secesos que ocurren en su propio sistema de referencia y se encuentra una décima de segundo menos que antes, este es el llamado l lamado tiempo propio que vale 4,9 s. La relación entre ambos tiempos medidos es: tiempo  propio = tiempo impropio

1−

∆t 2P 2

∆t I

=

v2 2

c

⇒ v = c 1−

∆t 2P 2

∆t I

1−

v2 c2

⇒ 2

∆t P = ∆t I 1 −

⎛ 4,9 ⎞ = c 1 − ⎜ ⎟ = 0,2 c   ⎝ 5,0 ⎠

v2 c2

⇒

 

 

 3 . - E n el eje X de un s is tema de referencia ref erencia S s e hace una marca. Una barra se desplaza paralelamente a lo largo del eje X con velocc idad velo ida d c onstante v. Un obs obs ervador ervador s ituad ituado o en S mide que lla a barra tarda en pasar por la marca un tiempo de 20 ns. Un obse rvador s ituado sobre la barra barra mi de que el tiempo que tarda en pasar por la marc a es 25 ns . C al alcc ular ular la long long itud propia de lla a barra. En la figura 1 se indican dos sistemas uno es el S y otro el S´ que se encuentra sobre la  barra en movimiento

S

S´ v

Fig. 1 Un observador que está en reposo respecto del sistema S, observa que que el sistema S´, esto es la barra, se desplaza hacia el eje positivo de las X con una velocidad v. La longitud de la barra para él es L, y viene dada por la expresión: L = L o 1 −

v2 c2

 

siendo Lo la longitud propia de la barra, la que mide un observador que se encuentre en reposo sobre ella, esto es , sobre el sistema S´. Para el observador S, desde que el extremo derecho de la barra pasa por la marca hasta que lo hace el otro extremo pasa un tiempo medido en el sistema S que vale ∆t = 20 ns, en consecuencia establece que: v=

L

∆t

 

Para un observador situado en S´, razona que el sistema S se desplaza hacia la izquierda con una velocidad v y para él la marca se desplaza de derecha a izquierda. Puesto que la  barra tiene una longitud propia Lo, desde que la marca pasa por un extremo de la barra hasta que pasa por el otro, transcurre un tiempo ∆t´= 25 ns medido ese tiempo en el sistema S´.

 

v=

 

Lo

∆t´

 

De las dos últimas ecuaciones se deduce:

∆t =   L o   ∆t´ L

v2 ∆t = 1− 2 = L o ∆t´ c L

Lo

2

⇒

2

⎛  ∆t  ⎞ = c 1 − ⎛ 20 ⎞ = 0,6 c   v = c 1− ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 25 ⎠ ⎝ ∆t´ ⎠

= v∆t´= 0,6   * c * 25.10 −9 = 4,5 m  

4 . -  E n un si s tema inerci al S ´ yace una ba barra rra de llongitud ongitud 1 metro que forma un ángulo de 45 º con el eje Ox´. Un observador se encuentra en un sistema de referencia S siendo el eje Ox  p  pa a r a le lo a l O x ´. P ar a e s t e ob s e r v ad or e l s i s t e m a S ´ s e m u e v e con velocidad v = 0,92 c, manteniendo los ejes paralelos. Si es te obs ervador realiza medidas de la llong ong itud de la barra y del ángulo que forma c on Ox ´ ¿ qué valores valores enc uentra?

Y

y´

S

S´

v = 0,92 c Ly´ 45º

x´

Lx´

X

Parra el observador situado sobre el sistema S Ly´= Ly = 1*sen 45 = 0,707 m longitud que mide sobre el eje Ox´ viene dada por la l a expresión:

Lx

= L x´ 1 −

v2 2

c Longitud de la regla para el observador S

= 1 * cos  45 * 1 − 0,92 2 = 0,277 m  

L = 0,707 2 ängulo

+ 0,277 2 = 0,76 m  

y la

 

 

θ=

tag

Ly

=

Lx

1 * sen 45 1 − 0,92 cos 45 2

= 2,552

⇒

θ = 68,6º  

 5 . -  En un sistema inercial S´ se encuentra un triángulo equilátero equilá tero de lado lado 1 metro, es tando uno de los los vér tic es e n el origen de coordenadas y un lado sobre el eje O´x´. Un obss erva ob ervado dorr s e enc uentra uen tra en un sis tema d dee referencia S s iendo iendo el eje Ox paral paralel elo o al O´ O´xx ´. Para es te observador observado r el s is tema S ´ se mueve c on veloci veloci da dad d v = 0,95 c , manteniendo manteniendo llos os ejes pa paral ralelo eloss .  S i e s t e o b s e r v ad o r r e al alii z a m e di da s d e l pe r í m e t r o de l t r i án g u lo  ¿ q u é v al alo o r e n c u e n t r a ? R e s o lv e r e l m i s m o p r ob le m a c u an d o e l triáng ul ulo o tenga un vértic e en el orig o rig en de coordena coordenada dass y una d dee  s u s bi s e c t r i c e s s o b r e e l e j e O ´x ´. y

y´

B

S

S´ O´

C

O

v = 0,95 c x´ x

Para el observador en S las distancias sobre el eje de abscisas las encuentra más cortas, mientras que las del eje de ordenadas son las mismas.. A este observador le parece que en vez de ver un triángulo equilátero ve uno isósceles, con la misma altura sobre el lado l ado O´C.

L OC

= L O´C 1 −

v2 c

= 1 − β2  

Altura sobre O´C desde el sistema S´ : 2

h O´C

= L

2 O´B

3 3 ⎛ L  ⎞ m  L O´B = + ⎜ O  ´C ⎟ = 2 2 2  ⎠ ⎝ 

Este valor se mantiene en el sistema S, por tanto, la longitud del lado O´B visto desde el sistema S vale.

 

  L OB

= h

2 O´C

2 4 − β2 3 1 − β2 ⎛ L OC  ⎞   + = +⎜ ⎟ = 2 4 4 2 ⎝   ⎠

El valor del perímetro visto desde S es:

⎛  4  − β 2  ⎞ P = 1 − β + 2⎜   ⎟ = 1 − β2 + 4 − β2   ⎜ 2 ⎟ ⎝   ⎠ 2

La figura inferior indica la situación s ituación de la segunda parte del problema

D S

O´

B

S´

E

3

L altura O´B medida medida en el sistema S´ vale

2

m 

Esa misma altura medida en el sistema si stema S vale: OB = O´B 1 − β 2

=

3 2

1 − β2  

El lado DE mide 1 m en el sistema S. El lado DB que es igual al EB mide en el sistema S 2

 ⎞ 4 − 3β 2 1 + 3(1 − β 2 ) 3 ⎛ 1 ⎞ + ⎛  2 ⎟ ⎜ 1− β   = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 4 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝   ⎠ 2

El perímetro del triángulo medido desde S

 

⎛  4  − 3β 2  ⎞   ⎟ = 1 + 4 − 3β 2   P = 1 + 2⎜ ⎜ ⎟ ⎝  2  ⎠

 

6 . - Una partíc ula tiene una vida media de 1,6 µ  s y se mueve con una veloc veloc idad ida d v, res pecto de un un si s tema de de llab aborato oratorio rio que que s e desi g na c on S . Des de este s is tema se mide la la vid vida a media media de de lla a  p  pa a r t í c u la y s e e n c u e n t r a q u e e s 3 , 2 µ  s . C a lc u la larr la di s t a n c i a qu e recorre la mencionada partícula, medida por el observador  s i t u a do e n S , de s de q u e s e f or m a h as t a q u e s e de s i n t e g r a . La vida media de la partícula medida en un sistema que se desplace con ella es el tiempo propio. El tiempo medido desde S es el tiempo impropio. Ambos se relacionan entre sí 2

v2 tiempo  propio = tiempo impropio 1 − c 2 La distancia recorrida d =

3

⇒

c2 ⎛ 1,6 ⎞ ⎜⎝ 3,2 ⎠⎟ = 1 − v 2 ⎝ 

3

⇒

v = 2 c 

c *  3,2.10 − 6

= 831 m   2 Podemos también resolver este este problema a partir de la invarianza c 2 ∆t 2

− ∆l 2 = cons tan te  

que es valida para cualquier sistema inercial Aplicamos la anterior relación para el sistema S y para el sistema S´. Para este último sistema ∆l´ = 0 , ya que el nacimiento nacimiento y la desintegración de la partícula ocurren en el mismo lugar de ese sistema c 2 * (3,2.10 −6 )

2

− ∆l 2 = c 2 * (1,6.10 −6  )

2

⇒

∆l = c.10 −6 3,2 2 − 1,6 2 = 831 m  

7 . -  La velocidad promedio de los muones en la atmósfera terres tre es 0 ,992 c y s u vida vida media media 2,26.10 -6  s eg und undo o s . S i no s e aplicase la mecánica relativista determinar la distancia que  p  puu e d e n r e c or r e r e s a s p ar t í c u la lass e n la at m ó s f e r a t e r r e s t r e y hacer el mismo c álc álc ulo ulo con la mec ánica relativis rela tivis ta. La distancia es:

 

 

d = v * t

= 0,992 * 3  .10 8 * 2,26.10 −6 = 673 m  

Este resultado no está de acuerdo con las medidas efectuadas en la tierra en la que se detectan distancias mayores.

La vidavida es: media es el tiempo propio de la vida del muón. Desde la tierra el tiempo de tiempo  propio = tiempo impropio 1 −

v2 c

2

2,26.10 −6

⇒ t.impropio =

1−

0,992 2 c 2

= 1,79.10 −5 s  

c2

La distancia recorrida para un observador situado en la tierra es:   8 d = 0,992 * 3.10 *1,79.10 −5

= 5327 m  

8 . -  Dos pa partíc rtíc ul ulas as i g uales uales s e mueven a una una velocidad velocidad constante 0,95 c respecto de un sistema inercial S. Estas partículas c hocan c ontra un bla blanc nc o con un intervalo de tiempo entre ell ellas as de 2,0.10 -8  s eg undos, undos, tiempo medid medido o por por el observador s ituado ituado en S .   H al alla larr la la dis tanc ia propia, es to es , la medida por un obss ervado ob ervadorr s ituado ituado s obre obre las partíc partíc ul ulas, as, a lla a que se encuentran dichas partíc pa rtíc ulas ulas . S

blanco

L

El observador situado en el sistema S observa que la partícula primera choca con el  blanco y para él la segunda partícula se encuentra a una distancia L y mide el tiempo que dicha partícula tarda en alcanzar el blanco y encuentra un valor de ∆t = 2,0.10-8 s. Para el observador situado en un sistema S´ ligado a las partículas, la distancia entre ellas es Lo, esto es, la distancia propia. Esta magnitud se encuentra relacionada con L mediante la expresión.

 

  L = Lo 1 −

v2 c2

L

⇒ Lo =

1−

v∆t

 

=

v2

1−

c2

v2

=

0,95 * 3.108 * 2,0.10 −8 1 − 0,95 2

= 18,3 m  

c2

9 . -  Una barra se mueve con respecto a un sistema S con una velocc idad c onstante. En es te s is tema se m ide lla velo a llongitud ongitud de la la barra y se encuentra que vale 5 m. En un sistema ligado a la  p  prr o pi a b ar r a s e m ar c a n d os s e ñ a le s d e f o r m a s i m u ltá lt á n e a e n lo loss extremos de dicha barra y se mide la distancia entre esas  s e ñ a le s de s d e e l s i s t e m a S e n c o n t r á n d o s e q u e v a le 7 m . Calcular la longitud propia de la barra y su velocidad respecto del s is tema S . Designamos con Lo  la longitud propia de la barra que es la distancia que mediría un observador situado en un sistema S´ para el que la barra está en reposo. La distancia L = 5 metros se mide desde S y ambas medidas están relacionadas por

5 = L o 1 −

v2 c2

  (1)

Designamos con x ´A la coorden coordenada ada de de un extremo extremo de de la barra y con x ´B la del otr otro o extremo, ambas en el sistema S´ ; x ´B - x ´A = Lo  . La relación con las coordenadas medidas en S la obtenemos mediante las ecuaciones de Lorentz

xA

=

x ´A

+ vt ´A

1−

v

2

x ´B

vt ´B +   xB = 2 v 1− 2

;

c2

c

Restando ambas ecuaciones y teniendo en cuenta que los tiempos son iguales

xA

− xB = 7 =

x ´A

− x ´B

1−

De las ecuaciones (1) y (2), se deduce: deduce:

v

2

c2

=

Lo 1−

v

2

c2

 (2)

 

  5 Lo

Lo

= 35 = 7 1 −

=

v2 c

2

Lo 7

⇒

⇒

35 49

= 35 m  

Lo

 = 1 −

v2 c

⇒ v = c 1−

2

35 49

= 0,53 c  

10.-Una barra A´B´se mueve con velocidad v respecto de otra barra AB y lleva incorporados en sus extremos dos relojes designados con A´y B´ que han sido sincronizados entre sí. La barra ba rra A B ll eva en s us ex tremos tremo s dos reloje relojess desig na nado doss c on A y B que también también es tán sinc ronizado ronizadoss entre s í. La lo long ng itud propia propia de cada barra es L o . En el momento en que que el reloj reloj B ´ s e encuentras frente al A se comienza a contar el tiempo tanto  p  pa a r a lo loss r e lo lojj e s de la ba r r a A ¨B ´ , c om o d e la A B . D e t e r m i n ar la lass indic ind ic acion aciones es de los los relojes relo jes c uand ua ndo o B ´ s e encuentre frent frentee B Analicemos la situación desde el punto de vista de un observador que está en el sistema S, siendo éste un sistema ligado li gado a la barra AB. S´

S B´

A´

v A

B

Para este observador la longitud de la barra A´B´vale L = L o  1 − β 2  

;

v

β=  

c Cuando A´ se encuentre encuentre frente a A el reloj A marcará un tiempo

tA

=

Lo 1 − β2 v

 

teniendo en cuenta que el extremo B´ todavía no ha llegado a B puesto que L< L´. El reloj B tiene que marcar la lectura de A más el tiempo que tarde en recorrerse la distancia Lo-L ( es la distancia que le falta a B´ para estar frente a B)

 

tB

 

= tA +

Lo

−L v

=

Lo 1 − β2

 

v

+

Lo

− Lo 1 − β2 v

=

Lo v

 

Para el observador situado en el sistema S´( el ligado a la barra) razona que B está frente a B´ cuando la barra de S se haya desplazado hacia la izquierda una longitud L que vale L = L o  1 − β 2  

 puesto que para él la barra situada en el sistema S se mueve con velocidad v hacia la la izquierda y por tanto él mide una longitud más pequeña El reloj B´ marcará

t

, B

=

Lo 1 − β2

  v Cuando A y A´ estén frente a frente el reloj en A ´ marcará el tiempo de B´ má máss lo que L  − L   tarda en llegar A frente a A´ que es o v El reloj A´ marcará

t

, A

=t + , B

Lo

−L v

=

L o 1 − β2

 

v

+

Lo

− Lo 1 − β2 v

=

Lo v

 

11.-  Una nave espacial se mueve con una velocidad 0,80 C respecto de un observador situado en el sistema S. En el  s e n t i do de av an c e d e la n a v e , é s t a la lann z a u n c o h e t e q u e s e mueve res pecto de ella ella con una velocidad velocidad de de 0,80 c . Deter minar La veloc veloc idad del c ohete res pecto del obser obser vador vador del s is tema S . La situación desde el observador es la de la figura

S

S´

0,80c = V 0,80c = v S,

 

Aplicamos la ley de adición de velocidades relativistas

vS

=

+V

0,80c + 0,80c   = 0,98c   = 0,80c * 0,80c v´S V 1+ 1+ 2 2 v ´S

c

c

12.- Respecto de un sistema de referencia se mueven dos objetos ob jetos A y B en la la misma direcc ión y en s entido c ontrario ontrario con la misma velocidad 0,80 c. Calcular la velocidad relativa del objeto ob jeto A res pecto del B . En la figura se indica la situación vista desde S, un sistema inercial para el que el objeto B se encuentra en reposo

-0,80 c

A

B

S

+0,80c vS 

A

S´

-0,80 c

B

S´

Para el observador en S el sistema S´ se desplaza hacia la izquierda con velocidad 0,8 c vS

=

v´S 1+

+V v´S V c

2

= 1+

− 0,80c − 0,80c   = −0,98c   (− 0,80c) * (− 0,80c ) c2

 

  13.- Dos barras tienen la misma longitud propia L o . A mb a s s e mueven una al encuentro de la otra con la misma velocidad v  p  pa a r a le la al e j e O x d e u n s i s t e m a d e r e f e r e n c i a d e l la labo bo r at or i o (s is tema S). Un observad observador or se s itúa s ob obre re una d dee las las ba barras rras ¿ qué long long itud medirí a de la la otra barra? barra?

 S

1

S´

2

V 1   v O

x

Para el observador situado sobre el sistema S la barra 1 se mueve hacia la derecha con velocidad v y la 2 se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad. Para un observador en S´ la barra 2 está en reposo y el sistema S se desplaza hacia la derecha con velocidad v y la barra 1 lo hace con velocidad V 1. La adición de velocidades según la transformación de Lorentz es:

V1

v+v v*v

=

1+

=

2v

  1 + β2

v

β=  

siendo

c

c2

El observador sobre la barra 2 ( sistema S´) ve contraída su longitud

2

L = L 0 1 − V12 c

= Lo 1 −

2 2

2

2

4v 2 c 2 (1 + β 2 )

= Lo c

(c1 +(1β+ β) −) 4v (c v +

= Lo

c

+ c β + 2c β − 4 v = Lo 2 c (1 + β ) 2

4

2

2

2

c2

− 2v 2

c (1 + β 2 )

c2

= Lo

Finalmente

⎛  v 2  ⎞ c ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ 2 2 c  ⎠ c −v ) ( 1 − β2 ⎝  L = Lo 2   = Lo 2 = Lo c (1 + β 2 ) c (1 + β 2 ) 1 + β2 2

=

2

4

2

2

2

− v2 )

2

c2

c (1 + β 2 )

 

 

 

14.- En un s is tema inerc ial S un foc fo c o de luz luz envía un ra rayo yo en la la direc c ión pos pos itiva del eje x . De terminar la velo v elocc idad medida por por un observador situado en un sistema S´ que se desplaza con velocidad V=c/3 con relación a S y en la misma dirección y  s e n t i do q u e e l r a y o de lu luzz .

V=c/3 S

S´ c

v ´S

vS

−V

1−

vS V

=

c

2

c−

 =

c 3

c* 1−

c

2

c

= c 

3

La velocidad de la luz es constante para cualquier observador.

15 .-Una .-Una nave es pacial tiene una long long itud de 100 m e ntre la p proa roa  y la po pa m e d i d a e s t a d i s t an c i a e n e l s i s t e m a li g a d o a la n a v e , la cual se desplaza con relación a la tierra con una velocidad 0,96 c. De forma simultánea para el observador de la nave, se emiten dos do s destellos destellos luminos lumino s os de s endos endos faro faross s ituad ituados os e n la la  p  prr o a y la p o pa . D e t e r m i n a r c o n qu é i n t e r v a lo d e t i e m po s o n detectadoss los destellos detectado destellos en la tierra. tierra. Designamos con  x 1´  la coordenada de proa de la nave y con x ´2 la de popa. opa. x 1´

− x  ´2 = 100 m  

Aplicamos la transformación de Lorentz

 

t

 

t1

=

´ 1

+

1−

Vx 1´ c

t

2

V

2

;

t2

=

Vx ´2

+

´ 2

c

1−

c2

2

V

2

V

⇒

t1

− t2 = c

2

(x

´ 1

1−

c2

− x ´2 ) V

2

 

c2

En la última expresión se tiene en cuenta que t ´  = t ´   1

0,96c t1 − t 2

=

c2

2

* 100

1 − 0,96

2

= 1,14.10 −6 s  

Al ser t1>t2 la luz procedente de proa se encendió para el observador de tierra un tiempo posterior a la de popa.