Relações Métricas No Triângulo Retângulo

 

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1. TRIÂNGULO RETÂNGULO

3. EXEMPLOS RESOLVIDOS

TRIÂNGULO RETÂNGULO é aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:

01. Determine as medidas a, h , m   e n   no triângulo retângulo retâ ngulo AB C a seguir:  A 4 3

 A C

c

b h C

m

n

B

a Onde: a é a hipotenusa (maior lado); b  e c  são os catetos (formam o ângulo reto); h  é a altura relativa à hipotenusa; m   é a projeção ortogonal do cateto b   sobre a hipotenusa; n   é a projeção ortogonal do cateto c   sobre a hipotenusa.

2. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO No TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC são válidas as seguintes RELAÇÕES MÉTRICAS (entre as medidas mencionadas acima): RELAÇÃO 01:  01:   TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a2 = b 2 + c 2   RELAÇÃO 02:  02:   O produto entre a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos. a.h = b. c   RELAÇÃO 03:  03:   O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa. b2

=

a. m  

c2

=

a .n

  RELAÇÃO 04:  04:  O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos. h2 = m. n   RELAÇÃO 05:  05:   A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos. a = m+n 

h n

m a

B

Resolução: Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01) para calcular a hipotenu hipotenusa sa a. a2 = b2 + c 2 a2 = 32 + 42 a2 = 9 + 16 16   a2 = 25 a = 25 a=5 Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções ortogonais m  e n . b2 = a . m c 2 = a. n 32 = 5 . m 42 = 5. n 5 .m = 9 5 . n = 16   e 9 16 m= n= 5 5 m = 1, 8   n = 3, 2 Outra maneira de calcular as projeções m   e n   é utilizando a RELAÇÃO 05, veja: a =m+n a = m+n 5 = m + 3, 2 5 = 1, 8 + n ou m = 5 − 3, 2   n = 5 − 1, 8  

m = 1, 8

n = 3, 2

Para calcular a altura h , aplicamos a RELAÇÃO 02. a .h = b . c 5.h = 3 . 4 5 .h = 12   12 h= 5 h = 2, 4 Outra maneira de calcular a altura h   é utilizando a RELAÇÃO 04. h2 = m . n h2 = 1, 8 . 3, 2 h2 = 5, 76 h = 5, 76   h = 2, 4 Portanto a = 5 ; m = 1, 8 ; n = 3, 2  e h = 2, 4 .

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02. No t r i ân g ul ulo o r etâ tâng ngul ulo ABC  ABC  a seguir, calcule a mediada da projeção ortogonal do cateto AC  sobre a hipotenusa.  A 12 B

H

C

5 Resolução: Para calcular a medida da projeção ortogonal HC  do cateto AC   sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO 04. h2 = m . n   122 = 5 . HC 144 ⇒ HC = 28, 8 5 . HC = 144 ⇒ HC = 5 A projeção ortogonal do cateto AC  mede 28,8.

02. (UFRN)  Uma escada de 13,0 m de  comprimento encontr a-se com a extremidade superior apoiada na parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte inferior escorregará é: a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,6 m 03. (PUC-SP) Uma (PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fiquedoàrestaurante mesma distância dasdas duas estações. A distância a cada uma estações deverá ser de: a) 575 m b) 600 m c) 625 m d) 700 m e) 750 m 04. (FATEC)  Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é: 12 60 5 25 12  m  m c)  m e)  m b)  m d) a) 13 13 13 5 13

03. No t r i ân g u l o retângulo A B C  a seguir, AM  é a mediana relativa à hipotenusa, e AH  é a altura. Calcule a medida do segmento HM .  A 8 6

05. (UFRS)  O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao 1 6 teto. Sabendo que essas cordas medem  e  metros, 2 5 a distância do lampião ao teto é:

C B H M Resolução: Aplicando o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01), obtemos a medida da hipotenusa BC .

a) b) 1,69 1,3 mm c) 0,6 m 1 d)  m 2 6 m e) 13

a2 = b2 + c2 2   BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 36 + 64 ⇒ BC = 100   BC = 10 BC2 = 100 BC2 = 62 + 82 Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos a projeção 36 2 = a.m 2 = 10 . B H b  = BH 6 BH . ⇒ ⇒ 10   10 . B H = 36 AB 2 = BC . BH BH = 3, 6 Como AM  é mediana, BM   é metade da hipotenusa BC , isto é,  BM = 5 . Da figura temos:     BM = BH + HM ⇒ HM = 5 − 3, 6 5 = 3, 6 + HM HM = 1, 4    

06. (U.E. L ONDRINA)  Em um triângulo retângulo ABC, as medid medidas as das das projeç projeçõe ões dos cate catetos tos AB  e BC  sobre a hipotenusa hipotenus a são, respectivamente, m e n. Se a razão entre 1 AB e BC, nessa ordem, é , então m:n é igual a: 2 a)

5   2

b)

2   2

c)

1   2

d)

5   4

01. (FUVEST-SP)  (FUVEST-SP)  No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6 2   c) 8 2   d) 4 3   e) 6 3   B A  

1   4

Nuum tr triâ iânngul gulo  ABC ABC, o ângul u lo 07. (U (U.F .F.. UBE UBERL RL Â NDIA) A)   N A é reto. A altura hA  divide a hipotenusa hipotenus a a em dois segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o m dobro do cateto c, podemos afirmar que : n e) 5 a) 4 b) 3 c) 2 d) 7 2   

4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL TOTAL))

e)

GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 C C C E E E A

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