Descripción: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa...
RELACIONES Y FUNCIONES DE IR EN IR RELACIONES BINARIAS RELACIONES DE R EN R FUNCIONES O APLICACIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS MISCELÁNEA
MOISES LAZARO CARRION iÍiEoD OI T TO m n i R IA L l U V IJU ü M
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Autor
:
Moisés Lázaro Carrión
Estudios : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.). Experiencia Docente: Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palmti Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional de Ancash Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao Universidad Particular San Martín de Porres La presentación y disposición en conjunto de:
RELACIONES ^Y FUNCIONES DE R EN R Autor: Moisés Lázaro Carrión Son propiedad del autor. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin auto rización escrita del autor: ....... : 822 Decreto Legslativo... Hecho el Deposito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú ... : 2009-13284 International Standard Book Number ISBN N°......................... : 978-9972-813-61-0 Derechos reservados O Primera edición: Octubre 2009 Obra editada, impresa y distribuida por: Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería
MOSHERA S.R.L. RUC:20101220584 Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres Lima - Perú / Telefax: 567-9299 e-mail:
[email protected] PEDIDOS AL POR MAYOR Distribuidora - Imprenta - Editorial - Librería
MOSHERA S.R.L. Jr. Tacna 2975 - San Martín de Porres T elefax: 5 6 7 -9 2 9 9
Impreso en el Perú - Printed in Perú
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Ú . m i q u a h id o h s ü u n a rw : J u liá n , p o A A u v a lio A a a y u d a , y c o la b o h a c ió n .
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ÍNDICE
E RELACIONES BINARIAS Introducción ..... ............ ,..... Par Ordenado Igualdad de pares ordenados ............................................. Productos de Conjuntos............. .......y.......... .... Propiedades Producto Cartesiano.. .... El Plano Cartesiano ................... Relaciones Binarias. ...... ......................... Tipo de Relaciones: Reflexiva, Simétrica, Transitiva, de Equivalencia, Asimétrica, Antisimétnca, de prden parcial, Comparable, de Orden Total. .......... Problemas.. ......................................... Clase de Equivalencia y Conjuntó Cociente ....................... Propiedad del Dominio y rango de una relación .................... Relación Inversa, Dominio y rango ..... ....... :.¡........... Propiedades Composición de relaciones ..................................... Problemas................................................................
1 2 2 4 5 6 7
9 17 19 20
2 RELACIONES DE R EN R .......... Plano Cartesiano Dominio y rango de unaxelación de R en R. .. ........ Gráfica de una relación de R en R ..... Problemas.! .... Relación de R en R con valor absoluto ....... Gráfica de relaciones lineales con dos Variables, rectas, semiplanos y planos en R2 ......................... Método práctico.. .............. Ecuaciones de l&s cónicas: Ecuación de la Circunferencia........ .......... .r........
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33 34 37 39 49 53 56 68
,■........
71 75 .
La Parábola ................ La Elipse ........... ........................ La Hipérbola..,.......;....■.......................................
77
m FUNCIONES O APLICACIONES Introducción ........ .............,....... Función de A en B....... Definición Gráfico de una Función............ Dominio y rango de una Función ........ Igualdad de Funciones Función restringida .... .................... Composición de Funciones.. Propiedades de la Composición de funciones ............. Función Inyectiva Función Subyectiva..................... Función Biyectiva ...................................... Función Inversa ..................................... Imagen directa e inversa de un conjunto ..................... propiedades ................................................... Función característica........... ............................... Problemas....... ............................................
81 83 84 89
90 95 97
105
s FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Introducción ...... Función real de variable real -Forma intuitiva de percibir gráficamente una. función real de variable real ..... Gráfico de una función ...... Problemas resueltos ............... Forma de expresar la variable dependiente en función de la variable independiente ......
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117
118 123 125 ^ ..........
129
Definición geométrica de función ...... Tres formas de expresar una función cuando se conoce su regla de correspondencia y dominio ........................ Imagen directa e imagen inversa de un conjunto ........... Cálculo del dominio de funciones usuales ....... Función restringida.......... .... Cálculo del rango de una función ..... Funciones especiales ........... Algebra de funciones: suma, producto y cociente .... Composición de funciones............. Función Inyectiva, Subyectiva y biyectiva ..... Función Inversa ............ Propiedades ........... ......... Problemas....................... Funciones Monótonas: creciente y decreciente.... ..... Función periódica, par e impar ..... Funciones Trigonométricas ................. Funciones Trigonométricas I n v e r s a s ....... ............ Amplitud, período,Tase, frecuencia.
131 ............132 133 138 141 142 144 146 150 157 168 176 179 181 182 188 189 191
E FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Función Exponencial... ......... La Función Logaritmo .... Inecuaciones Logarítmicas.................. Inecuaciones Hiperbólicas .....
197 198 201 203
E MISCELÁNEA Problemas relativos a composición de funciones e inversa de funciones ......... Gráfico de funciones con valor absoluto, Máximo entero y signo dé X .........
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205 225
■0
RELACIONES
-
BINARIAS
0. INTRODUCCION En motemoti eos lo relocton entre dos elementos de un solo conjunto o de dos conjuntos diferentes , es muy importonte t de I cyol se deseen los conceptos* de * relaciones binarios tf unciones
y operociones binorios.
Estos, conceptos lo i remos definiendo poulotivomente.
1. PAR ORDENADO # E FíttICION —
Dodo dos conjuntos A y i
definimos el PAR
ORDENADO DE COMPONEN TES o y b , o! conjunto. ( o , b ) « { { o } , {o,b}|
tol que a 6 A
i o} § f ( A y I ) L— 2ro 1*“ componente
. {o.b}}
EJEMPLO • Seon los conjuntos Se tiene
e
b6 i.
a a
{o,b} €
^(Au! )
(P(í?{Au8))
A ~ { o,b}
, 8 22 {ej
Au8 •* { o j b . c j Au B > = { 0 , { o} . { b J , {c} , {o.bj ,{a,c} , {to, c} , { A u § í ]
? (? (A u B | )
= { 0
, {0 },{M }
•• 4 ( c }
.lo .c }} ,
}{o } J o , c }} , {fe } ,
{Ü,cj|
H tiene 28 » 256 elementos
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{{b } , { b , c } [
Moisés Lázaro C.
E n el conjunto
P (9 (A
u
B))
» ( o, c ) 6
not amos
){o }
,
{o,c)\
[{b }
,
{b ,c | J
=* ( b , c ) 6
|{c j ,
{o ,c }}
= { c ,o ) e
8 xA
| {c }
|b|c| j
= ( c,b ) 6
B xA
%
A x B í p es
to primero componente
.
{o}
porque
{ o , el
A xB . r
,
2. IG U A LD A D DE P A R E S TEOREMA.
(o ,b )=
Demost rae ion .* Se
(c,d )
ORDENADOS
s í ,y solov si . o » c
hoce a p l i c a n d o
3. PRODUCTO
b = d.
definición 1 •
lo
DE C O N JU N TO S
DEFI NIC ION . As 9
=
^ El
^ ( o , b ) £ ( P f ¡P( A u B ) ) / o 6 A producto
ordenados
toles que
de
A por
( o, b*)
o 6 A
Por lo gene rol , ob vi om o s que
Ax
8
=
b 6
b
}
B , es el co nju nto de todos
b 6 8.
el
| (o ,b ) / o € A
» e)>
conjunto. a
b
y sóto ofirmomos
6 |J
Por lo tonto *
s :i
los pares
al co nju nto P (< P l A u B » )
pertenecientes
y
a
( o rb ) §
Ax i
£=>
fo/b) ^
Ax©
o 6 A o ^
A
a
b 6 8.
v
b ¿
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8
Relaciones Binarias
EJEMPLO 1 - Seon los conjuntos A = { o , b } , 8 = {e, d,e} Definimos .' A x B =
{ ( o , c ), ( o , d ), (o,e } , ( b , c ), ( b , d ) , ( b ,e ) }
i
[ { c,o ) , ( d , a ) , (e., o ) , ( c , b ) , ( d , b ) , (e ,b ) }
x A *
A x A * A* = | (a,o) , ( o, b) , ( b , o ) , ( b. dj j 8x8
=* 8** { ( c,c ), (c,d ) ,(c,e), (d,c), (d,d ), (d,e),(e,c) ,(e,d), (e,e ) }
EJEMPLO
2 . Seo
A=jo,b}.
Se tiene
1) fP(A.) = { 0 , l o í , { bV , A\ 2)
9 ( A) xf>( A ) = { ( 0 > ) . {0 ,{o l ) , ( 0 ,{b V ) , (0 .A ),
í lo| .0
), ( ( • ' » , . « • * >
( i b) , 0 ) , a b } , / o M , í i
) ,
. t bf ) , ( Jbf . A ) ,
( A , 0 ) , (A,|o| ) , ( A ,{b> ) , ( A , A ) } • EJEMPLO 3* Seo
A = |o,1 ,2}
tenemos (Ax A ) x A = A*x A = | ( (o,o),O ) , ( (0,01,1 ) , ( (0,01,* ) ,( (0,i) ,o) ,
( (o,*) ,i ¡ A3 =
( ( *,*i , * ) y
| ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 )• ,.......... . . , ( 2 , 2 , 2 ) }
t—tiene 18 elementos .
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-
Moisés -Lázaro C.
4. P R O P IE D A D E S p1
A
•
X
i
A x 6
pr P3 •
==
f P( í P{ A u B })
*
8x A
= 0 x*/3i'
'A x 0
A x 8 = 0
P4 ,
}
si
A ^
A = "0
V
¿
=*>
0
(Ax 8 ) u { A x C )
/
A x ( B n C ) -■
( A x8 ) n
( A x C )
.
A x (
( A x8 ) -
( A * C)
'
pe P
7
si
V -
8-
C ) ss
8
A «*
A x 8
P9 .
( A x E ) u
P
si
.
NOTA:
A
«a
( i x F
A
8
Se dem u e stra n
4 .1
8
;
Propiedades
x8
x A
)« C
«=
A x 8
( A 11 8
.
«a D
»>
a p lic a n d o l as
)
x
A
d e f i ni c i o n e s
dadas en
f » * 0 8 L É lÍ Á S
D e m o s tra r cada
uno de tas siguientes pro p o sicjones
1.
[ ( A * 8 ) -
2.
^ Á x
3.
( =jgA u g ’ B ) * € c
4.
( A x f B Si A «
^ B
( A x C ) J
C
CZ
( A x B ) - ( Ax C
y
d
(C x g O D n
5 g ( ( A n B ) xC ) € =
a
x ( 0 - B ) ] u [ Ax o j
u
)
( A u C } x £ f .( B n 0
)
0
De mo s t r ar usando p r o piedades
[
)
C < g (A x B )
) U
Distribu tiv os
=*> ' A
. 5.
8 a
A x ( BuC ) a
P3
10
8
que {
( A-G ) x
d
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] =
C x B
3.1
Relaciones Binarias ■ © —
6. Seon los conjuntos A, 8y C. Si A« C y 8«S |SC , demostró r aplicando definiciones que! [ i x ( Aü ) J n [ ( - ) x ] *■ x C
8
C
A
7. Demostrar que : «P { A x ( B n C | J »
8
A
íP ( A x i ) n f P ( A n C )
8.Demostror £ ( M -A ) x n J y [Mx (N- 8) j C [ (MxN)-{AxÉ) J 9 Demostrar : 0 ( C xD ) CT
(jgCxD) u Í C x g D )
y
C*C
x = (27,9) R:
b)
x- 3
Hr-4 , Vs-5
(3x+Sy, 2x-y) = (7-4) R *. x s - j
d) (7x+ 9 y, »2x+iOy) = («,-4 ) R:
f y- 4
U x - l y . , 5 x * 8 y ) = (-*,- 60 )
R c)
} d e m odo q u e s e c u m p l a kt tqaal
e n cqdtx c a s o :
x=- 1Z ; y =
i4
*) (tx -I8 y , 14 x - sy ) s (-85, - 5) ft- x r | , y =5 H
( x - s y ,-7 x + 8 y > s ( 8 , 2S)
" y *=2
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R; x = - 7 , y = - 3
Relaciones Binarias
&
R e l a c io n e s
G.1
DEFINICION
b in a r ia s
Dados dos conjuntos A y 8 } llam am os d e la c ió n B in a r ía de A en B a todo suboon ju n to R de A xB * e s t o e s : R
e s una relación de A en 8
s il
R c: A xB
Según kx definición 6.1 dados dos conjuntos A y B ce un " vínculo'" entre los elem entos de A y Q EJEMPLOS • En cada uno d e la s s ie te s preposición e s lo e n tre los e le m e n to s d e dos ju n to s P R O P O S IC IO N
N0T4CKW
es h ijo d e
a
b
se estable
s e e s ta b l e c e u n vm a j
RELACION A
SOBRE LOS«4A C O N JU N T O S LESSEDBstNfiA
ser hijo
& €A = conjunto de hijos
xR. y
Ser ca pita l
a ítb
ser m e n o r
x € X - conj. de ciudades y c y r conj. de países a e A =conj. 4e números
x íy
d iv id e a
aR b
ser m ú ltip lo
a R b
8 x conjunto 3e pad^s X
es
c a p ita l
de y
a
es
menor gue b
X
d iv id e a
a
es
A
e s tá in c lu id o en 8
V
m ú ltip lo d e b
b e 8 = conJ - Je mímeros « e X = oeyij. éenúm.taiwB y e y = conj. d e tom» tniwos
estar in c lu id o
A A 8
cl€
A c 2Z b e B c l
e íP(u) 8 e 5*W>
A
E JE M P LO S n u m é r i c o s :
1.
Dado los
conjuntos
?
A =t °>
■ 8 = {2,4}
se tiene :
A x 8 = j (o,z,, ,*>,(1,2), l ',4 ) j
ft4 = | u , Y ) € A * 8 / y - x i 3 }
nota
: \j
y AxB son relaciones d e A en 8
a -b
S
:
a. S b
¿o
b-n 2 K - 1
3"
*.
a T
b
a
R d A xA
Su
s i g u i e n t e s s u b co n juntos '•
es m ú ltip lo
de 3
es p rim o r e l a t i v o
con b .
NOTACION
(a,b)€ R
a ft b
Son equivalentes las notaciones :
t r,
6 .4
c o n ju n to
oe
p a rtid a
v
c o n ju n to
f
* Q. e s t á e n te fe ctóh c o n b ^ m f d ia n te .R
oe
Se lee : Cl par ordenado ( a ,b ) p e r t e n e c e a la reía cáoñ R .
l l e g a d a m u n a n M \M m
Si R es una relación de A en B. ;} es decir R c A x g ■ y ) p e rt e
to JormadLo por tas segundas componentes ( ^ y ) pertenecien
n e c ie n t e s
te s a
a
A
*
dom(Jí.) = |x 6 A / Jy 68^ (*,¥>€*}
R
rang(R) ={ ye B / 5 x e A , C*,y)€R J
x e dom (R)
3 y e B / Oc,y>€ R
y
x
*+ y € 8
y^ mngCR)^
4 dom
,
(%,?>£ J2
t
A /< x ,y)6 £
;
M
nanglRlci B
domlR)czA Sólo fines educativos - FreeLibros
Relaciones Binarias
7. T IP O S OE R E L A C IO N E S Los
siguientes
de f i n i c i o n e s
sedan
de
soto en " r e l a c i o n e s
un conjunto
sobre sí mismo. D EFIN IC IO N
R es
uno
relació n
D e c i r ". R
en
A
sii
R d
AxA
es uno r e l ac i ó n en A
es equi val e nt e a
d e c i r R es uno relocio'n de
O)
Diremos
o
(2)
que
es uno relación
R
/V\ x € A
implica
( x, x ) € R
t x C
im plica
x Rx
A
Se dice que R es u no r e t ac i o ' n (x,y )€ R
implico
REFLEXIVA
S IM E TR IC A
( y ,x ) €
R
,
A en A .
en A s í f y
solo s í
D ( A ) *= R * «-•* 81conjunto diácono 1 é§ A
si',y solo si (x,y)
6 R
que es e qu i va le n te a x R y
(3)
Se
d ic e
im p lica
que
R
y Rx
es una
f ( x , y ) € R ■a
a
[ x Ry
(4 )
D i r e mo s q u e
R
,
( x, y ) €
relación
( y , z ) €R j
y Rz
J
R
TRANSITIVA
implica
implico
es uno reioeion de
(
s í , y s o lo
x, Z ) ^
si
R
xR 2
EQ U IVA LEN CIA
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sí ,
y
solo
Moisés Lázaro C.
R es A N T I S I M E T R I C A
[ ( x, y ) C R *
si,
solo si
( y . x J C R ] . «>■
x= y , -r ( x,y )
E jem plos : 1.
Lo
relocidn
H &
en l o s numer o s
p orque.
2.
Lo rel oci dn de in c lu s ió n / '«e " trico
(7 )
A &'£.© J
porque:
Diremos
Ejem plo*
Lo
Diremos
que
solo s i
[y~ x
y
© «
a
qu e
a J
de
b .
es uno re loe ion
im p lico
A=
antis i me
8.
P A R C I A L , si es reflexivo
ORDEN
tra n s itiv o .
R
e$ uno r e l a c i ó n
# A
a
a
R tsm m
A = IR ,
V y € IrJ relacio'n
ontisim etnca , transitivo
y
** , ( { o } , í b, c } ), ( { M } .1*»!)
M R N
f ( N ) «*
f (M )
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{ o . c } ) , ( { o , c } , { bj }
Relaciones Binarias
Analizar si "fl " es uno relocio'n a)
reflexiva,
h ) arrti simétrico.
c ) tronsitivo . d ) de orden par c i a l .
©
S e a A = { p / p es una proposición \ 3 s e a d ada por : ( p , q j € J l S L f y so lam ente s i A n a liz a r s i SL e s una re la ció n .
(a) reflexiva
u n a re la c ió n en A ( p =^q) e s ve rd a d e ra .
? ib) simétrica } (c) transitiva ^ y (d) ant¿simétrica .
( f ) S e a A s j P / p e s una proposición j y se a J l ; una re la c ió n e n A d efinida por *. (P,q) * ^ St, y Analizar s i «R e s una re la c ic ít : (a) reflexiva (b) sim é tric o ^ le) ®
Sea
£
una rela ció n
en
J í. =| (a ; b )€
Z
so lam ente S¿
e s v e rd a d e ro .
t r a n s it iv a , ¿e e q u iv a le n c ia .. d e fin id a , p o r :
(a -b ) e s m últip lo de 7 }
/
¿ £s .R una relación d e e q u iv a le n c ia ?
®
Pag
P ro b a rlo .
Sea T el conjunto de trián g u lo s en e l plano IR* «íj 'sea. S una relación en T definida, del sigte modo ‘
(x ; y) € S x e s se m e ja n te a. y . •Demostrar qu e S e s u n a relación d e e q u iv a le n c ia . ©
Sea i e l conjunto de rectas en el plano íR x ÍR una rdacton en «£ d e fin id a por *.
(Lf, U ) * 5 ¿ Es S ®
Sea
íP(A)
(X ,Y)
e) conjunto
©
€5*
¿
Es
¿
E s JL
S-
sea
es paralelo a Lz
una relación d e equivalencia en f
Definimos U*
y
?
Rfobarlo .
p o te n c ia d el co njunto A .
relación & en íP(A) del siguiente modo *.
( x , y )
{ y , x ) 6
( x , y ) 6
R * 1
Jo s ^ o n j u n t o s
6 R
R
A - |o , b , c , d | , 8 » {
( a , f n ) , (g ,ft )•,( b » p ) } y
q, r }
S = { { b ,m ) #( c * n ), ( d , p ) |
de A e n 8 .
Lo reíocio'n inverso de R e s
cz
8 xA
L o re la c ió n inverso de S es $**« | ( m , * ) , ( n tc ) , ( p Id ) y € -
8 xA
R es
uno rela ción
Oom ( R )
R~* = ^ { m,o ) , ( n , d ) , ( p , d ) }
de A e n 8
= { a ,b |
Rong( R ) * { m, n , p j
Oom (R-1) » R o n g l R ) = { m, n , p } Rong (
dos
R* 1 ) = Oom ( R ) * { o,b}
S es
uno r e l a c i ó n d e A en @
06m { S )
= | b ,c , d J
R o n g í S ) ss \ m . n , ? } -
O om ( S "*)
Rong( S
)* { m ^ p j
R on g { S"f > « Oom ( S ) » f b , c , d j
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Relaciones Binarías
DOMINIO Y RAN60 DE UNA RELACION INVERSA
KM
-
Si
R es uno
deR , se
re ío c io V » d e
A en
( R"*1 ) ast
Rong { R " 1) »
10.2 PROPIEOAOES R y S
p, pí
'
P3 •
d o s re k ic io n e s
Dom
{R )
S"1
(R -S T
S"1
1 “
-
= fi "1 ¿
re lo e i¿ n
de estos
C u m p le n
propiedodes se hoce con los de finic io nes
R “ 1 { x , y ) 6 R
) / R'\
{ x , y) ^ R
OE
RELACIONES
uno
re loción de A en 8
S
uno
reloción de 8
lo re loción
“
y
en C
S o R *
(R
compuesto con S )
del sigoiente
* modo : S o
R
v_y
35 i
in v e rs o
s”
R
Definimos
lo
IN V E RS A
A e n 8 t Se
de
( R n S I*1 * R ‘ r n
10.3 COMPdSIClON Seon
( R )
s -
• ( y, x ) 6 ,x
R ong
( R U S i *’ * R 1 u
Lo demostrocion
•{ y
*
R 1 es
DE LA RELACION
( Rá S ) ■’
P4
,
‘
y
c u m p le n ‘
D om
Seon
8
(x , z )
€
A x G / 1
i
y 6
8,
( x , y ) € R
a
' ( y t z
•
R c o m p ue st o con S o
" R e loe ion
)
S
$ }
j c o m p ue s to
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de R y S
Moisés Lázaro C.
Lo
S = S 0
retocion ” R compuesto c o n
NOTA'
Lo r el ac i ón
EJEMPLO 1.
S©R
Seon los
de
8
R = { S Hollar
a)
perm ite
hocer ef siguiente
existe si', y soto si
R o ng(R )
ft O o m { S ) ^ ^ f
conju ntos
C= | b , c,g , h j S
nos
|o,b,c,d j
A-
definí mos
en
C
del
las r e l a c i o n e s
^
fJ ,
de A en 8
y
siguiente m o d o '
( b , c ) , ( c , d ) , ( d, e ) , { d , d ) , ( d , f ) )
= [ ( c , c í , ( t , c ) , ( d, b ) , í f , g j
Se
c, d , e,
, 8
R
b )
I
'
R o S
Solución a)
Hollemos
R c o mp u e s t o
E n l o n o t ac i ón
§ © R-
con S , es
decir
tener en cuento que ' el de r e l a c i ó n de PARTI DA
retmio'n Con di ogro mos
S© R .
de f lechos
SoR
dé
lo derecho
es lo
y el de lo izquierdo
llegada .
es !
A
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R
—— -♦ 8
S
— —♦ C
.
es la
Relaciones Binarias
Este
dio gromo de f le chos nos indico
.*
de A
d i r i g i m o s o 8 y de 8
gimos. Con esto nooiod es muy
sencillo
R0 S .
obtener
Veomos
R » I
( b t c ) f { c , d ) , { d,e ) , ( d # d ) f Cd , f ) i
l
( S
/
^
a | { t, e ) , ( < c
Los flechos
) , C * 0 ) , ( f¡ g ) |
nos indicon que
SoR = {
b ) Hollé m os
S 0R , is !
{ b, c ) , ( c , b ) , ( d, b ) , ( d , c ) , ( á , g ) }
Ro S
8
• Róog { S ) n
S *
{ ( c , e ) , ( e ,9 )
R =
( ( b*7c
(
R o S
— |
EJEM P LO 2
nos
Dom ( R ) — - — -*■ 8
, ( d j b ) , ( f, g ) V
\
Las flechas
•
'
T,
ht, d }
indican
, ( d, e ) , í d, d ) , ( d , f ) }
R© S
que
( c , d ) , ( e, d ) ,
( d,c ) j
Dado
los conjuntos
h allar
1
A
UoT
es
A (?© >c ; D
? VoU
,
VoU oT
y
la s
.
t
Observando e í diagrama, obtenemos directamente *
i)VJoT
= ^ a , b ) > Ib,*»), (C,S>,}
« ) V o U . = $ < «,«),.(d ,n ^ e ,p ),
tti) V o U o T
= ^ (a ,n T )
tcVP>,
j -
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relactjones
diri
Moisés lázaro C.
PROBLEMAS I. Seo. y sea una relación de A2 en A dada, por R = { feV),*) € A2 X A : 2 = x-t-y-1 a x*yf Determinar por 'extensión el domirno d e & *. ■' Z. Sea la siguiente^ relación en 2 * Jt r {(x,y) e 2 x 2 ¡ 3 K e 2 * x —*•y J
Analizar *s í
B.
5.
S
tra n sitiv a 9 y
m ediarte ■C*,Y)€ Jt ,cj . Definamos la relación íR en íPca) d€i l u i e n t e modo : X $ y ** X u 7 ■= A a 7 LO T = 0 Hallar J?. por extensión «
Sea tra r Si
una relación binaria cualquiera de A en B .
íR R ’1
6.
o-) ref lexiva - b) sim étrica ^ d) aniisim étrica .
Sea @l oonjunto . u n iv e rsa l‘U = un Subconjunto de U . Definimos en A una relación í t y
A.
5 ?. e s *.
e s la
re la ció n
de
B
que es s im é tric a A -$-z,-);o,t,2} 8 = Í - i,
o
e n A 0 in v e r s a d e S t y seto s i J?. -
R
^ dem os .
^2, 3 }
Se definen los siguientes relacióneos S de A en B y T de BenA mediante
c x ; y )€
S
C*, y ) € T
7.
(x+y) e A c, y) £ R 4=^ X-y~5K ^ a) D e m o s tra r que- R es relación b) D e s c rib ir ; por co m p re n s ió n ^
r e la c i ó n R V para algún K € Z • d e e q u iv a le n c ia . tas c la s e s d e e q u iva le n cia
Sean ios conjuntos I A = j 2 , 3 , 8 ,.9-J binaria d e A en B , d e fin id a por H a lla r la relacia’h inversa de R .
11-
12.
Sean
R y S
relactones
y B =| 4 ,7,c ] y R una relación : R = | (x,y) g A x B / * R u S es tr a n s itiv a , r : 3 i lx,v) e R a- (y ,z )£ R */y>2 G A d ife re n te s R e s tá n 13.
s it iv a . Sea A = { - 3 , - 1 ¿ Cuales
P :
,3/6 , 5 }
de las s ig u ie n te s proposiciones son -v e r d a d e r a s ?
R , r | u ; y) e A x A '/ xy fle x iv a ,} s im é t r ic a y
divisible por 2 } e s u n a tm n s itiv e x ,
;
S r j ÍX/V) e A* A / x+.y. divisible por B J equivalencia en A . . r : T = f Oqy)£ A * A / x -y divisible por B \ flexiva y transitiva en A . 14.
D e finim o s
en el
c o n ju n to
re la ció n no re
e s una relación de e s una relación re
A =| 1 , 2 , 3 j
la
s ig u ie n te re ía
cion
R =1 ( ' / ) ((3,2); C2,2),(S,S),(4>?),14vo #s r e fle x iv a
7 porque poro serlo as na cosario que estén ¿os pares .* (1,1),
r Z 2 ;,(3 ¡3 ),C ¿ ,6 ),(5 ,5 l,(6 ,6 )
©
1 a , i ) , á , 2 ) , ( i , }),(/ ,6 ), (2,1.) ,(2 ,2 ),(i, 3 )', (2,Z), (3,1) , 0,2) , (3 ,3 ), (3,2.) ,(4 ,l) ,(4 ,2 l, (4,1) j NO ES R E FLEX IV A
@
}
U
fÓ lto n ¿OS
Í4 ,4 ), (5,5) ; (G,6) f (7,7) .
| u , j 1 ,(2, J ) ,U ,21 , ( 3 , í ) , ( í , i ) , ( 4 , J 1, (4 ,2 ) , (4,6 1 ,(5 ,l1 ,(S ,5 l,(6 ,ll,(6 ,l),(6 ,3 ),fc ,6 ),(T ,l),(7 ,7 ) £5 Reflexiva
.©
y (7 , 7 ) .
j
.
I (3,J l.f i ,21,a ,6 ) , tí,71 ,(2,71,(2,3),(7,s i,(3 ,31,(3,61,(3,61,(4,61,16,51,(4,71,(5,51,(5,61,(6,61,(6,71,(7,71} ES aeFLEKtVA.
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Relaciones Binarías
En codo uno de los e/erac/ós del 2? ot 25 esto dado uncrre/aaon en ei conjunto lo i i 3 . 4,s} . ' * d Cuates ote ¿wtm relaciones son simétrica* ©
{ ( I . r t , ( í > n , { 3 ,« I(5l*> + y í =
©
j < *> *)/
23 }
*7 > O J
S o l u c ió n : @ £ S smárncA
@ no ss smérmcA
@ s s smmmtcá
£rt codo uno de tos ejereJobs det ig al 19
@ &s simétrica .
esto dado uno relación en t i conjunto
de los e n te ro s ¿ Cuates de estas relaciones son transitivas ? {(* ,y )/ y r x 2 |
®
@
¡(x ,y) / x > y j
@
\ , U , i , •),('.,!>, (1,31, (3,1), (3,M , (
