Relaciones V I Lineas de Transmision
April 28, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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RELACIONES DE VOLTAJE Y CORRIENTE EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN Rep Repres Líneas Los resent paentaci rámación etón rosdedeLín ueas na L.T. Son distribuidos pero inicialmente los consideraremos concentrados. Para una L.T. Corta, la capacitancia en derivación es muy pequeña que se puede no consid ide erar en el análisis isis y, por tanto, sólo aparece la resi sisstencia R y la Inductancia L. Par ara a una una L. L.T T. De long longititu ud med media, ia, se pued puede e re repr pre esent sentar ar como como::
Línea Corta (60 Hz) 80 km y menores Línea Media (60 Hz) 80 -240 km Línea Larga 240 km y mayor (constantes distri rib buidas). En alg lgu unos casos se puede usar pará pa ráme metr tros os conc concen entr trad ados os hast hasta a 320 320 km.
Para los análisis se usará la siguiente nomenclatura: z = y =
Impedancia serie por unidad de longitud Admitancia paralelo (o en derivación por unidad unidad de longitud por fase al ne neutro). utro).
l=
Longitud de la línea
Z = zl =
Impedancia serie total por fase.
Y = yl =
Admitancia en paralelo (o derivación total por por fase al neutro). La Línea de Transmisión Corta
I S I R V S V R I R Z % de regulación
V R , NL
V R , FL
x 100
V R , FL Dónde:
V R N NL L
Voltaje Vo ltaje extremo receptor sin s in carga
V R , FL
Voltaje extremo receptor plena carga.
,
La Línea de Longitud Media
Y V S
V 2 R
Y I R Z V R ZV R
ZY
I R Z V R V R ZI R 2 1 2
En el extremo generador
I s
V s
Y
Y
2
2
V R
(6.5)
I R
Sustituyendo V s
Y ZY Y ZY Y ZY Y V R 1 ZI R V R I R V R V R I R I R V R 2 4 2 2 2 2 2 2
I s
ZY ZY R I S V RY 4 1 I 2 1 (6.7)
Las ecuaciones 6.5 y 6.7 se pueden escribir como:
Donde:
V s
AV R
B BI I R
I s
CV R
D DI I R
A D B
ZY
Z
C Y 1
(6.8) (6.9)
1
2
(6.10)
ZY
4
A,B,C y D se llaman constantes generalizadas del del circuito de la L.T L.T.. A y D son adimensionales B está en ohms C está en Mhos o siemens
Significado físico de las constantes generalizadas
V s
En la ecuación: Si: I R
Cuando:
0
AV R
V s
BI R
AV R ;
A
V s V R
; sin sin
0
c arg a I R
V R 0, corto circuito V s Ax0 B BI I R
B
V s I R
% de regulación
corto cir circcuito
V R , NL
V R , FL
V R , FL
x 100
Ver ta tabl bla a A.6 A.6 para para dete determ rmin inar ar las las cons consta tant ntes es gene genera raliliza zada dass para para dife difere rent ntes es re rede dess
La Línea de Transmisión Larga
Consideraciones: ℓ
Se muestra una fase y neutro de una línea 3Ø
ℓ
La impedancia y la admitancia uniformemente distribuidas
ℓ
zdx y ydx
impedancia serie y admitancia en paralelo de la sección elemental.
fasores que varían con x.
ℓ
V e I
ℓ
La corriente promedio de la línea es:
I pro promedio medio
I I dI 2
I dI zdx Izd Izdxx
dV
De la figura:
2
dI V dV ydx Vydx 2
dV dx dI Derivando con respecto a x se tiene: dx d 2V dx 2 d 2 I 2
Iz
Vy
z dI dx y dV dx
dx
Sustituyendo 6.14 y 6.15 en 6.16 y 6.17 se obtiene: d 2V dx 2
yzV
2
d I dx 2
yzI
De experiencia con este tipo de ecuaciones, se puede suponer una solución de forma expo ex pone nenc ncia ial,l, por por ejem ejempl plo o para para la ecua ecuaci ción ón 6.18 6.18 yz x
V A1
A2
yz x
(6.20)
Para Pa ra esta esta ecua ecuaci ción ón calc calcul ulam amos os la prim primer era a y segu segund nda a deri deriva vada da,, ento entonc nces es::
dV dx
d 2V dx
zy A1
2
zy zy A1
d 2V dx O sea:
2
zy x
zy A2 zy x
zy x
yz A1
d 2V 2
dx
zyV
zy x
A2
zy zy A2
zy x
zy x
(6.21)
Sustituyendo ahora 6.20 en la ecuación 6.14:
Iz
dV d 1 dx dx A
z y
I
I
z y x
z 1 z y
A
1
A1
z y x
z y x
A2 1 z y
z y x
A2
A2
z y x
z y x
z y
z
z y
2
z y x
A1
A
1
z y x
A2
z y x
(6.22)
Condiciones en el extremo receptor:
x 0, V V R , I I R V R A1 A2 De la ecuación 6.20
I R
z y
A
1
A2
A2
Estableciendo algunas condiciones particulares, como lo son:
1
z y x
Si definimos a :
Z c
z
;
1
I R
y
A1 A2
Z c
Calculamos ahora las constantes constantes A1 y A2 con las ecuaciones a y b 1
A1 I R
V R A2 I R
1
Z c
V
R
2 A2
Z c
A1
R
I Z R
c
V R
V R
2 A2
A2 A2
V
V R I R Z c A2
V R
V R
I R Z c
2
2 A2
I R Z c
2
A
1
V R
I R Z c
2
Sustituyendo A1 y A2 en 6.20 y 6.22
V V I
I Z 2 1 V R I R Z c R
R
C
2
Z c
V R / Z C I R I 2
x
V
R
yz x
x
(6.23)
I R Z C x 2 1 V R I R Z c
Z c
2
V R / Z C I R 2
x
Definiendo:
Z c
Constante de propagación
zy z
y
Impedancia Característica
yz x
(6.24)
6.5.-La Línea de Transmisión Larga: Interpretación de las Ecuaciones Si se define: =
(6.25)
+ j
Donde: = Constante de atenuación en neper por unidad de longitud = Constante de fase en radianes por unidad de lo lon ngitu itud
V I
V R I R Z C
2 V R / Z C I R 2
x
x
j x
j x
V R I R Z C
2 V R / Z C I R 2
x
j x
x
(6.26) j x
(6.27)
6.6.-La Línea de Transmisión Larga: Forma Hiperbólica senh
Sea:
cosh
2
(6.31)
(6.32)
2
Rearreglando las ecuaciones 6.23 y 6.24: V
V
I
Z C
2
I I
R
x
2 V R
2
V R
V V R
V R
I R
cosh
2
x
x
I R Z c
2
x
V R
2
I R Z c
2
x
x
I R Z c
x
cosh x I R Z C senh x V R
x
x
x
V R Z C
Z C
2
x
I R
2
V R
x
Z C
senh se nh x
(6.34)
2
2
x
(6.33)
x
x
I R
2
x
x
Para Pa ra obte obtene nerr el volt volta aje y corr corrie ient nte e en el extr extre emo del del gene enera rado dor r x = l y ento entonc nces es:: V
V
S
I S
R
I R
l I Z senh l R C cosh V R
cosh l Z
C
(6.35)
senh l
(6.36)
Lass cons La consta tant ntes es gene genera raliliza zada dass para para una una líne línea a larg larga a son: son: A
cosh l
C
senh l Z
(6.37) B
Z C sen senh h l
D
cosh l
También: V R I R
V S
cosh l I s Z c senh l
I S
l
cosh
V s Z c
senh
(6.38)
l
(6.39)
El Circuito Equivalente de una Línea de Transmisión Encont Enc ontramo ramoss que: que: V S
V R
cosh l I R Z C senh l
I S
I R
cosh l Z
V R C
senh l
(6.35) (6.36)
Para obtener el circuito equivalente, supóngase el circuito equivalente de una línea media ia,, el cual es:
V S
ZY 1 V ZI R R 2
Para Pa ra el equi equiva vale lent nte e de la líne línea a larg larga a cons consid ider eram amos os::
Z ' en lugar de Z Y ' Y ' en lugar de 2 2 Sustituyendo:
V s
Z ' Y ' 1V R Z ' I R 2
(6.44)
Par ara a hace hacerr el equi equiva vale lent nte e, los los coe coefifici cien ente tess de VR e IR de 6.44 se hacen igual a los de la ecua ec uació ción n 6.35 6.35;; así: así:
Z ' Z c senh l
(6.45)
Z '
z z z l senh l senh l y y z l
Z ' Z
senh l l
z 2 l senh l senh l zl yz l zyl
(6.46)
En forma rma simil imila ar se hace para:
Y ' Y ' 2
2 Y tanh l / 2 2 l / 2
(6.52)
RESUMEN 1. LINEA L INEA CORTA I S
I R
V s
V R I R Z
I S
V s
AV R BI R
CV R
DI R
C 0
D 1
A 1
B Z
2. LÍNEA MEDIA V s
I s
V s I s
R
R
ZY V Y R 4
A
AV BI CV DI R
ZY 1V ZI 2
R
ZY 2
R
ZY 1 2
I 1
R
1 B Z
R
V s
' ' 1 V Z ' I Z 2 R
R
D ZY 1 C Y 1 ZY 2 4
RESUMEN
3. LINEA LARGA
V s
Z ' Y ' 1V R Z ' I R 2
V R cosh l I R Z C senh l V I S I R cosh l Z senh l V S
A
B Z c senh l
C
R
C
Cosh l
D
Senh l Z c Cosh l
V s
' ' 1 V Z ' I Z 2 R
R
Flujo de Potencia a través de una Línea de Transmisión Habíamos encontrado que:
S
R
V AV BI BI R I S CV R D DI I R
(6.8) (6.9)
Despejando IR de la ecuación anterior: V S AV R
I R
A A
Se considera que:
(6.54)
B
; B B
V R V R 0º
Y se obtiene:
; V S V R
V I R
S
B
V A R B
(6 .55)
(6 .56)
Entonces la potencia compleja VRIR* en el extremo receptor es: P R
jQ R
V S V R B
2
V R A
B
P R
Q R
V S V R B V S V R B
2
cos
V R A B
cos (6.57)
2
sen
V R A B
sen (6 .58)
Desplazando el eje horizontal y vertical tenemos
De esta esta fig figur ura: a:
P R Q R
Donde
V R I R cos R
(6.59)
V R I R sen R
(6.60)
ángulo de fase entre V R e
R=
I R
De la figura 6.11 se puede ver que hay un límite para la potencia a transmitir. Un incremento en la potencia entregada si sig gnifi ifica que el punto k se moverá a los largo del cí círc rcul ulo o hast hasta a que que - sea cero, o sea = . La potencia máxima es: P R , máx
V S V R
B
V R
B
Generalmente, la operación se limita a tener 35º y V s V R
0.95
2
A
cos (6 .61)
Compensación Reactiva de las Líneas de Transmisión El comportamiento de la lass lín íne eas de tra transm smiisi sió ón, en especial de longitud me med dia y la larrga ga,, se pu pued ede en me mejjor ora ar por la co comp mpen ensa saci ción ón re rea activ ctiva a de dell titip po se seri rie e o par aral alel elo o. Compensación
Serie, se hace por medio de bancos de capacitores colocados Serie,
en serie con cada conductor de fase. se. Compensación
Paralelo, se hace por medio de inductores de cada línea al
neutr eutro o so sobr bre e to tod do para líne líneas as la larg rgas as..
La compensación serie reduce ylaes impedancia Serie de la línea, es causa principal de la caída de voltaje el factor más importante en la la cual determinación de la potencia máxima que puede transmitir la línea. La máxima potencia potencia transmitida de depende pende de la constante generaliza generalizada da B (su recíproco)
Transitorios en Líneas de Transmisión: Ondas Viajeras Línea sin pérdidas i R x
L x
i t
= caída de voltaje serie en el elemento difere diferenci ncial al de lín línea ea
Rii L i v x R x x t
i v x Gv C x x t
(6.63) (6.64)
Si divi dividi dimo moss entr entre e x y como se trata de una línea sin pérdidas R = 0 y G = 0 entonces
i v L t x i v x C t
(6.65)
(6.66)
Deri De riva van ndo 6.6 .65 5 con con re resp spec ecto to a x : 2
2
x
2
L
2
2
i
i
xt
xt
L
x
2
Deri De riva van ndo 6.6 .66 6 con con re resp spec ecto to a t: 2
i xt
C
2
2
t
2
2
t
1
1
2
2
2 C 2
L x
t
2
2 LC x
(6.67)
La ec. 6.67 se conoce com como ecuaci ció ón de onda via iaje jera ra de una L.T., sin pérd rdiidas. Una solució ión n de la ecua cuació ión n 6.67 es una función ión de: ( x – vt)
v f x vt (6 .68)
Para verificar que esta es una solución, hacemos;
u x v t
u x, t
(6.69)
f u (6 .70)
Primera derivada: v t
f (u ) u
v
f (u ) u
Segunda derivada:
v t
f (u ) u u
t
v
f (u ) u
(6.71)
Si Simil milar arme ment nte, e, deri deriva vado do para para x ; pri primer mera a deriva derivada: da: v
f (u ) v
t
Segund Seg unda a deriva derivada: da:
2
u
v
x
2
v
f (u )
t 2
u
f (u)
u
(6.73)
2
Sust Su stitituy uyen endo do en la ecua ecuaci ción ón 6.67 6.67::
2
v 2
t
1
2
f (u )
LC
u
1
2
v
2
2
f (u )
u
2
(6.74)
O sea que: v2
LC
1
v
LC
Por lo que la solución 6.68 es solución de 6.67 si:
v
1 LC
(6.75)
Así entonces, el voltaje de la ecuación:
v f x vt (6 .68)
Es una onda viajera, que se puede visualizar de la siguiente manera:
Para un observador que está montado en un punto de la onda, para él: x v t
x
dx dt
constante
v t
v
1
LC
m / s
(6.76)
La onda de voltaje via iaje je en la direcci ció ón de x a una una velo veloci cida dad d v : En la ecuac cuació ión n •L en Henrys por metro •C en Farad por metro
Vim imos os que que v = x - vt es so solu luci ción ón de 6. 6.6 67. Pode Po demo moss cons consid ider erar ar que que v = x - vt también es una solución de 6.67, lo cual demuestra como co mo en el caso caso ant anter erio iorr (n (no o se hace ace por si simp mplilici cida dad d de pre rese sent ntac ació ión) n).. Con Co n esto estoss re resu sultltad ados os pode podemo moss ento entonc nces es esta establ blec ecer er una una solu soluci ción ón más más gene genera rall que que sea: sea:
f 1 x vt f 2 x vt (6 .77) Como solución que toma la ocurrencia simultánea en una dirección y otra sobre la línea de tr tran ansm smisi isión ón.. Por Por conv conven enció ción n te tene nemo mos: s:
f 1 ( x v t )
(6.78)
Onda Ond a incide incidente nte
f 2 ( x v t )
(6.80)
Onda Ond a refleja reflejada da
Se pued pueden en tambi ambié én exp expre resa sarr las las corr corrie ient nte es que que se der eriv iva an de esto estoss volt volta ajes, jes, como como:: i 1 f 1 x v t L
C
1
i
(6.79)
L
f 2 x v t (6.81) C
Vemos emos ento entonc nces es que: que:
i
L
(6.82)
C
i
L C
(6.83)
Cuando R y G = 0
L Z c
C
Impedancia característica
6.1 6.11.-Análisis 1.-Análisis Transitorio : Reflexiones ¿Qué ocurre cuando una ONDA VIAJERA llega al extremo receptor, donde se tiene una resiste res istenci ncia a pura pura Z R :
R
i R
R
R
i R R
Z R
Con las ecuaciones 6.82 y 6.83
i
R
R
Z
(6.85)
C
i
R
R
Z
C
(6.86)
(6.84)
JMH – SEP -6
CAPÍTULO 6
R
Z R
i R
v R
Z C
R
Z R
Z C
R
Z R
R R
Z C 1
; Z R R Z R Z R R R R R R Z C Z C Z C Z C
R R
Z R Z C
1
Z R Z C
R
Z C
R
R
Z R
Z c
Z c Z R
Z c
Z c
;
;
Z R
Z R
R R 1 Z Z C 1 C
R Z R
Z R
Z C Z C
R
(6.87)
JMH – SEP -6
CAPÍTULO 6
Coef Co efici icien ente te de REFL REFLEX EXIÓ IÓN N para para volt voltaj ajes: es: v R
Z
;
R
v R
Similarmente;
i R
Z R
C
Z C
(6.88)
R
R
R
R
Z c
i R
Z
Z c
Como:
R
R
i R
R
R
i R
R
Z R
Z C
Z R
Z C
R
E l coeficiente de reflexión para corrientes es negativo con respecto al coeficiente de voltajes.
JMH – SEP -6
CAPÍTULO 6
TERMINACIONES 1. Línea Línea termin terminada ada en su impeda impedancia ncia caract caracterí erístic stica a Zc = ZR R
Z C
Z C
Z C
Z C
0
No hay reflexiones
2. Si la líne línea a te termi rmina na en Cort Corto o circu circuito ito ZR = 0
R
0 Z
C
1
0 Z
C
3. Líne Línea a te termi rmina nada da en Cort Corto o circu circuitito o ZR = Z R
Z C
1
Z R
R
Z R
Z C
Si ZR
1
Z R
Z R
Z C Z C
R
Z R
Cuando la onda regresa al extremo generador Z = Z S y entonces S
Z S Z C Z S Z C
(6.90)
1 0 1 0
1
JMH – SEP -6
CAPÍTULO 6
v
1
Velocid Velocidad ad de propa propagación gación de las ondas de corrie corriente nte y voltaje a los largo de la línea .
LC
Como se ve esta velocidad de propagación depende de la geometría de la línea y de las propiedades electromagnéticas del medio que rodea a la línea. Como habíamos encontrado: L
o
ln
d r
H
1
;
m
d o
ln
r
1
x
o d ln
o o
r
C
o ln
d
F m
r
Dado que o
O
4 x10
7
1 2
OC
7
12.566370614 x10 NA
8.854187187 x10
12
Fm
1
1
;v
1
1
x o
1
1
o c 2
c2
C
299792458mS
1
JMH – SEP -6
CAPÍTULO 6
Entonces la velocidad de pro rop pagación en el espa spacio lib ibre re o aire ire es la velocid ida ad de la lu luz. z. En alg lgu unos casos prácticos cos donde el medio ambie ien nte no es el espacio lib ibre re,, la velocidad de o p droonpdaegkacpió un edeessdeirfedreen3tea. 5 Pooarúenjemmapyloor,eesn. un cable la permitividad del dieléctrico es k
Así:
v
1
o xk
1
o c
C k
2
Si Simi mila larm rmen ente te,, dond donde e los los cond conduc ucto tore ress está están n embe embebi bido doss en acer acero o como como son son los los cond conduc ucto tore ress de las las máqu máquin inas as ro rota tato tori rias as,, la perm permea eabi bililida dad d es mayor que o. En estos casos se puede tener un cambio en la velocidad de propagación en la proporción de (0/ )1/2 cu cuan ando do el flujo lujo pen ene etra tra en el ac acer ero. o. En unidades prácticas, la velocidad de la onda viajera en una línea aislada en aire es aproximadamente de 1,000 pies/S
→
5.37 S para viajar una milla
3.34 S para viajar un km.
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