Relaciones Binarias

Par ordenado: Llamaremos par ordenado a un ente matemático que consiste de un par de de elementos que están están ordenados. ordenados.

a es la primera componente y b es la segunda componente . Observación:

,

,

( a , b ) = ( c, d ) ⇒ a = c ∧ b = d  

Producto Cartesiano Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío.

×

B = {( a, b) / a ∈ A

∧

b∈ B

Ejemplos: Sean A ={1,2,3} y B={3,4}, hallar a) A×B b) B×A c) A×A

Solución

 A × B = {(1, 3) , (1, 4 ) , ( 2, 3) , ( 2, 4 ) , ( 3, 3) , ( 3, 4)

Propiedades 1. En general A×B ≠ B×A. 2.

× ( B ∪ C) = (

A× B ) ∪ ( A × C )  

× ( B ∩ C) = (

A× B ) ∩ ( A × C )  

3. Si

⊂

B y D ⊂ E ⇒ A× D ⊂ B × E   ⊂

4.

Nota:

×( B−

Si



×



×  A ⊂

B ⊂ B× B A× B

C ) = ( A× B) − ( A× C)   =

ℝ entonces

n A n =  A× A × ... ×A= ℝ = ℝ × × ... × ℝ ℝ  n veces

n veces

R es una relación(binaria) de A en B ⇔

R ⊂ A× B;

A ≠ φ , B ≠ φ 

Dados los conjuntos:

A= { x∈ ℕ / . x2 − 4 = 0

B= { x∈ ℝ / .

Hallar todas las relaciones de A en B

x− 4 = 3

Solución:

Para A:  

x2 − 4 = 0 ⇔ x= 2 ∨ x= −2

 x ∈ ℕ ⇒ pero A ={ Para B :

}

− x 4 = 3⇔{ − x4=3 ∨ ⇔

 x = 7 ∨ x = 1

como  x ∈ ℝ ⇒ B = {1,7}

Luego  A × B = {( 2,1) , ( 2,7 )

2 − x 4 = −3

Ahora como la relación R es un subconjunto cualquiera de A×B, tendremos que todas las relaciones R de A en B son:

 R1

=

{( 2,1)

 R2

=

{( 2,7 )}

 R3

=

{( 2,1) , ( 2,7 )}

 R4 = φ 

Observaciones: 1. A×B tiene

2

# ( A× B )

elementos.

2. Si un elemento (x,y) pertenece a una relación R, entonces lo simbolizaremos

( x, y) ∈ R

⇔

xR y ⇔ y = R ( x)  

3. Si el conjunto de partida A fuese igual al conjunto de llegada B, entonces decimos que R es una relación de A en A o simplemente R es una relación en A.

Dominio y Rango de una Relación Dominio de R: Llamaremos dominio de una relación R al conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de R.

Dom ( R ) = { x /

( x, y) ∈ R}  

ango e : Llamaremos rango de una relación R al conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de R.

Rang ( R ) = { y /

( x, y) ∈ R  

Relación inversa Toda relación R de A en B tiene una relación inversa (recíproca) de B a A, que se define por −1

=

{( b, a ) / ( a, b ) ∈ R} −1

Es decir, la relación inversa consta de los pares ordenados que al ser invertidos, es decir, permutados, pertenecen a R.

Ejemplo:

Sean A={1,2,3} y B= {a, b} entonces

=

{(1, a ) , (1, b ) , (3, a )

La relación inversa es

R−1

=

{( a,1) , ( b,1) , ( a,3)}

Propiedades Dadas las relaciones

1).

(

1∪

R2 )

2).

(

1∩

R2 )

3).

( R1 − R2 )

−1

−1

−1

1

y

=

R1−1 ∪ R2−1

=

R1−1 ∩ R2−1

=

R1−1 − R2−1

2

de A en B, decimos que:

Relación reflexiva Sea R una relación binaria R en A, (A ≠ ∅).

Definición: Diremos que R  es reflexiva si ∀a∈A, a R a ⇔ (a,a)∈R

Ejemplo: 1) En

ℕ

la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”

es reflexiva ya que ∀x∈

ℕ,

x R x

porque x divide a x.

2) En ℕ la relación R definida por: “a R b

⇔

a es el doble de b”.

no es reflexiva ya que (1, 1) ∉R puesto que 1 no es el doble de 1

Relación reflexiva

Representación Cartesiana

Si la relación R  es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.

A

A Representación Sagital:

A

Si la relación R  es reflexiva entonces todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).

Relación simétrica Definición: Diremos que R es simétrica si ∀ a, b ∈A: a R b

⇒

b R a

Ejemplo: 1) En

la relación R definida por: “a R b

es simétrica ya que si a R b

2) En

ℕ

⇔

a – b es múltiplo de 2”.

⇒

hay p∈ ℤ tal que a – b = 2p

⇒

b – a = 2(-p) con -p ∈

ℤ

⇒

b R a

la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”

no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R.

relación simétrica

Representación Cartesiana Si la relación R  es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal prncpa.

A

A

Representación Sagital:

A

Si la relación R  es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos direcciones

Relación anti simétrica Definición: Diremos que R es antisimétrica si ∀ a, b ∈A: [a R b ∧ b R a] ⇒ a = b Otra manera de expresarlo: Si a≠b ⇒ [ (a,b) ∉ R ∨ (b,a) ∉ R ]

Ejemplo: 1) En

ℕ

la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica

Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈ b = an y a = bm. Combinándolas, n=m=1

⇒

ℕ

a = bm = (a.n).m

tales que: ⇒

n.m = 1

⇒

a = b.

2) En ℤ la relación R definida por: “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. no es antisimétrica ya que 2R 4 y 4R 2, pero 2≠4

Relación antisimétrica

Representación Cartesiana

A Si la relación R  es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal pr nc pa excep o a agona m sma.

Representación Sagital:

A

La relación R  es antisimétrica si para cada par de elementos distintos relacionados la flecha está solo en un sentido

Relación Tansitiva Definición: Diremos que R es transitiva si ∀ a, b, c ∈A: [a R b ∧ b R c] ⇒ a R c

Ejemplo: “

”

es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈ ℕ tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈ ℕ ⇒

b R c.

2) En

ℕ

la relación R definida por: “a R b

⇔

a es el doble de b”.

no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R  puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)∉ R 

Relación Transitiva

Representación Sagital: La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.

A

Cuadro Resumen

Completa la siguiente tabla: Propiedad R

Se satisface sii

Reflexiva

∀a∈A a R a

Simétrica

∀ a, b ∈A:

a R b ⇒ b R a Antisimétrica

∀ a, b ∈A:

[a R b ∧ b R a] ⇒ a = b Transitiva

∀ a, b, c ∈A:

[a R b ∧ b R c] ⇒ a R c

No se satisface sii

Cuadro Resumen

Verifique: Propiedad R Reflexiva

m tr ca

Antisimétrica

Transitiva

Se satisface sii

No se satisface sii

∀a∈A a R a

∃ a∈A (a,a)∉R 

∀ a, b ∈A:

∃ a, b ∈A:

a R b ⇒ b R a

(a, b) ∈ R  ∧ (b, a) ∉ R 

∀ a, b ∈A:

∃ a, b ∈A:

[a R b ∧ b R a] ⇒ a = b

(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ∧ a ≠ b

∀ a, b, c ∈A:

∃ a, b, c ∈A:

[a R b ∧ b R c] ⇒ a R c

(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∉ R 

Ejercicios

Ejercicio 1: Sea A = {1, 2, 3, 4}. i) Represente gráficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y sagital. e erm ne as prop e a es que sa s acen as s gu en es re ac ones en verifíquelas (demuéstrelas) a)

R = { (1,1) , (2,2) , (3,3)}.

b) c) d) e)

R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (1,2) , (1,4) , (2,1), (3,2) , (4,3) }. R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4)}. R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (3,2) , (2,3) }. R = { (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,3), (4,3) }.

y

Ejercicios

Ejercicio 2: Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientes propiedades: i) Reflexiva, simétrica y no transitiva e ex va, no s m r ca y rans va iii) No reflexiva, simétrica y transitiva

Ejercicios

Ejercicio 3: Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:

(a) 1 3

2

4

(b)

A

1 3

2

A

4

a) Exprese las relaciones anteriores por extensión b) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y pruébelas!

Ejercicios

Ejercicio 4: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:

(c)

(d)

2

1

5

1

2

A

A

3 4

3

5 4

i) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y pruébelas!

Ejercicios

Ejercicio 5: Definimos en ℜ, el conjunto de los números reales, la relación R :

x R y

⇔

x – y ∈ Ζ  Ζ 

Determina las propiedades que cumple R y demuestra, usando la e n c n, que e ec vamen e as ver ca

Tipos de relaciones

Relación de equivalencia Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalencia si satisface las tres propiedades: 

R es reflexiva



R es simétrica



R es transitiva

Ejemplos: 1)

En Z la relación R definida por: a R b

2)

Dado un conjunto D⊆ U , la relación: A R B

⇔

⇔

a – b es múltiplo de 3.

A ∩ D = B ∩D

Demuestra que estas son relaciones de equivalencia

Tipos de relaciones Sea

R ⊂

2

Relación de orden R es una relación de orden en A, si y sólo si 

R es reflexiva

a ∈ A ⇒ ( a , a ) ∈ R 



R es antisimétrica

{( a, b ) ∈ R



R es transitiva

∧

,

( b, a ) ∈ R} ⇒ a = b ,

,

Relación de orden parcial Sea R una relación de orden en A 

R es de orden parcial si y sólo si (existen pares de elementos incomparables)

∃a , ∃ b / ( a , b ) ∉ R ∧ ( b , a ) ∉ R

Relación de orden total Sea R una relación de orden en A 

R es de orden total si

a ≠ b ⇒ {( a , b ) ∈ R ∨

( b, a ) ∈ R}

Ejemplo: En

ℕ

definimos la relación de divisor, es decir

n a

⇔ ∃k ∈ ℕ /

a = nk  

Esta relación es de orden y parcial . En efecto: i) Reflexiva: n s m r ca:

a ∈ ℕ : a = a.1 ⇒ a a

ean a

∧

a

⇒ ∃n k1 y k2 ∈ ℕ / b = ak1

∧

a = bk2  

⇒ ab = ( ak1 ) . ( bk2 ) ⇒ 1 = k1k2 ⇒ k1 = 1 = k2   luego a = b

iii) Transitiva: Sean

{a b

∧

b c

⇒ {b = ak1

∧

c = bk 2 , k1 , k 2  ∈ ℕ}

entonces b.c = ak1.bk2 ⇒ c = a ( k1.k2 )

⇒ c = ak   k = k1.k 2 ∈ ℕ

⇒a c También es una relación de orden parcial, pues

∃

2 y ∃ 3: