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RELACIONES BINARIAS: UN ENFOQUE ALTERNATIVO 1 Luisa L. Lazzari – Patricia I. Mouliá ( CIMBAGE – Facultad de Ciencias Económicas - Universidad Universidad de Buenos Buenos Aires) 1. INTRODUCCIÓN Las relaciones entre elementos de dos conjuntos forman parte de la vida social, económica y de la actividad de las empresas. Un objetivo importante es comprender la naturaleza y contenido de esas relaciones. Los estudios clásicos basados en la lógica booleana solo consideran las alternativas de existencia o no de relación. La necesidad de establecer un grado o nivel de vínculo conduce al empleo de conjuntos conjuntos borrosos para su generalizació generalización n. Se descubren entonces, entonces, propiedades propiedades muy interesantes. Por ejemplo la noción de equivalencia se reemplaza por la de similitud, menos fuerte y más apta para representar situaciones menos precisas pero que se encuentran más frecuentemente. Preo Preord rden en y orde orden n se gener general aliz izan an de igua iguall forma forma y se defin definen en nueva nuevass relac relacio ione ness como como las las de semejanza y desemejanza. Gil Aluja (1999) define relación relación como  todo tipo de asociación capaz de poner en evidencia el nivel de conexi conexión ón existe existente nte entre entre objeto objetos s físicos físicos o mentale mentales s perten pertenecie eciente ntes s a un mismo mismo conjunto conjunto o entre entre objetos de distintos conjuntos .

 Avanzar en el estudio de las relaciones   fuzzy  ayuda   ayuda a buscar nuevos caminos para dar solución a complejas cuestiones de decisión en el ámbito de las realidades sociales, económicas y de gestión (Gil Aluja, 1999). Permite plantear y resolver problemas de decisión referidos a relaciones de distinto tipo tipo , a la asignac asignación ión,, agrupac agrupación ión y ordenac ordenación ión de recursos recursos,, invers inversion iones, es, fuentes fuentes de financi financiaci ación, ón, recursos humanos y otros. En este trabajo se presentan y se comparan los conceptos de relación binaria   crisp y   fuzzy  y   y sus diferentes formas de representación. Se generalizan algunas propiedades de las relaciones cuando los conjuntos son iguales, que hacen posible una clasificación de las mismas. Por último se analizan las relaciones de equivalencia y orden y sus extensiones  fuzzy .

2. RELACIONES BINARIAS   CRISP Y FUZZY : CONCEPTOS BÁSICOS Una relación binaria   crisp   (nítida) representa la presencia o ausencia de asociación, interacción o interconexión, vinculación, incidencia etc. entre los elementos de dos conjuntos. Este concepto puede ser generalizado haciendo posible diversos grados o intensidad de asociación o interacción entre element elementos. os. En una relación relación   fuzzy   los grados grados de asociac asociación ión pueden pueden ser represe representa ntados dos mediant mediante e grados de pertenencia. Una relación nítida puede considerarse considerarse un caso particular particular de una borrosa, así como un conjunto nítido nítido lo es de uno borroso. borroso. Dado Dadoss dos dos conj conjun unto toss e Y  ,  , se denomina  relación binaria subconjunto del producto cartesiano  X  Y  .

, de

en Y   (Rojo, 1972), a todo

Una relación  crisp  puede ser definida por medio de una función característica que asigna valor uno a todo par ordenado que pertenece pertenece a la relación relación y cero a todo par que no pertenece a la misma. Se denota  R :  X   Y   0,1 /



   x , y

1 0

 

si si

 x , y  R  x , y   R

Para indicar que el par ordenado a, b  pertenece pertenece a la la relación relación suele suele escribirse escribirse a, b   R o bien aRb (Rojo, 1972). Las relaciones binarias pueden representarse mediante un diagrama (Figura 1) o una matriz  R   r ij  (Figura 2), donde r ij  1 indi indica ca que que está está relac relacio iona nado do con con , mient mientras ras que r ij  0 que no lo está.

1

Este trabajo fue realizado en el marco del Proyecto E019: “Predicción y toma de decisiones en condiciones de incertidumbre” de la Programación Científica Científica 2004-20 07 de la Universidad Universidad de Buenos Aires.

  X   Y  /  R   x1 , y1  ,  x1 , y3  ,  x2 , y1 

Ejemplo 1.

  y 1  x1 

  y2  x 2 

  y3 Figura 1. Diagrama de una relación binaria  crisp

 R

1  1

1

0

0 

0

Figura 2. Representación matricial de una relación binaria  crisp La relación inversa de

 R 1

es el subconjunto de Y  

  y, x / x, y  R o bien

siguiente (Rojo, 1972):

  1  R

 y , x     R  x , y   x , y   X   Y 

 Al generalizar: Dados dos conjuntos X  e Y  , se denomina relación binaria borrosa , de en Y    (Kaufmann, 1973), a todo subconjunto borroso del producto cartesiano  Y  . Se denota  R :  X   Y   0 ,1 . Por ser una generalización de las relaciones binarias nítidas, las relaciones binarias borrosas también pueden representarse mediante un diagrama (Figura 3) o una matriz de pertenencia  R   r ij  (Figura 4), donde r ij   R~  x, y es el grado con el cual

está relacionado con

. Este valor puede indicar 

incidencia, preferencia, u otro tipo de vinculación entre los elementos de los conjuntos nítidos X  e Y  . Todas las operaciones definidas con subconjuntos borrosos (como por ejemplo la unión, la intersección y el complemento) pueden extenderse a las relaciones borrosas (Kaufmann y Gil Aluja, 1993). Se pueden definir los  -cortes de una relación borrosa como:  R    x, y /  R~  x, y  ,   0 , 1 . ~

Ejemplo 2.  R  (Figura 4).

 Y  expresada mediante el diagrama de la Figura 3 y por su matriz de pertenencia

0.5  x 1 

0.9 1

 x 2 

  y 2

0.7 0.2

  y3

Figura 3. Diagrama de una relación binaria borrosa

~  R

0.5  0.9

1 0 .7



0 0 .2

Figura 4. Matriz de pertenencia de

2.1. Composición max-min ~ ~ ~ Sean  R1   X   Y  y  R2  Y   Z  . Se define la  composición de  R1 y  R2 , representada por   R1   R 2 , como la relación borrosa cuya función de pertenencia está dada por: donde  x  X ,  y  Y ,  z  Z .  ~ ~  x , z   max min   ~  x , y ,   ~  y , z   R  R  R  R 1

2

1

 y

2

La composición max-min es asociativa y no conmutativa.

3. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO  R  es una  relación definida en un conjunto X  , si y solo si  R   X 2 .

3.1. Posibles propiedades de las relaciones definidas en un conjunto Las relaciones binarias definidas en un conjunto pueden cumplir diferentes propiedades que permiten una clasificación de las mismas. En primer lugar se consideran las correspondientes a una   relación crisp .  R es  reflexiva  si y solo si  x   X  :  x, x  R .  R es  arreflexiva si y solo si  x  X  :  x , x  R .  R es  simétrica si y solo si  x  y  X  :  x, y  R   y , x  R .  R es  asimétrica si y solo si  x  y  X  :  x, y  R   y, x  R .  R es  antisimétrica si y solo si  x  y  X  :   x, y  R   y, x  R   x  y .  R es  transitiva si y solo si  x  y  z  X  :  x , y  R   y , z  R   x , z   R . Estas propiedades2 pueden extenderse a las relaciones  fuzzy   y expresarlas mediante la función de pertenencia (Kaufmann, 1973; Klir y Yuan, 1995). ~  R es  reflexiva si y solo si  R~  x, x  1,  x  X  . ~ es  simétrica si y solo si  R

 R~  x,  y   R~  y, x ,  x,  y  X  2 .





~  R es  antisimétrica si y solo si  R~  x, y   0   R~  y, x  0  x   y ,  x ,  y ~ es  max-min transitiva si y solo si  ~  x, z   max min  ~  x, y ,  ~  y, z   R    R  R  R

 X  2

 y

~ es  R  antirreflexiva si y solo si

 R~  x, x   0,  x  X  .

3.2. Clasificación de las relaciones binarias definidas en un conjunto X   Al considerar las diferentes propiedades, se pueden distinguir distintos tipos de relaciones definidas en un conjunto X   (Tabla 1), algunos de ellos serán tratados en este trabajo. Reflexiva Arreflexiva

Simétrica Asimétrica

Antisimétrica Transitiva

Equivalencia Compatibilidad/semejanza Pre-orden Orden amplio Orden estricto Tabla 1. Algunos tipos de relaciones binarias definidas en un conjunto

Existen otras definiciones de las propiedades de las relaciones binarias borrosas (Kaufmann, 1973; Kaufmann y Gil Aluja, 1993; Klir y Yuan, 1995). 2

4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una relación binaria  R   X  2 es de   equivalencia  si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Para cada elemento se puede definir un conjunto, denotado  A x , que contiene todos los elementos del referencial que están relacionados con éste a través de la relación .  A x es la clase de equivalencia de la relación con respecto a y todos los elementos que pertenecen a la misma clase son equivalentes. Formalmente,  A x   y /  x , y  R ,  x   A x por ser una relación reflexiva. La familia de todas las clases de equivalencia definidas por la relación R , denotada  X  /  R , determina una partición de . Una relación binaria borrosa  R    X  2 es de  equivalencia borrosa o de   similaridad  si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva max-min 3. ~

Toda relación (por ser un conjunto borroso) puede ser representada unívocamente en términos de sus   -cortes mediante la expresión  R   . R . 0,1

Si R   es una relación de   similaridad , cada -corte para   0 ,1 es una relación de equivalencia nítida, que representa la presencia de similaridad de grado    entre los elementos. Cada una de esas relaciones de equivalencia   crisp determina una partición de .  R  denota la partición correspondiente a la relación de equivalencia de  R  . Dos elementos e pertenecen al mismo subconjunto de la partición si y solo si  R~  x, y   . Cada relación de similaridad se asocia con el ~

conjunto   R   R /   0,1 de particiones del conjunto X  .  R  es un refinamiento de  R  si y solo si   (Klir y Yuan, 1995). definida en  X   1,2,3,4,5,6,7, mediante su matriz de pertenencia (Figura Ejemplo 3. La relación 5), es una relación de   equivalencia borrosa  dado que es reflexiva (la diagonal principal tiene unos), simétrica (es simétrica respecto a la diagonal principal) y transitiva max-min (   R  R ). Está asociada con una secuencia de particiones  R   para   0 ,   R~   0, 0.4, 0.5, 0.8, 0 .9, 1 . Sus refinamientos pueden ser graficados mediante un diagrama de árbol (Figura 6).

1  0. 8  0 ~   R  0.4 0  0 0 

0. 8

0

0. 4

0

0

1

0

0. 4

0

0

0

1

0

1

0.9

0. 4

0

1

0

0

0

1

0

1

0.9

0

0. 9

0

0.9

1

0

0. 5

0

0.5

0.5

Figura 5. Matriz de pertenencia de

3

  0  0.5  0  0.5  0.5 1  0

 ~

Este concepto puede ser generalizado para otra definición de transitividad de una relación  fuzzy .

1

 = 0.4

  = 0.5

  = 0.8

  = 0.9

  =

1

2

4

3

5

6

7

7

1

2

4

3

5

6

1

2

4

3

5

6

3 5

6

1

2

4

1

2

4

3

5

7

7

6

7

Figura 6. Diagrama de árbol

Las clases de equivalencia formadas por los niveles de refinamiento de una relación de similaridad pueden interpretarse como conjuntos de elementos que son similares entre si en un grado no menor  que   . El concepto de árbol de partición en una relación de similaridad (Figura 6) juega el mismo papel que el conjunto cociente en u na relación de equivalencia (Zadeh, 1971). Las relaciones de similaridad, al igual que las de equivalencia, definen clases de similaridad. Dada una relación de similaridad definida en X   , la clase de similaridad para cada elemento  x  X  es un conjunto borroso en el cual el grado de pertenencia de cada elemento  y  X  es la intensidad de la relación de cada elemento con x . Es decir, la clase de similaridad para un elemento representa el grado con el cual todos los otros elementos de X   son similares con  x  (Klir y Yuan, 1995).

4.1 Aplicación: capital y espacio financiero El sujeto económico considera la magnitud tiempo con diversos significados según sea la naturaleza del problema que pretende explicar o analizar. Una interpretación consiste en considerar el tiempo como una magnitud sin influencia en el fenómeno económico. Bajo una hipótesis de fenómenos estáticos o invariantes respecto al tiempo, el tiempo y el espacio son solamente el soporte físico de los hechos económicos. Con la aparición de los modelos dinámicos en los que intervienen variables económicas cuyos valores son función del tiempo, se lo considera una variable exógena de la que en cierta forma depende el res ultado del fenómeno económico. Si se tiene en cuenta que en todo proceso de producción interviene el tiempo y que entre dos procesos de igual rendimiento y factores, pero de diferente duración, el sujeto económico prefiere aquel que representa un menor consumo de tiempo, éste puede ser contemplado como un bien económico capaz junto con otros de transformarse en nuevos bienes a través de un proceso productivo, o de canjearse o sustituirse por otro bien en un proceso o decisión de consumo (Gil Pelaez, 1989). Bajo esta perspectiva se identifican los bienes económicos mediante el par  C  ,t  .  C  indica el valor del bien y t  expresa el momento de tiempo en que va referida dicha valoración, llamado momento de disponibilidad, de referencia o de vencimiento del valor del bien.

Se denomina   capital financiero   a la medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad o vencimiento, la magnitud bidimensional C  ,t   /  C    , t   y  espacio financiero  al





conjunto de todos los posibles valores del  capital financiero  E   C  ,t   /  C    ,t   .





El conjunto  E t 0   C , t  / C    , t   t 0 se denomina   corte del espacio financiero por  t 0 , y representa el subconjunto de todos los capitales con vencimiento t 0 . El   corte del espacio financiero por  C 0 es el subconjunto de todos los capitales de valor  C 0 ,  E C 0    C , t  / C   C 0 , t  R .

4.1.2. Relación de equivalencia financiera Todo hecho económico en el que intervienen capitales financieros recibe el nombre de fenómeno financiero. Operación financiera es toda acción que intercambia o sustituye ciertos capitales financieros por otros de distinto vencimiento o bien a todo cambio no simultáneo de capitales (Gil Pelaez, 1989). La mayoría de los fenómenos financieros son operaciones financieras o asimilables a operaciones financieras más o menos imperfectas. Con el propósito de poder resolver algunos problemas que plantean los fenómenos financieros, pueden definirse en el espacio financiero E   relaciones de equivalencia que permitan al sujeto económico decir si los capitales C  ,t  y C  ,t  son equivalentes.





Para definir una relación de equivalencia en el espacio financiero  E   C  ,t  /  C    , t   se considera un único criterio mediante el cual, dado un capital cualquiera C  ,t  , se puede obtener el valor  V  del capital sustituto con vencimiento  p  fijo. Es decir, el sujeto económico es capaz de realizar 





una aplicación de  E  en el corte  p,  o sea, en  E  p  V  ,t  , V   R  , t    p . Este postulado recibe el nombre de  principio de proyección o sustitución financiera  en  p,  y el valor  V , correspondiente a un capital C  ,t  se expresa: V   Proy  p C  ,t  (Figura 7).

Figura 7. Proyección financiera

 Asociado a este criterio de proyección financiera en  p  se define la relación de equivalencia financiera en  p, p ,  definida por la condición de tener la misma proyección, es decir:

C 1 ,t 1  p~ C 2 ,t 2    Proy  p C 1 ,t 1   Proy  p C 2 ,t 2 Se verifican las propiedades: Reflexiva: C  , t  p~ C  , t  , C  , t   E  Simétrica: C 1 ,t 1  p~ C 2 , t 2  C 2 ,t 2 Transitiva: C 1 , t 1  p~ C 2 , t 2  C 2 , t 2

~  p

~  p

C 1 ,t 1

,

C 1 ,t 1  E  ,C 2 ,t 2  E 

C 3 ,t 3  C 1 , t 1  p~

C 3 , t 3

, C 1 , t 1 , C 2 , t 2 ,  C 3 , t 3  E 

Una clase de equivalencia está formada por el conjunto de capitales que tienen la misma proyección financiera y como representante de la misma puede elegirse V  , p (representante canónico). El conjunto cociente de esta relación está dado por   E  /  p  V  , p  /  V   Proy  p C  ,t  (Figura 8). Se considera  capital nulo  a todo capital con valor cero, cualquiera sea  t , que tiene proyección nula en  p,   o sea Proy  p 0, t   0 .  La clase de equivalencia está representada por los puntos del eje del tiempo.

v4 v3 v2 v1

t

p

t 

Figura 8. Conjunto cociente

Es importante destacar el carácter relativo de la relación de equivalencia dado que depende del criterio de proyección en  p, al que la equivalencia va asociada. (Gil Peláez, 1989). Esta relación de equivalencia crisp  puede generalizarse a una relación   fuzzy  de similitud si se define la similitud financiera por la propiedad de “tener sustituto o proyección financiera similares en un grado en un punto p ”. Para los diferentes - cortes que producen crecientes niveles de refinamiento se obtienen las correspondientes relaciones de equivalencia financiera  crisp.

5. RELACIONES DE ORDEN Es usual en matemática y en la vida cotidiana ordenar los elementos de un conjunto de acuerdo con algún criterio conveniente. Existen diferentes tipos de relaciones de orden. Lo esencial de toda relación de orden es la transitividad, y según se cumplan o no otras propiedades se habla de orden amplio o estricto, y en cada caso, de orden parcial o total (Rojo, 1972). Una relación binaria   crisp  R   2 es de   orden amplio   si y sólo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación binaria   crisp  R  2 es de   orden estricto   si y sólo si es arreflexiva, asimétrica y transitiva. Una relación binaria   crisp  R   X 2 es de   orden parcial  si y sólo si existen pares de elementos no comparables, es decir:  x ,  y  /  x , y  R   y , x  R . Una relación binaria  crisp  R  2 es de orden total  si y sólo si  x   y   x , y  R   y , x  R . Comúnmente el orden queda especificado a través del término preceder . Decir  x  precede a  y  significa  x, y  R y se denota  . La relación inversa  R 1   X 2 que se define como    y , x  R indica que x  es el sucesor de  y .

5.1 Elementos distinguidos de un conjunto ordenado  (Rojo, 1972) Sea X  un conjunto ordenado por una relación de orden (  ):  x  X  es  primer elemento o mínimo de respecto de la relación   ,  y  X  .  x  X  es  último elemento o máximo  de X  respecto de la relación   ,  y  X  . m  X  es  elemento minimal  de respecto de la relación  ,  y  X  . m  respecto de la relación   M    y  M   y ,  y  X  . M  es   elemento maximal  de a  X  es  una cota inferior  del subconjunto  A  X    x  A  a  x . b  X  es una  cota superior   del subconjunto   x  A   x  b .  s  X  es el  supremo o cota superior mínima  del subconjunto  si y sólo si es el primer elemento del conjunto de las cotas superiores.

i   X  es el   ínfimo o cota inferior máxima del subconjunto

si y sólo si es el último elemento

del conjunto de las cotas inferiores. Las relaciones de orden   satisfacen las siguientes propiedades: 1. Existe a lo sumo un primer elemento y un último elemento. 2. Puede existir más de un elemento maximal y más de uno minimal. 3. Si existe último elemento existe sólo un elemento maximal y es igual al último elemento. 4. Si existe primer elemento existe sólo un elemento minimal y es igual al primer elemento. 5. El primer y último elemento de una relación de orden corresponden respectivamente al último y primer elemento de la relación inversa. 6. Las cotas de un conjunto, si existen, no son necesariamente únicas. En cambio, el ínfimo o supremo pueden no existir, ya que un conjunto ordenado puede carecer de primer o último elemento; pero si existen, son únicos. Toda relación de orden sobre un conjunto puede ser representada mediante un diagrama de Hasse (Figura 9), en el cual cada elemento de X    se expresa por un nodo que se conecta únicamente con los nodos que representan su inmediato predecesor o su inmediato sucesor. Las conexiones tienen por objeto distinguir predecesores de sucesores;   indica preceder (  ).

Ejemplo 4 Sean tres relaciones de orden  P , Q y R definidas en el conjunto  X    a, b , c, d , e  por sus matrices de pertenencia y los diagramas de Hasse correspondientes (Figura 9).

1 1   P   1  1 1

0

0 0

0

1

0 0

0

1 0

1

0 1

0

1 0

 0  0 1

0

1 1  Q  1  1 1

0

0 0

0

1

0 0

0

1 0

1

1 1

1

1 1

 0  0 1 

0

Último elemento y elemento maximal

Último elemento y elemento maximal

b

1 1   R  1  1 1

0

0

0 0

1

0

0 0

1

1

0

1

1 1

1

1 1

 0  0 1 

Último elemento y elemento maximal

b

b d  d 

Elemento minimal

c

e

Elemento minimal

e

d 

Primer elemento y elemento minimal

Primer elemento y elemento minimal

Figura 9. Relaciones de orden crisp

Se generalizan algunos de estos conceptos al caso borroso. Una relación binaria  fuzzy   definida en un conjunto X  es una relación  fuzzy   de orden amplio si y sólo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva considerando alguna forma de transitividad   fuzzy.  Cualquier relación de orden amplio  fuzzy   basada en la transitividad max-min puede interpretarse como una serie de relaciones de orden   crisp  de la misma manera que en las relaciones de similaridad, es decir, considerando diferentes  - cortes que producen crecientes niveles de refinamiento ( Klir y Yuan, 1995). Cuando una relación de orden amplio   fuzzy   se define en un conjunto X   , dos conjuntos borrosos están asociados con cada elemento en . El primero se denomina la clase dominante de . Se denota como  R   x y se define como   R~  x   y      R~  x , y donde  y  X  . En otras palabras la clase dominante de

contiene los elementos de

con el grado con el que dominan a

.   El segundo

conjunto borroso corresponde a la clase dominada por

la cual se denota  R   x /   R~   x  y    R~  y , x ,  y  X  . La clase dominada por  x  contiene los elementos de X    con el grado

con el que son dominados por  x . Un elemento  x  X  es no dominado  si y sólo si Un elemento  x  X 

 x , y  0 para todo  y  X  y  . es no dominante si y sólo si   R~  y , x   0 para todo  y  X  y .  ~  R

Para un subconjunto nítido de en el cual se define una relación de orden   fuzzy  R   la cota ~ superior   fuzzy  para es el conjunto borroso siguiente: U     R  x  donde    indica una  x A

intersección   fuzzy   apropiada. Esta definición se reduce a la definición habitual de cota superior  cuando el orden es   crisp. Si existe supremo en el conjunto A , es el único elemento de X    tal que   suppU 4 .   ~  x  0 y  ~  x ,  y   0 para todo  y  U   R

Ejemplo 5 Dada la relación de orden  fuzzy  en  X    a ,b ,c ,d  ,e  por su matriz R  ( Klir y Yuan, 1995) .

1 0  =  0.5  0  0

0 .7

0

0

0.7 

1

0

0.9

0

0 .7

1

1

0

0

1

  0.8   0  1 

0.1 0 0.9 Figura 10. Matriz de pertenencia

La clase dominante para cada elemento está dada por la fila de la matriz correspondiente a ese elemento. Las columnas de la matriz indican la clase dominada para cada elemento. De acuerdo con esta relación de orden el elemento d  es   no dominado   y el elemento c es   no dominante . Para el conjunto  A  a ,b , la cota superior es el conjunto borroso que se obtiene de la intersección de las clases dominantes para a y b . Empleando el operador mínimo para la intersección, se obtiene U    a ,0 ; b,0.7 ; c,0 ; d ,0.9 ; e,0 . El supremo de A  es el elemento  b.

Si se efectúan diferentes cortes para valores crecientes de   se obtienen las diferentes relaciones de orden  crisp  cuyos diagramas de Hasse se observan en la Figura 11.  

 0. 1

0.5

 

 

0.7

d  d 

d 

b b

b

a a c

4

Soporte del conjunto U  .

a

 

0.8

 

d 

a

 0. 9

 

d 

d



1 b

b

b

c

Figura 11. Relaciones de orden  crisp  para distintos niveles de

 

Existen otros tipos de relaciones de orden  crisp  que pueden generalizarse fácilmente al caso   fuzzy  como las relaciones de   preorden o de   orden estricto  (Tabla 1). Un preorden   fuzzy   es una relación binaria   fuzzy  reflexiva y transitiva (para algún tipo de transitividad   fuzzy ). Una relación de orden estricto  fuzzy   puede obtenerse a partir de una relación de orden amplio si se reemplazan los valores   ~  x , x  1 por ceros para todo  x  X  .  R

5.2. Aplicación: relación de preferencia Se considera el caso de un consumidor que se enfrenta al problema de elegir a partir de un conjunto de objetos , que es su  conjunto de consumo  y se supone que tiene determinadas preferencias respecto a las cestas de consumo de . Se considera a como un subconjunto de  K  , donde K  es el número de bienes (Varian, 1992; Mas-Colell, 1995; Kreps, 1995). La forma convencional de modelizar al consumidor es con una relación de preferencia que se denota es, al menos, tan  . Cuando se escribe  x  y significa que “el consumidor piensa que la cesta buena como la ”. De esta relación se derivan otras dos relaciones importantes sobre : i)   Preferencia estricta  ( ):  x   y   x  y pero no  y   x (orden total estricto). ii)   Indiferencia ( ):  x   y   x   y    y  x (equivalencia). La relación de preferencia  es un preorden total dado que cumple las siguientes propiedades: Reflexividad:  x  X  :  x  x Transitividad:  x  y  z  X  : ( x  y  y  z  )  x  z  Dadas las características de esta relación y la subjetividad en la que están imbuidas las apreciaciones del consumidor puede considerarse que éste prefiere una cesta de bienes a otra en un cierto grado y se generaliza la preferencia como una relación de preorden total  fuzzy .

COMENTARIOS FINALES Las relaciones binarias   fuzzy    permiten mayor flexibilidad a los modelos y proporcionan una información más clara al decisor. Pueden considerarse una generalización de las relaciones binarias nítidas, dado que éstas resultan un caso particular. Existen diversas aplicaciones de las relaciones binarias   fuzzy   a distintos campos de conocimiento, como por ejemplo medicina, biología, psicología, economía y gestión.

BIBLIOGRAFÍA Gil Aluja, J.   Grafos neuronales para la economía y la gestión de las empresas . Editorial Pirámide, Madrid, 1995. Gil Aluja, J.   Elementos para una teoría de la decisión en la incertidumbre . Editorial Milladoiro, Vigo, 1999. Gil Pelaez, L.  Matemática de las operaciones financieras.  Editorial AC, Madrid, 1987. Kaufmann, A.   Introduction a la Theorie des Sous-Ensembles Flous a L’Usage des Ingenieurs. Masson, S.A., Paris, 1973.

Kaufmann A.; Gil Aluja J.   Nuevas técnicas para la dirección estratégica.  Universidad de Barcelona, Barcelona, 1993. Klir, G.; Yuan; B.   Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theory and Applications. Prentice-Hall PTR, New Jersey, 1995. Kreps, D.M.  Curso de teoría microeconómica. McGraw-Hill, Madrid, 1995. Mas-Colell, A.; Whinston, M.D.; Greenn, J.R.   Microeconomic Theory . Oxford University Press, Nueva York, 1995. Rojo, A.   Algebra I. El Ateneo, Buenos Aires, 1972. Varian, H.R.  Análisis microeconómico. Antoni Bosch Editor, S.A., Barcelona, 1992. Zadeh, L. “Similarity relations and fuzzy orderings”.  Information Sciences  3, pp.177-200, 1971.