Relación

A

B Ran R

Dom R

x

y = R(x)

x

y

RELACIÓN.

AUTOR:

JUAN ALFREDO HUAMANCHAQUI QUISPE

.

Índi e General

1. Rela ión

Produ to artesiano . . . . . . . . . . . Rela ión . . . . . . . . . . . . . . . . . Dominio y Rango de una rela ión Rela iones inversas . . . . . . . . Composi ión de rela ión . . . . . . Tipos de rela ión . . . . . . . . . Grá a de rela iones espe iales: . Ejer i ios de rela ión . . . . . . . . . .

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Bibliografía

P

[email protected]

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3

3 7 8 14 15 19 27 33

38

2

R

Li : Juan A. Huaman haqui

Cap´ıtulo

1

Rela ión Produ to artesiano Un par ordenado (a, b) se dene en términos de onjuntos que es (a, b) = {{a}, {a, b}}

Observa ión:

1. a de llama primera omponente o primer elemento. 2. b de llama segunda omponente o segundo elemento. 3. Las omponentes no son onmutativos, es de ir (a, b) 6= (b, a)

Dos pares ordenados son iguales si y sólo si las primeras y las segundas

omponentes son iguales. Es de ir, dos pares ordenador (a, b) y (c, d) son iguales si y sólo si a = c y b = d. Deni ión: Dados dos onjuntos A y B se dene el produ to artesiano A × B omo el onjunto A × B = {(a, b)/a ∈ A ∧ b ∈ B}.

Observa ión:

1. la primera omponente siempre tiene que estar en el onjuntos A 2. la segunda omponente siempre tiene que estar en el onjuntos B 3. El produ to artesiano no es onmutativo. Es de ir, A×B 6= B ×A. 4. Si los onjuntos A y B son onjuntos nitos, enton es n(A × B) = n(A).n(B).

5. Si A = B enton es A × A = A2. De esto es puede tener que: 3

PRODUCTO CARTESIANO

.

a) Si A = B = R enton es A × B = R × R = R2 es todo el punto del plano artesiano. b) Si A = B = N enton es A × B = N × N = N2

) Si A = B = Z enton es A × B = Z × Z = Z2

d) Si A = B = Q enton es A × B = Q × Q = Q2 e) Si A = B = I enton es A × B = I × I = I2

Y tiene una representa ión geométri a: 3

2

II (2do uadrante)

−3

−2

I (1er uadrante)

1

−1

0 −1

III (3er uadrante)

1

2

3

4

IV (4to uadrante)

−2

−3

Donde: 1. El Eje horizontal se llama Abs isa. Y los números que estan a la dere ha del número ero son positivos y los de las izquierda son negativos. 2. El Eje verti al se llama ordenada. Y Los números que estan ha ia arriba del némero ero son positivos y los de abajo son negativos. 3. Y si: a) Si (a, b) ∈ I enton es a > 0 ∧ b > 0, esto es (a, b) ∈ {(a, b) ∈ R2 /a ∈ R+ ∧ b ∈ R+}.

b) Si (a, b) ∈ II enton es a < 0 ∧ b > 0, esto es (a, b) ∈ {(a, b) ∈ R2 /a ∈ R− ∧ b ∈ R+}. P

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4

R

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PRODUCTO CARTESIANO

.

) Si (a, b) ∈ III enton es a < 0 ∧ b < 0, esto es (a, b) ∈ {(a, b) ∈ R2 /a ∈ R− ∧ b ∈ R−}.

d) Si (a, b) ∈ IV enton es a > 0 ∧ b < 0, esto es (a, b) ∈ {(a, b) ∈ R2 /a ∈ R+ ∧ b ∈ R−}.

Ejemplo 1.0.1. 1. Los pares ordenado (2m + n, 2) y (4, −2n + m) son iguales, hallar m + n. Solu ión: Hallando la e ua ión tenemos que m = 2 y n = 2.

2. Construyamos un par ordenado; Sea A = {a, b, c} y B = {d, e, f }, enton es A × B = {(a, d), a, e), (a, f ), (b, d), (b, e), (b, f ), (c, d), (c, e), (c, f ).

3. Sea los onjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}, hallar el produ to

artesiano A × B . Solu ión: El produ to artesiano es:

A×B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}.

4. Sean los onjuntos A = {x ∈ Z/x2 − 1 = 0}, B = {x ∈ N/x < 5}. Hallar A × B , B × A y n(A × B) y representa en el plano artesiano. Solu ión: Expresando los onjuntos A y B en forma extensa. A = {−1,1} y B = {1, 2, 3, 4}, enton es el produ to artesiano es: A × B es b Y d 4

i h

j

3

g 2

e

f

1

a −1

c 0

1

2

X

y B × A es:

P

[email protected]

5

R

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Y

PRODUCTO CARTESIANO

.

2

Y

1

j

0 −1

i

c

b

1

a

2

d

f

3

g

4

e

5

h

X

−2

Finalmente el número de elementos de A × B es n(A).n(B) = 2,4 = 8. 5. Sean los onjuntos A = {x ∈ Z/0 < x < 5} y B = {x ∈ N/0 < x < 3}. Hallar A × B y representar en el sistema de oordenados el onjunto. Solu ión: Análogo al lo anterior. 6. Demuestre que: a) M ⊂ A ∧ N ⊂ B ⇒ M × N ⊂ A × B Solu ión: Sea x = (a, b) ∈ M × N . (a, b) ∈ M × N ⇒ a ∈ M ∧ b ∈ N ⇒ a∈A∧b∈B ⇒ (a, b) ∈ A × B

b) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) Solu ión: Sea (a, b) ∈ A × (B ∪ C) (a, b) ∈ A × (B ∪ C) ⇔ a ∈ A ∧ (b ∈ B ∨ b ∈ C) ⇔ (a, b) ∈ A × B ∪ (a, b) ∈ A × C ⇔ (a, b) ∈ A × B ∪ A × C

) Si Ap es el omplemento de A, enton es

(A × B)p = (Ap × B) ∪ (A × B p ) ∪ (Ap × B p )

P

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6

R

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RELACIÓN

.

Solu ión: Sea (a, b) ∈ (A × B)p (a, b) ∈ (A × B)p ⇔ (a, b) ∈ / (A × B) ⇔ ∼ [(a, b) ∈ (A × B)] ⇔ (Ap × B) ∪ (A × B p ) ∪ (Ap × B p )

Rela ión Sean A y B dos onjuntos, Un onjunto R de pares ordenados. Se llama rela ión de A en B , si R es un sub onjunto ualquiera de A × B , esto es, si R es una rela ión de A en B si y sólo si R ⊂ A × B . De forma análogo también se puede representar omo R : A → B on regla de orresponden ia R(x) = y

Donde: x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente. También podemos denir la rela ión omo: 1. R = {(x, y) ∈ A × B/P (x, y)}

2. R = {(x, y) ∈ A × B/y = P (x)}

Donde x se le llama variable independiente. y se le llama variable dependiente. Y si A = B enton es se llamara a R rela ión en A.

Ejemplo 1.0.2. 1. Expresar la rela ión R = {(x, y) ∈ A2 /y + 1 ≥ x2}, donde A = {2, 3, 9}, en forma extensa. Solu ión: La rela ión es R = {(x, y) ∈ A2/y ≥ x2 − 1}

Si x = 2 → x2 = 4 ⇒ y = 3, 9 Si x = 3 → x2 = 9 ⇒ y = 9 Si x = 9 → x2 = 81 ⇒ y = No existe Por lo tanto R = {(2, 3), (2, 9), (3, 9)}.

2. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la rela ión R en A denido por R = {(x, y) ∈ A2 /x es divisor de y}. Hallar el número de elementos de la rela ión R. P

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7

R

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RELACIÓN

.

Solu ión: sabemos que

(x, y) ∈ R ⇔ y es múltiplo de x.

Si Si Si Si Si Si

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y y y y y y

= 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 2, 4, 6 = 3, 6 =4 =5 =6

Por tanto el rela ión es: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}, nalmente se tiene n(R) = 14.

3. Sea el onjunto A = {a, b, c, d, e, f }, Halle la rela ión donde la primera omponente tenga los valores de a, b y la segunda omponente tenga los valores de c, e, f . Solu ión: enton es la rela ión es de la forma R = {(a, c), (a, e, ), (a, f ), (b, c), (b, e, ), (b, f )}.

4. Si A = B = R enton es los onjuntos son rela iones a) R1 = {(x, y) ∈ R × R/|2x − 1| = 5 − y} b) R2 =

(

(n, m) ∈ N × N/m =

n X i=1

i

)

s {   3x + 1

) R3 = (x, y) ∈ R × R/ =y 3 − 2x

Dominio y Rango de una rela ión Dominio: Sea R : A → B una rela ión, enton es llamaremos Dominio al onjunto de las primeras omponentes (o al onjunto de la

variable independiente) y lo representamos por Dom(R). Esto es Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∧ (x, y) ∈ R}. Nota: Hay que tener en uenta que si la rela ión R es es rita por omprensión, enton es la variable dependiente estará es rito on una regla de orresponden ia que depende de la variable independiente. Si es así el dominio esta dado para los valores de x donde existe la variable dependiente. P

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8

R

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RELACIÓN

.

Rango: Sea R : A → B una rela ión, enton es llamaremos rango al

onjunto de las segundas omponentes (o al onjunto de la variable dependiente) y lo representamos por Ran(R). Esto es Ran(R) = {y ∈ B/∃x ∧ (x, y) ∈ R}. A

B Ran R

Dom R

x

y = R(x)

x

y

El grá o nos di e que: 1. Si tomamos un x en el dominio de la rela ión R, enton es siempre tendremos que en ontrar un y que esta en el rengo de la rela ión R. Y si tomamos un x fuera de la rela ión R, no en ontraremos un y que esta en en el onjunto B , Y análogamente podemos de ir que, si tomamos y fuera del rengo de la rela ión R, no en ontraremos un x que esta en el onjunto A. 2. De uno podemos de ir que: Para poder en ontrar el dominio de la rela ión R, basta en ontrar todos los elementos del onjunto A donde R es rela ión (o sub onjunto) de A × B , y si existiese algún elemento que impida ha erlo a R una rela ión en A × B , sólo lo extraemos ese elemento del dominio de la rela ión R. Por ejemplo; Sea A = {a, b, c} y B = {d, e, f }, enton es se dene R = {(a, f ), (c, f ), (c, d), (m, d), enton es el dominio es Dom R = {a, c}, m no es un elemento del dominio porque R no es una rela ión de A × B si (m, d) ∈ R.

3. De uno podemos de ir que: Para poder en ontrar el rango de la rela ión R, basta en ontrar todos los elementos del onjunto B donde R es rela ión (o sub onjunto) de A × B , y si existiese algún elemento que empida ha erlo a R una rela ión en A × B , sólo lo extraemos ese elemento del rango de la rela ión R. Por ejemplo; Sea A = {a, b, c} y B = {d, e, f }, enton es se dene R = P

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R

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RELACIÓN

.

{(a, f ), (c, f ), (c, d), (b, m), enton es el rango es Ran R = {f, d}, m no es un elemento del rango porque R no es una rela ión de A × B si (b, m) ∈ R.

Ejemplo 1.0.3. Hallar el dominio y rango de las siguientes rela iones:

a) Sean U = {a, b, c, d, m, n}, A = {a, b, c, d} y R = {(a, b), (a, a), (c, a), (d, a), (m, d)}. Diga si R es o no es una rela ión en A, si no lo es redena para que sea una rela ión. Solu ión: Para que el onjunto R sea una rela ión se debe extraer el elemento de (m, d), enton es ahora si ya es una rela ión R = {(a, b), (a, a), (c, a), (d, a)}. Luego el dominio es el onjunto {a, c, d} y el rengo es el onjunto {a, b}.

b) R = {(x, y) ∈ R × R/xy − 2x + y − 2 = 0} Solu ión: Para el dominio ha emos las opera iones ne esarias y  tenemos R =

(x, y) ∈ R × R/y =

2x + 2 x+1

(Como sabemos por

deni ión del onjunto Dominio son todos los números de la vari2x + 2 ), enton es able independiente x donde existe el número y = x+1 el dominio de la rela ión es el onjunto Dom R = R − {−1} (pues, 0

si reemplazamos x = −1 en la igualdad on y se tiene y = al ual 0 esta expresión no existe en los números reales). Para el rango es de la misma manera, la  ha iendo opera iones en  e ua ión de la rela ión tenemos R = (x, y) ∈ R × R/x =

2−y y−2

(Como sabemos por deni ión del onjunto Rango son todos los números

2−y ), eny−2 ton es el rango de la rela ión es el onjunto Ran R = R − {2} (pues, 0 si reemplazamos y = 2 en la igualdad on x se tiene x = al ual 0

de la variable dependiente y donde existe el número x =

esta expresión no existe en los números reales).

) R = {(x, y) ∈ R × R/y = x}

P

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R

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RELACIÓN

.

Solu ión: el dominio es: Dom R = = = Ran R = = =

{x ∈ R/(x, y) ∈ R, si existe y ∈ R} {x ∈ R/x = y} R {y ∈ R/(x, y) ∈ R, si existe x ∈ R} {x ∈ R/x = y} R

d) R = {(x, y) ∈ R × R/y = x2} Solu ión: el dominio es: Dom R = = = = Ran R = = = =

{x ∈ R/(x, y) ∈ R, si existe y ∈ R} {x ∈ R/x2 = y} √ {x ∈ R/|x| = y} R {y ∈ R/(x, y) ∈ R, si existe x ∈ R} {x ∈ R/x2 = y} {x ∈ R/y ≥ 0} [0, ∞)

e) R = {(x, y) ∈ R × R/3x − 10y = 4} Solu ión: el dominio es: Dom R = = = Ran R = = =

{x ∈ R/(x, y) ∈ R, si existe y ∈ R} {x ∈ R/3x − 10y = 4} R {y ∈ R/(x, y) ∈ R, si existe x ∈ R} {x ∈ R/3x − 10y = 4} R

f) En el onjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} se dene una rela ión R por: R = {(x, y) ∈ A × A/x2 − 2 ≤ y}. Si m es la suma de los elementos del dominio de la rela ión R y n la suma de los elementos del rango de R, hallar m + n. P

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R

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RELACIÓN

.

Solu ión: Expresemos R en forma de extensión:

x = 1, y ≥ x2 − 2 = −1 ⇒ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) x = 2, y ≥ x2 − 2 = 2 ⇒ (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5) x = 3, y ≥ x2 − 2 = 7 ⇒ ∄(x, y) ∈ R

enton es la rela ión es

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}, luego el dominio es el onjunto {1, 2} y el rango es {1, 2, 3, 4, 5}. Por lo tanto el resultado es m + n = 18

g) R = {(x, y) ∈ R × R/|2x − 1| = 5 − y} Solu ión: Apli ando las propiedades de valor absoluto se tiene: R = {(x, y) ∈ R × R/|2x − 1| = 5 − y} → DomR = R ∧ RanR = {y ∈ R/5 ≥ y} = [5, ∞) ( ) n X h) R = (n, m) ∈ N × N/m = i i=1

Solu ión: Apli ando las propiedades de sumatoria se tiene: R =

(

n X

(n, m) ∈ N × N/m =

i

)

i=1   n(n + 1) = (n, m) ∈ N × N/m = 2 (

→ DomR = N ∧ RanR =

m ∈ N/n1,2 =

−1 ±

√

1 + 8m 2

)

=N

s {   3x + 1 i) R = (x, y) ∈ R × R/ =y 3 − 2x

Solu ión: Apli ando las propiedades de máximo entero.

s {   3x + 1 R3 = (x, y) ∈ R × R/ =y 3 − 2x   3 → DomR = R − ∧ RanR = Z 2 √ j) R = {(x, y) ∈ R × R/ y ≥ x}

Solu ión: Apli ando las propiedades de la raíz uadrada se tiene. √ R = {(x, y) ∈ R × R/ y ≥ x} → DomR = R ∧ RanR = R+ 0

P

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R

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RELACIÓN

.

Propiedades de las rela iones. Propiedades: Sean las rela iones R1 : A → B y R2 : A → B , enton es se umple: 1. Dom(R1 ∪ R2 ) = Dom(R1 ) ∪ Dom(R2 ) Demostra ión:Sea (x, y) ∈ A × B , si x ∈ Dom(R1 ∪ R2 ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(x, y) ∈ R1 ∪ R2 , para algún y ∈ B (x, y) ∈ R1 ∨ (x, y) ∈ R2 , para algún y ∈ B x ∈ DomR1 ∨ x ∈ Dom R2 x ∈ DomR1 ∪ Dom R2

2. Dom(R1 ∩ R2 ) ⊂ Dom(R1 ) ∩ Dom(R2 ) Demostra ión:Sea (x, y) ∈ A × B , si x ∈ Dom(R1 ∩ R2 ) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(x, y) ∈ R1 ∩ R2 , para algún y ∈ B (x, y) ∈ R1 ∧ (x, y) ∈ R2 , para algún y ∈ B x ∈ DomR1 ∧ x ∈ Dom R2 x ∈ DomR1 ∩ Dom R2

3. Dom(R1 − R2 ) ⊃ Dom(R1 ) − Dom(R2 ) Demostra ión:Sea (x, y) ∈ A × B , si x ∈ Dom(R1 ) − Dom(R2) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

x ∈ DomR1 ∧ x ∈ / DomR2 (x, y) ∈ R1 , ∃y ∈ B ∧ (x, y) ∈ / R2 , ∀y ∈ B (x, y) ∈ (R1 − R2 ), para algún y ∈ B x ∈ Dom(R1 − R2 )

4. Ran(R1 ∪ R2 ) = Ran(R1) ∪ Ran(R2 )

5. Ran(R1 ∩ R2 ) ⊂ Ran(R1) ∩ Ran(R2 )

6. Ran(R1 − R2 ) ⊃ Ran(R1 ) − Ran(R2 )

P

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R

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RELACIÓN

.

Rela iones inversas Dada una rela ión R = {(x, y) ∈ A × B/P (x, y)}, donde P (x, y) es una fun ión proposi ional de dos variables, de A en B se dene la rela ión inversa o re ípro a de R, denotado por R−1 , al onjunto R−1 = {(y, x) ∈ B × A/(x, y) ∈ R}

de esta deni ión podemos de ir que. (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ R. Y es fá il demostrar que Dom(R) = Ran(R−1 ) y Ran(R) = Dom(R−1 )

Ejemplo 1.0.4. Hallar las rela iones inversas, y halle el dominio y rango y ompare on las del ejemplo anterior.

1. R1 = {(x, y) ∈ R × R/|2x − 1| = 5 − y} Solu ión: Despejemos x que dependa de y, |2x − 1| = 5 − y ⇔ 2x − 1 = 5 − y ∨ 2x − 1 = −5 + y −4 + y 6−y ⇔ x= ∨x= 2 2   6 − y −4 + y 2 enton es R−1 ∨x= 1 = (y, x) ∈ R /x = 2 2 ( ) n X 2. R2 = (n, m) ∈ N × N/m = i i=1

Solu ión: Despejemos x que dependa de y, m=

n X i=1

n(n + 1) 2 √ √ −1 + 1 + 8m −1 − 1 + 8m ⇔ n= ∨n= 2 2

i ⇔ m=

enton es(

) √ 1 + 8m −1 − 1 + 8m R−1 (y, x) ∈ N2 /n = ∨n= 2 = 2 2 s {   3x + 1 3. R3 = (x, y) ∈ R × R/ =y 3 − 2x

P

[email protected]

−1 +

14

√

R

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RELACIÓN

.

Solu ión: Despejemos x que dependa de y, s

{ 3x + 1 3x + 1 =y ⇔ y≤ ⇔ 2y + 5 2y + 3

enton es

 3y + 2 3y − 1 2 R−1 ≥x> 3 = (y, x) ∈ N / 2y + 5 2y + 3 √ 4. R4 = {(x, y) ∈ R × R/ y ≥ x} Solu ión: Despejemos x que dependa de y, √ y ≥ x ⇔ y ≤ 0 ∧ (x < 0 ∨ (x ≥ 0 ∧ y ≥ x2 ))

enton es

2 2 R−1 4 = (y, x) ∈ R /y ≤ 0 ∧ (x < 0 ∨ (x ≥ 0 ∧ y ≥ x ))



Ahora pongamos algunas propiedades de la rela ión inversa. Propiedades: Sean las rela iones R1 ⊂ A × B y R2 ⊂ A × B , enton es

umple: 1. (R1 ∪ R2 )−1 = (R1 )−1 ∪ (R2 )−1 2. (R1 ∩ R2 )−1 = (R1 )−1 ∩ (R2 )−1

3. (R1 − R2 )−1 = (R1)−1 − (R2 )−1

Composi ión de rela ión Dada las rela iones R1 ⊂ A × B y R2 ⊂ B × C . se dene la rela ión inversa de R1 y R2 , denotado por R1 ◦ R2 , a rela ión R1 ◦ R2 = {(a, b) ∈ A × C/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R1 ∧ (y, z) ∈ R2 }. Ahora veamos la grá a.

P

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R

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RELACIÓN DomR1

.

R1

R2

DomR2 ∩ RanR1

RanR2

y

x

z

DomR1

RanR2 R2 ◦ R1

Ejemplo 1.0.5. Halle la rela ión inversa de: 1. R1 = {(x, y) ∈ R2/y = |JxK|} Solu ión: hallando la rela ión inversa y = |JxK| ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = JxK ∨ −y = JxK y ≤ x < y + 1 ∨ −y ≤ x < −y + 1 −x ≤ −y < −x + 1 ∨ −x ≤ y < −x + 1 x ≥ y > x − 1 ∨ x ≥ −y > x − 1 x ≥ |y| > x − 1 x ≥ |y| ∧ |y| + 1 > x |y| + 1 > x ≥ |y|

enton es la rela ión inversa es:

R−1 1 = {(y, x) ∈ R/|y| + 1 > x ≥ |y|}

Como la variable es muda se tiene

R−1 1 = {(x, z) ∈ R/|x| + 1 > z ≥ |x|}

P

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16

R

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RELACIÓN

.

X

Y

2. R2 = {(x, y) ∈ R2/y = 4 + 2x − x2} Solu ión: es fá il ver que la p rela ión inversa es: p

2 R−1 2 = {(y, x) ∈ R /x = 1 + X

5 − y2}

Y

−1 3. halle R−1 1 ◦ R2

Solu ión:

−1 R−1 = 1 ◦ R2 = = =

P

−1 R−1 (y)) 1 (R2 p R−1 5 − y2) 1 (1 + p p {(y, z) ∈ R2 /|1 + 5 − y 2 | + 1 > z ≥ |1 + 5 − y 2 |} p p {(y, z) ∈ R2 /2 + 5 − y 2 > z ≥ 1 + 5 − y 2 }

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R

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RELACIÓN

.

X

Y p Los valores de 2 + 5 − y 2 son estri tamente enteros.

En uentre las rela iones R1 ◦ R2 donde:

  (x − 2) + |x − 1| 1. R1 = (x, y) ∈ R2 /y = |x − 2| + (x − 1)   |x − 2| 2. R2 = (x, y) ∈ R2 /y = |x| − 2

Además, al ule el dominio.

Solu ión:

R1 ◦ R2 (x) = |x − 2| |x − 2| ( − 2) + | − 1| |x| − 2 |x| − 2 = |x − 2| |x − 2| | − 2| + ( − 1) |x| − 2 |x| − 2 ||x| − 2|(|x − 2| − 2|x| + 4) + ||x − 2| − |x| + 2|(|x| − 2) = (|x| − 2)||x − 2| − 2|x| + 4| + (|x − 2| − |x| + 2)||x| − 2|

Para hallar el dominio sería

DomR1 ◦ R2 = = {x ∈ R/(|x| − 2)||x − 2| − 2|x| + 4| + (|x − 2| − |x| + 2)||x| − 2| = 6 0}

enton es la e ua ión lo hallaremos por el punto riti o, x = 0 ∨ x = 2 -

-

+

-

+ b)

+

)

a) P

0

[email protected]

2

18

|x − 2| |x| R

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

a) x ∈ (−∞, 0), enton es |x − 2| = 2 − x ∧ |x| = −x x + 2 x + 2 = (−x − 2)|x + 6| + 4|x + 2| = 0 ⇔ x + 6 4 x+2 x+2 x+2 x+2 ⇔ = ∨ =− x+6 4 x+6 4 ⇔ x = −2 ∨ x = 10 ∨ x = 2

enton es el onjunto solu ión es {−2}

b) x ∈ [0, 2), enton es |x − 2| = 2 − x ∧ |x| = x x−2 = 2−x (4 − 2x)|x − 2| = (2 − x)|6 − 3x| ⇔ 6 − 3x 4 − 2x x−2 2−x x−2 x−2 ⇔ = ∨ = 6 − 3x 4 − 2x 6 − 3x 4 − 2x ⇔ x=2

enton es el onjunto solu ión es ∅

) x ∈ [2, ∞), enton es |x − 2| = x − 2 ∧ |x| = x (x − 2)|2 − x| = 0 ⇔ x = 2

enton es el onjunto solu ión es {2}

Finalmente el dominio de la rela ión es DomR1 ◦ R2 = R − {−2, 2}

Tipos de rela ión Existen seis tipos de rela ión y son: R1

Rela ión reexiva: Una rela ión R es reexiva si y sólo si (x, x) ∈

R para ada elemento x del onjunto A. Esto es, R : A → A es reexiva ⇔ ∀x ∈ A → (x, x) ∈ R. (esto quiere de ir que para uales quiera x que tome en el onjunto A el elemento (x, x) tiene que estar en R)

Ejemplo 1.0.6. Sea el onjunto A = {1, 2, 3, 4} y las rela iones en A.

P

[email protected]

19

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

R1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 4), (4, 1), (2, 2)}, es una rela ión

de reexiva.

Pues:

1∈A 2∈A 3∈A 4∈A

Por lo tanto R1 es reexiva.

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(1, 1) ∈ R (2, 2) ∈ R (3, 3) ∈ R (4, 4) ∈ R

R2 = {(1, 1), (3, 4), (4, 4), (4, 1), (2, 2)}, no es una rela ión de re-

exiva.

Pues

1∈A 2∈A 3∈A 4∈A

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Por lo tanto R2 no es reexiva.

(1, 1) ∈ R (2, 2) ∈ R (3, 3) ∈ /R (4, 4) ∈ R

Ejemplo 1.0.7. Dado el onjunto A = {2, 3, 4} y las rela iones en

A: R1 = {(2; 2), (2; 3), (3; 3), (4; 4)} R2 = {(2; 2), (2; 4), (3; 3), (4; 3)}

Estable er si son o no reexivas.

Ejemplo 1.0.8. La rela ión R = {(x, y) ∈ N2 /x ≥ y}, es reexiva. R2

Rela ión simétri a: Una rela ión R es simétri a si y sólo si (y, x) ∈ R siempre que (x, y) ∈ R. Esto es, R : A → A es simétri a ⇔ (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R.

Ejemplo 1.0.9. Sean el onjunto A = {1, 2, 3, 4}, diga uales de los siguientes rela iones son simétri as.

a) R1 = {(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 4)}. Solu ión: probemos on la deni ión (1, 2) ∈ R1 ⇒ (2, 1) ∈ R1 (2, 3) ∈ R1 ⇒ (3, 2) ∈ R1 (4, 2) ∈ R1 ⇒ (2, 4) ∈ R1

Por lo tanto, R1 es una rela ión simétri a. P

[email protected]

20

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

b) R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. Solu ión: probemos on la deni ión (1, 1) ∈ R2 ⇒ (1, 1) ∈ R2 (2, 2) ∈ R2 ⇒ (2, 2) ∈ R2 (3, 3) ∈ R2 ⇒ (3, 3) ∈ R2

Por lo tanto, R2 es una rela ión simétri a.

) R3 = {(1, 1), (3, 3), (4, 1), (3, 2), (1, 4)}. Solu ión: probemos on la deni ión (1, 1) ∈ R3 (3, 3) ∈ R3 (4, 1) ∈ R3 (3, 2) ∈ R3 (1, 4) ∈ R3

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(1, 1) ∈ R3 (3, 3) ∈ R3 (1, 4) ∈ R3 (2, 3) ∈ / R3 (4, 1) ∈ R3

Por lo tanto, R3 no es una rela ión simétri a.

Ejemplo 1.0.10. Dado el onjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y las rela-

iones en A: R1 = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (3; 4), (4; 3)} R2 = {(1; 2), (2; 1), (3; 3), (4; 5), (5; 5)} R3 = {(x; y) ∈ A2 /x + y = 6}

Estable er si son o no simétri as

R3

Rela ión transitiva: Una rela ión R es transitiva si y sólo si (x, z) ∈ R si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R. Esto es, R : A → A es transitiva ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (y, z) ∈ R.

Ejemplo 1.0.11. Sean el onjunto A = {1, 2, 3, 4}, diga uales de los siguientes rela iones son transitivas. a) R1 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (1, 1)}.

P

[email protected]

21

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Solu ión: probemos on la deni ión (1, 2) ∈ R1 ∧ (2, 1) ∈ R1 (1, 2) ∈ R1 ∧ (2, 2) ∈ R1 (2, 1) ∈ R1 ∧ (1, 2) ∈ R1 (2, 1) ∈ R1 ∧ (1, 1) ∈ R1 (2, 2) ∈ R1 ∧ (2, 1) ∈ R1 (1, 1) ∈ R1 ∧ (1, 2) ∈ R1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(1, 1) ∈ R1 (1, 2) ∈ R1 (2, 2) ∈ R1 (2, 1) ∈ R1 (2, 1) ∈ R1 (1, 2) ∈ R1

Por lo tanto, R1 es una rela ión transitiva.

b) R2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 1), (1, 1), (4, 4)}. Solu ión: probemos on la deni ión (1, 2) ∈ R2 ∧ (2, 3) ∈ R1 (2, 3) ∈ R2 ∧ (3, 1) ∈ R1 (1, 3) ∈ R2 ∧ (3, 1) ∈ R1 (3, 1) ∈ R2 ∧ (1, 2) ∈ R1 (3, 1) ∈ R2 ∧ (1, 3) ∈ R1 (3, 1) ∈ R2 ∧ (1, 1) ∈ R1 (1, 1) ∈ R2 ∧ (1, 2) ∈ R1 (1, 1) ∈ R2 ∧ (1, 3) ∈ R1 (4, 4) ∈ R2 ∧ (4, 4) ∈ R1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(1, 3) ∈ R2 (2, 1) ∈ / R2 (1, 1) ∈ R2 (3, 2) ∈ R2 (3, 3) ∈ R2 (3, 1) ∈ R2 (1, 2) ∈ R2 (1, 3) ∈ R2 (4, 4) ∈ R2

Por lo tanto, R1 no es una rela ión transitiva.

Ejemplo 1.0.12. Dado el onjunto A = {1, 2, 3, 4} y las rela iones

en A: R1 = {(1; 1), (1; 2), (2; 2), (3; 1), (4; 1), (4; 2), (4; 3)}

R2 = {(1; 1), (2; 1), (2; 2), (3; 3), (1; 2), (1; 3)} R1 = {(1; 1), (2; 2), (3; 4)}

Estable er si son o no son transitiva.

R4

Rela ión de equivalen ia: Una rela ión R es de equivalen ia si y sólo si la rela ión R es reexiva, simétri a y transitiva. Esto es,

R : A → A es de equivalen ia ⇔ R es reexiva ∧ simétri a ∧

transitiva .

P

[email protected]

22

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Ejemplo 1.0.13. Sea A = {1, 2, 3, 4} y la rela ión

R = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}. La rela ión R es de

equivalen ia? Solu ión: Veamos la deni ión: a)

b)

)

Reexiva:

Simétri a: transitiva:

1∈A 2∈A 3∈A 4∈A

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(1, 1) ∈ R (2, 2) ∈ R (3, 3) ∈ R (4, 4) ∈ R

(2, 1) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R3

(1, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R1 ⇒ (1, 2) ∈ R (2, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R1 ⇒ (2, 2) ∈ R (2, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R1 ⇒ (2, 1) ∈ R

Por lo tanto la rela ión R es de equivalen ia.

Ejemplo 1.0.14. Dado el onjunto A = {1, 3, 5}, denimos la

rela ión en A: R = {(1; 1), (3; 3), (5; 5), (1; 3), (3; 1)}. La rela ión es de equivalen ia? R5

Rela ión de antisimétri a: Una rela ión R es antisimétri a si y sólo si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R enton es y = x. Esto es, R : A → A es antisimétri a ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → y = x.

R6

Rela ión de orden: Una rela ión R es de orden si y sólo si la

rela ión R es reexiva, antisimétri a y transitiva. Esto es, R : A → A es de orden ⇔ R es reexiva ∧ antisimétri a ∧ transitiva .

Ejemplo 1.0.15. Compruebe ada uno de las rela iones: R1 = {(x, y) ∈ R2 /x ≤ y} es una rela ión reexiva. Solu ión: Sea x ∈ R enton es x ≤ x enton es (x, x) ∈ R1. Por

lo tanto la rela ión es reexiva.

P

[email protected]

23

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

R2 = {(L1, L2)/L1 ⊥ L2} es una rela ión simétri a. Solu ión: Sea (L1, L2) ∈ R2 enton es L1 ⊥ L2 si y sólo si L2 ⊥ L1, luego (L2, L1) ∈ R2. Por tanto la rela ión es simétri a. R3 = {(x, y) ∈ R/x < y} es una rela ión transitiva. Solu ión: Sean (x, y) ∈ R3 y (y, z) ∈ R3 enton es se tiene x < y ∧ y < z enton es x < z , luego vemos (x, z) ∈ R3. Por

tanto la rela ión es transitiva.

R4 = {(A, B)/A = B, A, B onjuntos} es una rela ión de equivalen-

ia.

Solu ión: Veamos que umpla las tres deni iones anteriores: Reexiva: Sea A un onjunto, enton es A = A, luego (A, A) ∈ R4, es reexiva. Simétri a: Sea (A, B) ∈ R4 enton es A = B de esto vemos que B = A, nalmente (B, A) ∈ R4 , es simétri a.

Transitiva: Sean (A, B), (B, C) ∈ R4 enton es A = B ∧ B = C ⇒ A = C , de esto se tiene (A, C) ∈ R4, por tanta la rela ión es transitiva. Finalmente la rela ión R4 es de equivalen ia. R5 = {(x, y) ∈ R/x ≥ y} es una rela ión antisimétri a. Solu ión: (x, y) ∈ R5 y (y, x) ∈ R5 enton es se tiene x ≥ y∧y ≥ x enton es x = y . Por tanto la rela ión es antisimétri a. R6 = {(A, B)/A ⊆ B, A, B onjuntos} es una rela ión de orden.

Solu ión:

Reexiva: Sea A un onjunto, enton es A ⊆ A, luego (A, A) ∈ R6 , es reexiva. Antisimétri a: Sea (A, B), (B, A) ∈ R6 enton es A ⊆ B ∧ B ⊆ A de esto vemos que B = A, nalmente (B, A) ∈ R4 , es antisimétri a. Transitiva: Sean (A, B), (B, C) ∈ R6 enton es A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C , de esto se tiene (A, C) ∈ R6 , por tanta la rela ión es transitiva. Finalmente la rela ión R6 es de orden.

Ejemplo 1.0.16. En Z se dene las rela iones: P

[email protected]

24

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

R1 = {(x, y)/x2 + y = y 2 + x}

R2 = {(x, y)/xy = n2 , para algún n ∈ Z} R3 = {(x, y)/x = |y|}

Diga uales de las siguientes arma iones son verdaderas,

a) Las tres rela iones son reexivas.

Solu ión:

∀x ∈ Z → R1 : x2 + x = x2 + x ⇒ R1 es reexiva ∀x ∈ Z → R2 : xx = n2 ⇒ R2 es reexiva ∀x ∈ Z → R3 : x = |x| → x = x, x ∈ Z+ ⇒ R3 no es reexiva

Por lo tanto es falso b) R1 y R2 son simétri as, pero no R3

Solu ión:

∀(x, y) ∈ R1 → x2 + y = y 2 + x → y 2 + x = x2 + y → (y, x) ∈ R1 ∀(x, y) ∈ R2 → xy = n2 → yx = n2 → (y, x) ∈ R2 ∀(x, y) ∈ R3 → x = |y| 9 y = |x| → (y, x) ∈ / R3

Es verdadero.

) R1 y R3 son transitivas, pero no R2

Solu ión:

(x, y) ∧ (y, z) ∈ R1 → x2 + y = y 2 + x ∧ y 2 + z = z 2 + y → x2 + z = z 2 + x → (x, z) ∈ R1 (x, y) ∧ (y, z) ∈ R3 → → → → → P

[email protected]

x = |y| ∧ y = |z| (x = y ∨ x = −y) ∧ (y = z ∨ −y = z) (x = z ∨ x = −z) x = |z| (x, z) ∈ R3 25

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

(x, y) ∧ (y, z) ∈ R2 → xy = n2 ∧ yz = m2 n2 m2 → = x z z m2 → = 2 x n → (x, z) ∈ / R2

La arma ión es verdadera.

Ejemplo 1.0.17. Cuáles de las siguientes arma iones son verdaderas? R1 = {(x, y) ∈ N2 /x − y ∈ N0}, enton es R es de equivalen ia?.

Solu ión: Veamos que umpla las tres ondi iones:

Reexiva: Sea x ∈ N, enton es x − x ∈ N0 , luego (x, x) ∈ R1 , es reexiva. simétri a: Sea (x, y) ∈ R1 enton es x − y ∈ N0 pero no umple que y−x∈ / N0 (pues si x = 3 ∧ y = 2 enton es 2 − 3 ∈ / N0) de esto vemos que la rela ión R1 no es simétri a. Por lo tanto la rela ión no es de equivalen ia. R2 = {(x, y) ∈ N2 /|x − y| ∈ N0 }, enton es R es de equivalen ia?.

Reexiva: Sea x ∈ N, enton es |x − x| ∈ N0 , luego (x, x) ∈ R2 , es reexiva. simétri a: Sea (x, y) ∈ R1 enton es |x − y| ∈ N0 pero |y − x|) ∈ N0 , luego de esto vemos que la rela ión R2 es simétri a. transitiva: Sean (x, y), (y, z) ∈ R2 enton es |x−y| ∈ N0 ∧|y −z| ∈ N0 , |x − y| ∈ N0 ∧ |y − z| ∈ N0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x−y ∈Z∧y−z ∈Z x−y+y−z ∈Z x−z ∈Z |x − z| ∈ N0

enton es (x, z) ∈ R2. Por tanto la rela ión es transitiva.

Finalmente la rela ión es de equivalen ia. P

[email protected]

26

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Ejemplo 1.0.18. 1. En el onjunto A = {a, b, c, d, e} se dene las rela iones.

R1 = {(a, b), (b, c), (d, e), (e, d), (a, c), (d, d), (e, e), (c, c)} R2 = {(a, d), (d, e), (e, a), (e, e)} R = {(a, b), (b, a)}.

Cuales de las rela iones son transitivas?. Y en aquellos asos que no son transitiva, ompletar elementos de manera que se obtenga la rela ión transitiva. 2. Sea S = {(x, y) ∈ N2 /xy es par} una rela ión. Diga uales de las arma iones son transitivas. a) S es reexivo en N. Solu ión: Sabemos que nuestro universo es N, si x = 1 en/ S . Por ton es xx = 1 vemos que 1 no es par enton es (1, 1) ∈ lo tanto no es reexiva. b) S es simétri o en N. Solu ión: Sea (x, y) ∈ S enton es xy es par y por porpiedades de números reales tenemos yx enton es (y, x) ∈ S . Por lo tanto S es simétri o.

) S es transitivo en N. Solu ión: Sean (3, 4) ∈ S y (4, 5) ∈ S enton es 3,4 es par y 4,5 es par, pero 3,5 no es par, enton es (3, 5) ∈ / S . Por lo tanto S no es transitivo.

Grá a de rela iones espe iales: Primero para entrar a denir las rela iones en R2 es ne esario denir la distan ia entre dos punto. Distan ia entre dos puntos: Sea A = (a1 , a2) ∈ R2 y B = (b1, b2) ∈ R2 , se dene q la distan ia del punto A, B omo: d(A, B) =

P

(a1 − b1 )2 + (a2 + b2 )2

[email protected]

27

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Y

a2 + b2

a1 + b1

X

Grá as de rela iones: Re ordemos que R = {(x, y) ∈ R2 /E(x, y) = 0}

Grá a de la rela ión lineal: la rela ión lineal es de la forma

R = {(x, y) ∈ R2 /ax + by + c = 0} Y

X

Grá a de la rela ión de una ir unferen ia: la rela ión es de

la forma

R = {(x, y) ∈ R2 /(x − h)2 + (y − k)2 = r2}. Donde C(h, k) de llama

entro de la ir unferen ia, r el radio.

P

[email protected]

28

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Y

r C(h, k) X

Grá a de la rela ión de una parábola: la rela ión es de la for-

ma

R = {(x, y) ∈ R2 /y − k = (x − h)2 } o R = {(x, y) ∈ R2 /x − h = (y − k)2} Y y − k = (x − h)2

X

Grá a de la rela ión de una elipse:La rela ión es de la forma 

(x − h)2 (y − k)2 R = (x, y) ∈ R / + = 1 . Donde C(h, k) de llama a2 b2

entro de la elipse , a distan ia del entro a un punto de la elipse paralela a eje X y b distan ia del entro a un punto de la elipse paralela a eje Y . 2

P

[email protected]

29

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Y

b a

C(h, k) X

Grá a de la rela ión de una hipérbola: la rela ión es de la

forma

R=

2 (y − k)2 2 (x − h) (x, y) ∈ R / − =1 a2 b2



3 2 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−1 −2

Observa ión: Cada una de las grá as de las rela iones anteriores también se pueden gra ar on las desigualdades , ≤, ≥, que son regiones sombreadas. Que son: 2 p(x − h) +k 5 3

4

2

3

1

2 1

−1

0

1

2

3

−1

y > ax + c P

[email protected]

−1

0 30

1

2

3

R

4

5

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

Ejemplo 1.0.19. Hallar el dominio y rango, además gra ar las rela iones.

1. R1 = {(x, y) ∈ R2/5x − 3y + 7 = 0, x ∈ (−2, 4]}

Solu ión: El dominio es (−2, 4] y para rango ha emos: y = enton es

5x + 7 3

x ∈ (−2, 4] ⇔ −2 < x ≤ 4 5x + 7 ⇔ −1 < ≤9 3 ⇔ −1 < y ≤ 9

enton es el rango es (−1, 9] Su grá a. Y

y=

5x + 7 3

X p 2. R2 = {(x, y) ∈ R /y = 5 + 4x − x2 − 2} 2

Solu ión: Hallando el dominio

DomR2 = {x ∈ R/5 + 4x − x2 ≥ 0} = {x ∈ R/(x − 5)(x + 1) ≤ 0} = [−1, 5]

Para el q rango, ompletamos uadrados, se tiene R2 = {(x, y) ∈ R2 /y =

9 − (x − 2)2 − 2}

x ∈ [−1, 5] ⇔ −1 < x ≤ 5 ⇔ 0 ≤ (x − 2)2 ≤ 9 ⇔ 0 ≤ 9 − (x − 2)2 ≤ 9 q ⇔ −2 ≤ 9 − (x − 2)2 − 2 ≤ 1 ⇔ −2 ≤ y ≤ 1 ⇔ y ∈ [−2, 1]

P

[email protected]

31

R

Li : Juan A. Huaman haqui

RELACIÓN

.

enton es el rango es (−2, 1] Su grá a. Y X

√

3. R3 = {(x, y) ∈ R2/y = 2x + 5 − 3} Solu ión: Hallando el dominio

Para el rango,

DomR2 = {x ∈ R/2x + 5 ≥ 0}   5 = − ,∞ 2

5 x ∈ − ,∞ 2 



5 ⇔ x≥− 2 √ ⇔ 2x + 5 − 3 ≥ −3 ⇔ y ≥ −3

enton es el rango es [−3, ∞) Su grá a. Y

X

4. R4 = {(x, y) ∈ R2/16x2 + 9y 2 − 64x + 18y − 71 = 0} Solu ión: Trabajo. P

[email protected]

32

R

Li : Juan A. Huaman haqui

EJERCICIOS DE RELACIÓN

.

5. R5 = {(x, y) ∈ R2/xy − 2x − 3y = 2} Solu ión: la rela ión se puede  es ribir omo  R5 =

(x, y) ∈ R2 /y =

2 + 2x , enton es el dominio es x−3

Dom R2 = R − {x ∈ R/x − 3 = 0} = R − {3}

Para el rango, también tenemos que x =

Y su grá a.

2 + 3y y−2

RanR2 = R − {x ∈ R/x − 2 = 0} = R − {2} Y

X

Ejer i ios de rela ión 1. R es una rela ión denida por R = {(x, y) ∈ Z/ − 1 ≤ 2x + 1 < y < 5}, m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos los elementos del rango de R. Hallar m + n. P

[email protected]

33

R

Li : Juan A. Huaman haqui

EJERCICIOS DE RELACIÓN

.

2. Si R es una rela ión en A = {2, 3, 9} denida por R = {(x, y) ∈ A2/y + 1 ≤ x2}, hallar n(R).

3. Sea R = {(x, y) ∈ N20 /x2 − 2x = y, si0 < x ≤ 5}, si m es la suma de los elementos del DomR, n es la suma de los elementos 26m del DomR−1 , hallar . n

4. Sea A = {2, 3, 8, 9}, B = {4, 6, 7} y las rela iones R1 = {(x, y) ∈ A × B/x2 − y = 2}, R2 = {(x, y) ∈ A × B/x < y}. Hallar RanR1 ∪ DomR2 .

5. Sea el onjunto A y la Rela ión R = {(x, y) ∈ A × A : E(x, y)} a) A = {1, 2, 3, 4} y E(x, y) : x = y ∨ x + y = 3.

b) A = Z y E(x, y) : (xy)2 es par.

) A = N y E(x, y) : x − y = 5k on k ∈ Z.

d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E(x, y) : x es divisor de y

Diga si la Rela ión es reexiva, simétri a, transitiva, de equivalen ia, antisimétri a y de orden. 6. Demuestre que la rela ión R = {(x, y) ∈ R2 /x = y} es una rela ión de equivalen ia. 7. Demuestre que la rela ión R = {(x, y) ∈ Z2 /x−y es un número par} es una rela ión de equivalen ia. 8. Demuestre que la rela ión R = {(x, y) ∈ Z2 /x < y} es una rela ión de equivalen ia. 9. Sea A = {1, 2, 3, 4}. ¾La rela ión R = {(a, b)/a, b ∈ A y a divide a b} es reexiva, antisimétri a y transitiva? 10. ¾La rela ión R = {(a, b) ∈ Z2 /a + b ≤ 3} es simétri a?

11. Sea R la rela ión que onsiste en todos los pares (x, y) de estudiantes de la UNSCH tales que x ha ursado mas réditos que y . Enton es demuestre que R es transitiva y antisimétri a 12. ¾La rela ión R = {(a, b) ∈ Z2 /a divide a b} antisimétri a?

P

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13. Determine se las rela iones R1 = {(x, y) ∈ Z2 /x 6= y} y R2 = {(x, y) ∈ Z2 /xy ≥ 1} son reexiva, simétri a, antisimétri a y/o transitiva. 14. ¾La rela ión R = {(a, b) ∈ Z2 /a − b es múltiplo de 2} es antisimétri a? 15. Graque ada una de las rela iones, y en uentre su dominio, rango de la rela ión R = {(x, y) ∈ R2 : E(x, y)} siendo: a) E(x, y) : 2x − 3y = 0 b) E(x, y) : x2 + y 2 = 4

) E(x, y) : y + 2 =

p

5 + 4x − x2

d) E(x, y) : y = x2 − 6x + 5 e) E(x, y) : 4x2 + 9y 2 = 36 f) g) h) i) j)

E(x, y) : 4y + x2 − 4x = 0 E(x, y) : 4x2 + 9y 2 = 36

E(x, y) : x2 − 4y 2 + 2x + 24y − 51 = 0 E(x, y) : xy − 2x − y + 1 = 0

E(x, y) : 4x2 − 4y 2 − 16x + 4y − 47 = 0

k) E(x, y) : 3x − 10y ≥ 4 √ l) E(x, y) : y ≥ x √ sug: y ≥ x ↔ y ≥ 0 ∧ [x < 0 ∨ (x ≤ 0 ∨ y ≥ x2)] m) E(x, y) : 3x − 2y − 2 < 0 n) E(x, y) : 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16 ñ) E(x, y) : x − 1 < y ≤ x + 1

16. Graque la inversa de las rela iones b), c), d) y e) de la pregunta anterior. 17. Determine uales de las siguientes rela iones denidas sobre R son rela iones de equivalen ia. R1 = {(x, y) ∈ R2 /x − y ∈ Z} R2 = {(x, y) ∈ R2 /x − y ∈ Q} R3 = {(x, y) ∈ R2 /x − y ∈ R} P

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R4 = {(x, y) ∈ R2 /xy ∈ Z} R5 = {(x, y) ∈ R2 /xy ∈ Q}

18. Determine uales de las siguientes rela iones denidas sobre R2 son rela iones de equivalen ia. ∼1 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/x1 − y2 ∈ Z} ∼2 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/x2 − y1 ∈ Q} ∼3 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/x1 − y2 ∈ R} ∼4 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/x1y2 ∈ Z} ∼5 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/x1 = x2} q q 4 2 2 ∼6 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R / x1 + y1 = x22 + y22 }

19. Determinar uáles de las siguientes rela iones denidas sobre R2 son rela iones de orden.

≤1 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/((x1, x2) = (y1, y2)) ∨ (x1 − y2 ∈ N)} ≤2 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/((x1, x2) = (y1, y2)) ∨ (x1 ≤ y2 )} ≤3 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/((x1, x2) = (y1, y2)) ∨ (x1 − y2 ∈ Z)} ≤4 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/((x1, x2) = (y1, y2)) ∨ (x1y1 ∈ Q)} ≤5 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4 /((x1, x2) = (y1, y2)) ∨ (x1 < x2 ∨ (x1 = x2 ∧ y1 < y2))} ≤6 = {((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R4/((x1, x2) = (y1, y2)) ∨ (x1y1 ∈ Q)}

20. Consideremos f : X → Y una fun ión y denimos la rela ión R sobre X omo R = {(x, y) ∈ X × X/f (x) = f (y)}

a) Demuestre que la rela ión R es de equivalen ia b) Si X = Y = R des riba un método geométri o que permita visualizar la lase de equivalen ia de un número real.

21. Demuestre que dada una ole

ión de rela iones de equivalen ia sobre un onjunto X , la interse

ión de la ole

ión también es una rela ión de equivalen ia sobre X . P

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22. La unión de rela iones de equivalen ia sobre un onjunto X una rela ión de equivalen ia sobre X ? 23. Sea R una rela ión.

a ) R es transitiva si y sólo si R ◦ R ⊂ R b ) R es simétri a si y sólo si R−1 ⊂ R

) R es reexiva sobre A si y sólo si IA ⊂ R, donde IA(x) = x, ∀x ∈ A. d ) R es de equivalen ia si y sólo si R−1 ◦ R = R

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