Relación Definida en Un Conjunto

REL AC ACIÓN DEF IN INIDA EN UN CONJUNTO Si en “AxB”, el conjunto “B” es igual al conjun conjunto to “A”, entonce entoncess tendrí tendríamo amoss “AxA”, por ejemplo: Dado el conjunto A = {1; ; !", #cu$l es la relaci%n relaci%n “&” de “A” en “A” de'nida por la relaci%n: a() = *+ Paso 1: Se 1:  Se alla el producto cartesiano “AxA” A x A = { -1;1., -1;., -1;!., -;1., -;., -;!., -!;1., -!;., -!;!." Paso aso

2: /xtrae /xtraemos mos cumplen: a  ) = *2

a0uello a0uelloss

0ue

2. Propiedad Si!"#ri$a: 3na Si!"#ri$a: 3na relaci%n “&” en “A” es si!"#ri$a, si!"#ri$a, si siempre 0ue 0ue un elem elemen ento to de “A” es est$ t$ rela relaci cion onad ado o por “&” “&” con con otro otro,, tam)i8n tam)i8n 8ste est$ relacionad relacionado o por “&” con el primero2 4or ejemplo: Da do do el el co con ju ju nt nto:

A ={ ={ 1; 1; *; *; " "

5allar:

1 est$ relacionado relacionado con    esta relacionado con 12

& ={-;1.,-!;."

1. Propiedad refexia:  refexia:   3na relaci%n “&” “&” en ““A A” es refexia, refexia, si todo todo eleme elemento nto del conjun conjunto to “A” esta esta relacionad relacionado o consigo consigo mismo por la relaci%n “&”2 4or ejemplo:

%. Propie Propiedad dad Tra&si# ra&si#ia ia:: 3na relaci%n “&” en “A” es #ra&si#ia, #ra&si#ia, si siem siempr pre e 0ue 0ue un elem elemen ento to del del conjunto conjunto “A” est$ relacionad relacionado o con otro, otro,  8ste 8ste relac relacion ionado ado con un tercero tercero,, entonces entonces el primero primero est$ relacionado por “&” con el tercero2 4or ejemplo: Da do do el el co con ju ju nt nto:

Da do do el el co co nj nj un un to to :

A ={ ={ 1; 1; *; *; " "

A ={ ={ 1; 1; *; *; " "

5allar: & ={-a;). ={-a;). ∈  AxA6a=)"={-1;1.,-*;*., -;." Do nd nd e s e o) se ser7a 0u e cad a elem element ento o del del conju conjunto nto “A” est$ est$ relacionado consigo mismo, entonces “&” es refexia2 refexia 2

Da do do el el co co nj nju nt nto :



A = { ; ; !" !"

5allar: & = {-a;).∈ AxA6 aexi7a2 . & es sim8trica2 . &*  & son transiti7as - . &1  &  son de e0ui7alencia .

a. @II@ d. II@@

). @I@@ e. E2A2

c.

S%lo

2/. #Qu$l de las siguientes relaciones es sim8trica+ a. R = {-1,*., -,., -!,C., -C,?." ). R = {-?,1., -*,., -,C., -,*." c. R = {-a,m., -m,)., -n,m.,- a,)." d. R = {-*,!., -C,., -,C., -*,." e. R = {-,C., -?,G., -C,., -!,."

-,., -*,1., -C,., -1,?., -),a., -),m.,

a. R = {-!,!., -C,G., -?,?., -?,G., -G,G." ). R = {-!,!., -!,C., -C,C., -C,?., -?,?., -?,G." c. R = {-!,!., -C,!., -C,C., -?,?., -?,G., -G,G."

de e0ui7alencia

a. Podas

).   

d . S%lo 

e. Einguna

c.

S%lo

%1. /n A=J1;*;;C;GK se de'ne la relaci%n: ℜ = J-x;. 6  es di7isor de x9K #Qu$les de las a'rmaciones siguientes son 7erdaderas+ 2 2 2

-!,*., -1,*., -1,!., -G,?.,

/l 7alor de -a9)9c9d. es: a. ! d. G

). 1H e. ?

c. U

20. /n A={1,*,,", se de'ne la relaci%n R = {-x,. ∈ A* 6 x es par" 5allar el nmero de elementos de R

c. I@@I

2. #Qu$l de las siguientes relaciones de'nidas en A= {!, C, ?, G" es re>exi7a+

2 “&” es re>exi7a2 2 “&” es sim8trica2 2 “&” es transiti7a2 a. S%lo   d.   

2 2 2 I2

ℜ es



2. /n A = {1,*,,", se de'ne la relaci%n re>exi7a R = {-1,a., -),*., -c,c., -,d."

5

10

5allar: Dom-&. ∩ &an -&.

I2

5

6

4

d. R = {-!,C., -C,?., -?,G., -!,G." e. R = {-!,!., -C,G., -?,?., -?,G., -G,G."

a. G d. C

). 1H e. U

c. 1*

%,. /n el conjunto de los nmeros enteros -. se de'ne la relaci%n: -a;). ∈ ℜ ↔ a) ≥ H2 Qon respecto a las a'rmaciones: 2 2 2

ℜ es

re>exi7a sim8trica ℜ es transiti7a ℜ es

ℜ es

re>exi7a sim8trica ℜ es transiti7a ℜ es

a. S%lo 

). S%lo 

d.   

e. Podas

c.

S%lo



%2. /n A = de'nen las relaciones:

J1 ;*; K

se

ℜ  = J-1;1.,-*;.,-a;*.,-;).K ; ℜ es re>exi7a S = J-1;.,-c;d.K, S es sim8trica ; T =J-;e.,-*;.K, T  es transiti7a

5allar: a9)9c9d9e a. 1* d. U

). 11 e. G

c. 1H