Reiman Istvan - Matematika

Reiman István

Lektorálták;

Laczkó László Pálmay Lóránt Urbán János

MATEMATIKA © Reiman István, 1992

ETO: 51 ISBN 963 10 8578 3

Kiadja a M űszaki Könyvkiadó Felelős kiad ó: Szűcs Péter igazgató Felelős szerkesztő: Patkóné Helvei Judit 91/0154 Franklin N yom da, Budapest Felelős vezető: M átyás M iklós igazgató

M űszaki K önyvkiadó, Budapest, 1992

Mb. műszaki vezető: Dornizs László Műszaki szerkesztő: Marcsek Ildikó A kötést tervezte: Székely Edith A könyv ábráit rajzolta: Folk G yörgyné A könyv formátuma: A5 ívteijedelm e: 38 (A5) Azonossági szám: 61 554 M Ű : 452Q- i -9 2 9 4

Tartalom

Előszó

11

1. Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

A halmaz fogalma; j e lö lé s e k Részhalmazok; komplementer h a lm a z Halmazműveletek A halmazok ekvivalenciája A matematikai logika elemei; az ítéletkalkulus Logikai m ű veletek

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Természetes számok; egész sz á m o k Racionális számok; törtm űveletek Egész kitevős h atván yok Tizedestörtek; a racionális számok végtelen tizedestört a la k ja Irracionális számok; a valós számok h alm aza Számok közelítő értéke, kerekítés; a számok norm álalakja A valós számok abszolút é r té k e

2. Valós számok

13 14 15 18 19 21 23

3, Algebrai egész és törtkifejezések 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

23 26 29 32 35 37 39

40

Algebrai egész kifejezések és m űveleteik Fontosabb azonosságok a többtagú algebrai egész kifejezések k ö réb en Algebrai törtkifejezések és m ű veleteik Feladatok a racionális algebrai kifejezések körében végzett műveletekre és alkal­ mazásaikra Arányok, aránypárok; arányosság 4. A számelmélet elemei

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

13

40 43 45 48 49

53

A prímszámok; a számelmélet alaptétele; oszthatósági ism ertetőjegyek Legnagyobb közös osztó; legkisebb közös töb b szörös Az egész rész; maradékos osztás; m aradékosztályok Szám rendszerek Egy bizonyítási módszer: a teljes in d u k c ió

53 55 57 59 60

5

5. Négyzetgyökig kifejezések 64 5.1. 5.2. 5.3.

12. Egyhatározatlanú (egyváltozós) polinomok 144

Számok négyzetgyöke ........................................................................................................... M űveletek négyzetgyökös kifejezésekkel.......................................................................... Példák a négyzetgyökös kifejezések körében végzett m űveletekre............................ 6. Racionális és valós kitevőjű hatványok; logaritmus

64 66

69

72

6.1. A z w-edik gyök fo g a lm a ........................................................................................................ 6.2. Racionális kitevőjű h atv á n y o k ........................................................................................... 6.3. Valós kitevőjű h a tv á n y o k .................................................................................................... 6.4. A logaritmus fo g a lm a ............................................................................................................. 6.5. A logaritmus a zo n o ssá g a i.................................................................................................... 6 .6 . Kapcsolat különböző alapú logaritmusok között; logaritmusrendszerek............... 6.7. A logaritmus mint számítástechnikai segédeszk öz........................................................

72 73 74 75 77 78 80

7. Egyenletek 81 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.

A z egyenlet fogalma; egyenletek ekvivalenciája............................................................. Elsőfokú egyismeretlenes egyen letek ................................................................................ Elsőfokú egyenletrendszerek................................................................................................ Egyismeretlenes másodfokú egyenlet .............................................................................. Másodfokúra visszavezethető egyenletek ........................................................................ Négyzetgyökös egyen letek .................................................................................................... M ásodfokú egyenletrendszerek........................................................................................... Egyenletekre vezető fe la d a to k .............................................................................................. Diofantikus egyen letek ..........................................................................................................

8.1. 8.2. 8.3.

A z egyenlőtlenségek alaptulajdonságai.............................................................................. Azonos egyenlőtlenségek...................................................................................................... Elsőfokú egyismeretlenes egyenlőtlenségek és egyenlőtlenség-rendszerek...............

9.1. 9.2. 9.3.

A százalék fogalma; a százalékszám ítás............. ............................................................ Százalékos növekedés; százalékos csö k k en és................................................................. Feladatok a százalékszámítás alkalm azására.................................................................

10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7.

A másodrendű determináns fogalma; általánosítható tulajdonságai........................ A z n-edrendű determináns fogalma ................................................................................... Többismeretlenes, elsőfokú egyenletrendszerek; C ram er-szabály............................ A determinánsok általános tulajdon ságai........................................................................ A mátrix fogalma; speciális m á trix o k .............................................................................. Műveletek a mátrixok k ö réb en .....................................................................................••• Az inverzmátrix; kapcsolat az elsőfokú egyenletrendszerrel.......................................

11.1. 11.2. 11.3. 11.4.

A A A A

8. Egyenlőtlenségek

9. Százalékszámítás

109

6

109 110 114

Az egyhatározatlanú polinom fogalma; a H orner-m ódszer.............. ...................... A polinom ok osztási alg o ritm u sa ...................................................................... ............... A polinomok gyöktényezős a la k ja ..................................................................................... Egész együtthatós polinomok racionális g y ö k e i.............................................................

13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7.

Sorba rendezési problémák; permutációk, variá ció k ..................................................... Részhalmaz-kiválasztási problémák; k om b in ációk ....................................................... A binomiális tétel; binomiális együtthatók...................................................................... A skatulyaelv és a logikaiszita-formula............................................................................. Gráfok; a gráfokkal kapcsolatos alapfogalm ak.............................................................. Néhány egyszerűbb gráfelméleti összefüggés; a gráfok E uler-von ala...................... Síkbeli gráfok; fák, erdők; páros g r á fo k ..........................................................................

13. Kombinatorika

119 119 120 123 125 126 127 130

132

komplex szám fogalm a; műveletek komplex szám ok k al....................................... 132 komplex számsík ............................................................................................................... 133 komplex számok trigonometriai a la k ja ........................................................................ 136 komplex számok exponenciális a la k ja .......................................................................... 142

151 155 157 160 163 165 167

171

14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10. 14.11. 14.12. 14.13.

Síkgeometriai alapfogalmak. Konvex a la k za to k ........................................................... 171 Szögek; szögpárok .................................................................................................................. 172 Sokszögek; sz ö g ö ssze g ........................................................................................................... 176 Az egybevágóság; háromszögek egybevágósága............................................................. 179 Tengelyes tükrözés; tengelyesen szimmetrikus a la k z a to k .......................................... 182 Középpontos szimmetria; paralelogram m ák.................................................................. 188 A kör. Kerületi és középponti szögek; Thalész té te le ..................................................... 190 Hasonlósági transzformációk; középpontos h a so n ló sá g ............................................ 194 Mértaniközép-tételek; Pitagorasz tétele ........................................................................... 203 A sokszögek területe ............................................................................................................. 209 A kör kerülete és területe; ívmérték ................................................................................... 213 A háromszög geom etriájából.............................................................................................. 218 Speciális négyszögek; sokszögek ....................................................................................... 225

15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8.

Egyenesek és síkok kölcsönös helyzete; párhuzam osság.............................................. Hajlásszögek és tá v o lsá g o k .................................................................................................. Egybevágóság és hasonlóság a té rb en ............................................................................... Poliéderek: hasábok, gúlák; felszín és té rfo g a t............................................................. Euler-féle poliédertétel; szabályos te ste k .......................................................................... Hengerek és k ú p o k .................................................................................................................. A gömb és r é s z e i...................................................................................................................... A göm bhárom szög..................................................................................................................

16.1. 16.2. 16.3. 16.4. 16.5. 16.6. 16.7. 16.8.

A vektorok fogalma ............................................................................................................. Vektorok összeadása és k iv o n á sa ........................................................................................ Vektorok szorzása szám m al................................................................................................... Vektorok és pontok koordinátái .......................................................................................... Osztópont, súlypont és alkalm azások............................................................................... Trigonometrikus fü ggvén yek ................................................................................................ Skaláris sz o r z a t........................................................................................................................ Trigonometriai összefüggések a három szögben.............................................................

15. A tér elemi geometriája 116 117 118

144 145 146 148

151

14. Elemi síkgeometria

116

10. Két segédeszköz: a determináns és a mátrix

11. Komplex számok

81 83 87 93 98 100 102 103 106

12.1. 12.2. 12.3. 12.4.

16. Vektorok és alkalmazásaik

231 231 233 236 238 246 249 256 261

265 265 266 270 274 278 284 291 300

7

16.9. Vektoriális szorzat ................................................................................................................. 311 16.10. Vegyesszorzat; kifejtési t é t e l ................................................................................................ 318 16.11. A gömbháromszögek trigonom etriája.............................................................................. 321 17. Koordinátageometria

326

17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. 17.6. 17.7. 17.8. 17.9.

A pont eltolása és elforgatása; koordinátatranszform áció......................................... .326 A z egyenes egyenletei síkbeli koordináta-rendszerben.................................................. .328 A kör e g y en le te .........................................................................................................................344 A parabola és e g y en le tei...................................................................................................... .349 A z ellipszis és e g y en le tei...................................................................................................... .356 A hiperbola és egy en letei...................................................................................................... .362 Kúpszeletek és másodrendű g ö r b é k ....................................................................................368 Polárkoordináták ................................................................................................................... .371 Egyenes és sík a térbeli koordináta-rendszerben............................................................374

18.1. 18.2.

A z euklideszi alapszerkesztések és alkalm azásaik........................................................... 382 Gyakorlati szerk esztések...................................................................................................... 394

18. Szerkesztések

19. Sorozatok 19.1. 19.2. 19.3. 19.4. 19.5. 19.6. 19.7.

382

398

A sorozat fogalma, megadása ............................................................................................ Számtani so ro za to k ................................................................................................................. Mértani so ro za to k ................................................................................................................... A mértani sorozat alkalmazásai; kam atoskam at-szám ítás......................................... Konvergens s o r o z a to k ........................................................................................................... Rekurziós so r o z a to k ............................................................................................................... Végtelen s o r o k .......................................................................................................................... 20. Függvények

398 400 403 406 410 416 420

21.8. 21.9. 21.10. 21.11. 21.12. 21.13. 21.14. 21.15.

A T aylor-form ula......................................................................................................................508 Egyenletek közelítő m eg o ld á sa ..............................................................................................511 A primitív fü g g v é n y ............................................................................................................... ..517 A z integrál fo g a lm a ....................................................................................................................526 A N ew ton —L eib niz-tétel.........................................................................................................533 A z integrálszámítás alkalm azásai....................................................................................... ..535 K özelítő módszerek az integrálszám ításban......................................................................553 Néhány differenciálegyenlet m egold ása............................................................................ ..557 22. Valószínűség-számítás

22.1. 22.2. 22.3. 22.4. 22.5. 22.6.

565

A valószínűség-számítás tárgyköre; elemi események .................................................. ..565 A valószínűség alaptulajdonságai, a valószínűség klasszikus kiszámítási módja 567 A valószínűség geometriai kiszámítási m ó d ja ....................................................................573 Feltételes valószínűség és független ség.................................................................................576 Valószínűségi változók és eloszlásaik ...................................................................................579 A matematikai statisztika néhány alapfogalm a..................................................................584 23. Táblázatok

588

I. táblázat: Prímszámok 2-től 11 6 5 7 -ig ..................................................................................... ..590 II. táblázat: A 2-vel, 3-mal, 5-tel, 11-gyei nem osztható összetett számok prímtényezős felbontása 2500-ig ..........................................................................................................................595 III. táblázat: Faktoriálisok: 1! —5 0 ! ................................................................................................597 IV. táblázat: Binomiális eg y ü tth a tó k ..............................................................................................598 Tárgymutató

599

424

20.1. 20.2. 20.3. 20.4. 20.5. 20.6. 20.7. 20.8. 20.9. 20.10. 20.11.

A függvények fogalma, ábrázolása................................... ................................................. A függvényekkel kapcsolatos alapfogalm ak................................................................... A függvény határértéke........................................................................................................... Folytonos fü ggvén yek ............................................................................................................. Racionális egész- és törtfü ggvén y....................................................................................... Hatványfüggvény ...................................................................................................... ............ Exponenciális és logaritmusfüggvény; exponenciális és logaritmikus egyenletek Trigonometrikus függvények és in verzeik ........................................................................ Trigonometrikus azonosságok és eg y en le tek ................................................................. Hiperbolikus függvények és in v erzeik .............................................................................. Néhány nevezetesebb függvény .........................................................................................

21.1. 21.2. 21.3. 21.4. 21.5. 21.6. 21.7.

A differenciálhányados és a derivált fü g g v é n y ............................................................... Deriválási szabályok ............................................................................ ................................ Az elemi függvények deriválása......................................................................................... Középértéktételek és következm ényeik............................................................................ Magasabb rendű deriváltak; konvexitás, k o n k á v itá s.................................................. Függvényvizsgálat és alkalmazásai ................................................................................... A derivált alkalmazása határérték számítására; a l’H ospital-szabály........................

21. Differenciál- és integrálszámítás

424 428 433 436 439 447 448 451 458 466 470

472 472 475 478 487 491 494 505

9

Előszó

K önyvünk a m atem atikának azokat a fejezeteit tartalm azza, amelyeket általá­ ban a „középfokú” jelzővel szoktak megjelölni, kibővítve a felsőfokú oktatás néhány bevezető anyagrészletével. Elsősorban a középiskolai tananyagban kí­ ván segítséget nyújtani, de m indjárt hozzákapcsolja a m atem atikának azokat a tárgyköreit, amelyek átvezetnek a „m agasabb” m atem atikába. Az anyag összeállításával és tárgyalásm ódjának a m egválasztásával az volt a célunk, hogy az olvasó egységesen összefoglalva lásson egy-egy m atem atikai tárgykört az alkalm azásokkal együtt. E célból arra törekedtünk, hogy az adott szinten lehetőleg pontosan definiáljuk a felhasznált fogalm akat, szabatosan fo­ galmazzuk meg a tételeket, összefüggéseket, és ezek alkalm azásait egyszerűbb, ill. fokozatosan nehezedő példákon, feladatokon m utassuk be. A könyv terjedelme nem teszi lehetővé, hogy m inden tételünknek a bizo­ nyítását is közöljük, ezek egy részének csak a gondolatm enetét adhattuk meg; a hiányzó bizonyítások m egtalálhatók a tankönyvekben, kézikönyvekben. A példákat és a feladatokat úgy állítottuk össze, hogy azok lehetőleg ne hasz­ náljanak fel a m atem atikán kívüli, kevésbé ism ert fogalm akat, am ik a megoldás m egértését lényegesen megnehezítenék. Az egyes fejezetek felépítése — éppen összefoglaló jellegük m iatt — gyak­ ran eltér az iskolában megszokott felépítésektől; itt többször egymás mellé ke­ rülnek olyan szakaszok, amelyek az iskolai anyagban távol vannak egymástól, viszont esetleg különböző fejezetben találhatók meg egymáshoz szorosan kap ­ csolódó anyagrészek. Az olvasás m egkönnyítésére ezért gyakran hivatkozunk a kapcsolódó fejezet, ill. szakasz szám ára, pl. 20.5. a 20. fejezet 5. szakaszát je­ lenti ; a többször felhasznált képleteket soruk jobb szélén három szám m al jelöl­ tük meg, pl. (16.5.8) a 16. fejezet 5. szakaszának a 8. képlete. A könyv végén található tárgym utatóban megkereshetjük, hogy egy-egy fogalom vagy tétel hol fordul elő, tehát hol találhatjuk meg ezek definícióit, ill. m egfogalmazásait. A könnyebb kezelhetőség érdekében néhány tételt, m eghatározást többször is szerepeltetünk. Szólnunk kell a könyvben használt m atem atikai jelölésekről. A jelölésrend­ szer napjainkban átalakulóban van. Igyekeztünk azokat a jelöléseket használni, amelyek m a hazánkban a legelterjedtebbek, de m egadtuk a használatban levő 11

más jelöléseket is. Á ltalában arra törekedtünk, hogy csak a legszükségesebb jelöléseket használjuk, m ert ezen a szinten a túl sok m atem atikai jelölés feles­ legesen megnehezítheti a könyv olvasását. A kézirat elkészítésében nyújtott nagy segítségükért köszönetét m ondok a könyv szakm ai lektorainak: Laczkó László vezető tanárnak, Pálmay L óránt vezető szaktanácsadónak és U rbán Jánosnak, az O PI osztályvezetőjének; k ö ­ szönettel tartozom P. Helvei Juditnak gondos és lelkiismeretes szerkesztő m un­ kájáért és Vadas Istvánnénak a kézirat gépeléséért és gondozásáért. Budapest, 1989. szeptember 1.

1. Halmazok; a matematikai logika elemei

Reiman István 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A m atem atikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalm akat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalm ak segítségével rendszerint azért, m ert m eghatározásukhoz a szóban forgó fogalom nál bonyolultabb fogal­ m akat kellene felhasználnunk. A z egyik leggyakrabban használt alapfogalom a halmaz fogalma. A halmaz bizonyos dolgok, fogalm ak, tárgyak, szem élyek stb. együttese, öszszessége; ezek a dolgok, fogalm ak stb. a halm az elemei. N éhány példa halm a­ zokra : A ; a 9-nél kisebb pozitív egész szám ok halm aza; B: egy adott sík három szögeinek a halm aza; C : az 1997-nél nagyobb egész számok halm aza; D : azoknak a pozitív egész szám oknak a halm aza, amelyek 3-mal osztva 2-t adnak m aradékul; E : az egy osztályban tanuló diákok halmaza. Ezek közül az A-val és E-vel jelölt halm aznak véges sok eleme van; ezek számát egy természetes szám m al lehet megadni, az ilyen halm azt végesnek m ondjuk. Ezzel szemben a B, C, D halm azoknál ez nem lehetséges, ezek végte­ len halm azok. A halm azokat rendszerint nagybetűvel szoktuk jelölni, az elemeit pedig kisbetűkkel. A hozzátartozás jele: £ , pl. 7 £ A (o lv .: 7 eleme az A-nak), a „nem eleme” jelölése ennek a jelnek áthúzott változata ; pl. 9 (£ A. Egy halm azt az elemei egyértelműen m eghatározzák. K ét halm az akkor és csakis akkor egyenlő, ha elemeik azonosak. Egy halm azban egy „valam i” csak egyszer szerepelhet elemként, még akkor is, ha az elemek felsorolásakor ezt esetleg többször is említenénk. A halm azokat sokféle m ódon adhatjuk meg; a véges halm azoknak pl. fel­ sorolhatjuk az elemeit, az elemeket ilyenkor kapcsos zárójelbe tesszük: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. M egadhatjuk a halm azokat olyan utasítással is, amelynek alapján bárm ely elemről eldönthető, hogy hozzátartozik-e a halm azhoz vagy sem. Ilyen esetben tetszőleges szám halm az esetében is használjuk a kapcsos zárójelet, méghozzá

12

13

rendszerint a következő fo rm áb an : először leírjuk a halm az egy általános (azaz tetszőleges) elemének a jelét, pl. x-et, m ajd egy függőleges elválasztó vonal kö­ vetkezik, ezután m egadjuk azt az ism ertnek feltételezett nagyobb halm azt, amelynek x eleme, m ajd azt a speciális tulajdonságot, amelynek alapján az x elemeket ebből a nagyobb halm azból kiválasztjuk. Pl. az egész számok halm a­ zát Z-vel jelölve, az előbbi C halm azt a következő m ódon adhatjuk m eg : C = {x | x 1997}.

Ugyanezzel a m ódszerrel a D halm az megadása: D = { x |x = 3/c+2,

k = 0 ,1 ,2 ,...} .

A függőleges vonal helyett gyakran kettőspontot vagy pontosvesszőt hasz­ nálnak. M ár itt felhívjuk a figyelmet arra, hogy egy bizonyos halm azt többféle m ó­ don is m egadhatunk. Célszerűségből bevezetjük az elem nélküli halm az fogalmát, ennek neve: üres halmaz, je le : 0 . Példák üres halmazokra: — azon szám ok halm aza, amelyek kisebbek 10-nél, de nagyobbak 12-nél, vagy — az x 2 = — 1 egyenletet kielégítő valós számok halmaza.

1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz A z A halm azt a B halm az részhalmazának nevezzük, ha A minden eleme B-nek is eleme; jelöléssel: A c B. Eszerint m inden halm az részhalm aza saját m agának. Az üres halm azt m inden halm az valódi részhalm azának tekintjük; ez a tény számos tétel megfogalmazását lényegesen egyszerűsíti. H a viszont A részhal­ m aza B-nek, de nem egyenlő B-vel, akkor A-t a B valódi részhalmazának ne­ vezzük, ennek a kapcsolatnak a jele A ^ B . (Azt, hogy A részhalmaza B-nek, régebben az A £ B szim bólumm al jelölték, ebben az esetben a valódi részhal­ m az jele c . ) Példák a részhalm azokra: — az egész szám ok halm azának részhalm aza a páros számok halmaza, — a páros szám ok halm azának részhalmaza a 10-zel osztható számok hal­ maza, — a három szögek halm azának részhalm aza a szabályos háromszögek hal­ maza, — az E = {1, 2, 3} halm az részhalm azai: E x = 0, E2 = {1}, E 3 = {2}, E 4 = {3}, E 5 = {1, 2}, E 6 = {1, 3}, E 7 = {2, 3}, E s = {1, 2, 3}. 14

Ezek közül tehát E 8 nem valódi részhalmaz, a többi valódi részhalm az. H a A c B és B c A, akkor szükségképpen A = B, hiszen ez azt jelenti, hogy A m inden elemét B is tartalm azza, és B m inden eleme A-nak is eleme, tehát A és B elemei azonosak. Éppen ezért k ét halmaz azonosságát ( egyenlőségét) úgy bizonyíthatjuk, hogy megmutat­ ju k : bárm elyikük minden eleme hozzátartozik a m ásik halmazhoz is. Legyen pl. az A halm az egy síkon a P é s Q pontoktól egyenlő távolságra levő pontok halm aza, a B halm azt pedig a PQ szakasz felező merőlegesének a pont­ jai alkotják. E két halm az egyenlő voltának az igazolásához azt kell m egm utat­ nunk, hogy A c B , vagyis hogy a P-től és (M ól egyenlő távolságra levő pontok rajta vannak a felező merőlegesen; m ajd pedig azt, hogy B ez A, vagyis, hogy PQ felező merőlegesének a pontjai egyenlő távol vannak P-től és Q -tó l H a A részhalm aza B-nek, akkor a B halm az A-hoz nem tartozó elemei az A komplementer halmazát ( kiegészítő halmazát, komplementerét) alkotják B-ben. A kom plem enterének jele A. Jelölje Z az egész számok halm azát, A pedig a páros egészek halm azát. A kom plem entere Z-ben a páratlan szám ok halmaza. A kom plem enter képzése tehát m indig bizonyos alaphalm azra vonatkoz­ tatva történik; egy halm az kom plem enter halm azáról csak akkor van értelme beszélni, ha az alaphalm azt is m egadjuk. Fogalom alkotásunkból egyébként közvetlenül következik, hogy rögzített alaphalm az esetén az A halm az komple­ m enterének kom plem entere A-val egyenlő: A = A.

1.3. Halmazműveletek A számok körében bizonyos szám okból a műveletek során m eghatározott sza­ bályok szerint újabb szám okat állítunk elő. Ennek a m intájára azokat az eljá­ rásokat, amelyek során bizonyos halm azokból újabbakat állítunk elő, halmazműveleteknek nevezzük. Ezek közül m ost néhány gyakrabban előfordulóval foglalkozunk. Az A és B halm azok uniója azoknak az elemeknek a halm aza, amelyek az A é sB halm azok közül legalább az egyiknek elemei. A és B uniójának jele A U B (olv.: A unió B). A U B más elnevezései: A és B egyesítése vagy A és B összege. Példák k é t halmaz uniójára: — a páros szám ok halm azának és a páratlan szám ok halm azának uniója az egész számok halm aza, — a 15-nél nagyobb szám ok halm azának és a 0-nál nagyobb szám ok hal­ m azának uniója a pozitív számok halmaza, 15

— a 15-nél nagyobb valós szám ok halm azának és a 15-nél kisebb valós szá­ m ok halm azának uniója a valós szám ok halm aza a 15 kivételével. Az A és B halm azok metszetét A és B közös elemei alkotják. A és B metsze­ tének jele A fi B (olv.: A metszet B), a metszetet gyakran közös résznek is m ondják (néha A és B szorzatának). Példák ké t halmaz metszetére: — a páros szám ok halm azának és a páratlan számok halm azának metszete az üres halm az, — a 15-nél nagyobb szám ok halm azának és a 0-nál nagyobb számok halm a­ zának a m etszete a 15-nél nagyobb szám ok halmaza, — a 15-nél nagyobb szám ok halm azának és a 30-nál kisebb szám ok halm a­ zának m etszete a 15 és 30 közé eső szám ok halmaza. A halm azm űveleteket és a velük kapcsolatos összefüggéseket jól szemlélte­ tik az ún. Venn-diagramok (ezeket J. Venn angol m atem atikusról nevezték el); a halm azokat körlapokkal ábrázoljuk. K övetkező ábráinkon az eredményül k ap o tt halm az h atárát vastag vonallal jelöltük (1.3.1. és 1.3.2. ábra). AU B

a

1.3.3. ábra. n c e u O = (A n b ) u ( a n o

1.3.4. ábra. A \J {B C \C ) = ( A u B ) n ( . A \ j C )

A m ost bevezetett két művelet összekapcsolásával jönnek létre az ún. disztributív szabályok (1.3.3. és 1.3.4. ábra) A fi (B U C) - (A flB )U (A n C ), A U (B Pl C) = (A U B )n (A U C ). Az A halm az és a B halmaz differenciáját (ebben a sorrendben!) az A hal­ m aznak azok az elemei alkotják, amelyek nem elemei B-nek; A és B differen­ ciájának jele: A \ B (o lv .: A mínusz B). Az A \ B és B \ A halm azok nem azonosak (1.3.5. ábra). H a pl. R a valós szám ok halm aza, R \ { —1, 0, 1} jelenti azt a halm azt, amely a valós számok halm azából a —1, 0, 1 szám ok elhagyásával keletkezett. Nyilván teljesülnek a következő azonosságok: A\

1.3.1. ábra. Halmazok uniója

1.3.2. ábra. Halmazok metszete

Az unióművelet és a metszetképzés definíciója alapján (de a Venn-diagramok segítségével is) könnyen igazolhatók a következő azonosságok: U nió: AUB AUA AU0 A U (B U C)

= = =

BUA, A, A, (A U B )U C .

M etszet: A flB = A flA AD0 A fl(B n C ) =

BOA, = A, =0, ( A f lB ) n C .

M egjegyezzük, hogy a halm azm űveleteket — ugyanúgy, m int a szám ok kö­ rében értelm ezett műveleteket — tetszőleges számú halm azra is kiterjeszthetjük az utolsó ún. asszociatív tulajdonság alapján. A z A és B közös elem nélküli halm azokra jellemző, hogy m etszetük üres, azaz A fi B = 0, az ilyen halm azokat diszjimkt halmazoknak (n éh a: idegen hal­ m azoknak) m ondjuk. 16

0 = A,

0\

A = 0,

A\

A = 0.

Következő m űveletünk tartalm át tekintve eltér az eddigiektől, az eddig tá r­ gyalt esetekben ugyanis a művelettel nyert halm az elemei a kiindulásul vett h al­ m azok elemeiből állnak össze, m eghatározott szabályok szerint. Ú j m űveletünk­ nél azonban az eredm ényként kapott halm az elemei m ár jellegükben eltérnek az eredeti halm azok elemeitől. Az A és B halm azok direkt szorzatán az összes olyan (a; b) rendezett párok­ nak a halm azát értjük, amelynél a € A és b £ B; a rendezettség azt jelenti, hogy a páron belül az A-hoz tartozót tekintjük elsőnek és a B-hez tartozót m ásodik­

1.3.5. ábra. A \ B é s B \ A

17

nak. A és B direkt szorzatának je le : A x B (olv.: A kereszt B). A X B tehát általá­ ban nem azonos B x A -v al. A x B más elnevezése: A és B Descartes-féle (olv.: dékart-féle) szorzata (R. D escartes francia matematikus-filozófusról). Legyen pl. A = {I, 2, 3}, B = {4, 5}, akkor A X B = {(1,4), (1 ,5 ), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}, B X B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}. A X B Descartés-féle szorzat elnevezése onnan származik, hogy ha A a valós szám ok halmaza, A X A a sík pontjainak Descartes-féle koordinátáiból áll.

1.4. A halmazok ekvivalenciája Tegyük fel, hogy az A és B halm azok olyanok, hogy A minden eleméhez hozzá­ rendelhető' B-nek egy és csakis egy eleme úgy, hogy minden B-beli elem A-nak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve. Ezt a hozzárendelést, kapcsolatte­ rem tést, az A és B közötti kölcsönösen egyértelmű (más elnevezéssel: egy-egy értelmű) hozzárendelésnek nevezzük. A kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés azt is jelenti, hogy a két halm az elemeiből elem párokat képezünk úgy, hogy minden elempárban szerepel egyegy elem m indkét halm azból, és m indkét halm az valamennyi eleme pontosan egy elem párban fordul elő. Legyen pl. A a pozitív egészek, B pedig a pozitív páros egészek, C pedig a páratlan pozitív egészek halmaza. A : 'l , 2, 3, 4, . . . , B: 2, 4, 6, 8, . . . , C : 1, 3, 5, 7, . . . ,

n, n+ 1, . . . 2n, 2n + 2, . . . 2 « -1 , 2 n + l, . . .

Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető A és B elemei között úgy, hogy A minden eleméhez a B-beli kétszeresét (az egymás alatt álló szám okat) rendeljük hozzá, ily m ódon m inden B-beli elemhez pontosan egy A-beli tarto ­ zik, ti. éppen a fele. Az A és C halm az elemei között is létesíthető kölcsönösen egyértelmű meg­ feleltetés ; itt is m inden A-beli elemhez az alatta levőt rendeljük hozzá, azaz az n pozitív egészhez az zz-edik páratlan szám ot, 2n — 1-et. Viszont a B és C halm azok elemei között is van kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, B minden eleméhez rendeljük hozzá az előtte állót, azaz a nála eggyel kisebb számot, általában a 2n alakú számhoz 2n — 1-et. H a két halm az elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesít­ hető, akkor a két halm azt ekvivalensnek ( egyenértékűnek) m ondjuk. Előbbi m egállapításunk szerint tehát a pozitív egész számok halm aza ekvi­ valens a páros és a páratlan pozitív egészek halmazával is; ugyanakkor a páros és páratlan egészek halm aza egymással is ekvivalens. 18

Ha két véges halmaz ekvivalens, akkor azonos az elemszámúk, ez közvetlenül következik az ekvivalencia fogalmából. A halm azok ekvivalenciája tehát annak a fogalom nak a kiterjesztése a hal­ mazok körében, am it a véges halm azok esetén úgy fejezünk ki, hogy azonos az elemszámúk. A mi fogalom alkotásunknak következménye a végtelen halm azok körében, hogy egy végtelen halm az ekvivalens lehet valódi részhalm azával; pl. mint láttuk, a pozitív egészek halm aza ekvivalens a pozitív páros számok vagy a pozitív páratlan számok halmazával. A pozitív egészek halmazával ekvivalens halm azokat megszámlálható hal­ mazoknak nevezzük. Bebizonyítható, hogy megszámlálható az egész számok halm aza is, sőt a racionális számoké is. Nem igaz azonban, hogy bármely végtelen halm az meg­ szám lálható; a valós számok halm aza vagy egy egyenes pontjainak a halmaza nem megszámlálható. Az A, B, C halm azok vizsgálatakor a m egszámlálható halm azokról szem­ léletes képet is nyerhetünk; az, hogy a m egszámlálható halm az elemei a pozitív egészek elemei „alá írh ató k ”, azt jelenti, hogy sorozatba rendezhetők, bizonyos egymásutániság, sorrend állapítható meg közöttük. A megszámlálhatóság és a ( végtelen) sorozatba való rendezhetőség egy halmaznál tehát ugyanazt jelenti.

1.5. A matematikai logika elemei; az ítéletkalkulus A m atem atikának jellegzetessége, hogy tételeit, eredményeit más tételekből le­ vezeti, azaz bizonyos megszabott módon m ár meglévő tételekből, állításokból újabb tételekre következtet. A. helyes m atem atikai következtetések szerkezeti törvényeivel a matem atikai logika foglalkozik. A legáltalánosabb következtetési m ódok (következtetési sémák) alapját a logikai ítéletek alkotják. Logikai ítéletnek nevezünk egy kijelentő mondatot, ha egyértelműen eldönt­ hető, hogy a benne foglalt állítás igaz vagy hamis. A logikai ítéletet az egyszerűség kedvéért csak ítéletnek fogjuk nevezni; az ítélet fogalmát szokás még az „állítás”, „kijelentés” szavakkal is jelölni. A m atem atikai logika az ítéleteknél eltekint azok tartalm ától, jelentésétől, csupán igaz vagy nem igaz (azaz hamis) voltukkal foglalkozik; az ítélet „igaz” vagy „ham is” voltát az ítélet logikai értékének nevezzük. N ézzünk m ost néhány egyszerű ítéletet. A : A három szög síkidom. B : A három szög szögeinek összege 180°. C : 1990 egész szám. D : 1990 páratlan szám. E : 1990 páros szám. Az A, B, C, E ítéletek logikai értéke igaz, a D ítéleté hamis. 19

A fenti egyszerű ítéletből új ítéletet alkothatunk pl. úgy, hogy tagadjuk va­ lamelyik ítéletet, vagy pedig két ítéletet valamilyen form ában összekapcsolunk. Ezt az eljárást szokás az ítéletek körében végzett műveletnek nevezni, feltéve, hogy az új ítélet logikai értékét az eredeti ítélet (vagy ítéletek) logikai értéke egyértelműen m eghatározza. A m atem atikai logika ítéletműveletekkel foglalkozó része az ítéletkalkulus, m ás elnevezéssel: kijelentéskalkulus vagy állításkalkulus. A legegyszerűbb ítéletművelet a negáció ( tagadás); a P ítélet negációján a „Nem igaz, hogy P ” ítéletet értjük. Jele: ~|P, olvasása: nem P. Ez azt jelenti, hogy ha P igaz, akkor ~\ P hamis, ha P hamis, akkor 1 P igaz. Előző példáinkban pl. ~]C\ „nem igaz, hogy 1990 egész szám ”, vagy egy­ szerűen : „1990 nem egész szám ” ham is állítás, mivel C igaz volt. Viszont ~]D: „1990 nem páratlan szám " ítélet igaz, mivel D hamis volt. A negáció az egyetlen olyan ítéletművelet, amelynél csak egy ítéletből alko­ tu n k új ítéletet; a többi műveletnél m ár legalább két ítéletből indulunk ki. A P és Q ítélet konjunkcióján a „P és Q" ítéletet (vagy ennek valamilyen á t­ fogalm azott alakját) értjük. P és g konjunkciójának jele : PA Q, olvasása: P és Q. Definíció szerint PA Q akkor és csakis akkor igaz, ha P is és Q is igaz. Előző példáinkban A A B : „A három szög síkidom és szögeinek összege 180°” igaz állítás, mert A is és B is igaz; viszont a C A D ítélet: „1990 egész szám és p áratlan ” hamis állítás, m ert D ham is volt. H asonlóan kapjuk, hogy pl. A A C , B A C igaz; A AD , B A D ham is ítéletek. A P és, Q ítéletek diszjunkcióján „a megengedő vagy”-gyal összekapcsolt „ P vagy Q ” ítéletet értjük. P és Q diszjunkciójának jele: PVQ, o lv .: P vagy Q. PV Q akkor és csakis akkor hamis, ha P is és Q is hamis. A PV Q ítélet nyelvtani­ lag pontos megfogalmazása nem mindig egyszerű, m ert lényegében azt jelenti, hogy PV Q akkor igaz, ha P és Q közül legalább az egyik igaz (de lehet, hogy m ind a kettő is). P L : D V E igaz, mert E igaz, de D nem ; CVD is nyilván igaz.

1.6. Logikai műveletek Észrevehetjük, hogy példáinkban ítéletműveleteink leegyszerűsített nyelvi meg­ fogalmazásai sokszor „sántítanak”, nem érezzük pontosnak a tartalm ukat, s ezt a látszólagos ellentm ondást csak hosszabb körülírással tudjuk feloldani. Az igazság az, hogy a műveletek eredményeként kapott ítéletek igazságértékét definícióknak kell tekintenünk, a műveletek lényegében azt jelentik, hogy a lo­ gikai értékek (igaz, ham is) rendezett párjaihoz (negáció esetén egyetlen logikai értékhez) egy logikai értéket rendelünk. H a az igaz értéket /-vei, a hamis értéket h-val jelöljük, akkor pl. iA h — h, i ** i — i. A logikai értékekkel végzett műveletek — az ún. logikai m űveletek — értéktáblázata ezek szerint a következő (p és q ún. logikai változók, az i és h értékek valamelyikét jelölik): p

q

IP

phq

pvq

i i h h

t h i h

h h i i

i h h h

i i i h

P l,: A -w B igaz, B -»■ A igaz, C ** D hamis.

q

i h i i

p ^ q

i h h i

Ezeken kívül még más logikai műveletek is használatosak. A műveletek összekapcsolásával — ugyanúgy, m int a szám ok körében — itt is kaphatunk azonosságokat, olyan egyenlőségeket, amelyek a bennük szereplő logikai változók bárm ely értékeire fennállnak. N éhányat a nevezetesebb azonos­ ságok k ö zü l: ~ \0 P )= P , (p\I q)V r = p\! (q\J r), / A /lp = /, p A l p = h, l(p A q ) = I p V l q , 1{pMq) = IpA }q, p A q = iC lp V ltf ) , P = (P -* q)A(q p).

A P és Q ítéletek implikációján a „ha P, akkor Q ” alakú ítéletet nevezzük, am i akkor és csakis akkor hamis, amikor P igaz, de Q hamis. Jele P Q, o lv .: h a P, akkor Q (vagy P im plikálja Q-t). Pl. A B igaz, C — D hamis, D -*■ C igaz (Ezt az utóbbit megállapodás szerint igaznak tekintjük, bár hétköznapi értelemben nem használjuk.) Észrevehetjük, hogy a konjunkcióval és a diszjunkcióval ellentétben az im plikációnál m ár nem cserélhető fel az ítéletek sorrendje. A m atem atikai levezetések egyik leggyakoribb ítéletművelete az ekvivalencia (egyenértékűség). A P és Q ítéletek ekvivalenciáján a „P akkor és csakis akkor, ha Q ” ítéletet nevezzük; jele P 2 (o lv .: 29 nagyobb 2), 0 < 17 (olv.: 0 kisebb 17). H asználjuk még a S jelet (o lv .: kisebb vagy egyenlő, ill. nem nagyobb) és a s jelet (olv.: nagyobb vagy egyenlő, ill. nem kisebb). A természetes szám ok körében az a+x = 0 egyenletnek csak akkor van megoldása, ha a = 0. H a a ^ 0, nevezzük el a ellentettjének azt a számot, amelyet a-hoz adva 0-t kapunk, és jelöljük ezt —a-val („m ínusz a ”), akkor a + ( —a) = 0, az így k ap o tt —1, —2, —3, . . . szám okat a természetes szám okhoz csatolva az egész számok halmazát kapjuk, ennek a hal­ m aznak jele Z vagy Z. Az egész szám ok nagysági sorrendje: . . . -< —4 < —3 < —2 < —1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < . . . A z egész szám okon belül a 0-nál nagyobb számok a pozitív egészek, a 0-nál kisebbek a negatív egészek; elvben a pozitív egészeket is jelölhetnénk így: + 1, + 2, + 3 stb. A + , ill. — jeleket itt a szám ok előjelének szokás m ondani. A c szám pozitív voltát ezért általában c >- 0, negatív voltát c < 0 form ában szok­ tu k megadni. H a c nemnegatív: c S 0, ha c nem pozitív: c ^ 0. M egjegyezzük, hogy —a ellentetjének a-1 tekintjük. K ibővített szám körünkben fontos fogalom a szám ok abszolút értéke. M in­ den szám hoz tartozik egy szám, amely az illető számnak az abszolút értéke. A c szám abszolút értékének jele | c | (o lv .: c abszolút értéke). M egállapodás szerint c, ha c S 0,

!

—c,

ha

c < 0,

szavakkal: 0 abszolút értéke 0, pozitív szám abszolút értéke magával a szám ­ mal, negatív szám abszolút értéke pedig ellentettjével egyenlő. PL: 114J = 14, |0 | = 0, | —7 2 1 = 72. A zt a műveletet, amelynek segítségével az a-hoz m eghatározzuk azt a szá­ m ot, amelyet a-hoz adva egy adott b szám ot kapunk, kivonásnak nevezzük; p o n to sab b an : az a + x = b fegyenlet m egoldását b —a-val jelöljük, b —a tehát az a szám, amelyre a + (b — a) = b teljesül. A természetes számok halm azában a kivonás csak akkor végezhető el, ha b s a. b —a-1 egyébként b és a különbségének mondjuk. A z egész számok körében a műveleti szabályok m egállapításakor azt ta rt­ ju k szem előtt, hogy az összeadás és szorzás kom m utatív, asszociatív és disztri24

butív törvényei érvényben m aradjanak. (Ez az ún. permanencia elv.) Bebizonyít­ ható, hogy ebben az esetben a következő szabályokhoz ju tu n k : ha a és b p o ­ zitív 0 + ( —a) = - a , ( - a ) + ( - b ) = - ( a + b) ía —b, ha a > b, a + ( —b) — ( —b) + a = |o , ha a = b, I —(b —a), ha a < b. Ezt az eredm ényünket így is fogalm azhatjuk: két negatív számot úgy adunk össze, hogy abszolút értéküket összeadjuk és az eredményt mínusz előjellel látjuk el. PL: - 7 - 1 2 = - 1 9 ; egy pozitív és egy negatív számot úgy adunk össze, hogy vesszük a ké t szám abszolút értékét, ezek közül a nagyobbikből kivonjuk a kisebbiket és az ered­ ményt ellátjuk a nagyobbik abszolút értékű szám előjelével. PL: 6 + ( - 3 ) = 6 - 3 = 3; 6 - 1 7 = - ( 1 7 - 6 ) = - 1 1 , 2 - 9 = - 9 + 2 = = —(9 —2) = —7. Mivel pl. 6 + ( —3) = 6 —3, ezért 6 + ( —3) helyett általában m indjárt 6 —3-at szoktunk írni. Alapazonosságainkból következik, hogy ha összegeket adunk össze, ezek tagjait tetszőleges sorrendben adhatjuk össze úgy, hogy az összeget egybefog­ laló zárójeleket egyszerűen elhagyjuk: ( 6 - 9 + 2 + 8 ) + ( - 12 + 7 + 1 - 3 ) = 6 - 9 + 2 + 8 - 1 2 + 7 + 1 - 3 = 0. Egy összeg ellentettjét úgy kapjuk meg, hogy az összegben tagjainak az ellentettjeit adjuk össze; pl. - ( 6 - 8 - 9 + 12+ 1) = - 6 + 8 + 9 - 1 2 - 1 . Ebből következik, hogy összeget úgy vonunk ki, hogy a kisebbítendőhöz az összeg ellentettjét adjuk hozzá, p l.: 86—( —9 —13 + 2 —20) = 86 + 9 + 1 3 - 2 + 2 0 . Kivonásnál tehát az összeget egybefoglaló zárójel elhagyása a benne levő tagok előjelének a megváltoztatásával jár. H asonló okokból igazak a szorzás következő azonosságai : 0a = a0 = 0, a( —b) = ( —a) b — —ab, ( —a)( —b) = ab. Ezek következménye, hogy egy szorzat akkor és csakis akkor nulla, ha legalább egyik tényezője 0 ; egyező előjelű számok szorzata pozitív, különböző előjelűeké negatív. 25

P l.: 9 - ( —16) = - 1 4 4 ; ( - 7 ) . ( - 4 ) = 28; ( 4 - 6 + 2 ) - ( - 9 + 6) = = 4 -( —9) + ( —6)-( —9 )+ 2 -( —9 )+ 4 -6 + ( —6)-6 + 2-6 = = - 3 6 + 5 4 - 1 8 + 2 4 - 3 6 + 1 2 = 0.

1. Egy tört értéke nem változik, ha a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a számmal megszorozzuk vagy elosztjuk, azaz:

Továbbá: páratlan számú negatív szám szorzata negatív, páros számú negatív szám szorzata pedig pozitív.

—= , ahol k tetszőleges egész szám (k ^ 0). a ka

2.2. Racionális számok; törtműveletek H a az egész számok körében adottak az a és b egészek (a ^ 0), nem mindig ta­ lálunk olyan x egészet, amelyre az ax = b

(2.2. 1)

egyenlőség teljesülne, pl. nincs olyan x egész, amely kielégíti a 3x — 5 feltételt, viszont van olyan y, amelyre 3y = 12 teljesül, ti. a z y — 4. Ezt a tényt úgy szok­ tuk kifejezni, hogy 12 osztható 3-mal és az osztás eredménye 4; viszont 5 nem osztható 3-mal. Á ltaláb an : azt a műveletet, amely adott a és b számokhoz (a 0) olyan x szám ot határoz meg, amelyre ax = b teljesül, osztásnak nevezzük. Példánk azt m utatja, hogy az egészek körében az osztás nem mindig végezhető' el. K ibővíthetjük azonban az egész számok halm azát úgy, hogy az osztás el­ végezhető legyen. Új szám okat vezetünk be, a törtszámokat vagy törteket. M egállapodunk abban, hogy ~ (a ^ 0) olyan számot jelentsen, amely kielégíti a (2.2. 1) egyenlőséget, azaz a — tört azt a számot jelenti, amelynek ö-szorosa a Ib b-vel egyenlő; b a tö rt számlálója, a a nevezője. I — olvasása: b per a vagy b törve b \\a a-v al; — -t b és a hányadosának is m ondjuk, j Mivel az x = 1 -x = b egyenlőséget az x = b és az x = is kielégíti, ~ = = b, azaz ha a tört nevezője 1, akkor a tört a számlálójával egyenlő; és m egfordítva: c minden c egész szám tekinthető — alakú törtnek. A törtek értelmezésével máris kiterjesztettük a szorzás fogalmát az a és — b a szám okra. Szeretnénk most m ár az összeadást és szorzást valamennyi — alakú a szám ra (tehát köztük az egészekre is) kiterjeszteni úgy, hogy érvényben m arad­ jon m indkét művelet esetén a kom m utatív és asszociatív szabály, valam int a disztributív szabály is. Ezekből a törtekre és műveleteikre az alábbiak következ­ nek (a továbbiakban feltesszük, hogy a nevezőben szereplő szám nem nulla). 26

4 _ 8 _ 40 _ 2 _ 1 T I ~ 24 ~ l2 Ö ~ J ~ J ’

_ 6 _ 12 _ 54 _ t - -y ~ y .

H a a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal m egszorozzuk, azt m ondjuk, hogy bővítjük a törtet, ha ugyanazzal a számmal osztjuk, akkor egyszerűsítjük. Első példánkban rendre 2-vel, majd 5-tel bővítettünk, utána 20-szal, majd 2-vel egyszerűsítettünk. M egfordítva: ha két tört egyenlő, akkor bárm elyikük a m ásikból egyszerűsí­ téssel vagy bővítéssel származtatható. 2. A tört pozitív, ha a számláló és nevező egyenlő előjelű, és negatív, ha a szám­ láló és nevező különböző előjelű. +6 6 —6 6 6 —6 6 Pl. +7 7 ’ 7 -7 7 ’ -7 7 K ülön a számlálóba és a nevezőbe nem szoktunk előjelet kiírni, csupán a tört elé. 3. Azonos nevezőjű ( közös nevezőjű) törtek összeadásakor az összeg szám -' lálója a számlálók összege, a nevezője pedig a közös nevezővel egyenlő. b c b+ c a~^ a a Pl • l _ l + 9 = 3 - 7 ± 9 " 5 5 5 5 A z 1. tulajdonság alapján bővítéssel (vagy egyszerűsítéssel) a törteket közös nevezőre hozhatjuk és így m ár összeadhatjuk; közös nevezőnek olyan szám ot választunk, amely valam ennyi nevezőnek többszöröse. 3 2 17 _ 3-15 2-10 17-12 2-60 _ -l------------- 1-2 = --------1---------------------- 1--------= 4 6 5 60 60 60 60 45 20 ~ 6Ö + 6Ö

204 120 19 6Ö~ + “6Ö“ ~ “ 60 '

A közös nevezőre hozás technikájával még foglalkozunk a 4.2. szakaszban. 4. Két tört szorzatának számlálója a számlálók szorzata, nevezője a nevezők szorzata. a b

c d

ac bd ’ 27

H a az egyik tö rt értéke egész, ak k o r pl. a a a

c

C"b = T>'C== V T

12 4 _ 1 2 :4 _ 3 35“ : T ~ 35 : 5 ~~ T

ac

= T '

a tört és egész szám szorzásakor a tört számlálóját szorozzuk az egész szám­ mal, a nevező változatlan marad. 2 / 3\ 2 -3 6 PL: ------7• 8 ~ 56 ' K ét tö rtet (általánosabban: két szám ot) egymás reciprokjának nevezünk, ha szorzatuk 1. ~ reciprokja nyilván — , hiszen — = — = 1. A z a egész b a b a ab szám reciprokja viszont — , mivel « . — = a a d c 5. - - n e k -.-v e i való osztásakor arra b a m ekkora x, ha c a

S X= T

— = 1. a a kérdésre keresünk választ, hogy l c

A

. a d ad , „ . c ad a{cd) a Az x = T • — = ——ertek itt megfelelő, hiszen • -z— = y-.—K = -7- . Az osztás b c be d be b(cd) b műveletében ~ -t osztandónak, - j - t osztónak, az eredményt pedig,

-t, hánya­

dosnak nevezzük. Az osztásnak m int műveletnek a műveleti jele kettőspont, b a c ad pl. b : a = — , - : — = . a b d be A törttel való osztás az osztandónak és az osztó reciprokjának a szorzását jelenti. H a az osztó egész, pl. c-vel egyenlő, akkor a 1 _ a b e be

tehát: tört egész szám m al való osztásakor a tört nevezőjét kell az osztóval m eg­ szorozni. V\

~

—

-

" 9 : 5 _ '9 ‘ ~4 = 36 ’

a - A

_

9“ “

*

9 _ _

5 4 . _ n . 7 _

J ~ T

’ T

:

1 1

1

_

14:7 _ 2 9

: ~ ~9

'

Az osztás műveleténél kikötöttük,’ hogy az osztó nem lehet 0. A z a szám 0-val való osztása azt jelentené az osztás definíciója szerint, hogy olyan x érté­ ket kell m eghatároznunk, amelyre 0 •x = a teljesül. Nem teljesülhet azonban 0 -x = a, ha a ^ 0, tehát az osztás nem végezhető el. H a viszont a = 0, a 0 -x = 0 egyenlőséget m inden x szám ki­ elégíti, s így az osztásnak m int egyértelmű műveletnek nincs értelme. Ezért nullával nem lehet osztani, és tört nevezője nem lehet 0. H a viszont a 9C - 0, az ax = 0 egyenlőséget csak a 0 elégíti ki, ezért — = 0, a b b és m egfordítva: a tört definíciója szerint, ha — = 0, akkor a ^ 0 és a •— — 0, a a ez pedig csak akkor lehetséges, ha b = 0; ez azt jelenti, hogy

A törtszám okkal kibővített szám körünk a racionális szám ok halm aza, amelynek szokásos jelölése Q. Racionális számoknak nevezzük a — alakú számokat, ahol p és q tetszőleges ‘■I egész számok és q ^ 0. M int láttuk, a racionális szám ok körében az összeadás, szorzás, kivonás és osztás korlátlanul elvégezhető (feltéve, hogy az osztó nem nulla). A racioná­ lis szám ok halm aza valódi részhalm azként tartalm azza az egész szám ok hal­ m azát. M a m ár ritkán találkozunk a következő, törtekkel kapcsolatos kifejezé­ sekkel : valódi tört az 1-nél kisebb, áltört az 1-nél nagyobb tört. Vegyesszámnak szokás nevezni az egész szám és az 1-nél kisebb tö rt összegét, ha az össze1 1 adás jele nélkül írjuk a tagokat egymás mellé, pl. 8 + — = 8 — ; ez az alak m ate­ m atikai form ulákban nem használatos, mivel alkalm azása félreértésekre vezethet.

ÍZ

3 ' 7 ~~ 21"'

T ö rt törttel való osztását néha a szorzás közvetlen „m egfordításaként” is elvégezhetjük: tört törttel való osztásakor az osztandó számlálóját az osztó számlálójával, az osztandó nevezőjét pedig az osztó nevezőjével osztjuk. 28

14 “9

egy tört értéke akkor és csakis akkor 0, ha a számlálója 0.

( n * 0}

a _ a c b ’C b ’ 1

’

2.3. Egész kitevős hatványok Az ab szorzatban a-t és b-1 a szorzat tényezőinek m ondjuk. H a egy n tényezős szorzat minden tényezője a-val egyenlő, akkor ennek töm ör írásm ódja an: a - a - a - . . . -a — an.

(2.3.1)

29

Az an (olv.: a az n-ediken) kifejezést az a szám n-edik hatványának nevez­ zük, azt a műveletet pedig, amely az a szám hoz az an hatványt rendeli, hat­ ványozásnak, vagy n-edik hatványra való emelésnek mondjuk. an-ben az a hatványalap, n pedig a hatványkitevő. A második, ill. harm adik hatványt négyzetnek, ill. köbnek is nevezzük. M egállapodunk abban, hogy a1 = a legyen. A hatvány fogalmából közvetlenül következik, hogy minden pozitív egész n-re 0" = 0,

1" = 1,

és m egfordítva: ha n pozitív egész és aP = 0, akkor a = 0,

ill. ha an = 1, akkor a = 1.

4. H a n > k pozitív egészek, legyen n — k = í, azaz n = k + s, an ak+s ak -as as an:ak = —r = — j - = . , = — = as = an~k, ak ak ak - 1 1 egyenlő alapú hatványok hányadosában a közös alap kitevője az osztandó az osztó kitevőjének a különbsége. 5. Hatványok hatványozásakor az alap új kitevője a hatványkitevők szor­ zata lesz, mert (an)k = a"-an- .. .an = ar+n+.. , +n = ank. Pl.: (23)2 = 2", (125)7 = (127)5 = 1235. Szám rendszerünkben 10 bizonyos hatványainak külön neve van:

A szorzás előjelszabályából következik, hogy — a pozitív számok minden hatványa,pozitív, — a negatív számok páros kitevőjű hatványa pozitív, páratlan kitevős hat­ ványa negatív (ha a hatványkitevő pozitív egész). Speciálisan: a számok négyzete nemnegatív szám. Pl.: 210 = 1024, 34 = 81, 105 = 100 000, 452 = 2025, ( - 2)10 = 1024, ( —2)9 = —512, ( — 7)3 — - 3 4 3 . A hatványmennyiségek (2.3.1) alatti m eghatározásából következik a hat­ ványozás néhány lényeges azonossága. Először két azonosság az egyenlő kitevőjű hatványok k öréből: 1. (ab)n = (ab) (a b ) .. .(ab) = ( a - a - . . . -a) ( b - b - .. .b) = anb", azaz szorzat n-edik hatványa (n pozitív egész) a tényezők n-edik hatványának a szorzatával egyenlő, vagyis: szorzatot tényezőként hatványozhatunk. Pl.: (2-5)3 = 23-53 = 8-125 = 1000. „

/ a \n

2- ( * )

a

a

= T

T

a

- S

a"

,

.,

(f

i4 i 5

21

35

32

243 ‘

3. an-ak = an+k, n, k pozitív egészek, mivel mind a bal, m ind a jobb ol­ dalon egy olyan szorzat áll, amelyben az a szám n + k - szór szerepel tényező­ ként, tehát egyenlő alapú hatványok szorzatában a közös alap kitevője a tényezők k i­ tevőinek az összegével egyenlő.

109 1012 1018 1024 1030

milliárd, billió, trillió, kvadrillió, kvintillió stb.

A hatványfogalm at minden egész kitevőre kiterjesztjük. A kiterjesztést azonban úgy akarjuk értelmezni, hogy a hatványozás pozitív egész kitevőre megismert azonosságai érvényben m aradjanak, ezért a 0, ill. a negatív egész kitevős hatványokat a racionális számok körében a következő m ódon értel­ m ezzük: a) Nulla, ill. negatív kitevős hatvány alapja nem lehet 0. b) M inden szám nulla kitevős hatványa 1-gyei egyenlő. c) Minden szám negatív egész kitevős hatványa az alap reciprokjának ellentett kitevős hatványával egyenlő. Általánosságban tehát: a ° = l,

= ~F'

K ét lényeges azonosság az egyenlő alapú hatványok köréből:

30

száz, ezer, tízezer, százezer, millió,

, .

azaz tört n-edik hatványa a számláló és a nevező n-edik hatványának a há­ nyadosa. p i,

102 103 104 105 106

a -« = / l r = l

(a ^ 0 ).

0 P l.: (27)° =

= ( - 1)° = 1° = 1.

ar--« (ir-íir--^

i i 10“ 4 = —— — ---------- , 104 10 000 ’

1 -7 = 1 7 = 1 .

Bebizonyítható, hogy az egész kitevős hatványok körében is érvényben m aradnak a pozitív egész kitevős hatványokra megismert azonosságok, de m ár nem kell kikötnünk, hogy az osztandó kitevője nagyobb legyen az osztó kitevőjénél; ügyelnünk kell azonban arra, hogy a nulla alapra nem terjesztet­ tük ki a nulla, ill. negatív kitevős hatványok fogalmát. 31

Pl ; 95. 9-5 = 9° = 1, 5B:56 = 5° = 1,

38- 3 - ? = 38- 7 = 3,

74:712 = 74- 12 = 7“ 8 =

(3 -2 )-9 = 3 - 9-2-» =

/ 2 \ 4 / 5 \ —3 24 • 73 \T j \T j ” 34 • 53 ’

,

27-2“ 7 = 2 ° = 1.

/ 4 \7. /5 \ - 6 47 / 4 \ 6 47 46 4 \ 5 / : \ 4j ~~ 5^ : ( l / “ *57 : 5« “ T ’

10 néhány nevezetesebb negatív egész kitevős h atv á n y a : 10” 1 10-2 IO- 3 10“ 4

tized század ezred tízezred

10~5 százezred 10'"6 m illiomod 10“ 7 tízm illiom od stb.

2.4. Tizedestörtek; a racionális számok végtelen tizedestört alakja A tizedestört olyan tö rt, amelynek szám lálója egész szám, nevezője pedig 10 nemnegatív egész kitevőjű hatványa. A tizedestörteknek a tízes szám rendszerben speciális írásm ódja van, amely szervesen beleillik a szám ok tízes számrendszerbeli felírási m ódjába, ezért először az egész szám ok tízes számrendszerbeli ábrázolását tekintjük át. A z 5413 szám ban minden számjegy 10 valamilyen hatványának a több­ szörösét jelzi, méghozzá 3 a 10 nulladik hatványáét, 1 a 10 első, 4 a 10 m á­ sodik, 5 pedig a 10 harm adik hatványáéi, azaz 5413 = 5* 103+ 4 -1 0 2+ 1 • 10 + + 3-10°, az utolsó tag természetesen 3-1 = 3 alakban is írható. Ez azt jelenti, hogy egy leírt egész számban jobbról balra haladva az első számjegy 1-eseket, a m ásodik 10-eseket, a harm adik 102-eseket (azaz százasokat), a negyedik 1Ö tösöket (azaz ezreseket) jelent, ezl úgy is szoktuk mondani, hogy ezeknek a szám oknak a helyi értéke ebben a sorrendben 10°, 101, 102, 103, 104, !05, . . . stb.

részt az ún. tizedesvessző választja el (újabban tizedesvessző helyett gyakran tizedespontot használnak): 846 1997,846 = 1997 + - ——-. lü-* Megjegyezzük, hogy ezt egyetlen tö rt alakjában is m egadhatjuk: 1997-103 + 846 1Ö3

1 997 846 1000 '

Elvben a tizedesjegyek után még tetszőleges sok 0 írható, ezeket a 0-ákat azonban csak akkor szoktuk kiírni, ha ezzel jelezni akarjuk bizonyos közelítő értékek pontosságát. Ezekről bővebbet a 2.6. szakaszban. A tizedestörtekkel való számolás azért fontos, m ert lényegében ugyanúgy alkalm azhatók rájuk az írásbeli műveleti eljárások — a m atem atikában eze­ ket algoritmusoknak m ondjuk — m int az egész szám okra. Összeadás és kivonás során arra kell ügyelnünk, hogy a számok felírásá­ val az egyenlő helyi értékű számok kerüljenek egymás alá: 84,5136 219,864 0,712-2,13 + 3,071 - 76,2199 7424 87,5846 143,6441 712 2136 1,51656 Szorzáskor a részletszorzatokban figyelmen kívül hagyjuk a tizedesvesszőt, az eredmény a tizedesvessző után annyi jegyet tartalm az, m int am ennyi össze­ sen a tényezőkben van. 10"-nel (n pozitív egész) való szorzásnál egyszerűen n hellyel jobbra viszszük a tizedesvesszőt, p l.: 17,3149-103 = 17314,9, ugyanis 173 149 173149-103 173 149 17,3149-103 = 1Q4 -103 = ^ 1U = - ](j = 17314,9. H a az eredmény egész szám, a tizedesvesszőt m ár nem tesszük ki: 7,4142-10 000 = 7,4142-104 = 74142;

42,014-105 = 4 201 400.

T ö + l o r + 103 + ~ W ’

Az osztási eljárás egyszerűbbé tétele m iatt ügyelünk arra, hogy az osztó mindig egész szám legyen; ez elérhető, mivel a hányados (azaz az osztás ered­ ménye) nem változik, ha m ind az osztandót, m ind az osztót megszorozzuk 10 olyan hatványával, hogy az osztóból egész szám legyen. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy m ind az osztandóban, m ind az osztóban annyi jeggyel viszszük jobbra a tizedesvesszőt, ahány tizedesjegy az osztóban van. P l.:

ak k o r ezt a 0,6871 alakban ábrázoljuk, ahol 6 helyi értéke 10-1, 8 helyi értéke 10~2, 7 helyi értéke 10~3 és 1 helyi értéke 10‘"4. 1997,846 egy egész szám (1997) és egy tizedestört összegét jelenti, a két

1,51656:2,13 = 151,656:213, 1,51656:0,712 = 1516,56: 712, 123,54: 0,0142 = 1235400: 142.

H a egy szám 10 negatív egész kitevőjű hatványainak a többszöröseiből adódik össze, azaz felírható tizedestörtek összegeként, p l.: 6

32

8

7

1

33

A z osztáskor a hányadosban akkor jelenik meg a tizedesvessző, am ikor az osztandónál is eljutunk az első tizedesjegyhez: 1516,56 : 712 = 2,13 925 2136

0,01024: 16 = 0,00064 64 00

1 • 3 = 0 ,3 ;

000 Az osztási eljárás (osztási algoritmus) m ódot ad arra, hogy a racionális szám okat tizedestört alakjában írjuk fel. Az egész szám is tekinthető tizedes törtnek, itt a tizedesvessző után (tetszőlegesen sok) 0 á ll: 7 = 7,0000. 10"-nel való osztás esetén (n =*• 0, egész) a tizedesvesszőt n hellyel balra visszük: Pl. 4428,342:105 = 0,04428342. Lehetséges, hogy az osztás néhány (esetleg sok) lépés után véget ér, azaz az osztás folyamán 0 m aradékhoz ju tu n k ; az eredmény ún. véges tizedestört.

525

= 861 : 525 = 1,64 3360

2100 0000 Ez az eset azonban nagyon ritkán következik be. Az osztások többsége végtelenségig folytatható, m int pl. a következő racionális számok esetében: 4 = 3

12 7

1 :3 = 0 ,3 3 3 ... 10 10 1.

és a hányados számjegyei is ismétlődnek. Az ism étlődő szakaszok kezdődhet­ nek m indjárt a tizedesvessző után, vagy esetleg később; állhatnak egy vagy több jegyből. A z eredményül kapott végtelen szakaszos tizedestörtben a sza­ kaszt szokásos az első és utolsó jegye fölé írt ponttal jelölni, így a többi jegy kiírása feleslegessé válik. Ezzel a jelöléssel:

- J == 7 : 6 = 1,1 6 6 ... 6 10 40 40.

1043 = 12: 7 = 1,7142857... — — = 1043:3996 = 0,26101. 50 3996 10430 10 24380 30 4040 20 4400 60 404. 40 50.

•

7 —

1, 16;

12

^ =

1, 714285 ;

1043 • • 3^ = 0 ,26101 .

H a még azt is figyelembe vesszük, hogy az egész számok és a véges tizedes­ törtek is tekinthetők végtelen szakaszos tizedestörtnek, hiszen a szám után tetszőlegesen sok nulla írható, kim ondhatjuk, hogy minden racionális szám végtelen szakaszos tizedestört alakjában adható meg. Bebizonyítható, hogy ezekkel a végtelen tizedestörtekkel ugyanúgy végez­ hetjük az írásbeli összeadást, kivonást, vagy a 10 hatványaival való szorzást, mint a véges tizedestörtekkel. Ennek ismeretében azonban m egm utathatjuk, hogy minden végtelen szakaszos tizedest őrt — (p és q egész) alakban is elő­ állítható. Ennek módszerét három példán világítjuk meg. (A példáinkban szereplő szám okat jelölje rendre x, y, z .) x = 0 ,4 4 4 4 ... 10x = 4 ,4 4 4 4 ... ~9x = 4 4 9

X = -

6,191919... 100y = 619,191919... 99y = 613 y = 7 99

z= 1,312312... 1000z = 1312,312312.. . 999z = 1311

613

1311 999

437 333

A racionális számok halmaza tehát azonos a végtelen szakaszos tizedestörtek halmazával. Itt jegyezzük meg, hogy — csakis akkor egyenlő egy véges tizedestörttel, ha q a prím szám ok közül csak 2-vel vagy 5-tel osztható, feltéve, hogy a tö rt már nem egyszerűsíthető. A végtelen szakaszos tizedestörtek közül ki szokás zárni azt, amely egy jegytől kezdve m ár csak csupa 9-esből áll, m ert ilyen nem jöhet létre az osztási eljárással.

2.5. Irracionális számok; a valós számok halmaza M inden példánknak közös tulajdonsága, hogy a tizedestörtben bizonyos szám csoportok — ún. szakaszok — ismétlődnek. Ez szükségképpen így van, hiszen az osztási m aradékok mindig kisebbek, m int az osztó, és így számuk legfeljebb az osztónál 1-gyel kisebb lehet, ezért osztás közben újra fel kell lépnie olyan m aradéknak, amely m ár szerepelt, és ettől kezdve a m aradékok is 34

Elméleti meggondolásaink olyan eredményre vezetnek, hogy nem tudjuk minden szakasz hosszát racionális számmal kifejezni. H a pl. egy négyzet olda­ lainak hossza 1, akkor az átlójának hossza nem lehet racionális szám, azaz nem lehet végtelen szakaszos tizedestörttel kifejezni. 35

Az ilyen típusú problém ák m egoldására vezetjük be az irracionális szám fogalmát. Irracionális számoknak a végtelen nem szakaszos tizedestörteket nevezzük. Irracionális szám pl. a 0,101001000100001... szám, meri jegyei nem ismét­ lődnek szakaszosan. (Irracionális szám ok lépnek fel nagyon gyakran a gyök­ vonással kapcsolatban, erről bővebbet az 5.1. szakaszban.) A racionális és irracionális szám ok halm azának az egyesítése a valós számok halmaza. A valós szám ok tehát végtelen tizedestörtek formájában adhatók meg. Be­ bizonyítható, hogy a valós szám okra érvényesek mindazok a műveleti azonos­ ságok, am iket a racionális szám ok körében felsoroltunk, te h á t: a+b = b+a ab = ba a + (b + c ) = (a + b )+ c a (be) — (ab)c a(b + c) = ab + ac

(kom m utativitás); (asszociativitás); (disztributivitás).

T o v áb b á: a kivonás és a (nem 0-val való) osztás egyértelműen elvégezhető, azaz két valós szám nak a különbsége és a hányadosa is valós szám. A fenti tulajdonságokkal rendelkező szám halm azokat számtesteknek (vagy egyszerűen: testeknek) nevezzük, beszélünk tehát a racionális számtestről és a valós számtestről. A valós számtest je le : R vagy IR. A valós számok halmaza is rendezett, azaz bármely két a és b elem között fennáll az a < b, a = b, a > b kapcsolat egyike. Érvényesek az egész kitevős hatványok 2.3. szakaszban felsorolt azonosságai. A z a és b valós számok közötti számok halm azát, tehát azokat, amelyekre a < x < b teljesül, az a. b által m eghatározott nyílt intervallumnak ( szám köz­ n ek) nevezzük; jele: ]a, b[, o lv .: a, b nyílt intervallum. H a a nyílt intervallum ­ hoz a-1 és b-t is hozzávesszük, zárt intervallumot kapunk, jele: [a, b], ezek azo­ kat az x szám okat tartalm azzák, amelyekre a ~ x b teljesül. H a a-l hozzászám ítjuk az intervallum hoz, de b-t nem, alulról zárt, felülről nyílt intervallum ot (jele: [a, b[), fordított esetben alulról nyílt, felülről zárt intervallum ot kapunk (jeJe: ]a, b]). A valós szám halm az alapvető tulajdonságát fejezi ki a következő tétel (az ún. Cantor-féle axióma): ha az [öi, fej], [a2, b2], ■• ., [a,„ b„],. . .zárt intervallumok végtelen halmaza olyan, hogy minden intervallum tartalmazza az utána következőket („egymásba skatulyázott intervallum ok” ), akkor van olyan valós szám , amely minden inter­ vallumban benne van. Ennek következménye, hogy egy egyenes pontjai és a valós szám ok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, tehát az egyenes minden pontját m egjelölhetjük egy valós számmal és m inden valós számhoz tartozik egyetlen pont az egyenesen, méghozzá úgy, hogy az egyenesen van olyan irány, hogy abban az irányban haladva a pontokhoz rendelt számok növekednek. 36

Az így megjelölt egyenest számegyenesnek mondjuk. A számegyenes két pontja közötti pontok halm azát is intervallum nak nevezzük, és ezeket rendszerint a végpontokhoz tartozó valós számokkal adjuk meg.

2.6. Számok közelítő értéke, kerekítés; a számok normálatok ja A végtelen tizedes törtek alakjában m egadott valós számok a szám olásra alkal­ m atlanok, ill. rendkívül nehézkessé teszik a számolást. A gyakorlatban azonban nincs is szükség végtelen sok tizedesjegyre, hiszen pl. nincs értelm e annak, hogy két város távolságát méteres vagy centiméteres pontossággal adjuk meg; ugyanúgy értelmetlen lenne egy földrész lakóinak a szám át embernyi pontos­ sággal megadnunk, hiszen senki sem hinné el, hogy E urópa lakosainak a szám át egy adott pillanatban egész pontosan meg lehetne határozni. Mérési és statisztikai adataink tehát (egy-két kivételtől eltekintve) közelíté­ sek és a valós szám oknak is általában a közelítő értékével szám olunk. A pontos érték és a közelítő érték eltérését különbségük abszolút értékével m érjük és a közelítő érték hibájának nevezzük. T e h á t: |pontos érték —közelítő érték\ = a közelítő érték hibája. A hiba pontos értékére nincs mindig szükségünk, de nem is ism erjük általá­ ban a pontos értékét, ezért a hibánál fontosabb fogalom a hibakorlát: ez olyan pozitív szám, amelynél a hiba nem lehet nagyobb. Ha tehát a hibakorlátot /i-val jelöljük, \pontos érték —közelítő érték\ =5 h, vagy közelítő érték —h + pontos érték =s közelítő érték+ h. A közelítő érték megadásának leggyakoribb form ája a kerekítés; ez azt jelenti, hogy egy szám jegyeiből csak bizonyos számút tartunk meg, az utolsó m egtartott jegyet kerekítjük; ha az elhagyott jegyek a tizedesvessző előtt van­ nak, helyükbe nullákat írunk. A kerekítés szabálya a következő: a ) ha az első elhagyott számjegy 5-nél kisebb, akkor az utolsó megtartott je g y változatlan; b) ha az első elhagyott számjegy 5 vagy 5-nél nagyobb, az utolsó megtartott jegyet 1-,gyei növeljük (ez természetesen hatással lehet az előző jegyekre is, ha az utolsó m egtartott jegy 9-es). A kerekítéskor meg szoktuk m ondani az utolsó m egtartott jegy helyi értékét, vagy pedig — ha az a tizedesvessző után van — megm ondjuk, hány tizedesjegyet akarunk m egtartani. P l.: kerekítsük a 8649917, 1739543... számot százasokra: ezresekre:

8 649 900; 8 650 000;

37

m illióra: k éttized esre: négy tizedesre:

zitív szám karakterisztikáját egyszerűen a következő szabály szerint állapíthat­ juk meg: ha a szám 1-nél nagyobb, a karakterisztika a tizedesvessző előtti jegyek számánál 1-gyel kisebb; ha 1-nél kisebb, a karakterisztika a szám elején álló nullák szám ának — 1-szerese.

9 000 000; 8 649917,17; 8 649 917,1740.

U tolsó példánk utolsó jegye ún. értékes nulla, jelezve azt, hogy ez a je g y pontos, ill. kerekített, míg első három példánkban a nullák ún. helypótló nullák. Ebbó'l a kerekítési szabályból következik, hogy a kerekítéssel kapott kö ­ zelítő érték hibája legfeljebb az utolsó számjegy helyi értékének a fe le lehet. A kerekítés m értékét (tehát a m egkapott jegyek számát) az szokta megszabni, hogy a kerekített jegy lehetőleg még megbízható legyen. A kerekített — azaz közelítő — értékkel való számolás eredménye is általá­ ban közelítő érték. A kerekítés szabályait figyelembe véve a műveleti eredmény megbízható jegyeiről a következőket m o ndhatjuk: — összeadáskor (kivonáskor) megkeressük azt a tagot, amelyben az utolsó (kerekített vagy megbízható) jegy a legnagyobb helyi értékű; az eredményt úgy kerekítjük, hogy utolsó értékes jegye ilyen helyi értékű legyen; — kerekített számok szorzatában annyi értékes jegyet hagyunk meg, am ennyi a kevésbé pontos tényezőben van (tehát abban a tényezőben, amely­ nek utolsó jegye a nagyobb helyi értékű); ennek folyamánya, hogy a hatvány­ ban annyi értékes jegyet hagyunk, amennyi az alapban v an ; — osztáskor az eredményben (hányadosban) annyi értékes jegyet hagyunk meg, amennyi az osztandó és osztó közül a kevésbé pontosban van. PL: 542,619 6,17-0,4296 = 2,650632 41,16 kerekítve: 2,65 + 9,1477 592,9267 kerekítve: 592,93 H a egy a számról hangsúlyozni akarjuk, hogy közelítő érték, a % (olv.: közelítőleg egyenlő) jel használata a szokás; pl. a % 6,2832. Sokjegyű szám áttekinthető felírására és az ilyen számok nagyságrendjének összehasonlítására célszerű bevezetnünk a valós számok normálalakját. Egy pozitív számot norm álalakban egy 1 és 10 közé eső N számnak (1 sí á N < 10) és 10 egy egész kitevős hatványának a szorzataként adunk meg. P l.: 1024 = 1,024-103, 31,42 = 3,142-10, 1614718 = 1,614718-108.

0,0723 = 7,23-10“ ", 0,125 = 1,25-10-1, 3,42 = 3,42- 10".

2.7. A valós számok abszolút értéke A 2.1. szakaszban m ár definiáltuk az egész számok abszolút értékét, ez a defi­ níció érvényes a valós szám ok körében is, tehát (|a| = a abszolút értéke): |

a, ha a nemnegatív,

\a \ = ( —a, ha a negatív. Az abszolút érték két fontos tulajdonságát kell megjegyeznünk: a) A szorzat abszolút értéke tényezői abszolút értékének a szorzatával egyenlő: \ab\ = \a \ \b \, és ez tetszőleges számú tényezőre általánosítható. b) A tört abszolút értéke számlálója és nevezője abszolút értékének a hánya­ dosa :

E bből következik, hogy \a"\ = \ a f , m inden egész kitevőre. Jegyezzük meg, hogy hasonló jellegű összefüggés összegre és különbségre általában már nem érvényes, pl. az \a + b\ = |a|+ |fe| egyenlőség csak abban az esetben igaz, ha a és b közül legalább egy 0, vagy pedig a és b azonos elő­ jelűek. K ülönböző előjelűekre ez az összefüggés nem igaz; p l.: | 5 + ( —3 )| = 12 1 = 2,

és

|5 | + | _ 3 | = 5 + 3 = 8.

Az összeg és az összeadandók abszolút értékei között érvényes összefüggésről a 8.2. szakaszban van szó.

A szám norm álalakját használjuk igen kis számok és igen nagy számok esetén is; pl. 1 elektronvolt = 3,826-10“ 23 kcal; a Nap tömege 1,983- 103U kg; az elektron nyugalmi tömege 9,1096-10-31 kg stb. Az N szám általában kere­ kített szám. Zsebszámológépen is norm álalakban jelennek meg a nagy szám ok; a kijelzőben először az N, majd tőle valami módon elkülönítve a 10 hatvány­ kitevőjét jelentő két számjegy. A szám norm álalakjában 10 kitevőjét karakterisztikának nevezzük. A po38

39

3. Algebrai egész és törtkifejezések

Összeadás és kivonás. H a két egytagú algebrai kifejezés csak együtthatójában különbözik, összegük együtthatója a két együttható összege lesz, és csak ilyenek összege írható egyszerűbb a la k b a :

51a— 10a = 41a; 3 x2+ 5x2 — 8x2; 9y2- 6 y + l + 2y2+ 9 = 1ly 2—6y+ 16; 4,3ab+ 2a2~ c —~ a2 + 7ab = 11,3ab + 1,5a2—c. T öbbtagúak összeadásakor, ill. kivonásakor a többtagút zárójelbe tesszük. H a a zárójel előtt + előjel van (ezt a sor elején nem írjuk ki), a zárójel egy­ szerűen elhagyható; ha — előjel van a zárójel előtt, a zárójelet elhagyva a benne levő tagok (egytagúak) előjelét ellentettjére kell változtatnunk: .

3.1. Algebrai egész kifejezések és műveleteik Á ltalános érvényű tételek, összefüggések m egfogalmazásakor, leírásakor konk­ rét valós szám ok helyett betűket szoktunk szerepeltetni; pl. az a, b, e, d, .. ., y , u, v . . . , betűket, ezekkel ugyanúgy végezhetünk műveleteket, mint a valós szám okkal, tehát érvényesek rájuk a 2.5. szakaszban összefoglalt műveleti szabályok. A z a, b ,c ,d , . . . , x, y, u, v, . . . betűk általánosan használt elnevezése: hatá­ rozatlanok (vagy változók). A határozatlanok pozitív egész kitevőjű hatványai­ n ak a szorzatát — esetleg még egy ad o tt valós számmal is megszorozva — egy­ tagú algebrai egész kifejezésnek nevezzük, ezek közé soroljuk az egyetlen valós szám ból álló kifejezést is. Ilyen egytagú algebrai egész kifejezések p l.: a2;

5a3bcl ;

~ a 7y sc7e;

— 108;

2x;

1992.

(hattagú); (öttagú).

A z egy- vagy többtagú kifejezések körében a műveletek ugyanolyan sza­ bályok szerint végezhetők el, m int ahogyan a valós számok esetén azt m ár meg­ szoktuk. 40

Szorzás. K ét egytagú szorzata ismét egytagú lesz; az együtthatókat és az egyenlő alapú hatványokat összeszorozzuk : 3 -4a2 = 12a2;

5a-( —12a4) = —60a5;

12b2c-bc2 — 12ö3c3;

~ a 7b c -~ a c 5x 2 — ~ a 8bc6x 2.

A z egytagú algebrai egész kifejezés tehát általában hatványok szorzata, az egyes határozatlanokat jelentó' betűk közé kitehetjük a szorzópontoí, de álta­ lában felesleges: 3 •a2‘b -c = 3a2bc\ a tényezők sorrendje tetszőleges. A kifeje­ zésben levő valós szám tényezőt együtthatónak nevezzük, az 1-es együtthatót általában nem írjuk ki, az együttható előjelét szoktuk a kifejezés előjelének is m ondani. A továbbiakban kifejezéseink megjelölésében az algebrai egész jelzőt általában elhagyjuk. A z egytagú algebrai egész kifejezések összegét többtagú algebrai egész k ife ­ jezésnek vagy polinomnak nevezzük. Ilyenek: 3 a2 + 5a3bcl —3,8 ax4c + a1y hc ‘e (négytagú); y 5+ 6 y 2+ lx + % + 4 y 2— l x 9x2—6a2+ 2a2x + b + c

(3a2— 2a + 5) + (9a — 14ű2+ a3+ 7) = 3a2— 2a + 5 + 9a— 14a2+ a3+ 7 = = a3-lla2+ 7a+12; (3a2— 2a+ 5) — (9a— 14a24-a3+ 7) — 3a2— 2a + 5 — 9a + 14a2— a3— 7 = = — a3+ 17a2— 11a— 2; 4 xy + x2—( —3x2 4- 2xy —8) = 4 x y + x 2+ 3x2—2xy + 8 = 4 x2 + 2 x y +

T öbbtagú és egytagú kifejezés szorzásakor a többtagú minden tagját meg­ szorozzuk az egytagúval. A z eredmény az így kapott egytagúak összege lesz:

(5x4+ 3 x 2— x — l)-4x2 = 20x6+ 12X4— 4X3— 4x2; (a2- a b + b2)-2ac — 2a3c —2a2bc + 2ab2c. K ét többtagú kifejezés szorzásakor a szorzandó minden tagját megszorozzuk a szorzó minden tagjával, m ajd a szorzatokat összeadjuk:

(a2—ab + b2) (a + b ) = a3—a2b + ab2+ a2b —ab2+ b3 = a3+ b3; (x2— 3x+2) (x2— 1) = x4— 3x3+ 2x2— x2+ 3x— 2 == x4— 3x3+ x 2+ 3x — 2. H a a szorzat kettőnél több tényezőből áll, először valamelyik két tényezőt szorozzuk össze: (3b2- 2 ) (4b2+ í) (b+ 2) = (12Z>4- 8 6 2+ 3 6 2-2) (b + 2 ) = = (12b* —5b2—2) (b + 2) = 12b= - 5 & - 2 b + 24b* - 10b2 - 4 . O sztás. Egy egytagú kifejezés egytagúval való osztásakor a hányados olyan egytagú, amelynek az osztóval való szorzata az osztandót adja. Az osztás az egész kifejezések körében csak akkor végezhető e! úgy, hogy a hányados is egész kifejezés legyen, ha az osztandó tartalm azza azokat a hatványalapokat, 41

amelyek az osztóban előfordulnak, méghozzá legalább akkora hatványon, m int az osztó. 39cPb*c3 : 3a2bl — 13a5ca, m ert 3a2bi -í3 a 5c3 = 39a7bi c3, 25x -y z1 : 5x y z = 5x z 6, m ert 5 xyz-5 xz6 — 25x 2y z 7, 4 4 4 x 7a5b : 3x 7ab = - j a 1, m ert 3 x7a b - ~ a i = 4x 7asb. Ugyanilyen okból többtagú egytagúval való osztásakor a többtagú m inden tagját osztjuk az egytagúval: (a4 + 4a3—2a2) : 2a2 =

á~ + 2a — \ ;

(3x2y l + x 3y 5 —l x 5y 7—6x2y ) : x 2y = 3v3+ xy4 —7x3y 8 —6. Tényezőkre bontás. G yakran van szükség a szorzásban szereplő átalakítások (műveletek) fordított irányú elvégzésére, azaz az összeg szorzattá alakítására, tényezőkre bontására. A tényezőkre bontás tehát lényegében osztás eredménye. Egy összeget ál­ talában nem tudunk algebrai egész kifejezések szorzatára bontani, és sokszor nem is tudjuk eldönteni, hogy ez egyáltalán lehetséges-e. Egyszerű a dolgunk akkor, ha az összeget úgy akarjuk szorzattá alakítani, hogy az egyik tényező egytagú kifejezés legyen; ilyenkor azt kell megvizsgálnunk, milyen egytagúval tudjuk elosztani az összeg m inden tagját. (Az ilyen szorzattá alakítást az egy­ tagú kiemelésének is szokták nevezni.) P l.:

Többtagúak hatványozását többtényezős szorzatok kifejtésére vezethetjük vissza; néhány esetre, pl. a kéttagúak hatványozására a következőkben még visszatérünk a 3.2. és a 13.3. szakaszban. Ha egy kifejezésben a határozatlanok (változók) helyébe adott szám értéke­ ket helyettesítünk, a kapott számértéket az adott szám okhoz tartozó helyettesí­ tési értéknek nevezzük. Az „adott számokhoz ta rto z ó ” kifejezés helyett szokás az „adott helyhez tarto zó ” vagy „adott helyen vett” helyettesítési ér­ tékről is beszélni. Pl.: az x 2—6x y + y 2 kifejezés x = 2, v = —3 helyen vett helyettesítési ér­ téke: 4 - 6 . 2 - ( - 3 ) + 9 = 49. Két algebrai egész kifejezést azonosnak ( azonosan egyenlőnek) mondunk, ha bármely helyen vett helyettesítési értékük egyenlő. Ha két azonos kifejezést az egyenlőség jelével összekapcsolunk, azonossá­ got kapunk. Bebizonyítható egyébként, hogy két azonosan egyenlő egész kife­ jezés ugyanazokból az egytagúakból áll, legfeljebb az egytagúak összeadási sorrendjében különböznek. Ha egy kifejezést úgy alakítunk át, hogy vele azonos kifejezést kapunk, az átalakítást (v. műveletet) azonos átalakításnak mondjuk. A fejezetünkben fel­ sorolt műveleti eljárások, szabályok mind azonos átalakítást eredményeznek (feltéve, hogy az osztásnál az osztó nem 0). Két kifejezés azonosságát néha szokták = (olv.: azonosan egyenlő) jellel jelölni.

(6a'l + 2a3— 10a2— 8 a ): 2a = 3a3+ a2—5a—4, ezért 6ai +2cfi — lOtf2—8a = 2a(3a3 + a2— 5a—4); a szorzattá alakítás helyes voltát célszerű a szorzás elvégzésével ellenőrizni. 9x4y3 —3x 2y 2+ 6 x 5y = 3x2y(3x2y 2—y + 2x3). H a egy egytagú kiemelése nem sikerül az összegből, megkísérelhetjük többtagúak szorzatára bontani; erre azonban nem létezik minden esetben alkal­ m azható eljárás. Az x 2y + x y + y + x 2+ x + 1

A helyettesítés elve. Egy azonosságban a benne szereplő változók (betűk, param éterek) helyett m indenütt ugyanazt a kifejezést helyettesítve ismét azo­ nosságot kapunk; pl. a (3x2y z 2)2 — 9x 4y 2z 4 azonosságban z helyébe 5x —3y-t helyettesítve: (3x2>'(5x-3>’)2) 2 = 9xiy 2(5x —3y)i . A pótlás elve. Ha egy azonosságban a benne szereplő részkifejezést (esetleg csak egyetlen változót) egy vele azonos kifejezéssel pótoljuk, ismét azonosságot kapunk; pl. előző kifejezésünkben, ha y = a + b, (3 x 2y(5x —3y)2) 2 = 9 xi(a + b)2 (5 x —3y)*.

összegben látszik, hogy egy tagot nem tudunk kiemelni, az első három tag azonban szorzattá bontható úgy, hogy az egyik tényező éppen a másik három tagot tartalm azza:

3.2. Fontosabb azonosságok a többtagú algebrai egész kifejezések körében

x 2y + x y + y + x 2+ x + 1 = y (x 2+ x + ] ) + (x 2+ x + í ) = (x2+ x + l ) ( j+ 1 ) . Egytagúak hatványa. Mivel az egytagú kifejezés lényegében szorzat, egytagú kifejezés hatványa a tényezők hatványainak a szorzatával egyenlő. (3 x 2y f = 3\ x 2f f = 27x6/ ; (4a2bc5)2 = 1ócé&c10. 42

Néhány gyakran alkalm azott azonosságot m utatunk most be. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2+ ab + ab + b2 — a2+ 2ab + b2, tehát (a + b)2 = a2+2ab + b2. 43

to v ábbá:

H asonlóan kapjuk, hogy

a 4—£>4 = (a3—a2b + ab2—b3)(a + b), a* — b6 = (a5 —ai b + a3b2—a2b3+ ab* —b5) (a + b),

(a —b)2 = a2—2ab + b2. Kéttagú kifejezés négyzetéi m egkapjuk, ha a tagok négyzeteinek az összegé­ hez hozzáadjuk a két tag szorzatának a kétszeresét. Ezt a gondolatunkat folytathatjuk három tagú kifejezésre; (a + b + c)2 — ((a + 6) + c)2 = (a + b)2+ 2(a + b) c + c2 = — d2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc.

és általában, ha n páros pozitív egész: an —bn = (a”~1—cf~ ‘1b + a"~3b: — . . . —dzb”~3+ ab"~2—bn~1) (a + b). Ezek az azonosságok jól használhatók többtagú kifejezések szorzattá bontására.

Ebből az eredményből m ár következtethetünk az általános szabályra: egy n tagú kifejezés négyzetét m egkapjuk, ha a tagok négyzeteinek összegé­ hez hozzáadjuk a tagokból képezhető kéttényezős szorzatok kétszeresét. PL: (a + b + c + d )2 = a2+ b2+ c2+ d 2+ 2ab + 2ac+ 2ad+ 2bc + 2bd -f 2cd. H asonlóan kapjuk meg a + b köbének a polinom alakját: (a + b)3 = (a + b ) \a + b) — (a2-+ 2ab + b2) (a -tb ) = = a3 + 2a2b + ab2+ a2b + 2ab2+ b3 = a 3 + 3a2b + 3ab2+ b3, vagy más a la k b a n : (a + b)3 = a3+ bz + 3ab(a + b). Ugyanúgy: (a —b)1 — a3 —3a2b + 3ab2—P . Nevezetes azonosságot nyerünk, ha két tag összegét és különbségét össze­ szorozzuk : (a + b) (a —b) — a2+ ab —ab —b2 = a2—b2. Két tag összegének és különbségének szorzata négyzetük különbségével egyenlő, vagy: két tag négyzetének a különbsége a két tag összegének és különbségének a szorzatával egyenlő. Ilyen típusú azonosságok még (bizonyításuk az előzőkhöz hasonlóan): a3—b3 = (a2+ ab + b2) (a —b), c^ —b* = (a3+ a2b + ab2+ tfi)(a —b), általában, ha n tetszőleges pozitív egész: an — bn = (an~1 + an~’-b + an~ab‘~+ . . . + á1bn~3 + abn~- + bn~1) (a —b), vagy: a3 + b3 = (a2—ab + b2) ( a Jrb), a? + b ’° = (a* —a3b + a2b2—ab3 + bi)(a + b), általában, ha n páratlan pozitív egész: an + bn = (a"-1 —an~2b -f a"~3b? — . . . + a 2bn~3 — abn~- + bn~1)(a + b). 44

3.3. Algebrai törtkifejezések és műveleteik K ét algebrai egész kifejezés hányadosát algebrai törtkifejezésnek vagy algebrai törtnek nevezzük; gyakran azonban egyszerűen csak a törtkifejezés elnevezést használjuk. Az algebrai törtkifejezés tehát olyan tört, amelynek számlálója és nevezője is algebrai egész kifejezés. Á ltalánosabban azokat a kifejezéseket is szokás tört­ kifejezésnek nevezni, amelyeknek számlálója és nevezője ugyan nem egész kifejezés, de azonos átalakításokkal a tört számlálója és nevezője együttesen egész kifejezéssé alakítható át (pl. az „emeletes törtek”). Az algebrai törtekkel végzett műveletek során lényegében a 2.2. szakaszban leírt műveleti szabályok érvényesek; a helyettesítéseket alkalm azva egy-egy határozatlan helyébe algebrai egész kifejezéseket helyettesíthetünk. Az algebrai törtek körében is érvényes a törteket értelm ező alapvető sza­ bály: ha a törtet megszorozzuk a nevezőjével, a számlálóját kapjuk. M inden egész kifejezés tekinthető olvan törtkifejezésnek is, amelynek a nevezőjében 1 áll. A törtek felírásakor eleve feltételezzük, hogy a nevező nem nulla. A tört m egadásakor néhol annak a feltételét is megadják, hogy a tö rt ne legyen 0; p l: 3 2" ’

/ rw (* tí° );

vagy

a+ 1 -j - j ,

/ (a # 1);

ennek a következetes véghezvitele azonban az esetek többségében nagy nehéz­ ségekbe ütközik, sőt gyakran lehetetlen is, pl. nem tudjuk megmondani, milyen x értékre lesz a 3 x —2 x 7+ x + l tö rt nevezője nulla. Ezért azt az általánosan elfogadott elvet követjük, hogy egy törtnél eleve csak olyan helyettesítési értékeket engedünk meg, amely mellett a nevező nem nulla, és ezeket mind megengedjük, hacsak külön ki­ kötés másként nem rendelkezik. 45

Egyszerűsítés és bővítés. A törtkifejezés bővítése, ill. egyszerűsítése azt jelenti, hogy a számlálót is és a nevezőt is megszorozzuk, ill. elosztjuk egy kifejezéssel; bővítéskor természetszerűleg kikötjük, hogy a szorzó nem veheti fel a 0 értéket. Az x 3 + x 2—2x „ „ x 2 + x —2 egyszerűsíthető x-szel: 12x2 -----\2x ’ „ , . „ , ,, „ . egyszerűsíthető 2aíb2-te i:

4a5b2c7 —— 57TT 6xa3bz a2—b2 a2+ 2ab + b2

„ „ egyszerűsíthető a + o-vel: " '

2a2c1 —=— ; 3x (a —£ )(a + £) (a + b)2

a —b a+ b'

2x ly

a+ b a —b

2a2 + a — b 3x

K ülönböző nevezőjű törtek esetén bővítéssel elérhető, hogy közös neve­ zőjük legyen. K özös nevezőnek olyan kifejezést kell választanunk, amellyel minden nevezőt el lehet osztani. P l.: 2.x 4 3x —-5-------- 1 — összeadásakor a közös nevező lehet 10y2, 5y 2 y 2y a törteket rendre úgy bővítjük, hogy ez álljon a nevezőjükben: 2x-2 5y2-2

4-10y ^ 3 x-5 y y -l0 y ^ 2 y -5 y

4 x — 4 0 y + \5 x y 10j2

Közös nevezőnek m indig megfelel a nevezők szorzata, de általában igyekszünk ennél egyszerűbb kifejezést találni, utolsó példánkban 10y 4 helyett 10y2-et. Az egész kifejezést 1 nevezőjű törtként fogjuk fel: 3 1 a3+ 3 + a a-\— s"-l— = 2 • a2 a a2 Felhívjuk a figyelmet arra, hogy többtagú számláló esetén a törtvonal helyettesíti a zárójelet, tehát ezt kell tekintetbe venni a törtvonal elhagyásakor. 4 2x

y 4x2

x —y 4 y -2 x 2 x -2 x 4x2

x —y

8x y - ( x - y ) 8x y — x + y 4 x2 4 x2

Szorzás. Törtek szorzásakor a szám lálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel szorozzuk m eg: 46

12xy 35 ’

(a —b)2 2a

(a + b) (a —b)2 2a(a—b)

(a + b) (a — b) 2a

a22a

Osztás. A törttel való osztás az osztó reciprok értékével való szorzást jelent. 8z _ 2a 9a ' 3yz

8z 9a

3yz 2a

a2 . a2 : 4c = 2b3 ' 2b3 - 4c

Összeadás és kivonás. Ez a két művelet közös nevezőjű törtek esetében egy­ szerűen elvégezhető: b 2 a2 3 x + 3x

12x y 2 35y

3a2—b (" ^ (3a2—b )(a + 1) _ 3a3 — ab + 3a2— b (fl+ *) = lfc = g~c

Bővítésre rendszerint a törtek összeadásakor van szükség.

a 3x

6y2 5

24y z 2 18a2

4y z 2 3a2 ’

a2 8b3c ’

3y 4z 20xz 5* : 47 = 5 x ' 3 y = ~ 3 T Az osztás elvégezhető úgy is, hogy számlálót számlálóval, nevezőt nevezővel osztunk: 15a2 3a 5a a2— b2 a —b a+ b 16 ' 4 4 ’ a3+fc3 ' a + b a2—a b + b 2 Hatványozás. Egy tört n-edik hatványát számlálójának és nevezőjének az «-edik hatványra való emelésével kapjuk. / 33a2b a - b \y4 \ 2x y )

81 a8bl a8b4 16 xiy 4 ’

+ ll\\ 2 /2 a + \ c )

(2 a + \f

4a2 + 4 a + l

Algebrai törtkifejezések közé számítjuk az olyan — formailag — egytagúakat is, amelyekben valamelyik határozatlan negatív egész kitevős hatványon szerepel. Pl.: 1 x „ , . , x 5v x ~ 3z zy2 xy 2 = x —7 T, 3 1x°yz 3 = — • yr 3z3 ’ 2y ~ 2 2x3 ’ 1

(x + y f = x 2 + 2xy + y 2.

Emeletes törtek. A törtek számlálójában és nevezőjében is előfordulhat tö rt­ kifejezés, az ilyen törteket emeletes törteknek nevezzük. Mivel a velük való számolás igen nehézkes, azonos átalakításokkal ezeket egyszerű törtalakra hozzuk. Erre m utatunk most két módszert. A törtet felfoghatjuk egy osztási utasításnak is, a számlálót kell eloszta­ nunk a nevezővel; ez az egyik módja az „emeletek lebontásának” . 47

1 a

_

a 1 a

[_

f-HMH /

-

2x-

1\

/1

8 x —2 3 3x

=

1

a2 — 1 1 + a (a + l) ( a — 1) 1 + a . — ------ : --------- = -------------------- : --------- = a — 1.

,\

/ 8 x —2 \ „ 6x —8x + 2 2 x ------- ^— : 3x = y 3 J 3

1 3x

2 —2x 9x

Közvetlenül is m egkaphatjuk ezt az eredményt, ha a törtet úgy bővítjük, hogy a szorzások következtében a számláló, ill. a nevező egész kifejezésbe menjen át. Ez elérhető, ha első példánkban a törtet a-val, a m ásodikban 3-mal b ő v ítjü k : / a -----1 la \ a) /1 Í-+ 1 W

a -----1 a 1 , -+ 1

Í2 X - ^ 3x

a2_ i 1+ a

a két oldal valóban azonos. 2. Bontsuk négy kéttagú szorzatára az x 8—y 8 kifejezést: x8—j 8 = (x3)2 - ( v 4)2 = (x4+ y i ) ( x i —y 4) — (x4+ y 4) (x 2—y 2) (x2+ j 2) = = (x4 + y4) (x2+ j 2) (x + y ) ( x —y). 3. Végezzük el a következő osztást; az eredményt törtkifejezésként adjuk m eg :

(ű + 1) (a — 1) = a — 1; 1+ a

A ~~ ( ( ^ + j ) 2

\ . Í 6 x —(8 x —2) 9x

3x - 3

6 x —8 x + 2 9x

2 —2x 9x

Bővítésre általában a szám lálóban és nevezőben fellépő nevezők közös többszörösét használjuk, p l.: 1 1 -a

1 1+a

/ I 1 - + T T 7 (1 - a ) ( l + a ) \l-a 1+ a j

1 —a

1+ a

1 \ 1 —a

1 ' ( l - a X l + o) 1+ a

2

2.

1

1 + a —1 + a

2a

a

i+ a+ i_ a ‘+ O -0 -")

3.4. Feladatok a racionális algebrai kifejezések körében végzett műveletekre és alkalm azásaikra A z algebrai egész és törtkifejezésekből összeadás, kivonás, szorzás és osztás segítségével előállított kifejezéseket racionális algebrai kifejezéseknek nevezzük. (Ebbe beleértjük az egész kitevős hatványozást is, mivel az lényegében a szor­ zás, ill. osztás töm ör kifejezése.) Előző műveleti összefoglalásunk azt m utatja, hogy m inden racionális algebrai kifejezés vagy egész kifejezés (polinom ) vagy pedig algebrai törtkifejezés.

48

1. Bizonyítsuk be a következő azonosságot: (ab+ cd)2 — (a2+ c2) (bP+d2) —(ad —be)2. A bal o ld a l: (ab + cd)2 — a W + la b cd + c2d2, a jobb o ld a l: a2b2 + b2c2+ a2d 2+ c2d2—(ald2—la b cd + b2c2) — = d2Uz + bic2 + a2d2+ c2d2 —a2d2+ 2abcd—b2c2 — a2b2+ la b c d + c 2cP,

'( * - j 0 2) ' ( x + y ' x - y ) '

^ = ( - ± - + - ! - ) ( - 1_______ U :l- ^ + - ± A = \ x+y x -y J \ x +y x -y J \ x+ y x —y J 1 x+y

1- ( x - y ) (x + y ) ( x - y )

1 x -y

x -y -x -y x 2- f

~

ly x 2- f

!•(* + }>) (x + y) ( x - y )

'

4. A djuk össze a következő három tö rte t: 1 1 —-+ -—-------1 ------- -—[- ■ J3 — ------- ---------(a — b)(b — c) (b — c) (c —a) (c —a )(a — b) A közös nevező: ( a - b) (b — c) (c — a). p = c -a + a -b + b -c (a -b )(b -c )(c -a )

3.5. Arányok, aránypárok; arányosság A z -**- tö rtet a és b arányának is szoktuk m ondani; és ezt a kifejezést használva b a : b-vel (o lv .: a aránya a 6-hez) is szoktuk jelölni. H a a és b valam int c és d aránya egyenlő, az azt jelenti, hogy

49

H a m ost ennek az egyenlőségnek m indkét oldalát megszorozzuk bd-vel, a k k o r egyszerűsítés után a következőket kapjuk: abd cbd —í— = —-j—; b d

ad — be.

(3.5.2)

H a az a, b, c, d szám között nincs 0, a (3.5.1) és a (3.5.2) egyenlőségek a négy szám között ugyanazt az összefüggést fejezik ki. H a m ost az utóbbi egyenlőség m indkét oldalát elosztjuk rendre d-ve 1, c-vel, fc-vel, ill. a-val, meg­ kapjuk a négy szám közül egynek-egynek a kifejezését a másik három segít­ ségével : be a = —r , d

ad b = — , e

ad c = --r , b

be d = — . a

(3.5.3)

Az ilyen jellegű átalakítások igen gyakoriak, ezért érdemes ezeket külön megjegyeznünk. A (3.5.1) egyenlőséget a: b — c : d alakban írva aránypárnak nevezzük; a-1 és d-1 szokás az arány pár kültagjainak, b-t és c-1 pedig a beltagjainak nevezni; ezek az elnevezések a (3.5.3) alatti összefüggések könnyebb megjegyezhetőségét szolgálják, m ert ezek azt fejezik ki, hogy az aránypár egyik kültagja egyenlő a beltagok szorzatának és a másik k ü l­ tagnak a hányadosával; ill. az aránypár egyik beltagja egyenlő a kültagok szorzatának és a m ásik beltagnak a hányadosával.

árának és mennyiségének a hányadosa állandóan az ún. egységárat adja meg; ha a darabár 3 F t, a vásárolt áru darabszám a rendre 8, 7, 12, 15 darab, ára ekkor rendre 24, 21, 36, 45 Ft, az á r és darabszám hányadosa m indig a darabár (egységár) lesz: 2 4 _ 2 ^_ 3 6 _ 4 5 8 ~ 7 “ 12~75 H a m ost a darabszám ot rendre Xi, x 2, x 3, . . . , x„, . . . jelöli, a megfelelő árat pedig rendre y i, y 2, J 3, . . . , y n, ■■■, akkor h = A = ÜL = = A = Xx x2 X3 ' ’' X„ A z y -nal jelölt mennyiségek és az x-szel jelölt mennyiségek között tehát olyan kapcsolat van, hogy egymáshoz tartozó értékeik hányadosa (azaz aránya) állandó. Az ilyen mennyiségeket egyenesen arányos mennyiségeknek szokás nevezni. Egyenes arányosság van pl. egyenes vonalú egyenletes mozgás (tehát állandó sebesség) esetén egy időponttól kezdve m egtett ú t és az eltelt idő kö­ zött, az ú t és a megtételéhez szükséges idő hányadosa: a sebesség, állandó. Vagy: egyenletes teljesítményt feltételezve egyenes arányosság van a vég­ zett m unka mennyisége és a hozzá szükséges m unkaidő között. A z y és x mennyiségek közötti egyenes arányosság tehát azt jelenti, hogy — = c,

(3.5.2) pedig azt m utatja ki, hogy az aránypárban a kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával. x 8 5*8 Pl. a z - — = — aránypárt x :5 — 8 :4 alakban írva, ezek szerint x = —— = 10. 5 4 4 a Egy mennyiség ^ arányban (vagy a : b arányban) való felosztása azt jelenti, hogy a mennyiséget a + b egyenlő részre osztjuk, majd ebből a, ill. b részt választunk el, tehát egy mennyiség a : b arányú felosztása annak a a+ b ’

b a+b

arányú részekre való szélvágását jelenti. Pl. egy szakaszt 5 : 7 arányban fel5 7 osztva az egyik rész a szakasz - - e d részét, a m ásik pedig - - e d részét ta r­ talm azza. A gyakorlatban gyakran találkozunk olyan egymáshoz kapcsolt mennyi­ ségekkel, amelyeknek hányadosa állandó. Pl. egy árufajtából a vásárolt áru 50

vagy

y = ex,

(3.5.4)

ahol c állandó szám. A z egyenesen arányos mennyiségek közötti kapcsolat úgy is jellemezhető, hogy az x mennyiség kétszeres, három szoros, négyszeres stb. növekedése az y mennyiség ugyanolyan arányú növekedését vonja m aga után. H a viszont az xi, x 2, x 3, . . . , x„, . . . mennyiség és a hozzájuk tartozó y 1, y* ,y z, . . . , y n . . . mennyiségek olyanok, hogy X iji = x 2y 2 = X3j 3 = . . . = x ny n — . . . = állandó érték, akkor azt m ondjuk, hogy az x-szel és y -nal jelölt mennyiségek fordítottan arányosak. F ordítottan arányosak egyenletes mozgás esetén az ugyanakkora ú t meg­ tételéhez szükséges idő és a sebesség, mivel szorzatuk az állandó úthosszat adja. Vagy fordított arányosság áll fenn a t területű téglalap alapja és magassága között, hiszen ha az alapok hossza x l5 x 2, x 3, . . . , és a hozzá tartozó m agas­ ságok y u y 2, y 3, . . . , akkor * iJ i = x2y 2 = X3J/3 = . . . = t. 51

A z x és y mennyiségek közötti ford íto tt arányosság tehát azt jelenti, hogy x y = c (állandó),

vagy

y =

(c > 0).

4. A számelmélet elemei

(3.5.5)

A fordítottan arányos mennyiségek közötti kapcsolat úgy is jellemezhető, hogy az x mennyiség kétszeres, három szoros, négyszeres stb. növekedése az y mennyiség felére, harm adára, negyedére stb. való csökkenését vonja m aga után. Ez a tulajdonság közvetlen következménye a (3.5.5) alatti form uláknak. Az egyenes és fordított arányosság függvénytani kapcsolatáról a 20. fe­ jezetben van szó. 4.1. A prímszámok; a számelmélet alaptétele; oszthatóság! ismertetőjegyek A számelmélet az egész számok tulajdonságaival foglalkozik. Ebben a fejezetben egészeken — hacsak külön nem szólunk róla — pozitív egész szám okat fogunk érteni. Jelöljön n egy tetszőleges egészei; a k egészet az n egész osztójának nevezzük, ha n felírható a k szám egész számú többszöröseként, azaz, ha létezik olyan q egész, hogy n = kq. Ebben az esetben azt m ondjuk, hogy n a k-nak q-szorosa, vagy: k osztója n-nek. Jelölésben: k\n (olv.: k osztója « -n e k ).P l.: 12 osztója 84-nek, mert 84 = 12-7. Az 1 minden egésznek osztója; minden egésznek önm aga is osztója, e két osztót a szám nem valódi osztójának m ondjuk; a szám többi osztója valódi osz­ tó. PL: 12-nek 2, 3, 4, 6 valódi osztói; 1 és 12 nem valódi osztója. Ha egy egész nagyobb 1-nél és nincs valódi osztója, prímszámnak (törzs­ számnak) nevezzük. Prím szám ok pl. 2, 3, 5. 7, 11, 13, 17, 19, 2 3 ,... . Az 1-nél nagyobb egészeket, ha nem prímszámok, összetett szám oknak hív­ juk. Az összetett szám oknak tehát van valódi osztójuk, ezért felbonthatók leg­ alább két egész szorzatára, p l.: az n egész n — MjHj szorzattá bontható, ahol n1 és 1-nél nagyobb egészek, de kisebbek n-nél. H a rij és n2 nem prím szám ok, akkor tovább bonthatók és a felbontásban részt vevő tényezők egyre csökkennek egészen addig, míg a felbontás csupa prím szám ból nem áll. Ezzel az eljárással minden összetett szám prím szám ok szorzatára bont­ ható; bebizonyítható, hogy a tényezők sorrendjétől eltekintve minden összetett szám egy és csakis egy módon bontható fe l prímszámok szorzatára. E z a számelmélet alaptétele. Néhány szám prímtényezős felbontása: 12 = 2--3; 100 = 2'--5‘J ; 1024 — = 210; 5544 = 23*3^-7-11. A prímtényezős felbontáshoz jól használhatók a számok oszthatósági is­ mertetőjegyei. Ezek közül felsoroljuk most a gyakorlatban legtöbbször előfor­ dulókat.

52

53

2-vel a páros számok oszthatók, tehát amelyek végződése 0, 2, 4, 6, 8; 3-m al azok az egészek oszthatók, amelyek jegyeinek összege osztható 3-mal; 4-gyel azok az egészek oszthatók, amelyeknek az utolsó 2 jegyéből képezett szám osztható 4-gyel; 5-tel a 0-ra és 5-re végződő egészek oszthatók; 6-tal a 3-mal osztható páros szám ok oszthatók; 8-cal azok az egészek oszthatók, amelyeknek utolsó 3 jegyéből képezett szám osztható 8-cal; 9-cel azok az egészek oszthatók, amelyek számjegyeinek az összege osztható 9-cel; 10 hatványaival azok az egészek oszthatók, amelyek annyi 0-ra végződnek, am ennyire az osztó 10-hatvány; 11-gyel való oszthatóság eldöntésére adjuk össze külön az egész szám páros helyen és páratlan helyen álló jegyeit. A szám akkor osztható 11-gyel, ha az összegek különbsége is osztható 11-gyel. P l.: 34 272 osztható 4-gyel, m ert 72 is osztható; osztható 9-cel, m ert jegyei­ nek összege 18 (és ezért 3-mal is osztható); 103 565 osztható 5-tel, de nem osztható 3-mal (jegyeinek összege 20); oszt­ ható 11-gyel, m ert a páratlan helyen álló jegyeinek összege: 5 + 5 + 0 = 10, a páros helyen álló jegyeinek összege: 6 + 3 + 1 = 10, ezek különbsége 10—10 = = 0, osztható 11-gyel. A prím szám ok tehát természetes számaink „építőkövei” , és éppen ezért a számelméletben nagyon fontos szerepet játszanak. Ennek ellenére még számos velük kapcsolatos kérdés eldöntetlen, ill. megválaszolatlan. Tudjuk, hogy vég­ telen sok prím szám van, nincs azonban olyan gyakorlatilag jól használható m ódszerünk, amellyel könnyen el tudnánk dönteni egy természetes számról, hogy prím szám -e vagy sem, éppen ezért m indmáig is csak véges sok prím szám ot ism erünk. A prím szám ok kiválasztására a természetes számok közül jól használható az ún. eratoszthenészi szita. Ennek lényege, hogy felírjuk sorban a pozitív egé­ szeket 2-től kezdve, majd kihúzzuk minden m ásodikat (a számolást a 2-t kö­ vető szám on kezdjük; így kiesnek a páros számok), a 2 utáni első megmaradó a 3-as, a 3-as utáni számmal kezdve kihúzzuk minden harm adikat (azaz a 3-mal oszthatókat); a következő m egm aradó az 5, az 5 utáni számmal kezdve kihúz­ zuk m inden ötödiket (az 5-tel oszthatókat) és így folytatjuk tovább. A meg­ m aradó szám ok a prím szám ok. (Egy szám ot általában többször is kihúzunk, pl. a 63-as a 3-mal és 7-tel oszthatók kihúzásánál is.) Az első 150 egész szitálását m utatjuk m ost be, a páros szám okat m ár k ih ú ztu k : 3 5 7 3 i 3 $ y * í 37 61 6 8 £ 5 67 9 5 9 5 97 125 127 54

Jjr 11 13 XSí y y 4 i 43 w 71 73 7 8 W 101 103 ]QS 131 JJ5f

17 19 J T 23 47 y c 53 7 T 79 jH ' 83 107 109 I J f 113 137 139 1 4 Í

y í

29 59 M U 89 U S ' \¥ T 1)9 ' l A ^ j A T 149

55

Az 590 —594. oldalakon a 11 657-ig terjedő prím szám okat közöljük, az 595 — 596. oldalakon pedig az egészek prímtényezős felbontását 2500-ig. Felhívjuk még a figyelmet a következőkre: ha egy összeg minden tagja osztható n-nel, akkor az összeg is osztható; ha p1 osztója n-nek és p.2 is osztója n-nek, akkor még nem biztos, hogy p1p2 is osztója; p l.: 6 is és 4 is osztói 12-nek, de 6-4 = 24 nem osztója. Biztosan osz­ tója viszont p xp2 az n-nek, ha /?j-nek és /v n e k nincs közös valódi osztója (ún. relatív prím ek, 1. a 4.2. szakaszt). Itt említjük meg a prím szám oknak a következő alapvető tulajdonságát: egy prímszám akkor és csakis akkor lehet osztója egy szorzatnak, ha a szor­ zat legalább egyik tényezőjének osztója. Az oszthatóság eldöntésére igen jól alkalm azhatók a 3.2. szakasz azonossá­ gai. Ezek szerint, ha a és b különböző egészek és n pozitív egész: cf' —bn osztható a - b - v e 1 minden n-re; an —bn osztható a + b-ve 1 minden páros «-re; an + bn osztható a + b-vei minden páratlan n-re. P l.: 8" —1 mindig osztható 8 — 1 = 7-tel és 8 + 1 = 9-cel is, ha n p áro s; eb­ ben az utóbbi esetben tehát 7-tel is és 9-cel is osztható, tehát 7 •9 = 63-mal is, mivel 7 és 9 relatív prímek. 10"+1 osztható 10+1 = 11-gyel, ha n páratlan.' 4.2. Legnagyobb közös osztó; legkisebb közös többszörös Egy egész szám prímtényezőkre való felbontását gyakorlatilag úgy végezzük el, hogy először a kis prím szám okkal (2, 3, 5 . . . ) való oszthatóságát nézzük meg, ezekkel rendre elosztjuk, s folytatjuk mindaddig, amíg tényezőként csupa prím ­ számot nem kapunk. Pl.: 117 = 43 560 = = 10 260 = =

3-39 = 3-3-13 = 3 M 3 ; 2-21 780 = 2-2-10 890 = 22-2-5445 = 23-3-1815 = 23-3-3-605 = 23-32-5 - 121 = 23-32- 5 - 11 • 11 = 23-32- 5 - l l 2; 2-5130 = 2-2-2565 = 22-3-855 = 22-3-3-285 = 22 •32 •3 • 95 = 22•33- 5 *19.

H a a k egész szám osztója n-j.íek, akkor n = kq, ahol q egész szám. Ez azt is jelenti, hogy n prímtényezős felbontása ugyanaz, m int kq prímtényezős felbon­ tása ; ebből következik, hogy k akkor és csakis akkor osztója n-nek, ha k prím ­ tényezői n prímtényezői közül kerülnek ki, és k egyetlen prímtényezője sem szerepelhet k -bán magasabb hatványon, mint n-ben. Ennek alapján fel tudjuk írni egy szám összes valódi osztóit. PL: 60 = = 22• 3 • 5 összes valódi o sztói: 2, 22 = 4, 3, 5, 2-3 = 6, 22-3 = 12, 2-5 = 10, 22-5 = 20, 2-3-5 = 30, 3-5 = 15. 55

A prímtényezős felbontások alapján állíthatjuk össze két egész szám közös osztóit; ezek olyan prím tényezőkből állhatnak, amelyek m indkét számban elő­ fordulnak, de az osztóban a p prímszám kitevője nem lehet nagyobb p-nek a szám okban szereplő kitevőinek egyikénél sem. K ét egész szám legnagyobb közös osztójának a prímtényezős alakját ezek szerint a következő m ódon állítjuk össze: vesszük a két szám közös prím tényezőit; megállapítjuk minden prím tényező­ ről, hogy a k é t számban milyen hatványon szerepelnek és az osztó prím ténye­ zőjét a szereplő kisebbik (nem nagyobbik) hatványkitevővel látjuk el. P l.: 43 560 = 23-32- 5 - l l 2, 10 260 = 22-33-5 -l9 ; a két szám közös prím tényezői: 2, 3, 5; ezeknek a két számban szereplő nem nagyobbik hatványkitevőik rendre 2, 2, 1; ezért a két szám legnagyobb közös o sztó ja: (43 560, 10 260) = 22-32-5 = 180. K ét szám legnagyobb közös osztóját szokás úgy jelölni, hogy a két szám ot göm bölyű zárójelben egymás mellé írjuk. K ét prím szám legnagyobb közös osztója 1; ez az állításunk azonban nem fordítható meg: ha két szám legnagyobb közös osztója 1, akkor a szám oknak nem kell prím szám oknak lenniük, ez csupán azt jelenti, hogy nincs közös prím ­ tényezőjük. Az ilyen szám okat relatív prím eknek nevezzük; ha tehát (a, b) = 1, ez azt jelenti, hogy a-nak és 6-nek nincs közös prímtényezője.

JL

54 + 9 6 “ 120

törtek közös nevezőjének megfelel 54, 96 és 120 legkisebb közös többszöröse. A nevezők prímtényezős felbontásai: 54 = 2-33,

96 = 25-3,

120 = 23-3-5.

A legkisebb közös többszörösben az összes prím tényező szerepel az előforduló legm agasabb hatványon, ezért [54, 96, 120] = 25-33-5 = 4320. Ennélfogva a három tört összege: 7 26 54 + 96

11 7-24-5 26-32-5 l l - 2 2-32 120 ~ 2 -3 3 -2 M + 23-3-32-5 _ 23-3 -5 -2 2-32 ~ ~

5 6 0 + 1 1 7 0 -3 9 6 1334 4320 ~ 4320 '

Két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata egyébként a két szám szorzatával egyenlő:

Legnagyobb közös osztót használunk a törtek egyszerűsítésénél. P l.:

{a, b) • {a, b] = ab.

576 2«-32 23-3 72 120 “ 23•3 • 5 “ " T ~ ” T

Ebből is következik, hogy a relatív prím ek legkisebb közös többszöröse szorzatukkal egyenlő.

itt az 576 és 120 legnagyobb közös osztójával, 23-3 = 24-gyel egyszerűsítettünk. Egy n egész szám többszörösein n egészekkel való szorzatait értjük; n több­ szöröse tehát tartalm azza n minden prímtényezőjét legalább akkora hatvány­ kitevővel, m int am ekkorával n-ben szerepel. K ét egész szám legkisebb közös többszöröse ezért a két szám valamennyi prím tényezőjét tartalmazza, az előforduló legmagasabb hatványon. P l.: a 43 560 és 10 260 prím tényezői 2, 3, 5, 11, 19 ezek előforduló legmaga­ sabb hatványa rendre 3, 2, 1, 2, !, ezért legkisebb közös többszörösük: [43 560, 10 260] = 23-32- 5 - 112- 19 = 827 640. A legkisebb közös többszörös jelölése: a szám okat szögletes zárójelben ír­ ju k egymás mellé. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös értelemszerűleg természetesen tetszőleges sok egész szám ra kiterjeszthető, előállításuk a prím tényezős alakból ebben az esetben is ugyanúgy történik, mint két szám eseté­ ben. 56

A legkisebb közös többszörös egyik leggyakoribb alkalm azási területe a tö r­ tek közös nevezőre hozása. Pl. a

4.3. Az egész rész; maradékos osztás; maradékosztályok Az x valós szám egész részén azt a legnagyobb egész szám ot értjük, amely nem nagyobb x-néí; úgy is m ondhatnánk, hogy x egész része a számegyenesen x-től balra levő első egész szám (ez m agával x-szel egyenlő, ha x egész), x egész részé­ nek jelölése [x] (olv.: x egész része; számítógépes alkalm azásokban int x-szel is jelölik, egyes gépeken ez csak pozitív x-ek esetén egyenlő [x]-vel). P l.: [5] = 5,

[0,314] = 0,

[-7 ,9 3 ] = - í

13

= 2.

Egy szám nak és egész részének a különbségét a szám törtrészének m o n d ju k : x törtrészének je le : {x} (olv.: x törtrésze), tehát {x} = x —[x]. H a 13-at 5-tel elosztjuk, a hányadosnak lesz egy egész és egy törtrésze, t i . : L3 ~5 57

E zt általánosságban így írhatjuk: ha az a egészet 6 egésszel osztjuk és a hánya­

Feladat

dos egész része k , törtrésze

Bizonyítsuk be, hogy .1991-nek van olyan többszöröse, amely csak egyesek bői és nullákból áll.

6

, |

= *+ f

(4-3.1)

Ezt úgy láthatjuk be, hogy felírunk 1992 különböző, csupa 1-esből álló számot:

1, 11, 111, 1111,.. .,111.. .11, vagy egyenlőségünk m indkét oldalát 6-ve 1 szorozva: a = bk + r.

(4.3.2)

A számelméletben ezzel a form ulával fejezzük ki, hogy a-1 6-vel osztva r-et kap u n k m aradékul; r m aradék volta azt jelenti, hogy 6-nél kisebb, tehát 0 ^ r .< b. r = 0 éppen azt jelenti, hogy a osztható 6-vel. a' M ivel (4.3.1)-ben k éppen egész része, azaz k — 6 b ezért

r = a — bk,

azaz

r = a-

b,

(4.3.3)

(az utolsó 1992 1-esből áll). Ezek az 1991-gyel való oszthatóság szempontjából 1991 maradék­ osztályba tartozhatnak, van tehát közöttük kettő, amelyik ugyanabba a maradékosztályba tartozik, de akkor ezek különbsége osztható 1991-gyel, tehát többszöröse 1991-nek, és a csupa egyesből álló számok különbsége pedig egyesekből és nullákból áll. 1991-nek van tehát csak egyesekből és nullákból álló többszöröse.

4.4. Számrendszerek 41 027 tízes számrendszerbeli felírása azt jelenti, hogy 41 027 = 4 - 104+ 1• 103+ 0 -1 0 2+ 2 - 10 + 7,

az a szám 6-vel való osztási m aradékát így ki tudjuk fejezni a és 6 segítségével, ez a képlet különösen gépi szám ítások során alkalm azható előnyösen. Osztás közben tehát a lehetséges m arad ék o k : 0, 1 ,2 , . . . , 6 - 1 , tehát annyi m aradékféle létezhet, am ennyi az osztó. H a két szám 6-vel osztva ugyanazt a m aradékot adja, azt m ondjuk, hogy 6-re nézve ugyanabba a mara­ dékosztályba tartoznak. A „6-re nézve” kifejezést m ód 6 (olv.: m oduló 6) je­ löléssel rövidítjük. P l.: 13 és 28 ugyanabba a m aradékosztályba tartoznak m ód 5, ti. m indkettőnek 3 az 5-tel való osztási m aradéka. m ód 2 két m aradékosztályba tartoznak az egészek: a páros számok és a pá­ ratlan számok osztályába. Ezt a m aradékos osztás formulájával úgy fejezzük ki, hogy a szám ok 2k vagy 2k + 1 alakúak (k tetszőleges egész). H asonlóan: az 5-tel való osztás szem pontjából a számok 5k, 5& +1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 alakúak lehetnek, az azonos alakúak tartoznak egy maradékosztályba. A mód 6 azonos m aradékosztályba tartozó szám okra jellemző, hogy különbségük oszt­ ható 6-vel; ti. ai = b k i I r és a2 = b k2 + r ugyanabba a m aradékosztályba tar­ tozik és különbségük: ai —a2 = b k i + r ~ ( b k 2 + r) = b (ki —k 2) a b többszöröse, tehát osztható 6-vel. A nnak jelölése, hogy a és c ugyanabba a m aradékosztályba tartozik m ód 6, a következő a = c (m ód 6), olv.: a kongruens c m oduló 6; az ilyen jellegű összefüggést a számelméletben kongruenciának nevezzük. 58

tehát 41 027-et 10 nemnegatív egész kitevős hatványainak az összegeként írjuk fel (7-et 7-10° alakban is írhatnánk), ahol az együtthatók, a számjegyek, 10-nél kisebb nemnegatív egészek. A 10-es alapszám történelmileg alakult ki (egyes vélemények szerint tíz ujjunk m iatt); voltak népek, ahol a 6-os, m ásutt a 20-as alapú szám rendszert használták, ha nem is annyira tudatos form ában, mint ahogyan mi a 10-es ala­ pút használjuk. G yakorlati alkalm azásokban (pl. számítógépek) más alapú számrendszer használata is előnyös lehet, elsősorban a 2-es számrendszer. Mivel a szám rend­ szerben használatos jegyek kisebbek az alapszám nál, a 2-es számrendszerben a szám okat két jeggyel, a 0-val és az 1-gyel írjuk fel. Pl.: 1 - 27 + 0 - 2B+ 0 • 23 + 1 ■24 + 1• 23 + 0 - 22+ 1 - 21+ 1 kettes számrendszerbeli alakja 10011011, tízes számrendszerbeli megfelelője vi­ szont 128+16 + 8 + 2 + 1 = 155. Általánosságban így írunk fel egy c szám ot a 2-es szám rendszerben: c — an•2n + an_x’2n 1 an__2*2fl fc+ . . . + $2' 22 + $i*2 + 6íq, ahol az a0, ax, . . . , a„ számok lehetséges értékei 0 vagy 1. c azonban így is ír­ ható, ha az első n —1 tagból kiemeljük 2 -t: c = 2(a„-2n~1+ . . . + a 2-2 + a1) + a0. Ez az a0 a m aradékos osztásról m ondottak szerint a c-nek 2-vel való osztási m aradéka, a hányados egész része pedig an'2 n 1+ . . . + a2*2 + a± = 2(an*2n 2 + . . . ez viszont ismét azt jelenti, hogy ha az előbbi hányadost 2-vel elosztjuk, az osz­ 59

tási m aradék ax. Ezt tovább folytatva, eljárást kaphatunk egy tetszőleges c egész szám kettes számrendszerbeli jegyeinek az előállítására: osztjuk a e-t 2-vel, az osztási m aradék az utolsó számjegy aa. A hányados egész részét osztjuk 2-vel, a m a ra d é k a 1? és így tovább, míg végül a z an•2 + a n_ i hányadoshoz nem jutunk. Ennél a 2-vel való osztási m aradék az a„_1, a hányados pedig a„, ami mindig 1-gyel egyenlő, hiszen egy szám első jegye nem lehet 0. PL: 492 kettes szám ­ rendszerbeli jegyeit ezzel az eljárással így állíthatjuk elő: 492 :2 = 246, - a„ = 0, 0 6 1 : 2 = 30, 1 - a3 = 1 7 : 2 = 3, 1 ------ * a6 = 1

246 : 2 = 123, 123 : 2 = 61, 0 ------ ►aí = 0 1 ------ ►a2 = 1 30 : 2 = 15, 1 5 :2 = 7, 0 ------ ►aá = 0 1 ------- as = 1 3 : 2 = 1 ------ ►as = 1. 1 ------ ►a- = 1

492 kettes számrendszerbeli alakja tehát: 111101100. Eljárásunk egyébként tetszőleges alapszámú számrendszerben is alkalm az­ h a tó ; az egymás után i osztó ekkor természetesen a számrendszer alapszáma. A kettes számrendszerbeli szám okkal form álisan ugyanúgy szám olhatunk, m int a 10-es rendszerbeliekkel, csak azt kell figyelembe venni, hogy 1 + 1 = 10: a természetes szám ok sorozata a kettes szám rendszerben így kezdődik: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. 1010, 101 i, . . . Egy példa összeadásra és szorzásra: 10001101 + 110111 Í1ÖÖ0Í00

1010-101 0000 1010 liÖÖTÖ

4.5. Egy bizonyítási módszer: a teljes indukció Az egész szám okhoz kapcsolódó problém ák megoldásánál, bizonyításoknál gyakran alkalm azzuk a teljes indukciónak nevezett bizonyítási módot. Ennek lényegét a következő tétel bizonyításán m utatjuk.m eg: A z első n páratlan természetes szám összege n2-tel egyenlő. Ennek az állítás­ nak a teljesülését jő néhány esetben egyszerűen ellenőrizhetjük: pl. 1+ 3 = 4 — = 22, 1 + 3 + 5 = 9 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, stb., sőt, ha egytagú összeget értelm ezünk 1 — I2, tehát tételünk biztosan igaz, ha n = 1, 2, 3, 4. Mivel az n-edik páratlan szám 2n — 1, azt kellene bizonyítanunk, hogy 1 + 3 + 5 + ... + (2 « — I) = n2. G ondoljuk meg, hogy ha valahonnan tudnánk azt, hogy az első n — 1 p árat­ lan szám összege (n — l)2, akkor m ár n-re is bizonyítani tudnánk a tételt; az első n páratlan szám összegét ugyanis úgy kapjuk meg, hogy az első (n — 1) 60

páratlan szám összegéhez, (n — !)2-hez hozzáadjuk az «-edik p áratlan szám ot: (2n — l)-et, tehát az összeg: (« — l)2 f 2 « —1 = nl —2n + 1+ 2 « —1 = rí1, ezért valóban igaz az állításunk /j-re, ha n — 1-re igazolt. Bizonyításunknak tehát az a lényege, hogy m egm utattuk: az n-re vonatkozó állítás következik az n — 1-re vonatkozó állítás igaz voltá­ ból, azaz egy előző esetből. Ezek szerint azonban az n —1-re vonatkozó állítás is következik az n —2-re vonatkozóból: és ezt a gondolatm enetet folytatva kapjuk, hogy a két páratlan szám összegére vonatkozó tétel is következik az egy p áratlan szám ra vonatko­ zóból. Ez ped 'g nyilván igaz, és így tételünket általános érvénnyel bizonyítottuk. Foglaljuk össze gondolatm enetünket: í. Belátjuk. hogy az állítás n = 1-re (esetleg n = 0-ra) igaz. II. Bebizonyítjuk, hogy abból a feltevésből, hogy a z állítás n - \ - r e igaz, következik, hogy n-re is igaz ( esetleg n-ről n + l-re „öröklődik” az állítás igaz volta j. I. és II. együttesen biztosítja, hogy az állítás minden természetes szám ra igaz. Ez a teljes indukció lényege. Megjegyezzük még, hogy a kezdő eset nem m indig 1, hanem lehei 1-nél nagyobb (vagy esetleg kisebb) is; továbbá: az « —1-edik esetről az n-edikre való áttérésnél gyakran nemcsak az n —1-edik igaz voltát tesszük fel, hanem azt, hogy m inden n-nél kisebb egészre igaz az állítás. Az n — I-re vonatkozó állítást szoktuk indukciós feltevésnek is nevezni. Teljes indukciót ezek szerint csak akkor alkalm azhatunk, ha tudjuk vala­ honnan, vagy megsejtettük, hogy mi a feltett kérdésre vonatkozó állítás, tehát a tétel már meg van fogalmazva. A teljes indukció felhasználásával bizonyítjuk a következő két té te lt: 1. Tétel: az első n pozitív egész összege

'

, n{n + 1) 1-2 H a n = 1, az összeg 1-gyel egyenlő, ezt adja az — ^ ~

* össze­

függés is, az állítás tehát ebben az esetben igaz. ( f i — 1 )-tl

Az indukciós feltevés: az rt— i pozitív egész összege: — ^— • E kkor az n tagú összeget úgy kapjuk meg, hogy ehhez még az n-et hozzáadjuk: (n —\}n 2 ~~

+

"

_ rP —n + ln _ n2+ n _ n ( n + 1) 2 ” 2 2

’

tehát az n pozitív egész összegét valóban az adott kifejezés adja. 61

2 3 4 5 viszont — mint azt könnyen ellenőrizhetjük — rendre - y , , - y , — adódik, kézenfekvő te­

2. Tétel: a négyzetszámok összegére vonatkozik: l 2+ 22+ 3 2+ ... + « 2 = 4- n(n + 1) ( 2 n + 1). 6

hát az a sejtésünk, hogy az első n tört összege

• Bizonyítsuk be ezt teljes indukcióval.

n = 1-re már láttuk a sejtés helyességét, tegyük fel, hogy igaz a sejtésünk az első n — 1

n = 1 esetben a bizonyítandó m indkét oldalán 1 áll, tehát az állítás igaz. Indukciós feltevésünk, hogy az állítás n — 1 négyzetszámra igaz (a jobb oldalon n helyébe m ost m indenütt n — 1-et írunk): l 2+ 22+ 32+ ... + (n — l) 2 = ~ (n — l)n (2n — 1). 6

A djuk m ost hozzá ezekhez a kifejezésekhez (tehát m indkét oldalhoz) az n-edik négyzetszámot, «2-e t:

tagra, ezek összege tehát H n— l

1

n

n ( n + 1)

. Adjuk hozzá ehhez az n-edik tagot:

_

(n—l ) ( n + l ) + l

n2— 1 + 1

n2

n

n ( n + 1)

n ( n + 1)

n ( n + 1)

n+ V

tehát sejtésünk igaznak bizonyult. Más módszerrel is eljuthatunk erre az eredményre. Vegyük észre, hogy minden törtet felírhatunk két tört különbségeként: 1 _ J ___ 1_ J _____ 1___ 1_ 2 ’ 2-3 ~ 2 T ’

1 -2 “ 1 l 2+ 22+ ... + ( n —1)2+ «2 = 4 - (« —1) n(2n—\) + n 2 — o

-i. i-u , ... , vagy altalaban a K-adik törtet:

1 k

1 &+1

(* + 1 )-*

1

£ (& + l)

&(& +l)'

= \ nf(n —1) (2n —l) + 6nl = n(2n2—2n —n + 1 + 6n) = o 6

Ezért az S így írható:

= ~ n(2n2+ 3 « + 1) = n ( n + 1) ( 2 n + 1), 6 6

Ebben az összegben az első és utolsó tag kivételével mindegyiknek szerepel az ellen­ tettje is, ezeknek az összege páronként 0 , így az összegben csak az első és utolsó tag marad:

1 1 , 1 1 1 1 S ---- 51------------------a 2 2 3------------3 4~—^

s ezzel a bizonyítást befejeztük.

S — 1

1

n+ 1

Feladatok

1

1

^----------n n +TT 1•

_ n + \ —\ _ n w+ 1 n+ 1 ’

vagyis az előzővel azonos eredményre jutottunk.

1. Bizonyítsuk be, hogy ha n pozitív egész, 26n+1+ 3 2n+2 osztható 11-gyel. A z első pozitív egészre, n = 1-re a kifejezés értéke 2 7 + 3 4 = 128 + 81 = 209, valóban osztható 11-gyel. Tegyük fel, hogy n — 1-re az állítás igaz, tehát

26(«-l)+l_f_32(«-l)+2

26»-5_|_32«

osztható 11 -gyei, azaz 11 k alakú, ahol k egész szám :

26»— 5+ 32n

=

(45])

U k

M ost az eredeti kifejezést alakítsuk át úgy, hogy az tartalmazza (4.5. l)-et: 26»+l_|_32»+2 =

2 6 . 26 '‘- 5 + 3 2 . 32 »

= g4 ,2 6»-5 + 9 . 32® = 55 .26»-S 4. 9 (2 0),

3. Előző eljárásunknak éppen a fordítottja a tényező bevitele a négyzetgyökjel alá. 69

h a viszont a < 1, a —1 negatív, |a —1| = —(a — 1) = 1—a, K = a + l - a = 1, 2

|/4

6. Számítsuk ki közelítő érték felhasználása nélkül az x kifejezés értékét:

r ) x ~ y 1/ *2+*.y _ 1/ (x - y ) 2 1/ *(* + X> _ ] / ( x - y ) 2x (x + y ) _ x + y ! x 2—2 x y + y 2 ] { x + y )2 \ ( x —y )2 y (x + y )2 {x —y )2 X

x+ y

^ 1%=f^

x 2 = ( / 7 + 4 /3 )2+ 2 / 7 + 4 / 3 / 7 - 4 /3 + ( / 7 - 4 /3 ) 2 = = 7 + 4 / 3 + 2 / ( 7 + 4 / 3 ) (7 - 4 /3 ) + 7 - 4 /3 = 14 + 2 /4 9 ^ 4 8 = 1 4 + 2 = 16.

4. Többször van szükség arra, hogy törtkifejezéseket úgy alakítsunk át (rendszerint bővítéssel), hogy a nevezőben ne legyen négyzetgyökös kifejezés, ez a nevező gyöktelenítése. H a a nevező egytagú, egyszerűen a nevezővel bővíthetünk. 1 1 -/3 _ / 3 2 _ 2 /6 _ 2 /6 _ /6 /3 ^ /3

~

3 ’

3 /6 ~ 3 - /< T /6 _ 3-6 ~

9 '

H a a nevező kéttagú összeg, akkor a két tag különbségével, ha kéttagú különbség, a két tag összegével célszerű bővíteni. ) = 2 (2 - / 2 ) = 2 (2 - / 2 ) = 2 (2 ~ / 2 ) CJ 2 + / 2 (2 + /2 )(2 -/2 ) 4 -2 2

c

M inthogy x pozitív és négyzete 16, ezért x = 4. Négyzetre emelés nélkül is m eghatározhatjuk x értékét: ( 2 + / 3 ) 2 = 4 + 4 / 3 + 3 = 7 + 4 /3 , ( 2 - / 3 ) 2 = 4 - 4 /3 + 3 = 7 -4 /3 . Használjuk fel ezt az utóbbi két egyenlőséget és azt, hogy 2 + / 3 , 2 —/3~ egyaránt pozitívak: x = / ( 2 + / 3 ) 2+ / ( 2 - / 3 ) 2 = | 2 + / 3 | + | 2 - / 3 j = 2 + / 3 + 2 - / 3 ~ = 4.

^ F ’

c ( c + / c ) _ c(c + / c ) __ c + / c _

( 3 / c ~~

Y

-v = / 7 + 4 / 3 + / 7 - 4 / S . Mivel a táblázat értékei és a számológépen kap o tt értékek közelítő érté­ keknek tekintendők, ezeket nem használhatjuk. Emeljük azonban négyzetre x-et:

. (Itt feltettük, hogy x, y, x —y pozitívak.)

(x, y pozitívak).

ü

(a < 1).

~

c (c -l)

~ c -1

a + b —Ya —b _ ( f a + b —Ya —fc)2

/ a + f r + / a —b

_

( Y a + b + Y a —b) ( Y a + b —f a —b)

_ a + b —2Ya+bYa—b + a —b__ 2a—2Y( a+b) ( a—b) _ ( /a + f c ) 2- ( / á = f c ) 2

a + b —a + b

( f l + b ) - ( a - í> )

b

5. írjuk fel egyszerűbb (gyökmentes) alakban a következő kifejezést: = a + / a 2—2 a+ \. K — a + / a 2—2 a + l = a + / ( a —l) 2 = a + |a —1|. H a fl s 1, a —1 nemnegatív, ezért |a —1| = a —1, és így K = a + a —1 = 2 a —1,

(a s 1); 71

6. Racionális és valós kitevője hatványok; logaritmus

nek negyedik hatványa negatív, holott valamennyi valós szám nak nem negatív a negyedik hatványa. Az n-edik gyököt tartalm azó kifejezések körében hasonló azonosságok érvényesek, m int a négyzetgyökös kifejezésekre; ezekről a következő szakasz­ ban lesz szó. 6.2. Racionális kitevőjű hatványok A z i c kifejezést, ha c pozitív szám, és n pozitív egész, c n alakban is írhatjuk.

6.1. Az n-edik gyök fogalma Legyen n pozitív egész. E gy nemnegatív c szám n-edik gyökén azt a nem­ negatív számot értjük, amelynek n-edik hatványa c-vel egyenlő. A c n-edik n

__

gyökének jelölése: c.

M ivel { ] /c )n = c, ezért ( c « ) n = c; ez az észrevétel is indokolja gyökmennyi­ ségek törtkitevős hatványként való jelölését. M egállapodunk abban, hogy az

fa kifejezést, ahol c pozitív, n pozitív egész és k tetszőleges egész szám, k C»

M eghatározásunk szerint tehát

alakban írjuk, ezt szokás törtkitevős hatványnak nevezni. Tehát

( f c f = c.

c " azt a pozitív szám ot jelenti, amelynek n-edik hatványa ck-val egyenlő.

M inden nemnegatív szám nak egyetlen n-edik gyöke van. A m ásodik gyök a négyzetgyökkel azonos, a harm adik gyököt szokás köbgyöknek is nevezni. A szám ok első gyöke m agával a szám mal egyenlő. / 0 = 0,

1

3

2

P l.: 4 ^ = / 4 = 2; 42" = 8, m ert 82 = 43 = 64; 27"s = 9, m ert 9® = 272 = = 729. -Jl

]/1 = 1 m inden n értékre,

dí

M egállapodunk abban, hogy c n jelentse c " -t, tehát azt a pozitív szá1

Í c ^ 0,

c s 0.

ha

c

A

P l.: / 8 = 2, m ert 23 = 8;

^625 = 5, m ert 5* = 625;

10}/1Ö24 = 2, m ert 210 = 1024; ] j ^

= 1

m ert

.'í

m ot, amelynek n-edik hatványa c~ k = -r-val egyenlő, c -n pedig legyen azonos c n -val. Ezek szerint a hatvány fogalm át minden racionális kitevőre értelmezzük, fe l­ téve, hogy az alap pozitív szám. Természetesen a tizedestört kitevős hatványok is racionális kitevőjűek, hi14168

V'O.OOl = 0,1, m ert 0,13 = 0,001; j/'0,000064 = 0,2, m ert 0,26 = 0,000064. H a n páratlan, akkor a negatív szám oknak is van egyértelműen m eghatán __

rozott n-edik gyöke; ha c negatív, ]/c azt a negatív számot jelenti, amelynek n-edik hatványa c-vel egyenlő. P l.: Z - 8 = - 2 , m ert ( - 2 ) 3 = - 8 ;

= - 1 , m ert ( —l) 5 = —1;

Y —243 = —3, m ert ( —3)5 = —243; V —125 = —5, m ert ( —5)3 = —125. Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy páros gyöke negatív szám nak a valós 4 ______

szám ok körében nem létezhet, m ert pl. Y —16 olyan szám ot jelentene, amely­ 72

szén pl. 51,4168 azonos az 510000 hatvánnyal. Ilyen m egállapodások m ellett bebizonyítható, hogy ha egy törtkitevőjű hatvány kitevőjét bővítjük vagy egyszerűsítjük, értéke nem változik meg, és az egész kitevős hatványok körében megismert műveleti szabályok a törtkitevős hatványok körében is érvényesek, ha tehát p , q, r, s egészek, q ^ 0, s ^ 0, a > 0, b > 0, p_

—+ —

ps + v

1. a* - a s = ao s = a ; p_ r_ JL ps—qr 2. a i : a s = a 0, b > 0): ____ ” k _ nk__ «*,_ \ a - \ a = Vo*- yan = \ c f 'Jrk', " ífs = % , speciálisan: Í f a = ]/a,

fa \

1 b

. a Y2 < an

ű 1 ’42 a l,4 1 5

_ : a l,4 1 4 3 s tb >

Bizonyítható, hogy így tetszőlegesen kicsiny határo k közé zárható, és csak egyetlen olyan valós szám van, amely a fenti m ódon szerkesztett vala­ mennyi egyenlőtlenségnek eleget tesz. (H asonlóan járu n k el 0 < a < 1 ese­ tén, az egyenlőtlenség iránya ekkor éppen az előzőkkel ellentétes lenne.) Ily m ódon valamennyi irracionális kitevőjű hatvány értelmezhető. A z így értelmezett irracionális kitevőjű hatványokra is érvényesek a hatvá­ nyozás már megismert azonosságai. Figyeljük meg, hogy bármely hatványkitevő esetén következik az értel­ mezésből, hogy pozitív számok hatványa pozitív. A valós kitevőjű hatványok fontos tulajdonsága, hogy ha a > 0, íi > 0, ax = bx,

1b

és x ^ 0, akkor a = b; továbbá, ha a pozitív és nem egyenlő 1-gyel, akkor az 6.3. Valós kitevőjű hatványok G yakorlati okokból célszerű a pozitív szám ok hatványainak a fogalm át m inden valós kitevőre kiterjeszteni, tehát a m ár megismert racionális kitevős hatványokon kívül irracionális kitevőjű hatványokra is. Az 5.1. szakaszban szó volt róla, hogy / 2 irracionális szám ; j/2 közelítő érték e: 1,4142. Ez azt is je­ lenti, hogy Y2 tetszőleges pontossággal m egközelíthető racionális szám okkal, azaz tetszőlegesen közeli két racionális szám közé zárható, p l.: 1 <

/2

< 2

1,4 < / 2 < 1,5 1,41 < Y2 < 1,42 1,414 < Y2 < 1,415 1,4142 < j/2 < 1,4143 . . . az utóbbi esetben j/2-1 m ár két olyan racionális szám közé zártuk, melyek kü­ lönbsége 0,0001, és ez tetszés szerint folytatható. A z 1-nél nagyobb alapú racionális kitevőjű hatványok a kitevő növekedé­ sével növekednek, ha viszont az alap 0 és 1 közé esik, a hatványok a kitevő növekedésével csökkennek. E zt a tulajdonságot akarjuk m egtartani a valós ki­ tevőjű hatványok értelm ezésekor is. Ezért, ha a > 1, az a ^ irracionális kite­ vőjű hatvány értelm ezésekor is abból indulunk ki, hogy ez két olyan racioná­ lis kitevőjű hatvány közé zárható, amelyek különbsége tetszőlegesen kicsivé tehető, p l.: 74

ax = ay egyenlőségből x = y következik.

6.4. A logaritmus fogalma Az

ax — b

(6.4.1)

kifejezésben egy összefüggést adtunk meg az a alap, a b hatvány és az x kitevő között, ponto sab b an : a hatványt fejeztük ki az alap és a kitevő segítségével. H a az a alap pozitív, és x tetszőleges valós számot jelent, akkor a b hatvány is mindig pozitív. Ugyanezt a kapcsolatot az a, b, x szám ok között a következő alakban is kifejezhetjük, ha x ^ 0: b x — a,

(6.4.2)

m ost az a alapot fejeztük ki a b hatvány és az x kitevő segítségével. Ugyanezt a kapcsolatot azonban úgy is megadhatjuk, hogy az x kitevőt fejezzük ki a következő alakban (a ^ 1): lóg ab = x

(6.4.3)

(olv.: a alapú logaritm usa b-nek egyenlő x-szel). A (6.4.1), (6.4.2), (6.4.3) összefüggés tehát három mennyiség között ugyanazt a kapcsolatot fejezi ki. (A logaritm us görög eredetű szó; jelentése: kitevő.)

75

Ezek szerint lógab azt a kitevőt jelenti, amely mellett az a alapú hatvány értéke b-vel egyenlő, tehát fliog„b = b (6.4.4) Hangsúlyozzuk, hogy a m ondott kikötések mellett a (6.4.1), (6.4.2), (6.4.3) összefüggések ugyanazt a kapcsolatot jelentik. A loga b kifejezésben a-1 a logaritmus alapjának mondjuk. H a a = 1, akk o r b is 1-gyel egyenlő az ax = b összefüggésben, tehát 1-es alapú logaritm usa csak az 1-nek lehetne, de az sem egyértelmű. Ezért az 1-et a továbbiakban kizárjuk a logaritmusalapok köréből, m indenkoron feltételezzük, hogy az loga szim bólum ban a ^ 1.

6.5. A logaritmus azonosságai A következőkben az egyszerűség kedvéért kikötjük, hogy — hacsak erről kü­ lön nem szólunk — logaritm uson a alapú logaritm ust értünk, ahol a egy rög­ zített (egyébként tetszőleges) 1-től különböző pozitív szám. 1. Szorzat logaritmusa. E g y szorzat logaritmusa a tényezők logaritmusainak a z összegével egyenlő; tehát, ha x és y pozitív számok, loga x y = logaX+ logay.

Ezt az azonosságot a következő m ódon bizonyíthatjuk be: a logaritm us fogalm ából következik, hogy

Példák:

x = íj,og’ — alogo x+l°s*y, ezért —

a lo g a x + l o g a y^

lóga xyzu — loga X + loga y +loga Z+loga M. 2. Hatvány logaritmusa. Hatványmennyiség logaritmusa a hatványkitevőnek és a hatványalap logaritmusának a szorzatával egyenlő; tehát, ha n tetszőleges valós szám, x pedig pozitív,

Ní'

loga x n — n loga X. = 2!

— loga a = l, azaz az alap logaritmusa mindig l-gyel egyenlő, hiszen a1— a; — loga 1 = 0 , azaz 1 logaritmusa minden alap esetén 0-val egyenlő, m ivel a° = 1. Felhívjuk a figyelmet továbbá arra, hogy a m ondott kikötések mellett (a > 0, a 1) csak pozitív szám nak van logaritmusa, viszont a logaritmus értéke tetszőleges valós szám lehet. Jegyezzük még meg, hogy ha loga b = loga c,

76

x y = alog«x*.

és mivel a 1, valóban loga x.F = loga x + lo g a y. Ez az azonosság természetesen tetszőleges szám ú tényezőre kiterjeszthető, pl.:

A logaritm us fogalm ának egyszerű következm ényei:

ak k o r ebből b = c következik.

y = ű*°s« y,

a lo g a x v

II

2 log8 4 = y ,

(6.5.1)

(6.5.2)

Bizonyítás céljából emeljük az x = alosx egyenlőség m indkét oldalát H-edik h a tv án y ra: x ” — (a,og° x)n = anioz«x, a ío g „ X *

—

a n y o g „ .v_

ebből pedig valóban a kitevők egyenlősége, azaz a bizonyítandó azonosság kö­ vetkezik. Speciálisan: loga “ = loga X"1 = - loga*. 3. Tört (hányados) logaritmusa. Tört logaritmusa a számláló és a nevező logaritmusának a különbsége.

77

Ezzel az ún. áttérési képlettel a b alapú logaritm usok ismeretében ki tudjuk szám ítani a szám ok a alapú (tehát tetszőleges alapú) logaritm usát. H a a (6.6.1) azonosságban x = b, akkor a nevezetes

H a tehát x és y pozitív számok, !ogfl ~~y ~

^

loga y •

loga b ’logb a — 1 Ez egyszerű következménye az előző két azonosságnak, ti.: X

loga y = loga X y - 1 = loga X + loga

azonosságot kapjuk, mivel lógt b = 1, azaz

= loga X - loga

Gyökmennyiség logaritmusát törtkitevőjű hatvány logaritm usaként fogjuk fel: loga Í^X = loga

= ~ loga X =

,

(6.5.3)

azaz: gyökmennyiség logaritmusa a gyökalatti mennyiség logaritmusának és a gyökkitevőnek a hányadosa. Feladatok algebrai kifejezéseknek a logaritm usára:

10-es alapú logaritm usa a (6.5.1) és (6.5.2) azonosságok szerin t: lg N = lg 1,9974 + lg 103 = lg 1,9974 + 3.

= loga 3 + 4 + loga b —5 logaC. 2. M ivel egyenlő x, ha loga x = 9 —16 loga b + 2 loga 3 —lóga c? logax = log„a 9+ 2 1 o g 0 3 —(16 \oga b + \ o g 0 c) = log 0 a9•32 - loga b 16 c —

Nézzük m ost N néhány 10-hatvánnyal való szorzatát n o rm álalakban: 9a 9

9a 9 blec

ebből* = ~ .

6.6. Kapcsolat különböző alapú logaritmusok között; logaritmusrendszerek G yakran lehet arra szükségünk, hogy ugyanannak a számnak két különböző alapú logaritm usa között létesítsünk kapcsolatot. Vegyük az

ai°g„* = x azonosság m indkét oldalának b alapú logaritm usát. A hatvány logaritm usának azonossága (a 6.5. szakasz) szerint (loga x) (lóg* a) = log6 x,

(6.6.1)

1, és így log*ű ^ 0, loga x = ^ - X . lóg* a

78

H a az alapszám a = 10, tízes alapú (v. Briggs-féle) logaritm usról beszélünk. A 10-es alapú logaritm us használata a tízes számrendszerben sok előnnyel jár, a szám ok 10-es alapú logaritm usának táblázatba foglalása és felhasználása a XVI. században valóságos számítástechnikai forradalm at eredményezett, m ert lényegesen leegyszerűsítette a bonyolult gyakorlati szám ításokat. A 10-es alapú logaritm us jelölésére logio helyett az lg jelet használjuk: logio 42 = lg 42. A 10-es alapú logaritm usok m eghatározásakor a szám ok norm álalakjából indulunk ki (2.6. szakasz). Legyen pl. az 1997,4 norm álalakban N = 1,9974-103,

3ű?b 1. loga ^ = loga 3a4£>—loga C5 = loga 3 + loga O4+ loga b — loga C5 =

ebből, mivel a

am i azt jelenti, hogy loga b és lóg* a egymás reciprokjai.

(6.6.2)

N í = 1997400 = 1,9974-106, N 2 = 1,9974 = 1,9974-10°, N 3 = 0,019974 = 1,9974-10"2,

lgiV i = lg 1,9974 + 6; lg JV2 = lg 1,9974; lg N 3 = lg 1,9974 - 2.

Ezek szerint minden pozitív szám 10-es alapú logaritm usa egy 1 és 10 közé eső szám logaritm usának és egy egész számnak az összege. Az 1 és 10 közé eső szám logaritm usát a logaritm us mantisszájának nevez­ zük, ez 0 és 1 közé esik; a táblázatok rendszerint csak a m antisszát tartalm az­ zák (ill. ezek közelítő értékét). A logaritm us értékében szereplő egész szám a karakterisztika, ez a norm álalakban a 10 kitevőjével azonos. A pozitív karakterisztikát hozzáadjuk a m an­ tisszához, a negatív karakterisztikát pedig a m antissza után szoktuk írni. Táblázatból: lg 1,9974 = 0,3005. Ebből következik, hogy lg 1997400 = 6,3005 lg 0,019974 = 0 ,3 0 0 5 -2 . Függvénytani összefüggésekben és az ilyen úton nyert képletekben rend­ szerint ún. természetes (Napier-féle) logaritmusok szerepelnek. Ennek alap­ 79

szám a az e-vel jelö lt állandó; e irracionális szám, közelítő értéke 2,7182818. A természetes logaritm us je le : In, vagy gyakran csak egyszerűen: lóg. A (6.6.2) alatti áttérési képlet szerint In x = ÍEÜL lg e

7. Egyenletek

J | i L _ = 2,3026 lg x, 0,4343

tehát egy szám természetes logaritm usa a tízes alapú logaritm usának a 2,3026szorosa, vagy ugyanebből az összefüggésből: lg x = 0,4343 In x. (A szám ításokat 4 tizedes pontossággal végeztük.)

7.1. Az egyenlet fogalma; egyenletek ekvivalenciája

6.7. A logaritmus mint számítástechnikai segédeszköz A logaritm us azonosságai lehetővé teszik, hogy a szorzást összeadással, a hat­ ványozást szorzással, a gyökvonást pedig osztással helyettesítsük. Szorzás. Szám ítsuk ki x = 342-0,0143 (közelítő) értékét, lg x = lg 3 4 2 + lg 0,0143 lg 342 = 2,5340 lg 0,0143 = 0 ,1 5 5 3 - 2 lg x

= 0,6893,

x = 4,89.

O sztás. Szám ítsuk ki x = 349,7 : 2,6 értékét.

egyenletnek az x = 2 és az x = —™ gyöke (megoldása), m ert ezeket a szám okat 3 4 az egyenletbe helyettesítve m indkét oldalon 5-öt, ill. y o t kapunk.

Ig x = lg 349,7- l g 2,6 lg 349,7 = 2,5437 - lg 2,6 = - 0 ,4 1 5 0 lg x

=

2,1287^

H a két algebrai kifejezést az egyenlőség jelével összekapcsolunk, egyenletet k a p u n k ; algebrai kifejezésnek tekintjük itt az egyetlen szám ot is, pl. a 0-t. Ennek az összekapcsolásnak az a célja, hogy m eghatározzuk a betűknek azokat az értékeit, amelyekre az egyenlőség fennáll; azokat a betűvel jelölt változókat, amelyeknek az értékeit meg akarjuk határozni, itt ismeretleneknek m ondjuk és rendszerint az ábécé utolsó betűivel jelöljük: x, y, z, u, v ,. . . stb. Az egyenlet fogalm ának egy pontosabb m eghatározásáról a 21.9. szakaszban van szó. A ttól függően, hogy az egyenlet hány ism eretlent tartalm az, beszélünk egy- vagy többismeretlenes egyenletről. Az ism eretleneknek olyan értékeit, amelyekre az egyenlőség teljesül, az egyenlet gyökeinek vagy megoldásainak nevezzük. Pl. a 3x2—7 = x + 3

A zokat az egyenleteket, amelyeket az ismeretlen (v. ismeretlenek) minden olyan értéke kielégíti, amelyekre az egyenletben szereplő kifejezések értelmezve vannak, azonosságnak m ondjuk. Pl. az

x = 134,5.

H atványozás. Szám ítsuk ki x = 72,8® értékét. lg x = 9 -lg 72,8 = 9-1,8621 = 16,7589,

x = 5,74-1016.

1 0 ______

Gyökvonás. Szám ítsuk ki x = /1 6 2 ,4 értékét. lg * =

80

lg 162,4

2,2106

= 0,2211,

x = 1,664.

egyenletben szereplő kifejezések az x = 2 kivételével m inden valós szám ra ér­ telmezve vannak, és ezek mindegyike ki is elégíti az egyenletet, hiszen x 2—4 = = (x + 2) (x —2), ezért ez az egyenlet azonosság. (Egyenletünkben ezért a 3.1. szakaszban bevezetett jelölés szerint az = jel helyett az = (olv.: azonosság) jelet is használhatnánk.) H a egy egyenletet egy intervallum m inden helye (azaz az intervallum ba eső minden szám) kielégít, akkor azt m ondjuk, hogy az egyenlet azonosság ezen az intervallumon. Az egyenlet megoldásán olyan eljárást értünk, amely gyökeinek a megha­ tározását szolgálja. Természetesen akkor is azt m ondjuk, hogy m egoldottuk az 81

egyenletet, ha kim utattuk, hogy az egy azonosság, vagy hogy ha megmutattuk,, hogy az egyenletnek nincs gyöke. Az egyenlet gyökeit mindig egy m eghatározott halmazban keressük; elvben tehát meg kellene adni ezt az ún. alaphalmazt. Általánosan elfogadott azonban, hogy ha az egyenlet m egoldásakor nem teszünk ilyen kikötést, akkor alaphal­ m aznak a valós számok halm azát kell tekintenünk; könyvünkben mi is ezt az elvet követjük. G yakran van azonban szükség arra, hogy a megoldásokat a valós szám oknál bővebb (a komplex számok), vagy szűkebb (pl. az egész szá­ mok) halm azában számítsuk ki. Előfordul, hogy az egyenletben szerepel olyan változó (betű) is, amelyet az egyenlet megoldása szem pontjából adott számnak kell tekintenünk, és az egyenlet gyökét ennek segítségével kell m egadnunk; az ilyen változókat (betű­ ket) paramétereknek mondjuk, magát az egyenletet pedig paraméteres egyenlet­ nek. Ilyenkor rendszerint szükség van annak az elemzésére is, hogy milyen p a­ ram éterérték mellett van az egyenletnek gyöke, ill. a param étertől függően hogyan változhatnak a gyökök. Pl. az

következményének nevezzük. A következmény gyökei között tehát ott vannak az eredeti egyenlet gyökei is, de azon kívül még m ások is, ezeket viszont valami m ódon ki kell szűrni. Erre legegyszerűbb lehetőség a gyökök helyettesítésével való ellenőrzése, am it el kell végeznünk, ha az egyenlet m egoldása közben olyan lépéseket tettünk, amelyek bővíthetik a gyökök halm azát. T ehát: az egyenlet m egoldásához szervesen hozzátartozik annak a meg­ m utatása, hogy a kap o tt gyökök az eredeti egyenletnek is gyökei (ezért ezt nemcsak a szám ítások ellenőrzése m iatt kell m egm utatnunk); ezt rendszerint úgy végezhetjük el, hogy bebizonyítjuk: megoldás közben csak ekvivalens át­ alakításokat végeztünk, vagy pedig helyettesítéssel ellenőrizzük a kapott gyökök helyességét. Nem szabad olyan átalakítást végezni, amely gyökvesztéssel jár. Ezek közül a leggyakrabban előforduló h ib á k : — az egyenlet m indkét oldalának elosztása olyan kifejezéssel, amely fel­ veheti a 0 é rték et; pl. az x ( x — 7) = 5x

( a ~ \ ) x = a2- 1

egyenletnek a gyökei 0 és 12; ha viszont m indkét oldalt elosztjuk x-szel (am i lehet 0 is), az x — 7 = 5 egyenletet kapjuk, am inek m ár csak a 12 gyöke, — rendszerint gyökvesztéssel jár, ha az egyenlet m indkét oldalán valami­ lyen kifejezés négyzete szerepel és a négyzetre emelést egyszerűen elhagyjuk; pl. az x 2 = (2x —3)2

param éteres egyenletben az a a param éter. Ha a ^ 1, az egyenlet gyöke: a2— 1 a —1

( a + l ) ( a ~ 1) — a ~i~ 1. a—1

H a a = 1, az egyenlet 0 -x = 0 alakot vesz fel, ennek az egyenletnek minden valós szám gyöke (azonosság). A z egyenletek megoldása során azt az eljárást követjük, hogy az egyenletet rendre újabb és újabb egyenletekkel helyettesítjük, amelyeket az előző egyen­ letből bizonyos átalakításokkal kapunk, m indaddig, míg az egyenlet megoldása nyilvánvalóvá nem válik. Ezek az átalakítások legtöbbször a következők: az egyenlet m indkét oldalához hozzáadjuk ugyanazt a számot vagy kifejezést, ill. m indkét oldalából kivonjuk ugyanazt a szám ot vagy kifejezést; az egyenlet m indkét oldalát megszorozzuk, ill. elosztjuk ugyanazzal a számmal, ill. kifeje­ zéssel. Ide tartoznak az egyenlet egy-egy oldalán bizonyos műveletek, pl. össze­ adás, szorzás elvégzése. (Ezek részletezésére az egyes egyenlettípusoknál még visszatérünk.) Az átalakítások során legtöbbször olyan egyenletet kapunk, amelynek gyökei azonosak az átalakított egyenlet gyökeivel; az ilyen egyenleteket ekvivalens ( vagy egyenértékű) egyenleteknek, az átalakítást pedig ekvivalens átalakításnak m ondjuk. A leggyakrabban előforduló ekvivalens átalakítások: az egyenlet m indkét oldalához szám hozzáadása; m indkét oldal szorzása, ill. osztása szám ­ m al vagy olyan kifejezéssel, amely nem veheti fel a 0 értéket és értelmezve van az egyenlet minden gyökhelyén stb. M egoldás közben azonban kénytelenek vagyunk olyan átalakításokat is végezni, amelyek eredményeként kapott egyenlet gyökei az eredeti egyenletnek is gyökei, de azon kívül más gyöke is van. Az így kapott egyenletet az eredeti 82

egyenletnek gyökei 1 és 3. H a viszont a négyzetre emelést m indkét oldalon elhagyjuk, az x — 2 x —3 egyenletet kapjuk, ennek m ár csak a 3 a gyöke. Az egyenletek osztályozásával nem foglalkozunk, áttekintjük azonban a gyakorlatban legtöbbször előforduló egyenlettípusokat.

7.2. Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek Elsőfokú egyismeretlenes egyenletnek az ax = b alakú egyenleteket nevezzük, ahol x az ismeretlen, a, b ad o tt valós számok, és a 9^ 0. Az elsőfokú — vagy más elnevezéssel: lineáris — jelző arra utal,hogy az x ismeretlen első hatványon szerepel az egyenletben. Ide soroljuk azokat az egyen­ leteket is, amelyek megoldása ilyen típusú egyenlet m egoldására vezethető vissza. Ennek m egoldása egyértelm ű: x = — (1. a 2.2. szakaszt). a Megjegyezzük, hogy gyakran ide sorolják az a = 0 esetet is, azaz a 0 -x = b nulladfokú egyenletet. Ennek csak akkor van megoldása, ha b = a, viszont ebben az esetben minden valós szám megoldás. 83

Példáinkban m ódszert m utatunk az egyenletek m egoldásakor használható célszerű eljárásokra, ezek nagy része rendszerint nemcsak elsőfokú egyenleteknél, hanem más típusúaknál is jó l alkalm azható.

28x

28(2x+ 3) -------------- =

, 8 - 3 ’

4x + 7(2x + 3) = 5x + 2 + 8 4 .

1. 3(x —8) —2(4 —x) = x — 16. Végezzük el a bal oldalon kijelölt két szorzást, m ajd az összeadható tagokat ad ­ ju k össze: 3x —24 —8 + 2 x = x — 16, ( i) 5x —3 2 = - x —lő. Rendezzük most az egyenletet. Ezen azt értjük, hogy olyan átalakításokat vég­ zünk, amelyeknek eredményeként az ism eretlent tartalm azó tagok a bal oldalra, az ism ertek pedig a jobb oldalra kerülnek. Ezt m indkét oldal azonos m ódon való m egváltoztatásával érjük el abból az elvből kiindulva, hogy ha egyenlőket egyenlő m ódon változtatunk meg, akkor egyenlők is m aradnak. (Ezt egyéb­ ként mérlegelvnek is szoktuk nevezni.) A djunk hozzá mindkét oldalhoz 32-t, és vonjunk ki m indkét oldalból x -e t:

Ezt az egyenletet form álisan úgy is m egkaphatnánk az elsőből, hogy a törtek számlálóit annyival szorozzuk, amennyivel a nevezőt kellene szorozni, hogy 28-at kapjunk, a nevezőket pedig elhagyjuk. A következőkben az egyenletek „törtm entesítéséí ” ilyen formai egyszerűsítéssel végezzük el. Innen egyenletünk megoldása m ár az előző példa m ódszerét követi: 4x + 14x+21 =• 5x + 86, 13x = 65, x = 5, és helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy 5 valóban gyöke az egyenletnek. (Itt is hivatkozhatunk az ekvivalens átalakításra.) - 3.a) Legyen a adott valós szám. Oldjuk meg a következő egyenletet:

5x —32 + 32 —x = x — 16 + 32 —x.

4x + 3a _ 5 x —2a 3 ~A ~ ’

A z összeadásokat részben elvégezve k a p ju k : 5x —x = — 16 + 32. Figyeljük meg, hogy ez a (í)-vel jelölt egyenlethez képest úgy néz ki, m intha a — 32-t és az x-et ellentett előjellel átv ittü k ” volna a m ásik oldalra. Ezt az átrendezést a jövőben m ár m inden m agyarázat nélkül hajtjuk végre, nem fe­ ledve el, hogy ez lényegében m indkét oldal azonos m egváltoztatását jelenti. U tolsó egyenletünkben az összeadások elvégzése után kapjuk, hogy 4x = 16.

Az egyenlet m indkét oldalát szorozzuk meg 12-vel. 4(4 x + 3 a) = 3(5x—2a), 16x+ 12a = 15x — 6a, x = -1 8 a , és ez valóban megoldása az egyenletnek, bármilyen valós számot is jelentsen a, erről helyettesítéssel is meggyőződhetünk. b) Oldjuk m ost meg a következő egyenletet:

M indkét oldalt 4-gyel osztva kapjuk, hogy

3 _ 4 4x + 3ö 5 x —2 a '

x = A, ez lehet az egyenlet egyetlen gyöke és helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy valóban gyöke is. (H ivatkozhatunk azonban arra is, hogy m inden lépésben ek­ vivalens átalakítást végeztünk.) _ x 2x + 3 5x+2 . !- T + T = T r t l

A z egyenleteket általában célszerű törtm entes alakra hozni. Ez elérhető m ind­ két oldal megfelelő szorzásával. Az egyenletben előforduló törtek nevezőinek legkisebb közös többszöröse 28; szorozzuk meg 28-cal az egyenlet m indkét ol­ d a lá t; m inden törtnél egyszerűsíthetünk is:

Ha két nullától különböző mennyiség egyenlő, reciprokjaik is egyenlők, ezért vehetjük m indkét oldalnak a reciprokját, de ekkor éppen az előző egyenletet kapjuk, aminek a megoldása x = — 18a. M ost azonban különösen szükség van a gyökök ellenőrzésére, ti. a helyettesítésekkel kapott nevezőértékek nullák is lehetnek, aminek nincs értelme. Ez a bal oldalon akkor következik be, ha 4 x + + 3a — 0, azaz 4( — 18a) + 3a = 0, —69a - 0. Ez csak akkor lehetséges, ha a — 0. H asonló m ódon kapjuk, hogy a jo b b oldali nevező is csak akkor lehet 0, ha a = 0. Eredményünk ezért a következő: az egyenlet gyöke x = — 18a, ha a t* 0. H a viszont a — 0, az egyenletnek nincs megoldása. 4 x +6

’ x —2 84

28(5x + 2) r 28 ---------------- + 2

-

x 2—4

2x + U _

x+2 85

A nevezők közös többszöröse (x — 2 )(x + 2 ) = x 2— 4. Az első tö rt nevezőjét x + 2-vel, a harm adikét pedig x —2-vel kell m egszoroznunk, hogy x2- 4-et kap­ junk, ezért ennyivel szorozzuk a szám lálókat is; a m ásodik tört számlálója vál­ tozatlan m a ra d : (x + 6)(x + 2) —32 = (2 x+ 12)(x —2) — l- ( x + 2 ) ( x —2), x 2+ 6 x + 2 x + 12 —32 = 2x2+ 1 2 x —Ax — 2 4 —x2+ 4 , x2+ 8 x —20 = x2+ 8 x —20. A zonosságot kaptunk, amelyet minden valós szám kielégít. Az eredeti egyenlet kifejezései azonban nincsenek értelmezve a nevezők nullahelyein, azaz az x = = 2 és az x = - 2 helyeken; ezért végeredményként azt m ondhatjuk, hogy egyenletünk megoldása 2 és —2 kivételével minden valós szám.

111.

(x + 2 ) —( x —3) = 2x — 1, 2x = 6, ebből

ez ellentétben van az x-re tett kikötéssel; itt nincs megoldás. Összefoglalva: az egyenlet megoldásai a —2 ^ x ^ 3 feltételnek eleget tevő x számok. 7.3. Elsőfokú egyenletrendszerek K ét ismeretlen m eghatározásához általában két elsőfokú egyenletre van szük­ ség ; két ilyen egyenlet egyenletrendszert képez. Az elsőfokú kétismer ellenes egyenletrendszer általános alakja (a, b, c, d, e, f ad o tt szám oknak tekintendők, x és y az ism eretlenek): ax + by = e, cx + dy = / .

5. Előfordul, hogy az egyenletben az ismeretlen valamilyen kifejezésének az abszolút értéke szerepel; ilyen típusú a következő egyenletünk. | x + 2 1— | x —3 1 = 2 x — \. A megoldás általános elve az, hogy az egyenletet abszolútérték-mentesen írjuk fel. Ehhez azonban szükséges bizonyos esetek szétválasztása x értékétől füg­ gően. A hhoz, hogy pl. j x + 2) -t az abszolút érték jele nélkül írhassak fel, tudnunk kell, hogy x + 2 negatív-e vagy nem negatív; hasonló a helyzet x —3-mal is. Fi­ gyelembe véve az abszolút érték 2.7. szakaszban megadott definícióját, készít­ sünk táblázatot j x + 21 és j x —3 j lehetséges értékeiről: /.

1 !

x

VII

- ( x + 2) - ( A T - 3)

VII

|->c + 2| — |x - 3 | =

1

x -= —2

II I .

I L

1

3

A megoldhatóság feltételeivel és a m egoldások számával a 10.3. szakaszban foglalkozunk részletesen. 1. N ézzünk egy példát az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerre és m egoldására: 4x —ly — 61, 20x + 7y = 11. Ebből az egyenletrendszerből egyszerű m ódon kaphatunk egy egyismeretlenes egyenletet, ha ti. a két egyenlet megfelelő oldalait összeadjuk (ez lényegében azt jelenti, hogy az egyik egyenlet m indkét oldalához ugyanazt a szám ot adjuk hoz­ zá), az összegben y m ár nem szerepel — l y + l y = 0 m iatt: 24x = 72,

x+2 x —3

x+2 —tv —3)

6 0 + l y = 11, l y — 11 —60 — —49,

A z I., II., III. eseteknek megfelelően egyenletünk: - ( x + 2) + ( x - 3 ) = 2 x — 1, 2x = —4, ebből

x = —2;

ez ellentétben van az x-re tett kikötéssel, ebben az intervallum ban nincs az egyenletnek megoldása. II.

(x + 2)+ ( x —3) = 2 x — 1, 2 x - 1 = 2 x - 1,

azaz ebben az intervallum ban az egyenlet azonosság, megoldása minden olyan x, amelyre —2 s x s=3 teljesül. 86

ebből

x =

72 = 3. 24

Helyettesítsük be pl. a m ásodik egyenletbe x helyébe a 3 -a t:

1

/.

x = 3,

ebből

y = -l.

Az egyenletrendszer m egoldása: x = 3, y = — 7; helyettesítéssel meggyő­ ződhetünk, hogy ez valóban megoldás. 2.

3x+5_y = 51, 7 x + 6y = 68.

Ennél az egyenletrendszernél m ár nem tudjuk közvetlenül alkalm azni az előző módszert, de egy kis átalakítással elérhetjük, hogy valamelyik ismeretlen együtt­ hatói a két egyenletben éppen ellentettek legyenek; szorozzuk rneg pl. az első egyenletet 7-tel, a m ásodikat pedig —3-m al: 87

2 8 y + 126+ 90y = 185,

21x + 35y = 357, —21x — 18y = —204. H a m ost adjuk össze a két egyenlet megfelelő oldalait, y -ra nézve egyisme­ retlenes egyenletet k a p u n k : 153 I l y = 153, ebből y = = 9.

1 18y = 59, Az j- r a k ap o tt

1

értéket m ost az x-re kifejezett (i) egyenletbe helyettesítve

m egkapjuk x értékét is:

4 4 +18

H elyettesítsünk y helyébe 9-et az első egyenletünkbe: 3%+ 45 = 51, 3x = 6,

, = _ ebből

M ódszerünk — az ún. egyenlő együtthatók módszere — lényege az, hogy egyenleteinket úgy alakítjuk át, hogy a két egyenletben valamelyik ism eretlen­ nek ellentettek legyenek az együtthatói; ezután az egyenletek megfelelő oldalait összeadva m ár egyismeretlenes egyenletet kapunk. A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásának az alapgondolata tehát az, hogy megoldásunkat egyismeretlenes egyenlet ( vagy egyenletek) megoldására ve­ zetjük vissza. Ez elérhető úgy is, hogy az egyik ismeretlent a másik segítségével kifejezzük az egyik egyenletből és ezt a kifejezett értéket a másik egyenletbe helyettesítjük be, így abból m ár egyismeretlenes egyenlet lesz; ez az ún. helyettesítő módszer. 3. O ldjuk meg ezzel a következő egyenletrendszert:

20

= _

.

= 4.

A megoldás: x = 4, y = ™ (kielégítik az egyenletrendszert). 4. A gyakorlatban előforduló egyenletrendszereket általában még á t kell alakítanunk, hogy azt az egyszerű alakot m egkapjuk, am elyikkel eddig foglal­ koztunk. Pl a következő egyenletrendszer m egoldásakor: 2x —3 _ 3 x + 1 2y~^5 ~ 3 y —4 ’ 3(y + 2) —2 (x —3) = 16. A z első egyenletet szorozzuk meg a nevezők szorzatával; ez az egyszerűsítések figyelembevételével azt jelenti, hogy az első tört szám lálóját 3y — 4-gyel, a m á­ sodik töri szám lálóját 2_y—5-tel kell m egszoroznunk; a szorzások után m indkét egyenletet a szokásos alakra rendezzük. (Az egyenleteket párosával szoktuk le­ írni.) (2 x —3)(3j> —4) = (3 x + l)(2 y —5), 3y + 6 - 2 x + 6 = 16,

5x —4y = 18, 7x + 18v = 37.

6xy — 9y —8 x + 1 2 = 6xy + 2 y — 15x —5, —2x + 3y = 4,

Fejezzük ki az első egyenletből az x-et: 5x = 4>’+ 18, az egyenlet m indkét oldalát 5-tel elosztva k apjuk, hogy x =

_

x = 2.

Egyenletrendszerünk m egoldása: x = 2, y = 9; helyettesítéssel ellenőrizzük m egoldásunk helyességét.

(i)

59 1 y = yy^ =

ebből

4 y + 18 — .

Helyettesítsük ezt a másik egyenletben az x helyére, majd oldjuk meg az így ka­ po tt, y -ra nézve egyismeretlenes egyenletet:

(//)

7x — 1 ly = - 1 7 , —2x + 3y = 4,

szorozzuk most meg az (ii)-ben levő első egyenlet két oldalát 2-vel, a m ásodikét 7-tel, m ajd adjuk össze a megfelelő o ld a la k at: 14x —22y = - 3 4 , - 14x + 21y = 28, —y =

7 . f e + 18 + 18, = 3 7,

—6,

azaz

y = 6.

A m ost kapott y értéket a (ii)-vel jelölt egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy f c

88

^

+ 18, = 37.

7x —66 = - 17,

ebből

I x = 49, x = 7. 89

A z egyenletrendszer m egoldásai: x = 7, y — 6; helyettesítéssel könnyen m eggyőződhetünk, hogy ezek m ind a két egyenletet kielégítik. 5. Egyes esetekben nem célszerű az egyenleteket törtm entes alakra hozni, mivel a m egoldások így bonyolultakká válnak, sőt magasabb fokú egyenletre is vezethetnek. Erre példa a következő egyenletrendszer m egoldása: 48 3x + y

45 _ l x —2y

32 3x+ y

27 = 7. x — 2y

3 ( 2 y - 9 ) + y = 8, 7y = 35, y = 5,

x = 2 y —9 = 1.

Egyenletrendszerünk megoldása az x — 1, y — 5 szám pár; ezek valóban ki is elégítik az egyenletrendszert. 6. Egyszerűen já rh atu n k el, ha egyenletrendszerünket úgy sikerül átalakí­ tani, hogy m indkét egyenletben az egyik oldalon az egyik ism eretlennek ugyan­ az a kifejezése áll, pl. a következő esetben:

Lényegesen egyszerűbbé válik egyenletrendszerünk, ha bevezetjük az u — =

A m ásodik egyenletből x = 2y —9, ezt az első egyenletbe helyettesítjük:

3 (5x— 10)—22 =

3y—11 ’

> v ~ ~— 2^ helyettesítéseket: 9(5 _ x) — 1 = — 8— . V ; 3 y — 11

48 m+ 45« = 1, 32u— 21v = 7. Ezt az egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével oldjuk meg. Szorozzuk meg az első egyenletet 3-mal, a m ásodikat 5-tel és adjuk össze az egyenlet megfelelő o ld alait: 144w+ \35 v = 3, 160m—135?; = 35, 304,

= 38,

« = m

A z egyenlet bal oldalán álló mennyiségek ugyanazzal a jobb oldali mennyiség­ gel egyenlők, ezért egymással is egyenlők: 3( 5 x - 1 0 )-2 2 = 9(5 — x ) — 1, 15x—30 —22 = 45 —9x — 1, 24x = 96, x = 4. A kapott x értéket helyettesítsük pl. az eredeti m ásodik egyenletbe

= 3 y - 11

A z így k ap o tt u értéket az első törtm entes egyenletbe helyettesítve egyismeret­ lenes egyenlethez jutunk, ezt oldjuk meg:

]

v —— ^ ,

M ost m ár csak x és y értékeinek a m eghatározása van hátra, ez ismét kétismeretlenes egyenletrendszerre vezet; m egoldásakor figyelembe vesszük, hogy ha két szám egyenlő, recipfokjaik is egyenlők: 3x+ y = ~ , u 0

x - 2 y = -■, 3 x + y = 8, x — 2y = — 9. 90

— =

1,

3 y — 11 = 1,

4l + 45t; = 1, 45v = —5,

1

3y — 11

1

3y = 12,

y = 4.

Egyenletrendszerünk m egoldása: x = 4, y = 4. 7. H árom ismeretlen egyértelmű m éghatározásához általában három első­ fokú egyenletből álló egyenletrendszer szükséges. Ennek m egoldásakor rend­ szerint azt az elvet követjük, hogy a kétismeretleneseknél megismert módszer valamelyikével az egyik ismeretlent kiküszöböljük és kétismeretlenes egyenlet­ rendszer m egoldására vezetjük vissza a feladatot. így járu n k el a következő példánkban is: 3x + 4y+ Í z — 57, . x — 2 y + 3 z = 27, 2x + y - 5z = —28. Szorozzuk meg a m ásodik egyenlet m indkét oldalát —2-vel: — 2x + 4 y —6z = —54, 91

és adjuk össze ennek és a harm adik egyenletnek a megfelelő oldalait: 5

V onjuk ki ebből az egyenletből egymás után egyenletrendszerünk egyenleteit; közvetlenül a m egoldást kapjuk:

y — 1 íz — — 82,

M ost —3-rnal szorozzuk meg a m ásodik egyenletei és az elsőhöz adjuk hozzá:

x — s - a,

y = s —b,

z = s —c.

Könnyen ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldások is.

-3 x i-6 y -9 z = -8 1 , Í 0 y — 2z = - - 2 4 . Ezzel két kétismeretlenes egyenlethez ju to ttu n k ; írjuk ezeket egymás alá, majd a m ásodik m indkét oldalát osszuk el —2-vel, ekkor m ár alkalm azhatjuk az egyenlő együtthatók m ódszerét: 5y - \ \ z = - 8 2 , 10>’- 2z = —24, 5y - U z = - 8 2 . —5y + z — 12.

7,4. Egyismeretlenes másodfokú egyenlet Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános a la k ja : a xl + bx + c = 0,

ahol a, b, c adott valós szám oknak tekintendők és a ^ 0. A m ásodfokú egyen­ letek megoldása arra az egyszerű tényre vezethető vissza, hogy ha egy x szám négyzete k- val egyenlő, azaz x 2 =■ k, akkor x vagy f/it-val, vagy pedig —/fc-val egyenlő: ezt ilyen form ában szoktuk felírni:

A z utolsó két egyenlet összegezéséből kapjuk, hogy — lOz = —70,

azaz

z = 7.

Helyettesítsük ezt a legutolsó kétismeretlenes egyenletbe: — 5y + 7 = 12,

ebből

—5y — 5,

am iből y = — 1 következik. Végül az y és z kiszám ított értékét az egyenlet­ rendszer m ásodik egyenletébe helyettesítve az jt + 2 + 21 = 27

x — ± y 'k

vagy

A djuk össze a három egyenlet m egfdelő oldalait, majd az így kapott egyenlet l’ m indkét oldalát osszuk el 2-vel, és vezessük be az - - (a + b + c) = s jelölést: 2x+ 2y+ 2z = a+ b+ c, l x + y + z — — (a + b + c), x + y + z = s. 92

x-i — \'k,

x 2 = —f k .

A z x 2 — k egyenletnek csak akkor van megoldása., ha k nem negatív, hiszen egy szám négyzete nem lehet negatív. Ha k = 0, Xi és x 2 egyaránt 0, ha viszont k pozitív, Xi és x 2 ellentett előjelű,szám ok. H a a (7.4.1) egyenletben b — 0, az egyenlet m egoldásához közvetlenül al­ kalm azhatjuk előző észrevételünket: ha ax2 + c = 0, akkor ebből

egyenletet kapjuk, ebből x = 4 következik. Az egyenletrendszer megoldása tehát: x = '4 , y — — 1, z — 7 (helyettesítéssel ellenőrizhetjük), 8. Nem m indig az előbbiek adják a legegyszerűbb m ódszert. Erre m utatunk egy példát: Legyenek a, b, c ad o tt valós szám ok, oldjuk meg a következő egyenlet­ rendszert: , y + z - a, z f x = b, x-i y ~ c.

(7.4.1)

.■> _

c a

"f C 1F c c következik, és ennek m egoldása: x x = I I -----x„ = — / --------- . H a ----- > 0, f r a ~ f a a ak k o r két megoldás van; ha -- = 0, akkor egy megoldás van; és nincs megol­

dás, ha —— < 0. a 1. Az x2 = 196 egyenlet m egoldásai: x x — = -1 4 .

196 = 14, x 2 — —y'\96 =

2. H asonlóan: az ( x —3)2 = 1 9 6 egyenlet m egoldásai: x —3 = 14,

ill.

x —3 = —14,

x* = 17,

ill.

x 2 = —11.

ebből: 3. H a az előző egyenlet bal oldalán a kéttagút négyzetre emeljük és az egyen­ 93

letet a (7.4.1) egyenlet alakjára rendezzük — azt szoktuk m ondani: nullára re­ dukáljuk —, a következő egyenletet k a p ju k : x 2- 6x4-9 = 196, x2 —6.x— 187 = 0.

x =

= _ | ± j/£ ! _ íí = _ ' ± j/

Feladatok m ásodfokú egyenletek m egoldására:

Ez az átalakítás adja az ötletet, hogy az utóbbi általános alakban adott egyenletet vissza lehet vezetni az előző típusú egyenlet megoldására. Induljunk ki az általános ax2+ b x + c = 0 egyenletből, ahol a ^ 0. Hogy egyszerűbb legyen a fenti kifejezést kéttagú kifejezés négyzeteként felírni, szorozzuk meg az egyenlet m indkét oldalát 4 a-val: 4a2x 24- 4abx 4- 4ac = 0.

1. 3x2—4 x 4 --^ = 0. A megoldóképletet a = 3, 6 = —4, c = 4±^16 —6

4 + fiÖ

ebből

2

2. 4x24-4x4-1 = 0. A megoldóképletet alkalmazva a = 4, b — 4, c = 1,

^ 2

_ - b ~ i b 2- 4 a c 2a '

ha

b2 —4ac < 0,

az az az az

1 2 + ^ 1 4 4 - 4 -4 0

94

1 2 + r —16

2

2

A z egyenletnek nincs valós megoldása, mert diszkriminánsa negatív.

fn A ^ ( '

2

1

x2— x4-1

*4-1

2x—1

x3+ 1 '

Első lépésként az egyenletet törtmentes alakra kell hozni, ezért megszorozzuk mindkét ol­ dalt a nevezők egy közös többszörösével. A 3.2. szakasz azonossága szerint x 3+ l = ( x + l ) X X (x 2 —x + 1), ezért x 3+ 1 a nevezők közös többszöröse. Ha .r 1+ 1-gyel szorozzuk meg az egyen­ let két oldalát, az egyszerűsítések miatt az első tört számlálóját x+ 1 -gyel, a másodikét xt —x + + 1 -gyel, a harmadikét pedig 1 -gyel kell szoroznunk, tehát az utóbbi változatlan marad:

2(x+\) —(x2—x+V) = 2x —1, 2x + 2—x2+ x —1 = 2x —1. Hogy a megoldóképletet alkalmazhassuk, egy oldalra kell rendeznünk minden tagot, legyen ez a jobb oldal (itt x 2 előjele pozitív lesz, ez csökkenti a számolási hibák veszélyét), majd a két oldalt felcseréljük: .v2--.* —2 = 0, a megoldóképlettel:

—

H a a = 1, a m ásodfokú egyenlet általános alakját így is felírhatjuk

a m egoldóképletből ennek gyökeire a következőket k ap ju k :

1

A megoldóképlettel:

egyenletnek két különböző gyöke van; egyenlet két gyöke egyenlő (úgy is m o n d h ató : egyenletnek egy gyöke van); egyenletnek nincs valós gyöke.

x 2+ p x + q = 0,

4

2

ax = —b ± } /b2—4ac,

M ivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezek a gyökök k i is elégítik az egyenletet. A b2—4ac kifejezést a (7.4.1) egyenlet diszkriminánsának m ondjuk, ettől függ, hogy hány m egoldása van az egyenletnek. H a b2— 4ac >- 0, ha b2—4ac = 0,

—4 + ^16—16

3. x 2- 12x4-40 =

Ez a m ásodfokú egyenlet megoldóképlete (gyökképlete). Szokás a két gyök szétválasztása is : - b + l / b 2- 4 a c 2a ’

4 -/ÍÖ

x* = — 6 ~ '

* 1 = ~ 6— .

az egyenletnek tehát csak — ~ a gyöke.

— b ± y 'b 2— 4ac x = -------- \ --------- • 2a

„ _

4+yTÖ

x = — 6------=

A djunk hozzá az egyenlet m indkét oldalához b2-et, ekkor az első három tag éppen 2ax + b négyzete lesz: 4a2x 2+ 4 a b x+ b 2+4ac = b2, (2ax + b)2 = b2— 4ac; _______ 2 ax + b = + \íb 2— 4ac,

szereposztással használjuk:

lij/I +8 2

—

1±3 2

x x = 2,

x 2 = —1.

Ellenőrizzük a gyököket; x 1= 2. 2 A bal oldal: ——

1 2 1 1 3 1 ----- j = ^----- a jobb oldal: — = — , tehát x1 = 2 valóban

95

m egoldás; az x 2 = — í viszont nem m egoldás, m ert a m ásodik (és harm adik) tö rt nevezője ezen a helyen 0, a tört itt nincs értelmezve. Az egyenletnek tehát egy gyöke van, a 2.

5. Jelentsenek m ost a és b ad o tt szám okat; oldjuk meg a következő egyen­ letet : 1 1 1 1 n . — j----- 1- = ---------s ?0, b 0). x a b x+ a+ b v A z egyenlet m indkét oldalát szorozzuk meg a nevezők közös többszörösével, a b x X x ( x + a + b)-\e\: a b (x + a + b)-\ b x (x + a + b) + a x (x + a + b ) = abx. abx 4- a2b + ab2+ bx 2+ abx + b2x + a x :24- a2x + abx = abx, (a + b)x2+ (a2+ 2ab+ b2)x + (crb ~t~ab2) = 0. Vegyük észre, hogy az egyenlet bai oldalán álló mindhárom tagban szerepe! szorzóként a + b . hiszen a2+ 2ab + fr2 = {a + b)2 és a2b + a b s = ab(a+ b). Ha a + b ^ 0, akkor eloszt­ hatjuk vele az egyenlet minkét oldalát, ezért válasszuk m ost külön a két lehetőséget: I. a-i b

0, az egyenlet két oldalát osszuk el a + b-vei:

tehát egyenletünkben e-t 1-nek vagy -7 -n e k kell választanunk. (Ellenőrizhetjük, hogy ekkor valóban csak egy gyöke van az egyenletnek.) A z a x 2+ b x + c = 0 egyenlet két gyöke és az egyenlet együtthatói közötti összefüggéseket a (7.4.2) alatti megoldóképlet tartalmazza. Adjuk most össze a két gyököt: —b + 'jb2—4ac 2a

—b — f b 2 —4ac 2a

—2b 2a

b a

Xi -j- X* — -------- r---------- 1--------- r--------- ——— --- —----- , a két gyök szorzata: XlX2

( —b+ Í b 2—4ac) ( —b — Yb2—4ac) 4a2

b2—(b2—4ac) 4a 2

4ac 4a 2

c a

Tehát b x , + x, = ------, a

c x .x , = ----. a

b c A z a x 2+ b x + c = 0 egyenlet ké t gyökének az ö ssze g e ----- , szorzata — . H a a a a = 1, a két gyök összege —b, szorzata pedig c-vel egyenlő.

x 2+ (a + b)x + ab = 0.

7. írjunk fel olyan m ásodfokú egyenletet, amelynek gyökei 10 és —3.

Alkalmazzuk m ost erre a megoldóképletet: x

—

(a s -b) + Í(a + b)2—= Aab _ —a_ —b + f ( a — bf _ =

—a_ —b + \ a, —b ,

M ivel \a —b\ vagy a —6-ve!, vagy —(a —6)-vel egyenlő, ezért mindkét esetben ugyanazt az eredm ényt kapjuk, ha a z abszolút érték jelét elhagyjuk: -~a —b + ( a - b ) x = ---------- ^ --------- ,

ebből

—a —b + a — b , x x = ---------- ----------= —b,

—a —b —a-\ b x %— ---------- - ---------= —a,

és ezek valóban ki is elégítik az egyenletet.

1

1

1

------ +— = ---r-rr< x b b x —b + b

x 2 —7x —30 = 0 . Emeljük ki most az általános alakban a bal oldalon a- 1 és helyettesítsünk — helyébe c ^ —(Xi+XaM, — helyébe pedig x xx 2-t; ö ( * 2 + "íTV+ ^r) = a ( * 2 —(* i + * 2) * + x i * 2) = a(xs —x 1x —x 2x + x 1x^) = a i x —x i) ( x - x j ) .

II. a + b = 0. Ez azt jelenti, hogy a = —b. írju k be ezt a feltételt az eredeti egyenletbe: 1

Előbbi megjegyzésünk szerint —b = 10 —3 = 7, tehát b = —7; c = 1 0 -(—3) = —30, ezért az egyenlet, ha a- 1 1-nek választjuk:

azaz

1

— = x

Ezért a x 2+ bx + c = a ( x —x l) ( x —x 2).

í — . x

ezt viszont m inden 0-tól különböző valós szám kielégíti. Összefoglalva; ha a + b 7^ 0, az egyenletnek két megoldása van: —a és —b; ha viszont a + b = 0 , az egyenletnek minden 0 -tól különböző valós szám megoldása.

6. A 2x2+ ( e —9 ) x + e 2+ 3 e + 4 = 0 egyenletben adjuk meg az e értékét úgy, hogy az egyenletnek két egyenlő gyöke legyen.

A z a(x2— x i) ( x —x2) = 0 alakot a másodfokú egyenlet gyöktényezős alak­ jának nevezzük. Ezek szerint egy másodfokú polinomot mindig szorzattá tudunk alakítani, ha ismerjük gyökhelyeit, azaz azokat az x értékeket, amelyek mellett a polinom helyettesítési értéke 0. Pl.: A lakítsuk szorzattá az x 2 —5x + 6 kifejezést: A megoldóképlettel az x 2 —5x + 6 = 0 egyenlet gyökeit számítjuk ki először:

A z egyenletnek akkor van két egyenlő gyöke, ha diszkriminánsa 0, azaz 5 + ^25 —24 5+ 1 x = ----- —^--------= ~~Y~’

( e —9 ) 2 —4 •2(e 2 + 3e + 4) = 0, < r -1 8 e + 8 1 - 8 e 2-2 4 < ? -3 2 = 0, —7e2 —42e+ 49 = 0.

-6 + 8

ebből

a,, = 1 ,

_ x2 = 2,

( x —3)(x —2 ) = 0 .

e2+ 6 e - l = 0 ,

—6 ^ 3 6 + 2 8

, Xj = 3 ,

tehát a gyöktényezős alak, azaz a szorzattá bontás:

Egyszerűbb egyenletet kapunk, ha mindkét oldalt elosztjuk -7 -te l:

e = ---------- -------- = — - — ,

,,,,

,

= -7 ,

A 7. feladatunkat ezek szerint úgy is megoldhatjuk, hogy mindjárt a gyöktényezős alakját írjuk fel az egyenletnek: ( x —1 0 )(x + 3 ) = 0, a szorzás elvégzése és összeadások után itt is az x 2 —7x —30 = 0 egyenlethez jutunk.

96

97

7.5. Másodfokúra visszavezethető egyenletek N éhány olyan egyenlettípust m utatunk m ost be, amelyek 2-nél magasabb fokúak (azaz az ismeretlen 2-nél m agasabb hatványon szerepel bennük), de a m ásodfokú egyenletre vonatkozó ism ereteink segítségével meg tudjuk ezeket oldani. 1. Ide tartoznak azok a negyedfokú egyenletek, amelyekben az ismeretlen csak negyed- és másodfokon fordul elő. P l.: x 4- 1 0 x 2+ 9 = 0. Mivel x 4 = (x2)2, tekintsük ismeretlennek ebben az egyenletben az x2-et (jelölhetnénk természetesen egy újabb betűvel is), és erre alkalmazzuk a meg­ oldóképletet : (x2)2—10x2+ 9 = 0, a —

10±V102- 4 - 9 . 10± 8 2 — 2 ’

1—

2—

A z ismeretlen négyzete tehát 9 vagy 1, ebből az ismeretlen: * i2 = - 3 ,

* n = 3,

x2i = 1,

x22= - l .

(Negyedfokú egyenletnek négy gyöke is lehetséges.)

3 x i~ 8 = 5 x j+ 10, —18 = 2xi,

3x2—8 = —2x2—4, 5x2 = 4,

A kap o tt két érték megoldása az egyenletnek. 3. A z egyenletek m egoldásakor gyakran alkalm azott m ódszer a nullára redukált egyenletben szereplő kifejezés szorzattá alakítása. Ennek használatára m utatunk két példát. H a az ax2+ b x + c = 0 egyenletben a ^ 0, b ^ 0, c = 0, nem érdemes a megoldóképletet használni, gyorsabb a szorzattá alakítás: x(ax + b) — 0. Egy szorzat akkor és csak akkor lehet nullával egyenlő, ha valamelyik tényezője nulla, ezért itt is ez a két eset lehetséges. I. Xi = 0, ez valóban megoldás. II. a x 2 + b = 0,

ebből

öx2 = —b, x 2 =

és ez is megoldás.

4. Ugyanezt a gondolatot alkalm azhatjuk bonyolultabb esetben is. Oldjuk meg pl. a következő egyenletet: x3—7x2+ 12x —5x2+ 35x —60 = 0.

2. U gyanezt az elvet valamivel bonyolultabb esetben is követni tudjuk: ( 3 í ^ ' | ’“_ 3 3 i ^ _ 1 0

\ x +2 J

x +2

= 0.

Ebben az egyenletben nem érdemes elvégezni a kijelölt négyzetre emelést, m ert az eredetinél ekkor lényegesen bonyolultabb egyenlethez jutunk. Vezessük he ú j ismeretlenként az

7 ± / 4 9 —48 x = ------- ^ y 2—3 y — 10 = 0

3+7

y = ------- 2------- = ~ 2 ~ ’

yi = 5>

E bből a megfelelő x érték ek :

3xi-8 _

3x2— 8 _

X i+ 2

x 2+ 2

7+ 1 x i = 4’

*2 = 3-

H a a m ásodik tényező egyenlő nullával: x —5 = 0, X3 = 5. Egyenletünket m indhárom érték kielégíti.

alakú lesz. A megoldóképlettel m egoldjuk:

98

(x2—7 x + 12) (x —5) = 0. x2—7 x + 12 = 0,

=

ezt helyettesítve egyenletünk

3±[/9 + 4Ö

M indkét tagból viszont x2—7x + 12 emelhető ki:

H a az első tényező n u lla:

3x —8 y

Észrevehetjük, hogy az első három tagból kiemelhető x, a m ásodik három ból pedig - 5 : x(x2—7 x + 12) —5(x2—7 x + 12) = 0 .

5. 4x4—8x3+ 3x2—8 x + 4 = 0. J?2 = - 2-

Megfigyelhetjük, hogy ebben a negyedfokú egyenletben a középső tagból jobbra-balra szim m etrikusan elhelyezkedő együtthatók egyenlők. Ilyenkor célszerű elosztani az egyenlet m indkét oldalát x2-tel (x = 0 nyilván nem elé­ gíti ki az egyenletet, tehát oszthatunk vele); utána csoportosítsuk az egyenlő együtthatójú tagokat. 99

4x2—8 x + 3 —8 X

+4-4 = X-

~ Í3 x + 1 = 3 -x .

0,

Em eljük m indkét oldalt négyzetre, ezzel olyan m ásodfokú egyenlethez ju tu n k , am elyben négyzetgyökös tag nem szerepel. (Ezért volt fontos a rendezés.)

4 (x 2 + ^ ) - s ( x + i } + 3 = ° .

3x + 1 = 9 —6x + x2, x 2- 9 x + 8 = 0,

] 1 Vezessünk be egy új ism eretlent: y = x + — . Ezzel y 2 = x 2+ 2 + - ¥, tehát 1 x 2 g = y 2~ 2 . Végezzük el ezek helyettesítését egyenletünkbe: 4(y2- 2 ) - 8 y + 3 = 0, 4y2~ 8 y ~ 5 = 0. _ 8 + /6 4 + 80 _ 8 + 1 2 y ~ 8 8 ’

yi =

II. H a

1 5 x +— = x 2

4 _

1

Xi — 2,

x2 =

5±3 4 .

X =

x„ — 1.

Em eljük négyzetre a két oldalon levő kifejezéseket:

y2

2 x + 5 + 2F'(2* + 5 ) ( x - l ) + x - l = 64.

y2 = - y ,

Még mindig van egy négyzetgyökös kifejezés az egyenletben; úgy rendezzük át, hogy az egyik oldalon egyedül ez maradjon, négyzetre emelés után most már másodfokú egyenletet ka­ punk: = 6 0 - 3x. 4(2x2+ 3x - 5) = (60—3x)3, 8x 2 + 1 2 x - 2 0 = 3600 —360* + 9x2, x 2 —372x+3620 = 0, 2

2x2+ x + 2 = 0,

——-

x , = 8,

2

Helyettesítéssel beláthatjuk, hogy x , = 8 megoldás, x 2 = 1 viszont nem elégíti ki az egyenletet, m ivel az egyenletbe helyettesítve a bal oldalon 2-t, a jo b b oldalon pedig - 2 - t kapunk.

1 1 *+ — = --^, x 2

2x2—5x + 2 — 0, 5 + ^25 —16 ----------- ----------- = 4

2

2 . Í2x + 5 + Y x ^ \ = 8.

__ 20 5 y i ~ 1 T ~ 2~’

y ism eretében most m ár x-et is m eghatározhatjuk. I. H a

9 + /8 1 -3 2 9±7 x = --------z------ = ——,

- l + fl^ T ó 4

----------------------------- =

* _ 372 ± y 138 3_ 8 4 - Í 4 48Ö

—ldL^ — 15 4

------------------------,

nincs valós gyöke.

x 1 = 362,

372 + J/Í23904 _

372 _+ 352 >

x 2 = 10.

A két gyök közül azonban 362 helyettesítésével a bal oldalon 2 7 + 1 9 = 46-ot kapunk, ez tehát nem elégíti ki az egyenletet, az x = 10 viszont kielégíti, ez az egyetlen megoldás.

3. /x~ ~ 2 + f;6x + 4 = - 4 . A z eredeti egyenlet gyökei: 2,-^-.

7.6. Négyzetgyökös egyenletek N égyzetgyökös egyenletekről beszélünk, ha az ismeretlen (v. ismeretlenek) négyzetgyökjel alatt szerepelnek benne. M egoldásuknál arra törekszünk, hogy a z egyenletből a négyzetgyökös kifejezéseket kiküszöböljük. Ez legtöbbször úgy sikerül, hogy az egyenlet m indkét oldalát egyszer vagy többször négyzetre emeljük. Itt különösen kell ügyelnünk a gyökök ellenőrzésére, mivel szükség­ képpen nem ekvivalens átalakításokat kell végrehajtanunk.

Számolás nélkül is rájöhetünk, hogy ennek az egyenletnek nem lehet gyöke. Ha ti. lenne, akkor a bal oldalon nem negatív számot kellene kapnunk, a jobb oldal viszont negatív, egyenlőség ezért semmilyen x esetén sem állhat fenn.

4. J/x2+ 4x + 4 —Í x %—6x + 9 = 2 x —1. Vegyük észre, hogy a négyzetgyökök alatt kéttagú kifejezések négyzete áll: Í ( x + l f - i i x —'Sf = 2 x —1 , ebből [ x + 2 | —| x —3 | = 2 x —1. Ezt az abszolút értékes egyenletet viszont a 7.2. szakasz 5, feladataként már megoldottuk.

Feladatok 1. x - / 3 x + í = 3. Rendezzük az egyenletet úgy, hogy az egyik oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés álljon.

100

101

Ebből

7.7. Másodfokú egyenletrendszerek

* ii = 5,

H a egy egyenletrendszerben az ismeretleneknek m ásodfokú algebrai kifejezé­ sei szerepelnek (m agasabb fokúak azonban nem), másodfokú egyenletrendszer­ ről beszélünk. A gyakorlatban előforduló egyenletrendszerekben az egyenletek és az ismeretlenek száma egyenlő szokott lenni, ez azonban a megoldhatóság­ hoz sem nem szükséges, sem nem elegendő. M egoldásukra nem tudunk m on­ dani minden esetben jó l alkalm azható m ódszert, mindenkor célszerű azonban arra törekednünk, hogy az egyik egyenletből kifejezve az egyik ismeretlent és azt a m ásikba helyettesítve, az ismeretlenek számát az egyenletben csökkent­ sük. A leggyakrabban előforduló eseteket most egy-egy feladaton m utatjuk be.

x 12 = - 5 ,

x 21 = 4,

x 22 = - 4 .

yu= ~4,

y 2i = 5,

y 22 = - 5 .

A hozzájuk tartozó y értékek: ^ n = 4,

4. x 2+ y 2—6 x + 8y = 25, x 2+ y 2+ x —y = 12. Ezekből az egyenletekből bármelyik ismeretlen kifejezése bonyolult lenne, ezért célszerű az egyenletrendszerből először egy olyan egyszerűbb egyenletet nyerni, amelyből pl. y ki­ fejezhető, s ezt helyettesíteni az első egyenletbe. Vegyük ezért a két egyenlet megfelelő oldalai­ nak a különbségét: - 7 x + 9.y = 13,

1. (x — 5)2+ (y + 7)2 = 0.

q = 13 +i 7x, n 9y

Ebben az „egyenletrendszerben” csak egy egyenlet van, az ismeretlenek ebből is egy­ értelműen meghatározhatók. A bal oldali négyzetes kifejezések nemnegatívak; pozitív azon­ ban nem lehet közöttük, mert akkor összegük is pozitív lenne. Ezért mindkettőnek nullának kell lennie, tehát a megoldás: x = 5, y = —7.

2. x + y = 12, x y = 35.

13 + 7x . y = — -----

. /13 + 7x \ 2 13 + 7x x 2+ ( — — | —6 x + 8 -----— = 25, . 169+ 182x + 49x 2 , 104 + 56x x 2+ ---------- - ------------- ------------- 9 -------= 25' Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 81-gyel, majd rendezzük az egyenletet:

I. megoldás: Fejezzük ki az első egyenletből y -1 és helyettesítsük a második egyenletbe:

y = 12—x, x(12 —x) = 35, x 2 - 1 2 x + 3 5 = 0, 1 2 + / Í 4 4 —14Ö 12±2 x = ----------------------= —- —, 2 2

81x2+ 169+ 182x + 49x 2 —486x + 936 + 504x = 2025, 130x2+ 200x —920 = 0, 13x2+ 2 0 x —92 = 0 , - 2 0 ± / 2 0 2+ 52-92 - 2 0 + 72 „ 46 * = -----------26------------ = — 2 6 ~ ’ * 1 = 2’ X 2 = l 3-

x ,

= 7,

x .y

= 5.

-

Az ezekhez tartozó

Az ezekhez tartozó y értékeket az y = 12 —x-ből számítjuk: y y = 5, y , = 7. Az egyenlet­ rendszer megoldásai tehát a (7; 5), (5; 7) számpárok. II. megoldás: x-et és y -1 tekinthetjük egy másodfokú egyenlet két gyökének. A 7.4. szakaszban láttuk, hogyan írhatjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelyben ismerjük a gyökök összegét és szorzatát (összefüggés az egyenlet gyökei és együtthatói között). Jelöljük z-vel annak a másodfokú egyenletnek az ismeretlenjét, amelynek gyökei x és y, az egyenlet z 2 —( x + y ) z + x y = 0 , z2 —12z+35 = 0, ez azonos az előző megoldásban kapott egyenlettel, ennek gyökei 7 és 5, közülük bármelyik lehet pl, x, ezért a megoldást a (7; 5), (5; 7) számpárok adják.

3. X2+ y2 = 41, x y = 20.

y értékek: y \ = 3,

- ^ , s ezek ki is elégítik az egyenletrendszert,

m ivel mindenütt ekvivalens átalakításokat alkalmaztunk.

7.8. Egyenletekre vezető feladatok A m atem atika segítségével m egoldható feladatok tekintélyes része valamilyen egyenletre vezet („szöveges feladatok”). Ilyen feladatokra m utatunk m ost példákat. M egoldásuk első lépéseként el kell döntenünk, hogy a szöveges összefüggés melyik kiszám ítandó mennyiségét választjuk ismeretlennek, és ez milyen kapcsolatban van a feladatban előforduló többi mennyiséggel. Az egyenlettel kiszám ított értékek helyességét a feladat összefüggései alapján célszerű ellenőrizni.

20

A második egyenletből kifejezzük y-t és az elsőbe helyettesítjük : y = — ,

x 4- 4 1 x 2+ 400 = 0, ,

41 + y í l 2 —4-400

41+9

1. Egy kétjegyű szám jegyeinek összege 12; ha a számjegyeit felcseréljük, az eredetinél 36-tál nagyobb szám ot kapunk. M elyik ez a szám ? Jelölje a szám első számjegyét x, a második számjegy ekkor 12 —x és maga a szám: 1 0 x + (1 2 —x). A jegyek felcserélésével kapott szám: 10(12 —x) + x. A feladat szerintez 36-tal nagyobb az első számnál, ha tehát az elsőhöz 36-ot hozzáadunk, a második számot kapjuk; ezt írjuk fel egyenlet formájában: 10x + (12 —x )+ 3 6 = 10(12 —x) + x.

103

Oldjuk meg ezt az egyenletet:

Oldjuk meg az egyenletet. Egyszerűbbé válik az egyenlet, ha minden tagját elosztjuk 400zal; ezután megszorozzuk mindkét oldalt x(x - 2 )-vel:

9x + 48 = 120—lOx + x, 18* = 72, ebből

180 180 _ x —2 ,v ’ 1 8 0 x - 180(x —2) = x(x —2), x 2—2x —360 — 0,

x = 4.

A szám első jegye tehát 4, a második 12 —4 = 8 , ezért a kétjegyű szám: 48. Ez megfelel a feladat feltételének, hiszen 48 + 36 = 84 valóban ajegyek felcserélésével kapott szám.

2. Egy apa kétszer annyi idős, m int a fia; húsz évvel ezelőtt négyszer annyi idős volt, m int a fia. H ány éves az apa és a fia ? A fiú most x éves, az apa 2x. Húsz évvel ezelőtt a fiú x —20, az apa 2x —20 éves volt; az apa ekkor négyszer annyi idős volt, mint a fia, tehát 4(x —20) = 2x —20. A z egyenlet m egoldása: 4x —80 = 2x —20, 2x = 60, ebből

x = 30.

Ezek szerint a fiú most 30, az apa 60 éves. 20 évvel ezelőtt a koruk 10, ill. 40 év, az apa tehát valóban négyszer annyi idős volt, mint a fia,

3. A labdarúgó-bajnokság őszi fordulóján m inden csapat m inden csapat­ tal egyszer játszott, így összesen 66 m érkőzést játszottak. H ány csapat vett részt a bajnokságon? Legyen a csapatok száma x. Minden csapat játszott az összes többivel, tehát x —1 mérkő­ zést vívott az ősz folyamán. Ha minden csapatnál összeszámláljuk a mérkőzéseket x ( x —1) mérkőzést számolunk meg, de így minden mérkőzést kétszer számolunk össze, a mérkőzések tényleges száma ezért — — ; a feladat szerint ez 66 -tál egyenlő:

„

Z í l 'g g j g - . j g ? . 2

5. Az egymástól 280 km -re levő városokból két autó ugyanabban az idő­ pontban indul el egymás felé. Találkozásuk után az egyik 1 óra 30 perc, a m á­ sik 2 óra 40 perc múlva ér célba. M ekkora az autók sebessége, ha egyenletes sebességeket tételezünk fel? Legyen az egyik autó sebessége x km/óra, a másiké y km/óra. Az indulástól a találkozásig mindkét autó t óráig ment, az általuk megtett utak tehát t x km, ill. ty km. A találkozás után 8 3 / 8 \ viszont az autók -y ^ , ill. — x utat tesznek meg í 2 óra 40 perc = — órai, ezért

(1)

tx = T y '

(2)

ty= \ x'

tudjuk továbbá, hogy a találkozástól a célba érésig a két autó összesen 280 km-t tesz meg: -y y +

(3) x 2 —x = 132, x 2 —x — 132 = 0 .

x = 280.

Három egyenletünk van tehát, három ismeretlennel, de a /-re nincs szükségünk, ezért ezt mindjárt ki is küszöböljük; osszuk el egymással ui. az ( 1 ) és ( 2 ) egyenlet megfelelő oldalait: x y “

Ennek m egoldása:

l± iT T S - _ i± 2 3 2 2

16 y 9 x ’

x szorozzuk meg az egyenletet — nal:

4. Egy m unkacsoport tagjai között 72 000 F t jutalm at osztottak szét, m indenki ugyanannyi jutalm at kapott. H a kettővel kevesebben lettek volna, m indenki 400 F t-tal kapott volna többet. H ányan vannak a m unkacsoportban? 72000 Jelöljük x-szel a csoport tagjainak a számát, így m indenki-------- forint jutalmat kapott; 72000 x ha 2-vel kevesebben lennének, m indenkinek------— forint jutott volna, ez az összeg 400 Ft-tal x —2 nagyobb az előbbinél, tehát 72000

2 y 3 ....x

8 3

A feladat szempontjából csak a pozitív gyök jöhet szóba. A csapatok száma valóban 12, hiszen minden csapat így 11 mérkőzést játszott, ez összesen 66 mérkőzés.

104

"

Csak a pozitív gyöknek van értelme; egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy a 20-as csoport­ létszám valóban megfelel a feladat feltételeinek,

=

2

72000 x —2

„ , 2 0 ,

2

x ^ = 16

y -

9 •

M ivel x és y csak pozitív szám lehet, ezért ebből következik, hogy x _

4

7 - T ’

_ 4y

x= y

Helyettesítsük x helyébe ezt az értéket a (3) egyenletbe:

y + 2 y = 280, = 400. 8 y + 6 y = 840,

105

\4 y — 840, ebből y = 60, és a helyettesített kifejezésekből x = ^ ^

= 80. A kérdéses

sebességek tehát 80 km/óra és 60 km/óra, s ezek meg is felelnek a feladat feltételeinek.

6. Egy derékszögű három szög kerülete 30, területe szintén 30. M ekkorák az oldalai? Legyen a két befogó x és y , az átfogó pedig z; a kerület ezért x + y + z, a terület kétszerese pedig a két befogó szorzata: xy, ezek számértékét ismerjük. Tudjuk továbbá, hogy a befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő (Pitagorasz tétele), ily módon három egyenletet írhatunk fel: (1) x + y + z = 30, (2 ) x y = 60, (3) x 2+ y 2 = z2. Oldjuk meg ezt a háromismeretlenes egyenletrendszert. Hogy a (3) egyenletben szereplő négyzetes tagokat fel tudjuk használni, emeljük négyzetre az ( 1) egyenlet mindkét oldalát, majd a bal oldal utolsó két tagjából emeljük ki 2 z-t:

Ilyen egyenlet megoldása azt jelenti, hogy valami m ódon előállítjuk azokat az egészekből álló (x, y) szám párokat, amelyek az egyenletet kielégítik. A (7.9.1) típusú egyenleteknek vagy nincs megoldásuk, vagy pedig végtelen sok van. Bebizonyítható, hogy az elsőfokú kétismeretlenes diofantikus egyenletnek akkor és csakis akkor van megoldása, ha c osztható a és b legnagyobb közös osztójával. Egy ilyen egyenlet összes megoldásának az előállítására m utatunk m ost pél­ dát: 1. A djuk meg az 5x + 3y = 11 egyenlet összes egész megoldásait. Fejezzük ki először y-t az egyenletből és válasszunk le a kifejezésből olyan részt, amely biztosan egész:

x i + y L+ z L+ 2x y + 2 y z + 2 z x = 900, x 2+ y 2+ z 2 + 2x y + 2 z ( x + y ) = 900.

y =

Helyettesítsük ebbe (3)-ból x 2+ y 2, (2)-ből xy, (l)-ből pedig x + y = 30 —z z-vel kifejezett értékeit: z2 + z2+ 1 2 0 + 2 z (3 0 -z ) = 900, ez most már egyismeretlenes egyenlet: 60z = 780,

ebből

( l l - y ) y = 60, / - 1 7 y + 60 = 0, 17 + ^289 —240

17 + 7

yi =

'

y2 =

Az ehhez tartozó x értékek (x = 17 —y): x l = 5, x., = 12. A két befogó hosszúságára ugyan­ azt a két számot kaptuk; a derékszögű háromszög oldalai tehát: 5, 12, 13; ezek nyilván ki­ elégítik a feladat feltételeit.

7.9. Diófántikus egyenletek A gyakorlatban is előfordulnak olyan feladatok, amelyeknek a m egoldásai szükségképpen egész szám ok (pl. emberek, autók száma stb.). A zokat az egyen­ leteket, amelyeknek egész szám okból álló megoldásait keressük, szokás diofantikus egyenleteknek is nevezni (D iofantosz görög m atem atikusról). Ezek közül a legegyszerűbbek az ún. elsőfokú kétismeretlenes diofantikus egyenletek, általános alakjuk: ax + by = c, (7.9.1) ahol a, b, c egész számok. 106

9 — 6x 2 + x 2+ x = - 5- - + — = 3 - 2 ,- + —

2 x H a x egész, az y akkor lesz egész, ha — — is egész. Jelöljük ezt az egészet .z-vel: z = ~ - ,

z = 13.

A z = 13 értéket (l)-be helyettesítve: x + y = \1, x = 17—y; ezt viszont (2)-be helyettesítve egyismeretlenes egyenletet kapunk:

y = -------- j ---------= ~~2 ~ '

11—5x

ebből

x = 3z —2,

x-et tehát egy z egész segítségével állítottuk elő, ezt most m ár y -nal is meg­ tehetjük : y = 3 —2x + z = 3 —6 z + 4 + z = 7 —5z. Összefoglalva: ha z tetszőleges egész, akkor az 5 x + 3 y = 11 egyenlet egész megoldásai: x = 3 z—2, y = 7 —5z alakban állíthatók elő; belátható, hogy így az összes egész megoldást megkapjuk. 2. Adjuk meg egy százforintos bankjegy összes lehetséges felváltási m ód­ já t 2 forintosokra és 5 forintosokra (nem kell m indkét fajtának feltétlenül szerepelnie). Az egy felváltásban szereplő 2 forintosok száma legyen x, az 5 forintosoké y ; x és y nyilván nemnegatív egészek. Az aprópénz összege 100 forint, azaz 2x + 5 j = 100. A feltett kérdésre akkor kapjuk meg a választ, ha m eghatározzuk az egyenlet nemnegatív egész megoldásait. Először az előbbi módszerrel az összes egész megoldást állítjuk elő. 1 0 0 -5 ^ _ 1 0 0 - 4 y - y _ ^

y

107

v y — -nek egésznek kell lennie ahhoz, hogy x is egész legyen, jelöljük - - -t z-vel: z —

y

ebből

8. Egyenlőtlenségek

v = 2z,

x = 5 0 -2 y - z = 5 0 -4 z - z = 50-5 z . Ezek szerint x és y előállítását, azaz az egyenlet összes megoldását úgy kapjuk meg, hogy az x = 50 —5z, y = 2z egyenletekben z befutja az egész szám okat. N ekünk azonban csak a nemne­ gatív számok felelnek meg, az y viszont csak akkor lehet nemnegatív. ha z is az. Hogy x ne legyen negatív, a z-t úgy kell m egválasztanunk, hogy 50 —5z s 0 teljesüljön, azaz z ^ 10 legyen. A z-re kap o tt két feltétel tehát azt jelenti, hogy 0 55 z ^ 10, ez összesen 11 lehetséges érték. Foglaljuk táblázatba az ezekhez a z értékek­ hez tartozó x és v értékeket, ezzel m egkapjuk az összes felváltást:

2

3

4

5

X

50

45

40

35

30

25

y

0

2

4

6

10

8

9

10

55

10

5

0

12

14

16

18

20

6 !

1

;

0

o

z

8

8.1. Az egyenlőtlenségek alaptulajdonságai A 2. fejezetben láttuk, hogy a valós számok között bizonyos nagyságrendi sorrend van; bárm ely két a és b számról el tudjuk dönteni, hogy az a < b, az a > b, vagy az a = b kapcsolat áll-e fenn közöttük. Egyenlőtlenséget kapunk, ha a valós számok valamilyen kifejezéseit a , S jelekkel kapcsoljuk össze. H a két mennyiség k ö zött helyes egyen­ lőtlenség áll fenn, bizonyos átalakítások után ez a kapcsolat változatlan m aradhat, bizonyosak után pedig esetleg m egváltozhat. A z egyenlőtlenségek­ nek m ost néhány ilyen átalakítását, ill. alaptulajdonságát vizsgáljuk meg. 1. H a a < b és c < d, akkor a + c < b + d, azaz azonos irányú egyenlőtlen­ ségek megfelelő oldalait összeadva helyes egyenlőtlenséget kapunk. H a a < b és c tetszőleges s z á n , akkor a + c < b + c, azaz egy egyenlőtlenség helyes marad, ha mindkét oldalához ugyanazt a számot adjuk hozzá, ill. m indkét oldalból ugyanazt a számot vonjuk ki. Ennek a két tulajdonságnak az összevonása: ha a < b, c ^ d, akkor a + c < b + d.

3. Nevezetes diofantikus problém a az x 2+ y 2 = z2 egyenlet pozitív egész m egoldásainak a megkeresése. Az egyenletnek eleget tevő szám hárm asokat pitagoraszi számhármasoknak nevezzük, mivel egy derékszögű háromszög egész hosszúságú oldalai lehetnek. Bebizonyítható, hogy az összes pitago­ raszi szám hárm as a következő alakban állítható elő: x = 2 uvk,

y = (w2—v2) k,

z = (u2+ v2)k ,

ahol u, v, k befutják az összes pozitív egészet és u =- v (ugyanazt a szám hár­ m ast többféleképpen is m egkaphatjuk). Ilyen pitagoraszi szám hárm asok (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) stb.

Megjegyezzük még, hogy ha a S b, c ^ d, akkor ebből a + c ^ b + d következik; to v áb b á: azonos irányú egyenlőtlenségek megfelelő oldalainak a kivonásával általában nem kapunk helyes egyenlőtlenséget (pl. 5 < 10, 2 < 9, de 5 —2 < < 10 —9 m ár nem igaz). 2. Ha egy egyenlőtlenség m indkét oldalát pozitív szám m al szorozzuk vagy osztjuk, az egyenlőtlenség helyes marad; ha negatívval, az egyenlőtlenség ellentétes irányú lesz. Ha a, b, c, d nemnegatív számok, és a < b, c l 2.

Az előbbi egyenlőtlenséget az n = 2 esetre írtuk fel. Bizonyítása egyszerű: mivel s 0,

3. H a a és b pozitív számok és a < b, akkor — > ~ (az egyenlőtlenség a b megfordul).

ebből

4. H a a és b pozitív számok, és a < b, akkor \ a < ]/&.

átrendezve ebből éppen a bizonyítandót k a p ju k :

A m ost felsorolt tulajdonságok lehetővé teszik, hogy egy egyenlőtlenségből a fenti, ún. azonos átalakításokkal ism ét helyes egyenlőtlenségeket kapjunk, lényegében az egyenletek megoldásánál használt módszerekkel. K ülönösen ügyelnünk kell azonban annak m egkülönböztetésére, hogy m indkét oldalt pozitív, ill. negatív számmal szorozzuk-e; továbbá mindkét oldal négyzetre emelésénél az oldalak pozitív voltára. N agy szám uk m iatt nem soroltuk fel az összes lehetséges átalakítást, ill. az azoknál megvizsgálandó eseteket; ha ilyenek végrehajtása célszerű, vagy elkerülhetetlen, akkor külön elemzést igényelnek. Az egyenlőtlenségek átalakításakor is előfordulhat, hogy az átalakítások következtében a számok olyan halm azára teljesülő egyenlőtlenséget kapunk, amely bővebb vagy szűkebb annál a halm aznál, am inek az elemei kielégítik az eredeti egyenlőtlenséget. Az átalakítások ilyen jellegű vizsgálata lényegében azonos jellegű az egyenletek hasonló átalakításainak a vizsgálatával. A z egyenértékű (ekvivalens) átalakítások nem változtatják meg a megol­ dások halm azát (a m egoldáshalmazt).

fli + a 2 s

Mivel kiindulási egyenlőtlenségünkben egyenlőség csakis akkor állhat, h a Í a x — Ya2 = 0, azaz a^ — a2, a szám tani és m értani közép is csak akkor egyen­ lő, ha a-x = a2. Egyenlőtlenségünk általánosan is igaz: ha ax, a2, . . . , a„ nemnegatív szám ok, öj + a2 + . . . + an ”j —F n

2. H a ai, a2 nemnegatív számok, —

3. Legyenek ax, a2, .. ,,a„ pozitív számok. Alkalm azzuk a szám tani-m értani közép közötti egyenlőtlenséget az — , — , . . . , — szám o k ra:

- y a ia2.

Ez a nevezetes számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség; az a\, a2 . . . , an nemnegatív számok számtani közepén (átlagán) az - '1~^ szám ot, mértani közepén pedig az y a\a2. . ,a„ számot értjük. 110

1

1

a2

n

--------------

an ^ i / 1 ~ \ a-fi2-

vegyük m indkét oldal reciprokját, az egyenlőtlenség iránya megfordul: n

}

J

n.-------------------

j

— f űlű2‘ • • • ’an•

------ 1--------- 1- . . . H-------

a2

a„

A bal oldali kifejezést az alt a2, . . . ,a„ számok harmonikus közepének m ondjuk; bebizonyítottuk tehát: n pozitív szám harmonikus közepe nem lehet nagyobb a számok mértani köze­ pénél, egyenlőség csakis akkor állhat, ha az n szám m ind egyenlő.

./

n _________

• • • *an,

és egyenlőség csakis akkor állhat, ha a1 = a2 = . . . = a„.

flj

1. H a a tetszőleges valós szám a2 £ 0. Ez a jól ism ert azonos egyenlőtlenség rejtőzik számos bonyolultabb egyenlőtlenség mélyén is.

Ö1 + Ű2

2 i a xa 2,

---------- 1------------- b • • • H---------- n f

A zokat az egyenlőtlenségeket, amelyek a bennük szereplő változók m inden megengedett értékére fennállnak, azonos egyenlőtlenségeknek nevezzük. A z azo­ nos egyenlőtlenségek hasonló szerepet játszanak az egyenlőtlenségek körében, m int am ilyent az azonosságok az egyenletekében. A leggyakrabban alkalm azott azonos egyenlőtlenségek közül sorolunk m ost fel néhányat.

~ 0,

= y ^ -

l ax

8.2. Azonos egyenlőtlenségek

a \a2

íZi + a 2 —

' '■■■■~^a". w

4. A valós szám okra vonatkozik a nevezetes Cauchv- (olv.: Kosi) (vagy. Cauchy —Schwarz—Bunyakovszkij)-/