Régulation Industrielle - Benjelloun
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Description
Université Mohamed V AGDAL Ecole Mohammadia des Ingénieurs - RABAT
Département Electrique Section Automatique et Informatique Industrielle
Automatique des Systèmes Continus
Auteur : K. BENJELLOUN
Septembre 2011
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
RECUEIL DE TRANSPARENTS
1
Source
Ce document est basé sur le livre : ≪ Modern control Systems ≫
Dorf c 2011 ⃝
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
RECUEIL DE TRANSPARENTS
2
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1 :
Notions générales . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2 :
Représentation des systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 3 :
page 52
Analyse dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5 :
page 21
Analyse de la commande en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4 :
page 4
page 65
Stabilité et lieu des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . .
page 84
Chapitre 6 :
Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . .
page 103
Chapitre 7 :
Design des systèmes asservis . . .
page 140
Chapitre 8 :
Représentation interne : Analyse et Design . . . . . . . . . . . . . . .
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
RECUEIL DE TRANSPARENTS
page 165
3
CHAPITRE 1
NOTIONS GÉNÉRALES
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
4
Objectifs : • Décrire les systèmes asservis • Dé nir la terminologie des systèmes
asservis linéaires • Distinguer la structure de commande en boucle ouverte de celle en boucle fermée • Introduire les concepts d'analyse et de synthèse
Sommaire : • • • •
Terminologie de l'automatique Exemples de systèmes asservis Classi cation des structures de commande Techniques d'analyse et de synthèse
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
5
Dé nition : Un système est dit automatique lorsqu'il accomplit une tâche bien déterminée sans intervention humaine
Exemple :
Énergie
?
température désirée -
moteur
M
@ @
vanne
commande
échangeur
6 ~
condensation
eau ?chaude
T thermocouple
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
eau froide
NOTIONS GÉNÉRALES
?
6
Schéma-bloc perturbations grandeurs d'entrée
?
-
correcteur
-
système commandé
6
capteurs
grandeurs -
s
de sortie
Terminologie Grandeurs d'entrée ou désirées ou de référence Correcteur ou Contrôleur Système commandé ou Objet Grandeurs de sortie Capteurs ou organes de mesure Perturbations ou grandeurs parasites : In uences externes Comparateur : comparaison de la sortie avec l'entrée
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
7
Asservissement de vitesse d'un convoyeur
robot 2
gH H
B
HH Hs s
robot 1 g s s
v(t)
'$ w
moteur @ d.c M @
A
'$
convoyeur
wR -
&%
&%
@ @
Structure de commande en boucle fermée
p(t) vref +
- ~ 6−
correcteur
u(t)
-
capteur
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
?
moteur + réducteur + convoyeur
s
v(t) -
NOTIONS GÉNÉRALES
8
Réglage de la température d'un logement ′
q (t) 6 6
thermostat
θ θ
- @? @
eau chaude
′
: température du logement
-
-
qi (t)
-
: température de l'air ambiant
′
q (t)
radiateur
Schéma-bloc de commande q′ (t) θr
-
Ther mostat
u(t)
-
Vanne
qi (t)
-
?
Logement
θ(t) s -
6
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
9
Commande de niveau d'un bassin
-
l1
u
-
l2
u
6
d
-
@? @
w
Vanne ?qi (t)
vis de réglage de la consigne hr
~
6
h(t) @ @
q0 (t) hr
+ - ~ 6−
-
Vanne
qi (t)
p(t)
?
? -
h(t)
Bassin capteur
s
-
p(t) hd
+
- ~ 6−
Vanne
qi (t)
-
retard
qi (t − τ )
? -
Bassin
h(t) s
capteur
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
10
-
Système de réglage d'une antenne parabolique H @HH A A@ H H A @ AA @ @
x A A α A AA
?
Ω1
n
Ω2
réducteur
moteur@@@ TR
vis de réglage @ @ R @ -
α0
e2
-
-
α0
-
k0
k0
-
e1
e1 + e - ~ 6− e2
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
Ampli diérentiel
Ampli de puissance
e-
ea
p(t)
Ampli
ea
? -
Moteur + charge
Capteur TR
α
s -
NOTIONS GÉNÉRALES
11
Système de réglage d'un gouvernail de navire O' α6 6
y
Roue de commande TR1 -
servovanne
-
b
roue dentée
u
6
α0
Ampli
gouvernail
e1
e2
TR2 O
Schéma-bloc de commande p(t) α0
-
TR1
e1 + e -
Ampli
~ − 6
?
u
-
Servovanne
y
-
Gouvernail
α
s -
e2
TR2
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NOTIONS GÉNÉRALES
12
Système de réglage d'un gouvernail d'avion
r
c
-
θ(t) s
o
6y(t) ?
TR ?
x
servo vanne
?
vis de réglage
6
i C(s) e
vr
Ampli
vérin
-
Kr
θr
vθ
p(t) θr
-
potentio- - ~ mètre + 6− vr e
C(s)
i
-
servovanne + vérin
y
-
?
gouvernail
θ
s-
vθ
TR
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NOTIONS GÉNÉRALES
13
Classi cation des systèmes système ?
?
statique
dynamique
?
à paramètres distribués ?
aléatoire ?
discret ?
non linéaire ?
variant
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
?
à paramètres localisés ?
déterministe ?
continu ?
linéaire ?
invariant
NOTIONS GÉNÉRALES
14
Modèle mathématique d'un système
Entrées
r1(t)
-
rm(t)
-
Système
-
y1(t)
-
yp(t)
Sorties
Forme générale d'un modèle : •
y1 (t) = f1 [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P, t ] •
...
...
...
yp (t) = fp [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P, t ]
Forme matricielle d'un modèle : •
y (t) = f [ y(t), r(t), P, t ]
y(t) = [ y1(t), . . . , yp(t) ]T r(t) = [ r1(t), . . . , rm(t) ]T f (.) = [ f1(.), . . . , fp(.) ]T
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
15
Linéarisation : approche graphique
6
ye
y
c e
r
f (r) = f (re) + y = ye +
y = f (r)
-
r
df (re) (r − re) + o(r − re) dr
df (re)(r − re) + o(r − re) dr (re ) k= dfdr limr→re o(r − re)=0
∆y=y − ye ∆r=r − re
Équation linéarisée : ∆y = k ∆r
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
16
Linéarisation : approche analytique
•
y (t) = f (y(t), r(t))
•
∆ y (t) = A ∆y(t) + B ∆r(t)
A(p×p)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
∂f1 ∂yp
... ∂f = (ye, re) = ... . . . ∂y ∂fp ∂y1 . . .
B(p×m)
∂f1 ∂y1
∂f1 ∂r1
... ∂f = (ye, re) = ... . . . ∂r ∂fp ∂r1 . . .
...
∂fp ∂yp
∂f1 ∂rm
...
∂fp ∂rm
NOTIONS GÉNÉRALES
|ye ,re
|ye ,re
17
Linéarisation le long d'une trajectoire y(t)
6
y∗(t)
y(t)
×
t-
•∗
y (t) = f (y∗(t), r∗(t)) y(t) = r(t) = •
∆ y (t) •
∆ y (t)
y∗ (t) + ∆y(t) r∗ (t) + ∆r(t)
= f (y, r) − f (y∗, r∗) ∂f ∗ ∗ ∂f = ∂y (y , r ) ∆y + (y∗ , r∗ ) ∂r
∆r
•
∆ y (t) = A(t) ∆y + B(t) ∆r
∂f ∗ ∗ (y , r ) ∂y ∂f ∗ ∗ B(t) = (y , r ) ∂r
A(t) =
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
18
Structures de commande Boucle ouverte entréer(t)
perturbation p(t) ?
correcteur
-
actionneur
-
Boucle fermée r(t) + - ~ 6−
entrée
système
sortie y(t)
perturbation p(t) ?
correcteur
-
actionneur
capteur
-
système
y(t) s -
sortie
Principe de superposition
Additivité :
Homogénéité :
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
entrées
sorties
r1 (t) =⇒ y1 (t) r (t) =⇒ y2 (t) 2 r1 (t) + r2 (t) =⇒ y1 (t) + y2 (t) {
r(t) a r(t)
=⇒ y(t) =⇒ a y(t)
NOTIONS GÉNÉRALES
19
Techniques d'analyse et de synthèse ANALYSE : Domaine temporel Domaine fréquentiel SPÉCIFICATIONS : Précision en régime permanent Comportement en régime transitoire Stabilité Sensibilité Robustesse SYNTHÈSE : Choix des composantes Modélisation mathématique Validation du modèle Construction et test
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
NOTIONS GÉNÉRALES
20
CHAPITRE 2
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
21
Objectifs : • Établir diérentes formes de modèles
mathématiques des systèmes dynamiques • Établir les schémas-bloc des systèmes dynamiques • Simpli er les schémas-bloc Sommaire : • Représentation par des équations
diérentielles
• Représentation par un modèle d'état • Transformée de Laplace • Représentation par la fonction de transfert • Modélisation des systèmes mécaniques-
électriques-électromécaniques-hydrauliquespneumatiques-thermiques et complexes.
• Simpli cation des schémas-bloc
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
22
Circuit électrique R
c
-
6
Entrée = v(t)
i(t) = Sortie L
c
{
v(t) = R i(t) + L i(0) = i0
d dt i(t)
Système mécanique
b
k ?
0 l = Sortie ?
m
f = Entrée
?
m
d2 l(t) dt2
l(0) = l , 0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
+b
d dt l(t)
d dt l(0)
+ k l(t)
= v0,
= f (t)
mg = kl0
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
23
Représentation par modèle d'état Objectif : Transformer une équation diérentielle d'ordre ≪ n ≫ en ≪ n ≫ équations diérentielles d'ordre ≪ 1 ≫ Équation diérentielle d'ordre 2 : m
d2 d l(t) + b l(t) + k l(t) = f (t) dt2 dt l(0) = l0 ,
d l(0) = v0 dt
Variables d'état : •
x1 (t) = l(t) = y(t) =⇒ x1 (t) = x2 (t) =
d dt l(t)
•
=⇒ x2 (t) =
d dt l(t) d2 dt2 l(t)
Équations diérentielles d'ordre 1 : •
x1 (t) = x2 (t) b 1 k • x2 (t) = − x1 (t) − x2 (t) + f (t) m m m x1 (0) = l0 d x2 (0) = l0 dt
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
24
Représentation par modèle d'état Forme matricielle : [
•
]
x1 (t) • x2 (t)
[
][
]
[
]
0 1 x1(t) 0 + b k 1 u(t) −m −m x2(t) m [ ] [ ] x1(t) [ ] y(t) = 1 0 + 0 u(t) x2(t) =
Forme générale : •
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(0) = x0
-
u(t)
•
s e
B
x + - ~ -
D ∫
6
+
A
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
x(t) se -
C
+ ? y(t) + - ~
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
25
Transformée de Laplace
Avantage : Transformation des équations diérentielles en équations algébriques. Dé nition : L [f (t)] = s =
F(s) =
EMI-RABAT
f (t)e−st dt
t>0
≥0
: impulsion
F(s) 1
u−1(t) : échelon
1 s
: rampe
1 s2
t
K. BENJELLOUN
0
σ + jω
f(t)
δ(t)
∫∞
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
26
Propriétés de la transformée de Laplace Linéarité : L [ f1(t) ] ⇐⇒ F1(s) L [ f2(t) ] ⇐⇒ F2(s) L [ a1 f1(t) + a2 f2(t) ] ⇐⇒ a1 F1(s) + a2 F2(s)
Dérivation : [
] ] n [ k−1 ∑ dn d n n−k L f (t) = s F(s) − f (t) |t=0 s dtn dtk−1 k=1
Valeur initiale : f (0) = limt→0 f (t) = lims→∞ sF(s)
Valeur nale : f (∞) = limt→∞ f (t) = lims→0 sF(s)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
27
Exemple de transformation par Laplace Équation diérentielle : d3 d2 d 3 3 y(t) + 2 2 y(t) + 5 y(t) + y(t) = 6r(t) dt dt dt
Transformation de chaque terme : [
] • •• d3 3 2 y (0)− y (0) L y(t) ⇐⇒ s Y(s)−s y(0)−s dt3 [ 2 ] • d 2 y L y(t) ⇐⇒ s Y(s)−sy(0) − (0) dt2 [ ] d L y(t) ⇐⇒ sY(s) − y(0) dt L [y(t)] ⇐⇒ Y(s) L [r(t)] ⇐⇒ R(s)
Transformation globale : [3s3 + 2s2 + 5s + 1] Y(s) − [3s2 + 2s + 5] Y(0) •
••
−[3s + 2] Y (0) − 3 Y (0) = 6 R(s)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
28
Transformée de Laplace inverse
b0 + b1s + · · · + bisi + · · · + bmsm N(s) F(s) = = , m≤n a0 + a1s1 + · · · + an−1sn−1 + sn D(s)
Procédure : 1. Décomposition en éléments simples 2. Calcul des résidus 3. Transformée de Laplace inverse Racines simples Décomposition en éléments simples : F(s) =
c1 cn + ··· + s + p1 s + pn
Résidus : ci = lims→−pi [(s + pi )F(s)]
Transformée de Laplace inverse : f (t) = c1e−p1t + · · · + cie−pit + · · · + cne−pnt =
n ∑
cie−pit
i=1
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REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
29
Racines multiples Décomposition en éléments simples : F(s) =
ck ck−1 c1 + + · · · + (s + p1)k (s + p1)k−1 (s + p1)
Résidus : [ ck−j = lims→−p1
] ] 1 dj [ k F(s)(s + p1 ) , j! dsj
j = 0, . . . , k − 1
Transformée inverse : [
f (t) =
]
ck ck−1 k−2 tk−1 + t + · · · + c2t + c1 e−p1t (k − 1)! (k − 2)!
Racines complexes conjuguées Décomposition en éléments simples : c c∗ F(s) = + s + a − jb s + a + jb
Résidus :
c = c∗ =
[F(s)(s + a − jb)] s=−a+jb = K∠θ K∠−θ
Transformée inverse : f (t) = 2Ke−at cos(bt + θ)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
30
Transformée de Laplace Exemples Racines simples : F(s) =
s+3 s+3 c1 c2 = = + s2 + 3s + 2 (s + 1)(s + 2) s + 1 s + 2
f (t) = 2e−t − e−2t
Racines multiples : s2 + 2s + 3 c1 c2 c3 F(s) = = + + (s + 1)3 (s + 1)3 (s + 1)2 s + 1 f (t) = t2e−t + e−t
Racines complexes conjuguées : 5.2 c c∗ F(s) = 2 = + s + 2s + 5 s + 1 − j2 s + 1 + j2 f (t) = 2.6e−tcos(2t − 90)
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REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
31
Fonction de transfert : circuit électrique : R
c 6
Entrée = v(t)
-
i(t) = Sortie L
c
{
v(t) = R i(t) + L i(0) = i0
d dt i(t)
Transformée de Laplace : V(s) = RI(s) + LsI(s) − Li(0) = (Ls + R)I(s) − Li(0) I(s) = τ sK+ 1 V(s) + τ sτ+ 1 i(0) = G(s)V(s) + G0(s)i(0)
K=
V(s)-
1 R
= Gain ,
τ =
G(s) = τ K s+1
I(s)
i(0)-
? | 6
G0 (s) = τ τ s+1
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
L R
= Constante
V(s)-
K
≡ -
τ
de temps
? | 6
1 τ s+1
I(s) -
i(0)
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
32
Fonction de transfert : masse-ressort-amortisseur
b
d2 d m dt 2 l(t) + b dt l(t) + kl(t)
k ?
0 l(0) = l , l 0 ?
m
d dt l(0)
= f (t)
= v0, mg = kl0
f
?
Transformée de Laplace : F(s) = (ms2 + bs + k)L(s) − (ms + b)l0 − mv0 b (s + m )l0 (1/m)F(s) v0 L(s) = 2 b + + k b k b k s + ms + m s2 + m s+ m s2 + m s+ m L(s) = G(s) F(s) + G01(s) l0 + G02(s) v0 F(s)
-
l0
-
v0 L(s) =
-
1 m b s+ m
1
? - m -
+
6
ωn =
Kω 2n F(s) s2 +2ζω n s+ω 2n ζ
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
= K =
1 b s+ k s2 + m m
√
k m
-
L(s)
Pulsation
= naturelle
Taux
√b = d'amortissement 2 mk 1 k = Gain du système
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
33
Modélisation des systèmes mécaniques Dynamique en translation : ∑ d2 m 2 x(t) = Fi(t) dt n
i=1
Dynamique en rotation : ∑ d2 θ(t) = Ci (t) dt2 i=1 n
J
translation
équation
k
rotation C
f = kl
f?
••
θ
J
équation C=Jθ
? l
k
f - r
k
r
-
-
l1
•
f = b(l1 −
r -
• l2 )
Cr
l2
- l
C = k(θ 1 − θ 2 )
r
θ1
θ2
θ1 b θ2 C r
f =m l
m
EMI-RABAT
k
••
K. BENJELLOUN
θ
6 6 C
-
l1
f -
f = k(l1 − l2 )
l2
b f - r
C = kθ
a
r
•
•
C = b( θ 1 − θ 2 )
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
b
34
Modélisation des systèmes électriques 2 ⃗v2
i3
@ R @ ? 2@ @ @s - @
i
i1 in
⃗v1
@ I @
1
ik
6
s -
s
3
-
s @ @ @
s
⃗vn@ I @
@
k
⃗vk
@s
n
Loi noeuds ∑des n k=1 ik
Loi ∑ndes mailles
=0
élément Résistance
k=1 vk
schéma v(t) 6R
v(t)
6
EMI-RABAT
v(t) = Ri(t)
i(t)
d v(t) = L dt i(t)
L
?
c
v(t) 6C c
K. BENJELLOUN
i(t)
?
c
c
Capacité
relation
c
c
Inductance
=0
i(t)
?
v(t) =
1 C
∫t
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
0
i(t)dt
35
Modélisation des systèmes électromécaniques La
Ra
c
c
-
6
ia(t)
# 6
ea(t) em(t) c
excitation c charge
HH HH "! H -
Td
b Couple : T(t) = Ktia(t) =⇒ T(s) = KtIa(s) F.E.M : em(t) = Kw ω(t) =⇒ Em(s) = Kw Ω(s) { d ´ ea(t) = La dt ia(t) + Raia(t) + em(t) Equation Ea(s) = (Las + Ra)Ia(s) + Em(s) ´ electrique ´ Equation m´ ecanique
Ea(s)-+ ~ 6
−
••
•
J θ = T(t) − bθ (t) − Td (t)
JsΩ(s) = T(s) − bΩ(s) − T (s) d
1 La s+Ra
Ia(s) -
Kt
Td(s) − ? T(s) -
+
~
1 Js+b
Ω(s)
-
Kw
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
36
Modélisation des systèmes électromécaniques Entraînement équivalent schéma T1 , θ 1
R2
n
R2
n
Je
nT1 = J θn1 ••
T1 = Je θ 1
J
Je =
T2 , θ 2
J n2
T2 = kθ 2
R1
T1 , θ 1
nT1 = k θn1
k
ke
T1 = ke θ 1
ke =
••
••
T1 , θ 1
relations T2 = J θ 2
R1
T1 , θ 1
équivalent
T2 , θ 2
k n2 •
T1 , θ 1
R2
n
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
T2 = b θ 2
R1
T1 , θ 1
b
T2 , θ 2
•
nT1 = b θn1 •
be
T1 = be θ 1
be =
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
b n2
37
Modélisation des systèmes électromécaniques Entraînement équivalent
Schéma initial : L c 6
R -
Tm , θ m
ia(t)
Rm
# 6
u(t) em(t)
Jm
"!
c
bm Rc
Jc
Tc , θ c
bc
Relations d'équivalence : J = Jm + Jc/n2 b = bm + bc/n2
Schéma équivalent : L c 6
u(t)
R Td
-
ia(t)
6
em(t) c
J
Tm , θ m
b ••
•
J θ m = Tm − b θ m −Td EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
38
Modélisation des systèmes hydrauliques
@ @ @
6 ?
p1
-
-
q
?
p2
6
h
-
qe V, Ch @ @ @
-
qs, p
Résistance hydraulique : ∆p = p1 − p2
∆h = h1 − h2
Rh = ∆qp ≡ R =
u i
Rh = ∆qh ≡ R =
u i
Capacité hydraulique : Ch dp dt = qe − qs
V Ch = ∆ ∆p
≡ C du dt = i
=⇒ ∆q Ch = ∆ h
Ch dh dt = qe − qs
Inductance ou inertie hydraulique : di u = L dt ⇐⇒
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
(pi − pf ) =
(
ρl A
)
dq dt
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
39
Modélisation des systèmes pneumatiques Rp pe
HH H HH H -
-
pr , C p
q
Résistance pneumatique : Rp =
dp u ≡R= dq i
Capacité pneumatique : Cp =
dM =⇒ dM = Cpdp dp
dM dp = Cp dt dt
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
≡ C
du = i(t) dt
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
40
Modélisation des systèmes thermiques Résistance thermique en conduction : dθ kA [θ 1 − θ 2 ] =⇒ Q = dx L u θ1 − θ2 L i= ⇐⇒ Q = =⇒ R = tcd L R kA kA dQ = kA
Résistance thermique en convection : Q = u i= ⇐⇒ R
hAdT = hA(θ s − θ ∞ ) Q=
θs − θ∞ 1 hA
=⇒ Rtcv =
1 hA
Résistance thermique en rayonnement : Q = u i= ⇐⇒ R
Aa Fab σ(θ a4 − θ b4 ) Q=
θ a4 − θ b4 1 Aa Fab σ
=⇒ Rtr =
1 Aa Fab
Capacité thermique : Qdt dθ =⇒ Q = Mc θt − θe dt du dθ ≡ Q = Mc =⇒ Ct = Mc = ρVc i=C dt dt Mc =
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
41
Modélisation des systèmes à retard P
∼
? 2
-
P1
⃗v-
b b
C1
d
-
?
C2
Mesure de la concentration : C2 (t) = C1 (t − τ d )
U(s) -
C2 (s) = e−τ d s C1 (s)
=⇒ [
G(s)
τd =
d v
]
X(s) C1(s)
e−τ d s
Y(s) C2(s)
A A A A
U(s) -
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
G1(s)
Y(s) -
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
42
Modélisation des systèmes à retard
Approximation classique : e−τ s =
1 (1 + τps )p
p∈N
Approximation de PADÉ : e−τ s =
P(s) b0 + b1 (τ s) + b2 (τ s)2 + b3 (τ s)3 + . . . = D(s) a0 + a1 (τ s) + a2 (τ s)2 + a3 (τ s)3 + . . .
e−τ s =
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
1− τ s 2 1+ τ s 2
Ordre 1
12−6τ s+(τ s)2 12+6τ s+(τ s)2
Ordre 2
120−60τ s+12(τ s)2 +(τ s)3 120+60τ s+12(τ s)2 +(τ s)3
Ordre 3
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
43
Modélisation des systèmes complexes Réglage de la position d'une antenne parabolique
H @HH A A@ H H A @ AA @ @
x A A α A AA
Ω1
n
Ω2
réducteur
moteur@@@ TR
vis de réglage @ @ R @ -
α0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
?
e2
-
-
k0
-
e1
Ampli diérentiel
e-
Ampli de puissance
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
ea
44
Réglage de la position d'une antenne parabolique
Moment d'inertie de l'antenne : Ja Réducteur de rapport : n = Ω Ω Vitesse de rotation de l'antenne : Ω2 = ddtα Moteur électrique à courant continu : 2 1
Ω1 (s)
=
1 n 1s Rkatb Ea (s) − n τ s+1 T (s) b s d
(τ e s + 1)(τ m s + 1) +
kt kw Ra b
Transformateur diérentiel : e2 = k2α Ampli cateur diérentiel : e = k1(e1 − e2) Ampli cateur de puissance : ea = kAe Potentiomètre : e1 = k0α0 Td
?
τ e s+1 b
α0
e-1 e e-a - k ~ - k - k 0 1 A + − 6 e2 k2
kt Ra b
− CR ? +- ~ Cm
1 D∗ (s)
n
-
D∗ (s) = (τ e s + 1)(τ m s + 1) +
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
α
1 s
-
kt kw Ra b
45
Simpli cation des schémas-bloc équivalent
schéma-bloc -G -G 1
2
-
- G G 1 2
+
r- G - m z1
6+
-G
-G + G 1 2
2
+
- m z- G r − 6
-
G 1+GH
-
H
+
- m z- G +6 1/G
+
- G- z m6+ -
- m z- G 6+
-
r- G
-
- G
EMI-RABAT
+
- G
r
-
G
K. BENJELLOUN
+
- G- z m 6+
r-
1/G
-
r- G G
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
46
Simpli cation des schémas-bloc Exemples
P(s) R(s) +
H3 (s)
−
? + ? + - ~ - G1 (s) - ~ - ~ - G2 (s) −6 6−
s- G3 (s)
s-
Y(s)
H2 (s) s
+ ~ +6
H1 (s)
P(s) R(s) +
H3 (s)
−
? + ? + - ~ - G1 (s) - ~ - ~ - G2 (s) −6 6− + ~ +6
R(s) +
- G3 (s)
s-
H2 (s)
1/G3 (s) s
H1 (s)
1/G3 (s) s
Y(s)
P(s) +
? - ~ - C(s) - ~ - G(s) + 6−
Y(s) -
H(s)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
47
Simpli cation des schémas-bloc Exemples
r1
+ +
- | 6
A1
+ +
- | 6
r1 y
A2
A4
6
6
r2
r
-
++
+ +
A3
r
-
? r
⇐⇒
A4
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
G2(s)
? y + +| 6
A2
y1 ⇐⇒
6 r
r2
G1(s)
r
A3
- | 6
r
? | 6
-
-
A1
? - |
+ +
r
-
G1(s)
-
y1
-
G2(s)
-
y2
r
y2
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
48
Simpli cation des schémas-bloc Règle de MASON : procédure
F(s) =
∆ = 1−
∑ i
Li +
∑ i,j
Li Lj −
1 ∑ Tk (s) ∆k ∆ k
∑ i,j,k
Li Lj Lk +· · · =
déterminant total
du graphe. ∑ L = somme des gains des diérentes boucles ∑i i i,j Li Lj = Somme des produits de gains de toutes les combinaisons possibles de deux boucles disjointes [qui ne se croisent pas]. ∑ i,j,k Li Lj Lk = Somme des produits de gains de toutes les combinaisons possibles de trois branches disjointes. Tk(s) = Transmittance du k − i` eme chemin direct. ∆k = Déterminant du k − i` eme chemin direct. Il est obtenu à partir du déterminant total ∆ en enlevant à ce dernier les boucles qui touchent ce chemin. F(s) = Fonction de transfert du système.
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
49
Règle de MASON : graphes équivalents Schéma-bloc X1
- G 1
X1
X3 - G 2
X2 -
- G 1
} -
}- G 1 − 6
H1
- G 2
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
r f
r f
r f
G1 G2 X2 -
r f
X2
-
r f
X1
-
-
r f
+
? } - G 3 + 6
X2
G1
r f
-
r f
X1
X2
r f
G1 + G2X2 -
r f
G1 1−G1 G2
-
X2 r f
G2 X1
X1 +
X2
-
G1
X1 G2
- G 1
r f
X1
G2
}- G 1 + 6
X1
-
X1
+ X2 6
X1 +
-
r f
Graphe simpli é
G1 X3 G2 X2
X1
+
- G 2
-
Graphe correspondant
-
X2
G1
r f
-
r f
X1
X2
r f
G1 1+G1 H1
-
X2 r f
−H1 rH X1 f
X3 -
X2
G
1 HH j rf * r f
G2
G3
-
r f
X3
X1 rfXX G1 G3 XXX X X z r X3 : f r X2 f G2 G3
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
50
Règle de MASON : exemple H2 − ? x2 U(s)+ x + xr3- x Y(s) 1 - | - G - | - G | 4- G r- G r1 2 3 4 − − x5 6 6 H1
H3
−H2
6 x G x3f 1- xf4 G x G U(s) f 1- xf1 G -1 ? f 2 -2 -3 f 5 -4 6
−H1
T1 L1 L2 L3 ∆ ∆1
= = = = = =
?
6
−H3
1 (T1 ∆1 ) ∆
F(s) =
Y(s) G1G2G3G4 = U(s) 1 − (L1 + L2 + L3) + (L1L2)
EMI-RABAT
Y(s)
?
1 × G1 × G2 × 1 × G3 × G4 = G1G2G3G4 −G1G2H1 −G3G4H3 −G2G3H2 1 − (L1 + L2 + L3) + (L1L2) 1
F(s) =
K. BENJELLOUN
f
REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
51
CHAPITRE 3
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
52
Objectifs : • Décrire les diérentes composantes
d'une structure de commande donnée
• Décrire les structures des correcteurs
classiques et du correcteur par retour d'état
Sommaire : • Structure de commande en boucle fermée • Structure des correcteurs classiques • Commande par retour d'état • Caractéristiques de la commande
en boucle fermée
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
53
Forme standard d'une boucle de commande
Système à commander Actionneur Ampli cateur Correcteur Capteur
r-
c
θ(t) s
o
y(t)
6 ?
TR ?
x?
vis de réglage
6
vr
servo vanne i C(s) e Ampli
vérin
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
-
Kr
θr
vθ
54
Structures standards de commande perturbation référence + -
grandeur commandée
?
correcteur + - actionneur + système − ampli cateur
~ 6
capteur
s
R(s) + + R(s) +
- |- C(s) - G(s) 6−
Y(s) r-
-
- |- |- G(s) − 6− 6
Y(s) r-
C(s) r
cascade
feedback
R(s) +
+ Y(s) - |- C1 (s) - |- G(s) r − 6− 6
r(t) +
- |- G(s) − 6
C2 (s) r
cascade-feedback
x(t)
r- D(s)
y(t)
C(s)
retour d'état
- C2 (s)
R(s)
+ ? + r - |- C1 (s) - |- G(s) Y(s) r + − 6
anticipation EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
55
-
Correcteur proportionnel
u(t) = kpe(t) =⇒ C(s) =
erreur : e(t)
U(s) = kp E(s)
correcteur -
-
kp
u(t) : commande
e(t)
6
e(t) t
-
u(t)
6
kpe(t)
t
-
Avantage : simple à implanter. Inconvénient : aucune possibilité pour annuler l'erreur du système en régime permanent. EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
56
Correcteur intégral ∫ t
u(t) = kI
e(τ )dτ −→ C(s) =
0
erreur : e(t)
U(s) kI = E(s) s
correcteur kI s
-
-
u(t) : commande
e(t)
6
e(t) t
-
u(t)
6
kI s e(t)
t
-
Avantage : améliore le régime permanent Inconvénient : détériore le régime transitoire
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
57
Correcteur proportionnel-intégral
correcteur
erreur : e(t)
kp + ksI
-
-
u(t) : commande
∫
u(t) =
t
kp e(t) + kI
e(τ )dτ =⇒
0
C(s) =
kI s+z U(s) = kp + = kp , E(s) s s
z=
kI kp
e(t)
6
e(t) t
-
u(t)
6
(kp + ksI )e(t) t
-
Particularité : combine les avantages des correcteurs P et I EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
58
Correcteur dérivé
d U(s) e(t) =⇒ C(s) = = kDs dt E(s) kD s Non causalit´ e =⇒ C(s) = U(s) = E(s) τs + 1
u(t) = kD
erreur : e(t)
correcteur -
-
kDs
u(t) : commande
e(t)
6
e(t)
Q Q Q
t
Q Q Q -
u(t)
6
d kD dt e(t)
t
-
Particularités : ce correcteur produit une action uniquement lorsque le signal d'erreur varie. insensible aux variations lentes de l'erreur. EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
59
Correcteur proportionnel-dérivé
u(t) = kpe(t) + kD C(s) =
erreur : e(t)
d e(t) dt
kp U(s) = kp + kDs = kD(s + z), z = E(s) kD
correcteur -
kp + kDs
-
u(t) : commande
e(t)
6
e(t)
Q Q Q Q
Q Q
t
-
u(t)
6
d kpe(t) + kD dt e(t)
@ @ @ @
t
@ @
Particularité : sensible aux diérents taux de variation de l'erreur grâce à kp. EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
60
Correcteur proportionnel-intégral-dérivé ∫
u(t) =
t
kp e(t) + kI
e(τ )dτ + kD
0
C(s) =
erreur : e(t)
kI U(s) = kp + + kDs E(s) s
correcteur -
kp + ksI + kDs
-
E(s)
d e(t) dt
t -
-
-
u(t) : commande
kp kI s
+
? - ~ 6
+
U(s) -
+
kDs
Particularités : Action P : améliore la rapidité. Action I : améliore le régime permanent. Action D : améliore la stabilité. EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
61
Correcteur avance de phase [ ] d d Kc aT e(t) + e(t) = T u(t) + u(t) dt dt aTs + 1 s+z = kp Ts + 1 s+p 1 1 a > 1, kp = aKc, z = , p= aT T C(s) = Kc
Correcteur retard de phase [ ] d d Kc aT e(t) + e(t) = T u(t) + u(t) dt dt aTs + 1 s+z = kp Ts + 1 s+p 1 1 a < 1, kp = aKc, z = , p= aT T C(s) = Kc
Correcteur avance-retard de phase
C(s) = kp
(s + a11T1 )(s + a21T2 )
(s + T11 )(s + T12 ) a1 > 1, a2 < 1
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
62
Commande par retour d'état
Système initial : •
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t)
Nouvelle loi de commande : u(t) = −K x(t) + N r(t)
Système corrigé : •
x (t) = [ A − BK ] x(t) + BN r(t) y(t) = [ C − DK ] x(t) + DN r(t)
-
r(t)-
N
+ u(t)dr - } B 6−
•
x + - } 6+
D ∫
A K
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
xdr -
C
+ ? + y(t) - }
dr
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
63
Rejet des perturbations
Y(s) =
C(s)G(s) G(s) R(s) + P(s) 1 + C(s)G(s)H(s) 1 + C(s)G(s)H(s)
Y(s) = G1(s) R(s) + G2(s) P(s) G2(s) =⇒ 0 C(s)G(s)H(s) ≫ 1 =⇒ G1(s) =⇒ 1 H(s)
Si H(s) = 1
=⇒
Y(s) = R(s)
Sensibilité
F(s)
SG(s) = F(s)
SG(s) =
dF(s) G(s) × dG(s) F(s) 1 1 + CGH F(s)
C(s)G(s)H(s) ≫ 1 =⇒ SG(s) ≃ 0 EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DE LA COMMANDE EN BOUCLE FERMÉE
64
CHAPITRE 4
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
65
Objectifs : • Analyser le comportement des systèmes
asservis dans le domaine du temps en les excitant par des signaux-test : 1. impulsion 2. échelon 3. rampe
• Déduire les performances des systèmes en régime
permanent et en régime transitoire
Sommaire : • Caractéristiques de la réponse temporelle • • • •
des systèmes Réponse d'un système du premier ordre Réponse d'un système du deuxième ordre Impact des pôles et zéros dominants Étude de la précision des systèmes
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
66
Caractéristiques de la réponse des systèmes y(t)
6
y = 1.05
r
6
d
1 0.9
?
? r
? r
6
6
erreur en régime permanent ? 6
5% ou 2% y = 0.95 τd
0.1 0
-r
r
t-
t
m
tp tr
-
performances régime transitoire régime permanent d : dépassement tr : temps de réponse précision à 5 % tm : temps de montée précision à 2 % tp : temps de pic τ d : délai EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
67
Réponse d'un système du premier ordre R(s) + - ~ 6
−
Y(s) =
kp
-
K τ s+1
Y(s) -
kp K K′ R(s) = ′ R(s) τ s + 1 + kp K τ s+1
Gain du système : K′ =
kp K 1 + kpK
Constante de temps du système : τ′ =
τ 1 + kp K
Signaux-tests : type d'entrée impulsion échelon rampe
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
fonction δ(t)
transformée 1
u−1(t) t
1/s 1/s2
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
68
Réponse impulsionnelle d'un premier ordre { δ (t)
=
1 si t = 0 =⇒ R(s) = 1 0 ailleurs
Y(s) = Y(s) = y(t) =
K′ K′ R(s) = τ ′s + 1 τ ′s + 1 ′ ′ K /τ s + τ1′ K′ − 1 ′ t e τ τ′
Reponse Impulsionnelle - Premier Ordre 6
5
reponse y(t)
4
3
2
1
0 0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 temps en secondes
3.5
4
4.5
5
Réponse impulsionnelle d'un système du premier ordre avec K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
69
Réponse indicielle d'un premier ordre { r(t) =
1 1 si t ≥ 0 =⇒ R(s) = 0 ailleurs s
Y(s) = Y(s) = y(t) =
K′ K′ /τ ′ 1 R(s) = × 1 τ ′s + 1 s s + τ′ K1 K2 + s s + τ1′ ] [ − t − t K1 + K2 e τ ′ = K1 1 − e τ ′
Reponse Indicielle - Premier Ordre 1.5
reponse y(t)
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 temps en secondes
3.5
4
4.5
5
Réponse indicielle d'un système du 1er ordre, K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
70
Réponse d'un premier ordre à une rampe { r(t) =
1 t si t ≥ 0 =⇒ R(s) = 2 0 ailleurs s
Y(s) = Y(s) = y(t) =
K′ K′ 1 R(s) = × 2 ′ ′ τ s+1 τ s+1 s K1 K2 K3 + + s2 s s + τ1′ − K′ (t − τ ′ ) + K′ τ ′ e τ ′ t
Reponse A Une Rampe - Premier Ordre 1.5
reponse y(t)
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 temps en secondes
3.5
4
4.5
5
Réponse d'un système du premier ordre à une rampe unitaire avec K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
71
Réponse d'un système du deuxième ordre
R(s)
+ -
~ 6
−
ω 2n
b-
Y(s)
s(s + 2)ζω n
Fonction de transfert en boucle fermée : F(s) =
Y(s) ω 2n = 2 R(s) s + 2ζω n s + ω 2n
: taux d'amortissement ω n : pulsation naturelle ζ
Équation caractéristique : s2 + 2ζω n s + ω 2n = 0
amortissement sous-amorti : 0 < ζ < 1 critique : ζ = 1 sur-amorti : ζ > 1 non amorti : ζ = 0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
racines p1,2 = −ζω n ± jω n p1,2 = −ω n p1,2 = −ζω n ± jω n
√ √
1 − ζ2 ζ2 − 1
p1,2 = ±jω n
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
72
Réponse impulsionnelle d'un deuxième ordre Système sous-amorti : R(s) = 1 ω 2n Y(s) = s2 + 2ζω s + ω2 n
[ y(t) = √
ωn 1−ζ
n
( )] √ e−ζω n t sin ω n t 1 − ζ 2 2
Reponse Impulsionnelle - Deuxieme Ordre
0.5
reponse y(t)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1 0
5
10
15
temps en secondes
Réponse impulsionnelle d'un système du 2e ordre avec ωn = 1rd/s et ζ = 0.5
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
73
Réponse indicielle d'un deuxième ordre Système sous-amorti : R(s) =
1 s
Y(s) =
ω 2n s(s2 + 2ζω n s + ω 2n )
[
] e−ζω n t y(t) = 1 − √ sin (ω d t − φ) 1 − ζ2
pulsation d'oscillation : déphasage :
√ ωd = ωn 1 − ζ 2 ] [√ 2 1−ζ −1 φtg −ζ
Reponse Indicielle - Deuxieme Ordre 1.5
reponse y(t)
1
0.5
0 0
5
10
15
temps en secondes
Réponse indicielle d'un système du 2e ordre avec ωn = 1 rd/s et ζ = 0.5 EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
74
Réponse indicielle d'un deuxième ordre versus emplacements des pôles
×
I
Im 6
6 m
×
-
×
-
×
Re
y(t)
Re
y(t)
6
6
-
t t
-
double
×
I
Im
6m
6
double
×
-
Re
y(t)
6
t
-
EMI-RABAT
Re
y(t)
6
K. BENJELLOUN
-
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
t
-
75
Réponse d'un deuxième ordre à une rampe Système sous-amorti : R(s) =
1 s2
Y(s) =
ω 2n s2 (s2 + 2ζω n s + ω 2n )
( ) √ 2ζ 1 2 −ζω n t √ y(t) = t − + e sin ω n t 1 − ζ − φ ωn ωn 1 − ζ 2
Reponse A Une Rampe - Deuxieme Ordre 1.5
reponse y(t)
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2 2.5 3 temps en secondes
3.5
4
4.5
5
Réponse d'un système du 2e ordre à une rampe avec ωn = 1rd/s et ζ = 0.5
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
76
Performances d'un second ordre racines complexes√: p1,2 = −ζω n ± jω n
1 − ζ2
p1,2 = σ ± jω d
I
6m
√
×@ I
pulsation des oscillations : ωd = ω n 1 − ζ 2 facteur d'amortissement : σ = −ζωn constante de temps : τ = ζω1 temps de réponse : tr = 3τ = ζω3 (à 5%)
ωd
6 @ @ @ ωn @ ϕ @@ @
n
R-e
n
σ = −ζω n
×
−ω d
dépassement :
ζπ 2 d = 100e 1−ζ
temps de pic :
tp =
− √
π √ ω n 1−ζ 2
maximum de la réponse :
ζπ 2 y(tp ) = 1 + e ζ − √
1−
Depassement (d) vs Amortissement (zeta) 100 90 80
depassement d
70 60 50 40 30 20 10 0 0
20
40
60 Amortissement zeta
80
100
120
Dépassement versus ζ EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
77
Impact de l'addition d'un pôle
F(s) =
ω 2n 1 = 2 2 2 (s + 2ζω n s + ω n )(1 + τ s) (s + s + 1)(1 + τ s)
p1,2
√ √ 1 3 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ = − ± j 2 2
(1 + 10s) (1 + τ s) = (1 + 0.3s) (1 + 2s)
−0.1 cas 1 1 =⇒ p3 = − = −3.33 cas 2 τ −0.5 cas 3
6 Im
×−p1
× −p1 6 Im -
× −p3
Re
×−p2
1
× −p1 6 Im -
× −p3
×
Re × −p2
−p3
× −p2
2
-
Re
3
AJOUT - POLE 1.5
cas 2
reponse y(t)
1
cas 3 cas 1
0.5
0 0
5
10
15 20 25 temps en secondes
30
35
40
Impact d'un pôle ajouté sur la réponse d'un système de second ordre, (1) p3 = 3, (2) p3 = .5, (3) p3 = .1 EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
78
Impact de l'addition d'un zéro
ω 2n (τ s + 1) τs + 1 = 2 2 2 s + 2ζω n s + ω n s +s+1
F(s) =
√
√ 1 3 1−ζ =− ±j 2 2
p1,2 = ζωn ± jωn 0.2 cas 1 (1 + 5s) 1 (τ s + 1) = (1 + 0.3s) =⇒ z1 = = 3.33 cas 2 τ (1 + 2s) 0.5 cas 3 2
× −p1
6 Im
Im × −p1 6 -
f
−z1
Re
× −p2
1
Im × −p1 6 -
f
−z1
f
−z1
Re × −p2
× −p2
2
-
Re
3
AJOUT - ZERO 3.5 cas 1 3
reponse y(t)
2.5
2
1.5 cas 3 1 cas 2
0.5
0 0
5
10 15 temps en secondes
20
Impact de l'addition d'un zéro, (1) z = 3, (2) EMI-RABAT K. BENJELLOUN
25
z = 0.5,
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
(3) z = 0.2
79
Pôles dominants
F(s) =
Y(s) 0.4(s + 10) = 2 R(s) (s + s + 1)(s + 4) I
6m
× × −4
f
−10
−.5
√ 3 2 -
×
Re
√ − 23
1 0.046 0.607∠−81o 0.607∠81o + Y(s) = − + s s + 4 s + 0.5 + j0.867 s + 0.5 − j0.867
Fonction dominante :
F′(s) =
1 (s2 + s + 1)
POLES DOMINANTS 1.5
reponse y(t)
1
0.5
0 0
5
10
15
temps en secondes
Pôles dominants de la fonction F (s) = EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
0.4(s+10) (s2 +s+1)(s+4)
80
Expression générale de l'erreur statique
?
G1(s)
E(s) R(s) +- ~ s? 6
−
P(s)
+
C(s)
? - ~
+
G(s)
Y(s) -
H(s)
Y(s) = C(s)G(s)E(s) + G1(s)G(s)P(s) E(s) = R(s) − Y(s)H(s) T(s) = C(s)G(s)H(s)
Précision globale : E(s) =
1 T(s) G1(s) R(s) − × P(s) 1 + T(s) 1 + T(s) C(s)
E(s) = ER(s) + EP(s) e(∞) = lim sE(s) s→0
e(∞)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
= lim sER(s) + lim sEP(s) s→0
s→0
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
81
Précision relative à l'entrée principale, P(s) = 0
K 1 + a1s + · · · + amsm T(s) = C(s)G(s)H(s) = l s 1 + b1s + · · · + bnsn 1 1 1 R(s) = m 1+a1 s+···+am s sp 1 + T(s) 1+ K l s 1+b1 s+···+bn sn
ER(s) =
eR (∞)
type l du système
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
1 s→0 sp−1 [1 + Ks−l ]
= lim sER(s) ≃ lim s→0
échelon eR (∞) =
1 1+Cp
rampe eR (∞) =
1 Cv
accéleration eR (∞) =
0
1 1+K
∞
∞
1
0
1 K
∞
2
0
0
1 K
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
1 Ca
82
Précision relative à la perturbation, R(s) = 0
?
Ep(s) ~ s? 6
−
P(s)
G1(s) +
C(s)
? - ~
+
G(s)
Y(s) -
H(s)
T(s) = C(s)G(s)H(s) EP(s) =
T(s) G1(s) P(s) 1 + T(s) C(s)
EP(s) =
G(s)G1(s)H(s) P(s) 1 + T(s)
eP (∞)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
= lim sEP(s) s→0
ANALYSE DANS LE DOMAINE TEMPOREL
83
CHAPITRE 5
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
84
Objectifs : • Étudier la stabilité de n'importe quel système li-
néaire invariant
• Tracer le lieu des racines de n'importe quelle struc-
ture de commande quand un ou plusieurs paramètres varient
• Utiliser le lieu des racines pour xer les paramètres
d'un correcteur donné selon des spéci cations imposées
Sommaire : • Résolution de l'équation caractéristique • Critère algébrique de Routh-Hurwitz • Lieu des racines
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
85
Stabilité des systèmes linéaires R(s) + - ~-
G(s)
6
−
Y(s) -
H(s)
Boucle ouverte : T(s) = G(s) H(s)
Boucle fermée : F(s) =
G(s) 1 + H(s)G(s)
Équation caractéristique : 1 + T(s) = 0
domaine
Im
6
domaine -
de stabilité
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
Re
d'instabilité
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
86
Méthodes d'études de la stabilité 1. Résolution de l'équation caractéristique : Lorsque l'ordre de l'équation caractéristique ne dépasse pas deux. Si toutes les racines sont à parties réelles négatives, le système est stable. Si au moins une des racines est à partie réelle positive, le système est instable. 2. Utilisation du critère de Routh : L'ordre de l'équation caractéristique est supérieur à deux. L'équation caractéristique contient des paramètres variables. 3. Utilisation du lieu des racines : Voir l'évolution des pôles du système en boucle fermée lorsqu'un ou plusieurs paramètres varient. Déduire les paramètres du correcteur qui assure les spéci cations imposées.
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
87
Critère de Routh-Hurwitz
Procédure : • Remplir le tableau de Routh-Hurwitz à partir de l'équation caractéristique • Voir le nombre de changement de signe de la 1re colonne d'une ligne à une autre du tableau • Conclure sur la stabilité en se basant sur la 1re colonne Analyse : • L'absence de changement de signe dans la 1re colonne indique que le système est stable • L'existence d'au moins un changement de signe dans la 1re colonne indique que le système est instable
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
88
Tableau de Routh-Hurwitz Équation caractéristique : 1 + T(s) = ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s1 + a0 = 0
sn an an−2 an−4 · · · n−1 s an−1 an−3 an−5 · · · sn−2 b1
b2
b3
···
sn−3 c1
c2
c3
···
sn−4 d1
d2
d3
··· ··· ···
.
s0 b1 = c1 =
an−1 an−2 −an an−3 an−1 b1 an−3 −an−1 b2 b1
...
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
. .
. .
. .
; b2 = ; ;
c2 =
an−1 an−4 −an an−5 an−1 b1 an−5 −b3 an−1 b1
...
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
89
Cas particuliers • Un des pivots est égal à zéro • Tous les termes d'une ligne sont nuls • Systèmes avec retard
Pivot égal à zéro 1. Remplacer s par x1 dans l'équation caractéristique et reformer le tableau 2. Multiplier l'équation caractéristique par (s + 1) et reformer le tableau 3. Remplacer le zéro par ϵ et passer à la limite Exemples : s4 + 2s2 + s + 4 = 0 s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + 10 = 0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
90
Tous les termes d'une ligne sont nuls
1. Former l'équation auxiliaire à partir de la ligne précédente 2. Prendre sa dérivée par rapport à s 3. Les coe cients de la dérivée deviendront les nouveaux coe cients de la ligne initialement nulle 4. Étudier la stabilité sur le nouveau tableau obtenu
Exemple : s3 + 3s2 + 4s + 12 = 0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
91
Systèmes avec retard pur • Approximer
e−τ s
suivantes :
par l'une des équations
2 2 2 2 3 3 1 : e−τ s = 1 − τ s + τ 2!s − τ 3!s + . . . ≃ 1 − τ s + τ 2!s
2 : e−τ s =
3: e
−τ s
4 : e−τ s =
1
1−τ s+ τ 2!s
2 2
=
1− τ2s 1+ τ2s
1 (1+ τps )p
Padé 1er ordre p∈N
• Écrire la nouvelle équation caractéristique • Reformer le tableau de Routh • Étudier la stabilité
Exemple :
G(s) =
e−τ s s2 (s2 + 2s + 2)
C(s) = Kp
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
92
Dilemme stabilité-précision R(s) + - ~ 6
−
kp
-
1 s(s+1)(s+5)
Y(s) -
Spéci cations : • Entrée : rampe unitaire • Erreur en régime permanent ≤ 1% • Système stable Condition sur kp pour l'erreur : es = limt→∞ e(t) = lims→0 sE(s) = lims→0
1 5 = sC(s)G(s) kp
5 ≤ 0.01 =⇒ kp ≥ 500 kp
Condition sur kp pour la stabilité : 0 < kp < 30
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
93
Degré de stabilité • En valeur absolue, c'est la plus petite
partie réelle parmi toutes celles des racines de l'équation caractéristique • Il représente une mesure de la rapidité d'amortissement du régime transitoire 6
Im
−σ
r e
-
Re
σ donn´ e
6 @ @ m @ θ @ @e r -
I
Re
ζ donn´ e
6
@
θ @
@ r e
−σ
Im -
Re
σ et ζ donn´ es
Exemple : s3 + 3s2 + 3s + 5 = 0 • Degré de stabilité égal à 2 ? (s − 2)3 + 3(s − 2)2 + 3(s − 2) + 5 = 0 s3 − s2 + 5s + 3 = 0 = 0 • Le test par Routh indique que NON
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
94
Lieu des racines Objectif : Étudier le Comportement des racines de l'équation caractéristique, ou pôles du système en boucle fermée, quand un ou plusieurs paramètres varient Exemple : R(s) + - } K 6−
F(s) =
-
Y(s) -
1 τ s+1
K 1+K =⇒ s = − τs + 1 + K τ 6
jω
∞←K
K=0
× −1
K 0 1 2 ··· s −1 -2 -3 · · · EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
σ
∞ −∞
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
95
Dé nition : Un point M de coordonnées (σ, ω) appartient au lieu des racines si son a xe s = σ + jω véri e l'équation caractéristique : 1 + T(s) = 0
⇐⇒
T(s) = −1
Condition d'amplitude : |T(s)| = |−1| = 1
Condition d'angle : arg(T(s)) = arg(−1) = (2q + 1)π, q = 0, 1, 2, ...
Équation caractéristique : 1 + T(s) = 0 ∏m (s + zi) 1 + K ∏ni=1 = 0 (s + p ) i i=1 n : nombre de pôles du système m : nombre de zéros du système K : gain du système −zi : zéros de T(s) −pi : pôles de T(s)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
96
Règles du tracé du lieu des racines
Règle 1 :
Nombre de branches du lieu
Règle 2 :
Symétrie du lieu des racines
Règle 3 :
Départ et arrivée des branches
Règle 4 :
Asymptotes des branches in nies
Règle 5 :
Branches de l'axe réel appartenant au lieu
Règle 6 :
Tangente du lieu en un point de départ ou d'arrivée ( ni)
Règle 7 : Règle 8 :
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
Intersection du lieu avec l'axe réel Intersection du lieu avec l'axe imaginaire
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
97
Exemples 1. 1+
2. 1+
K =0 s(s + 5)
K =0 s(.1s + 1)(.2s + 1)
3. 1+K
4. 1+
K =0 s(s2 + 6s + 13)
1+
2K =0 s(s + 1)(s + 2)
5.
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
s + 10 =0 s(s + 5)
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
98
Lieu des racines avec plusieurs paramètres
R(s) +
- ~ 6
kp +
−
kI s
-
3 1+0.2s
Y(s)
-
Équation caractéristique : 1+
3(kps + kI) =0 s(0.2s + 1)
Étape 1 : kI = 0
=⇒
1 + kp
3 =0 0.2s + 1
Étape 2 : kI = ̸ 0 kp = fix´ e
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
} =⇒ 1 + kI
3 =0 s(0.2s + 1 + 3kp)
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
99
Lieu des racines avec retard pur
Équation caractéristique : 1+K
3e−τ s = 0, 0.2s + 1
τ =1
Approximation utilisée : e−τ s =
1er cas : e−s =
2e cas : e−s =
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
1 (1 + τps )p
p∈N
p=1 1 3 =⇒ 1 + K =0 1+s (s + 1)(0.2s + 1)
p=5 3125 9375 =⇒ 1 + K =0 (s + 5)5 (s + 5)5(0.2s + 1)
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
100
Exemple d'étude de sensibilité But : Étudier la variation des pôles d'un système donné en boucle fermée suite à une variation de gain K Équation caractéristique : 2K = 0 s(s + 5) s2 + 5s + 2K = 0 1+
Dérivée par rapport à K : 2s
ds ds +5 +2 = 0 dK dK ds 2 =− dK 2s + 5
La sensibilité est : SsK =
ds K 2K × =− s dK s(2s + 5)
si K = 3, les pôles sont =⇒ s1 = −2 et s2 = −3
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
101
Exemple d'étude de sensibilité 2×3 • s1 = −2 =⇒ SsK1=−2 = − −2(2(−2)+5) =3
2×3 • s2 = −3 =⇒ SsK2=−3 = − −3(2(−3)+5) = −2
Si le gain K varie de
10% ⇐⇒ ∆KK = 0.1
la sensibilité est : ∆s|s1 =−2
∆K = (−2)(3)(0.1) = −0.6 K s1 + ∆s|s1 =−2 = (−2) + (−0.6) = −2.6
=
s1 SsK1 SsK1
s′1 = ∆s|s2 =−3
∆K = (−3)(−2)(0.1) = +0.6 K s2 + ∆s|s2 =−3 = (−3) + (0.6) = −2.4
=
s2 SsK2
s′2 =
6jω
∆s2 ∆s1
× −3
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
?
?
× ×
−2.6−2.4
× −2
STABILITÉ ET LIEU DES RACINES
-
σ
102
CHAPITRE 6
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
103
Objectifs : • Tracer les diagrammes de Bode, de Black et de
Nyquist pour n'importe quel système • Étudier la stabilité dans le domaine fréquentiel • Déterminer les performances des systèmes (facteur de surtension, bande passante, marge de phase, marge de gain ...) • Déterminer les caractéristiques de la fonction de transfert en boucle fermée en se servant des abaques Sommaire : • Diagrammes de Bode, de Black
et de Nyquist • Stabilité de Nyquist • Abaques de Hall et Black-Nichols • Performances des systèmes
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
104
Forme de la réponse -
R(s)
r(t) = sin(ωt)
=⇒
-
G(s)
Transformée
=⇒
Y(s)
R(s) =
ω s2 + ω 2
Y(s) = R(s)G(s) }| t →∞ { k1 k2 K1 K2 y(s) = s − + + + + ... jω s + jω s + p s + p2 1 z
y(t) =
→
0
si
K1 ejω t + K2 e−jω t
K1 = K2 =
ω 1 G(s)|s→jω = −j M(ω)ejφ(ω ) s + jω 2 ω 1 G(s)|s→−jω = j M(ω)e−jφ(ω ) s − jω 2
y(t) = M(ω)sin(ωt + φ(ω))
M(ω) φ(ω)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
= =
|G(jω)| argG(jω)
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
105
Exemple
R(s)
Y(s)
-
G(s) = G(jω)
-
k τ s+1
=
Y(s) k = R(s) τs + 1 Y(jω) k = R(jω) jωτ + 1
r(t) = sin(ωt) =⇒ Y(jω) =
|G(jω)| φ(ω)
= =
s2
ω k × 2 +ω jωτ + 1
k √ ω2τ 2 + 1 −arctan(ωτ )
k y(t) = √ sin(ωt − arctan(ωτ )) ω2τ 2 + 1
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
106
Diagramme de Bode [ ] K 1 + b 1 s + . . . + b m sm G(s) = l s 1 + a1s + . . . + ansn
Échelle semi-logarithmique : M(ω) φ(ω)
= =
20log10 |G(jω)|
,
arg(G(jω))
(o )
,
(db)
Basses fréquences : G(s) =
M(ω) φ(ω)
= =
K sl
20log10 (K) − (20l)log10 (ω) π −l 2
Hautes fréquences : Kbmsm G(s) = ansn+l (
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
M(ω)
=
φ(ω)
=
Kbm 20log10 an π −(n + l − m) 2
) − 20(n + l − m)log10 (ω)
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
107
Diagramme de Bode vers les basses et les hautes fréquences 6
6
|M|db
@ @
-
0
6
|M|db @ @ −20
0
ω o
AA
-
0o
ω
-
0o −90o
l=0
|M|db B B−60 B
-
0
ω o
φ, 6
6
|M|db A A −40 0
ω o
φ, 6
ω
0o −180o
φ, 6
ω
-
l=1
-
ω φ, 6
0o −270o
o
ω
-
-
l=2
l=3
Basses fréquences |M|db
|M|db A −40
6
−20
@ @ rd @
0
-
ωc @
ω
@ @ @
A Ard ωc A A
0
o
0o −90o
|M|db B −60
6
6
-
0
ω A A
o
φ, 6
ω
0o −180o
ω
-
0o −270o
n+l−m=2
φ, 6
ω
-
n+l−m=3
Hautes fréquences EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
ω
o
φ, 6
-
n+l−m=1
B Brd ωc B B B
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
108
Diagramme de Bode d'un élément proportionnel
G(jω)
= K, K > 0
|G(jω)| arg(G(jω))
M(ω) φ(ω)
= =
= K = 0o
20log10 |G(jω)| = 20log10 (K) , (db) ( ) 0 −arctan = 0o K
M, db
6
20log10K -
0
ω o
φ, 6
0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
ω
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
109
Diagramme de Bode d'un élément intégral
G(jω) =
φ(ω)
( M(ω) φ(ω)
=
1 1 jωτ = ωτ −arg(jωτ ) = −90o
= =
|G(jω)|
1 ωτ
20log10
1 jωτ
) = −20log10 (ωτ ) ,
(db)
= −90o
M, db
6
−20 db/dec
@
@ @ rd @ ωc @
-
ω @ @
o
φ, 6
−90
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
o
-
ω
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
110
Diagramme de Bode d'un élément diérentiel
G(jω) = jωτ
|G(jω)| φ(ω)
M(ω) φ(ω)
= =
ωτ π + 2
= 20log10(ωτ ) = +90o
,
(db)
M, db
6
+20 db/dec rd
ωc
-
ω
o
φ, 6
+90o -
ω
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
111
Diagramme de Bode d'un élément du premier ordre
G(jω) =
√ −20log10 1 + ω 2 τ 2
= =
M(ω) φ(ω)
1 1 + jωτ
−arctan(ωτ )
ω ≪ τ1
ω ≫ τ1
M(ω) = 0 db M(ω) = −20log(ωτ ), db φ(ω) = −90o
φ(ω) = 0o
M, db
6
ωc
dr @ @ @
-ω
−20 db/dec
@ @ @
o
φ, 6
ωc
−90
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
o
dr
-ω
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
112
Diagramme de Bode de l'élément ≪ 1 + jωτ ≫
G(jω) = 1 + jωτ
M(ω) φ(ω)
√ 20log10 1 + ω 2 τ 2
= =
arctan(ωτ )
ω ≪ τ1
ω ≫ τ1
M(ω) = 0 db M(ω) = 20log(ωτ ) db φ(ω) = 0o
φ(ω) = 90o
M, db
6
+20 db/dec dr
-ω
dr
-ω
ωc
o
φ, 6
+90o ωc
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
113
Diagramme de Bode asymptotique d'un élément du second ordre
G(jω) =
ω 2n 1 ] =[ 2 2 ω + j2ζ ω 1 + 2ζω n (jω) + (jω) 1− ω 2 ωn n √[
M(ω)
=
φ(ω)
=
]2 ω2 ω2 −20log10 1 − 2 + 4ζ 2 2 ωn ωn ( ) ω 2ζ ω n −arctan 2 ω 1 − ω2 n
ω ≪ ωn
ω ≫ ωn ( ) ω M(ω) = 0 db M(ω) = −40log10 ω n φ(ω) = −180o
φ(ω) = 0o
M, db
φ, 6
6
ωc
rd A A A A
−40 db/dec
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
o
ωc
-ω
A
db
rd
-ω
−180o
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
114
Diagramme de Bode réel d'un élément du second ordre • ζ ζ
• ωn ωn
xe
ωn
diminue =⇒ Mp augmente =⇒ augmente =⇒ Mp diminue =⇒ ζ
ωb ωb
augmente diminue
xe
diminue =⇒ Mp inchangé =⇒ augmente =⇒ Mp inchangé =⇒
ωb ωb
diminue augmente
Omega = fixe et Zeta = variable
1
amplitude
10
0
10
-1
10
-2
10 -1 10
0
1
10
10
Omega = variable et Zeta = fixe
5
amplitude
10
0
10
-5
10
-10
10
-2
10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
frequences
Diagramme de Bode d'un élément du 2e ordre vs ζ et ωn EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
115
Diagramme de Bode de l'élément ≪ 1 + j2ζ ωω + (j ωω )2 ≫ n
G(jω) = 1 + j2ζ
n
ω ω2 ω ω + (j )2 = (1 − 2 )2 + j2ζ ωn ωn ωn ωn √[
M(ω)
=
φ(ω)
=
]2 ω2 ω2 20log10 1 − 2 + 4ζ 2 2 ωn ωn ) ( ω 2ζ ω n arctan 2 ω 1 − ω2 n
ω ≪ ωn
ω ≫ ωn ( ) ω M(ω) = 0 db M(ω) = +40log10 ω n φ(ω) = 0o
φ(ω) = +180o
M, db
o
φ, 6
6
dr
+40 db/dec
ωc
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
db
+180o
-ω
dr
-ω
ωc
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
116
Diagramme de Bode d'un système d'ordre quelconque
G(s) = K
τ 1s + 1 , (τ 2 s + 1)(τ 3 s + 1)
1 1 1 < < , K>1 τ2 τ1 τ3
G1(s) = K
G2 (s) = τ 1 s + 1
G3 (s) = τ 21s+1
G4 (s) = τ 31s+1
M, db
6
|G2|
@ @ R @ R @ -ω H HH H HH HH HH HH 4 HH H H H 3 HH HH HH 1 1 1 HH τ2 τ1 τ3 H
|G1|
|G |
|G |
φ, 6
|G|
o
+90o 0
−90
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
φ2 -
o
φ1
?
o
-ω
φ φ4 @ I @ φ3
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
117
Diagramme de Black ≪ Diagramme de M(ω) en (db) ≫ ≪ en fonction de φ(ω) en (o) ≫ [
G(s) = 6 |M| db
m
K 1 + b1 s + . . . + bm s sl 1 + a1s + . . . + ansn
ω=0
6 |M| db
??
ω=0
@ @ R
-
φ,o
−90o
dr
l=0
ω=0
]
6 |M| db
??
-
φ,o −180o
??
dr
-
φ,o −270o
l=1
6 |M| db
ω=0
l=2
dr
-
φ,o
l=3
Basses fréquences 6 |M| db
−90o dr
-
6 |M| db
−180o dr
o
n+l−m=1
−270o dr
o
φ,
ω=∞ ??
-
6 |M| db
φ,o
φ,
ω=∞
??
n+l−m=2
-
ω=∞
??
n+l−m=3
Hautes fréquences EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
118
Diagramme de Black d'un élément intégral
G(jω) =
K jωτ
M(ω)
=
20log10 |G(jω)| = 20log10 (K) − 20log10 (ωτ )
φ(ω)
=
arg(G(jω)) = arctan(K) − arctan
(τ ω )
ω
0
∞
K/τ
M(ω)
∞
−∞
0 −90o
φ(ω)
−90o −90o
6
ω=0
0
= −90o
M, db
- φ,o
−90o
0 ?
ω=∞
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
119
Diagramme de Black d'un élément diérentiel
G(jω) = Kjωτ
M(ω)
=
20log10 |G(jω)| = 20log10 Kωτ
φ(ω)
=
arg(G(jω)) = arctan
ω M(ω) φ(ω)
KωT = +90o 0
0
∞
1/(Kτ )
−∞ o
∞ o
0 90o
90
90
M, db
6
ω=∞ 6
0
+90o
- φ,o
ω=0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
120
Diagramme de Black d'un élément du premier ordre
G(jω) =
K 1 + jωτ
M(ω)
=
√ 20log10 (K) − 20log10 1 + ω 2 τ 2
φ(ω)
=
−arctan(ωτ )
ω M(ω) φ(ω)
0
√
∞
K2 −1
τ
20log10(K) −∞ 0 −90o
0
√ −arctan( K2 − 1)
M, db
6
K es
ω=0
−90o
e s
-
ωc
φ
?
ω=∞
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
121
Diagramme de Black de l'élément ≪ K(1 + jωτ ) ≫
G(jω) = K(1 + jωτ )
M(ω)
=
√ 20log10 (K) + 20log10 1 + ω 2 τ 2
φ(ω)
=
arctan(ωτ )
ω M(ω) φ(ω)
0
√ 1−K2 Kτ
∞
20log10(K) ∞ 0 90o 6
M, db
0 √
arctan(
1−K2 ) K
ω=∞
6
K se
ω=0
+90o
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
φ,o
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
122
Diagramme de Black d'un élément du second ordre
G(jω) =
K K ] =[ ω ω 2 2 ω + j2ζ ω 1 + 2ζj ω n + [j ω n ] 1− ω ωn n2 √ [
M(ω)
=
20log10 (K) − 20log10
1−
ω2 ω n2
]2 + 4ζ 2
ω2 ω n2
φ(ω)
=
ω 2ζ ω n −arctan ω2 1− ω n2
0
ω M(ω) φ(ω)
∞
20log10(K) −∞ 0 −180o M, db
6
K −180o
s e
s ω=0 e
- φ
ωc
?
ω=∞
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
123
Diagramme de Black de l'élément ≪ K(1+ ω2ζ s + ωs
2
n
([ G(jω) = K
M(ω)
=
n2
)≫
] ) ω2 ω 1− + j2ζ ω n2 ωn
√ ]2 [ 2 2 ω ω 20log10 (K) + 20log10 + 4ζ 2 1− ω n2 ω n2
φ(ω)
=
ω 2ζ ω n arctan ω2 1− ω 2 n
0
ω M(ω) φ(ω)
∞
20log10(K) ∞ 0 180o
M, db
6ω = ∞
6
K
ω=0
se
+180o
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
- φ
124
Diagramme de Nyquist ≪ Partie
imaginaire de G(jω) ≫ ≪ en fonction de ≫ ≪ la partie réelle de G(jω) ≫
Fonction de transfert en boucle ouverte : G(jω) = Re (ω) + j Im (ω) = M ej φ(ω )
Lien entre Nyquist, Bode et Black : Nyquist =⇒ Bode =⇒
Im (ω) = f [Re (ω)] 1 : M(ω) = f (ω) 2 :
Black
=⇒
φ(ω) = f (ω)
M(ω) = φ(ω)
Im (ω) 6
ω=∞
se Q
ω=0
Q Q φ(ω) Q Q Q Q ω c QQ s
s e
-
Re (ω)
M(ω)
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
125
Diagramme de Nyquist Fonction de transfert en boucle ouverte : [ ] K 1 + b1s + . . . + bmsm G(s) = l s 1 + a1s + . . . + ansn
I
I
6m
I
6m AKA A A
ω = 0 rd
6m
ω = 0-
-
Re ω=∞
l=0
I
6 m ??
-
-
Re
-
ω=∞
Re
-
Re
66
l=1
l=2
l=3
basses fréquences I
I
6m
ω=∞
@ I @
I
6m
-
Re
n+l−m=1
ω = ∞@@ R
6m
-
ω = ∞@@ R
-
Re
Re
n+l−m=2
n+l−m=3
hautes fréquences EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
126
Diagramme de Nyquist d'un élément intégral Fonction de transfert : G(s) =
1 τs
1 1 = −j jωτ ωτ
=⇒
G(jω) =
ω
0
∞ 1/τ
Re (ω) = 0
0
0
1 Im (ω) = − ωτ
−∞
0
0 −1
I
6m
@ I @ω = ∞ 6
1
τs
Re
ω=0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
127
Diagramme de Nyquist d'un élément diérentiel Fonction de transfert : G(s) = τ s
=⇒
0
ω
Re (ω) = 0
Im (ω) = ωτ
Im
G(jω) = jωτ
∞ 1/τ
0 0
0
0
1
∞
6
ω=∞ 6
τs
ω=0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
Re
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
128
Diagramme de Nyquist d'un élément du premier ordre Fonction de transfert : G(s) =
ωτ 1 1 1 ⇒ G(jω) = = − j 1 + τs 1 + jωτ 1 + ω2τ 2 1 + ω2τ 2
0
ω
Re (ω) =
1 1+ω 2 τ 2
Im (ω) = − 1+ωτ ω2τ 2
∞ 1/τ
1 0
1 2
0 0 − 12
6
Im
ω=∞ @
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ω=0 @ @ R e s
e s
-
1
Re
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
129
Diagramme de Nyquist de l'élément ≪ 1 + τ s ≫ Fonction de transfert : G(s) = 1 + τ s
⇒
ω
Re (ω) = 1
Im (ω) = ωτ
Im
6
G(jω) = 1 + jωτ
0
∞ 1/τ
1 1
1
0
1
∞
ω=∞ 6
ω=0
s e
-
1
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
Re
130
Diagramme de Nyquist d'un élément du second ordre Fonction de transfert : G(s) = G(jω)
=
ω n2 s2 + 2ζω n s + ω n2 ω2 ω 1− ω 2ζ ω n2 [ ]2 [ ]2 n[ ]2 − j [ ]2 2 2 ω ω ω ω 1 − ω 2 + 2ζ ω n 1 − ω 2 + 2ζ ω n n n
0
∞
ωn
Re (ω)
1 0
0
Im (ω)
0 0
ω
−
1 2ζ
I
6m
ω=∞
ω=0 @ @ R e s
e s
-
1
Re
e s
ω = ωn
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
131
Diagramme de Nyquist de l'élément ≪ ω1 (s2 + 2ζωns + ω2n) ≫ 2 n
Fonction de transfert : G(s) = G(jω)
=
) 1 ( 2 2 s + 2ζω s + ω n n ω2 [n ] ω2 ω 1 − 2 + j 2ζ ωn ωn
0
∞
Re (ω)
1
−∞
0
Im (ω)
0
∞
2ζ
ω
ωn
Im
∞←ω
6 s e
ω = ωn
ω=0 se
1
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
Re
132
Stabilité de Nyquist Équation caractéristique : 1 + G(s) H(s) = 0
Critère de stabilité : N = Z − P
N = nombre d'encerclements dans le sens horaire du point −1 + j0 P = nombre de pôles à parties réelles positives de G(s)H(s) Z = nombre de zéros à parties réelles positives de 1 + G(s)H(s) Interprétation du critère : P ̸= 0 ⇒ Z = 0 pour un système stable ⇔ N = −P ⇔ P encerclements de −1 + j0 dans le sens anti-horaire P = 0 ⇒ Z = 0 ⇒ N = 0 ⇔ système stable ⇔ aucun encerclement de −1 + j0 Encerclement de −1 + j0 dans le sens horaire ⇐⇒ système instable
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
133
Stabilité de Nyquist exemple Fonction de transfert en boucle ouverte : T(s) = G(s)H(s) = K T(jω)
=
−
4K K(1 − 3ω 2 ) −j (1 − 3ω 2 )2 + 16ω 2 ω(1 − 3ω 2 )2 + 16ω 3
contour de Nyquist 6
1 s(3s + 1)(s + 1)
diagramme de Nyquist I
jω
6 m
r=∞
ω = 0+
6
6
r=ϵ
?
× × × 0 −1 − 13
ω = −∞
× −1
σ -
@ I @
?
R-e
ω = +∞
6
ω = 0−
{
stabilité :
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
Im (ω) = 0 Re (ω) > −1
?
⇐⇒ ω = √13 ⇐⇒ K < 43
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
134
Critère de stabilité de Nyquist simpli é M, db
6
−180-o
I
6m
×
-
e s
0 Re
3 2
1
s e
K
0
-
φ,o
3 2 1
Nyquist
Black
M, db
0
6 HH HH j @ AB BA@ BA @ B Aes @ BA @ B A @ BB A @ A @
1
2
ω
-
3
φ,o
−180o
6 HH HH j @
@es @ @
1 : stable 2 : à la limite de stabilité 3 : instable
ω
-
Bode EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
135
Abaque de Hall Objectif : Déterminer la réponse fréquentielle en boucle fermée à partir du diagramme de Nyquist obtenu pour la boucle ouverte I
I
6m
6m
φj
φi u h
u h
-
Re
Mi
-
Re
Mj
Procédure : 1. juxtaposer le diagramme de Nyquist du système en boucle ouverte sur l'abaque 2. noter les valeurs des courbes équigain et équiphase passant par chaque point d'intersection 3. construire le diagramme de Nyquist du système en boucle fermé
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
136
Abaque de Black-Nichols Objectif : Déterminer la réponse fréquentielle en boucle fermée à partir du diagramme de Black obtenu pour la boucle ouverte Gain en db 6
+18 2 db
+12
6 db
+6 −30
o
0 −6 −90o −150o
Phase en
−12 −18
o
−24 −210−180−150−120 −90 −60 −30 0
Procédure : 1. juxtaposer le diagramme de Black du système en boucle ouverte sur l'abaque 2. noter les valeurs des courbes équigain et équiphase passant par chaque point d'intersection 3. construire le diagramme de Bode du système en boucle fermée
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
137
Performances des systèmes 6
Im
−1 s e
6
|G|db
Aes
∆φ-
-
∆φ
0
s e
Re ∆G =
se
6
∆G
1 OA
0
φ
−180o-
?
−1
-
s e
Nyquist
Black |G|db
6 @ @
0 ∆G =
1 |G(jω ph )|
φ,o
@ ω ph s @e 6 @ ∆G @ @ @? @ @
6
∆ϕ = π + arg(G(jω am )) ∆φ
−180o
ω-
6 ?
s e
ω-
ω am
Bode EMI-RABAT K. BENJELLOUN
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
138
Performances des systèmes
|F|db
|F|db
6
6
Mp
Mp −3db -
ωp
? 6
ω
Bode
ωb
6
|G(jω)|db
Im
Mp
Mp
s e
−1 es
ωp
-
0
φ(ω)
e s
−1
e s
ωp
Re
G(jω)
Nichols
EMI-RABAT
ω
Bode 6
K. BENJELLOUN
-
-
Hall
ANALYSE FRÉQUENTIELLE
139
CHAPITRE 7
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
TITRE DU CHAPITRE
140
Objectifs : • Assimiler les techniques de design des
correcteurs en cascade • Choisir la technique adéquate pour résoudre un problème particulier de design • Choisir la structure et les paramètres du correcteur qui répondent aux spéci cations du cahier des charges • Véri er que les spéci cations imposées sont satisfaites Sommaire : Design des correcteurs par : • Méthodes empiriques : • Domaine temporel • Domaine fréquentiel • Lieu des racines • Diagramme de Bode
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
141
Spéci cations Domaine du temps : • Dépassement d en % • Temps de pic tp • Temps de montée tm • Temps de réponse tr • Constante du temps dominante τ d = ζω1 • Erreurs en régime permanent e(∞) • Sensibilité de la réponse Domaine de la fréquence : • Bande passante ωb • Facteur de surtension Mp • Fréquence de résonnance ωp • Pente d'atténuation vers les fréquences élevées • Marge de phase ∆ϕ • Marge de gain ∆G n
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
142
Méthodes empiriques : domaine temporel Système stable en boucle ouverte
Ziegler-Nichols
r(t)
6
1
R(s)
e−τ s k Ts+1
-
-t
0
T-
y(t)
c
6
Y(s)
6
k
c
τ-
0.15 ≤ τT ≤ 0.6
c
?-
paramètres
correcteurs P : C(s) = kp
kp = τT
PI : C(s) = kp(1 + T1 s )
kp = 0.9T τ , TI = 3.3τ
PID : C(s) = kp(1 + T1 s + TDs)
kp = 1.2T τ , TI = 2τ , TD = 0.5τ
I
I
Procédure : 1. obtenir la réponse indicielle du système à commander en B.O. 2. déterminer τ et T à partir de cette réponse indicielle 3. calcul des paramètres à partir du tableau 4. calculer la fonction de transfert du système en B.F. et véri er si les performances sont satisfaites 5. si nécessaire, ajuster les paramètres du correcteur
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
143
t
Méthodes empiriques : domaine temporel Système instable en boucle ouverte 6y(t)
variable R(s) + -
~ − 6
kp
-
G(s)
Y(s) s
-
t Tc
-
paramètres
correcteurs P : C(s) = kp
kp = 0.5Kc
PI : C(s) = kp(1 + T1 s )
kp = 0.45Kc , TI = 0.83Tc
PID : C(s) = kp(1 + T1 s + TDs)
kp = 0.6Kc , TI = 0.5Tc TD = 0.125Tc
I
I
Procédure : 1. utiliser un PID avec TI = ∞, TD = 0. Faire varier kp jusqu'à obtenir une réponse périodique 2. noter gain critique, Kc, et la période d'oscillation, Tc, 3. calcul des paramètres à partir du tableau 4. calculer la fonction de transfert du système en B.F. et véri er si les performances sont satisfaites 5. si nécessaire, ajuster les paramètres du correcteur
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
144
Méthodes empiriques : domaine fréquentiel • Kop = gain optimal du système en boucle
ouverte qui assure la marge de gain et la marge de phase désirées • τ imax = constantes de temps maximales τ 1max τ 2max
= =
max{τ 1 , · · · , τ n } { } max {τ 1 , · · · , τ n } − {τ 1max }
correcteurs
paramètres
P : C(s) = kp
kp = Kop/k
PI : C(s) = kp(1 + T1Is )
kp = Kop/k TI =τ 1max
PID : C(s) = kp(1 + T1Is + TDs) kp = Kop/k TI =τ 1max + τ 2max TD =τ 1max τ 2max /TI
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
145
Méthodes empiriques : domaine fréquentiel Procédure de Design du correcteur P 1. déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte du système compensé : kp k K = ∏n i=1 (τ i s + 1) i=1 (τ i s + 1)
T(s) = ∏n
avec K = kpk 2. tracer le diagramme de Black de T(s) ; 3. avec l'aide de l'abaque de Nichols, déterminer le gain optimal Kop, c'est-à-dire celui qui procure au système compensé un facteur de surtension de l'ordre de 2.3 db, puis en déduire le gain kp du correcteur en utilisant la relation suivante : kp =
Kop k
4. véri er si les performances sont satisfaites. Dans le cas contraire, ajuster le gain kp pour les obtenir.
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
DESIGN DES SYSTÈMES ASSERVIS
146
Méthodes empiriques : domaine fréquentiel Procédure de Design du correcteur PI 1. déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte du système compensé : T(s) =
kp k(TI s + 1) K(TI s + 1) ∏n = ∏n TI s i=1 (τ i s + 1) s i=1 (τ i s + 1)
avec K = kTpIk . Puis déterminer la constante de temps τ 1max qui devra xer TI 2. tracer le diagramme de Black de T(s) en tenant compte de TI = τ 1max 3. avec l'aide de l'abaque de Nichols, déterminer le gain optimal Kop, puis en déduire le gain kp du correcteur en utilisant la relation suivante : kp =
KopTI k
4. véri er si les performances sont satisfaites. Dans le cas contraire, ajuster les paramètres kp et kI pour les obtenir
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147
Méthodes empiriques : domaine fréquentiel Procédure de Design du correcteur PID 1. déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte du système compensé : T(s) =
K(TI TD s2 + TI s + 1) ∏ , s ni=1 (τ i s + 1)
K=
kp k TI
2. déterminer τ 1max et τ 2max qui devront xer TI et TD : TI = TD =
τ 1max + τ 2max τ 1max τ 2max TI
3. tracer le diagramme de Black de T(s) en tenant compte de TI = τ 1max et TD = τ 2max 4. avec l'aide de l'abaque de Nichols, déterminer Kop, puis en déduire kp kp =
KopTI k
5. véri er si les performances sont satisfaites. Sinon, ajuster kp, TI et TD
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148
Design à l'aide du lieu des racines Procédure de Design du correcteur P
1. Écrire la fonction de transfert à corriger : ∏m (s + zi) G(s) = k l ∏i=1 , s nj=1(s + pj)
n+l≥m
2. obtenir l'équation caractéristique compensée 1 + KG(s) = 0 avec K = kpk
3. tracer le lieu des racines :
K=0÷∞
4. trouver l'intersection du lieu des racines avec la demi-droite d'angle θ =⇒ cosθ = ζ on note le pôle dominant sd 5. calculer Kd qui procure les pôles désirés ∏ sld ni=1 |sd + pi| Kd = ∏m j=1 |sd + zj |
6. calculer le gain du correcteur kp =
Kd k
7. véri er si les performances sont satisfaites
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149
Design à l'aide du lieu des racines Procédure de Design du correcteur PI 1. obtenir la fonction de transfert du système compensé ∏m (s + z) i=1 (s + zi ) ∏ G(s) = K , K = kp k s sl nj=1 (s + pj )
2. reporter dans le plan complexe tous les pôles et les zéros de cette fonction à l'exception du zéro (inconnu) du correcteur PI 3. Faire D1 ∩ D2 et trouver sd 4. déterminer la contribution en angle de (−z) : α=(1 + 2q)π −
m ∑
αi +
n+l+1 ∑
βi,
avecq = 0
i=1
i=1
5. approche analytique |z| = |σ| +
Im (sd ) tg(α)
6. calculer Kd par l'équation des amplitudes. 7. déduire les paramètres du correcteur Kd k = zkp
kp =
et
kI
8. véri er si les performances sont satisfaites
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150
Design à l'aide du lieu des racines Procédure de Design du correcteur PD Procédure : 1. Écrire G(s) du système compensé
∏m (s + zi) G(s) = K(s + z) l ∏i=1 , K = kDk s nj=1 (s + pj)
2. trouver sd par
ζ
et tr imposés
3. Déterminer −z par la condition d'angle α=(1 + 2q)π −
m ∑
αi +
i=1
n+l ∑
βj,
q=0
j=1
4. Calculer Kd tel que :
∏n+l
j=1 |sd + pj | Kd = ∏m+1 i=1 |sd + zi |
5. Déduire les paramètres du correcteur : kD =
Kd k
kp = kDz
6. Véri er si les performances sont satisfaites
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151
Design à l'aide du lieu des racines Procédure de Design du correcteur PID 1. Écrire G(s) du système compensé G(s) = K = kp = kI =
∏m (s + a1)(s + a2) i=1 (s + zi ) ∏ K s sl nj=1 (s + pj) kkD kD(a1 + a2) kDa1a2
2. avec ζ= cosθ et tr = σ3 =⇒ on trouve le pôle dominant sd 3. Déduire le zéro −a2 α=(1 + 2q)π −
m−1 ∑ i=1
αi +
n−1 ∑
βj ,
a2 =σ +
j=1
Im (sd ) tgα
4. Calculer Kd par l'équation des amplitudes 5. Déduire les paramètres du correcteur : kD = Kkd kI = Kkd a1a2
kp = Kkd (a1 + a2)
6. Véri er si les performances sont satisfaites
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152
Design à l'aide du lieu des racines Design du correcteur avance de phase
système compensé
système non compensé
6
Im
6
Im
6
×−p
0
×
-
×- c ×- × 1 − T1 − aT −p2 −p1
Re
?
τd
-
τ dc < τ d
1 G(s) = k s(s+p)
τ dc
-
(1+aTs) T(s) = K s(s+p)(1+Ts)
K = kpk
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153
-
Re
Design à l'aide du lieu des racines Design du correcteur avance de phase
1. à partir des spéci cations dans le domaine du temps (τ , ζ ,...), déduire l'emplacement des pôles dominants du système en B.F. 2. à partir du lieu des racines du système non compensé, ajuster le gain pour obtenir les pôles désirés. Si impossible, déterminer l'angle associé aux pôles désirés en B.F. en traçant des vecteurs à partir des pôles et zéros de la fonction de transfert en B.O. La diérence entre cet angle et 180o est l'angle qu'il faut compenser. 3. placer le pôle et le zéro du correcteur de façon à introduire l'angle requis. Par exemple, placer le zéro arbitrairement puis déterminer l'emplacement du pôle en utilisant la condition d'angle (i.e. égal à la partie réelle du pôle dominant traduisant les spéci cations) 4. déterminer la valeur du gain en B.O. et évaluer l'erreur en régime permanent. 5. véri er si les spéci cations sont satisfaisantes. Si non, ajuster l'emplacement du pôle et du zéro et recommencer.
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154
Design à l'aide du lieu des racines Procédure de Design du correcteur retard de phase ∏m j=1 (s + zj ) G(s) = k ∏n i=1 (s + pi )
C(s) = kp
s+z s+p
a 50o
si
∆φc = 45o , τ v =
10 ωn
introduire correcteur supplémentaire diminuer τ D jusqu′`a ∆φ = 45o etnoter τ v
7. Calculer les gains kp =
τn + τv τ nτ v 1 , kD = , kI = τi τi τi
8. Tracer Bode de Gc(s) et véri er MP et MG
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162
Design à l'aide du diagramme de Bode Design du correcteur avance de phase Procédure : 1. Écrire Gc(s) du système compensé : Gc(s) = C(s)G(s) = K
1 + aTs G(s), K = kpk, a > 1 1 + Ts
2. Utiliser KG(s) et trouver 3. Déduire kp =
K ≡ e(∞)
K k
4. Déterminer MG, MP de KG(s) 5. Estimer la marge de phase
ϕ
manquante
6. Calculer :
a=
7. Choisir
ωm
tel que gain (KG(s)) = −20log10 a
8. déduire
T = ω m1√a
1+sinϕm 1−sinϕm
,
ϕ = ϕm
√
9. Construire Bode de Gc(s) et véri er les spéci cations. Si nécessaire, réestimer ϕm et recommencer
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163
Design à l'aide du diagramme de Bode Design du correcteur retard de phase Procédure : 1. Écrire Gc(s) du système compensé : Gc(s) = C(s)G(s) = K
1 + aTs G(s), K = kpk, a < 1 1 + Ts
2. Utiliser KG(s) et trouver 3. Déduire kp =
K ≡ e(∞)
K k
4. Construire Bode de KG(s) 5. Déterminer
ω
correspondant à MP désirée
6. Déterminer m′ db, et ω′ correspondant, requis pour ramener la courbe de gain à zéro m′
7. calculer a = 10− 20
8. Choisir le paramètre T tel que : 1 ω′ = aT 10
=⇒
T=
10 ω′a
9. Construire Bode et évaluer les spéci cations
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164
CHAPITRE 8
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
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TITRE DU CHAPITRE
165
Objectifs : • Assimiler les méthodes d'analyse et de
conception des systèmes linéaires basées sur le modèle d'état • Manipuler les techniques de l'algèbre linéaire pour l'analyse et la conception des systèmes Sommaire : • Rappel sur la représentation interne • Formes canoniques de la représentation
interne
• Résolution du modèle d'état • Transformation du modèle d'état • Stabilité, commandabilité et observabilité • Commande par retour d'état • Design de l'observateur
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
166
Rappel sur la représentation interne : Équation diérentielle générale : dn dn−1 y(t) + an−1 n−1 y(t) + · · · + a0 y(t) dtn dt dm = bm m u(t) + · · · + b0 u(t) dt
Fonction de transfert générale : Y(s) bm sm + bm−1 sm−1 + · · ·b0 G(s) = = n , U(s) s + an−1 sn−1 + · · · + a0
m≤n
Forme générale du modèle d'état : •
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(0) = x0 -
u(t)
•
se -
B
x +
-
~ + 6
D ∫
A
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x(t)
es -
C
+ ? y(t) + -
~
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
167
Rappel sur la représentation interne : Exemple avec m = 0 et n = 3 : G(s) =
Y(s) 1 = U(s) (s + 1)(s + 2)(s + 3)
Équation diérentielle associée : d3 d2 d y(t) + 6 y(t) + 11 y(t) + 6y(t) = u(t) dt3 dt2 dt
Variables d'état : • x1 = y x1 = x2 • • x2 =y =⇒ x2 = x3 •• • x3 = −6 x1 − 11 x2 − 6 x3 + u x3 = y
Modèle d'état :
0 1 0 0 • x (t) = 0 0 1 x(t) + 0 u(t) −6 −11 −6 1 [ ] y(t) = 1 0 0 x(t)
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
168
Rappel sur la représentation interne : Exemple avec m = 2 et n = 4 : Y(s) (s + 4)(s + 6) W(s) Y(s) = = × U(s) s(s + 1)(s + 2)(s + 3) U(s) W(s) 1 G(s) = × (s + 4)(s + 6) s(s + 1)(s + 2)(s + 3) G(s) =
Variables d'état associées à W(s)/U(s) : x1 x2 x3 x4
•
=w x1 • • =w x2 •• =⇒ • =w x3 ••• • =w x4
= = = =
x2 x3 x4 −6 x2 − 11 x3 − 6 x4 + u
Modèle d'état :
0 1 0 0 0 0 • 1 0 x(t) + x (t) = 0 0 0 1 0 −6 −11 −6
0 0 u(t) 0 1
Équation de la sortie associée à Y(s)/W(s) : y(t) =
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[
] 24 10 1 0 x(t)
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
169
Rappel sur la représentation interne : Exemple avec m = 3 et n = 3 : G(s) Y(s) U(s) Y(s) Y(s) U(s)
Y(s) 3s3 + 2s2 + 5s + 2 = = 3 U(s) s + 2s2 + s + 1 −4s2 + 2s − 1 = 3 + 3 s + 2s2 + s + 1 −4s2 + 2s − 1 = 3U(s) + 3 U(s) = 3U(s) + Y(s) s + 2s2 + s + 1 −4s2 + 2s − 1 W(s) Y(s) = 3 = × s + 2s2 + s + 1 U(s) W(s)
Variables d'état associées à W(s)/U(s) : •
x1 • x1 = w x2 • x2 =w =⇒ x• 3 •• x3 =w y(t) y(t)
= = = = =
x2 x3 − x1 − x2 − 2 x 3 + u − x1 + 2 x 2 − 4 x3 y(t) + 3 u(t)
Modèle d'état :
0 1 0 0 • x (t) = 0 0 1 x(t) + 0 u(t) −1 −1 −2 1 [ ] y(t) = −1 2 −4 x(t) + 3 u(t)
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
170
Formes canoniques de la représentation interne Forme commandable •
x (t) = Ac x(t) + Bc u(t) y(t) = Cc x(t) + Dc u(t)
Ac
0 1 ... 0 0 0 0 1 ... 0 .. . . . ... .. .. .. = . 0 0 ... 0 1 −a0 −a1 . . . −an−2 −an−1
,
0 0 Bc = ... 0 1
[ ] Cc = b0 , · · · , bm , 0, · · · , 0 0 < m < n =⇒ Dc = [0] [ ] { Cc = b0 − a0 bn , · · · , bn−1 − an−1 bn m = n =⇒ Dc = [bn ] {
bn
+ - } +6
+ - } +6
+ - } +6
bn−1 − an−1 bn
bn−2 − an−2 bn
b1 − a1 bn
b0 − a0 bn
6
6
6
6
6
u
rd - } 6
1 s
rd ?
xn
an ? }
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
-
1 s
rd ?
xn−1
an−1 ? }
-
x2
rd ?
+ - } - y +6
1 s
a1
rd ?
x1
a0
? }
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
171
Formes canoniques de la représentation interne Forme observable •
x (t) = Ao x(t) + Bo u(t) y(t) = Co x(t)
−an−1 −a n−2 .. Ao = . −a1 −a0 Co =
[
0 0 .. . Bo = bm .. . b0
1 ... 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... , 0 ... 0 1 0 ... 0 0
1, 0 · · · , 0
]
e s
e s
e s
?
?
?
b0 − a0 bn
b1 − a1 bn
u
+
? ~ 6
1 s
1 s
x2
a1
an
6 e s
6 e s
6 e s
EMI-RABAT
bn
+
? - ~ xn−1 6
a0
K. BENJELLOUN
?
bn−1 − an−1 bn
+
? - ~ x1 6
+
1 s
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
? e s ~ - y
xn
172
Formes canoniques de la représentation interne Forme observable Relation de base : [
] 1 1[ −an−1Y(s)+ −an−2Y(s) + . . . s s ] ] 1[ + . . . + −a0Y(s)+b0U(s) s
Y(s) =
Variables d'état : Xn(s) = Xn−1(s) =
... Xm(s) =
... X1(s) =
1 [−a0Y(s)+b0U(s)] s 1 [−a1Y(s)+b1U(s)+Xn(s)] s 1 [−amY(s)+bmU(s)+Xm+1(s)] s 1 [−an−1Y(s)+X2(s)] s
Y(s) = X1(s)
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
173
Formes canoniques de la représentation interne Forme de Jordan Cas de pôles simples : G(s) =
k1 kn Y(s) + ... + = s + p1 s + pn U(s)
Relations fondamentales : Xi (s) =
ki U(s), i = 1, 2, . . . , n (s + pi )
•
xi (t) = −pi xi (t) + ki u(t)
Modèle d'état :
−p1 0 . . . 0 0 0 −p2 . . . 0 0 • . . . ... .. .. .. .. x = . 0 . . . −pn−1 0 0 ... 0 0 0 −pn [ ] y = 1, . . . , 1 x
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k1 k 2 x + ... u kn−1 kn
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
174
Formes canoniques de la représentation interne Forme de Jordan Cas de pôles multiples : G(s) =
k2 kn Y(s) k1 + + . . . + = U(s) (s + p)n (s + p)n−1 (s + p)
Relations fondamentales : 1 1 U(s) = X2(s) (s + p)n (s + p) 1 1 X2(s) = U(s) = X3(s) (s + p)n−1 (s + p) X1(s) =
...
1 1 U(s) = Xn(s) (s + p) (s + p)n−(n−2) 1 Xn(s) = U(s) s+p
Xn−1(s) =
Modèle d'état :
−p 1 0 −p • ... x (t) = ... 0 0 0 0 [ y(t) = k1, . . . , EMI-RABAT K. BENJELLOUN
... 0 1 ...
0 0 0 0 ... ... ... x(t) + ... u(t) 0 . . . −p 1 . . . 0 −p 1 ] kn x(t)
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
175
Passage de la représentation interne à la représentation externe Représentation interne : •
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(0) = x0
Transformée de Laplace : sX(s) − x0 = A X(s) + B U(s) Y(s) = C X(s) + D U(s) [sI − A] X(s) = x0 + B U(s) Y(s) = C X(s) + D U(s) X(s) = [sI − A]−1 x0 + [sI − A]−1B U(s) Y(s) = C X(s) + D U(s)
Représentation externe : G(s) =
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Y(s) = C [sI − A]−1 B + D, U(s)
x0 = 0
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
176
Résolution du modèle d'état Système autonome modèle d'état
équation diérentielle
x (t) = A x(t) y(t) = C x(t) x(0) = x0 At x(t) = [ e x0
x (t) = a x(t) x(0) = x0
•
système
•
]
x(t) = eat x0
solution x(t) = L −1 (sI − A)−1 x0 Matrice de transition : x(t) = x(t) =
[ ] L −1 (sI − A)−1 x0 = φ(t) x0 eAt x0 = φ(t) x0 −1
[
(sI − A)
−1
φ(t)
= L
φ(t)
= eAt = I + At +
]
1 2 2 1 3 3 A t + A t + ... 2! 3!
Exemple : ] [ ] 0 1 0 x (t) = x(t) + u(t) 0 −1 1 [ ] y(t) = 5 1 x(t) x(0) = x0 •
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[
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
177
Résolution du modèle d'état Solution globale Modèle d'état du système : •
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(0) = x0
Transformée de Laplace : sX(s) − x0 = A X(s) + B U(s) X(s) = [sI − A]−1 x0 + [sI − A]−1B U(s)
Solution à t0 = 0 ∫
t
φ(t − τ )Bu(τ )dτ ,
x(t) = φ(t) x0 +
t≥0
0
Solution à t0 ̸= 0 ∫
x(t) =
t
φ(t − t0 ) x(t0 ) +
φ(t − τ )Bu(τ )dτ t0
y(t) = C x(t) + D u(t),
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t≥0
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
178
Transformation du modèle d'état Modèle d'état du système : •
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(0) = x0
Transformation T : x(t) = T z(t)
Système transformé : •
T z (t) = AT z(t) + B u(t) y(t) = CT z(t) + D u(t) x0 = T z 0
Système transformé si T−1 existe : A = T−1AT z (t) = A z(t) + B u(t) B = T−1B y(t) = C z(t) + D u(t) ⇐⇒ C = CT z(0) = z0 D=D •
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
179
Transformation du modèle d'état Calcul de T Valeurs propres distinctes : [
T = v1, . . . , vn
]
vi, i = 1, . . . , n = Vecteur propre associé à la valeur propre λi de la matrice A
Matrice A transformée : A=
λ1
...
... 0
...
0 ...
...
= T−1 AT
λn
Calcul des valeurs et vecteurs propres : λi λi v i
⇐⇒ det [λI − A] = 0 = Avi i = 1, 2, . . . , n
Exemple : ] [ ] 0 1 0 x (t) = x(t) + u(t) −3 −4 1 [ ] y(t) = 4 1 x(t) x(0) = x0 •
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[
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
180
Transformation du modèle d'état Calcul de T Valeurs propres multiples : = Av1 = Av2 = Av3
λv1 v1 + λv2 v2 + λv3
...
= Avm
vm−1 + λvm
Exemple : [
] [ ] 0 1 0 x (t) = x(t) + u(t) −1 −2 1 [ ] y(t) = 4 1 x(t) x(0) = x0 •
Matrice de Vandermonde :
1
1
λ2 λ1 T = λ21 λ22 .. ... . λn−1 λn−1 1 2
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... ... ... ... ... ...
λn
... ...
λn−1 n
...
...
1 λ2n
...
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
181
Transformation du modèle d'état Solution globale
système original
système transformé
•
•
x(t) = φ(t) x0
z(t) = Φ(t) z0 −1
x (t) = A x(t) + B u(t) z (t) = A z(t) + B u(t) y(t) = C x(t) y(t) = C z(t) x(0) = x0 z(0) = z0 x(t) = T z(t) x(0) = T z(0) = T z0
z(t) = T x(t) z(0) = T−1 x(0) = T−1 x0
Relation entre les matrices de transition : Φ(t) φ(t)
= =
T−1 φ(t) T T Φ(t) T−1
Exemple : ] [ 1] −3 0 − z (t) = x(t) + 12 u(t) 0 −1 2 [ ] y(t) = 1 1 z(t) z(0) = z0 •
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[
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
182
Stabilité au sens de Lyapunov Si deux matrices symétriques dé nies positives P et Q véri ent l'équation de Lyapunov : ATP + PA = −Q • alors le système x (t) = A x(t) est stable
au sens de Lyapunov. Si le système est stable, alors pour toute matrice Q symétrique et dé nie positive, l'équation de Lyapunov a une solution unique P symétrique et dé nie positive. Procédure : 1. Prendre Q quelconque dé nie positive. 2. Résoudre l'équation de Lyapunov : ATP + PA = −Q
3. Déduire la matrice P 4. Tester si P est symétrique dé nie positive : si oui, le système est stable si non, le système est instable
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
183
Commandabilité Dé nition : Un système d'ordre n est commandable si la matrice de commandabilité C est de rang n :
[ ] rang C = rang B, AB, . . . , An−1B = n
−1 A1 = 0 0 [ B1 = [ 1 1 C1 = 1 1 +
-
} 6−
1 s
0 0 −2 0 0 −3 ]T 1] 1
x1
rd-
−1 A2 = 0 0 [ B2 = [ 1 1 C2 = 1 2 + -
1
} 6−
1
u(t)
+
dr -
} 6−
1 s
+ } 6−
x2
rd-
? + } 1 - 6
1 s
x3
rd- 1
commandable EMI-RABAT
x1
rd- 1
y(t)
u(t)
+
dr -
} 6−
1 s
x2
rd-
? + } 2 - 6
y(t)
2
3
K. BENJELLOUN
1 s
1
2 -
0 0 −2 0 0 −3 ]T 0] 1
-
1 s
x3
rd-
1
−3
non commandable
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
184
Observabilité Dé nition : Un système d'ordre n est observable si la matrice d'observabilité O est de rang n : [
rang O = rang C , A C , . . . , (A
−1 A1 = 0 0 [ B1 = [ 1 1 C1 = 1 2 -
+ }1 - 6−
T
T
T
0 0 −2 0 0 −3 ]T 1] 1
1 s
n−1 T
−1 A2 = 0 0 [ B2 = [ 1 2 C2 = 1 1
x1
rd- 1
-
+ }1 - 6−
1 u
rd -
+ }1 - 6−
1 s
+ }1 - 6−
1 s
3
observable EMI-RABAT K. BENJELLOUN
) C
]
= n
0 0 −2 0 0 −3 ]T 3] 0
1 s
x1
rd-
1
1 ?+ rd- 2- } 6 y
x2
u
rd -
+ }2 - 6−
2 -
T
1 s
x2
rd-
? +} 1 - y
2 x3
rd- 1
-
+ }3 - 6−
1 s
x3
3
non observable
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
185
Commande par retour d'état Loi de commande : U(t) = −K X(t) + N R(t)
Système corrigé : •
X = [A − BK] X + BN R Y = [C − DK] X + DN R -
r(t) -
N
+ u(t) rd- { 6−
•
B
x + - {-
D ∫
6+
A K
xrd-
C
+ ? + y(t) - {
rd
Détermination de la matrice des gains : det [sI − A + BK] =
n ∏
(s + si )
i=1 n
det [sI − A + BK] = s + an−1 sn−1 + · · · + a0 −si = pôles désirés i = 1, 2, .., n K = matrice des gains
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
186
Commande par retour d'état Calcul de ≪ K ≫ : cas scalaire Équation caractéristique désirée : ∆(s) = sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0
Théorème de Cayley-Hamilton : ∆(A) = An + an−1 An−1 + · · · + a0 I
Formule d'Ackermann : [ K=
]
0, 0, ..., 0, 1 C −1 ∆(A)
Procédure pour éviter le calcul de C −1 : 1 : trouver la matrice dT tel que : dT C
=
[
0, · · · , 0, 0, 1
]
dT = (d1 , · · · , dn )
2 : calcul de la matrice K : K = dT ∆(A)
Exemple :
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
] [ ] 0 1 0 x (t) = x(t) + u(t) −2 −3 1 [ ] y(t) = 1 0 x(t) •
[
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
187
Commande par retour d'état Calcul de ≪ K ≫ : cas multivariable Procédure : Transformation :
q1
[ ] K = q KT = ... K1, · · · , Kn qm qi
constantes arbitraires,
i = 1, · · · , m
Équation caractéristique : [ ] T det sI − A + Bq K = 0
Formule d'Ackermann : K = C =
Exemple :
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
[
[
0, 0, · · · , 0, 1
]
C −1 ∆(A)
Bq, ABq, · · · , An−1Bq
]
] [ ] 0 1 1 0 x (t) = x(t) + u(t) −2 −3 0 1 [ ] y(t) = 1 0 x(t) •
[
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
188
Commande par retour d'état Calcul de ≪ K ≫ : forme commandable Système sous forme commandable : •
x = A c x + Bc u y = Cc x
•
x = [Ac − BcK] x + Bc N r y = Cc x
Polynômes caractéristiques corrigé et désiré : ∆c ∆d
= sn + (an−1 + kn)sn−1 + . . . + (a1 + k2)s + (a0 + k1) = sn + dn−1sn−1 + . . . + d1s + d0
Gains de la matrice de retour d'état : ki+1 = di − ai
i = 0, 1, . . . , n − 1
Transformation de commandabilité : x(t) = T z(t) avec T = CM det [sI − A] = sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0 an−1 an−2 . . . a1 1 a n−2 an−3 . . . 1 0 .. ... . . . ... ... . M = .. . . . a1 . . . .. .. a1 1 ... 0 0 1 0 ... 0 0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
189
Commande par retour d'état et intégrale Kp 6
•
x +- m z 6+
u +- m z B 6− ∼ x
A
∫
r(t)-
N +-
z m
• ∼ x (t) = −C x(t) + N r(t) ∼ u(t) = Kp x (t)−K x(t)
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) ⇓ •
x •
∼ x
⇓
]
[ =
cr
−
•
[
C
y(t)
cr-
K
•
∼ x
6
xcr -
∫
⇓
⇓
⇓
A − BK BKp −C 0 [ y(t) =
C 0
⇓
][ ]
x
∼ x
x
∼ x
⇓
]
[ +
⇓
]
0 r(t) N
Équation caractéristique : [ [ ]] A − BK BKp det sI − =0 −C 0
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
190
Design de l'observateur Cas scalaire Système original
Système estimé •
•
∧ x (t) = A ∧ y (t) = C
x (t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t)
∧ x (t) + B u(t) ∧ x (t)
Erreur d'estimation sur les états : [
•
∧ x (t) ˙ x(t)−
=
] ∧ A x(t)− x (t)
•
e (t) = A e(t)
Estimation de la sortie : •
∧ x (t)
=
∧ A x (t) + B u(t) +
[ L
∧ y(t) − C x (t)
]
•
x (t) = A x(t) + B u(t) + L [y − C x] •
Erreur d'estimation :
e (t) = [A − LC] e(t)
Calcul de L : det [sI − A + LC] = [
L = l1 , · · · , ln T
EMI-RABAT K. BENJELLOUN
]
=
n ∏ i=1 [
(s + si)
0, · · · , 0, 1
]
O −1 ∆(A)
REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
191
Design de l'observateur Cas multivariable Erreur d'estimation : •
e (t) = [A − LC] e(t) e(t) = x(t)− ∧x (t) L = (n × m)
Choix de la matrice L :
l1
] [ L = ... q1, · · · , qn = lqT ln qi = constantes arbitraires
Calcul de la matrice L :
[ ] det [sI − A + LC] = det sI − A + lqT C n ∏ = (s + si) i=1
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192
Design de l'observateur Système sous forme observable Équation caractéristique : det [sI − Ao + L Co] = 0, L = (n × 1), Co = (1 × n)
−(an−1 + l1) −(a n−2 + l2 ) ... Ao − L Co = −(a1 + ln−1) −(a0 + ln)
1 ... 0 1 ... . . . 1 ... 0 ...
0 0 ... 0 ... ... 0 1 0 0
Polynômes caractéristiques avec observateur ∆o (s) ∆d (s)
∆o (s)
et désiré
∆d (s)
:
= sn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0 = sn + dn−1sn−1 + . . . + d1s + d0
Gains de l'observateur d'état : li = dn−i − an−i
i =, 1, . . . , n
Transformation d'observabilité : x(t) = T z(t) T = [MO]−1
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REPRÉSENTATION INTERNE ANALYSE ET DESIGN
193
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