REGRESSAO LINEAR Modelos Resolvidos

Faculdade de Engenharia São Paulo BM3 – Cálculo Numérico Regressão Linear (MMQ)

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Regressão Linear Formulário: Reta dos Mínimos Quadrados:  y = a0

+

a1 ⋅ x

sendo ao e a1 obtidos a partir da resolução do sistema:  N   N     N ⋅ a 0 + ∑ xi ⋅ a 1 = ∑ yi i =1 i =1     N   N   N   ∑ x ⋅ a + ∑ x 2 ⋅ a = ∑ ( x ⋅ y ) i i i i 0 1  i =1 i =1 i =1  

EXERCÍCIO 1 A resistência à compressão do concreto é fortemente influenciada pela relação água/cimento da mistura. Segundo a LEI DE ABRAMS (1918), pode-se expressar a resistência resistência à compressão do concreto em função da quantidade de água por:  A  f c =  B x onde A e B são constantes do material, f c é a resistência à compressão do concreto (expressa em megapascal) e  x é a relação água/cimento (expressa em litros/kg). A partir dos dados tabelados, obter a Reta dos Método dos Mínimos Quadrados. Operar com precisão da ordem do milésimo milésimo (10 −3).  x (litros/kg)

0,40

0,48

0,56

0,64

log f  c  c (MPa)

1,556

1,456

1,364

1,281

RESOLUÇÃO

Y  = 2,002 − 1,131 ⋅ x  xi

2

 xi

Y i = log yi

0,400 0,480 0,560 0,640

1,556 1,456 1,364 1,281

0,160 0,230 0,314 0,410

0,623 0,699 0,764 0,820

2,080

5,657

1,114

2,905

 4 ⋅ a0 + 2,080 ⋅ a1 = 5,657   2,080 ⋅ a0 + 1,114 ⋅ a1 = 2,905

→

 xi ⋅ Y i

2,002

a0

=

a1

=−

1,131

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EXERCÍCIO 2  A

quantidade, em massa, de agregados de uma mistura do concreto é obtida por meio da relação água/cimento para famílias de concretos de mesmo índice de consistência. Segundo a LEI DE LYSE (1932), pode-se expressar a relação em massa seca de agregados (areia e brita) em função da quantidade de água por: m =  D + E ⋅ x

onde  D e  E   são constantes do material, m  é a massa seca de agregados em relação à massa de cimento (expressa em kg/kg) e  x é a relação água/cimento (expressa em litros/kg). A partir dos dados tabelados, obter pelo Método dos Mínimos Quadrados os valores das constantes  D e  E . Operar com precisão da ordem do milésimo (10 −3).  x (litros/kg)

0,40

0,48

0,56

0,64

m (kg/kg)

4

5

6

7

RESOLUÇÃO m = D + E ⋅ x

 y

→

 y

=

 D = a0

a0 + a1 ⋅ x

 E  = a1

0,920 + 12,346 ⋅ x

= −

 yi

0,400 0,480 0,560 0,640

4,000 5,000 6,000 7,000

0,160 0,230 0,314 0,410

1,600 2,400 3,360 4,480

2,080

22,000

1,114

11,840

 4 ⋅ a0 + 2,080 ⋅ a1 = 22,000   2,080 ⋅ a0 + 1,114 ⋅ a1 = 11,840

→

 xi

2

 xi

a0

= −

a1

=

0,920

12,346

 xi ⋅ yi

→

 D = a0  E  = a1

0,920

= − =

12,346

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EXERCÍCIO 3 O consumo de cimento de uma mistura do concreto é

influenciado pela quantidade, em massa, de agregados da mistura. Segundo a LEI DE KIRILOS (1974), pode-se expressar o consumo de cimento em função da massa seca de agregados (areia e brita) por: C  =

1000 F + G ⋅ m

onde F e G são constantes do material, C  é o consumo de cimento por metro cúbico de concreto (expresso em kg/m3) e m  é a massa seca de agregados em relação à massa de cimento (expressa em kg/kg). A partir dos dados tabelados, obter pelo Método dos Mínimos Quadrados os valores das constantes F  e G. Operar com precisão da ordem do milésimo (10−3). m (kg/kg)

4

5

6

7

C (kg/m3)

442

368

315

275

RESOLUÇÃO C 

1000

=

1

→

1000

F  + G ⋅ m

C 

=

F + G ⋅ m

 y

→

=

F + G ⋅ x  y

 y

=

a0 + a1 ⋅ x

=

1000 C 

F  = a0 G

 y  xi

 yi

=

=

C  =

0,429 + 0,458 ⋅ x

1000 C 

 xi

2

=

a1

1000 0, 429 + 0,458 ⋅ m

 xi ⋅ yi

m

C 

4 5 6 7

442 368 315 275

4,000 5,000 6,000 7,000

2,262 2,717 3,175 3,636

16,000 25,000 36,000 49,000

9,050 13,587 19,048 25,455

22,000

11,791

126,000

67,139

 4 ⋅ a0 + 22,000 ⋅ a1 = 11,791   22,000 ⋅ a0 + 126,000 ⋅ a1 = 67,139

→

a0

=

a1

=

0,429 0,458

→

F  = a0

=

0,429

G = a1

=

0,458

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EXERCÍCIO 4 A tabela abaixo indica o crescimento populacional de uma cidade situada na Região Norte do Brasil no século passado: Ano (t )* População (logP) (em milhares)

40

50

51

52

53

54

55

56

2,2601

2,3692

2,3747

2,3802

2,3909

2,4014

2,4200

2,4393

* Ano de referência: 1950.

Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados (regressão) ajustar a lei linear aos dados tabelados. Trabalhar com quatro casas decimais.

RESOLUÇÃO Y  = a 0

8 ⋅ a0 + 411 ⋅ a1 = 19,0358      411 ⋅ a0 + 21291 ⋅ a1 = 979,8382

+

a1 ⋅ x

 xi

Y i

 xi2

 x i ⋅ Y i

40

2,2601

1600

90,4040

50

2,3692

2500

118,4600

51

2,3747

2601

121,1097

52

2,3802

2704

123,7704

53

2,3909

2809

126,7177

54

2,4014

2916

129,6756

55

2,4200

3025

133,1000

56

2,4393

3136

136,6008

411

19,0358

21291

979,8382

→

a0 a1

= =

1,8321 0,0107