Regresión lineal

GIMNASIO LOS PINOS ÁREA DE MATEMÁTICAS ESTADISTICA

A continuación encontrará una breve explicación del procedimiento explicado y trabajado en clase acerca de la regresión lineal. Encontrara un ejemplo de dicho procedimiento y una serie de ejercicios por medio de los cualesse espera realizar el cierre de la temática. El taller será entregado en día indicado y tendrá como complemento un quiz de control del mismo REGRESION LINEAL En la práctica, con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de variables, cuando se sabe que existe alguna relación inherente entre ellas. Por ejemplo, en un caso industrial se puede saber que el contenido de alquitrán en el producto de salida de un proceso químico está relacionado con la temperatura con la que se lleva a cabo. Puede ser interesante desarrollar un método de predicción, esto es, un procedimiento para estimar el contenido de alquitrán para varios niveles de temperatura tomados de información experimental. El aspecto estadístico del problema consiste entonces en lograr la mejor estimación de la relación entre las variables. Para la mayoría de las aplicaciones, existe una clara distinción entre las variables en cuanto a su papel dentro del proceso experimental. Muy a menudo se tiene una sola variable dependiente o respuesta Y, la cual no se controla en el experimento. Esta respuesta depende de una variable independiente o de regresión X. Generalmente en el análisis de regresión se utiliza una línea recta por su simplicidad en el cálculo matemático. El modelo matemático que describe una relación lineal cuando se estima el valor de y en función de x está dada así: y=bx+c ó y=Bx+C ó y=β1x+β0. yes la variable que se va a estimar en función de otra variable (x) que se supone conocida. B = b = β1 es la pendiente de la recta, C = c = β0 corresponde al coeficiente de posición u

origen en la ordenada. De acuerdo a la ecuación general de la recta, en la cual tenemos dos incógnitas (b y c), requiere para su solución de un sistema de dos ecuaciones normales.

(1)1 y=bx+nc (2) xy=bx2+cx

EJEMPLO: Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio año (x) y en los exámenes finales (y) fueron los siguientes:

X y a. b.

77 82

50 66

71 78

72 34

81 47

94 85

96 99

99 99

67 68

Estime los coeficientes de regresión y la línea de regresión lineal. Estime la calificación del examen final de un estudiante que obtuvo una calificación de 85 en el reporte de medio año.

1Sistema de ecuaciones de 2x2 se soluciona por los métodos de igualación, reducción, sustitución y determinantes.

Solución: a. Para hallar los coeficientes de regresión se debe solucionar el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos vistos, reducción, igualación, sustitución o determinantes.

∑

X 77 50 71 72 81 94 96 99

Y 82 66 78 34 47 85 99 99

67 707

68 658

x^2 5929 2500 5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557

y^2 6724 4356 6084 1156 2209 7225 9801 9801 4624 51980

Solucionando por reducción obtendremos los coeficientes de regresión b y c

658=707b+9c (1) 53258=57557b+707c 2 Multiplicando (1) por -707 y (2) por 9 obtenemos

-465206=-499849b-6363c (3) 479322=518013b+6363c 4 Reduciendo el sistema obtenemos:

479322=518013b+6363c 4 -465206=-499849b-6363c 3 14116=18164b5 Despejando b de (5);

b=1411618164 b=0.77 71 Reemplazando b en (1); para hallar el valor de c

658=707(0.7771)+9c 658=549.4097+707c Despejando c;

c=658-549.4097707 c=12.06 56

Por lo tanto la línea de regresión y=bx+c es: y=0.7771x+12.0656 (6).

xy 6314 3300 5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258

b. Para estimar la calificación del examen final de un estudiante teniendo en cuenta la calificación del reporte de medio año reemplazamos 85 en (6)

y=0.777185+12.0656 y=66.0535+12.0656 y=78.1191

El siguiente diagrama de dispersión muestra el comportamiento de los datos recolectados y la línea de regresión de la situación planteada.

ACTIVIDAD 1. El estudio "Development of LIFTEST, A Dynamic Technique to Assess Individual Capability to Lift Material” se llevó a cabo, en 1982 en la Virginia Polytechnic Instituto and State University, con objeto de determinar si ciertas mediciones de la resistencia estática del brazo tenían alguna influencia en las características de la "elevación dinámica" de un individuo. Veinticinco individuos se sometieron a pruebas de resistencia y después se les pidió que llevaran a cabo una prueba de levantamiento de pesas en la cual debían levantar el peso en forma dinámica por encima de la cabeza. Los datos fueron los siguientes:

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Levantamien Resistencia to dinámico, del brazo, x y 17.3 71.7 19.3 48.3 19.5 88.3 19.7 75.0 22.9 91.7 23.1 100.0 26.4 73.3 26.8 65.0 27.6 75.0 28.1 88.3 28.2 68.3 28.7 96.7

Individuo 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Resistencia Levantamient del brazo, x o dinámico, y 29.0 76.7 29.6 78.3 29.9 60.0 29.9 71.7 30.3 85,0 31,3 85.0 36.0 88.3 39.5 100.0 40.4 100.0 44.3 100.0 44.6 91.7 50.4 100.0 55.9 71.7

a. b.

Estime los valores de los coeficientes de regresión para la curva de regresión lineal. Determine la estimación puntual de 30.

2. Se llevó a cabo un estudio acerca de la cantidad de azúcar refinada mediante un cierto proceso a varias temperaturas diferentes. Los datos se codificaron y registraron en el siguiente cuadro. Temperatura, x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 a.

b.

Azúcar transformada y 8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10.2 9.3 9.2 10.5

Determine la línea de regresión lineal. Calcule la cantidad promedio de azúcar refinada que se produce cuando la temperatura codificada es 1.75

3. En un tipo de espécimen metálico de prueba, la resistencia normal está funcionalmente relacionada con la resistencia de corte. El siguiente es un conjunto de datos experimentales codificados para las dos variables: Resistencia normal 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6

a. b.

Resistencia de corte 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9

Determine la línea de regresión. Calcule la resistencia de corte para un esfuerzo normal de 24.5 kilogramos por centímetro cuadrado.

4. Las cantidades de un compuesto químico y, que se disuelven en 100 gramos de agua a diferentes temperaturas, x, se registraron como sigue: X (C°) 0 15 30 45 60 75 a. b.

c.

8 12 25 31 44 48

Y gramos 6 10 21 33 39 51

8 14 24 28 42 44

Determine la ecuación de la línea de regresión. Grafique la recta en un diagrama de dispersión. Estime la cantidad de compuesto químico que se disuelve en 100 gramos de agua a 50° C.

5. Se aplica una prueba de ubicación de matemáticas a todos los alumnos de primer grado que están

ingresando a una institución de enseñanza superior. No se admiten a los que obtienen una calificación inferior a 35 en el curso regular de matemáticas y se les coloca en una clase de regularización. Las calificaciones del examen de ubicación y del examen final de 20 estudiantes que tomaron el curso regular fueron las siguientes

Examen de ubicación 50 35 35 40 55 65 35 60 90 35 a.

b. c.

d.

Calificación del curso 53 41 61 56 68 36 11 70 79 59

Examen de ubicación 90 80 60 60 60 40 55 50 65 50

Calificación del curso 54 91 48 71 71 47 53 68 57 79

Dibuje un diagrama de dispersión. Encuentre la ecuación de la línea de regresión para pronosticar las calificaciones del curso a partir de las pruebas de ubicación. Grafique la línea en el diagrama de dispersión. Si 60 es la calificación mínima de pase, ¿abajo de qué calificación obtenida en la prueba de ubicación se les debe negar la admisión a este curso regular a los futuros estudiantes?

6. Un comerciante al menudeo llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre los gastos de publicidad semanal y las ventas. Se obtuvieron los siguientes datos:

a.

b. c.

Costos de publicidad ($)

Ventas ($)

40 20 25 20 30 50 40 20 50 40 25 50

385 400 395 365 475 440 490 420 560 525 480 510

Dibuje un diagrama de dispersión. Encuentre la ecuación de la línea de regresión para pronosticar las ventas semanales resultantes de los gastos de publicidad. Estime las ventas semanales cuando los gastos de publicidad ascienden a $35.

7. Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre la calificación obtenida en clase en el nivel de secundaria y el promedio puntual de calificación al final del primer año de bachillerato: Prom. puntual Decíl de Prom. puntual de calificación calificación, x de calificación y y 1.93 3 1.40 2.55 2 1.45 1.72 1 1.72 2.48 1 3.80 2.87 1 2.13 1.87 3 1.81 1.34 4 2.33 3.03 1 2.53 2.54 2 2.04 2.34 2 3.20

Decíl de calificación, x 8 4 8 1 5 6 1 1 2 2

a.

Encuentre la ecuación de la línea de regresión para pronosticar el promedio puntual de calificación de alumnos del primer año de bachillerato provenientes de escuela secundaria.

b.

Pronostique el promedio puntual de calificación para una estudiante de primer año cuya calificación en secundaria está en el tercer decil de su clase de graduación.