regresi linier berganda

BAB III. REGRESI LINIER BERGANDA DUA VARIABEL BEBAS 3.1 Pendahuluan Dalam regresi linier sederhana telah dipelajari analisis regresi yang terdiri atas dua variabel. Dalam pembicaraan tersebut di mana analisisnya terdiri atas sebuah variabel bebas X (independent (independent variable) variable) sering disebut variabel X atau prediktor, dan sebuah variabel tak bebas Y (dependent (dependent variable) variable) atau variabel Y atau variabel penjelaskan. Tentu dapat dengan mudah dimengerti bahwa, ada juga analisis regresi di mana terdapat lebih dari dua variabel, yaitu analisis regresi di mana terdapat satu variabel tergantung (variabel Y) yang diterangkan atau dijelaskan oleh lebih dari satu variabel lain yang menerangkan (variabel X) atau analisis regresi di mana terdapat lebih dari satu variabel yang tergantung (variabel Y) yang diterangkan atau dijelaskan oleh lebih dari satu variabel lain yang menerangkan (variabel X) yang disebut dengan analisis regresi berganda multivariat atau analisis ragam multi variat (multivariate (multivariate multiple regression). regression).  Analisis regresi dengan satu variabel diterangkan atau variabel Y oleh lebih dari sebuah variabel yang lain atau variabel bebas X, maka analisis yang demikian ini dinamakan analisis regresi majemuk atau analisis regresi berganda atau analisis regresi darab. Sangatlah jelas bahwa dalam permasalahan ini, tidak cocok lagi memakai perkataan atau istilah garis regresi, karena fungsi linier yang terdiri dari tiga buah variabel, sudah tidak berbentuk grafik garis lagi, melainkan berbentuk bidang atau bentuk yang lain. Selanjutnya, jika variabel bebas lebih dari tiga buah, menyebabkan penggambaran grafiknya sangat sulit dan bukan berbentuk bidang atau ruang. Bentuknya dinamakan multi bidang atau berbidang banyak (hyper (hyper plane). plane). Grafik suatu fungsi akan berbentuk garis jika di dalam fungsi itu hanya terdapat dua macam variabel, yang koordinatnya berdemensi dua atau bidang. Sehingga dalam penggambaran grafik dari tiga macam variabel dapat memakai istilah bidang regresi atau grafiknya berdemensi tiga atau berdemensi ruang. Tetapi istilah inipun tidak dapat dipertahankan lagi secara bebas jika telah dipergunakan fungsi regresi yang terdiri dari empat macam atau lebih variabel yang dipergunaka n. Sebagaimana halnya dalam analisis regresi linier sederhana (lihat Tenaya et al ., ., 1985), maka di dalam analisis regresi berganda ini juga dapat dikenal adanya: 1).

Analisis regresi linier berganda dan

2).

Analisis regresi berganda kurvilinier atau analisis regresi berganda non linier.

Perbedaan dari kedua analisis di atas antara analisis regresi linier berganda dengan analisis regresi berganda kurvilinier (non linier) didasarkan atas perbedaan pada variabelvariabel bebas (variabel X) yang menyusunnya; atau di mana variabel Y yang berbentuk fungsi pangkat atau berpangkat tidak sama dengan satu. Untuk mempertegas masalah perbedaan antara analisis regresi linier berganda dengan analisis regresi berganda non linier, diberikan batasan dan contoh fungsinya seperti berikut: 1).

Analisis regresi linier berganda didefinisikan adalah analisis regresi yang yang variabel variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X dan setiap variabel X maupun variabel Y hanya berpangkat satu (linier).

42

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2). Analisis regresi berganda non linier didefinisikan adalah sebagai analisis regresi di mana variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X dan yang salah satu atau kedua macam variabel mempunyai pangkat tidak sama dengan satu. Atau regresi di mana variabel variabel tak bebas Y dengan pangkat tidak sama dengan satu ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X.

3.2 Bentuk Umum Fungsi Persamaan Regresi Linier Berganda Bentuk persamaan yang paling sederhana dari regresi linier berganda adalah yang mempunyai dua variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y seperti pada persamaan berikut: [3.1].

 Y =

0 + 1 X1 + 2 X2

Cara lain yang umum dipergunakan pada penulisan model regresi berganda untuk dua prediktor seperti yang dikembangkan oleh Yule dengan model persamaan di bawah ini. Persamaan regresi linier berganda model Yule seperti berikut. [3.2].

 Yi =

 Y.12 +  Y1.2 Xi1 +  Y3.1 Xi2 + ei

Indeks (subscrift) dengan angka 1 pada variabel X adalah untuk variabel X1 dan angka 2 untuk variabel X2. Nilai koefisien regresi Y.12  dalam model [3.2] merupakan titik potong dengan sumbu tegak atau intercept , yang biasanya diartikan sebagai pengaruh ratarata (mean (mean effect ) tehadap variabel tak bebas Y di luar variabel bebas X yang ada dalam model atau nilai rata-rata Y jika X1 dan X2  sama dengan nol (= 0). Koefisien regresi Y1.2 adalah koefisien arah atau estimator regresi Y terhadap X1 dengan X2 dianggap konstan. Koefisien regresi Y3.1 adalah koefisien arah atau estimator regresi Y terhadap variabel X2 dengan X1 dianggap konstan. Interprestasi dari analisis regresi linier berganda ini adalah hampir serupa dengan interprestasi analisis regresi linier sederhana; artinya variabel bebas X1  bersama-sama dengan variabel bebas X2  berpengaruh terhadap variabel tak bebas Y, yang masing-masing variabel Xi bekerja secara linier dan bebas sesamanya.  Apabila antara variabel bebas Xi  tidak bersifat bebas sesamanya atau antara variabel bebas Xi, terdapat interaksi linier maka model persamaan [3.1] akan berubah bentuknya menjadi: [3.3].

 Y =

0 + 1 X1 + 2 X2 + 12 X1 X2

Model persamaan [3.3] menunjukan adanya interaksi linier antara variabel bebas X1 dan variabel bebas X3. Bentuk grafik atau gambar dari persamaan [3.1] atau dari persamaan [3.2] atau persamaan [3.3] berupa bidang datar seperti Gambar 3.1 berikut. Selanjutnya, bila dari persaamaan [3.1] dimodifikasi yang terdiri atas p prediktor; di mana p lebih besar dari tiga (p > 3), maka model [3.1] tersebut sulit untuk digambar, karena penggambarannya terdiri atas banyak sumbu sehingga bentuknya tidak menentu. Berbeda halnya dengan regresi berganda non linier mempunyai bentuk gambar atau grafik yang berupa garis lengkung atau bidang lengkung dengan persamaan seperti berikut. [3.4].

 Y =

0 + 1 X1 + 11 X12 + 2 X2 + 22 X22 + 12 X1 X2

Bentuk grafiknya berbentuk bidang lengkung seperti pada Gambar 3.2.

43

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2). Analisis regresi berganda non linier didefinisikan adalah sebagai analisis regresi di mana variabel tak bebas Y ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X dan yang salah satu atau kedua macam variabel mempunyai pangkat tidak sama dengan satu. Atau regresi di mana variabel variabel tak bebas Y dengan pangkat tidak sama dengan satu ditentukan oleh sekurang-kurangnya dua variabel bebas X.

3.2 Bentuk Umum Fungsi Persamaan Regresi Linier Berganda Bentuk persamaan yang paling sederhana dari regresi linier berganda adalah yang mempunyai dua variabel bebas X dan sebuah variabel tak bebas Y seperti pada persamaan berikut: [3.1].

 Y =

0 + 1 X1 + 2 X2

Cara lain yang umum dipergunakan pada penulisan model regresi berganda untuk dua prediktor seperti yang dikembangkan oleh Yule dengan model persamaan di bawah ini. Persamaan regresi linier berganda model Yule seperti berikut. [3.2].

 Yi =

 Y.12 +  Y1.2 Xi1 +  Y3.1 Xi2 + ei

Indeks (subscrift) dengan angka 1 pada variabel X adalah untuk variabel X1 dan angka 2 untuk variabel X2. Nilai koefisien regresi Y.12  dalam model [3.2] merupakan titik potong dengan sumbu tegak atau intercept , yang biasanya diartikan sebagai pengaruh ratarata (mean (mean effect ) tehadap variabel tak bebas Y di luar variabel bebas X yang ada dalam model atau nilai rata-rata Y jika X1 dan X2  sama dengan nol (= 0). Koefisien regresi Y1.2 adalah koefisien arah atau estimator regresi Y terhadap X1 dengan X2 dianggap konstan. Koefisien regresi Y3.1 adalah koefisien arah atau estimator regresi Y terhadap variabel X2 dengan X1 dianggap konstan. Interprestasi dari analisis regresi linier berganda ini adalah hampir serupa dengan interprestasi analisis regresi linier sederhana; artinya variabel bebas X1  bersama-sama dengan variabel bebas X2  berpengaruh terhadap variabel tak bebas Y, yang masing-masing variabel Xi bekerja secara linier dan bebas sesamanya.  Apabila antara variabel bebas Xi  tidak bersifat bebas sesamanya atau antara variabel bebas Xi, terdapat interaksi linier maka model persamaan [3.1] akan berubah bentuknya menjadi: [3.3].

 Y =

0 + 1 X1 + 2 X2 + 12 X1 X2

Model persamaan [3.3] menunjukan adanya interaksi linier antara variabel bebas X1 dan variabel bebas X3. Bentuk grafik atau gambar dari persamaan [3.1] atau dari persamaan [3.2] atau persamaan [3.3] berupa bidang datar seperti Gambar 3.1 berikut. Selanjutnya, bila dari persaamaan [3.1] dimodifikasi yang terdiri atas p prediktor; di mana p lebih besar dari tiga (p > 3), maka model [3.1] tersebut sulit untuk digambar, karena penggambarannya terdiri atas banyak sumbu sehingga bentuknya tidak menentu. Berbeda halnya dengan regresi berganda non linier mempunyai bentuk gambar atau grafik yang berupa garis lengkung atau bidang lengkung dengan persamaan seperti berikut. [3.4].

 Y =

0 + 1 X1 + 11 X12 + 2 X2 + 22 X22 + 12 X1 X2

Bentuk grafiknya berbentuk bidang lengkung seperti pada Gambar 3.2.

43

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Gambar 3.1. Bidang Datar Regresi Dua Prediktor Prediktor (Regresor)

Y = 6.6355+52.714 6.6355+52.714*x+0.192*y *x+0.192*y -106.989*x*x -106.989*x*x -0.0927*x* -0.0927*x* y -0.001*y *y

Gambar 3.2. Bidang Lengkung Dua Prediktor (Regresor) Sebagai tambahan bahwa pada regresi non linier dapat dibedakan menjadi: 1).

Regresi non linier sederhana, adalah analisis regresi yang yang mempunyai hanya sebuah variabel bebas X, di mana grafiknya adalah berbentuk garis lengkung (bukan lurus atau linier).

2).

Regresi non linier berganda, adalah analisis regresi, yang mempunyai sekurangkurangnya dua buah atau lebih variabel bebas X di mana grafiknya berbentuk bidang lengkung.

44

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.3

Beberapa Bentuk Fungsi Regresi Berganda Non Linier

3.3.1 Regresi fungsi polinomial [3.5].

 Y =

0 + 1 X + 2 X2  + . . . + p Xp

!ila pangkat tertinggi (p) sama dengan dua disebut dengan persamaan kuadratik; bila p = 3 disebut persamaan kubik; bila p = 4 disebut persamaan kuartik; bila p = 5 disebut persamaan kuinik, dan seterusnya. Modifikasi dari model polinomial di atas adalah: [3.6].

 Y =

0 + 1 (  X  )  + 2 (  X  )  + 2 (  X  ) + . . . + p (  X  ) 1

2

3

 p

Untuk p = 2 maka modelnya menjadi:

(  X  )

[3.7].

 Y =

0 + 1 X   + 2

[3.8].

 Y =

0 + 1 X + 2 X½

2

atau dapat ditulis dengan dalam bentuk lain juga dapat seperti

2

[3.9].

 Y =

2

  1   +    1     2      X      X   

0 + 1 

3.3.2 Regresi fungsi hiperbola (reciprocal) [3.10].  Y

β 0 + β1 X 

=

+

+ . . . + β p X  p

β 2 X  2

atau dapat ditulis dengan: 2

[3.11].  Y

0 + 1 X + 2 X2 + . . . + p Xp

=

!entuk-bentuk lain dari model di atas: -1

[3.12].

 Y

=

[4.13].

 Y

=

0 + 1 X1 + 2 X2 + . . . + p Xp 1 β 0 + β1 X 

e

+ β 2 X 2 + . . .+ β p X  p

3.3.3 Regresi fungsi exponen  (0 + 1 X1 +

[3.14].  Y = e

[3.15].  Y =

e

β0

+

2 X2)

β 1  X 

+

β 2  X  2

dapat pula berupa persamaan +

. . .

+

β

 X 

3.3.4 Regresi fungsi perkalian [3.16].  Y =

0 X1 X 2 X 3 . . . X p Fungsi di atas ini lebih dikenal dengan nama model fungsi Cobb-Douglas.

3.3.5 Regresi fungsi geneometri [3.17].  Y =

!0 + ! 1 sin "X1 + 1 cos "X1 + ! 2 sin 2"X2 + . . . + 2 cos 2"X2

45

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.3.6 Regresi fungsi gabungan [3.18].  Y = [3.19].  Y =

0 X1 e2X 1 β 0 + β1 X 

1+ e

1

+ β 2 X 2 + . . .+ β p X  p

"1X1

[3.20].  Y = 0 X1  e

 X2

3.

 e

"2X2

Selain model-model tersebut di atas, masih banyak lagi bentuk-bentuk persamaan regresi yang lainnya. Sehingga, jelas sekali bahwa penyelesaian dari bentuk-bentuk regresi di atas sangat memerlukan pengetahuan matematika yang cukup, terutama pengetahuan mengenai matriks dan operasinya. Oleh karena itu, untuk dapat mengerjakan persamaan-persamaan tersebut di atas itu, maka sebelum pembicaraan langsung memgenai bentuk-bentuk persamaan itu, akan didahului dengan pengenalan matriks yang disajikan secara singkat. Jadi pengenalan matriks di sini bertujuan memberikan bekal bagi yang belum pernah mendapatkan pelajaran aljabar matriks dan bagi yang sudah sekedar mengingatkan kembali operasi operasi matriks yang akan dipergunakan pada analisis regresi. Dalam analisi regresi berganda, yaitu akan dibicarakan penyelesaian persamaan regresi berganda terutama dengan metode matriks, yang sebelumnya diterangkan dengan metode simultan. Jadi disini dibicarakan bagaimana menyelesaikan olahan data yang diperoleh dari sampel, kemudian diubah menjadi bentuk matriks, sampai mendapatkan nilai parameter atau koefisien regresi (bi) yang didapat dari olahan secara simultan dan olahan secara operasi matriks, serta uji-ujinya. Berdasarkan hal ini, peranan matriks dalam penyelesaian persamaan regresi sangat diperlukan.

3.4

Model Umum Persamaan Regresi Linier Berganda

Pada awal pembicaaan ini telah disinggung tentang macam-macam regresi berganda dengan bentuk-bentuk fungsinya. Apabila dalam persamaan regresi linier mencakup lebih dari dua prediktor atau variabel bebas X, sehingga terdapat minimal tiga variabel termasuk variabel tak bebas Y, maka regresi tersebut dinamakan regresi linier berganda (multiple linier regression). Dalam banyak buku, penulisan persamaan regresi linier berganda mempunyai pola yang berbeda-beda, tetapi pada prinsipnya sama. Penulisan itu didasarkan pada pandangan dan tujuan dari tulisan tersebut. Seperti halnya, apakah tulisan itu ditujukan untuk menunjukkan cara pengolahan data, ataukah tulisan itu ditujukan pada pembuktian dan penurunan persamaan-persamaan ataupun mempunyai tujuan lain. Yang jelas terdapat perbedaan penggunaan notasi yang dipakai dalam melambangkan variabel-variabel dan parameter, atau dalam pembuktian persamaan-persamaan. Model umum regresi linier berganda seperti yang di sebutkan pada persamaam [3.2] dinyatakan kembali pada model di bawah ini. [3.21].  Y =

0 + 1 X1 + 2 X2  + . . . + p Xp + #

46

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

!eberapa cara lain penulisan persamaan regresi linier berganda yang terdiri atas lebih dari dua variabel bebas adalah:

0 + 1 X1i + 2 X2i + . . . + p Xpi + #i [3.21b]. Yi  = A + 1 X1i + 2 X2i + . . . + p Xpi + #i [3.21c]. Yi = 1 + 2 X2i + 3 X3i + . . . + p Xpi + #i [3.21d]. Yi = 0 + 1 Xi1 + 2 Xi2 + . . . + p Xip + #i [3.21a]. Yi =

model untuk populasi

0 X0 + 1 Xi1 + 2 Xi2 + . . . + p Xip + #i 1.234 + 13.34 X2 + 13.24 X3 + . . . + 1p.23 Xp + #i [3.21g]. Yi = $i Xi + #i [3.21e]. Yi = [3.21f].  Yi =

atau dapat ditulis

di mana i = 1, 2, 3, . . . .p

[3.21h]. Yi  = a + b1 X1i + b2 X2i + . . . + bp Xpi + ei [3.21i].  Yi = b1 + b2 X2i + b3 X3i + . . . + bp Xpi + ei

model untuk sampel

[3.21j].  Yi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip + ei [3.21k]. Yi = b0 X0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip + ei

atau dapat ditulis l

[3.21l].  Yi = b1.23… + b13.34 X2 + b13.24 X3 + . . . + b1p.23 Xp + ei [3.21m]. Yi =

$bi Xi + ei

di mana i = 1, 2, 3, . . . .p , !,

dan e adalah variabel pengganggu

Dari macam-macam model di atas, angka-angka yang tercantum pada setiap koefisien disebut indeks atau subscript. Indeks huruf i pada setiap variabel menunnjukkan pengamatan ke-i dari sampel yang diamati. Selanjutnya, dalam uraian-uraian berikut akan menggunakan model (3.21) untuk keseragaman dalam analisis regresi. Hubungan yang sebenarnya antara yang hendak ditaksir dan variabel bebas X pada regresi linier berganda dapat ditulis: [3.22]. E(Yi) = B0 + B1 Xi1 + B2 Xi2 + . . . + Bp Xip Dari model persamaan [3.22] di mana Yi adalah variabel yang dijelaskan, X1, X 2 , . . ., Xp adalah variabel-variabel bebas penjelaskan atau prediktor atau regresor. Yi  nilai variabel Y pada pengamatan ke-i, Xi1 nilai variabel X1 pada pengamatan ke-i, dan Xip nilai variabel Xp pada pengamatan ke-i. Nilai-nilai B0, B1, B2, . . . , B p adalah koefisien-koefisien regresi atau parameterparameter populasi yang akan ditaksir berdasarkan data sampel, dan p menunjukkan banyaknya variabel bebas X yang diduga berpengaruh terhadap variabel tak bebas Y Persamaan [3.22] dapat pula ditulis berdasarkan data sampel menjadi seperti berikut. [3.23].  Yi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip + ei Dari persamaan [3.23] yang berhubungan dengan pengamatan ke-i, yang bermaksud untuk menaksir parameter-parameter atau koefisien regresi populasi B0, B1, B2, . . . , Bp dengan menggunakan penaksir koefisien-koefisien regresi yang berasal dari sampel atau data pengamatan yaitu: b0, b1, b2, . . . , bp. Koefisien-koefisien regresi sampel diberi simbul bi  sebagai penaksir parameter populasi Bi. Sehingga penaksir bagi persamaan regresi yang sebenarnya, yaitu penaksir bagi persamaan [3.22] dan [3.23] dapat ditulis sebagai berikut: [3.24].

 % = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip

Persamaan [3.24] tersebut di atas yang akan dicari dengan menggunakan data berasal dari sampel. Jadi nilai # merupakan nilai dugaan atau perkiraan terhadap nilai Y.

47

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.5 Asumsi-asumsi pada Regresi Linier Berganda  Agar dapat menyelesaikan suatu persamaan regresi linier berganda tanpa memperhatikan sifat-sifat variabel yang dapat mempengaruhi kesimpulan hasil analisis, maka diperlukan beberapa asumsi yang berkenaan dengan analisis regresi linier berganda, sebagai berikut: 1).

Rata-rata kesalahan penggangu pada setiap pengamatan sama dengan nol (0), dapat ditulis dengan: S(ei) = 0 untuk setiap nilai i. i = 1, 2, ..., n.

2).

Peragam (kovarians) dari pengamatan-pen gamatan sama dengan nol (0), atau dengan istilahnya bahwa tidak ada korelasi antara kesalahan penggangu satu dengan kesalahan pengganggu yang lainnya, dapat ditulis dengan: Kov (ei e j ) = 0, untuk i & j.

3).

Ragam (varians) kesalahan penggangu pada setiap pengamatan mempunyai 2 nilai yang sama, dapat ditulis dengan: Var (ei ) = ' , untuk setiap nilai i. di mana i = 1, 2, ..., n.

4).

Peragam (kovarians) dari pengamatan untuk setiap variabel bebas sama dengan nol (0), atau dengan lain istilahnya bahwa tidak ada korelasi antara kesalahan penggangu dari setiap variabel bebas yang satu dengan variabel bebas yang lainnya yang menysun persamaan regresi berganda tersebut, dapat ditulis dengan: Kov (ei,Xi) = 0.

5).

Tidak terdapat kolinieritas ganda (multicollinierity ) yang berarti tidak terdapat hubungan linier yang kuat (eksak) antara variabel bebas X atau prediktor atau regresor yang berarti ada hubungan antara: k1 Xi1 + k2 Xi2 + . . . + kp Xip  = 0, di mana k1 = k2 = . . . = kp  = 0, yang berarti bahwa Xi & X j adahah terjadi kolinieritas atau linier dependen. Dalam hal ini dikatakan bahwa X1 + X2 + . . . + Xp merupakan pasangan yang terpaut linier (linier dependent ) satu sma lainnya untuk seluruh pengamatan.

Jika sebuah variabel bebas Xi  tepaut linier lebih dengan sebuah variabel bebas lain, maka dalam analisis regresi linier berganda tersebut dikatakan terjadi kolinieritas ganda (multicollinierity ).

3.6

Regresi Linier Berganda Dua Prediktor

 Analisis regresi linier berganda yang paling sederhana dengan menggunakan hubungan linier yang terdiri atas dua buah variabel bebas X atau prediktor dengan sebuah variabel tak bebas Y atau regresor dengan bentuk fungsi atau model persamaan umum seperi pada persamaan [3.2] yang ditulis kembali pada persamaan [3.5] berikut ini. [3.5].

 Y

=

b0 + b1 X1 + b2 X2

(bentuk paling sederhana dari regresi linier berganda).

Dalam regresi linier berganda seperti pada persamaan [3.2] atau [3.5] yang terdiri atas dua variabel bebas X, dapat diasosiasikan sebagai penjumlahan dari dua penyelesaian regresi linier sederhana yang secara bersamaan terhadap suatu permasalahan atau satu variabel tak bebas Y. Dalam uraian berikut ini akan ditunjukkan penyelesaian regresi linier berganda dua variabel bebas X secara simultan untuk menentukan nilai parameter atau koefisien regresi b0; b1; dan b3. Untuk mempermudah pengertian di atas, perhatikan contoh sederhana ini. Hasil tanaman bawang merah per hektar selain dipengaruhi oleh jumlah pupuk yang diberikan, juga dipengaruhi oleh berat atau banyaknya gulma yang tumbuh. Jika hasil bawang merah per hektar merupakan variabel tak bebas Y dan jumlah pupuk kandang yang diberikan sebagai variabel bebas X1  dan berat atau banyaknya gulma yang tumbuh sebagai variabel bebas X3.

48

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Maka dapat dikatakan bahwa Y dipengaruhi oleh X1  dan X2  secara bersama-sama.  Apabila pengertian di atas diregresikan secara linier sederhana Y dengan setiap X1 atau dengan X2 yang mempengaruhi Y masing-masing secara terpisah, maka regresi antara Y dengan X1  dan antara Y dengan X2  dapat ditulis dengan persamaan:Yi = b01 + b1 Xi1 dan Y = b02 + b2 Xi3. Selanjutnya, apabila kedua persamaan di atas dijumlahkan secara penjumlahan garis yang ortogonal atau tegak lurus satu sama lainnya, maka didapatkan nilai b01 + b02 = b0 secara bersama, sehingga kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi: Yi = b01 + b1 Xi1 Yi = b02 + b2 Xi3. [3.26].  Yi = (b01 + b02) + b1 Xi1 + b2 Xi2

atau dapat diubah menjadi:

[3.27].  Yi = b0 + b1 Xi1 + b2 Xi2 seperti persamaan [3.2] atau [3.5] dengan p = 2. Jika dari persamaan [3.27] dipakai dasar untuk menduga koefisien regresi linier berganda bi untuk dua prediktor yaitu b0; b1; dan b2 maka modelnya dapat ditulis menjadi: [3.28].

 % = b0 + b1 X1 + b2 X2

3.7 Pendugaan Nilai Parameter atau Koefisien Regresi i Untuk menentukan nilai koefisien regresi parsial (bi)  sebagai penduga dari nilai dari i pada persamaan [3.28], yang berasal dari data sampel, maka diperlukan sekurangkurangnya p + 1 buah jumlah variabel pengamatan. Jika dari setiap pasangan nilainilai X1, X2, dan Y yang terdapat dalam setiap sampel dipandang sebagai sebuah titik, maka titik tersebut merupakan bagian dari koordinat ruang berdimensi tiga, sehingga terdapat n buah titik yang mewakili atau menggambarkan pengamatan- pengamatan yang terdapat dalam data sampel. Jika titik-titik tersebut betul-betul dilukiskan, maka gambaran yang diperoleh dengan cara demikian adalah merupakan diagram ruang bagi data sampel tersebut seperti pada Gambar 3.1. Dalam hal ini, didapatkan bentuk diagram yang sebarannya berdimensi tiga atau ruang. Gambar yang diperoleh merupakan bidang irisan dalam sebuah balok. Perhatikan Gambar 3.1.  Analisis regresi yang akan dilakukan dalam hal yang serupa adalah bertujuan untuk menentukan bidang linier atau bidang rata atau bidang datar yang modelnya ditunjukkan seperti pada persamaan [3.28] dengan menduga nilai-nilai dari b0; b1; dan b3. Supaya dapat dipandang sebagai bidang regresi yang baik, maka bidang irisan tersebut haruslah dihapiri sedekatnya atau didekati oleh semua titik-titik pasangan pengamatan X1i, X2i, dan Yi. Oleh karena itu, dapatlah dikatakan bahwa titik-titik pengamatan yang ke-i atau Yi menyimpang dari bidang regresi yang merupakan pencerminan penyimpangan titik-titik pengamatan terhadap persamaan regresi linier berganda # = b0 + b1 X1 + b2 X 2 yang akan dicari. Penyimpang tersebut disimbulkan dengan e. Penyimpangan ei  antara titik-titik pengamatan Yi  dengan bidang regresi #  dapat dinyatakan dengan persamaan seperti: [3.29]. ei = Yi -

 % 

atau

[3.30]. ei = Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2 ei = penyimpangan titik pengamatan Yi terhadap nilai pengamatan # Nilai ei  yang merupakan penyimpangan antara titik-titik pengamatan Yi dengan bidang regresi yang dicari atau #. Dengan nilai ei  ini dapat dipakai untuk menduga nilai parameter bi atau koefisien regresi parsial b0; b1; dan b3.

49

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.8 Metode Kuadrat Terkecil dan Persamaan Normal  Ada dua cara untuk memperkirakan koefisien regresi parsial bi (b0; b1; dan b2) yaitu dengan memakai methode kuadrat terkecil (Ordinary Least Squares = OLS atau Least Squares Method   dan metode maksimum likelihood (Maximum Likelihood Method   = MLM). Untuk selanjutnya akan diuraikan satu metode saja yaitu metode kuadrat terkecil. Dalam metode kuadrat terkecil biasa (OLS), menentukan perhitungan nilai parameter  yang tidak diketahui. Dalam metode kuadrat terkecil (OLS) diusahakan sedemikian rupa sehingga didapatkan 2  jumlah kuadrat kesalahan pengg anggu atau penimpangan te rhadap bidang regresi = (e haruslah mempunyai nilai sekecil-kecilnya atau minimum. Jika jumlah kuadrat kesalah 2 penggangu ((e ) dikodekan dengan G, sehingga didapatkan persamaan: [3.31]. G = [3.32]. G =

(e2

atau dapat ditulis menjadi:

((Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2)2

dari persamaan [3.30].

Jadi, pada perhitungan nilai-nilai b0, b1, dan b2 yang dicari dengan meminimumkan nilai G pada persamaan [3.32] yang merupakan nilai-nilai penaksir atau penduga bagi parameter-parameter 0, 1, dan 2  untuk dua pubah X1  dan X3. Cara penyelesaian seperti ini juga berlaku bagi sejumlah p variabel bebas Xi  yang dapat diduga dengan metode matriks yang akan dibahas kemudian. Syarat yang harus diperlukan dalam meminimali nilai G pada persamaan [3.32] adalah mengharuskan menyamakan fungsi-fungsi turunan pertama parsial dari jumlah 2 pangkat dua simpangan (ei) = (ei terhadap b0, b1, dan b2 yang disamakan dengan nol, 2 sehingga fungsi turunan (ei atau G terhadap setiap nilai b0, b1, dan b2  dapat ditulis sebagai berikut: 2

Turunan pertama dari (ei atau G terhadap b0 menjadi: [3.33].

)G/)b0 = 2 ((Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) (- 1) = 0 2

Turunan pertama dari(e atau G terhadap b1 menjadi: [3.34].

)G/)b1 = 2 ((Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) (- X1) = 0 2

Turunan pertama dari(e atau G terhadap b2 menjadi: [3.35].

)G/)b2 = 2 ((Yi - b0 - b1 X1 - b2 X2) (- X2) = 0

Perhatikan faktor pengali yang berada di kiri tanda sama dengan nol.  Apabila dari persamaan-persamaan di atas [3.33], [3.34], dan [3.35] diselesaikan secara serantak dan diubah cara penyajiannya, maka diperoleh persamaan-persamaan seperti: [3.36].

( Yi - (b0 - b1 (X1 - b2 (X2 = 0

[3.37].

( Yi X1 - b0 (X1 - b1 (X12 - b2 (X1X2 = 0

[3.38].

( Yi X2 - b0 (X2 - b1 (X1 X2 - b2 (X22 = 0

Persamaan-persamaan [3.36], [3.37], dan [3.38] di atas disebut dengan persamaan normal. Perhatikan pengali dari setiap penaksir-penaksir yang berhubungan koefisien regresi seperti b0, b1, dan b3. Apabila syarat-syarat dalam meminimalkan G dipenuhi, maka sistem persamaan normal dari [3.36], [3.37], dan [3.38] dapat diselesaikan secara serentak untuk menentukan besarnya nilai-nilai b0, b1, dan b2  sebagai penaksir pangkat dua terkecil atau Least Squares Method (OLS = ordinary list squares) bagi parameterparameter B0, B1, dan B3.

50

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Biasanya, sistem persamaan-persamaan normal [3.36], [3.37], dan [3.38] dapat diselesaikan secara serentak untuk mendapatkan nilai- nilai b0, b1, dan b2; oleh karena  jumlah sampel (n) diketahui dan jumlah-jumlah yang terdapat dalam sistem persamaan normal itu dapat dihitung dari data sampel. Dengan demikian koefisien-koefisien regresi b0, b1, dan b2, dalam analisis regresi linier berganda yang mengandung dua buah prediktor atau variabel bebas X dapat ditaksir atau dihitung.

3.9

Perhitungan Nilai Koefisien Regresi

Jika diperhatikan kembali sistem persaman normal dari persamaan-persamaan [3.36], [3.37], dan [3.38] dapat dilihat keteraturan dari cara-cara penyelesaianya. Sehingga setiap nilai bi dapat ditentukan dengan perhitungan seperti berikut. Dari persamaan [3.36] dapat ditentukan nilai b0  yaitu dengan membagi persamaan tersebut dengan jumlah pengamatan (= n) sehingga didapatkan persamaan dengan penyelesaian:

(Yi - nb0 - b1 (X1 - b2 (X2 = 0

sama-sama di bagi dengan n

(Yi /n - nb0 /n - b1 (X1 /n - b2 (X2 /n = 0/n Y  - b0 - b1  X 1 - b2  X 2 = 0 [3.39].

atau sehingga akhirnya menjadi

b0 = Y  - b1  X 1 - b2  X 2

Dari persamaan [3.37] dan [3.38] di atas dapat ditentukan besarnya nilai b1  dan b2 dengan memodifikasi persamaannya menjadi persamaan-persamaan dengan huruf kecil. Perhatikan dengan teliti notasi dari variabel bebas X dan variabel tak bebas Y yang ditulis dengan huruf kecil x dan y pada persamaan-persamaan berikut ini. Berikut ini diberikan hubungan antara X & Y dengan x & y: [3.40a]. x1 = (X1 -  X 1 ),

disebut dengan deviasi X1

[3.40b]. x2 = (X2 -  X 2 ), dan

disebut dengan deviasi X2, dan

[3.40b]. y = (Y - Y  )

disebut dengan deviasi Y

(y2 = ( Y2 - (( Y)2 /n 2 2 2 [3.41b]. (x1 = (X1 - ((X1)  /n 2 2 2 [3.41c]. (x2 = (X2 - ((X2)  /n

disebut dengan JK Y

(x1y = (X1 Y - (X1 ( Y/n [3.41e]. (x2y = (X2 Y - (X2 ( Y/n [3.41f]. (x1x2 = (X1X2 - (X1 (X2 /n

disebut dengan JHK X1Y

[3.41a].

disebut dengan JK X1 disebut dengan JK X2

[3.41d].

disebut dengan JHK X2Y disebut dengan JHK X1X2

Dengan menggunakan persamaan [3.41a] sampai dengan persamaan [3.41f] maka perhitungan nilai b1 dan b2 menjadi: [3.42a].

[3.42b].

b1

b2

 x  x  y − ∑ x  y ∑ x  x =∑ ∑ ` ( ) −  x  x  x  x ∑ ∑ ∑  x  x  y − ∑ x  y ∑ x  x =∑ ∑ ∑ x ∑ x − (∑ x  x ) 2 2

1

2

2 1

2 1

1 2

2

2 1

1 2

2

2 2

1

1 2

2

2 2

1 2

51

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

 Atau dengan menggunakan notasi lain dari persamaan [3.41a] sampai dengan [3.41f] maka perhitungan nilai b1 dan b2 menjadi: [3.43a].

b1 =

[3.43b]. b2

 JK  X 2  JHK  X 1Y  − JHK  X 2Y  JHK  X 1 X 2

=

 JK  X 1  JK  X 2

− ( JHK  X 1 X 2 )2

 JK  X 1  JHK  X 2Y  −  JHK  X 1Y  JHK  X 1 X 2  JK  X 1  JK  X 2

− ( JHK  X 1 X 2 )2

Selanjutnya, dilakukan pengujian terhadap regresi linier berganda terutama pengujian terhadap nilai-nilai koefisien regresi berganda (bi) serta pengujian terhadap bidang regresi atau uji varians regresi atau uji F regresi.

3.10 Pengujian Regresi Linier Berganda Dalam pengujian regresi linier berganda terdapat tiga macam uji yaitu: 1). 2). 3).

Uji simultan atau uji F atau uji ragam regresi atau uji varians regrsi; Uji parsial koefisien regresi atau uji terhadap bi atau uji t koefisien regresi; dan Uji koefisien korelasi berganda atau uji R.

Ketiga macam uji-uji tersebut di atas menggunakan Ragam Galat Regresi atau Varians 3. 2 Residual Regresi yang disimbulkan dengan * Karena nilai *   tidak pernah diketahui, 2 maka nilai *   didekati atau diduga dengan menggunakan nilai dugaan Galat Regresi 2 3. penduga = S %  atau Se 2

Nilai Se   disebut dengan Kuadrat Simpangan Baku Regresi penduga atau lebih dikenal dengan sebutan Ragam Galat Regresi atau Ragam Residual Regresi atau Varians Residual Regresi atau Varians Sisa Regresi atau Varians Galat Regresi. Ragam Galat 2 Regresi = Se , yang perhitungannya didasarkan pada Jumlah Kuadrat Kesalahan Penggangu yang sering disebut dengan Jumlah Kuadrat Residual Regresi (JK Galat Regresi = JK Sisa Regresi = JK Residual yang disingkat dengan = JK Galat Regresi 2 dengan simbul (e i ) dibagi dengan Derajat Bebas Galat Regresi = DB Galat Regresi yang besarnya sama dengan n - p - 1. Dasar perhitungan dari KT Galat Regresi atau Varians Residual Regresi adalah menggunakan persamaan [3.30] yaitu nilai variabel pengganggu e  yang ditulis kembali menjadi persamaan: [3.44].

ei = Yi - b0 - bi Xi1 - b2 Xi2

Dan jika ke dalam persamaan [3.44] disubstitusikan persamaan [3.39] yaitu pesamaan untuk perhitungan b0 maka didapatkan persamaan: [3.45a].

ei = Yi - ( Y  - b1  X 1 - b2  X 2 ) - bi Xi1 - b2 Xi2 dengan membuka kurung maka menjadi:

[3.45b]. ei = (Yi - Y  ) - b1 (Xi1 -  X 1 ) - b2 (Xi2 -  X 2 ) [3.45c]. ei = yi - b1 x1 - b2 x3.

52

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Dan dari persamaan [3.44] yaitu persamaan untuk nilai ei = Yi - b0 - bi Xi1 - b2 Xi2 2 sehingga dengan mengkuadrat jumlahkan nilai ei; selanjutnya didapatkan )ei   atau disebut dengan JK Galat Regresi dengan kode G; dengan persamaannya menjadi: 2

[3.46a]. G = ) ei  

atau

[3.46b]. G = )eiei. Ingat ei = yi - b1 x1 - b2 x3. Seperti persamaan [3.45c] sehingga:

$ei(yi - b1 x1 - b2 x2) [3.46d]. G = $eiyi - b1 $eI x1 - b2 $eI x2) [3.46e]. G = $eiyi  sebab )eI x1 = )eI x2 = 0. [3.46c]. G =

$yiei [246g]. G = $yi (yi - b1 $x1 - b2 $x2) [3.46h]. G = $yiyi - b1 yi $x1 - b2 $yi x2 [3.46f].

atau sehingga menjadi:

G =

sehingga menjadi:

2

Ingat : yiyi = )yi = JK Total = JK Y )yix1 = JHK YX1 = JHK X1Y Ingat persamaan [3.41a sd 3.17f]. )yix2 = JHK YX2 = JHK X2Y b1 )yix1 + b2 )yix2 disebut dengan JK Regresi Dari persamaan [3.46 h] didapatkan bahwa JK Galat Regresi atau JK Residual Regresi Linier berganda sama dengan JK Total dikurangi dengan JK Regresi. Di mana JK Total = JK Y. Hubungan antara komponen-komponen pada analisis keragaman (JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi) seperti berikut: [3.47].

JK Galat Regresi = JK Total - JK Regresi.

Untuk menyederhanakan penulisan dan pengertian di atas, maka selanjutnya JK Galat Regresi disingkat dengan JK Galat, JK Regresi dengn JK Reg (tanpa titik) dan JK Total dengan JK Tot atau JK Y (tanpa titik). Sehingga sesuai dengan persamaan [3.47], maka JK Regresi dua prediktor (dua variabel bebas X) mempunyai persamaan: [3.485a] JK Regresi = (b1 $yi x1 + b2 $yi x2) [3.48b]

atau dapat ditulis:

JK Regresi = (b1 JHK X1 Y + b2 JHK X2 Y)

Persamaan [248a,b] berlaku umum untuk p  variabel bebas X sehingga persamaannya menjadi: [249a]

JK Regresi = b1 $yi x1 + b2 $yi x2 + . . . + bp $yi xp

[3.49b]

JK Regresi = (b1 JHK X1 Y + b2 JHK X2 Y + . . . + bp JHK Xp Y)

Setelah perhitung JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi didapat maka di lanjutkan dengan uji F atau Analisis Keragaman atau Analisis Varians Regresi seperti uraian berikut.

53

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.11 Uji F atau Analisis Keragaman atau Analisis Varians Regresi Dalam analisis keragaman yang merupakan uji F terhadap Ragam Regresi (KT Regresi atau Kuadrat Tengah Regresi) dengan memakai Ragam Galat (KT Galat = KT Residu). Dalam pengujian ini didasarkan pada pemecahan JK Total menjadi komponenkomponennya yaitu JK Regresi dan JK Galat Regresi, yang selanjutnya dijadikan Ragam Regresi dan Ragam Galat Regresi. Untuk memudahkan dalam uji F ini biasanya dibuatkan tabel Analisis Keragaman (Tabel Sidik Ragam Regresi atau Tabel Analisis Varians Regresi atau ANAVA Regresi atau ANOVA Regresi) yang komponenkomponennya seperti berikut. Komponen Penyusun Tabel Sidik Ragam Regresi adalah: 1).

JK Regresi = =

b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y

(untuk 2 prediktor) atau

2). JK Total

=

b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y + . . . + bp JHK XpY (untuk p buah prediktor) 2 2 Jk Y = (Y - ((Y) /n

3).

=

JK Total - JK Regresi

JK Galat

Selanjutnya dihitung nilai KT atau Varians seperti: 1).

KT Regresi = JK Regresi/(db Regresi). (DB Regresi = p.

2).

KT Galat = JK Galat/(db Galat)

p = jumlah variabel X)

(DB Galat = n-p-1

n = jumlah sampel)

Hasil perhitungan keragaman atau analisis varians di atas dibuatkan Tabel Sidik Ragam Regresi seperti pada Tabel 3.1. Tabel 3.1. Bagan Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (JK)

Derajat Bebas (DB)

Jumlah Kuadrat (JK)

Kuadrat Tengah (KT)

Regresi

p = 2

B1 yi x1 + b2 yi x2 atau [ (bi JHK XiY)]

JK Reg/p = KT Reg

JK Galat

JK Galat

Residual

n-p–1

KT Regresi

F tabel 5% 1% Lihat tabel F

KT Galat

n − p − 1

atau Galat Total

F hitung

(yi

n–1=

= JK Tot = JK Y

n = jumlah sampel.

Berdasarkan pada asumsi sebaran normal untuk komponen pengganggu e, maka besarnya nilai F (F-hitung) dapat dihitung dengan rumus adalah: [3.50]

Fhit =

 KT Re gresi  KT  Galat 

F-hitung disimbulkan dengan Fhit  yang digunakan dalam pengujian hipotesis akan dibuktikan dengan uji hipotesis. Hipotesis nol atau H0 : Fhit = 0 dan H1 : Fhit & 0

54

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Kreteria pengujian nilai Fhit  adalah: 1).

Jika Fhit > F(tabel * ) ini berarti bahwa terdapat hubungan bukan linier berganda pada pasangan pengamatan X1, X2, Y tersebut atau f = (X1, X2) adalah bukan linier pada taraf *.

2).

Jika Fhit + F(tabel * ) ini berarti bahwa terdapat hubungan linier berganda antara pengaruh X1 dan X2  terhadap Y secara bersama atau simultan pada taraf *. Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut di atas, tidak dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel bebas Xi  menunjukkan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y secara parsial.

Oleh karena itu, maka untuk menunjukkan hubungan atau pengaruh masing-masing variabel bebas Xi  secara individu atau parsial dalam kebersamaan atau simultan terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan menguraikan analisis keragaman yaitu menguraikan JK Regresi menjadi JK Regresi parsial untuk setiap variabel bebas Xi seperti uraian berikut ini. JK Regresi berganda = b1 JHK X 1Y + b2 JHK X2Y + . . . + bp  JHK XpY (untuk p prediktor) yang dapat diuraikan menjadi seperti berikut: 1).

JK Regresi X1 = b1 JHK X 1Y

2).

JK Regresi X2 = b2 JHK X 2Y . . .

p).

. . .

JK Regresi Xp = bp JHK X pY

Untuk dua variabel bebas X, maka JK regresi parsial variabel bebas X1 dan X2 adalah: JK Regresi = b1 JHK X1Y + b2 JHK X2Y (untuk 2 prediktor) dapat diuraikan menjadi: 1).

JK Regresi X1 = b1 JHK X 1Y

2).

JK Regresi X2 = b2 JHK X 2Y

Dengan demikian maka bentuk Tabel Sidik Ragam Regresi dari uraian di atas untuk dua variabel bebas X dapat ditulis seperti pada Tabel 3.2 di bawah ini. Tabel 3.3. Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (SK) Regresi

Derajat Bebas (DB) p

Regresi X1 Regresi X2/X1 Residual atau Galat Total Keterangan:

Jumlah Kuadrat (JK) JK Regresi

Kuadrat Tengah (KT) KT Regresi

1

JK Regresi X1

KT Regresi X1

1

JK Regresi X2

KT Regresi X2

n-p-1

JK Galat

KT Galat

n-1

JK Total

-

Jumlah sampel = n.

55

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

F hitung (Fhit)

F tabel 5% 1%

Dari Sidik Ragam Tabel 3.3 di atas terlihat bahwa JK Regresi, dapat diuraikan mendi JK Regresi komponen-komponen setiap variabel bebas Xi dengan derajat bebas tiap komponen sama dengan satu yaitu JK Regresi X1  dan JK Regesi X2/X1  artinya JK Regresi dari X2  jika X1  dianggap konstan, atau variabel X2  merupakan tambahan terhadap variabel bebas X1  dalam mempengaruhi variabel tak bebas Y; demikian selanjutnya apabila jumlah variabel bebas bertambah samapai sebanyak p buah.

3.12 Uji Keberartian Koefisien Regresi (b i) Secara Parsial atau Uji t Koefisien Regresi Pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti cara tersebut pada Tabel 3.3 di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel Xi  menunjukkan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y secara parsial. Modifikasi dari pengaruh masing-masing variabel bebas Xi  secara individu atau parsial dalam kebersamaan atau simultan terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan uji t atau uji koefisien regresi secara parsial. Secara umum uji t mempunyai persamaan seperti berikut:

W 

[3.51]. t-hitung W =

S w

W nilai yang diuji, sehingga untuk pengujian koefisien regresi (bi), maka persamaananya menjadi: [3.52]. t-hitung b1 =

b1 S b1

;

t-hitung b2 =

b2 S b2

;

dan

seterusnya

Di mana Sbi = salah baku bi

Dari persamaan [3.52] dalam menyederhanakan penulisan Salah Baku Koefisien Regresi Bi biasa ditulis dengan 'Bi (Salah Baku = Standard Error Koefisien Regresi Bi ). Perhitungannya didasarkan pada Ragam Galat Regresi atau KT Galat Regresi. Karena 2 besarnya nilai ' e (Ragam Galat Regresi Populasi) tidak diketahui, maka dapat diduga 2 dengan nilai S e atau KT Galat Regresi penduga yang mempunyai persamaan yaitu: [3.53].

2

S e = KT Galat Regresi = JK Galat Regresi/(n-p-1) (Perhatikan Tabel 3.2)

Selanjutnya, dalam Analisis Regresi dua prediktor, nilai Salah Baku bi  yang ditulis (Sbi) mempunyai persamaan seperti: [3.54].

Sbi =

var bi

masing-masing untuk b1 dan b2 menjadi:

Untuk pengujian b1 nilai salah baku menjadi: [3.55a]. Sb1 =

=

var b1

 KT  Galat Re gresi

     JK  X 1  

    2   − ( JHK  X 1 X 2 )  

 JK  X 2  JK  X 2

56

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Untuk pengujian b2 nilai salah baku menjadi: [3.55b]. Sb2 =

=

var b 2

   KT  Galat Re gresi    JK  X 1  

    2   − ( JHK  X 1 X 2 )  

 JK  X 1  JK  X 2

Seperti dalam uji F, penulisan t-hitung dapat ditulis dengan notasi thitung (artinya uji t untuk pengujian hipotesis nol atau H0 : bi  = 0 dan H1 : minimal satu dari bi &  0). Berdasarkan hasil uji t ternyata bahwa kreteria pengujian nilai thitung  adalah: 1). Jika thitung + t(tabel 5%, db galat) ini berarti pada analisis regresi linier berganda, pengaruh X1 dan X2  terhadap Y menunjukkan bahwa baik X1 maupun X2 berpengaruh tidak nyata secara parsial terhadap Y. 2). Jika thitung > t(tabel 5%, db galat) maka nilai bi menunjukkan bahwa masing-masing baik X1 maupun X2 berpengaruh nyata terhadap variabel bebas Y secara individual dalam kebersamaan atau secara parsial. Dengan kata lain ini berarti bahwa koefisien arah bi yang berangkutan dapat dipakai sebagai penduga dan peramalan yang dapat dipercaya. Pengujian yang dilakukan dengan cara tersebut di atas, dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel bebas Xi  memberikan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y. Perlu diingatkan di sini ialah bahwa dalam pengujian-pengujian di atas (baik uji F maupun uji t), didasarkan atas metode kuadrat terkecil (OLS). Selanjutnya, nilai Salah Baku Koefisien Regresi atau Sbi  yang diperoleh selain untuk pengujian hipotesis juga dapat dipakai pada perkiraan nilai interval koefisien regresi parsial yang sering disebut dengan perkiraan nilai beta () populasi dengan persamaan sebagai berikut di bawah ini. [3.56].

3.13

p {bi - t! /2 Sbi < i < bi + t! /2 Sbi} = 1- !

untuk setiap b1 dan b1 seperti:

[3.57a]. p {b1 - t! /2 Sb1 < 1 < b1 + t! /2 Sb1} = 1- !

untuk b1

[3.57b]. p {b2 - t! /2 Sb2 < 2 < b2 + t! /2 Sb2} = 1- !

untuk b2

Koefisien Korelasi dan Koefisien Determinasi

Dalam analisis regresi linier berganda terdapat beberapa macam koefisien korelasi, yang tergantung pada pendekatan hubungan yang dicari.  Adapun macam-macam koefisien korelasi tersebut ad alah: 1). 2). 3). 4).

Koefisien Koefisien Koefisien Koefisien

korelasi sederhana. korelasi parsial. korelasi berganda. determinasi.

3.13.1 Korelasi linier sederhana Koefisien korelasi sederhana atau koefisien korelasi linier atau koefisien korelasi product moment  atau koefisien korelasi Pearson yang disimbulkan dengan r ij;  yaitu suatu nilai mengukur keeratan hubungan antar masing-masing variabel ke-i dengan variabel ke-j, dengan tidak memperhatikan pengaruh variabel-variabel yang lainnya, seperti variabel tak bebas Y atau sesama variabel bebas X dalam analisis regresi berganda.

57

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Dalam analisis regresi berganda tiga variabel atau dua prediktor yaitu analisis regresi yang terdiri atas dua pubah bebas X yaitu X1 dan X2 serta sebuah variabel tak bebas Y, maka terdapat tiga nilai koefisien korelasi linier sederhana r ij yaitu: 1)

r Y1  atau r YX1 yaitu koefisien korelasi antara Y dengan X1;

2)

r Y2  atau r YX2 yaitu koefisien korelasi antara Y dengan X2; dan

3)

r 12  atau r X2X1 yaitu koefisien korelasi antara X1 dengan X3.

Koefisien-koefisien korelasi tersebut di atas disebut dengan koefisien korelasi linier sederhana atau koefisien korelasi tahap nol atau koefisien korelasi order nol (simple coeficient of correlation or correlation coeficients of zero order  ).  Adapun rumus dari koefisien korelasi sederh ana ini adalah :

∑  XY  − [3.58a]. r XY =

[3.58b]. r XY =

[3.58c]. r XY =

∑  X  ∑ Y  n

  2 (∑  X )2    2 (∑ Y )2    ∑  X  −     ∑ Y  − n     n        ∑ xy   ∑ x 2 ∑  y 2  JHK  XY 

atau

atau

(n = jumlah sampel)

( JK  X )( JKY )

Memperhatikan keterangan di atas dapatkah dikatakan bahwa r YX1  merupakan ukuran dari keeratan huhungan atau korelasi sederhana antara Y dengan X1  yang sebenarnya, tanpa ada pengaruh yang variabel lain; sementara diketahui bahwa yang mempengaruh nilai Y adalah X2 selain nilai X1 dan selain itu kemungkinan juga X2 mempengaruhi X1 . Jadi tegasnya bahwa dalam regresi berganda untuk mendapatkan hubungan yang sebenarnya antara sebuah variabel bebas Xi dengan variabel tak bebas Y, yaitu dengan cara menghilangkan pengaruh variabel-variabel bebas yang lainya. Analisis ini dikenal dengan nama analisis korelasi parsial.

3.13.2 Koefisien korelasi parsial Korelasi parsial ( partial corelation coeficient ) dapat dibedakan menjadi: 1) korelasi parsial order satu, 2) korelasi parsial order dua, 3) korelasi parsial order tiga, dan 4) dan korelasi parsial order empat sampai korelasi parsial order banyak. 1).

Korelasi parsial order satu, dengan simbul r XiXj.Xk.  yang berarti hubungan antara variabel X ke-i dengan variabel X ke-j yang bebas dari pengaruh variabel X ke-k.

2).

Korelasi parsial order dua, dengan simbul r YXi.XjXk.  yang berarti hubungan antara variabel Y dengan variabel X ke-i yang bebas dari pengaruh variabel X ke-j dan variabel X ke-k.

3).

Korelasi parsial order tiga, dengan simbul r YXi.XjXkXl.   yang berarti hubungan antara variabel Y dengan variabel X ke-i yang bebas dari pengaruh variabelvariabel X ke-j; X ke-k; dan X ke-l.

4).

Korelasi parsial order banyak, dengan simbul r YXi.XjXk . . . Xp.   yang berari hubungan antara variabel Y dengan variabel X ke-i yang bebas dari pengaruh variabelvariabel X ke-j; X ke-k; . . .; dan X ke-p.

58

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.

Korelasi parsial order satu

Koefisien korelasi parsial order satu pada model persamaan regresi: # = 0 + 1 X 1 + 2 X3. dapat diuraikan menjadi: (1). r YX1.X2 koefisien korelasi parsial antara Y & X1 jika X2 pengaruhnya konstan (2). r YX3.X1 koefisien korelasi parsial antara Y & X2 jika X1 pengaruhnya konstan (3). r X1X3.Y koefisien korelasi parsial antara X1 & X2 jika Y pengaruhnya konstan Perhitungan nilai-nilai koefisien korelasi parsial oder satu untuk tiga variabel dari persamaan di atas, didasarkan pada nilai-nilai koefisien korelasi sederhana atau korelasi order nol. Koefisien korelasi parsial oder satu mempunyai persamaan: [3.60a].

r  YX1.X2

=

[3.60b].

r YX3.X1

=

[3.60c].

r X1X3.Y

=

r YX 1 − r YX 2 r  X 1 X 2 (1 − r 2 YX 2 ) (1 − r 2 X 1 X 2 )

r YX 2 − r YX 1 r  X 1 X 2 (1 − r 

2

YX 1

) (1 − r 

2

 X 1 X 2

nilai X1 yang konstan )

r  X 1 X  2 − r YX 1 r Y 1 X 2 (1 − r 

2

YX 1

) (1 − r 

2

nilai X2 yang konstan

nilai Y yang konstan

YX 2 )

Dari persamaan [3.60a sd 3.60c] di atas dengan pengertian bahwa: 1)

r YX1 adalah koefisien korelasi sederhana antara Y dengan X1;

2)

r YX2 adalah koefisien korelasi sederhana antara Y dengan X2; dan

3)

r X1X2 adalah koefisien korelasi sederhana antara X1 dengan X3.

 Apabila nilai koefisien korelasi sederhana diketahui besarnya sehingga analisis korelasi parsial oder satu dari persamaan regresi tiga variabel di atas menjadi: [3.61a].

r YX1.X2

=

[3.61b].

r YX3.X1

=

[3.61c].

r X1X3.Y

=

r YX 1 − r Y X2 r  X 1X2 (1 − r Y 2X2 ) (1 − r  X 21 X  2 ) r YX 2 − r Y X1 r  X 1X2 (1 − r Y X1 ) (1 − r  X 1 X 2 ) 2

2

r  X ! X  2 − r Y X1 r Y X2 (1 − r Y X1 ) (1 − r YX 2 ) 2

2

Beberapa interprestasi yang dapat diungkapkan dari persamaan (3.61a sd 3.61c) di atas adalah sebagai berikut: 1).

Dalam r YX1.X2; jika r YX1 = 0, maka r YX1.X2  tidak akan = 0, kecuali apabila r YX2 atau r X1X2 = 0 atau kedua-duanya = 0.

2).

Dalam r YX1.X2; jika r YX1 = 0, di mana r YX2  serta r X1X2 & 0, dan selain itu keduaduanya mempunyai tanda yang sama (+ atau -), maka r YX1.X2 mungkin akan negatif.

3).

Sedangkan, dalam r YX1.X2 jika r YX1 = 0, di mana r YX2 serta r X1X2 & 0, dan selain itu  jika keduanya mempu nyai tanda yang berb eda, maka hasiln ya akan positif.

59

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Sebagai misal: Y produksi padi per hektar, X1  curah hujan dan X2  temperatur udara. Diumpamakan Y = 0, yaitu bahwa tidak ada hubungan antara jumlah curah hujan dengan produksi padi, atau dengan kata lain bahwa produksi padi tidak dipengaruhi oleh curah hujan. Selanjutnya, diasumsikan pula bahwa r YX2 bertanda positif (+) dan r X1X2 bertanda negatif (-), maka nilai r YX1.X2 akan bertanda positif (+) dan yaitu dengan anggapan bahwa suhu konstan, maka akan terjadi korelasi yang positif antara produksi padi per hektar dengan curah hujan. 4).

Bahwa r X1X2  dan r YX1  (serta penduga yang setara) tidak perlu mempunyai tanda yang sama.

5).

Dalam analisis regresi dua variabel bebas X, maka nilai r YX1.X2 akan berkisar antara 0 dan 1. Nilai yang sama akan didapat juga dari analisis korelasi parsial yaitu: 2

2

0 + r YX1  + r YX2 - r YX1 r YX2 r X1X2 + 1 (nilai dalam tanda pertidaksamaan disebut dengan koefisien determinasi ganda 2 (r  ), akan dibicara kemudian). 6).

Dalam r YXi.Xj yang bernilai negatif maka disamakan dengan nokl (0).

3.13.3 Koefisien Deterninasi 2

Koefisien determinasi R dapat dihitung langsung dari data bersamaan dengan koefisien 2 regresi bi. Kegunaan dari Koefisien determinasi R adalah untuk mengukur tingkat ketepatan yang paling baik dari analisis regresi. Jika data observasi dapat tepat pada garis atau bidang regresi yang diestimasi, maka dikatakan terjadi kecocokan garis atau bidang regresi dengan sepurna, dan nilai koefisien 2 determinasi akan maksimum yaitu R = 1. Dalam kenyataan terhadap data pengamatan akan terjadi penyimpangan dengan garis atau bidang regresi penduga yang dikodekan dengan ei. Di dalam analisis regresi dengan metode kuwadrat terkecil (OLS) diusahakan supaya nilai )ei sekecil mungkin mendekati nol atau nilai koefisien determinasi semaksimum mungkin mendekati satu. 2

Koefisien determinasi berganda R  dengan rumus umum seperti berikut: [3.62]

2

R =

 Jumlah  Kuadrat  Re gresi  Jumlah  Kuadrat  Total  2

Koefisien determinasi berganda R   dari regresi tiga variabel atau untuk regresi dengan dua variabel bebas X (X1 dan X2) dengan model persamaan regresi seperti # = 0 + 1 X1 + 2 X3. dapat didefinisikan sebagai berikut : 2

[3.63] R =

b1

∑  x

1i

 yi

+ b2

∑  y

∑  x

2i

 y i

2 i

Untuk regresi p + 1 variabel atau dengan p variabel bebas X (X1, X 2, X3, . . ., Xp) dengan model persamaan regresi seperti # = 0 + 1 X1 + 2 X2 + . . . + p Xp  dapat didefinisikan sebagai berikut : 2

[3.64] R =

b1

∑  x

1i  y i

+ b2 ∑  x2i  y i + . . . +

∑  y

bk 

∑  x

 pi y i

2 i

Kelanjutan uraian koefisien determinasi berganda dan modifikasinya akan dibahas pada hal-hal selanjutnyaI. 2

2

Nilai harapan (E) koefisien determinasi R yang ditulis dengan E(R ) yang sering disebut dengan koefisien determinasi yang disesuaikan atau koefisien determinasi terkoreksi, didefinisikan dengan persamaan sebagai persamaan [3.65] berikut di bawah ini.

60

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

[3.65]

σ e2

E(R ) =  E (1 − 2

= 1= 1= 1= 1-

)

σ  y2

∑ e 2 /(n − k ) ∑  y 2 /(n − 1) n −1 ∑ e2 n − k  ∑  y 2 n −1

2

n − k  n −1

(1-R )  +

n −1

R

2

n − k  n − k  n − k  − n + 1 n −1

=

 +

n − k  n − k  1 − k  n −1 2

=

n − k 

 +

n − k 

R

2

R

2

Dari penyelesaian persamaan [3.65] di atas maka didapatkan bahwa nilai harapan E(R ) yang disebut dengan nilai koefisien determinasi terkoreksi yang biasa ditulis dengan  R 2 sehingga persamaan terakhir di atas dapat ditulis menjadi: [3.66]  R 2 = =

 R

2

 R 2

n −1 n − k  n −1 n − k 

+ −

1 − k  n − k  k  −1 n − k 

Penyelesaian selanjutnya dari persamaan [3.66] akan menjadi: [3.67]  R 2 = = =

nR 2 − R 2

+ kR 2 − kR 2 1 − k  − n − k  n − k  2 2  R (n − k ) k  − 1  R (k  − 1) − + n − k  n − k  n − k  k  − 1 2 R (1 −  R 2 ) n − k  2

Dari persamaan di atas didapatkan maka R 2 + R +1

61

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.14

Contoh Analisis dan Uraiannya

 Agar dapat memahami uraian di atas dan dapat menentukan nilai koefisien regresi penduga atau koefisien regresi bi yaitu nilai- nilai b0, b1, dan b2, maka diberikan contoh olahan seperi di bawah ini, yang datanya terdiri dari dua variabel bebas X (prediktor = regresor) yaitu X1 dan X2 seperti pada Tabel 3.3. Tabel 3.3. Pengamatan Data Rregresi Dua Variabel Bebas X dan Satu Variabel Y 2

2

No.

X1

X2

Y

X1

1

9,750

1,610

0,650

95,063

2,592

2

10,500

2,000

0,750

3

11,250

2,500

4

12,600

5

2

X1 Y

X2 Y

X1X2

0,423

6,338

1,047

15,698

110,250 4,000

0,563

7,875

1,500 21,000

0,900

126,563 6,250

0,810

10,125

2,250 28,125

2,700

1,150

158,760 7,290

1,323

14,490

3,105 34,020

11,900

2,250

0,950

141,610 5,063

0,903

11,305

2,138 26,775

6

15,200

3,250

1,750

231,040 10,563

3,063

26,600

5,688 49,400

7

12,250

2,900

1,050

150,063 8,410

1,103

12,863

3,045 35,525

8

12,900

3,000

1,000

166,410 9,000

1,000

12,900

3,000 38,700

9

14,300

3,100

1,700

204,490 9,610

2,890

24,310

5,270 44,330

10

13,250

3,050

1,250

175,563 9,303

1,563

16,563

3,813 40,413

11

15,300

3,250

1,800

234,090 10,563

3,240

27,540

5,850 49,725

12

8,900

1,900

0,600

79,210

3,610

0,360

5,340

1,140

13

10,600

1,950

0,500

112,360 3,803

0,250

5,300

0,975 20,670

14

7,500

3,450

0,720

56,250 11,903

0,518

5,400

2,484 25,875

15

11,900

2,250

0,950

141,610 5,063

0,903

11,305

2,138 26,775

Jum178,100 39,160 lah Rata11,873 2,611 rata

X2

Y

15,720 2183,33 0 107,020 18,908

198,253 43,441 473,940

1,048

13,217

145,555 7,135

1,261

2,896 31,596

3.14.1 Perhitungan nilai JK- JHK Perhitungan nilai JK- JHK dari data tabel di atas dapat dilihat di bawah ini. Perhitungan nilai JK seperti: JK Y

JK X1

JK X2

16,910

= = =

(y2 = (Y2 - ((Y)2/n

=

(x12 = (X12 - ((X)2/n

= =

2183,330 - (178,100) /15 68,6893

=

(x22 = (X22 - ((X)2/n

= =

107,020 - (39,160) /15 4,7859

2

18,908 - (5,720) /15 2,4338 2

2

62

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Perhitungan nilai JHK seperti: JHK X1Y

JHK X2Y

=

(x1y = (X1Y - (X1 (Y/n

= =

198,253 - (178,100)(5,72 0)/15 11,6037

=

(x2y = (X2Y - (X2 (Y/n

= =

43,441 - (39,160)(5,7 20)/15 2,4008

JHK X1X2 = = =

(x1x2 = (X1X2 - (X1 (X2/n 473,940 - (178,100) (39,160)/15 8,9803

3.14.2 Perhitungan untuk mencari nilai b1, b2, dan b0 seperti berikut ini: Perhitungan untuk mencari nilai b1, b2, dan b0 didasarkan pada nilai JK-JHK

 JK  X 1

= =

b2

−  JK  X 1  JHK  X 1 X 2 2  JK  X 2 − ( JHK  X 1 X 2 )

 JK  X 2  JHK  X 1Y 

b1 =

=

(4,78589)(11,6037) − (68,6893) (8,9803) (68,6893) (4,78589) − (8,9803) 2 0,136940

−  JK  X 2  JHK  X 1 X 2 2  JK  X 2 − ( JHK  X 1 X 2 )

 JK  X 1  JHK  X 2Y   JK  X 1

=

(68,6893)(2,4008) − (4,7859)(8,9803) (68,6893) (4,7859) − (8,9803) 2

=

0,244691

b0 =

Y  - b1  X 1 - b2  X 2

=

1,048 - (0,136940) (11,873) - (0,244691) (2,611)

=

-1,216739

Sehingga persamaan Regresi bergandanya menjadi:

#

=

b0 + b1 X1 + b2 X2

#

=

-1,216739 + 0,136940 X1  - 0,244691 X2

Selanjutnya, dilakukan pengujian terhadap regresi linier berganda terutama pengujian terhadap nilai-nilai koefisien regresi berganda (bi) serta pengujian terhadap bidang regresi. Dalam pengujian regresi linier berganda terdapat tiga macam uji yaitu: 1). 2). 3).

Uji simultan atau uji F atau uji ragam regresi atau uji varians regrsi; Uji parsial atau uji koefisien regresi berganda atau uji terhadap bi atau uji t; dan Uji koefisien korelasi berganda atau uji R.

63

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ketiga macam uji-uji tersebut di atas menggunakan Ragam Galat Regresi atau Varians 2 3. Residual Regresi yang disimbulkan S %  atau Se Varians Sisa Regresi atau Varians Galat Regresi, yang perhitungannya didasarkan pada Jumlah Kuadrat Total dikurangi dengan Jumlah Kuadrat Regresi dibagi dengan Derajat Bebas Galat Regresi. DB Galat Regresi = n - p – 1 = 15-2-1 = 12 3.14.3 Perhitungan analisis keragaman regresi Hubungan antara komponen-komponen pada Analisis Keragaman seperti berikut ini. Dari persamaan [3.46 h] didapatkan bahwa JK Galat Regresi sama dengan JK Total dikurangi dengan JK Regresi. JK Total atau JK Y dapat dihitung dari data pengamatan. Perhitungan JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi dari analisis data di atas seperti: JK Y

JHK X1Y

JHK X2Y

JK Total

= = =

(y2 = (Y2 - ((Y)2/n

=

(x1y = (X1Y - (X1 (Y/n

= =

198,253 - (178,100)(5,72 0)/15 11,6037

=

(x2y = (X2Y - (X2 (Y/n

= =

43,441 - (39,160)(5,7 20)/15 2,4008

= =

JK Y 2,4338

JK Regresi = = =

2

18,908 - (5,720) /15 2,4338

(b1 JHK X 1Y + b2 JHK X2Y) (0,136940) (11,6037) + (0,244691) (2,4008) 2,1765

JK Galat Regresi = =

= JK Total - JK Regresi 2,4338 - 2,1765 0,2573

Setelah perhitung JK Total, JK Regresi, dan JK Galat Regresi didapatkan, maka di lanjutkan dengan membuat Tabel Analisis Keragaman Regresi seperti pada Tabel 3.4 berikut ini. Tabel 3.4. Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (SK)

Derajat Bebas (DB)

Jumlah Kuadrat (JK)

Kuadrat Tengah (KT)

F hitung

Regresi

2

2,1765

1,08825

50,73904

Galat atau Residual Total

12

0,2573

0,02145

14

2,4338

-

Keterangan: Jumlah sampel (pasangan pengamatan) = n = 15. ** = berbeda sangat nyata pada p = 1% atau Dapat ditulis berbeda sangat nyata (p F(tabel 5%) maka uji F analisis regresi dilanjukan dengan pengujian pengaruh masing-masing variabel bebas X secara individu dalam kebersamaan terhadap variabel tak bebas Y secara parsial seperti uraian berikut.

Hal di atas dilakuakan sebab dalam pengujian yang dilakukan dengan uji F seperti di atas, tidak dapat memberikan petunjuk apakah setiap variabel Xi menunjukkan pengaruh atau hubungan yang nyata terhadap variabel tak bebas Y apabila jumlah peubah bebas bertambah banyak. Oleh karena itu, maka untuk menunjukkan hubungan atau pengaruh masing-masing variabel bebas Xi  secara individu atau parsial dalam kebersamaan atau simultan terhadap variabel tak bebas Y, dapat dilakukan dengan menguraikan Analisis Keragaman lanjutan yaitu menguraikan JK Regresi menjadi JK Regresi Parsial untuk setiap variabel bebas Xi seperti uraian berikut: Untuk dua variabel bebas X, maka JK Regresi Parsial untuk variabel bebas X1  dan X2 dengan perhitungan adalah : JK Regresi = (b1 JHK X 1Y + b2 JHK X2Y) = (0,136940) (11,6037) + (0,244691) (2,4008) = 2,1765 1).

JK Regresi X1 = b1 JHK X 1Y = (0,136940) (11,6037) = 1,5890

2).

JK Regresi X2 = b2 JHK X 2Y = (0,244691) (2,4008) = 0,5875

Dengan demikian maka bentuk Tabel Sidik Ragam dari perhitungan di atas menjadi seperti Tabel 3.5 berikut ini. Tabel 3.5. Sidik Ragam Regresi Berganda Dua Prediktor Sumber Keragaman (SK) Regresi

Derajat Bebas (DB) 2

Jumlah Kuadrat (JK)

Kuadrat Tengah (KT)

2,1765

1,08825

F hitung (Fhit)

F tabel 5%

1%

50,73904

3,88

6,93

Regresi X1

1

1,5890

1,5890

88,1119

4,75

9,33

Regresi X2 /X1

1

0,5875

0,5875

27,3893

4,75

9,33

12

0,2573

0,02145

14

2,4338

Residual atau Galat Total

Keterangan : Jumlah sampel = n = 15.

**

= berbeda sangat nyata (p t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui tidak melalui titik acuan (0,0). Untuk b1 maka 1). Apabila nilai P-value ,  (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit ≤ t(tabel 5%); hal ini berarti terima H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) sejajar dengan sumbu X1 . 2). Apabila nilai P-value < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui tidak sejajar dengan sumbu X1.. Untuk b2, maka 1). Apabila nilai P-value ,  (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit ≤ t(tabel 5%); hal ini berarti terima H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) sejajar dengan sumbu X2 . 2). Apabila nilai P-value < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui tidak sejajar dengan sumbu X3.. Sebagai contoh dari hasil analisis tersebut di atas didapatkan nilai P-value untuk b0 = 0.00018. Ini berarti tolak H0  karena P-value < 0,05, yang berarti bahwa bidang penduga # = - 1,217 + 0,137 X1 + 0,245 X2; tidak melalui titik acuan (0,0). Demikian juga didapatkan nilai P-value untuk b1 = 0.00002; dan b1 = 0.00799. Ini berarti tolak H0  karena P-value < 0,05, yang berarti bahwa bidang regresi penduga # = - 1,217 + 0,137 X1 + 0,245 X2; adalah bidang regresi penduga tidak sejajar dengan sumbu X1  maupun X2, dan sangat nyata. Lower dan Upper adalah sama dengan perkiraan nilai interval b0, b1, dan b1  atau pendugaan nilai 0, 1, dan 2 dengan rumus: p {bi - t*/2 sbi ≤ i ≤ bi - t*/2 sbi} = 1- *. Nilai 95% atau 99% = 1- * tergantung pada nilai * yang dipakai 5% atau 1%. Perkiraan nilai 0 berkisar antara - 1,714 sampai dengan - 1,719 untuk *  = 5%. Perkiraan nilai 1 berkisar antara 0,093 sampai dengan 0,191 untuk *  = 5%. Perkiraan nilai 2 berkisar antara 0,077 sampai dengan 0,413 untuk *  = 5%. Perhatikan nilai Lower dan Upper, apabila nilai Lower dan Upper bersifat definit positif atau definit negarif artinya baik Lower maupun Upper mempunyai tanda bilangan yang positif atau negarif ( + , - ) berarti dalam uji t hitung bi  menunjukkan signifikansi yang nyata pada taraf *  = 5% atau 1%. Sebaliknya, apabila nilai Lower bertanda negarif Upper bertanda positif berarti dalam uji t hitung bi menunjukkan signifikansi nyata pada taraf *  = 5%. atau 1%.

74

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3.15 Contoh Hasil Output Komputer dengan Menggunakan SPSS Penjelasan tabel-tabel dari setiap adalah seperti berikut ini. Table 3.9 Descriptive Statistics Tabel 3.9 Descriptive Statistics Variable

Mean

Std. Deviation

N

 Y

1,0480

0,41695

15

X1

11,8733

2,21504

15

X2

2,6107

0,58468

15

Descriptive Statistics adalah penjelasan mengenai nilai rata-rata, standar deviasi, dan  jumlah sampel yang di analisis pada setia p variabel. Tabel 3.10a Correlations Pearson Correlation

Sig. (1-tailed)

N

 Y

X1

X2

Y

1,000

,897

,703

X1

,897

1,000

,495

X2

,703

,495

1,000

Y

.

,000

,002

X1

,000

.

,030

X2

,002

.030

.

Y

15

15

15

X1

15

15

15

X2

15

15

15

Tabel 3.10 a,b Correlations Correlations adalah penjelasan mengenai koefisien korelasi linier sederhana versi  product momen dari Pearson, significant (p) dengan uji dua arah dan satu arah, serta jumlah sampel yang dianalisis pada setiap variabel. Tabel 3.10 b Correlations X1 X2 Pearson Correlation 1 ,495 Sig. (2-tailed) . ,060 N 15 15 X2 Pearson Correlation ,495 1 Sig. (2-tailed) ,060 . N 15 15  Y Pearson Correlation ,897 ,703 Sig. (2-tailed) ,000 ,003 N 15 15 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). X1

75

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Y ,897 ,000 15 ,703 ,003 15 1 . 15

Tabel 3.11 Variables Entered/Removed Tabel 3.11 Variables Entered/Removed Model

Variables Entered X2, X1

1

Variables Removed .

Method Enter

a All requested variables entered. b Dependent Variable: Y Variables Entered/Removed adalah penjelasan mengenai variabel mana yang mempunyai pengaruh yang paling utama kemudian diikuti oleh veriabel yang lain. Tabel 3.12 ANOVA Dalam Tabel 12, variabel yang paling berperngaruh adalah X2 kemudian X1. Tabel 3.12 ANOVA Model 1

Source of Sum of Variation Squares Regression 2,176

df 2

Mean Square 1,088 0,021

Residual

0,257

12

Total

2,434

14

F

Sig.

50,739

0,000

a Predictors: (Constant), X2, X1 b Dependent Variable: Y Pada Tabel Anova adalah sama dengan Sidik Ragam Regresi pada EXcel. Di mana SV = Source of Variation (SV) atau Sumber Keragaman (SK) tidak ditampilkan pada SPSS; df = Degrees of Freesom atau = Derajat Bebas (DB); Sum of Squares atau = JK; MS = Means Squarwes atau KT; F = F hitung. F adalah nilai F hitung seperti biasa yang dihitung dari JK Regresi/JKGalat Sig = Significance F adalah sama dengan nilai peluang nilai F hitung. Dalam hal ini nilai significance F dibandingkan nilai peluang (p) standar yaitu 5% dan 1%. 1).

Apabila nilai sig ,  (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan Fhit ≤ F(tabel 5%); hal ini berarti terima H0 yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) yang didapat tersebut bukan bidang regresi yang terbaik.  Atau peubah bebas X1 dan X2 tidak berpengaruh terhadap variabel tak bebas Y.

2). Apabila nilai sig F (tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga #  yang didapat adalah merupakan bidang regresi yang terbaik untuk menerangkan bahwa salah satu variabel bebas X1  dan X2  ada yang berpengaruh nyata terhadap variabel tak bebas Y.  Apabila nil ai sig F (tabel 1%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga #  yang didapat adalah bidang regresi terbaik untuk menerangkan variabel bebas X1 dan X2  berpengaruh sangat nyata terhadap variabel tak bebas Y secara simultan.

76

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Sebagai contoh dari hasil analis tersebut di atas didapat nilai F = 50,739 dengan sig = 0,0000. Ini berarti bahwa tolak H0  yang menyatakan bidang regresi penduga #  adalah bidang regresi yang terbaik untuk menerangkan bahwa variabel bebas X1 dan X2  berpengaruh sangat nyata terhadap variabel tak bebas Y secara simultan. Tabel 3.13a Model Summary Tabel 3.14a Model Summary Model

R

1

.946

R Square Adjusted Std. Error of R Square the Estimate .894 .877 .14645

a Predictors: (Constant), X2, X1 b Dependent Variable: Y R = Multiple R pada analisis Excel adalah sama dengan koefisien korelasi berganda r yang menunjukkan keeratan hubungan antara variabel bebas X1  dan X2 dengan peubah tak bebas Y yaitu sebesar 0,946. 2

R Square adalah sama pada analisis Excel sama dengan koefisien determinasi R yang menunjukkan variasi keragaman total Y yang dapat diterangkan oleh variasi variabel X1  dan X2, atau dapat diartikan bahwa 89,4,% dari peubah tak bebas Y dipengaruhi oleh variasi variabel X1 dan X3.  Adjusted R Square adalah sama dengan pada analisis Excel di mana koefisien 2 determinasi R terkoreksi = 87,7% Standard Error of Estimation adalah sama dengan Standard Error pada analisis Excel atau Salah Baku Y atau S Y   =

 KT  Y  n

=

 MS  Y  n

  = 0,14645.

Tabel 3.13b Model Summary Tabel 3.13b Model Summary

Model 1

Change Statistics R Square F Change Change .894 50.739

df1

df2

2

12

Sig. F Change .000

DurbinWatson 3.598

a Predictors: (Constant), X2, X1 b Dependent Variable: Y R Square Change = R Square seperti di atas = 0,894 F Change = F hitung = 50,739 df1 = derajat bebas Regeresi = 2 df2 = derajat bebas Galat Regeresi = 12 Sig F Change = p value untuk F Change = 0,000 Durbin-Watson test adalah suatu uji untuk data time series dari data pengamatan, yang menunjukkan apakah data ada unsur tine seriesnya.

77

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Tabel 3.14a Coefficients Regression Tabel 3.14a Coefficients Regression Model 1

Unstandardized Standardized t Sig. Coefficients Std. Error Coefficients B Beta (Constant) -1.217 .228 -5.331 .000 Var

X1

.137

.020

.727

6.732

.000

X2

.245

.077

.343

3.175

.008

a Dependent Variable: Y Var adalah sama dengan variabel yang akan dijelaskan; dalam analisis SPSS ini adalah X1, X2, dan Y Constant sama dengan Intercept = b0 yaitu  jarak antara titik potong dengan dibang regresi penduga # dengan titik acuan (0,0). Unstandardized Coefficients = Coefficients of regression sama dengan bi yang diberi kode dengan B dalam hal ini sama dengan b0, b1, dan b2 dari data asli. Masingmasing b0  = - 1,217, b1  = 0,137, dan b2  = 0,245. Standardized Coefficients = Coefficients of regression dari semua data yang ditransformasikan ke dalam bentuk data standar atau data Zi baik data Y maupun data X. Standardized Coefficients diberi nama beta (). Dalam hal ini i  yang berarti pengaruh langsung setiap variabel bebas Xi  terhadap variabel tak bebas Y. Untuk variabel X1 = 0,727 dan untuk variabel X2 = 0,343. Badingkan dengan nilai b1 dan b2 di atas. Std Error = Standart Error dalam Tabel 3.15a = Standart Error koefisien regresi, yang menunjukkan nilai sama dengan Sb0, dan Sb1, dan Sb2 untuk pengujian b0, b 1, dan b3. Sebagai contoh Standart Error untuk b0 (Sb0) = 0,228; b1 (Sb1) = 0,020; dan b2 (Sb2) = 0,077. Hasil ini persis sama dengan analisis Excel. t sama dengan t hitung untuk bi dengan rumus: t hitung bi =

 b i S bi

;

Sehinga nilai t hitung untuk masing-masing b0  = -5, 331; b1  = 6,732; dan b 2  = 3,175. Sig = P-value pada analisis Excel adalah sama dengan nilai peluang dari nilai t hitung. Dalam hal ini nilai t hitung tidak dibangingkan dengan t tabel seperti biasa. Akan tetapi, Sig = nilai P-value dibandingkan nilai peluang (p) standar yaitu 5% atau 1%. Untuk b0, maka: 1). Apabila nilai Sig ,  (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit ≤ t (tabel 5%); hal ini berarti terima H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui titik acuan (0,0) 2). Apabila nilai Sig < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui tidak melalui titik acuan (0,0).

78

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Untuk b1 maka: 1). Apabila nilai Sig ,  (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit ≤ t(tabel 5%); hal ini berarti terima H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) sejajar dengan sumbu X1 . 2). Apabila nilai Sig < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui tidak sejajar dengan sumbu X1.. Untuk b2, maka: 1). Apabila nilai Sig ,  (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit ≤ t(tabel 5%); hal ini berarti terima H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) sejajar dengan sumbu X2 . 2). Apabila nilai Sig < (p = 0,05) mempunyai kesimpulan yang sama dengan thit > t(tabel 5%); hal ini berarti tolak H0  yang menyatakan bahwa bidang regresi penduga (#) melalui tidak sejajar dengan sumbu X3.. Tabel 3.14b Coefficients Regression Tabel 3.14b Coefficients Regression 95% Confidence Correlations Collinearity Interval for B Statistics Model Var Lower Upper Zero- Partial Part Tolerance VIF Bound Bound Order 1 (Constant) -1.714 -.719 X1

.093

.181

.897

.889

.632

.755

1.325

X2

.077

.413

.703

.676

.298

.755

1.325

Pada analisis SPSS hasilnya hampir sama dengan anlisis dengan Excel di mana nilai Lower Bound dan Upper Bound adalah sama dengan perkiraan nilai interval b0, b 1, dan b1 atau pendugaan nilai 0, 1, dan 2 dengan rumus umum: p {bi - t*/2 sbi ≤ i ≤ bi - t*/2 sbi} = 1- * . Nilai 95% atau 99% = 1- * tergantung pada nilai * yang dipakai 5% atau 1%. Perkiraan nilai 0 berkisar antara - 1,714 sampai dengan - 1,719 untuk *  = 5%. Perkiraan nilai 1 berkisar antara 0,093 sampai dengan 0,191 untuk *  = 5%. Perkiraan nilai 2 berkisar antara 0,077 sampai dengan 0,413 untuk *  = 5%. Perhatikan nilai Lower dan Upper, apabila nilai Lower dan Upper bersifat definit positif atau definit negarif artinya baik Lower maupun Upper mempunyai tanda bilangan yang positif atau negarif ( + atau - ) berarti dalam uji t hitung bi  menunjukkan signifikansi yang nyata pada taraf *  = 5% atau 1%. Sebaliknya, apabila nilai Lower bertanda negarif dan nilai Upper bertanda positif berarti uji t hitung bi menunjukkan signifikansi tidak nyata pada taraf * = 5% atau 1%.

79

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com