Regra de Cramer

Regra de Cramer

Gabriel Cramer (1704 - 1752) Gabriel Cramer nasceu em Genebra, na Suíça, a 31 de Julho de 1704, no seio de uma família bem sucedida academicamente. O seu pai era médico e, dos seus dois irmãos, um tornou-se também médico e outro professor de Direito. O seu talento matemático desde cedo se manifestou. Com apenas 18 anos obteve o grau de doutor pela Universidade de Genebra com uma tese sobre “a teoria do som”, e aos 20 anos foi nomeado professor de Matemática pela mesma universidade. A responsabilidade da cadeira era dividida com outro jovem matemático, Calandrini, que descreve Cramer como sendo “... amigável, bem-humorado, sensato, saudável e com boa memória.” Ocupou-se também da origem, a forma dos planetas e dos seus movimentos. É famosa a regra que permite a resolução dos sistemas de equações lineares que tem o seu nome, a Regra de Cramer. A Regra de Cramer foi elaborada por Gabriel Cramer, e serve para acharmos a solução de qualquer sistema linear, com n equações e n incógnitas. Ele é um importante recurso na resolução de sistemas possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna muito trabalhoso (por causa dos coeficientes das equações do sistema), ou ainda quando o sistema é literal. Importante: a regra de Cramer só pode ser aplicada quando o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero. Portanto deve-se calcular o determinante antes de aplicar a Regra de Cramer. Exemplo: Tomemos de uma equação linear simples, com duas equações e duas incógnitas: x + 2y =8    3x - y = 3

Fórmula Para resolver um sistema linear com o teorema de Cramer, devemos calcular primeiro três valores: ∆p , ∆x e ∆y . Eles são encontrados da seguinte forma: ∆p é o determinante da matriz M (formada apenas pelos coeficientes das variáveis do sistema linear) M=

1 3 

2 −1 

∆x é obtido a partir da matriz M, substituindo-se, a primeira coluna pela coluna dos coeficientes independentes do sistema (B). Observe: M=

1 3 

B=

2 −1  8 3  

∆y é obtido a partir da matriz M, substituindo-se, a segunda coluna pela coluna dos coeficientes independentes do sistema. Observe: M=

1 3 

B=

2 −1  8 3  

Agora, finalmente vamos descobrir os valores de x e y. x = ∆x/∆p logo: x = -14 / -7 = 2 e

y = ∆y/∆p logo: y = -21 / -7 = 3 Para comprovar os resultados, basta trocar x e y por 2 e 3 nas equações dadas: x+2y = 8 3x - y = 3 2+(2.3) = 2+6 = 8 (3.2) - 3 = 6 - 3 = 3 Segundo Boldrini (1986): “Embora seja muito útil, pois dá uma forma explícita das soluções de um sistema, ela (Regra de Cramer) não é muito usada para cálculos numéricos. Isto porque o número de operações que ela envolve é muito grande, quando trabalhamos com muitas equações.” “Como um exemplo, para resolvermos um sistema de 10 equações e 10 incógnitas, pela Regra de Cramer teríamos um número de operações superior a 362.880.000 operações enquanto pelo método de redução de linhas não chegaria a 14.000.” “Muitos problemas que aparecem em Engenharia, Economia, Biologia, etc, costumam envolver um grande número de incógnitas, de ordem 100 ou 1.000.”

EXERCÍCIOS Resolva os sistemas lineares a seguir utilizando o método de Cramer. a)

4 x + 5 y = −1   2x +3 y = 4

S={(-23/2 , 9)}

b)

 x +4y = 0  3 x + 2 y = 5

S={(2 , -1/2)}

c)

 2x − y = 2  − x + 3 y = −3

S={(3/4 , -4/5)}

d)

5 x − 4 y = 6  − x + y = −1

S={(2 , 1)}

e)

2 x − 3 y + 7 z =1   x +3z = 5  2y −z =0 

S={(-49, 9 , 18)}

f)

 x + y + z = 1000   2 x + y + 4 z = 2000 2 x + 3 y + 5 z = 2500 

g)

 x + 2 y + 3z = 7   2x + y + z = 4 3 x + 3 y + z =10 

h)

 x +5 y + 2 z =10  2 x + y + −3 z = −3 3 x + 6 y +5 z =19 

S={(700, 200 , 100)}

S={(4/9, 25/9, 1/3)}

S={(1, 1, 2)}

i)

 2 x +1 y + z = 7  4 x + y + −3 z = 5 2 x + 3 y + 2 z = 7 

S={(3, -1, 2)}

j)

 x + 0 y + 3z = 2  0 x + 2 y + 0 z = 4 1x + 0 y +1z = 6 

S={(8, 2, -2)}

k)

x + 0 y +1z = 4  0 x + 0 y + z = 3  x + y +0z = 3 

S={(1, 2, 3)}