Reglas y Explicación Árboles Semánticos Valuados -Ml

Árboles Semánticos Valuados 1 Supongamos que queremos determinar si la siguiente forma pr oposicional es una tautología:

( ∨  ∧ ) →  ∨  ∧  ∨  Para hacerlo, generamos el siguiente árbol semántico:

[( [( ∨  ∧ ) → ( ∨  ∧  ∨ )] 1 [( [( ∨  ∧ )] 2 )] 2   ∨  ∧  ∨ 4 

  ∨  4    X 

 ∧  3    ∨  5     X 

 ∨  6      X

 ∨  7     X

Explicación: 1. Asumimos que la forma proposicional es falsa: es  falsa:  [( [( ∨  ∧ ) → ( ∨   ∧  ∨ )]. 2. Como el condicional es falso si y solo si el antecedente es V y el consecuente F, escribimos [( [( ∨  ∧ )] y   ∨  ∧  ∨  como consecuencias directas de (1).

3. Ahora, observa (2). Como es una disyunción V, no podemos inferir ninguna consecuencia directa de (2). Lo único que podemos inferir es que o el primer disyunto es V o el segundo disyunto es V. Por lo tanto, el árbol se divide en dos ramas; una para cada posibilidad,   y  ∧  .

4. Observa (3). De  ∧  obtenemos como consecuencias directas   y . 5. Regresa a (4). Es una conjunción falsa:   ∨   ∧  ∨ . Eso quiere decir que o bien   ∨   o bien

  ∨ .

6. Como ya hemos establecido las ramas     y

 ∧  3 , y además hemos derivado  y   de  ∧  (5), abrimos dos ramas desde    y , cada una con las dos posibilidades que estamos considerando:   ∨   y   ∨ . Es decir, ahora tenemos cuatro nuevas ramas. 7. Observa el  ∨   de la primera rama de la derecha obtenemos como consecuencias directas  y  . Sin embargo,  está en contradicción directa con . En consecuencia, consecuencia, ponemos “ X ” debajo de  para indicar que esa rama se cierra. 8. En las otras tres ramas restantes hacemos una operación similar que en la primera, esto nos llevan a una contradicción en cada cosa; por ello, todas las ramas se cierran y concluimos que (1) es insostenible.

9. Eso significa que ( ∨  ∧ ) →  ∨   ∧  ∨  no puede ser falsa bajo ninguna interpretación y, por lo tanto, esa fórmula es una tautología.

1

 Adaptado de las separatas del curso de Lógica 1 del profesor Eduardo Villanueva Chigne.

REGLAS ÁRBOLES SEMÁNTICOS VALUADOS

1. ∼ 

1.

 2.

3.

 ∧   



  4.  → 

 

 ↔   



3. ∨ 

 →  

5.



 ∨  

4.

2.∧

  5.  ↔ 

 

  

 