Regla de Simpson

 

Regla de Simpson En análisis numérico numérico,, la regla regla o  o método de Simpson (nombrada Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson)) y a veces llamada regla de Kepler  es Simpson  es un método de integración numérica que numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral: integral:

. [editar ]Derivación

de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio Lagrange es:  es: interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange

 Así, la integral integral buscada se puede aproxi aproximar mar como:

Error  El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es

donde h = (b − a) / 2 y

.

 

Regla de Simpson compuesta En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales, de manera que  xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n 0,1,...,n.

 Aplicando la Regla Regla de Simpson a cada subintervalo, tenemos: tenemos:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

El máximo error viene dado por la expresión Version simplificada:

Donde E son los extremos I son la función evaluada en los intervalos impares y P la función evaluada en los intervalos pares. Con n mayor que 2 y par. p ar. )

 

Regla de Simpson: Utilizamos ahora un polinomio de interpolación cuadrático. Sea p2(x) el polinomio de grado (a lo más) dos que interpola a f(x) en x=a, x=(a+b)/2, x=b. Este polinomio se puede escribir como:

Tenemos ahora que

Pero con h=(b-a)/2 y u=x-a tenemos que

En forma similar se obtiene que

Tenemos pues que

 (**) Argumentando en forma similar a en método del trapezoide, tenemos que si n es un entero par (¿por qué?) entonces

Usando la fórmula (**) podemos aproximar 

 

Ahora

Esta fórmula se conoce como la regla (compuesta) de Simpson para Simpson para aproximar a I(f).

Ejemplo 2: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x 0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

MATLAB no tiene una rutina simp equivalente a trapz. ¡Tiene una mejor llamada quad! La subrutina quad utiliza una regla de Simpson adaptativa donde el valor de h se ajusta para que el error en la aproximación satisfaga una tolerancia especificada por el usuario. También MATLAB tiene la subrutina quad8 que al igual que quad usa un método adaptativo pero con una fórmula de aproximación de grado mayor. En lugar de usar estas rutinas que hacen las comparaciones un tanto complicadas, implementamos nuestra versión de simp equivalente a trapz:

 

function q=simp(x,y); n=length(x)-1; if (n/2)~=floor(n/2 ( n/2)~=floor(n/2)) disp('n tiene que ser par'); break; end h=x(2)-x(1); v=2*ones(n+1,1); v2=2*ones(n/2,1); v(2:2:n)=v(2:2:n)+v2; v(1)=1;v(n+1)=1; q=(h/3)*y*v; Esta subrutina implementa una forma vectorizada del método de Simpson que ejecuta eficientemente en MATLAB. Note que se requiere que n sea par. Recuerde también que en MATLAB los indices de los arreglos corren empezando en uno. El mismo programa del Ejemplo 1 lo podemos usar aqui ahora reemplazando la llamada a trapz por simp. Obtuvimos los siguientes resultados: n

Sn(f)

en=I(f)- Sn(f)

en/  e2n

00..694444 0.6932 32554 0. 0.69 6931 3155 55 0. 0.69 6931 3148 48 0.6931 31447 0. 0.69 6931 3147 47 0. 0.69 6931 3147 47

-0.00129726 -0 -0..000 00110678 6788 -7 -7.3 .350 5009 09ee-00 0066 -7 -7.3 .350 5009 09ee-00 0066 -2. 2.997299 99ee-0 -0008 -1 -1.8 .861 6151 51ee-00 0099 -1 -1.1 .163 6398 98ee-01 0100

----12.14 .1481 14.5 14.528 2888 14.5 14.528 2888 15. 5.8885 15.9 15.970 7088 15.9 15.992 9277

  0. 0.69 6931 3147 47   0. 0.69 6931 3147 47 1024   0.6 0.693 9314 1477

-7 -7.2 .275 7562 62ee-01 0122 -4 -4.5 .547 4747 47ee-01 0133 -2 -2.8 .842 4217 17ee-01 0144

15.9 15.998 9833 15.9 15.999 9933 16.0 16.000 0000

2 4 8 16 32 64 128 256 512

             

Estos resultados confirman claramente la convergencia de la regla de Simpson en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de 16 aproximadamente (última columna de la tabla) esto es caracteristico de convergencia O(h4) lo cual confirmaremos teoricamente más adelante.

Ejercicios:

 

1. Usando las reglas del trapezoide y de Simpson y llos os programas descrit descritos os en esta lección, aproxime el siguiente integral:

El valor exacto de este integral es /4. Use esto para generar una tabla con las aproximaciones y los errores (exactos) y estime el orden de convergencia. 2. La regla del del punto m medio edio se pue puede de usar para obtener la si siguiente guiente aproximación de I(f):

Usando esta fórmula diseñe una fórmula compuesta llamada la regla (compuesta) del punto medio. medio. Use esta fórmula en el ejercicio anterior y estime el orden de convergencia de la misma. 3. Utilizando un polinomio polinomio cúbico de Hermite para inter interpolar polar a f(x) en [a,b], desarrolle una fórmula para aproximar a I(f). Obtenga la fórmula compuesta correspondiente.

 

INTEGRACIÓN NUMÉRICA Reglas de Simpson o

  Sim Simpso pson n 1/3

o

  Sim Simpso pson n 3/8

REGLA DE SIMPSON Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar  polinomios de orden superior pa para ra conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un  punto medio extra entre entre f(a)  f(a)   y f(b)  f(b),, entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas llaman  Reglas de Simpson. Simpson.

REGLA DE SIMPSON 1/3 La Regla de Simpson de 1/3 proporciona La Regla 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante  parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida en dos fajas, bajo la curva f(X) curva f(X) en  en la fig. 2, se aproxima mediante el área sombreada bajo una  parábola que pasa por los tres puntos: (Xi  , Yi) (Xi+1, Yi+1) (Xi+2, Yi+2)

 

Fig. 2 Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la generalidad de la derivación. La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta los tres puntos es: (7)

La integración de la ec. (7) desde hasta proporciona el área contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:

(8)

 

Fig. 3 La sustitución de los límites en la ec. (8) produce: (9)

Las constantes a  y c se pueden determinar sabiendo que los  puntos , (0, Yi + 1  ), y deben satisfacer la ec. (7). La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:

(10)

La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a, b, c, c, nos lleva a:

 

(11)

La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:

(12)

que nos da el área en función de tres ordenadas Y  ,i Y i+1  ,, Y una faja.

  y el ancho

i+2

de

Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo una curva contenida en dos fajas de igual ancho. Si el área bajo una curva entre dos valores de X  de  X  se   se divide en n fajas uniformes (n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

(13)

Sumando estas áreas, podemos escribir:

(14 )

 

o bien

(15)

en donde n es par. La ec. (15) se llama Regla llama Regla de Simpson de un Tercio Tercio para  para determinar el área aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un número par de fajas de ancho

.

Si la función f(X) función f(X) se  se puede expresar como una función matemática continua que tiene derivadas continuas f continuas f '   a , el error que resulta de aproximar el área verdadera de dos fajas bajo la curva f(X) curva  f(X)comprendida comprendida entre X  entre X ii-1 -1  y X i+1 i+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra que es:

(16)

Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de Simpson, Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término mostrado del error  por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para cada intervalo de dos fajas suponiendo que es suficientemente constante en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y valuando  para . La estimación del error por truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por truncamiento es mayor de lo que se  puede tolerar, se deben utilizar intervalos de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también aparece, existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo en la integración.

REGLA DE SIMPSON 3/8

 

La derivación de la Regla la Regla de los Tres Octavos Octavos de Simpson Simpson es  es similar a la regla de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la parábola de tercer grado es: (17)

Fig. 4 En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig. 4. El intervalo de integración es de -

a

, lo que produce:

(18 )

que es la regla de los tres octavos de Simpson Simpson.. La regla de Simpson de 3/8 tiene 3/8  tiene un error por truncamiento de:

 

(19)

Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3. La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.