reforzamiento matematica 2016

1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: 311 + 311 + 311 = 3(311) = (31)(311) = 31 + 11 = 312 a) 312

b) 911

c) 333

d) 933

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: 2a3 + 326 = 5b9 se deduce que a + 2 = b Si el número es divisible por 9 significa que 9 ǀ(5 + b + 9); con 9 < n < 0), 5 5 5 5 5 5

+ + + + + +

0 1 2 3 4 5

+ + + + + +

9 9 9 9 9 9

b 2 a a

= = = =

4 4 4 2

= = = = = =

14 15 16 17 18 19

-

2

Por ser múltiplo de 9, entonces a

+

Entonces la suma será a + b = 2 + 4 = 6 a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? I: 10% = 0.1 cantidad original I + 0.1 I = 1.1 I : (10%)(1.1 I) nueva cantidad obtenida Si restamos 1.1 I – 0.1 (1.1 I) = 1.1 I – 0.11 I = 0.99 I Multiplicando

a) 90%

y en porcentaje será

b) 99%

c) 100%

d) 101%

4. (8)¿Cuántos números válidos (números que no tienen al cero como primer dígito) de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? 2500 2 El número de 5 cifras -----> abcde 1250 2 a puede ser---> 1, 2, 3 y 4 ( 4 valores) 625 5 b puede ser---> 0; 1, 2, 3 y 4 ( 5 valores) 125 5 c puede ser---> 0; 1, 2, 3 y 4 ( 5 valores) 25 5 54 x 22 = 4 x 54 d puede ser---> 0; 1, 2, 3 y 4 ( 5 valores) 5 5 1

e puede ser---> 0; 1, 2, 3 y 4 ( 5 valores) Por el principio de la multiplicación: 4 x 5 x 5 x 5 x 5 = 2500 Respuesta: pueden escribirse 2500 números. a) 55

b) 4x54

5. (10)En una ciudad

c) 4x55

d) 5!

de los hombres están casados con los

de las mujeres. Si nunca se

casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros de dicha ciudad? h: hombres m: mujeres Si los Los

de hombres son igual a los

de las mujeres cuando están casados.

de los hombres comparados con los

forasteros, esto es,

de las que mujeres nunca se casan con

no están casadas con forasteros. Población casada.

Total de habitantes hombres

Total de solteros

6. (14)Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? (Juegos ganados)/(Juegos jugados) = 15/20 = 3/4 a) 3

b) 10

c) d)

7. (15) si x es un numero par y y es un numero entero impar. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones siempre es falsa? Vamos a probar cambiando a de manera inicial letras’

Sea x : 2n y y:2n + 1 (2n) + (2n + 1) = 4n + 1= 2(2n) + 1 = este número siempre será impar. Recordemos que un número impar se representa como 2k + 1 y 2n +2n = 4n = 2(2n) = siempre par. Recordemos también que 2k es un numero par. Así podemos afirmar que

Entonces

Port tanto

8. (16) El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? (Mínimo a, máximo b) = 5 Lo números [a, b], entonces Es decir, el producto del MCD y mcd de dos números es igual al valor absoluto de dichos números. axb = 5 x 105 = 525 Los números multiplicados den 525 y además cumplen la condición pedida. 525 5 105 5 21 7 3 3 1 De aquí se tiene 5 + 105 = 110 25 + 21 = 46 15 + 35 = 50 7 + 75 = 82 3 + 175 = 178 Por tanto los números pedidos son 15 y 35 y su suma es 50 a) 21

b) 25

c) 49

d) 50

9. (17) La maestra distribuyo la misma cantidad de dulces entre cada uno de los 5 niños y se quedó 3 para ella misma. No se acuerda cuantos dulces tenia, pero se acuerda que era múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía? Sea Ct. El número total de caramelos.

Ct = 5 para los niños + 3 para ella. Como deben de ser múltiplos de 5 entre 65 y 100 entonces estos números múltiplos deben ser: 70, 75, 80, 85, 90 y 95 divisibles por 2 y 5. Agregando los 3 caramelos que se quedó la maestra tenemos 70 + 3 = 73 → 6 73 75 + 3 80 + 3

= 78 → 6 ǀ 78 = 83 → 6 83

85 + 3

= 88 → 6 88

90 + 3

= 93 → 6 93

95 + 3

=

→ 78 = 5 (15) + 3

98 → 6

98 10.(20) Juan gasta 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa? Si Juan gasta el 20% → le queda el 80% Para el 20% de lo que quedo (0.2)(80%) = 16% a) 8

b) 10

c) 16

d) 20

11.(22) Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue de: Si la menor cantidad 15% = 9000, Entonces el doble de 15% es 30 y el doble de lo que le corresponde a 9000 es 18000. Se puede decir que si 30% = 18000, entonces para sacar el 10% dividimos las cantidades entre 3: 10% = (18000/3)= 6000 O sea 10% = 6000 Entonces para sacar la mayor cantidad, que es el 40%, solo hay que multiplicar 10 por 4, 6000 x 4= 24000 Entonces la mayor cantidad seria el 40% y corresponde a 24000. Otra forma de hacerlo. Asignamos con una letra el capital total aportado. Por ejemplo con X El que aportó el mayor capital fue quién dio el 40% y quién aportó menos es el del 15%. Observa: 15% + 20 % + 25% + 40% = 100 % El problema nos informa $ 9000 el que menos aportó. Esto nos permite plantear que: 15% X = 9000 Recordar: 15% = 15/100 = 0.15

Despejando obtenemos el capital total de los participantes en el negocio. 0,15.X = 9000 X = 9000 /0,15 X = 60000 es el capital total También puede ser 15% ------ 9000 100 % ---- X X = 100%. 9000 / 15% Ahora hallamos el 40% de 60000 0,40. 60000 = 24000 a) 10500 b) 12000

c) 24000

d) 60000

12.(24) Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? a) 4

b) 7

c) 5

d) 8

13. (25) En el parqueo de cierta universidad, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay? Autos: A y motos: C C + m = 20 vehículos. Autos de 4 ruedas + motos de 2 ruedas = 70 ruedas Motos = 20 vehículos – autos Autos con 4 ruedas + 2 (20 – autos) = 70 4a + 40 – 2Autos = 70 4autos – 2autos = 70 – 40 2Autos = 30 Autos = 15 a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

15. (28) ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? 2003n: La paridad esta en dependencia de n n2 + 2003 : la paridad esta en dependencia de n n3 : impar solo si n es impar 2n2 + 2003: impar siempre (d) La suma de un numero par (2n2) con un número impar (2003) siempre es un número impar. a) 2003n

b) n2 + 2003

c) n3

d) 2n2 + 2003

16. (30) Calcula el producto L x H sabiendo que L = a + b + c, H= d + c= f +g siendo a, b, c, d, f, g números naturales y que b x f = 91, a x d = 18, c x d = 16, b x g = 39.

b x f = 91 = 13 x 7 b x g = 39 = 13 x 3 Entonces, el resultado será: b = 13; f = 7; g = 3 Además a x d = 18 = 32 x 2 c x d = 16 = 23 x 2 Por tanto se concluye que: A = 32 = 9; d = 2; c = 23 = 8 Así obtenemos el resultado solicitado L x H = (a + b + c) (f + g) = (9 + 13 + 8) (7 + 3) = (30) (10) = 300 a) 310

b) 280

c) 300

17. (31) Al desarrollar la expresión

a) a2

b) a

el resultado es:

c) 5a

18. (32) El resultado de

d) 100

d) 5a2

es:

19. (33)Una epidemia mato los

de las reses de un ganadero y luego vendió los

de las que

quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuantas murieron y cuantas vendió? Se murieron:

Total de reses

; Se vendieron:

; se murieron + se vendieron=

al principio.

Murieron. a) 1600; 950; 220

Vendieron. b) 1728; 1080; 432 c) 1539; 1080; 243 d) 1600; 84; 1300.

20. (38) Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es:   

El albañil puede hacer la obra en " cierto número de días" cada día realizará (1/cierto número de días) del trabajo El ayudante puede hacer la obra en "un número de días" cada día realizará (1/número de días) del trabajo Trabajando juntos pueden realizar la obra en 24 días.

Si llamamos a: albañil y b al ayudante, entonces a) 1/a + 1/b = 1/24 = (a + b)/ab = 1/24, ab = 24a + 24b → ab – 24b = 24a → b(a - 24) = 24a → b = (24a)/(a - 24) Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días podemos escribir: b) 4/a + 4/b + 30/a = 1 → 4/b + 34/a = 1 → (4a + 34b)/ab = 1→ 4a+ 34b = ab Ahora Si ab – 34b = 4ª → b(a - 34) = 4a → b = (4a)/(a - 34) Comparando a) y b) situaciones de trabajo tenemos (24a)/(a - 24) = (4a)/(a - 34) → (24a)(a - 34) = (4a)(a - 24) → 24a² - 816x = 4a² - 96 20a² = 720 → a² = 36a → a = 36 trabajando solo el albañil. Si sustituimos en a) tenemos el otro resultad b = (24(36))/(36 - 24) = 864/12 = 72 trabajando solo el ayudante. a) 18

b) 32

c) 56

d) 72

21. (40) Se va a tender una línea eléctrica de 35.75 km de longitud con postes separados entre si por una distancia 125 metros. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el ultimo al final? Cuantos postes serán necesarios en total? 37.75 km. = 37750 m. 37750 m / 125 m = 286 postes. A este resultado se le agrega un poste que es el de arranque, entonces su resultado es 287 postes. a) 180

b) 320

c) 560

d) 287

22. (41) La operación * está definida por a*b = 2ab – 3b en la que a y b son números enteros. ¿Cuál es el resultado de [4*(-1)]*(-3)? a * b = 2ab – 3b

[4*(-1)](-3) = [2(4)(-1) – 3(-1)] * (-3) = [-8 + 3] * (-3) = (-5) * (-3) Aplicando la definición de estrella a la última expresión obtenida [4* (-1)] * (-3) = (-5) * (-3) = 2(-5)(-3) – 3(-3) =30 + 9 = 39 a) 0 b) 21

c) 26

d) 39

23.(44) El resultado de la operación

24.(46) Si A comió

de una torta, B comió

de lo que quedo después que A comió; C comió

de lo que quedo después que A y B comieron ¿Que parte del queque quedo? A + B.

lo que se consumió fue:

Lo que quedo fue

23. (47) En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3%de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. a) 6

b) 2

c) 5

d) 9

24. (50) Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada dos partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una

solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? Frasco A contiene una parte de ácido por dos de agua. Acido 4 onz. de agua + 8 onz. de una solución. Frasco B. contiene 1 parte de ácido o sea 2 onz + 3 partes de agua o sea 6 onz. Sumando los contenidos de cada frasco (A+B), se obtiene 6 onz. acido + 14 onz. de agua obtenemos 20 onzas 37 M (5)(M) + 2 = 37 La proporción resultante será: acido/agua=6/14=3/7. 3 M=7 partes de ácido y 7 2 5 partes de agua.

25. (51) Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? 22, 000 – 20,000 = 2,400

a) 11

b) 21

20,00 0.

100%

2,400

X%

= 12

c) 10

d) 12

26. (52) Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M, N 4 (9)(4) + 1 = N se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M? 1 9 N = 37

a) 5

b) 7

c) 6

d) 9

27.(11) El resultado de la siguiente operación

es:

28.(12)

28.(12) Obtenga el resultado de

29.(13) ¿Cuál es el valor de a en

30.(35) El

= 248832?

es el equivalente a:

31.(36) Halla el número cuyo 3:6 porciento vale:

32.(37)La temperatura del cuerpo humano es 37°C. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen?

33. (73) Un barco transporta 2800 toneladas de mercancía. ¿Cuántos vagones harán falta para transportar esa mercancía si cada vagón carga 1400 kg?

1T 2800 T

1000 kg. x

X = 2800 x 1000 = 2,800,000

1400 kg.= 2000 kg.

34.(74) Para asar un pollo se necesita que el horno de la cocina alcance una temperatura de

374°F. ¿A qué temperatura debo fijar el graduador para asar el pollo, si la graduación está en grados centígrados (°C)?

35.(75) Si para construir un muro necesito 2 toneladas de cemento, ¿cuántos sacos de 25 kilos de cemento tendré que comprar?

A T 2 T

1000 kg. x

36.(60)¿Cuántos rieles de 15m se necesitan para enlazar a una fábrica con la estación que dista 765m?

1R x

15 m. 765 m.

37.(57) La luz recorre aproximadamente 3 x 105 km por segundo. ¿Cuántos metros recorrerá en 365 días? El resultado en notación científica es:

38.(58) La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 x 105 km/seg: La estrella más cercana a la tierra está a 4300 años luz de distancia. La distancia en km y escrita en notación científica es:

d:? x

= 4.068144 x 1016 km.

39.(59)¿Qué altura tendría una pila de 1; 000; 000 de hojas de cuaderno si se necesitan 10 hojas para tener 1mm?

1 10

x m. 100000

40. (61)¿Cuántos alfileres de 3:5cm de largo pueden fabricarse con un alambre de latón de 152:07m, sabiendo que hay una pérdida de 2mm de alambre por alfiler? 2 mm = 0.2 cm 3.5 cm + 0.2 cm = 3.7cm.

15207 cm / 3.7 cm = 4100

41.(62) Para ir a clase, Pedro tiene que andar por término medio 1520 pasos de 62cm. ¿Cuántos km habrá recorrido durante un año escolar de 210 días si va al colegio (una vez) dos veces al día? 1520 pasos x 62 cm. = 94240 cm 94240 cm. x 210 días. = 19700400 19700400 x 2 = 39580800

39580800

10000 cm.

395.8 km.

42(63) Se ha necesitado 54; 000 losetas para pavimentar los 2; 430 m2 que miden las aceras de una calle. ¿Cuál es en mm2 la super.cie de una loseta? 2430 x 1000000= 2430000000mm2

2430000000 54000 = 45000mm2 43(64) Si el m2 de un terreno vale 2 dolar, ¿Cuántos dólares vale comprar un campo de 7 Ha? 1Ha 7 Ha

10,000 m2. x

X = 7 Ha x 10000 m2 = 70,000 m2 1m2 7 0,00000 m2

$ 2. x

X = 70,000 x 2 = 140,000 44(66) Una tinaja que contiene 0, 4 m3 de aceite ha costado 800 euros ¿a cuántos euros resulta el litro? 1 l → 1000 cm3

→ 1 dm3 1 m3 → 1000 lts.

1l x

0.001 m3. 0.4 m3

400 l 1l

800 euros. x

X = (1l)(0.4m3) 0.001 = 400 l.

X = 800/400 = 400 45(67) Un caramelo tiene un volumen de 1,3 cm3. ¿Cuántos caramelos caben en una caja de 0,4498 dm3 ?

1dm3 0.449 8

1000 cm2. x

X= 0.4498 x 1000 = 449.8 volumen de la caja. 449.8/ 1.3 = 346 caramelos 46(68) Los trozos cúbicos de jabón de 5 cm de arista se envían en cajas cúbicas de 60 cm de arista. ¿Cuántos trozos puede contener la caja? (60 cm)3 =

60 x60x 60= 216,000cm3

(5cm) 3 =5x5x5= 125cm3 216,000 / 125 = 1728 trozos de jabón. 47(69) ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se necesitan para envasar 300 litros de refresco. 1 l = 1 dm3

1500 l = 1500 dm3 1dm3 15,000 dm

1000 cm2. x

X = 1500 ALGEBRA 1. (79) El sistema

Tiene solución única si:

K= 0 ; k = 2

Y=1Ʌ K=1

b) k = -1

c) k = 1 y k = -1

2. (34) la expresión

d)

k ≠ 1 , -1

demostrar la general

Si n = 1, Si n = 2,

3.(45) La hierba crece en todo el prado de la hacienda "el Meymo" con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 en 60 días ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días? Para resolver el problema, Perelman razonaba del siguiente modo: Introduzcamos también aquí una segunda incógnita, que representará el crecimiento diario de la hierba, expresado en partes de las reservas de la misma en el prado. En una jornada hay un crecimiento de y; en 24 días será 24 y. Si tomamos todo el pasto como 1, entonces, en 24 días las vacas se comerán 1 + 24 y En una jornada las 70 vacas comerán (1 + 24 y) / 24 y una vaca (de las 70) comerá{1 + (96 / 480)} / 96 x = 1600 (1 + 24 y ) / (24 * 70) Siguiendo el mismo razonamiento: si 30 vacas acaban con toda la hierba del prado en 60 días, una vaca comerá en un día 1 + 60 y / (30 * 60) Pero la cantidad de hierba comida por una vaca en un solo día es igual para los dos rebaños. Por eso

(1 + 24 y) / (24 * 70) = (1 + 60 y ) / (30 * 60) de donde y = 1 / 480

Cuando se halla y (medida de crecimiento) es ya fácil determinar qué parte de la reserva inicial se come una vaca al día (1 + 24 y ) / (24 * 70) = (1 + 24 / 480) / (24 * 70) = 1 / 1600 Por último establecemos la ecuación para la solución definitiva del problema: si el número de vacas es x, entonces, x = 20

20 vacas se comerían toda la hierba en 96 días.

4. (63) Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel pregunta: Daniel : ¿Cuántos hijos tienes? Arturo : Tres hijos. Daniel : ¿Qué edades tienen? Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos. Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente. Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! - responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más. Arturo : Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo?

Solución Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo?

hay varias combinaciones de 3 números que multiplicándolos da 36........Si no se me pasa alguno aca estan: 1*1*36 = 36 3*3*4 = 36 2*3*6 = 36 1*2*18 = 36 1*4*9 = 36 1*6*6 = 36 2*2*9 = 36 ARTURO: En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente. Entonces la lista de números pero ahora sumándolos da: 1+1+36 = 37 3+3+4 = 10 2+3+6 = 11 1+2+18 = 21 1+4+9 = 14 1+6+6 = 13 2+2+9 = 13

Problema Academia de Jóvenes Talentos Se puede remar 1 milla río arriba en el mismo tiempo que se tarda en remar 2 millas río abajo. Si la velocidad (en realidad es la rapidez) del río es de 3 mi /h. ¿Qué tan rápido se puede viajar remando en aguas tranquilas? Solución: Sean: V , V , V La rapidez del bote, La rapidez de la corriente del río y La rapidez b r resultante.

La rapidez resultante río arriba es: Vrar  Vb  Vr   Vb  3 La rapidez resultante río abajo es: Vrab  Vb  Vr   Vb  3 Se tiene que V 

S  V  t   S t

Vb  3 t   1  Vb  t   3t  1  1  Vb  3 t   2  Vb  t   3t  2  2  Sumando ( 1 ) y (2) se tiene 2 Vb  t   3  Vb  t   tenemos que V  t   3t  2 b y despejamos Vb  9

 1.5  3t  2

t

3  1.5 2

 3  . Al sustituir

(3) en (2)

1 , ahora sustituimos el valor de t en ( 3) h 6

mi h

Por lo tanto la rapidez en aguas tranquilas es de 9 mi/h. Se puede hacer una comprobación tomando ( 1) y ( 2):

 9  3 

1  1   1   6    1  6  6  9  3 t   2  12   1   2  6

 Verdadero  Verdadero 

Un jardin rectangular de 30 m. de largo y 24m. de ancho tiene a su alrededor una vereda de ancho uniforme. Si el área de de la vereda es 1/4 de la del jardin. Determina el ancho de la vereda. Calculamos el área del jardin: Aj = 30m * 24m Aj = 720m² Si la vereda que rodea el jardin tiene un área total de 1/4 del área del jardin. Av = 720m²/4 Av = 180m²

Entonces el área total es: At = Av + Aj = 900m² Como la vereda tiene un ancho uniforme, que llamaremos x, entonces:

At = (30m + x)(24m + x) 900m² = x² + (54m)x + 720m² x² + (54m)x - 180m² = 0 Eliminamos las unidades por comodidad. x² + 54x - 180 = 0 (x + 27)² = 180 + 27² (x + 27)² = 909 | x + 27| = √909 Hay dos posibilidades: 1) x = √909 - 27 2) x = -√909 - 27 -> Este valor no tiene sentido físico porque una long. negativa no existe. x = 3.15m