Reduccion Al Primer Cuadranteokkkkkk

 

I.E.P. “EXITU´S”  

es de Nuevas Generaciones”    “Formador es

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE Reducir al primer cuadrante es calcular el ángulo de referencia

Obtención del ángulo referencial del θ   En (a):      IIC    r = (180º -   ) ó (     -   ) En (b):      IIIC    r = (      - 180º) ó (      -   ) En (c):      IVC    r = (360º -   ) ó (2  - -   )

(    ) de un ángulo positivo    en posición normal menor que una r 

vuelta no perteneciente al primer cuadrante.

Dependiendo de las unidades en que esté expresado  , las R.T.

 Angulo referencial

de   son   son las mismas que las R.T. de  r r,  a excepción posible del

Es el ángulo agudo formado por el extremo final de un ángulo

signo:

 positivo en posición normal    con el lado positivo o negativo del

R.T.(    R.T. (   )  =   R.T.   ) r r  

eje x, se denota por  r r .

NOTA:

1.º CASO.

El signo a colocar depende del cuadrante de   del signo de la R.T. en dicho cuadrante.

PARA ÁNGULOS POSITIVOS Y MENORES QUE UNA VUELTA

2.º CASO

Usando el criterio del ángulo referencial se tendrá. b) a)

PARA ÁNGULOS POSITIVOS Y MAYORES QUE UNA VUELTA . Si   es  es un ángulo positivo, mayor que una vuelta, procedemos así:

 y 

 y 

 

  

 

º

 

r 

 x 

 

 x 

360º

ó

   

n

2  k

r 

residuo

 

  c)

 : Ángulo en posición normal,

 y 

Como    yy   son  son coterminales, entonces:

cuyas R.T, se van a reducir   

al primer cuadrante.  x   

r 

 r r:  Ángulo referencial.

 

R.T.(    ) = R.T. (    )    ) Importante:   por 360º ó 2  , dependiendo de las    es el residuo de dividir   por unidades a considerar.

3º. CASO PARA ÁNGULOS NEGATIVOS   Extraemos el signo de acuerdo con:

1

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

Sen(-  ) = -Sen   Tg(-  ) = -Tg    

Cos(-  ) = Cos   Ctg(-  ) = -Ctg     

   Sec(-  ) = Sec  

   Csc(-  ) = -Csc  

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NIVEL 

En conclusión:  

R.T.(90º +   ) =   Co-R.T  Co-R.T (   )  R.T(180º     ) =   R.T(   R.T(   )  R.T(270º     ) =  Co-R.T  Co-R.T (   )  R.T(360º -   ) =   R.T(   R.T(   )   

En caso de presentarse razones trigonométricas afectando a múltiplos de   como:  como:   11    77    , etc.; se divide el numerador entre el   , Cos     6     2  

Sen  

01. Simplificar:

 A  Cos (90  º  )  

02. Reducir: E = Sec(180º + x) 03. Reducir: Tag (270º  x)   04. Reducir: Cos 220º 05. Determinar: B= Sec 330º 06. Colocar verdadero (V) o falso (F) : ( )  Tg210º = 3   ( )  Sec300º = 2 ( )  Sen135º =  2  

doble del denominador y luego el residuo reemplazará al numerador.

2

Según esto:  

 

 11      3       Sen   y   2     2  

Sen

 77       5        Cos    6     6  

Cos

07.  Afirmar, verdadero (V) o falso (F): ( ) Sen(270° + x) = Cosx Cosx ( ) Cos Cos (   +  x) = Cosx ( ) Ctg (180° – x) = Ctgx

Si    ++    =  = 180º se verifica: Sen  =  = Sen   

Cot    = -Cot      =

Cos  =  = -Cos   

Sec    =  = -Sec    

08. Indicar verdadero (V) o falso (F):

Tan  =  = -Tan   

Csc    =  = Csc    

( ) Sen Sen (270° (270° –   ) = –Sen       (( )) Tg(90° Tg +   = ) –=Ctg  Sec(270° Se(90° c(270° + )  Csc     ( ) Ctg (180° –   ) = Tg    

Si    ++    =  = 360º, se verifica: Sen  =  = -Sen   

Cot    = -Cot      =

Cos  =  = Cos   

Sec    = Sec      =

Tan  =  = -Tan   

Csc    = -Csc      =

09. Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas: )  )  )  ) 

( ( ( (

Cos (90° + x) = Senx Tg (180° + x) = Tgx Csc(360° - x) = Cscx Sen (270° + x) =  –Cosx

10. Señalar lo correcto: )  )  )  ) 

( ( ( (

Tg(90° + x) = –Ctgx Sen (180° + x) = Senx Sec (270° + x) = Secx Cos (180° – x) = Cosx

11. Relacionar según corresponda: ( ) 

Sen (   +  x)

( ) 

Cos      x   

B) –Tgx

( ) 

Tg(    –   x)

C) –Senx

    2

π

A) Senx

   

12. Simplificar:

E = Sen (360° – x)+Cos (270° – x)  ––2Sen(180° – x)

13. Calcular:

E=Sen(90°+  )+Cos(180°-  )+Tg(360  –  )  ––Tg(180° –  )

 

14. Reducir: Sen(90  α) E



Cos(180  α)

2

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA



Tg(180  α)

 

Ctg(90  α)

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15.  Reducir:   Sen   2

π

E

   x   

Cos(2π  x)

NIVEL Cos(π  x)

 3π    x Sen   2  

 

30. Simplificar: E

16.  Reducir: Sen(π  x).Tg( E



x)

   A) –-1

17.  Reducir: 

Sen(2π  x)



  Cos(4 π



x)



Sen(7π



x)

Sen(  x) 

 

E

Cos(90  x)



Sec( x) 

Tg(  x)

 A) –-1



Secx

Tgx

 

Sen(270  x)

 

Cos(360  x)

C) 0

D) 2

E) –-2

π

Sen( x)



Cos(π  x)



Sec(270  x)

Cos( x)

E

 

Cscx

x)



2



Tg(

20.  Calcular: 



B) 1

Tg(

Senx

E

    E) –Tg       D) Tg  

32. Reducir:

19.  Reducir: 

C) Sen    

Sen(180  x)

Senx

E

B) 1

31. Reducir:

18.  Reducir: E

 

Co sα

Ctg(2π  x).Sen(2π  x)

E

Sen α

nota: Tg   = 

π

2



Sen(90   θ)Tg(180      -  ) Sec (90   )  



Cos(2π

3π



Cos( x) Cos(2π  x)

Tg(  x)



Ctg(

π 

  x)

2

21.  Simplificar:

 A) –-1

x)



x)

Sen(



x)

3π

 

2

2

Sen(  x) Sen(π  x)





B) 1

C) 0

D) 2

E) –-2

33. Reducir:

Cos(8π  x)  Cos(10π    x)  Cos(14π  x)  

Tg(π  x)

Cos(π  x)



Tg(  x)

 

 A) Senx

Cos( x)

B) 3Senx

C) 3Sen3x

D) 3Cos3x E) 3Cosx

34. Calcular :

22.  Simplificar :

E = Sen150º - Cos120º + Tg135º

E = Csc1590º – Tg1935º  A) 1

23.  Calcular : E = Cos1560º + Tg2325º -

Cos3030º

3

B)  –1

C) 0

D) 2

C) 4/3

D) 3/2

E)  –2

35. Calcular :

E = Sen120º.Cos330º

24.  Hallar : E

2Sen3375º  Sec1845º

 

Csc2490º

25.  Simplificar : 26.  Evaluar :

E



2Cos110º



 

Cos70º

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

37. Calcular :

Simplificar : E = Csc1590º – Tg1935º

E = Sen150º - Cos120º + Tg135º  A) 1

28.  Calcular : 3

Cos3030º

B)  –1

C) 0

2Sen3375º  Sec1845º

 

D) 2

E)  –2

38. Calcular :  E  Sen170º Sen370º Cos260º

29.  Hallar : E

E) ½

36. Simplificar :

 A) 1

E= Cos135º - Cos315º

E = Cos1560º + Tg2325º -

B) ¾

3Sen20º

E = Sec(  –1230º)Sen(  –945º)Tg(  –750º)

27. 

 A) 2/3

 A) 1

B)  –1

  C) 0

D) 2

E)  –2

Csc2490º

3

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

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39.  Calcular :

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 Sen 120º

Sen150º Tg225º Cos

E



210º

48.  Hallar el valor de :



 

Csc3540º  Ctg1920º

E

1

 A)

 

B) 2

3

C)

 

3

D) 

2

2

2

  E) 

1

 

2

Sec( 30º )  Csc( 60º )  

 A) 2 B)  –2 C) 41.  Simplificar :

3

 

π

2 2 Sen 45º  Cos



 

D)



2

π

Tg

4

6 1

 

3

3

E) 1/2

B) 6 C) 9

 

E

 

 

Tg(-300º) + 16Cos(-240º) + Cos(-360º) B)  – 2 C)  – 3 E)  – 5



Cos

17π

 



33π

Cos

D) 12

 A) 1

E) 15

 

8

8

B) –1

C) 0

D) 2

E) –2

51. Simplificar :

42.  Simplificar : 7Sen40º  3Cos50º

2 2 Sen 45º  Cos

 

Sen140º

 A) 1

3

50. Reducir:

Sec400º . Cos1840º

 A) 3

3

E)

C)

3

E=  A) – 1 D) – 4

4

E

 

3



B)  – 3   3  

49.  Hallar:

Sec( 300º )Sen90º



Tg(  45º )  Ctg(  135º )

E

 A) 3   3   D)

40.  Hallar : E

 

Tg2385º



B) 2

D) 4

4

 A) 1

B) -1

C) 0

D) 2

E) -2

E

2

π

4

 

Sec400º . Cos1840º

 A) 3 52. Calcular :

E = 2Cos300º - Tg315º

Tg

1

E) 5

43.  Calcular :



6

E

C) 3

π

B) 6

C) 9

Sen170º  Sen370º

D) 12

E) 15

 

Cos260º

44.  Calcular el valor de: Cos10º Cos30º Cos50º 

b) 0

a) 1/2

3

c)

2

 

 Cos170º

d) 1

 A) 1 D) 2

 

e) 2

53. Calcular : E

  A qué es igual:

45. Tg10º+Tg40º+Tg70º+Tg110º+Tg140º+Tg170º  A) Tg10º B) -Tg10º

C) 0 D) 2Tg10º

E) -2Tg10º

46.  Simplificar: S



Sec

a) 1  



8



Sec

3 8

b) 1

Tg160º . Sec



Sec

5 

8

c) 0

Sec

7 8

 

 

2

π

. Tg

2

6 2

Ctg250º Cos

B)  ––4

π

. Tg

4

π

3

1

4

D)  – 8

 

B) 2

C)

3

 

2

2

3

 

2

E)

1 

 

2

54. Simplificar:

P = Sen(15   +x)Cos(48     -x)Tan(17     -x) a) Sen 2 x

b) – Sen2 x

d) – Cos2 x

e) Cos2 x

c) Tan2 x

55. Calcular el valor de:

 

π

C)  – 6

 210º   Sen 120º

 

e) 2  

d) 2

6

E

4

 A)

C) 0

Sen150º Tg225º Cos

D) 

47.  Calcular:

 A)  – 2

B)  –1 E)  –2

E)  – 10

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

M = Cos60º Cos600º Cos 6000º a) 1/8 b) -1/8 c) d) 3 / 4   e)  3 / 8  

3 /8

 

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56.  Calcular:  M  a)

Sen105º .Tag 225º .Sec345º 

62. En un triángulo  A  ABC  BC , determinar el valor de:

 

Cos165º .Ctg195º Csc255º

 

2

es de Nuevas Generaciones”    “Formador es

b)

d) 1

2

3

 

c)

3 

2



a) 1

a) 1

Sen1410º Cos1830º Tag 5  85º Sen1380º Cos1200º Ctg 2  295º

b) -1

c) 

3/2

  d) 1/2

 M

b) -sec A

d) -1

e) 2

b) 0.5



SenC 

a) 0

c) ½

64.  Si

59.  Simplificar

 x  y

d) -2

a) 1

b) 2

Cos ( x) Cos (5 

c) -1

x)

d) -2

a) 2

 E  

Tg ( x)

Cos ( x)

d) -1

2Tg 

Senx



Seny

2

 y Ctg 



3Sen 2 x

 

Sen2 y

c) 1.5

d) -0,5

e) 0

65.  Si

Sen



Cos

     . Reducir:

Sec  N  

    2 



Csc 2



 

 

2

3

e) 0

Tg (21     x)

c) -2

e)1/2

simplificar

b) 1

Tan   6 

 243    Sen   x    2 

b) 0

d)1

2

a) 0

Reducir : 61. Reducir

      ,

 M  

:

Sen ( x)

 A  B  2C  .Ctg  A  B   

e) 2

60.  Simplificar Sen (4    x)

e) 1.5

 x

a) 0.5

c) 1

d) -0.5

c)  –1

:

a) Ctg x   b) -1



 Tg

b) 1

 5   7   9    Tg   x  Sen   x  Sec   x  2   2   2   Cos (5  x) Csc (7  x) Ctg (9    x)

 E

c) -1

Sen  A  B 

 

Cos(180º  A)  2Se Sen(90º  A)

a) Sec A

 

1  Csc A  3B  C     2 

63.  En un triángulo ABC. Simplificar:

e) -1/2

Tag (540º  A).Ctg (360º  A)



 

58. Simplificar:  E  



e) -1

57. Simplificar:  R

Sec A  2 B  C  

T  

e) 1

¡YO, SÍ

b) 1

c) 2

d) -2

e)  – 1

66. Si se tiene que        180º  .Reducir la expresión: 1   Sen  3     Cos   2        2   M   Sen 2    2 



a) 2Ctg         c) 2Tg       

 



b) 2Ctg       d) 2Tg      

e) Ctg      

67. Calcular: S



Cos1

a) 2  



Cos 2



Co Cos3

b) 1  

 ............. 

c) 0

Cos180  

d) 1

e) 2

68. Si se cumple que:  2m  3n   1  9   m  2n  Sen    Cos   0  6 2     Hallar la relación que existe entre a) 5

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

m

2n   b)

m  5n

  c)

m



n

"

m" y "n "

  d)

m  9n

    e)

m



II TRIMESTRE - 2016

3n  

 

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69.  El valor de la siguiente expresión:  7   12    E       Cos    12  Sen 

75. Reducir:

       12     7    Cos    12 

 R  Sen

Sen 

       Sen  3

a) -1 b) 1

b) 1 c) -1

d) 2

e) -2

 M 

Sen120



a) 0

 A  Tg 20º Tg 40º ......  Tg160º Tg 180º  B  Sec10º  Sec20º .....  Sec170º  Sec180º a) 1

b) 2

c) -1 d) -2

 



8

a) -1

e) 0



 Cos

3

 Cos

8

b) 1

Cos

 2       Sen 3  

d) 0

c) 0

5 8

 Cos

d) 2

7 8

 

 

5

 2       3    

 Cos

2 30

 Cos

C Co os30



2 Sen 2 x 



Sen160

 ........ 

Sen 260

 Cos 40

 .............  Cos170

c) 1,5

d) 2

y

Sen  8 x  5 y 

a) 1  

e) 1



  Tg  4 y  3 x   

3Tg 3 x  10 y

c) 1  

b) 5  

d)

6 

e)

2 

e) -2 2 

78. Si  

30

3 30

 .......  Cos

29 30

 

 

  

, calcular:

3

Sen 180º   Cos 

 Tg 1  260º     Cos  270º   Sen  540º   Tg   450º     

 M  

 90º

2 9 tér min os

a)   4  

b) 4

3 

c) 3

d) 3

3 

e) -1

73.  Calcular el equivalente de: 2 3    Tg  Tg  .......  8 tér min os  7 7 7    E   2 3   Cos  Cos  Cos  ....(5 tér min os ) 5 5 5 Tg

    

   

1



a)  

b) Tg  7   c) Tg  7  

d)

1

Sen

 

e)

7

79. Reducir:

 

 7    x   sen  8   x   2     25    x   ctg   x   tg  48   x   2 

 sen  5  x   cos   R  tg  45

 

   : 74.  De la figura mostrada calcular Ctg 

a) 1  

b)

0 

d) Senx  

e)

cos x

c)

Senx Sen x.Cos Cosx x 

 

80. Si: Sen 138º   .Tg  298º  





2Sen 42º  .Ctg

 Además

2 6

6/ 3 

a)

 c) 6

b)

5

 

d)

3

2

  

e)

2

 

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

a)

 3

3

    28º 



Sen   

 IIC .

  

Calcular:  E  Tg

 

2 6

6

12

 

e) -2

 

 



Sen140

b) 0,5

 N  

72.  Calcular: S

5

77. Si  x  y      / 3 . Calcular:

71.  Simplificar Cos





70.  Calcular  A  B , si:



       Sen  3

c) 2

Cos 20

 E

5

76. Simplificar:

Es igual a: a) 0

5

  b) 



Sec   

3 

c) -3 d)

2 3

3

  e)

3

 2

 

II TRIMESTRE - 2016

 

 

I.E.P. “EXITU´S”  

es de Nuevas Generaciones”    “Formador es

81.  Calcular:

 R



NIVEL

Cos1260º .Tg  Cos  b) -1

c)

 



253º .Ctg1 0020º



3

a) 1



570º .Sen17 º



3



  d)

2

  e)

2

85. Si:

3



281    17      .Cos       2   2    kSen3  2 B   2  19   Tg    Sen199 

Sen 148    .Cos 

3

 



82.  Simplificar:

 

Es una identidad.

Tg  230º  x   Tg  50º  x 

 N  

b) 0.5

c) 1

d) 1.5

83.  De la figura mostrada, calcular

S



Hallar “ k  B ”  

 

Ctg  40º  x 

a) 0



3

1

a)

e) 2

13Sen   

 

4

1

b)

6

 

c)

1 6

 

1

d)

6

 

e)

1

4

 

86.  Si

 y

 37    x  .Ctg 175  x  .Sen  809   x  1  2   9  91   55    Ctg  72   x  Sen  2  x  .Sec  2  x 

Tg   x  

 x  IIC .

Además

1 2, 5

 P 

Calcular:



 M



2 5Ctgx  Cscx  

30

b) 31

a)

c) -30

e) -31 

d) 28

  a) 1

b) 3

c) 4 d) 2

e) 5

87. Indicar verdadero (V) o falso (F), las siguientes proposiciones

 84.  Si

Sen

Reducir:



Cos   Sec

 R





   

    2 

Csc 2



2

b) 1

c) 2

 

3

 a) 0

 

n

 









I)

Cos n

II)

Sen n

III)

Csc

 d) -2

e) -1

 n

   1

 n

Cos   

    1

Sen   

 

n

 2n  1

  

2



(1)  

a) VVV

b) VVF

d) FFF

e) FVF

c) VFV

88. Si    II  IIC  C , simplificar:  P

  Cos        a)

   Cos  270        Sen 1260     Cos  630       Sen 900  

Cos Co s    

Coss    d) Co

7

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

b)

   

Cs Csc c

c)

Se Sen n  

Cs Csc c 

e)

 

II TRIMESTRE - 2016

 

I.E.P. “EXITU´S”  

89.  Si

es de Nuevas Generaciones”    “Formador es

   IIC , hallar el signo y la expresión simplificada

de:

95.  Reducir,

k  

:

 

       Cov   20k   3  7 10      P         33   Ctg  Vers   5k   4    14 5   

Tg  k   

 

Csc  7    .Tg   

17  

72 2     .Sec   7     39      .Cos Ctg   19  Sec     2 

 E  

 

Tg      

a)

;

c)

; Cos Cos     

2

2

a)

b)

; Tg      

d)

; Cos   

e)

;

Ctg      

d)

90.  Calcular  k       Sen   2k         4  k 

2



5

b) 0  

 

5

 2 5  , 0     5 

e)

c)

 2 5  , 0    5  

 5  0,   5   

8

 M

96.  Simplificar:

1

a) 1

b) 0

c) -1

91.  Si  x  y   4n  1

  

2

d) -2

, n

e)

2 2

 M  

 

. Simplificar: a)

  n 1

b)

 1

  1 c)  1      

d)

 1

  n

n

2

e)

d)

   4      x  3 y 3    Sen   y  Sen    4   3   2

a)  1  

 1

n

n

97. Si

 

Tg 2 y  

Tgx Senx

b) Cosx  

 

Secx    

c) Senx  

e) 2

47    

3

 

;

calcular

el

valor

de:

755   2643     Sec(   ) 2 2    E     Sen  137    Cos  2008      Csc 

Ctg 2 y  

92.  Si: Cscx 

 3   3     x   Tg   x   Sen  2    x   2   2 

2m  1 2m  1

, Cscy



m2 m 1

Determinar el valor de “ m ” que hace que

 x

a) 8/3 b)   16/3   c) 5/2

 

 e

 y

d) 3 / 2  

e) 1/3

 sean

suplementarios. a) 1/2

b) -1/2

c) -1/4

d) 0

e) ¼

93.  Simplificar la siguiente expresión:

 M a)

94.  Si



 g 

x .Cos    900  x   

b)

Cosx  

c) Tgx   d) Ctgx   e) Secx  

 Ctg 700  Senx  

 x



y

21   

2



.

Calcular el valor de:  E Csc Tgx Tgx  Csc Csc Ctg  y     

a) Tgx   c) 2Cs Csc c  Ct Ctgx gx   8

 

Tg 

     Cos  x   Sen  x  y  3

 R 

Sen   x   Sen   x   Tg  2    x 





b) 2Csc Tgy    d) Ctg  y    e) 0 

TRIGONOMETRÍA – 5º GRADO DE SECUNDARIA

II TRIMESTRE - 2016