Redes

 

La Teoría de Redes es un área de conocimiento dentro del campo de la Investigación de Operaciones. Los problemas que estudia dicha teoría, son principalmente, de naturaleza combinatoria, es decir, relaciona rutas, cortes, árboles y otros objetos. Para obtener las soluciones a estos problemas, se requiere diseñar algoritmos, algunos son más eficientes que otros y su selección depende de las características del problema.  Aplicativos Los problemas de redes pueden clasificarse esencialmente en cinco áreas: 1. 2. 3. 4. 5.

Ruta más corta Flujo máximo Árbol de expansión mínima Flujo a costo mínimo Planeación y control de proyectos (PERT y CPM) CPM)

CONCEPTOS BÁSICOS Gráfica de Red (GRAFO): Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas llamadas ramales, aristas o arcos. Red: Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus ramales. En las redes se usa una simbología específica espe cífica para denotar su tamaño y elementos que la constituyen, dicha notación es la (N, A) donde:   N representa el número de nodos que contiene la red   A representa el número de arcos o ramales.

 

Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].

 

Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, cadena , en el siguiente caso [1, 4, 7].

Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo, en el siguiente ejemplo el ciclo está compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].

Ramal orientado: Un ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.

Gráfica orientada: Una gráfica orientada es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.

 

   Árbol: Un Un árbol es una gráfica en lla a cual no existen ciclos, como el siguiente ejemplo.

 Árbol de expansión: Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia afuera.

 

Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia él.

1. Ruta más corta Determinar el plan de rutas que genere la trayectoria con la mínima distancia total, que una un nodo fuente con un nodo destino, sin importar el número de nodos que existan entre estos. Esta modalidad de problemas puede solucionarse como un modelo de transbordo normal, sin embargo la principal sugerencia es la de establecer una oferta en el nodo fuente igual a una unidad (1) y establecer una demanda en el arco destino igual a una unidad (1). En la práctica, es muy frecuente la utilización del algoritmo resultante con variaciones que consisten en la minimización de tiempos, no necesariamente de distancias. Ejemplo Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar atra vesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros. Formule un modelo de transbordo transbor do y resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero.

 

  VARIABLES DE DECISIÓN El nombre de las variables en este caso poco importa, dado que de ser escogida para la solución básica eso significa simplemente que será empleada como ruta para ir a rescatar al minero, sin embargo nada tiene de malo el que se le pueda asociar con el envío de unidades desde la entrada de la mina hacia el minero, por ende puede sugerirse este como nombre de las variables. " Cantidad de unidades enviadas desde el nodo i hacia el nodo j". 

X12 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 2 X13 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 3 X23 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 3 X24 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 4 X32 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 2 X34 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 4 X35 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 5 X46 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 6 X47 5, hacia el nodo 7 4 54 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, X56 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 6 X57 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 7 X58 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 8 X67 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 7 X69 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 9 X76 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 6 X78 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 8 X79 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 9 X87 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 7 X89 = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 9 RESTRICCIONES Restricciones de Oferta y Demanda  

 

  Hay que recordar que el objetivo de este modelo es la consecución de un plan de ruta que nos permita encontrar al minero lo más pronto posible al recorrer la distancia mínima posible, por ende la clave para plantear el modelo como si fuese de transbordo es establecer una demanda y oferta igual a la unidad (1).

X12 + X13 = 1 X69 + X79 + X89 = 1 Restricciones de Balance  X12 + X32 - X23 - X24 = 0  X13 + X23 - X32 - X34 - X35 = 0 X24 + X34 + X54 - X46 - X47 = 0 X35 - X54 - X56  –  – X57  –  – X58 = 0 X46 + X56 + X57 - X67  –  – X69 = 0 X67 + X47 + X57 + X87  –  – X76  –  – X78  –  – X79 = 0 X78 + X58  –  – X89 = 0 En palabras sencillas: "Todo lo que entra a cada nodo es igual a lo que sale de él" FUNCIÓN OBJETIVO ZMIN = 4X12 + 2X13 + 2X23 + 7X24 + 4X32 + 9X34 + 6X35 + 1X46 + 5X47 + 2X54 + 4X56 + 3X57+ 2X58 + 1X67 + 5X69 + 4X76 + 3X78 + 5X79 + 2X87 + 7X89  La ruta más corta para rescatar al minero tiene como distancia total 1600 m metros etros (dado que las distancias estaban dadas en cientos de metros) y es tal como se muestra en la siguiente gráfica.

 

2. Flujo máximo Permite conocer (calcular) la máxima cantidad de cualquier artículo o información que podemos transportar desde un origen hasta un destino. Pasos a seguir :   Primer paso: Elegir una ruta arbitraria. 

  Segundo paso: En dicha ruta escoger aquel ramal de menor flujo en ese sentido y transportar por esa ruta la cantidad escogida.   Hacer esto repetitivamente hasta que no sea posible encontrar una ruta con capacidad de flujo.





 

  Ejemplo: El origen puede despachar 28 unidades y el destino puede recibir 22 unidades, pero por las restricciones, el destino solo puede recibir 19 unidades en la ruta AB- BC  – CD  – DF  – FG.

Problema de Flujo Máximo  La Compañía Petrolera GAS tiene una refinería refinería localizada en la Ciudad de Neuquén Argentina. La gasolina refinada es enviada de allí a tanques de almacenamientos en Buenos Aires a través de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en diferentes pueblos y ciudades como: Pueblo Nuevo, Pirámide, Galleta, Puente Turbio y Río Negro. El oleoducto está construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un número máximo conocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos Eso s segmentos y sus respectivas capacidades en galones por hora son

 

  En la región de Buenos Aires se espera un aumento en la conducción en los próximos meses de invierno. ¿Tendrá GAS suficiente gasolina para satisfacer la mayor demanda en las estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de producción de la refinería, la administración de GAS desea conocer el número máximo de galones de gasolina por hora que pueden pu eden enviarse a través de la red de oleoductos a los tanques de almacenamiento de Buenos Aires

 

 

3. Árbol de expansión mínima Dado un grafo conexo, no dirigido y con pesos en las aristas, un árbol de expansión mínima es un árbol compuesto por todos los vértices y cuya suma de sus su s aristas es la de menor peso. Al ejemplo anterior le agregamos pesos a sus aristas y obtenemos los arboles de expansiones siguientes:

De la imagen anterior el árbol de expansión mínima seria el primer árbol de expansión cuyo peso total es 6.

 

El problema de hallar el Árbol de Expansión Mínima (MST) puede ser resuelto con varios algoritmos, los mas conocidos con Prim y Kruskal ambos usan técnicas voraces (greedy).

Algoritmo de Kruskal  Para poder comprender el algoritmo de kruskal será necesario revisar primer el tutorial de Union-Find.  de Union-Find.   Como trabaja:   Primeramente ordenaremos las aristas del grafo por su peso de menor a mayor. Mediante la técnica greedy Kruskal intentara unir cada arista siempre y cuando no se forme un ciclo, ello se realizará mediante Union-Find. mediante Union-Find. Como  Como hemos ordenado las aristas por peso comenzaremos con la arista de menor peso, si los vértices que contienen dicha arista no están en la misma componente conexa entonces los unimos para formar una sola componente mediante Union(x , y), para revisar si están o no en la misma componente conexa usamos la función SameComponent(x , y) al hacer esto estamos evitando que se creen ciclos y que la arista que une dos vértices siempre sea la mínima posible.

Ejemplo y código paso a paso  Tengamos el siguiente grafo no dirigido:

Primeramente usaremos el método MakeSet de unión-find para inicializar cada componente, obteniendo las siguientes componentes conexas iniciales:

 

   Ahora el siguiente paso es ordenar las aristas del grafo en orden ascendente:

Lo siguiente será recorrer todas las aristas ya ordenadas y verificar si sus vértices están o no en la misma componente. La primera arista a verificar es la que une a los vértices 8 y 7, verificamos si están en la misma componente, para ello hacemos Find(8) , Find(7):

 

  Como podemos observar en la tabla y en la misma imagen no están en la misma componente conexa, por tanto esta arista es valida para el MST así que unimos los vértices por el método de Union( 8 , 7 ).

Continuamos con la siguiente arista:

Observamos la tabla de Union-Find y vemos que Find(3) != Find(9). Entonces es posible realizar la unión de ambas componentes:

 

Continuamos con la siguiente arista:

 

En la imagen podemos observar que ambos vértices no están en la misma componente, por tanto realizamos la Union( 6 , 7 ):

Continuamos con la siguiente arista, los vértices 1 y 2 no están en la misma componente conexa:

 

Realizamos la Union(1,2):

 

Continuamos con la siguiente arista:

 Al observar la imagen los vértices 3 y 6 están en distinta componentes conexas. Entonces realizamos la Union(3,6) y actualizamos la tabla de Union-Find.

 

Continuamos con la siguiente arista:

 

En este caso si observamos la imagen los vértices 7 y 9 están en la misma componente conexa; asimismo en la tabla de Union-Find el elemento raíz del vértice 7 es el mismo que el del vértice 9 por ello afirmamos que están el a misma componente conexa, por lo tanto no habrá que realizar la unión de ambos vértices. Con esto evitamos tener ciclos en el árbol de expansión mínima. Continuamos con la siguiente arista:

 Al observar la imagen los vértices 3 yen 4 no están en la misma componente conexa por lo tanto realizamos la Union(3,4) el grafo:

 

Continuamos con la siguiente arista:

 

Los vértices 8 y 9 están en la misma componente conexa por lo tanto no realizamos Unión de vértices. Continuemos con la siguiente arista:

Los vértices 1 y 8 están diferentes componentes. Realizamos la Union(1,8) en el grafo:

 

Continuamos con la siguiente arista:

 

Los vértices 2 y 3 están en la misma componente conexa por lo tanto no realizamos Union de componentes. Continuamos con la siguiente arista:

Los vértices 4 y 7 no están en la misma componente conexa, realizamos Union(4,5) en el grafo:

 

  Como podemos observar ya están todos los vértices del grafo conectados así que al momento de continuar viendo las demás aristas ordenadas or denadas siempre tendremos e l caso de que ya están en la misma componente conexa por lo tanto el Árbol de Expansión Mínima para el grafo es el siguiente:

El peso total del árbol de expansión mínima para el grafo mostrado es 39.

Verificación de MST  Para que sea un MST válido el número de aristas debe ser igual al número de vértices  – 1. Esto se cumple debido a que el MST debe poseer todos los vértices del grafo ingresado y además no deben existir ciclos. Si vemos el ejemplo antes explicado tenemos en el MST:   Número de Aristas = 8   Número de Vértices = 9





Cumple con lo dicho -> 9  – 1 = 8 por tanto tenemos un MST válido. Veamos otro ejemplo teniendo como grafo ingresado lo siguiente:

 

  Como podemos observar el grafo ingresado posee 2 componentes conexas, al aplicar kruskal obtendremos los siguientes MST:

En la imagen podemos observar el MST luego de aplicar kruskal, sin embargo no es un MST válido porque no tiene 1 componente conexa que posea todos los vértices, comprobemos:   Número de Aristas = 7   Número de Vértices = 9

 

4. Flujo a costo mínimo Dada una red con requerimientos mínimos se desea encontrar el valor mínimo de flujo que debe pasar a través de una red. Una condición necesaria para que el modelo tenga solución factible es que S bi=0, es decir, que el flujo total generado en los nodos origen sea igual al flujo total absorbido por los nodos destino. Cuando esta condición no se cumple (problemas de transporte no balanceado en los que la oferta es diferente a la demanda) se generan nodos ficticios que generen o que absorban flujo. Los costos asociados a los arcos que parten o llegan a estos nodos es cero.

 

 Con frecuencia bi y uij son valores enteros. Las variables xij son variables enteras y no se requiere agregar esta condición al modelo (unimodularidad). Para este tipo de problemas podemos ubicar las siguientes clasificaciones o grandes aplicaciones:                  



Ruta más Corta

 

Problema de Transporte

 

Problema de Asignación

 

Problema de Transbordo

 

Flujo de Personal

 A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:   La red es una red dirigida conexa.





    Al menos uno de los nodos es nodo fuente. demanda.   El resto de los nodos son nodos de trasbordo.





Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.) La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío).

APLICACIÓN  GrainCo abastece de maíz a tres granjas avícolas desde tres silos. Las cantidades de oferta en los tres silos son 100, 200 y 50 mil bushels(1 bushel = 35.23 litros). GrainCo usa principalmente ferrocarril para transportar su maíz a las granjas, a excepción de tres rutas, en las que se usan camiones. La siguiente figura muestra las rutas disponibles entre los silos y las granjas. Los silos se representan con los nodos 1, 2 y 3, cuyas cantidades de suministro son [100], [200] y [50],

 

respectivamente. Las granjas se representan con los nodos 4, 5 y 6, cuyas demandas son [-150], [-80] y [-120], respectivamente. Las rutas permiten transbordos entre los silos. Los arcos (1,4), (3,4) y (4,6) son de camiones, con capacidades mínimas y máximas máximas Por ejemplo, la capacidad capacidad de la ruta (1,4) es de 50 a 80 mil bushels y costo de $1. Los costos de transporte, por bushel, se indican en sus arcos respectivos. (Capacidad mínima, Capacidad máxima, Costo).

SOLUCIÓN: 

Se plantea Modelo de Programación Lineal

 

 

5. Planeación y control de proyectos (PERT y CPM) El campo de acción de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: a. Que el proyecto ssea ea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible. Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado ha  estado usando para la planeación y control depavimentación, diversas actividades, tales como construcción como  construcción dereparación presas, apertura de caminos, construcción de casas y edificios, de barcos, investigación barcos,  investigación de de mercados,  mercados, movimientos  movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorias, regionales, auditorias, planeación  planeación de carreras universitarias, distribución universitarias,  distribución de tiempos de salas de de operaciones,  operaciones, ampliaciones  ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, de venta, censos  censos de población, de  población, etc.  etc. La buna administración buna administración de proyectos a gran gran escala  escala requiere planeación, programación planeación,  programación y coordinación cuidadosa de muchas actividades interrelacionadas. Al principiar la década de 1950 se desarrollaron procedimientos desarrollaron  procedimientos formales basados en uso de de redes  redes y de las técnicas las  técnicas de redes para ayudar en estas tareas. Entre los procedimientos mas sobresalientes seelencuentran el PERT de evaluación de evaluación y revisión de programas) de  programas) y  y CPM (método de la (técnica ruta critica).Aunque originalmente

 

los sistemas tipo PERT se aplicaron para evaluar la programación de un proyecto los sistemas de investigación y desarrollo, también se usan para controlar el avance de otros tipos de proyecto especiales. Como ejemplos se pueden citar programas de construcción, la programación de computadoras, de computadoras, la  la preparación de propuestas y presupuestos,  presupuestos, la  la planeación de ll mantenimiento  mantenimiento y la instalación de sistemas de computo, este tipo de técnica se ha venido aplicando aun a la producción la  producción de películas, a las compañas políticas compañas políticas y a operaciones quirúrgicas complejas. El objetivo El objetivo de los sistemas tipo PERT consiste en ayudar en la planeación y el control, por lo que no implica mucha optimización directa. Algunas veces el objetivo primario es determinar la probabilidad la  probabilidad de cumplir con fechas de entrega especificas. También identifica aquellas actividades que son más probables que se conviertan en cuellos de botella y señala, por e4nde, en que puntos debe hacerse el mayor esfuerzo para no tener retrasos. Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios del programa. Por ejemplo, se puede valorar el efecto de un posible cambio posible  cambio en la asignación de de recursos  recursos de las actividades menos criticas a aquellas que se identificaron con cuellos de botella. Otra aplicación importante es la evaluación del efecto de desviarse de lo programado. Todos los sistemas tipo PERT emplean una emplean una red de proyecto para visualizar gráficamente la interrelación entre sus elementos. Esta representación del plan del  plan de un proyecto muestra proyecto  muestra las relaciones deFig. procedencia, respecto que se deben realizartodas las actividades. En la 1 sé muestran estasal orden en características para la red la red de proyecto inicial para la construcción de una casa. Esta red indica que la excavación debe hacerse antes de poner los cimientos y después los cimientos deben completarse antes de colocar las paredes. Una vez que se levantan las paredes se pueden realizar tres actividades en paralelo. Al seguirla red hacia delante se ve el orden de las tareas subsecuentes. En la terminología de PERT, cada arco de la red representa una actividad, es decir, una de las tareas que requiere el proyecto, cada nodo representa un evento que por lo general se define con el momento ñeque se terminan todas las actividades que llegan a ese nodo, Las puntas de flecha indican la secuencia en la que3 debe ocurrir cada uno de esos eventos. esos  eventos. Lo  Lo que es mas, un evento debe preceder a la iniciación de las actividades que llegan a ese nodo. Las puntas de flecha secuencia la que debe ocurrir cada de esos eventos. Lo que esindican mas, unlaevento debeenpreceder a la iniciación de uno las actividades que salen de ese nodo. (En la realidad, con frecuencia se pueden traslapar etapas sucesivas de un proyecto, por lo que la red puede representar una aproximación idealizada del plan de un proyecto.) El nodo hacia el que todas las actividades se dirigen es el evento que corresponde a la terminación desde su concepción, o bien, si el proyecto ya comenzó, el plan para su terminación. En él ultimo caso, cada nodo de la red sin arcos que llegan representa el evento de continuar una actividad en marcha o el evento de iniciar una nueva actividad que puede comenzar en cualquier momento. Cada arco juega un doble papel, el de representar una actividad y el de ayudar a representar las relaciones de procedencia entre las distintas actividades. En ocasiones, se necesita un arco para definir las relaciones de procedencia aun cuando no haya una actividad real que representar. En este caso, se introduce una actividad ficticia que requiere un tiempo cero, en donde el arco que representa

 

esta actividad ficticia se muestra como una flecha punteada que indica esa relación de procedencia. Por ejemplo, considérese el arco 5 ® 8 que representa una actividad ficticia en la Fig. 1; el único objeto de este arco es indicar que la colocación de la tubería debe estar terminada antes de poder de  poder comenzar los exteriores. Una regla común para construir este tipo de redes es que dos nodos no pueden estar conectados directamente por mas de un arco. Las actividades ficticias también se pueden usar para evitar violar esta regla cuando se tienen dos o más actividades concurrentes; en la Fig. 1 se ilustra esto con el arco 11® 12. El único propósito de este arco es indicar que debe terminarse la colocación de pisos antes de instalar los acabados interiores sin tener dos arcos del nodo 9 al nodo 12. Una vez desarrollada la red la red de un proyecto, el siguiente paso es estimar el tiempo que se requiere para cada actividad. Estas estimaciones para el ejemplo de la construcción de una casa de la figura 1. se muestran en la figura 2 con los números mas oscuros (en unidades de días de trabajo) de  trabajo) que  que aparecen junto a los arcos. Estos tiempos se usan para calcular dos cantidades básicas para cada evento, a saber, su tiempo más próximo y su tiempo más lejano. El tiempo más próximo para un evento es el tiempo (estimado) en el que ocurrirá el evento si las actividades que lo proceden comienzan lo mas pronto posible. Los tiempos máscomenzando próximos se con obtienen al efectuar una pasada haciahacia delante a través de la red, los eventos iniciales y trabajando delante en el tiempo, hasta los eventos finales, para cada evento se hace un calculo del tiempo en el que ocurrirá cada uno, si cada evento procedente inmediato ocurre en su tiempo más próximo y cada actividad que interviene consume exactamente su tiempo estimado. La iniciación del proyecto se debe etiquetar con el tiempo 0. este proceso este  proceso se muestra en la tabla 1. para el ejemplo considerado en las figuras 1 y 2. los tiempos más próximos que se obtuvieron están registrados en la figura 2, con el primero de los dos números que se dan para cada nodo. El tiempo más lejano para un evento es él ultimo momento (estimado) en el que puede ocurrir sin retrasar la terminación del proyecto mas allá de su tiempo más próximo. Tabla 1. Calculo de los tiempos más próximos para el ejemplo de la construcción de una casa. Evento Evento inmediato Tiempo Tiempo  Anterior

Tiempo

mas + de la

= máximo más

próximo actividad

próximo

1

___

___

0

2

1

0+2

2

3

2

2+4

6

 

4

3

6 + 10

16

5

4

16 + 4

20

6

4

16 + 6

22

7

4

16+7

25

5

20+5

5

20+0

6

22+7

9

7

25+8

33

10

8

29+9

38

11

9

33+4

37

12

9

33+5

38

11

37+0

10

38+2

8

13

29

44

En este caso los tiempos más lejanos se obtienen sucesivamente para los eventos al efectuar una pasada hacia atrás a través de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrás en el tiempo hasta los iniciales. Para cada evento él calculo del tiempo final en el que puede ocurrir un evento de manera que los que le siguen ocurran en su tempo mas lejano, si cada actividad involucrada consume exactamente su tiempo estimado. Este proceso se ilustra en la tabla 2, en donde 44 días es el tiempo más próximo y el tiempo más lejano para la terminación del proyecto de construcción de la casa. Los tiempos más lejanos para la terminación del proyecto de construcción de la casa. Los tiempos mas lejanos que se obtuvieron se encuentran también en la figura 2 como el segundo numero que se da para cada nodo. Sea la actividad ( i , j ) la actividad que va del evento i al evento j en la red del proyecto. La holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo más lejano y su tiempo más próximo.

 

La holgura para una actividad ( i , j ) e3s la diferencia entre [ el tiempo mas lejano del evento] y [el tiempo mas próximo del evento i mas el tiempo estimado para la actividad].  Así, si se supone que todo lo demás marcha a tiempo, la holgura para un evento indica cuanto retraso se puede tolerar para llegar a ese evento sin retrasar la terminación del proyecto, y la holgura para una actividad indica lo mismo respecto a un retraso en la terminación de esa actividad. En a tabla 3 se ilustran los calculo de estas holguras para el proyecto de la construcción de una casa. Una ruta critica de un proyecto es una ruta cuyas actividades tienen la holgura cero. (Todas las actividades y eventos que tienen holgura cero deben estar sobre una ruta crítica, ruta crítica, pero  pero no otras.) Tabla 2. Calculo de los tiempos más lejanos para el ejemplo de la construcción de una casa Evento inmediato Tiempo Tiempo Evento  Anterior

Tiempo

mas - de la

= mínimo más

lejano actividad

próximo

13

__

___

44

12

13

44-6

38

11

12

38-0

38

10

13

44-2

42

9

12

38-5

33

11

38-4

8

10

42-9

33

7

9

33-8

25

6

8

33-7

26

5

8

33-0

20

7

25-5

7

25-7

4

16

 

 

6

26-6

5

20-4

3

4

16-10

6

2

3

6-4

2

1

2

2-2

0

Tabla 3. Calculo de las holguras para el ejemplo de la construcción de una casa. Evento

Holgura

Actividad

Holgura Holgura

1

0  – 0 = 0

(1,2)

2 - (0+2) = 0

2

2-2=0

(2,3)

6 - (2+4) = 0

3 4

6  – 6 = 0 16 - 16 = 0

(3,4) (4,5)

16 - (6+10) = 0 20 - (16+4) = 0

5

20  – 20 = 0

(4,6)

26 - (16+6) = 4

6

26 - 22 = 4

(4,7)

25 - (16+7) = 2

7

25  – 25 = 0

(5,7)

25 - (20+5) = 0

8

33 - 29 = 4

(6,8)

33 - (22+7) = 4

9

33  – 33 = 0

(7,9)

33 - (25+8) = 0

10

42 - 38 = 4

(8,10)

42 - (29+9) = 4

11

38  – 37 = 1

(9,11)

38 - (33+4) = 1

12

38 - 38 = 0

(9,12)

38 - (33+5) = 0

13

44  – 44 = 0

(10,13)

44 - (38+2) = 4

(12,13)

44 - (38+6) = 0

Si se verifica en la tabla 3 las actividades que tienen holgura cero, se observa que el ejemplo de la construcción de una casa tiene una ruta critica, 1 ® 2 ® 3 ® 4 ® 5 ® 6 ® 7 ® 9 ® 12 ® 13, como se muestra en la figura 2 con las flechas mas oscuras. Esta secuencia de actividades criticas debe mantenerse estrictamente a tiempo, si se quiere evitar retrasos en la terminación del proyecto. Otros proyectos pueden tener mas deestimado una rutade critica; por ejemplo nótese lo quedepasaría figura 2 si el tiempo la actividad (4,6) se cambiara 6 a 19.en la

 

Resulta interesante observar en la tabla 3 que mientras que todos los eventos sobre la ruta critica (inclusive el 4 y el 7 ) necesariamente tienen holgura cero, no es así para la actividad (4 , 7), ya que su tiempo estimado es menor que la suma de los tiempos estimados para las actividades (4 , 5 ) y (5 , 7). En consecuencia, estas ultimas actividades están en la ruta crítica, pero la actividad (4 , 7) no lo está. Esta información Esta  información sobre los tiempos más cercanas y más lejanos, las holguras y la ruta crítica, es invaluable para el administrador el administrador del proyecto. Entre otras cosas, le permite investigar el efecto de posible mejoras en la planeación para determinar en donde debe hacerse un esfuerzo especial para mantenerse y evaluar el impacto de los retrasos. Graficas PERT La gráfica PERT es una gráfica original de redes no medidas que contiene los datos los  datos de las actividades representadas por flechas que parten de un evento i y terminan en un evento j.

En la parte superior de la flecha se indica el número de identificación, generalmente los números de los eventos (i-j). En la parte inferior aparece dentro de un rectángulo la duración estándar (t) de la actividad. En la mitad superior del evento se anota el número progresivo, en el cuarto inferior izquierdo la última lectura última  lectura del proyecto y en el cuarto inferior derecho la primera lectura del proyecto. Esta gráfica tiene como ventaja la de informar las fechas más tempranas y más tardías de iniciación y terminación de cada actividad, sin tener que recurrir a la matriz la matriz de holguras.

 

  Veamos cómo se presenta la ampliación de la fábrica por medio de una gráfica PERT.