Redes de Flujo

Universidad Nueva Esparta Escuela: Ingeniería Civil Cátedra: Obras Hidráulicas Docente: Edgar Vecchionacce

Integrante (s): Romero Rubén Caracas, 27 de febrero de 2012

INTRODUCCIÓN

Las trayectorias del flujo de agua a través de los suelos y las correspondientes presiones de poro son extremadamente complejas debido a la manera aleatoria en la que la permeabilidad puede variar de punto a punto y en diferentes direcciones. Por lo tanto los análisis exactos de problemas tan comunes, como el efecto de un sistema de desagüe o el flujo bajo una ataguía dentro de una excavación para la pila de un puente rara vez son posibles. Sin embargo, a pesar de las complejidades de los problemas reales, el ingeniero puede mejorar bastante su criterio con respecto a la filtración y sus efectos, estudiando el flujo en condiciones sencillas esquematizadas. El flujo de agua a través de un suelo saturado se puede representar esquemáticamente por líneas de flujo, las cuales son los caminos que toman las partículas de agua en movimiento. El agua tiende a seguir el camino más corto entre un punto y otro, pero al mismo tiempo, los cambios de dirección los hace solamente por curvas suaves.

REDES DE FLUJO Una red de flujo es una representación grafica G = (V,E) de la solución de la ecuación de Laplace (el tratamiento cuantitativo del sistema hidrogeológico sin más que aplicar la ley de Darcy a la malla definida ) para s y t con las condiciones de frontera existentes en el flujo. En donde cada arco tiene una capacidad no negativa. Se distinguen dos vértices: la fuente s y el sumidero t. Se asume que cada vértice se encuentra en alguna ruta de s a t. Es compuesta por líneas equipotenciales la cual se define como; la línea que une los puntos de igual potencial, partículas de igual potencial que pueden ascender al mismo nivel, las cuales están separadas igualmente en s y por líneas de corriente igualmente separadas en t. Esta separación se conoce como canal de flujo o canal de corriente. Todas las intersecciones de la red son ortogonales. PROPIEDADES DE LAS REDES DE FLUJO: 

El caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho.



Ni las líneas equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido.

Se trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y trazar, cumpliendo con estas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfica del problema.

Para el trazo de una red de flujo se tienen los siguientes pasos: 

Dibujar los límites del dominio



Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente.



Trazar tentativamente equipotenciales, ortogonales a las líneas de corriente



Ajustar



Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los cuadros se obtienen también curvas suaves, formando una nueva red.

Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera que la

sea la misma y que el

entre dos líneas de corriente

sea el mismo.

Se tendrá entonces:

Si

es el número total de canales de la red y

el número de caídas de

potencial que hay en toda la zona de flujo, entonces podrá escribirse:

Donde q y h son el caudal unitario total y la carga total. A partir de lo anterior se puede llegar a qué:

(

Puesto que la relación

⁄

) ( )

son constantes para una red de flujo dada,

debe serlo también. Esta condición implica que se estén

cumpliendo las dos condiciones iniciales (que la h sea la misma y que el entre dos líneas de corriente sea el mismo). El cálculo de las presiones hidrodinámicas en el agua que se infiltra a través de la región de flujo, es una de las aplicaciones más útiles de una red de flujo. Red de flujo en medio homogéneo e isotrópo: las líneas equipotenciales y de corriente son perpendiculares entre sí. Las líneas de corriente tienen el sentido de las potencias decreciones Red de flujo en medios heterogéneos y anisótropos: en medios heterogéneos hay que tener en cuenta que cuando una línea de corriente pasa de un medio de mayor conductividad hidráulica a otro de menor conductividad hidráulica, se refracta acercándose a la normal.

TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO Entendiendo una red de flujo como un grafo dirigido, donde la fuente es quien produce o inicia el traspaso de algún material o producto por los arcos, estos últimos, vistos como caminos o conductos y tomando en cuenta la ley de corrientes de Kirchoff, donde, la suma de flujos entrantes a un vértice debe ser igual a la suma de flujos saliendo del vértice. 

(L.C.): línea de corriente o de flujo en la trayectoria seguida por las partículas de agua al fluir a través del suelo.



(L.E.): es aquella que une puntos en donde se tiene el mismo potencial hidráulico (h).



Tubo de Corriente: es el espacio comprendido entre líneas de corriente vecinas.



Red de Flujo: es el conjunto de líneas de corriente y de líneas equipotenciales.



Celda de Flujo: es el espacio comprendido entre dos líneas equipotenciales vecinas y dos líneas de corriente vecinas.

Una vez encontrada la ecuación diferencial, lo que sigue es integrarla y para ello existen diferentes caminos, uno de ellos es emplear métodos numéricos que finalmente permitan la generación de programas de computo para casos especiales, otro método es el gráfico mediante el trazo de redes de flujo; en clase se hará énfasis en este último porque es aplicable a todos los casos reales aun los más complejos; todo ello es para finalmente obtener gastos y presiones.

En el caso del trazo de redes de flujo deben considerarse las siguientes condiciones: 1. Las líneas de corriente no deben interceptarse. 2. Las líneas equipotenciales no deben interceptarse. 3. La intersección de L.C. y L.E. debe ocurrir a 90°. 4. Los elementos de la red de flujo en lo más posible deben ser cuadrados. 5. Ambas familias de líneas tienen que tener una curvatura suave. Las razones de lo anterior son: en el primer caso porque pasaría de flujo laminar a turbulento y en el segundo caso significaría que en el punto de intersección de dos líneas equipotenciales la partícula de agua tendría simultáneamente dos potenciales hidráulicos y se generaría un vórtice y el flujo dejaría de ser laminar. Para demostrar que la intersección entre una línea de corriente y una equipotencial debe ocurrir a 90° es conveniente recordar: 1. La dirección del vector velocidad de una partícula de agua debe ser en cada punto tangente a la trayectoria, o sea, a la línea de corriente. 2. Para que haya flujo de agua, o sea, para que exista velocidad en el agua es necesario que se tenga una diferencia de potencial hidráulico. Con base en lo anotado en a y en b se puede demostrar lo solicitado de que si la intersección entre L.C. y L.E. no ocurre a 90° la velocidad tiene proyección sobre la tangente a la línea equipotencial en el punto de intersección y consecuentemente habría flujo de agua a lo largo de la L.C. lo

que no puede ocurrir porque todos los potenciales hidráulicos en esa línea son iguales. APLICACIONES DE LA RED DE FLUJO En el diseño de las estructuras hidráulicas son tres las aplicaciones de la red de flujo: 1. Determinación del gasto de agua que fluye, ya sea a través del cuerpo de la cortina (Presas de tierra) o de su cimentación (gasto de filtración) 2. Valuación de la presión ejercida por el agua en un punto cualquiera de la red. (Diagrama de Subpresiones). 3. Determinación del gradiente hidráulico en cualquier punto de la red y en particular a la salida de las filtraciones. (Problemas de tubificación).

EJEMPLO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA RED DE FLUJO CUADRADA: Las redes de flujo antes de trazar esta red deben tenerse claro ciertos detalles: 

El dibujo de la sección transversal de la zona de flujo, debe estar claro y tiene que estar a una escala horizontal y vertical igual.



La superficie libre de agua y las condiciones de borde iniciales y finales para las funciones

y

del sistema deben estar identificadas y ser

geométricamente conocidas, además de otros datos pertinentes. 

El suelo ha de ser homogéneo e isotrópico.

En la Figura a continuación, se muestran dos sistemas de flujo en dos dimensiones en los cuales se desea dibujar la red de flujo. Las dos secciones transversales de flujo están claramente trazadas y tiene una misma escala vertical y horizontal adecuada. Las condiciones de borde inicial y final de la función potencial están identificadas con trazo segmentado, mientras que las condiciones de borde inicial y final de la función de flujo están resaltadas en trazo lleno.

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Figura. Construcción de la red de flujo cuadrada. Condiciones de borde. (a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.

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Figura. Construcción de la red de flujo cuadrada. Ubicación de las líneas de

flujo. (a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.

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Construcción de la red de flujo cuadrada. Líneas equipotenciales. (a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie. Se elige un número entero del número de canales de flujo (NF), Casagrande recomienda que en muchos casos solo basten entre 4 y 6 canales de flujo. La primera línea de flujo, será la condición de borde inicial de la función de flujo y la última línea será la condición de borde final de esta función. Entonces, se procede a dibujar líneas de flujo intermedias de tal manera que estén bien distribuidas en toda la región de flujo. En la primera figura, se observa que la forma de estas líneas tiende de la condición de borde inicial a la final. Si el número de canales de flujo toma un valor mayor al sugerido, se tiene como resultado una red de flujo más precisa, pero requiere un mayor esfuerzo ajustarla adecuadamente. Una vez dibujadas las líneas de flujo, se dibujan las líneas equipotenciales. La primera línea equipotencial, será la condición de borde inicial de la función potencial y la última será la condición final de esta función. En la segunda figura, se muestran las líneas

equipotenciales en trazo segmentado, se observa también que la forma de estas líneas tiende de la condición de borde inicial a la final. Las líneas equipotenciales deben cortar a las líneas de flujo en ángulos rectos y tratar de formar en lo posible elementos cuadrados. Debido a que los valores de: y

de la ecuación deben ser iguales, para dar validez a la ecuación y

poder determinar el caudal que circula en la red de flujo.

En la Figura, se muestran algunos ejemplos de redes de flujo en sistemas de flujo en dos dimensiones.

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(a) Ataguía. (b) Presa de tierra. (c) Presa de concreto con mensuras.

FILTRACION EN MEDIOS POROSOS Filtración: Las filtraciones dependen fundamentalmente de la carga hidráulica que las origina y de las características físicas de los materiales, por donde el agua efectúa su recorrido de filtración. Cuando la velocidad del agua filtrada llega a ser suficiente para lavar o arrastrar los materiales de cimentación se origina el fenómeno de tubificación el cual produce asentamientos, disloques, etc., en general afecta seriamente la estabilidad de la estructura. Por lo anterior las cortinas sobre la cimentación permeable deberán diseñarse con recorrido de filtración suficientes a fin de que el agua bajo la estructura tenga siempre velocidades bajas para evitar cualquier posibilidad de tubificación. Aunque se acepten filtraciones en presas, no es por demás recordar que su magnitud en algunos proyectos, pueden ser incrementada notablemente, una vez que se haya construido la cortina, puesto que la carga hidráulica aumente al represarse el agua y por ello en algunas ocasiones, será necesario verificar que el gasto de filtración no afecte al que se pretende derivar. Esto será más importante a medida que la diferencia entre el gasto de derivación y el gasto de la corriente, sea menor.

El volumen de filtración se calcula empleando la fórmula que expresa la Ley de Darcy:

Dónde: Q: Gasto de filtración en m3 /seg. K: Coeficiente de permeabilidad i: Pendiente hidráulica H / L Carga hidrostática / Long. Rec. de filt. A: Área bruta de la cimentación a través de la cual se produce la filtración sen cm2

Para un problema dado, el coeficiente de permeabilidad deberá determinarse de acuerdo a los métodos establecidos por la mecánica de suelos. La figura anterior muestra los rangos del valor de este coeficiente para varios tipos de suelos y se incluye con el fin de dar una idea aproximada del valor de este concepto. Como se puede observar la permeabilidad varia incluso para el mismo tipo de material. Para aumentar la longitud de filtración en las cortinas se emplean dentellones, ya sea de concreto o de arcilla, delantales o tapetes de arcilla compactada o mampostería. Con un sistema de lloraderos se consigue teóricamente cortar el recorrido de filtración hasta el término de la longitud, calculada como necesaria según el criterio empleado, lográndose con ello abatir el diagrama de subpresión. La magnitud de la fuerza de subpresión que origina las filtraciones en una cortina, se pueden calcular mediante las redes de flujo que se establece en mecánica de suelos; sin embargo, en la mayoría de los casos no se disponen de datos relativos al coeficiente de permeabilidad de los materiales de cimentación y por otra parte un estudio riguroso de las características de estos materiales no es justificable, desde el punto de vista económico para estos proyectos. Por lo anterior, para el análisis del paso de filtración y subpresiones en las presas, se ha adoptado dos procedimientos empíricos que llevan el nombre de sus autores y son: el método de E. W. Lane, y el de Blight. Estos dos procedimientos han sido empleados en varios proyectos y los resultados han sido satisfactorios.

La conclusión más importante que estableció Lane para el recorrido de la filtración son las siguientes: 

La longitud de filtración compensada de la sección transversal de una cortina es igual, a la suma de las longitudes verticales de filtración (Lv) más un tercio de la suma de las longitudes de filtración horizontales (1/3 Lh ). Longitud de filtración compensada. Se consideran como distancias verticales y horizontales las que tienen

una inclinación mayor de 45º y menor de 45º respectivamente. 1. La relación de carga compensada ( C ) es igual a la longitud total de filtración compensada ( L ) dividida entre la carga hidráulica efectiva ( H) 2. Cuando se emplean drenes con filtros invertidos, aliviaderos, o tubos de

drenaje

como

medios

para

contrarrestar

las

filtraciones

subterráneas los valores que se recomiendan para la relación de carga de filtración (C) pueden reducirse hasta un 10%. 3. Deberá tenerse cuidado durante la construcción de la cortina para que los dentellones, se unan directamente con sus extremos a fin de que el agua no pueda flanquearlos. 4. El valor de la subpresión que se debe emplear en un proyecto, puede estimarse considerando que la caída de presión del agua del vaso a la descarga, a lo largo de la línea de contacto entre la cortina y la cimentación, es proporcional a la longitud total de filtración compensada. ((

(

)

)

)

Dónde: Sx = Subpresión a una distancia " x”. Hx = Carga hidráulica, en el punto " x " = H + H´. Lx = Longitud compensada hasta un punto " x”. L = Longitud compensada total del paso de filtración. H = Carga efectiva que produce la filtración, igual a la diferencial del nivel hidrostático entre aguas arriba y aguas abajo de la cortina. H´ = Desnivel entre el agua abajo de la cortina y el punto en estudio. Wa = Peso volumétrico del agua. Tabla de carga de filtración "C"

MEDIOS POROSOS

Un medio poroso es una fase sólida continua con muchos espacios vacíos o poros. Ejemplos de medios porosos: arena, gravilla, esponjas, lechos empaquetados.

Los medios porosos pueden ser: 

Impermeables cuando los poros no están interconectados.



Permeables cuando los poros están conectados.

Las principales características de un flujo en medio poroso, son: 

La fricción es mucho mayor de lo que sería en un flujo análogo sin medio poroso. El factor de fricción se calcula de manera diferente.



La variación de la velocidad del fluido a través de un medio poroso es despreciable comparada con la fricción.

POROSIDAD

Estudio conceptual del medio poroso: Considerado como un sólido continuo con poros en su interior medio poroso consolidado(permeable o impermeable).Considerado como una colección de partículas sólidas en un lecho empaquetado medio poroso no consolidado.

PRINCIPIO DE LA FILTRACION

Ley de Darcy, aplicada a medios Porosos. El símbolo K representa el coeficiente de permeabilidad. Esta Ley se describe de la siguiente manera: el caudal unitario que atraviesa un cuerpo poroso de sección transversal A, es proporcional al Gradiente hidráulico i y un factor K que expresa las características particulares del medio poroso.

FUERZAS DE INFILTRACIÓN El agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos por fricción. Considérese un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena.

La fuerza resultante en el volumen de arena es:

Donde: 

P1 = h1A



A es el área transversal de la muestra.

P2 = h2A

Sustituyendo:

 La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento analizado. Para suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada.

CONCLUSION

El dibujar la red de flujo en un método de ensayo y error, en ocasiones hace falta más de un intento dibujar una red de flujo apropiada. Debe tenerse en cuenta que es muy improbable conseguir que absolutamente todos los elementos de la red sean cuadrados, especialmente en las condiciones de borde iniciales y finales del sistema. Sin embargo, el área sobrante de un elemento compensará al área faltante de otro. Para que una red de flujo se considere como apropiada, debe cumplir ciertas reglas básicas: 

Las líneas de flujo no deben interceptarse.



Las líneas equipotenciales nunca deben interceptarse.



Las líneas de flujo y equipotenciales deben interceptarse siempre en ángulos rectos.



Los elementos de la red de flujo en lo más posible deben ser cuadrados.



Ambas familias de líneas tienen que tener una curvatura suave.

BIBLIOGRAFIA



VÉLEZ Otálvaro, María Victoria. Hidráulica de aguas subterráneas. Facultad de minas, Universidad Nacional de Colombia. Segunda edición, Medellín 1999.



JUÁREZ Badillo, Eulalio. RICO Rodríguez, Alfonso. Mecánica de suelos, tomo III flujo de agua en suelos. Editorial Limusa. México 1980.



http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/09/construccion-de-la-redde-flujo.html



http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/interesantes/flujodea guaenelsuelo/flujodelaguaenelsuelo.html



http://www.mitecnologico.com/ic/Main/TeoriaDelLasRedesDeFlujo