Redes de Flujo - Informe Grupal (1)

Universidad Los Angeles de Chimbote

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II Ing. Edwin Arteaga Chaves

2014 Integrantes: -

Anttico An cona na Pi Pinc nco o Jor ordy dy

-

Roja Ro jass Med edin ina a Mar arci cio o

-

Vill Vi llan anue ueva va En Enri rique quezz Cr Cris isth thia ian n

-

Vill Vi llan anue ueva va En Enri riqu que ez Ped Pedro ro

Escuela de Ingenieria Civil

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Introducción Conocer los diferentes comportamientos de los suelos bajo ciertas características físicas es importante para el área de la ingeniería civil. En el presente informe se detalla el comportamiento del suelo con respecto a su p ermeabilidad para el caso de filtraciones por este. Pudiéndose asi determinar cómo es que se va a conducir el agua filtrada por el suelo.

Escuela de Ingeniería Civil

Página 1

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Teoría de Las Redes de Flujo Flujo Bidimensional En general el flujo de agua a través del suelo es tridimensional. Consideremos un “elemento” del suelo en el plano en que el flujo a través de el sea bidimensional .

Ecuación de Laplace La ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico en este caso y para el trazo del grafico se trabaja con solo dos dimensiones.

Flujo de Fluido Sean las cantidades u y v   las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad del flujo incompresible estacionario e irrotacional en dos dimensiones. La condición de que el flujo es incompresible es que

y la condición de que el flujo es irrotatacional es que

Si definimos el diferencial de ψ como

Escuela de Ingeniería Civil

Página 2

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

entonces la condición de incompressibilidad es la condición de integrabilidad para este diferencial: la función resultante se llama  función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo . Las primeras derivadas de ψ son

y la condición de irrotacionabilidad establece que ψ satisface la ecuación de Laplace. La función armónica φ que es el conjugado de ψ se denomina potencial de velocidad. Las

ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que

 Así, para cada función analítica corresponde a un flijo de fluido incompresible estacionario e irrotational en el plano. Las parte real es el potencial de velocidad, y la parte imaginaria es la función de corriente.

Ecuación diferencial del flujo (suelo isotrópico K X = KY) Esta es la ecuación general del flujo o ecuación de Laplace, para el plano, según la cual se reacciona al movimiento de los líquidos en medios porosos.La solución de la ecuación de Laplace se representa por dos familias de curvas (líneas equipotenciales y líneas de flujo) que se interceptan ortogonalmente formando lo que se llama Red de Flujo.

La red de Flujo Representación gráfica de los caminos recorridos por el agua. Está constituída por líneas de flujo (trayectoria de las partículas) y por líneas equipotenciales /líneas de igual carga total). La ecuación de Laplace queda resuelta por dos familias de curvas ortogonales entre si, que son las líneas de flujo y las líneas equipotenciales; con dos familias de líneas que cumplan la condición de ortogonalidad y las condiciones de frontera de la región de flujo constituyen una solución única de la ecuación de Laplace y por ende del problema de flujo descrito por aquella ecuación.

Escuela de Ingeniería Civil

Página 3

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

El método de las redes de flujo utiliza esas afirmaciones para resolver el problema de un modo sencillo y puramente gráfico. Definiendo en cada caso particular las condiciones de frontera especificas del problema y de trazar cumpliendo aquellas las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo asi una verdadera imagen gráfica del problema.  Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando las condiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la solución única del problema; esta aproximación, si el dibujo se ha realizado con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenieriles y da soluciones del problema ventajosas respecto a las que se obtienen por los métodos matemáticos rigurosos, algo ma s precisos quizá, pero mucho mas complicados. Pasos para la elaboración de una red de flujo: 1. Delimitación de la zona de flujo que se desea estudiar, analizando sus condiciones específicas de frontera. 2. Trazo de dos familias de curvas ortogonales entre si que satisfagan las condiciones de frontera y que constituyen la solución única de la ecuación de Laplace. No se pueden dar muchas reglas generales para definir que fronteras pueda tener en un caso dado una zona de flujo en estudio, pero a continuación se mencionan algunos casos muy frecuentes respecto a los que si es posible decir algo como guía de criterio o de aprendizaje. Considere en primer lugar el caso ilustrado por línea 1  –  2 de la imagen que es evidentemente una frontera de la zona por la que se infiltra el agua a través de la presa.

Puede notarse al analizar lo que sucede en los puntos A y A’ que a lo largo de esa línea,

las cargas de presión (representadas por las alturas de agua medidas del punto a la superficie) son diferentes; las cargas de posición, si se toma el plano 1-3 como plano de comparación por ejemplo, también lo son, pero la suma de ambas, o sea la carga hidráulica total, es la misma en todos los puntos y esta representada por la distancia comprendida entre horizontal 1-3 y el nivel de agua. Asi, la línea 1-2 es una línea equipotencial. En general la situación ilustrada por el ejemplo anterior prevalece y el

Escuela de Ingeniería Civil

Página 4

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

contacto entre el agua libre y un medio permeable a través del cual se infiltra el agua es siempre una línea equipotencial. Considerese ahora el caso de la frontera 1-3. El agua que llegue a hacer contacto con esa línea deberá de seguirla en su recorrido, pues la roca impermeable no le permite atravesarla. Asi, la línea 1-3 es una línea de flujo. Tambien puede establecerse como regla general que el contacto entre un medio impermeable y otro permeable a travez del que se infiltra el agua, es una línea de flujo. Siguiendo lineamientos similares a los expresados arriba puede entonces definirse a que tipo de línea corresponde cada una de las fronteras de la región de flujo; por el momento se supone que todas esas fronteras de la región de flujo está claramente delimitada.

Trazo de la red de flujo: Calculo de gasto Para aspirar a una solución discriminativa, que sepa diferenciar un problema de flujo de otro, será preciso no trazar todas las líneas de flujo y equipotenciales posibles; en cambio se trazaran solo unas cuantas seleccionadas con un cierto ritmo útil y conveniente, fijar, como se ha dicho, un ritmo para dibujar solamente algunas de las infinitas líneas posibles. La convención mas conveniente es la siguiente:

a) Dibujar las líneas de flujo de una manera que el gasto que pase por el canal formado entre cada dos de ellas sea el mismo (  b) Dibujar las líneas equipotenciales de manera que la caída de carga hidráulica entre cada dos de ellas sea la misma( 

Escuela de Ingeniería Civil

Página 5

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Supónganse que se ha trazado la red de flujo cumpliendo los dos requisitos anteriores, de manera que un fragmento de ella, el limitado por las líneas de flujo     y por los equipotenciales   Y  es tal como el que se muestra en la figura El gasto  que pasa por el canal vale, según la ley de darcy:   

 

Pues el área media del rectángulo curvilíneo normal al flujo es a (se considera un espesor unitario normal al plano del papel) ,  es la caída constante de potencial hidráulico entre   Y   y b es la distancia media recorrida por el agua. Si   es el número total de canales de flujo que tiene la red y  el número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, podrá escribirse, teniendo en cuenta las dos convenciones que se han seguido para construir la red de flujo:  

 

  

 

Donde q y h son el gasto total y la carga perdida en total, en la zona de flujo.  Asi, la ecuación

  

 

podra escribirse:

 

q      

en esta expresión puede notarse que puesto que q, k, h,     son constantes para una red de flujo dada, la relación a/b debe serlo también. Así, si han de satisfacerse la relación entre el ancho y el largo de todos los rectángulos curvilíneos de una red de flujo debe ser la misma; es decir de todos los rectángulos curvilíneos deben ser semejantes y, recíprocamente se cumpla automáticamente las dos condiciones impuestas a la red al comienzo de esta sección. la relación a/b deben de ser constantes fijando por conveniencia el valor de a/b como la unidad. Si esto se hace, los rectángulos curvilíneos se transforman en cuadrados curvilíneos, de manera que la red dibujada cumplirá la Condición de que por cada canal pase el mismo gasto y de que entre cada dos líneas equipotenciales haya la misma caída de potencial, simplemente si las figuras definidas por esas líneas son cuadrados.

Escuela de Ingeniería Civil

Página 6

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Si se acepta para siempre en adelante que todas las redes de flujo serán de cuadrados, en tanto no se especifique otra cosa, la ecuación podrá escribirse: 

  

El término nf /ne depende solamente de la forma de la región de flujo. Se le llama Factor de Forma y se representa:   

  

 Así, en definitiva, la expresión 2-3 puede ponerse como:    

Que es la fórmula sencilla que permite calcular el gasto por unidad de longitud normal a la sección estudiada, que ocurre a través de una región de flujo en la que se ha dibujado la red correspondiente.

Normas para el trazo de redes de flujo: 1. Úsense todas las oportunidades posibles para estudiar la apariencia de redes de flujo bien hecha, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios. 2. Usualmente es suficiente trazar la red con número de canales de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la atención de los aspectos esenciales.

3. Debe siempre observase la apariencia de la red en conjunto, sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella este aproximadamente bien trazada. 4. Frecuentemente hay partes de la red en que la línea de flujo debe ser aproximadamente rectas y paralelas: en ese caso los canales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Pueden facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona.

5. La red de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronteras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y la línea de flujo y las equipotenciales son entonces de forma parecida a la elíptica.

Escuela de Ingeniería Civil

Página 7

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

6. Un error común en los principiantes es el de dibujar transiciones muy bruscas entre las partes rectas y curvas de la diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o e líptica; el tamaño de los diferentes cuadrados deben ir cambiando también gradualmente.

7. En general el primer intento no conduce a una red de cuadrados en toda la extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondientes a un cierto número de canales con el que se intentó la solución, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre dos líneas equipotenciales en la que la caída de carga es una fracción de la  Δh que haya prevalecido en el resto de la red. Generalmente esto no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta para cálculo de n e, estimando que la fracción de caída ha resultado. Si por razones de presentación, se desea que todas las hileras de cuadrado queden con el mismo  Δh, podrá corregirse la red cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe intentarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeña. 8. La condición de frontera puede introducir singularidades en la red que se discutirán con más detalles en las plataformas siguientes.

9. Una superficie de salida en la red en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie no pueden ser completos. Sin embargo, como más adelante se demostrará, estas superficies deben cumplir la cond ición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas cortados por las líneas equipotenciales.  Además de las normas anteriores, es conveniente que la línea de flujo y equipotenciales se dibujen siempre completas.

Escuela de Ingeniería Civil

Página 8

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

-

Ejemplos de dibujos de redes de Flujo:

Escuela de Ingeniería Civil

Página 9

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Ejemplo: Calculemos el flujo de agua que atraviesa el suelo por debajo de la cortina de estacas

Escuela de Ingeniería Civil

Página 10

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Flujo en un suelo Anisotrópico (K X ≠ KY)

Ecuación bidimensional del flujo en un medio saturado y con flujo estacionario. En el caso en que los coeficientes de permeabilidad no sean iguales en las dos direcciones (k x ≠ ky), las líneas no son más perpendiculares a las equipotenciales. Para el trazado de la red de flujo en esta situación, se apela a una transformación del problema. Se efectúa una alteración en la escala en la dirección x (la permeabilidad en la dirección horizontal tiende a ser mayor que la vertical).

Escuela de Ingeniería Civil

Página 11

REDES DE FLUJO – MECANICA DE SUELOS II

Bibliografía -

Mecánica de Suelos TOMO III . Juárez Badillo. Pág. 36  – Pág. 48 http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace http://fisica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/01/Bidimensional7.jpg http://es.slideshare.net/melitayura/mecanica-de-suelos-propiedadeshidraulicas-del-suelo

Escuela de Ingeniería Civil

Página 12