Red Reciproca PDF

 

Física del Estado Sólido

RED RECÍPROCA Dr. Andrés Ozols

Facultad de Ingeniería de la UBA 2009 Dr. A. Ozols

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RED RECÍPROCA  El conjunto de todos los vectores vectores de onda K que conducen a ondas  planas con la periodicidad de una dada red red de Bravais 



eiK .( r

+



R)

 

=e

iK .r  

 Debe cumplirse para cualquier valor valor de r  

e   =1 iK . R

 Para todo vector R de la red de Bravais Bravais

 Este conjunto de vectores K  constituye la red recíproca

 El conjunto de vectores R es una  red de Bravais

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RED RECÍPROCA es una RED de BRAVAIS Bravais  El conjunto de vectores K es una de Bravais Cualquier combinación lineal con números enteros satisfará: e iKR = 1  Los vectores primitivos de la red recíproca recíproca se  se construyen en la forma





b1 = 2π 











a2 xa3

b2 = 2π 



a1. ( a2 xa3 )



a3 xa1











a1. ( a2 xa3 )

b3 = 2π 





a1 xa2 



a1. ( a2 xa3 )



a3

Vector perpendicular al plano  definido por a 2 x a 3 :



a2



b1 ∝



b1

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







a2 xa3

( a2 xa3 )

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RED RECÍPROCA es una RED de BRAVAIS  Los bi constituyen un conjunto de vectores primitivos primitivos pues:



 

bi .a j = 2π



ai xak 







.a j = 2π 



ai . ( ai xak )  

i≠ j

bi .a j = 2π 

i= j

 



bi .ai = 2π 

















a j . ( ai xak  ) ai . ( ai xak  ) 











ai . ( ai xak  ) ai . ( ai xak  )











ai . ( ai xak ) =0

 

 

bi .a j =  2πδ  ij = 2π .1



k = k1b1 + k2b2 + k3b3 





a j . ( ai xak  )



 R = n1a1 + n2 a2 + n3a3

la red recíproca

la red de Bravais Bravais ( n i enteros) Dr. A. Ozols

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RED RECÍPROCA es una RED de BRAVAIS  

K .R = 2π  ( k1n1 + k2 n2 + k3n3 )  

Si

e   =1

 

iK . R

K .R = 2π  p

 

   R

 ki enteros

Con p entero

K son combinación lineal de los bi

 K constituye una red de Bravais Se demuestra por el absurdo, que la recíproca de la red recíproca es la red directa Dr. A. Ozols

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RECÍPROCACA RED CÚBICA SIMPLE Si



 





b1 = 2π



 

 

 





 

ayxaz 

 

 



a3 = az

a2 = ay

a1 = ax



 

ax. ( ayxaz )

= 2π

a2 x



2

ax.a x



= 2π 

x

a

b1 = 2π    x a 

b2 =

2π    y a

 Análogamente b 2 y b 3



b3 =

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2π    z a 6

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RECÍPROCO DE RED FCC  Los vectores primitivos elegidos de la red directa directa son       a 2 a 2 a1 = 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ( sen45) z + 2 ⎛⎜ ⎞⎟ ( cos 45) y ⎝2⎠ ⎝ 2⎠

2a



a1 = 

a1 =

2 a 

2

 

2    2a 2  z+ y 2 2 2



a1 a 1



( z + y)



a2  aa 3

 Análogamente 

a2 =

a 

2

 

3





a3 =

( z + x)

 a





( y + x)

2

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RECÍPROCO DE RED FCC 

b = 1

4π  1

 

 



y+z −x

a 2(

) 

b2 =

  1 4π 

a

( 2



 

 

x + z − y



b3 =

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)

  1 4π 

a 2

(

      x + y − z

)

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PLANOS de LA RED  Algunas elecciones posibles de la Red de Bravais de los planos de la red 

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INDICES de MILLER

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INDICES de MILLER

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PLANOS en un CRISTAL CÚBICO INDICES de MILLER  Ejes de coordenadas

 Plano particular 

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INDICES de MILLER

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13

INDICES de MILLER Planos de la celda cúbica

Familia de planos {100}

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INDICES de MILLER

Planos {111}

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INDICES de MILLER

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Intersecciones fraccionarias

Planos {110}

Intersecciones múltiplos

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INDICES de MILLER Familia de direcciones Eje X

Eje Z

Eje Y

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