Red Espacial

La red cristalina es una construcción geométrica que parte de cuatro puntos base, de los cuales no puede haber mas de dos en una fila y no mas de tres en un plano. Partiendo de estos puntos podemos desplazarlos formando toda la red, los cristales están formados por estas redes, que a continuación describiremos.

Componentes de la red espacial  Nodos.- puntos que componen la

red espacial.  Filas.- Se forma por la sucesión de puntos en una misma recta  Plano reticular.- Formado por nodos en un mismo plano  Celdillas.- Paralelepípedos formados por los planos y filas perpendicular a estos.

Elementos de simetría Los elementos de simetría son los siguientes: Plano de simetría.  Eje de rotación.  Centro de simetría.  Eje de roto-reflexion.  Eje de roto-inversion. 

Plano de simetría  Es un plano imaginario contenido en el cristal que actua como

un espejo. En donde una es la imagen especular de la otra.

Eje de simetria  Eje imaginario a través del cristal, sobre este eje axial podemos

girar el cristal encontrando posiciones de giro congruentes.  La rotación puede representarse por una matriz de rotación en tres dimensiones. Cuya traza debe ser un numero entero.

Centro de simetria  Es un punto imaginario ubicado en la red espacial que al pasar

una recta sobre el encontramos dos puntos equidistantes.

Eje de roto-inversión Combinación de un plano de simetría con un eje de

simetría.

En la figura observamos la acción del eje de simetría sobre el punto A1 y luego el reflejo en el plano.

Eje de roto-reflexión Es la combinación de un eje de simetría con un centro

de simetría. En la figura se observa la acción Del eje de simetría sobre el punto A1 y luego la acción del centro de simetría.

Particularidades de la simetría de las redes espaciales  Una recta paralela al eje de simetría y que pasa por un nudo de la red, es un eje de simetría del mismo orden para dicha red.  Un plano paralelo al plano de simetría y que pasa por un nudo, es un plano de simetría de la misma red.  Si en la red hay un eje de simetría de orden n (siendo n>2), en la misma red hay también n ejes binarios perpendiculares al eje Ln.  La red espacial siempre tiene un número infinito de centros de simetría. Estos son los nudos, los centros de los paralelepípedos y de las caras, y el punto medio de las aristas.  El plano que pase por un nudo de la red y sea perpendicular al eje de simetría de la

misma, es un plano reticular de dicha red.

En 1855 A. Bravias hizo una superposición de planos que generaron 14 celdas morfológicamente distintas, estas traslaciones generaron todas las redes espaciales que podria tener un cristal. Todas las redes de bravías se pueden convertir a su forma primitiva, pero la red de Bravais es una disposición de puntos matemáticos que tienen posición pero no magnitud, ni forma.

 Son de 4 tipos:  1.- Simples o primitivas, en que las partículas de las sustancias se ubicaran solamente en los vértices de los paralelepípedos. Al añadir partículas en diferentes partes de las rejas se deducen redes más complicadas.  2.- De bases centradas (centrada en la base), en donde las partículas se añaden de manera que ocupen los centros de la base o de cualquier cara de la malla.  3.- De mallas centradas (centradas en el interior, de cubos centrados), donde además de los nudos en los vértices de los paralelepípedos, hay otro nudo en el centro del mismo.

 4.- De caras centradas (centradas en las caras), donde los nudos se ubican en los vértices de los paralelepípedos y en el centro de todas las caras de las mallas.

Red triclínica (a≠b≠c α≠ß≠γ≠90º)  Debido a los valores distintos entre sí de las traslaciones

y de los ángulos fundamentales, el paralelepípedo tiene forma cualquiera, triplemente inclinado (por ello se denomina triclínico). Se trata de una red primitiva.

Redes monoclínicas (a≠b≠c α=γ=90º≠ß)  La celda es un paralelepípedo no recto de base

rectangular (formados por redes planas rectangulares). Red monoclínica primitiva (P), Red monoclínica de base centrada (C).

P

C

Redes rómbicas (a≠b≠c α=ß=γ=90º)  Red rómbica primitiva, P

El paralelepípedo fundamental es un prisma recto de base rectangular. Los tres planos fundamentales, (100), (010) y (001), más los planos diagonales del prisma, son redes planas rectangulares.  Redes rómbicas centradas La operación de centrado de redes permite la generación de estos otros tipos de red. Si se centran las redes planas rectangulares (100), (010) y (001) sus símbolos son respectivamente A, B y C.

Redes tetragonales (a=b≠c α=ß=γ=90º) 

Red tetragonal, P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. La familia de planos (001) es de red plana cuadrada, mientras que (100) y (010) son rectangulares e idénticos entre sí. 

Red tetragonal centrada, I

Al ser iguales por simetría, los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente, y, a su vez, no pueden hacerlo simultáneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia.

Red hexagonal, P (a=b≠c α=ß=90º, γ=120º, 60º)  El paralelepípedo fundamental es un prisma recto de base rómbica

(de ángulo de 60º). Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda múltiple integrada por tres de estas celdillas rómbicas  Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales. Según éste, los nudos se proyectan a 1/3 o a 2/3 de la diagonal mayor del rombo, dando como resultado una red romboédrica o trigonal, R de (a=b=c α=ß=γ≠90º)

Redes cúbicas (a=b=c α=ß=γ=90º) 

Red cúbica primitiva, P: El paralelepípedo fundamental es un cubo.  Redes cúbicas centradas: El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas. Las redes cúbicas centradas se originan cuando el ángulo del romboedro se hace igual a 60º y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre sí, definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro. Así, la distribución de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas, originando la red cúbica de caras centradas, F.

Grupos Espaciales  Se pueden definir los grupos espaciales como grupos de

transformación del espacio tridimensional homogéneo y discreto en sí mismo.  El principio de homogeneidad de una sustancia en estado cristalino, considerándolo a nivel microscópico, es decir, considerando la atomicidad de la sustancia cristalina, incluye los principios de simetría (la sustancia cristalina contiene un infinito número de puntos iguales por simetría) y de discreción (no todos los puntos de una sustancia cristalina son idénticos).  Estos principios se realizan simultáneamente en la red cristalina. Las condiciones de homogeneidad y discreción determinan que todos los grupos espaciales sean periódicos tridimensionalmente y por lo tanto cristalográficos, con ejes de simetría de órdenes 1, 2, 3, 4 y 6.

 En 1891 A. M. Schönflies y E. S. Fedorov completaron,  

 

independientemente, la lista de los 230 grupos espaciales cristalográficos. De estos 230 grupos: - 73 son grupos simorfos: Tipo de grupos espaciales que se obtiene de manera simple combinando cada uno de los 32 grupos puntuales con cada una de las redes de Bravais compatibles con ellos. - 157 grupos no simorfos: Son aquellos que se derivan de los simorfos cuando en ellos consideramos una traslación múltiple, pues aparecen elementos de simetría con traslación asociada, no presentes en los grupos simorfos.

Sistema

N0

Números

Sistema triclínico

2

1-2

Sistema monoclínico

13

3-15

P2, P21, B2, . . .

Rómbico

39

16-74

Trigonal

25

75-142

P222, P2221, P212121, . . . P4, P41, P41, . . .

Sistema tetragonal

68

143-167

P3, P31, P32, . . .

Sistema regular

36

168-194

P6, P61, P62, . . .

Sistema hexagonal

27

195-230

P23, F23, I23, . .

Total

230

Grupos

Enlaces Atómicos en los Cristales  Una comprensión de muchas de las propiedades físicas de los materiales son predicadas en un conocimiento de las fuerzas interatómicas que atan juntos a los átomos. Quizá los principios de unión atómica son más convenientes ilustrado considerando la interacción entre dos átomos apartados como sean metidos en proximidad cercana de una separación infinita. En distancias grandes, las interacciones son insignificantes; pero como el acercamos los átomos, cada uno ejerce fuerzas por parte de la otra. Estas

fuerzas son de dos tipos, atractivo y repulsivo, y la magnitud de cada uno es una función de la separación o la distancia interatómica.  El origen de una fuerza atractiva Fa depende del tipo particular de unión que existe entre los dos átomos. Su magnitud varia con la distancia, como representado esquemáticamente en la Figura 3.1. Finalmente, los electrones exteriores de los dos átomos comienzan a superponerse, y una fuerza fuertemente repulsiva Fr entra en juego. La fuerza neta Fn entre los dos átomos es simplemente la suma de ambos componentes atractivos y repulsivos; esto es: Fn = Fa + Fr

Tipos de enlaces entre las partículas materiales de los cristales reales  Los tipos de enlaces son de dos tipos primarios y secundarios. Los

primarios son los enlaces iónicos, enlace covalente, enlace metálico y los secundarios son enlaces de Van der Waals-London y los enlaces puente de hidrogeno.  Enlace iónico.- Los átomos neutrales de ciertos elementos químicos pierden fácilmente sus electrones exteriores (de valencia) y, de esta manera se transforma en iones cargados positivamente (cationes).

Na+

Na

Na+ Cl

Cl-

Cl-

 Enlace covalente.- La estabilidad se asegura por la presencia

de uno o varios electrones comunes a dos átomos contiguos, es decir, de electrones que entran en la composiciones cada uno de estos átomos.

C

H

 Enlace metálico.- en este enlace los electrones se desplazan libremente,

con ello se explica la gran conductibilidad térmica y eléctrica de la mayoría de los metales. El enlace metálico se efectúa debido a la atracción entre las armazones positivamente cargadas de los átomos y el conjunto de electrones metálicos. De esta manera tenemos electrones de valencia comunes para todos los átomos. +

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

 Enlace por fuerza de Van der Waals.- en este tipo de

enlace, las unidades estructurales se unen mediante las denominadas fuerzas de Van der Waals, las cuales son considerablemente mas débiles que en los tres casos anteriores.

-

+

-

+

Problemas b 1.- En la figura (a) se muestra la estructura del CsCl, con los iones Cs en las esquinas y el ion Cl, ligeramente mas grande, en el medio del cubo. En cada punto de la red existe un par de iones, como se muestra en la figura (b). Si un par de iones, como los indicados, se ubican en cada punto de la red: a) dibujar la red, b) identificar la red y c)dar las coordenadas fraccionales del ion Cs y del ion Cl. Solucion: a) El dibujo de la red se muestra en la figura adjunta. b) La red es cubica P (primitiva) c) Con relación a los vectores de la celda unitaria, las coordenadas fraccionales de los iones son: Cs: 0 0 0 y Cl: 0,5 0,5 0,5

a c

(a)

(b)

2.-en la estructura del CaTiO3 que se muestra en la figura (a), el ión grande de Ca está en el centro del cubo y los iones pequeños de Ti en las esquinas del cubo. Considerando que existen cinco átomos en cada punto de la red, como se muestra en la figura (b): a) dibujar la red, b)identificar la red y c) dar las coordenadas fraccionales de los iones de Ca, Ti y cada uno de los tres oxígenos.

Solución: a) El dibujo de la red primitiva se muestra en la figura adjunta. b) La red cúbica P (primitiva) c)Con relacion a los vectores de la celda unitaria, las coordenadas fraccionales de los iones son: Cs: 0.5 0.5 0.5; Ti: 0 0 0 y O: 0,5 0 0, 0 0.5 0, 0 0 0.5

b

a c (a)

(b)

3.- el magnesio tiene la estructura que se muestra en la figura (a). Observando que cada celda unitaria contiene solamente un punto de red, pero dos átomos, como se muestra en la figura (b): a) dibujar la red, b) identificar la red y c) dar las coordenadas fraccionales de los átomos de Mg. Solución: a) El dibujo de la red se muestra en la figura adjunta. b) La red es hexagonal P (primitiva) c) Con relación a los vectores de la celda unitaria que se muestran, las coordenadas fraccionales de los átomos: Mg: 0 0 0 y 2/3 1/3 1/2

1/3

2/3

a

b c

a

b 1200