Recueil Exercices 2019

 

DYNAMIQUE DES STRUCTURES  DYNAMIQUE DES OUVRAGES 

Recueil d'Exercices 

PROFESSEUR ALAIN PECKER Equipe Enseignante MATHIEU ARQUIER  NICOLAS GREFFET ROMAIN MEGE SADRI MEVEL 

Année Académique 2018 - 2019 

 

 

 

 

Table des matières  Préface ............................................................................................................................................. 5  Préface ............................................................................................................................................. Dynamique des Structures ..................................................... Structures ............................................................................................................. .......................................................... 6  1 Systèmes à un degré de liberté ............................................................. liberté ................................................................................................... ...................................... 7  1.1 Poutre sur des appuis simples .............................................................................................. simples .............................................................................................. 7  1.2 Poutres sans masse avec avec surcharge ................................................................. surcharge ..................................................................................... .................... 8  1.3 Chute de masse sur oscillateur simple  simple ................................................................................. 9  1.4 Automobile sur route de rugosité sinusoïdale ................................................ sinusoïdale .................................................................. .................. 10  1.5 Modèle de frottement de Coulomb .......................................................................... Coulomb ................................................................................... ......... 12  1.6 Spectres de réponse de sollicitations impulsives ..................................................... impulsives .............................................................. ......... 13  1.7 Transformée de Fourier Fourier d'un accélérogramme et énergie énergie ....................  ............................................... ........................... 14  1.8 Portique soumis à un chargement sismique .............. sismique ..................................................................... ....................................................... 15  1.9 Notions de transfert de spectres  spectres ........................................................................................ .................................................... .................................... 17  1.10 Etude d'un portique avec pont roulant* ......... roulant* ................................................................ ................................................................ ......... 19  1.11 Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales ................... longitudinales .............................................. ........................... 20  2 Systèmes à N  degrés  degrés de liberté ............................................................. liberté ................................................................................................. .................................... 21  2.1 Equation du mouvement mouvement d’un bâtiment rigide ................................................................. rigide ................................................................. 21  2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts ............................................................. ressorts ........................................................................................ ........................... 22  2.3 Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie tuyauterie sous pression lors d'une rupture  rupture ...... 24  2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses*  masses* ................................................. 26  2.5 Etude d'un portique de 2 étages étages soumis à un chargement sismique sismique  ............................... 27  2.6 Prise en compte de l'interaction sol-structure sol-structure ................................................  .................................................................. .................. 30  2.7 Dalle sur sol élastique élastique couplée avec oscillateur oscillateur de faible masse *  * .................................. 33  2.8 Comportement sismique dune structure asymétrique asymétrique *  * .................................................. 35  Dynamique des Ouvrages  Ouvrages ............................................................................................................... ...................................................... ....................................................... 37  1 Vibrations des p poutres outres - systèmes systèmes continus ........................................................... continus ............................................................................. .................. 38  1.1 Etude simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un câble tendu tendu  ........................ 38  1.2 Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique dynamique ........  ................. ......... 40  1.3 Etude d'une poutre à masse répartie avec une section variable variable  ...................................... 42  1.4 Modes propres de poutres uniformes .................................................... uniformes ............................................................................... ........................... 44  1.5 Chute de poutre en rotation .............................. rotation ..................................................................................... ................................................................ ......... 45  1.6 Modes propres de la Terre ............................................................. Terre ................................................................................................. .................................... 46  1.7 Mode de vibration vibration fondamental dune pile de pont pont  .......................................................... 47  1.8 Tassement d’une pile de pont* .......................................................................................... pont* .......................................................................................... 48  1.9 Calcul de cheminée cheminée avec interaction sol-structure ....................... sol-structure ........................................................... .................................... 49  2 Propagation d'ondes  d'ondes .......................................................................................................... ................................................. ................................................................ ......... 50  2.1 Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres barres ......................................  ...................................... 50  2.2 Propagation d'ondes sphériques ............. sphériques ..................................................................... .......................................................................... .................. 51  2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH)  SH) ................................................. 52  2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV) ............................................. P/SV) ............................................. 54  2.5 Propagation d'ondes au travers travers d'une interface solide - fluide* fluide*  ...................................... 55  2.6 Ondes réfractées dans une membrane membrane * ........................................................................... * ........................................................................... 56  3 Interaction Sol-Structure ....................................................................... Sol-Structure ........................................................................................................... .................................... 57   

 

3.1 Fondation de machines tournantes ........................................................ tournantes ................................................................................... ........................... 57  3.2 Interaction cinématique cinématique d'un radier rectangulaire rigide  rigide ................................................. 60  4 Interaction Fluide-Structure ........................................................................... Fluide-Structure ...................................................................................................... ........................... 62  4.1 Calcul de la masse masse ajoutée de 2 cylindres cylindres concentriques séparés par un fluide fluide  ............. 62  4.2 Calcul d'une barre partiellement immergée  immergée ...................................................................... 64 

 

 

Préface  Ce receuil d'exercices est destiné aux élèves participant aux cours Dynamique des Structures et Dynamique des Ouvrages de l'ENPC. La plupart des exercices inclus dans le recueil seront étudiés et résolus par les élèves eux-mêmes lors des séances des petites classes. Pour cette raison, on n'en fournit pas la solution détaillée mais uniquement quelques indications sur la démarche à suivre ainsi que les résultats finaux.  Les exercices qui sont annotés avec une étoile ont servi comme sujets d'examen antérieurs.

 

 

Partie I Dynamique des Structures 

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1 Systèmes à un degré de liber liberté té  1.1 Poutre sur des appuis simples  I. I.   Ecrire les équations du mouvement du système rerpésenté sur la Figure 1. En supposant la poutre sans masse, le système présente un seul degré de liberté défini par la déflexion u  sous poids propre P . La rigidité de flexion de la poutre est  EI   et sa longueur  L .

Figure 1: Vibrations de poutres poutres sans masse avec surcharge. surcharge.  II. Déterminer la fréquence propre d'un poids P  suspendu à un ressort au milieu d'une poutre sur appuis simples (cf. Figure 2). La rigidité de flexion de la poutre est  EI   et sa longueur vaut  L . Elle est supposée sans masse. La raideur du ressort vaut k  .

Figure 2: Poids suspendu à une poutre sans masse masse par un ressort. 

7

 

Eléments de réponse  I. k  =

48   EI 

II. ω  =

3

 L

 

48 EIk  3

m(48 EI + L k ) 

 avec m =

 P

 

g

8

 

1.2 Poutres sans masse ave avecc surcharge  Refaire l'exercice précédente avec : I. I. Le  Le système représenté sur la Figure 3. II. II. Le  Le système représenté sur la Figure 4. 

Figure 3: Poutre console sans sans masse avec surcharge. surcharge. 

Figure 4: Poutre biencastrée sans sans masse avec surcharge. surcharge. 

Eléments de réponse  I. I.   k  =

  EI  3  L3

 

9

 

II. II.   k  =

192   EI  3

 L

 

10

 

1.3 Chute de masse sur oscillateur simple  Une masse m1   est suspendue à un ressort k    et se trouve en équilibre statique. Une deuxième masse m2  chute d'une hauteur h  et s'accole à m1  sans rebond (figure 5). I. I. Déterminer  Déterminer le mouvement u (t )  autour de la position d'équilibre statique de la masse m1 . 

Figure 5: Chute d'une masse masse sur un système mas masse-ressort se-ressort en équilibre statique. 

Eléments de réponse 

I. I.   u (t ) =

m2 g k

(1 − cos ωt ) +

2 gh

m2

ω 

m1 + m2

sin ω t  

11

 

 

1.4 Automobile sur route de rugosité sinusoïdale  Question A. Une automobile est modélisée de façon simplifiée par une masse concentrée m  reposant sur un système ressort-amortisseur (Figure 6). L'automobile se déplace à vitesse constante v  sur une route dont la rugosité est connue sous la forme d'une fonction de la position sur la route.  I. I. Déterminer  Déterminer l'équation du mouvement. 

Figure 6: Mouvement idéalisé d'une automobile automobile sur une route. route. 

12

 

Figure 7: Mouvement d'une automobile sur un po pont nt à plusieurs travées. 

Question B. Cette automobile se déplace maintenant sur un pont à plusieurs travées dont les piles sont distantes de 35m (cf. Figure 7). Le fluage à long terme du pont a provoqué une déflexion de 15cm en milieu de chaque travée. Le profil de la chaussée peut être approché par une sinusoïdee d'amplitude 15cm et de période 35m. La masse de l'automobile en charge est de 800kg, la raideur de son système de suspension est de 60000N/m et le coefficient d'amortissement visqueux est tel que le coefficient d'amortissement du système vaut 40%. Déterminer :  II. II. L'amplitude  L'amplitude ut ,0  du mouvement vertical ut  (t )  quand l'automobile se déplace à 70km/h. III. III. La  La vitesse du véhicule qui conduirait à une résonance pour ut ,0 .  Eléments de réponse  I. I.   Travailler avec la méthode de formulation directe de l'équation d'équilibre. II. II.   ut ,0  = 0.175m III. III.   v  = 155.1km/h 

13

 

1.5 Modèle de frottement de Coulomb  Des systèmes utilisés pour limiter les effets des séismes sur les structures permettent de dissiper l'énergie par frottement de Coulomb. Le dispositif est réglé pour fonctionner sous un effort de précontrainte constant  N   et un coefficient de frottement µ  . Un essai de vibration libre (ou de lâcher) est effectué pour mesurer la fréquence propre fondamentale et le coefficient de frottement (cf. Figure 8). I. I. Montrez  Montrez que la décroissance de l'amplitude entre 2 cycles consécutifs (ui − ui +1 )  est  N 

 où K   est la raideur de la structure. K  II. II. Calculez  Calculez la fréquence fondamentale et u f   d'après la Figure 8. 

constante et donnez sa valeur en fonction de u f  =

Figure 8: Réponse en vibration libre libre du dispositif de dissipation d'énergie par frottement. 

Eléments de réponse  I. I.  Etudier la vibration forcée du système sous la force de frottement. II. II.    f   = 2Hz, u f   = 0.38cm 

14

 

15

 

1.6 Spectres de réponse de sollicitations impulsives  Calculer les spectres de réponses des sollicitations suivantes : I. I. L'impulsion  L'impulsion simple représentée sur la Figure 9. II. II. L'impulsion  L'impulsion sinusoïdeale de la Figure 10 en considérant ξ  = 0  et T  < 2s  

Figure 9: Impulsion Impulsion simple. 

Figure 10: Impulsion sinusoïdeale. 

Eléments de réponse 

I. I.   S d  (ξ , T ) =

II. Sd  (T ) =

P

2π 

−

Te

ξ  1−ξ 2

  0  β 2   P

cos −1ξ 

 

2π n

T 

, pour  β  = < 1     sin π  1− β  2 1 + β  2

16

 

1.7 Transformée de Fourier d'un accélérogramme accélérogramme et énergie énergie  Montrer que la transformée de Fourier

 (ω )  d'un

accélérogramme ug (t )   et l'énergie

totale (t d  )  introduite dans l'oscillateur élémentaire non-amorti sont liées par la relation:  



 (ω ) =

2  (t d  )   m La quantité t d   représente la durée totale de l'accélérogramme. Eléments de réponse  Ecrire l'énergie totale comme la somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans l'oscillateur.

17

 

1.8 Portique soumis à un chargement sismique  On désire dimensionner un portique en béton armé situé en zone sismique. Le portique est représenté sur la Figure 11. On ne considérera que la composante horizontale du mouvement sismique.  Les caractéristiques du portique sont les suivantes : • Hauteur des poteaux :  H   = 10m • Portée de la poutre :  L  = 8m • Largeur des poteaux : l  = 0.40m • Hauteur de la poutre : b  = 0.60m • Epaisseur des poteaux et de la poutre: t  = 0:25m. La masse est supposée concentrée sur la poutre supérieure et vaut m  = 50t. On prendra un module d'Young du béton de  E  = 30000MPa. 

Figure 11: Portique en béton armé. 

18

 

Figure 12: Spectre de réponse élastique PS92 

I. I. En  En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 premières fréquences de la structure (horizontale et verticale). II. II. Si  Si on considére le spectre de réponse des régles PS92 avec an = 2.5m/s 2  (pour un sol dur S0).  • Quel est l'effort tranchant global de dimensionnement (à la base de la structure). • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ? • En pensant à la répartition de moment dans un poteau bi -encastré, donnez la valeur du moment de dimensionnement. • Calculez le déplacement relatif (de la poutre par rapport au sol) imposé par le séisme de dimensionnement.

III. III.  Mêmes questions pour le sol S3 (sédiments). Conclusions ?  Les valeurs numériques pour la définition du spectre de réponse pour chaque catégorie

19

 

de sol sont données dans le Tableau suivant. 

Type de sol

T  B  [s]

T C   [s]

T  D  [s]

 RA  

 RM   

S0 S1

0.15 0.20

0.30 0.40

2.67 3.20

1.0 1.0

2.5 2.5

S2 S3

0.30 0.45

0.60 0.90

3.87 4.44

0.9 0.8

2.25 2.0

La pseudo-accélération des spectres élastiques des règles PS92 vaut : PSA = anRe(T )   avec : • Branche AB:  Re(T ) = RA + ( RM − RA)

T  T  B

 

• Branche BC:  Re(T ) = RM      • Branche CD:  Re(T ) = RM 

T C  T 

 

  D TCT  • Branche DE:  Re(T ) = RM    T 2

Eléments de réponse  I. I.   T  X   = 1.434s, T  Z   = 0.057s. II. II.   S d   = 0.068m, V max  = 32.75kN, τ max  = 490.3kPa,  M max  = 163.5kNm. III. S d   = 0.163m, V max  = 78.45kN, τ max  = 1176.8kPa,  M max  = 392.2kNm.

20

 

1.9 Notions de transfert de spectres  L'objectif de cet exercice est de présenter les notions principales dans la procédure de tranfert des spectres, couramment utilisé dans la pratique pour la justification de la tenue d'équipement secondaire. A cette fin, on examine le portique présenté sur la Figure 13. Le comportement dynamique de cette structure est modélisée par un oscillateur à un degré de liberté, caractérisé par sa masse m0   et sa rigidité k 0 . L'amortissement de la structure est négligé. La structure est soumise à une excitation de support impulsive comme suit : ug (t ) = Aδ (t )   

Dans l'expression précédente,  A  représente l'amplitude de l'impact (unités de vitesse) et δ (t )   est la fonction delta de Dirac. 

Figure 13: Portique Portique avec créneau. 

I. I. Calculer  Calculer le déplacement horizontal au niveau du toit du portique. II. II. Déterminer  Déterminer le déplacement horizontal maximal au niveau du toit du portique comme fonction du période propre du portique. III. III. Dessiner  Dessiner les spectres de réponse en pseudo-accélération, pseudo-vites pseudo-vitesse se et

21

 

déplacement de l'excitation de support considérée. Partie II.  Dans la suite, on va considérer qu'un créneau se trouve suspendu du plafond du portique. La masse du créneau est m1  et est considérée beaucoup plus faible que la masse du portique m0 . Par conséquant, on supposera que la présence du créneau n'altére pas le mouvement du portique. La rigidité de la connection du créneau est k 1  et l'amortissement au niveau de la connection ξ 1 .  IV. Calculer le déplacement horizontal du créneau quand le portique est soumis à IV. Calculer l'excitation de support considérée. V. V. Déterminer  Déterminer le déplacement horizontal maximal du créneau comme fonction du période propre du créneau. VI. Dessiner les spectres de réponse en pseudo-accélération, pseudo-vites VI. Dessiner pseudo-vitesse se et déplacement qui fournissent la réponse maximale du créneau. VII. Comparer les spectres obtenus pour l'excitation de support impulsive avec les VII. Comparer spectres de réponse tranférés à la position du créneau.   NOTE. Noter NOTE.  Noter que la fonction de Dirac Di rac est définie comme suit : +∞ t  = 0 δ (t ) =    t  ≠ 0 0  et

∫

+∞

−∞

δ (t ) dt  = 1  

La fonction de Dirac et une fonction arbitraire  f (t )  satisfont la relation suivante : t 

∫  f (t − τ )δ (τ ) dτ  = f (t )   0

22

 

1.10 Etude d'un portique avec avec pont roulant* roulant*  Un portique supporte un pont roulant (voir Figure 14) auquel est suspendue une masse  M   par l'intermédiaire d'un câble souple. Le portique est soumis à une sollicitation sismique ; cette sollicitation se traduit au niveau des poutres de roulement par un mouvement caractérisé par le spectre de réponse donné sur la Figure 15. I. I. Donner  Donner les expressions analytiques des différentes branches du spectre de réponse. II. II. Etablir  Etablir l'équation du mouvement de la masse. III. III. Calculer  Calculer le déplacement horizontal maximal de la masse. 

Figure 14: Portique avec pont pont roulant. 

23

 

Figure 15: Spectre de réponse au au niveau des poutres de roulement. roulement. 

24

 

1.11 Oscillateurs généralisés et effet d de e forces longitudinales longitudinales  Considérons la poutre cantilever de la Figure 16 dont la masse par unité de longueur est m( x)   et la rigidité en flexion  EI ( x ) . La poutre est soumise à une charge dynamique constante e  N   à son extrémité. La déformée  p ( x, t ) = f ( x) g (t )  ainsi qu'à une force longitudinale constant de la poutre est approximée par la relation : u ( x, t ) = ψ ( x) z( t )  

(1) 

où ψ ( x)  est une fonction donnée. I. Utiliser la méthode des puissances virtuelles afin de Déterminer l'équation du mouvement du système. En particulier, montrer que le travail virtuel effectué par la force longitudinale  N   lors d'un déplacement virtuel δ u = ψ ( x)δ z  est donnée par l'expression :

∫

l

δ W N  = z (t )δ zN [ψ ′( x)]2 dx    0

II. II. Déterminer  Déterminer la valeur de la force  N  , appelée charge critique  N cr   pour laquelle la rigidité apparente du système est nulle. 

25

(2) 

 

Figure 16: Poutre et coordonnée coordonnée généralisée. 

Eléments de réponse  l

II. II.   N cr 

 EI ( x)[ψ ′′( x )] dx  ∫ =   ′ ψ  ∫ [ ( x)] dx  2

0

l

2

0

2 Systèmes à N  degrés  degrés de liberté  2.1 Equation du mouvement mouvement d’un bâtiment rigide  On considère le bâtiment parfaitement rigide de la Figure 17. Le bâtiment est fondé sur un sol mou au moyen d'un radier de surface a × b . La hauteur du bâtiment est h  et sa masse

26

 

volumique  ρ  . Le bâtiment est sollicité par un chargement dynamique dans le plan  x − z . Le sol est considéré élastique et peut être représenté par des ressorts verticaux ( k  z ) , horizontaux ( k  x )   et de rotation autour de l'axe  y   (k φ  ) . Déterminer l'équation du mouvement du système en considérant comme degrés de liberté : I. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point  A . II. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point  A′ . III. III. Comment  Comment est-ce que l'équation du mouvement est modifiée dans les l es cas précédents si l'on considère l'effet du poids propre lors de la rotation du bâtiment ?  

Figure 17: Bâtiment rigide sur sol mou. 

Eléments de réponse  III. III.   Utiliser l'approximation : cos φ  =  1 −

φ 2 2!

+ ...  

27

 

2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts ressorts  Une barre de longueur  L  et de masse uniformément répartie  M   repose sur 2 ressorts de raideur K 1  et K 2  (cf. Figure 18). 

Figure 18: Barre sur deux deux ressorts. 

I. I. Après  Après avoir choisi 2 degrés de liberté permettant de décrire le mouvement vertical de la barre, calculer les matrices de masse et de rigidité et écrire les équations de mouvement de ce système. II. II. Que  Que devient la matrice de masse si on fixe une masse  M 0  au 1/3 de la barre. III. III. Calculer  Calculer la matrice d'amortissement si on fixe un amortisseur C   à la barre. IV. Calculer les fréquences et les modes propres de ce système pour K1 = K2 = K et  M 0  = IV. Calculer 0. Eléments de réponse 

 M / 3 I. I.   M =   M / 6

 K 1

M  / 6 

 , K  = 

M  / 3 

 

0

0 

  K 2 

28

 

 M / 3 + 4 M ′ / 9 II. II.   M  =   M / 6 + 2M ′ / 9

   xC 2  1 −    L  III. III.   C  =    xC  1 − xC  L    L  

M / 6 + 2M ′ / 9 

 

M / 3 + M ′ / 9 

 xC   xC     L  1 − L      2

xC   L   

IV.   Pulsations propres : ω 1 = IV.

  2 K   M 

. 

   , ω 2 =

  6 K   M 

29

1

1   1 −  

. Modes : Φ1  =   , Φ 2  = 

1

 

2.3 Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture  Question A.  A.  On désire vérifier le comportement d'une tuyauterie sous pression d'un circuit primaire d'un réacteur nucléaire à la suite d'une rupture accidentelle. La rupture se produit à la sortie d'un coude à 90 degrés situé à une distance 2 L  d'un encastrement. après la rupture, le gaz éjecté exerce sur le tuyau une force parallèle à son axe (au niveau de la rupture) passant brusquement de 0 à F0 =1.26 P0 S 0   ( S 0  : section de la brèche et P0  : pression du fluide contenu dans la tuyauterie avant rupture). En première approximation, la tuyauterie est modélisée par une poutre de raideur  EI   et 2 masses concentrées situées en  x = L   et  x = 2 L   de valeurs  M 1  = 0.50 M tot    et  M 2 = 0. 0.25 25M tot    où  M tot    est la masse totale du tronçon de tuyauterie

( M tot  =  ρ SL = 460kg ) .

Les

applications

numériques

se

feront

avec

caractéristiques suivantes : • 2 L  = 6m •  E  = 210000MPa •  R  = 12.5cm • e  =  R /10 = 1.25cm •  I   =  ρ  R 3e  = 7670cm 4   2 • S   = 2π    Re  = 98.2cm  

• S 0  = π  R 2  = 491cm 2   •  ρ   = 7.8t/m 3   • P0  = 166bars = 1628kPa

Figure 19: Modélisation simplifiée d'une d'une rupture de tuyauterie sous pression. 

I. I. Calculer  Calculer les matrices de flexibilité et de rigidité. II. II. Donner  Donner les équations du mouvement.

30

les

 

III. III. Calculer  Calculer les fréquences et modes propres de ce système. IV. Déterminer l'évolution dans le temps des déplacements des points A et B pour ce IV.  chargement (cf. Figure 19). Question B. Dans B. Dans la suite, on ne tiendra compte que d'un seul mode. V. V. Préciser  Préciser pour quelle valeur de déplacement la vitesse est maximale. VI. Déterminer les forces statiques équivalentes qui permettent de dimensionner VI. Déterminer statiquement la tuyauterie. VII. Déterminer les efforts tranchants et moments fléchissants dans les différentes VII. Déterminer sections en fonction du temps. Eléments de réponse  I. I.   K  =

−5    3 7 L  −5 2 

6 EI  16

 1  ,  3.05 

III. III.  Pulsations propres : ω 1  = 40.2 rad/s, ω 2  = 207 rad/s. Modes propres : Φ1  = 

 1  Φ 2  =     −0.655    B

V. V.   max u y  = 17.9m/s

 F st A     1.07  VI.     B  =  F 0  VI.   st  F    0.816  VII.   Venc =1.886 F 0 ,  M enc = 2.7 F0 L   VII.

31

 

2.4 Etude d'une poutre poutre cantilever supportant trois masses*  Une poutre cantilever supporte trois masses égales comme il est indiqué sur la Figure 20. Les modes propres de vibration ainsi que les fréquences propres ont été déterminés expérimentalement et sont donnés ci-dessous :

0.283 0.957   0.054 0.  3.61    rad/s     Φ = 0. 0.406 0.870 −0.281 , ω  =  24.2  ra   77.7   0.913 −0.402 0.068    Une charge harmonique est appliquée au noeud 2 P = 3k sin (ω t )  dans laquelle ω = 0.75ω 1 . 

Figure 20: Poutre cantilever. 

I. I.   Ecrire l'expression de la réponse stationnaire de la masse m1 , en supposant la structure non amortie. II. II.   Evaluer les déplacements de toutes les masses à l'instant de réponse maximale et tracer la déformée à cet instant. III. III.   Reprendre les questions ci-dessus avec un amortissement de 10% pour tous les modes. 

32

 

2.5 Etude d'un portique de 2 étages soumis à un chargement sismique  On désire dimensionner un bâtiment de bureaux ou d'habitations R+1 situé en zone sismique (cf. Figure 21). Le bâtiment est formé d'un portique en béton armé ayant les dimensions suivantes : • Hauteur d'un étage:  H   =  H 1  =  H 2  = 3m • Portée des poutres:  L  = 6m • Section des poteaux : 25 ×  25(cm ×  cm)

La masse est supposée concentrée à chaque plancher, la masse surfacique valant 1t/m 2   soit une masse par étage valant 36t. On prendra un module d'Young du béton de 30000MPa. On rappelle que la force nécessaire pour appliquer un déplacement différentiel à une poutre biencastrée de hauteur  H  , d'inertie  I   et de module  E  vaut : F x =

12 EI  3

 H 

33

ux  

 

Figure 21: Portique en béton armé. 

34

 

Figure 22: Spectre de réponse élastique PS92. 

I. I. En  En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 premières fréquences correspondant aux modes propres horizontaux de la structure. Donnez les déformées modales correspondantes. Calculez le coefficient de participation et la masse modale de chacun des modes. II. II. Si  Si on ne considère que le premier mode et le spectre S0 des règles PS92 (cf. Figure 14b), quel est l'effort tranchant global de dimensionnement et le déplacement correspondant (on prend an  = 2.5m/s 2 ). • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ? • Donnez une valeur approchée du moment de dimensionnement des poteaux.

III. III. Considérez  Considérez les 2 modes. Quelles sont donc, dans ce cas, les erreurs commises sur les déplacements et l'effort tranchant à la base en négligeant le second mode ? On précisera la méthode utilisée pour la recombinaison des modes.  La pseudo-accélération des spectres élastiques des règles PS92 vaut : PSA = anRe(T )   avec :

35

 

• Branche AB:  Re(T ) = RA + ( RM − RA)

T  T  B

 

• Branche BC:  Re(T ) = RM      • Branche CD:  Re(T ) = RM 

 

T C 

  T  TCT D

• Branche DE:  Re(T ) = RM  T 2  

Type de sol

T  B  [s]

T C   [s]

T  D  [s]

 RA  

 RM   

S0 S1 S2 S3

0.15 0.20 0.30 0.45

0.30 0.40 0.60 0.90

2.67 3.20 3.87 4.44

1.0 1.0 0.9 0.8

2.5 2.5 2.25 2.0

Eléments de réponse 

 −0.62   1  Φ , =    2    0.62 1    

I. I.   ω 1  = 9.61r/s, ω 2  = 25.1r/s, Φ1  = 

Coefficients de participation : a1  = 1.17, a2  = 2.75. 

 u 2 = 3.66cm   , V dim  = 99kN,  M dim  = 148kNm, τ max  = 2.38MPa  u = 2.25cm  1 

II. U  = 

III. III.   max u2  = 3.67cm. 

36

 

2.6 Prise en compte de l'interaction sol-structure  L'objectif de cet exercice est de mettre en évidence les effets de l'interaction solstructure sur le comportement dynamique et le dimensionnement des structures. L'exercice est inspiré par les deux centrales nucléaires situées à San Onofre en Californie qui sont présentés sur la Figure 23(a). Il est connu que le période propre des centrales en considérant des conditions de base encastrée est environ 0.15s alors que le période propre en prenant en compte de la fléxibilité du sol de fondation vaut environ 0.5s.  On étudie la réponse des centrales dans la direction horizontale avec le modèle simplifié présenté sur la Figure 23(b). La superstructure est modélisée comme un oscillateur à un degré de liberté de masse mS   et de rigidité k S  . 

Figure 23: (a) Centrales nucléaires nucléaires de San Onofre, Californie Californie et (b) modèle simplifié pour analyse dynamique  Les centrales sont fondées au moyen d'un radier circulaire très rigide de rayon r  et de masse mF   sur la surface d'un sol considéré comme milieu élastique homogène et isotrope avec module de cisaillement G , coefficient de Poisson ν  , masse volumique  ρ   et épaisseur  H = 2r . Suivant la couche de sol, on rencontre le substratum rocheux, celui-ci considéré comme une assise parfaitement rigide.  La présence du sol est prise en compte dans le modèle avec un ressort équivalent de rigidité K F    qui dépend linéairement de la fréqu ence comme présenté sur la Figure ??. La dépendence sur la fréquence est introduite au moyen du paramètre adimensionnel α    défini par la relation suivante : ω r  α  = V    s

37

 

Dans l'expression précédente, ω  est la pulsation de l'excitation et V s  la vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol. La rigidité du ressort équivalent pour une fréquence d'excitation tendant vers zero (cas statique) est donnée par la relation suivante : r   8Gr  K F ,st = 1 0 . 5 +     H   2 −ν    On considère que la structure est soumise à une excitation sismique caractérisée par le specte de réponse présenté sur la Figure 25, 25 , défini à 5% d'amortissement avec les valeurs suivantes :  

T  B  [s]

T C   [s]

T  D  [s]

 RA  

 RM   

PGA

0.25

0.45

3.0

1.0

2.5

2.5

La pseudo-accélération vaut : PSA = anRe(T )  avec : • Branche AB:  Re(T ) = RA + ( RM − RA)

T  T  B

 

• Branche BC:  Re(T ) = RM      • Branche CD:  Re(T ) = RM 

  • Branche DE:  Re(T ) = RM 

T C    T  TCT D 2

T 

 

38

 

Figure 24: Variation de K F   par rapport à la fréquence. 

Figure 25: Spectre de réponse de dimensionnement. dimensionnement. 

I. I. Calculer  Calculer l'effort tranchant maximal développé à la base de la structure en considérant des conditions de base encastrée.  II. II. Calculer  Calculer l'effort tranchant maximal à la base de la l a structure en tenant en compte de la souplesse du sol de fondation et en ne considérant que le mode fondamental du système solsuperstructure. Afin de prendre en compte de l'incertitude sur les propriétés mécaniques du sol de fondation, on considérera un paramétrage pour la valeur du module de cisaillement G  avec 2 3 valeur moyenne Gmoy   = G , valeur minimale Gmin = G   et valeur maximale Gmax = G . Les 3 2 amortissements modaux sont égaux à 5%. La rigidité du ressort équivalent K F   doit être calibré de manière à correspondre au mode propre du système sol-fondation-superstructure. sol-fondation-superstructure.  III. III. Refaire  Refaire la question précédente en considérant la contribution des deux modes.  Paramètres numériques.  39

 

Les calculs seront effectués avec les valeurs numériques suivantes: • mS   = 100kt • k S   = 175000MN/m • r   = 12.0m • mF   = 0.2 mS    • G  = 500MPa • ν   = 0.3 3

•  ρ   = 0.002 kt/m  

40

 

2.7 Dalle sur sol élastique couplée avec oscillateur oscillateur de faible masse *  Question A.  A.  La dalle de la figure 26, considérée comme étant infiniment rigide est sollicitée par un moment harmonique  M e   (par exemple à cause d'une machine tournante présentant un balourd). On suppose que les mouvements horizontaux de la dalle sont bloqués et on étudie les  petits mouvements dans le plan vertical  x O y  autour de la position d'équilibre statique. La dalle est appuyée sur un support souple qui peut être modélisé par une densité de raideur verticale (l'effort linéique dans le sol est :  f = k s v   ou k s  est la densité de raideur et v   est le déplacement vertical). 

Figure 26: Dalle sur sur sol élastique. élastique. 

I. I. Choisir  Choisir comme degrés de liberté la rotation et le déplacement vertical du centre de la dalle. Montrer que les deux pulsations propres de la dalle sont égales. Calculer leur valeur, et l'amplitude de la réponse stationnaire quand la fréquence de l'excitation est respectivement ωe  ω 0 , ωe = ω 0  et ωe  ω 0 . On considérera que le taux d'amortissement critique est ξ   1 . On notera m  la masse linéique de la dalle et  L  sa longueur.  Question B. On B. On ajoute au système un pendule inversé rigide (figure 27). Il est attaché au milieu de la dalle par l'intermédiaire d'un ressort de rotation de raideur k θ  . La masse de la tige est négligée. On note  M   et  H   la masse à l'extrémité et la hauteur respectivement. 

Figure 27: Dalle sur sol élastique avec avec oscillateur de faible masse. 

41

 

II. II.   Ecrire les équations de mouvement linéarisées de ce système couplé. Donner l'expression des matrices de raideur et de masse. On considère que  MgH  k θ    ( g   étant l'accélération de pesanteur). Montrer que dans ce cas on peut négliger le poids propre du pendule.  Question C. En C. En plus de la relation ci-dessus, la masse et la hauteur ont été choisies de 2 12 MH  sorte que = ε   1  et la raideur k θ   est telle que la fréquence du pendule seul est égale à mL3 la raideur de la dalle, ω 0 .  III. III.   Calculer les modes propres (pulsations propres et déformées modales) du système couplé.  IV.  Calculer l'amplitude de la réponse établie de la dalle et du pendule quand la IV.  fréquence de l'excitation est ωe  ω 0 , ωe = ω 0 , ωe = ω 1   et ωe = ω 2   où ω 1 , ω 2   sont les pulsations propres du système. On fera l'hypothèse que le taux d'amortissement critique modal 2

ξ  , est le même pour les deux modes propres et que ξ  ε   . Tracer qualitativement la courbe de l'amplitude de la réponse établie en fonction de la pulsation de l'excitation. Comparer par rapport à la réponse de la dalle seule en supposant que le taux d'amortissement critique est le même dans les deux cas. 

42

 

2.8 Comportement sismique dune structure asymétrique *  On considère la structure de la Figure 28, qui se compose d'une plaque carrée en béton armé de dimensions  L × L  et de masse totale  M  , supportée par quatre poteaux en béton armé de hauteur h . La section des poteaux est carrée : les sections des poteaux 1 et 2 sont de dimensions a × a  et celles des poteaux 3 et 4 de dimensions b × b .  On considère que la rigidité de la plaque est très élevée par rapport à celle des poteaux. On peut donc supposer que la plaque se comporte comme corps rigide. De plus, on néglige les déformations axiale et de cisaillement dans les poteaux.  On considère finalement que la masse de la plaque est uniformément repartie dans son volume. La masse des poteaux est négligée. 

Figure 28: Structure Structure étudiée. 

I. Calculer la rigidité K   de chaque poteau (rapport de force horizontale sur déplacement horizontale en tête de chaque poteau).  II. II. En  En choisissant comme degrés de liberté les déplacements du centre de la plaque u x , u z   et sa rotation autour de l'axe vertical ϕ  , écrire les équations linéarisées du mouvement. Donner l'expression des matrices de rigidité K   et de masse  M  .  III. III.   Calculer les fréquences propres et les déformées modales. Tracer les déformées modales.  IV. On suppose que tous les modes ont le même taux d'amortissement critique ξ   = 5% IV. On et que la donnée de l'aléa sismique est le spectre de la Figure 29. Calculer les maxima des moments  M  x ,  M  y  dans le poteau 2 dus à un séisme suivant  y  pour chacun des modes.  V. V.   En appliquant les règles de recombinaison des réponses modales SRSS calculer les

43

 

maxima des  M  x  et  M  y .

44

 

On effectuera les calculs avec les données suivantes :   Spectre d'aléa sismique : La pseudo-accélération spectrale à 5% d'amortissement vaut PSA = an Re(T  )  avec : • Branche AB:  Re(T ) = RA + ( RM − RA)

T  T  B

 

• Branche BC:  Re(T ) = RM      • Branche CD:  Re(T ) = RM 

  • Branche DE:  Re(T ) = RM 

T C 

  T  TCT D 2

T 

 

Paramètres numériques : • Dimension de la plaque  L  = 5m. • Hauteur des poteaux h  = 3m. • Dimension de la section des poteaux 1 et 2 a  = 0.3m. • Dimension de la section des poteaux 3 et 4 b  = 0.5m. • Masse totale de la plaque  M   = 25t. • Module d' Young du béton  E  = 30000MPa.

Paramètres pour la définition du spectre : • Accélération maximale du sol an  = 1.5m/s 2 . • Paramètre  RA  = 1.0. • Paramètre  RM   = 2.5. • Paramètre T  B  = 0.06s. • Paramètre T C   = 0.40s. • Paramètre T  D  = 2.50s.

45

 

Figure 29: Spectre Spectre d'aléa sismique

46

 

Partie II Dynamique des Ouvrages 

47

 

1 Vibrations des poutres - systèmes continus  1.1 Etude simplifiée des vibrations vibrations d'une masse attachée à un câble tendu  On désire étudier les vibrations longitudinales (traction-compression) d'une masse attachée à un câble (cf. Figure 30). On note les quantités suivantes : • Longueur du câble : 2 L   • Section du câble : S    • Caractéristiques du câble :  E , ν  ,  ρ  . • Masse du télécabine :  M   

Figure 30: Masse attachée attachée à un câble horizontal tendu. 

48

 

Figure 31: Masse attachée attachée à un câble vertical. 

I. I. Rappeler  Rappeler l'équation de la dynamique de ce système. II. II.   Ecrire les conditions aux limites. Quelles seraient les conditions aux limites pour la Figure 31 ? III. III. Donner  Donner l'expression permettant de calculer la fréquence fondamentale. IV. Donner les fréquences et les déformées des premiers modes lorsque  M IV. Donner  M   ρ LS  . V.  Dans ce dernier cas, vérifier vérifie r l'orthogonalité des 2 premiers modes propres. 

49

  ρ LS    et

 

Eléments de réponse 

 ω L  2 ρ SL . =  c p  c p M    0< x< L  u x ( x, t ) = u0 x, IV. Si   ω  L  → 0  :    u x ( x, t ) = u0 (2 L − x), L < x < 2 L ), 0< x< L  u x ( x, t ) = u0 sin (nπ x / L), ω  L Si  0  :  .  ), L < x < 2 L c p u x ( x, t ) = u0 (nπ (2 L − x) / L),

III.

ω L

tan 

V. u x ( x, t ) = u0 sin ( nπ x / 2 L), 0 < x < 2 L .

50

 

1.2 Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique  On se propose de calculer l'ordre de grandeur des efforts engendrés par un impact d'avion sur une tour de grande hauteur. Les caractéristiques de la tour étudiée sont les suivantes : • Hauteur totale :  H   = 400m • Section de la base : S   = 60 ×  60 (m ×  m) • Masse totale :  M   = 300000t La structure de la tour est tubulaire et l'épaisseur du tube vaut 10cm. On prendra un module d'Young de l'acier égal à  E  = 200000MPa. La tour sera considérée comme une poutre de section constante ayant une masse uniformément répartie sur la hauteur de la poutre. 

Figure 32: Evolution temporelle de la force force d'impact : chargement chargement simplifié. 

51

 

Figure 33: Chargements réels pour plusieurs types d'avion. 

I. I. Rappeler  Rappeler l'équation de la dynamique pour ce système. II. II. Donner  Donner les équations permettant de calculer les fréquences propres et montrer que l'existence d'une solution non nulle conduit à une équation du type : +1= 0   cos k cosh k   + où on précisera la signification du facteur k  . III. III. Montrez  Montrez que ω 1 = (1.875)  2

  EI 

 ρ SH 4

 est une pulsation propre.

IV. A l'aide de la méthode de Rayleigh, donner une valeur approchée de la première IV. A fréquence propre. V. V. On  On suppose qu'un avion d'une masse de  M avion  = 300t volant à une vitesse vavion  = 100m/s impacte la tour à mi-hauteur. L'impact est modélisé par le l e chargement représenté sur la Figure 32 avec :

52

 

Fimp ∆T =

1

M avion vavion   3 En considérant la déformée approchée du premier mode, Déterminer la masse et la raideur généralisées puis calculer les données suivantes: • Le vecteur force généralisée • Le déplacement en tête • L'effort tranchant global en pied • Le moment de flexion global en pied Comparer la contrainte axiale maximale induite par la flexion à la contrainte sous poids

propre. Eléments de réponse  IV.   Considérer la déformée de la poutre sous chargement uniforme. Il s'ensuit : IV.   EI  ω 2 = (1.87   (1.878) 8)4  ρ SH 4

V. V.   Le chargement généralisé :  f = 0.771F imp , umax  = 0.095,  M dim = umax EIψ ′′(0  ) ⇒ M dim  

′′′′(0) ⇒ Vdim   = 33.9MN. = 6.79GNm, Vdim = −umax EIψ ′′

53

 

1.3 variable 

Etude d'une poutre à masse répartie avec une section

On considère une cheminée en béton armé de hauteur 180m, de section circulaire creuse avec le rayon extérieur de 15m à la base et de 7.5m en tête. La structure de la cheminée est tubulaire et l'épaisseur e  du tube (qui est constante sur toute la hauteur) vaut 0.75m (cf. Figure 34). On prendra un module d'Young du béton armé égal à 25000MPa. Le poids volumique de béton armé est égal à 24kN/m 3 . On suppose que l'accélération de la pesanteur vaut g   = 10m/s 2 . La cheminée est considérée encastrée à la base et l'amortissement sera pris égal à 5%. Le rayon moyen et le moment d'inertie peuvent être donnés par les relations suivantes : 3.75  Rmoy = 7.125 − x  180 3  I ( x) = π eRmoy ( x)  

La déformée est approchée par la fonction suivante :

ϕ ( x) = 

3 x 2

x3

−   2 L2 2 L3 où  L   est la hauteur de la cheminée et  x   est mesuré à partir de la base. La cheminée sera considérée comme une poutre de section variable ayant une masse répartie sur la hauteur de la poutre en fonction de  x . 

54

 

Figure 34: Schéma de la cheminée. 

55

 

Figure 35: Spectre Spectre de réponse.  En considérant la déformée approchée donnée ci-dessus : I. I. Déterminer  Déterminer la masse et la raideur généralisées ainsi que la charge généralisée induite par un tremblement de terre. écrire l'équation d'équilibre en faisant intervenir la pulsation propre du système ω  et le pourcentage d'amortissement critique ξ  .  II. II. Calculer  Calculer la première fréquence propre. III. III. Sous  Sous un chargement défini à partir du spectre de réponse donné sur la Figure 35 avec une accélération maximale de 0.25 g , calculer : • Le déplacement en tête. • L'effort tranchant et le moment de flexion en pied et e t à mi-hauteur de la cheminée.

56

 

Eléments de réponse 

  = 4087000kg, Raideur généralisée : k    = 7464600N/m Charge I. I.  Masse généralisée : m   = -6966100 u (t ) . généralisée :  p g II. II.    f   = 0.215Hz. III. III.   umax  = 0.799m. IV. Calculés par les dérivées de la déformée :  M  (0) = 1.58GNm,  M  (90) = 0.32GNm, IV.  V  (0) = 22.5MN, V  (90) = 7.2MN.  Calculés en fonction des forces d'inertie en considérant considérant l'équilibre dynamique en vibration libre, avec amortissement nul :  M  (0) = 1.27GNm,  M  (90) = 1.147GNm, V  (0) = 10.1MN, V  (90) = 8.18MN. 

57

 

1.4 Modes propres de poutres uniformes  I. I.   Calculer les trois premières fréquences propres de vibration et les modes propres associés d'une poutre uniforme encastrée à ses deux extrémités. On appellera  EI  , m  la rigidité en flexion et la masse au mètre linéaire de la poutre de longueur  L . On négligera les termes d'inertie en rotation. II. II. Reprendre  Reprendre le problème précédent en libérant une des extrémités de la poutre et en y attachant une masse ponctuelle  M  . Eléments de réponse 

I. I.   ω i = k i

 EI  4

mL

, k 1  = 22.37, k 2  = 61.7, k 3  = 120.6.

II. II.  Pour la condition aux limites à l'extrémité libre de la poutre, considérer l'équilibre de  forces en y ajoutant ajoutant la force d'inertie d'inertie due à la masse masse ajoutée.  

58

 

1.5 Chute de de poutre en rotation  La poutre représentée sur la Figure 36 se pivote librement autour de son support  A   et chute sur son support  B  d'une hauteur h  (sans rebond). Calculer la vibration de la poutre.  

Figure 36: Chute d'une poutre poutre supportée à son extrémité. 

Eléments de réponse  u ( x, t ) =

 2 3 gh   1   π x 1 2π x ω ω  s i n s i n s i n s i n . . . t t − +      1 2 π ω ω  2  L L 2  1 

59

 

1.6 Modes propres propres de la Terre  L'objectif de cet exercice est de réaliser une analyse simplifiée des modes propres de la Terre. Pour ce faire, l'ensemble du globe est assimilé à une sphère élastique homogène isotrope caractérisée par : • le rayon  R  = 6400 km • la célérité des ondes P  : c L  = 11km/s • la célérité des ondes S   : cT   = 4km/s

On considère de plus que les mouvements sont purement radiaux et ne dépendent que de r , soit : u = u (r )er    On explicitera successivement : I. I. La  La forme générale des modes. II. II. Les  Les conditions aux limites. III. III. L'équation  L'équation caractérisant les pulsations propres (on calculera quelques solutions et on Déterminera notamment la période propre du premier mode). IV. Quels sont les autres modes possibles dans le cas réel ? IV.  Eléments de réponse  I. ur  (r ) =

ω  d   f (r )  B   = 2 (kr cos kr − sin kr ) ,  k  =   c L d r  r  r 

II. II.   σ rr  (  R ) = 0   III. III.   tan kR =

1−

kR λ + 2 µ 

4 µ 

, k  = 2

k R

2

ω  c L

. 

60

 

1.7 Mode de vibration fondamental dune pile de pont  Pour la conception parasismique d'un pont à plusieurs travées on désire estimer le premier mode de vibration de la pile typique du pont. Il s'agit d'une pile en béton armé de section circulaire, modélisée avec le modèle simplifié qui est représenté sur la Figure 37. Le modèle présente une masse concentrée m0  à la tête de la pile et une masse repartie m  le long de la pile. La pile est considérée encastrée à la base. L'inertie en rotation du tablier est considérée nulle. On adoptera une poutre de type Euler - Navier pour la modélisation de la pile (déformations de cisaillement négligées). 

Figure 37: Pile de pont étudié.  Le système met en évidence les le s caractéristiques suivantes : • Hauteur h  = 13m. • Diamètre de la pile  D  = 2m. • Masse concentrée m0 = 1200t. • Masse volumique du béton  ρ   = 2.5t/m3. • Module élastique du béton  E  = 30000MPa. • Amortissement du béton armé ξ   = 5%.

I. I. Calculer  Calculer la fréquence du premier mode de vibration de la pile. 

61

 

Eléments de réponse  I. I.    f   = 0.856Hz. 

62

 

1.8 Tassement d’une pile de pont*  On considère la poutre de la Figure 38. La poutre modélise un pont en béton avec deux travées de longueur  L . 

Figure 38: Tassement de de pile de pont à deux travées. travées.  La rigidité en flexion et la masse linéique du pont sont uniformes le long de la poutre. L'appui B du pont subit à l'instant t 0  un déplacement donné par l'expression : u ( L, t ) = u0 sin ω ( t − t0 )   

  π  I. I. Calculer  Calculer la réponse verticale du pont : u ( x, t )   pour  x ∈ [0,2 L]   et t ∈ [t0 , t 0 + ] . On 2ω  négligera la déformation axiale et la déformation de cisaillement. DONNEES  • Masse linéique de la poutre m . • Module d'Young du béton  E . • Moment d'inertie de la section  I  . • Pulsation du déplacement induit en B, ω  . • Amplitude du déplacement induit u0 . Eléments de réponse  I. I.   Ecrire la réponse de la poutre comme la somme d'un terme correspondant au déplacement statique de la poutre et un terme correspondant à l'effet dynamique . 

63

 

1.9 Calcul de cheminée avec interaction sol-structure  La cheminée de la Figure Figure est modélisée avec un modèle modèle de poutre de caractéristiques de masse et de rigidité uniformément réparties sur la hauteur de la cheminée. 

Figure 39: Cheminée en interaction sol-structure  Afin de prendre en compte l'interaction sol-structure, on introduit à la base de la cheminée une masse ponctuelle représentant la masse de la fondation et deux ressorts reproduisant l'impédance de translation de la fondation suivant l'axe  x   et l'impédance de rotation autour de l'axe  y .  On étudiera le mouvement horizontal de la cheminée suivant l'axe  x . On négligera les

64

 

déformations axiales et de cisaillement de la poutre. On négligera aussi l'inertie en rotation de la fondation. I. Fournir l'expression permettant le calcul de la valeur exacte de la fréquence propre de la cheminée.  DONNEES.  • Hauteur de la cheminée  H  . • Masse linéique de la cheminée m . • Module d'Young du matériau de la cheminée  E . • Moment d'inertie de la section de la cheminée  I  . • Masse de la fondation  M F  . • Raideur du ressort de translation K  x . • Raideur du ressort de rotation K  yy .

2 Propagation d'ondes  2.1 Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres  On laisse tomber depuis une hauteur  H chute   une barre B1 de hauteur  H 1 , module  E 1 , section S 1   et masse volumique  ρ 1   sur une seconde barre B2 de hauteur  H 2 , module  E 2 , section S 2  et masse volumique  ρ 2  qui est sur un support fixe. On étudiera le cas particulier :  E1 = E2 S1 = S 2  ρ1 = ρ 2 H 2 = 10 H 1  

65

 

Figure 40: Impact de 2 barres. barres. 

I. I.   Rappeler l'équation de propagation des ondes de compression et les conditions aux limites dans chacune des 2 barres. II. II. Ecrire  Ecrire les conditions initiales au moment de l'impact des 2 barres. III. III.   Analyser la propagation d'ondes dans les 2 barres avant qu'elles n'atteignent l'extrémité de chacune des barres. IV. Décrire la réflexion aux extrémités des barres et caractériser le champ d'ondes qui en IV. Décrire

66

 

résulte. Eléments de réponse  III. Il s'agit de deux ondes de compression écrites :  N = − ES 

v01

2c p

 

2.2 Propagation d'ondes sphériques  Un milieu infini elastique homogene isotrope (masse volumique  ρ    et coefficients de Lame λ  , µ  ) est soumis a une sollicitation harmonique ponctuelle. On se placera donc en coordonnees spheriques.  I. I. Ecrire  Ecrire l'equation indefinie du mouvement. II. II. En  En ne conservant que les termes radiaux des tenseurs de contrainte et de deformation σ rr  , ε rr   et du champ de deplacement ur  , donner la forme simplifiee de l'equation indefinie du mouvement et en deduire la solution du probleme en deplacement. III. III.   En ne conservant que le terme radial du champ de deplacement ur    mais en considerant tous les termes des tenseurs de contrainte et de deformation (sans toutefois de dependance en θ  , ϕ  ), donner la forme plus complete de l'equation indefinie du mouvement. Montrer alors que la solution en deplacement s'ecrit comme la somme d'un terme de ((champ proche)) et d'un terme de ((champ lointain)). On se donne la divergence d'un tenseur de deuxieme ordre en coordonnees spheriques :

∇ (σ ) ⋅ er  =

∂σ r ϕ  ∂σ rr  ∂σ  r θ  1 + +  + (2σ rr − σ θθ − σ ϕϕ + σ r θ c  ot θ )   ∂r r∂θ r sin θ∂ϕ  r   ∂σ θ r 

∂σ θϕ 

∂σ  θθ 

 

1

r  ∇ (σ ) ⋅ eθ  = ∂r + r∂θ +  r sin θ∂ϕ  + r [(σ θθ − σ ϕϕ ) cot θ + 3σ θ ]     

∇ (σ ) ⋅ eϕ  =

∂σ ϕ r  ∂σ ϕθ ∂σ ϕϕ   1 + +  + (3σ ϕ r  + 2σ ϕθ  cot θ )   r∂θ r sin θ∂ϕ  r   ∂r

Eléments de réponse 

II. II.   u (r , t ) =

u 0  r 

e

i( kr −ω t )

  , k  = ω 

ρ  λ + 2 µ 

u0    1   i( kr −ω t )   III. III.   u (r , t ) = r  ki − r   e

 

 

67

 

2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH)  Un milieu infini élastique homogène isotrope (masse volumique  ρ  , module de cisaillement µ  ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique

′

′

 ρ  , module de cisaillement µ  ). A l'aide de cette couche plus rigide, on cherche à limiter la propagation d'une onde plane harmonique (SH) écrite :

 u1 = u2 = 0      i( kx  −ω t ) 1 = u u e  3 0 Les coefficients  Ri  e  ett T i  représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission. Dans les questions qui suivent, on adoptera les notations suivantes :

α  = +

µ    ′k ′ µ k 

 

  k  ′h

i e =e       k ′h

e− = e−i   T ′ = T2e  

ik  ′h

 

68

 

Figure 41: Propagation Propagation d'ondes SH   dans un milieu stratifié. 

I. I.   Déterminer le coefficient de transmission T 0   de l'onde à travers la couche rigide en fonction des grandeurs α  , e + , e − .

II. II.   Déterminer l'épaisseur de la couche conduisant au coefficient de transmission T 2   minimal et donner l'expression analytique de ce dernier. III. III. Quel  Quel est le résultat lorsque la couche rectiligne est moins rigide que le milieu infini et 1 que le facteur α   vaut α 1 =  ? α  Eléments de réponse  I. I.   T ′ =

4α  (1 + α ) 2 e − − (1 − α ) 2 e +

  2α  T  = II. II.   ′ 1 + α 2  

 

69

 

70

 

2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV)  Un milieu infini élastique homogène isotrope (masse volumique  ρ    , coefficients de Lamé λ   et µ  ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique  ρ ′ ,

′   et ′ ). A l'aide de cette couche plus rigide, on cherche à limiter la µ  λ  propagation d'une onde plane harmonique de compression P . Les coefficients  Ri , T i ,  Ri′  et T i ′   coefficients de Lamé

représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission en onde P  et en onde SV   (respectivement). I. I. Déterminer  Déterminer le vecteur contrainte normale aux interfaces. II. II. Ecrire  Ecrire les équations de continuité en déplacement et en contrainte normale. Quelles autres relations faut-il écrire pour résoudre le problème ? III. III. Que  Que deviennent ces équations lorsque l'onde P  a une incidence normale ? 

Figure 42: Propagation Propagation d'ondes P  et SV   dans un milieu stratifié. 

71

 

u1 = u0 cos θ ei( k1x + k2 y −ω t )   i( k x + k y −ω t )  - Onde incidente P  : u2 = u0 sin θ e 1 2    u3 = 0  u1 =  T2′u0 cos θ T ′ ei( K1x + K2 y −ω t )  2   i( K x + K y −ω t )  - Onde résultante SV   : u2 = T2′u0 sin θ T ′ e 1 2   2  u3 = 0 

72

 

2.5 fluide* 

Propagation d'ondes au travers d'une interface solide -

Un milieu elastique assimilable a un semi espace de caracteristiques  ρ  , C S  , C P  (masse volumique, celerites des ondes de cisaillement et de compression) est surmonté par un fluide parfait de caracteristiques  ρ w , C F  ,. Ce semi espace est le siège d'une onde de compression harmonique se propageant avec un angle θ 0  par rapport a la verticale.  

Figure 43: Propagation d'ondes d'ondes à travers d'u d'une ne interface solide - fluide.  I. I.  Determiner dans lorsque chaquel'onde milieu les differents types d'fondes, directions propagations et amplitudes incidente heurte l'interface entre les deux milieux. de

73

 

2.6 Ondes réfractées dans une membrane membrane *  Un semi espace élastique est recouvert d'une membrane tendue comme indiqué sur la figure ci-dessous. L'équation de vibration de la membrane soumise à une charge q( x1, x3 , t )   par unité de surface est :

∂ 2u2 ∂ 2u2 q  ρ  ∂ 2u2   + 2 + = ∂ x12 ∂x3 T T ∂t 2

Une onde longitudinale harmonique plane, d'amplitude  A  et de pulsation ω  , heurte la surface du semi espace ; en admettant un contact parfait entre la membrane et le milieu et en supposant la membrane infiniment rigide dans son plan, Déterminer les amplitudes des ondes réfractées. 

Figure 44: Onde longitudinale heurtant heurtant à une membrane membrane élastique. 

74

 

3 Interaction Sol-Structure  3.1 Fondation de machines tournantes  On désire estimer le mouvement vibratoire d'un radier supportant une machine tournante comportant un léger balourd (turboalternateur). La machine étant fixée directement à un radier rigide, ceci nécessite de Déterminer l'impédance du sol situé sous le radier. Pour cela, un modèle simplifié dit de cône est adopté : le sol est représenté par un cône d'angle α   et de caractéristiques mécaniques homogènes  E , ν  ,  ρ  . De plus, on suppose que le sol possède un amortissement de type hystérétique, i.e. que les contraintes peuvent s'écrire dans le domaine fréquentiel :

τ = G (1 + 2iζ )γ    Le radier est de géométrie circulaire de rayon  R . On suppose que le cône se déforme en traction - compression lorsque le mouvement du radier est vertical et en cisaillement pur lorsque le mouvement est horizontal. La machine tournante applique au radier une force tournante s'exprimant sous la forme :

 f x =  md Ω2 cos Ωt     2 Ω Ω  f = md s i n t    y La machine tourne à une vitesse nominale de 50tour/s. Les grandeurs m   et d    représentent respectivement la masse et l'excentrement du balourd. On étudiera les phases de montée et de descente en négligeant les phases transitoires et en ne regardant que le régime forcé :

0 < Ω < 50 × 2π = 10 100π    Les masses de la machine et du radier valent respectivement  M 1   = 100t et  M 2   = 1000t. L'amortissement matériel du sol sera négligé dans les questions I et II.   I. I.   Donnez les équations différentielles régissant le mouvement horizontal et le mouvement vertical d'une tranche de sol situé à la profondeur  z . Comparez les.  Partie 2.  2. Par la suite, seul le mouvement horizonta horizontall sera étudié.  II. II.   Donnez les conditions aux limites. Déduisez-en l'impédance du sol (raideur et amortissement) si l'amortissement hystérétique du sol ζ    est négligé. Les résultats seront adimensionnés par rapport à la raideur statique horizontale d'une fondation circulaire de rayon 8GR st  R  ( K  = 2 −ν  ). Donnez la valeur de l'angle α   qui vous semble la plus cohérente.

75

 

III. III.   Donnez l'impédance du sol lorsque l'amortissement hystérétique du sol n'est plus négligé. IV. Comparez IV.  Comparez le modèle de cône ( α   > 0) et le modèle 1 D  ( α   = 0). V. V.   Donnez l'équation du mouvement du radier supportant la machine tournant fonctionnant à la vitesse Ω . Discutez l'amplitude et la phase du mouvement selon les valeurs de la vitesse de rotation de la machine. On négligera l'amortissement hystérétique du sol. VI. On isole maintenant la machine du radier à l'aide d'un support élastique de raideur VI. On K ′   et d'amortissement C ′ . Donnez l'équation régissant les mouvements du radier et de la machine.

Figure 45: Modélisation simplifiée simplifiée du sol avec m modèle odèle de cône. 

76

 

Figure 46: Modélisation simplifiée du sol avec modèle 1 D . 

Eléments de réponse 

ω    R    (2 −ν )π   ϖ   , où ϖ  = II. II.   K (ϖ ) = K st 1 + i . c 8  

 

III. III.   K (ϖ ) = K st 1 −

(2 −ν )πζϖ    A(2 −ν )π 2ζ   + iϖ K st  + , où  A = 0.5  1 + 4ζ  2 .   ϖ   8 A 8  

IV. Modèle 1D : K (ϖ ) = GRπϖ i 1 + 2ζ i .  IV. Modèle

77

 

V. V.   u x (t ) = f x

1  A



(2 −ν )π Ω R



8c

,  A = K st 1 + i

− Ω2

  M    2

.

K st 

VI. Travailler avec un système à deux degrés de liberté .  VI. 

78

 

3.2 Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide  On considère un radier rectangulaire parfaitement rigide de dimensions  L × D . Le radier est sollicité par une onde incidente uniforme dans la direction  x , qui se propage dans la direction  y   avec une vitesse V    et induit un déplacement dans la direction  x . Alors le α 

mouvement du sol peut s'écrire comme intégrale de Fourier:

ugx ( y, t ) =

1 2π 

∫

iω ( t −

+∞

−∞

A(iω )e

 y V  α 

) dω  

 

Ce mouvement est transmise sur le radier et le met en vibration. Alors il peut s'écrire aussi comme : ∞

ugx ( y , t ) =

∑a

ix

(t )γ i ( y )  

1

où les fonctions γ i (  y )   sont les modes propres du radier qui satisfont la condition d'orthogonalité :  D

∫ γ ( y)γ  ( y) dy  = 0, 0

i

k 

i ≠ k  

Figure 47: Radier rectangulaire rectangulaire de grandes grandes dimensions. 

79

 

I. I. Ecrire  Ecrire la fonction γ 1 ( y )  qui correspond au premier mode rigide (translation) du radier et la fonction γ 2 ( y )  qui correspond au deuxième mode rigide du radier (rotation rigide autour de l'axe  z ). II. II. En  En utilisant la condition d'orthogonalité calculer les coefficients a1 x  (t )  et a2 x (t ) . III. III.   En ne retenant que le premier mode rigide du radier et en considérant une onde incidente monochromatique, calculer le rapport entre l'amplitude du mouvement libre du sol par rapport à l'amplitude du mouvement transmise au radier. Eléments de réponse  III. III.  

 Aradier   Asol

=

1 k 

2(1 − co cos k ) , k  =

ω    D V α 

. 

80

 

4 Interaction Fluide-Structure  4.1 Calcul de la masse ajoutée ajoutée de 2 cylindres concentriques séparés par un fluide  On desire calculer la matrice de masse ajoutee du systeme forme de 2 cylindres rigides de rayons respectifs  R1   et  R2   initialement concentriques. L'espace entre les 2 cylindres est rempli d'un fluide de masse volumique  ρ  . Partie 1  I. I.   Rappeler les equations que doivent verifier les champs de pression et de vitesse du fluide. II. II. Rappeler  Rappeler les conditions aux interfaces entre le fluide et chacun des cylindres. III. III. Montrer  Montrer que le champs de pression peut s'écrire sous la forme:  p (r ,θ ) = ar cos θ + br sin θ + c cos θ + d  sin θ     r r  IV.   Déterminer les constantes a , b , c , d    à partir des accélérations de chacun des IV. cylindres.

V. V. En  En déduire les forces exercées par le fluide sur chacun des cylindres et la matrice de masse ajoutée. Partie 2  Donner la matrice de masse ajoutée pour les cas particuliers suivants : I. I. Réservoir  Réservoir cylindrique rempli de fluide. II. II. Pile  Pile de pont de rayon  R  plonge dans un fluide. III. III. Palier  Palier d'une machine tournante (épaisseur du film d'huile mince devant le rayon du cylindre central et le rayon du cylindre extérieur). 

81

 

Figure 48: système de deux cylindres rempli rempli de liquide. 

Eléments de réponse  I-IV. 

a=

b=

 ρ R22  R − R 2 1

2 2

 ρ R22  R − R 2 1

c=

d=

2 2

 U

 x , 2

 U

 y , 2

 ρ  R12 R22 2 2  R1 − R2

 ρ  R12 R22  R − R 2 1

2 2

−

ρ R12 R −R 2 1

2 2

ρ R12

−

R −R 2 1

2 2

   U  x ,1

   U  y ,1

(U

 )   − U  x ,1

(U

 )   − U  y ,1

 x , 2

 y , 2

82

 

4.2 Calcul d'une barre partiellem partiellement ent immergée  Utiliser les résultats précédents pour calculer les fréquences et modes propres d'une barre de hauteur  H   = 1m, de masse  M   = 1kg et de section S   = 5cm 2  fixée à ces 2 extrémités à 2 ressorts horizontaux de raideur K   = 10kN/m et immergée sur une hauteur de 50cm. 

Figure 49: Barre partiellement immergée. immergée. 

83

 

ARCHIVES DES EXAMENS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURES

84

 

EXAMEN DYNAMIQUE DES STRUCTURES 5 Avril 2016

Etude d’un bâtiment sur appuis parasismiqu parasismiques es 

On se propose d’étudier la modification de la réponse d’un bâtiment lorsqu’un système d’isolateurs parasismiques, du type néoprène fretté, est introduit à la base du bâtiment. Les appuis en néoprènes frettés (voir figure 1) sont constitués d’un empilement de feuillets de néoprènes et de plaques d’acier. Ces dispositifs présentent la particularité d’être très souples en direction horizontale (vis-à-vis des déformations de cisaillement), la souplesse étant apportée par le néoprène.

Figure 1 : Exemple d’appuis néoprène fretté et schéma de fonctionnement

Le bâtiment de deux étages pour lequel on fait l’hypothèse que les poteaux sont infiniment rigides en compression et les planchers jouent correctement le rôle de diaphragme est modélisé par un système à 2

degrés de liberté (voir figure 2). m

u1

k

u2

2m

2k

Figure 2 : Schématisation et caractéristiques du bâtiment

85

 

La sollicitation sismique pour laquelle l’ouvrage doit être dimensionné est représenté par le spectre de réponse à 5% spécifié par la réglementation française pour un ouvrage de catégorie d’importance IV situé en zone de sismicité 4 et fondé sur un sol de classe B (360 m/s < V S < 800m/s). Ce spectre est défini, pour un amortissement de 5%, par les équations suivantes :

0  T  TB



T



TB

Sa  ag S 1 

TB  T  TC

Sa  2.5 ag S

TC  T  TD

Sa  2.5ag S 

TD  T  4s

(2.5  1)

 TC   T T T  Sa  2.5ag S   C 2D   T 

   

Pour les spécificités du site et de l’ouvrage, les paramètres prennent le less valeurs suivantes :

         

ag = 2.24 m/s2 

1

Etude du bâtiment non isolé

S = 1.35 TB = 0.05 s TC = 0.25 s TD = 2.5 s

Dans la première partie on étudie ét udie la réponse du bâtiment en l’absence d’isolateurs parasismiques. 

  Former les matrices masse et rigidité du bâtiment ;   Calculer sous forme littérale les pulsations propres et modes propres du bâtiment (les modes propres seront normés à la valeur 1 sur le deuxième degré de liberté) ; on exprimera les résultats en fonction de la variable    = = k /m ;   Calculer les expressions littérales des facteurs de participation et masses modales de chacun des modes ; donner une vérification de vos calculs ; =600MN/m, m=200 t ;   Effectuer les applications numériques avec k =600MN/m,   Calculer l’effort tranchant au niveau de la fondation (en base de bâtiment) pour chacun des modes et pour l’ensemble des modes. On retiendra un amortissement de 5% sur les deux modes.

2

Etude du bâtiment isolé

On n’interpose à la base du bâtiment un système d’isolation de rigidité horizontale K eeqq ; on fera l’hypothèse

dans la suite que K eq

k  et on négligera la masse de la fondation attachée à la base du bâtiment juste

au-dessus du système d’isolation. La nouvelle modélisation du bâtiment est décrite sur la figure 3. 3.

86

 

m

u1

k

u2

2m 2k Keq

 Figure 3 : Schématisation du bâtiment sur appuis

  Former la nouvelle matrice de rigidité du système. Tenant compte de l’approximation Keq

k   

donner une expression approchée de la matrice de rigidité ; dans la suite on utilisera cette expression approchée de la matrice de rigidité ;

  Calculer sous forme littérale les pulsations propres du bâtiment ; on exprimera les résultats en fonction des variables    = = k /m et    = = K eeqq/m. Vérifier qu’en choisissant K eeqq = 2k , vous retrouvez les résultats de la première partie ; justifier ce choix de K eeqq en examinant la matrice de rigidité initiale (avant simplification) ;

  Calculer numériquement les fréquences propres, modes propres (normés à la valeur 1 sur le deuxième degré de liberté), facteurs de participation et masses modales pour la valeur de K eeqq = 50 MN/m ;   Calculer le nouvel effort tranchant à la base du bâtiment et commenter les résultats ;   On posera       et on développera les expressions des pulsations propres au premier ordre en fonction de   lorsque    tend vers 0 ; On rappelle r appelle que lorsque    tend vers 0,   p( p  1) 2  p ( 1   )  1  p    O(  3 ) . On   commencera par développer  2 au deuxième ordre en    2 et on prendra garde à ne négliger que les termes de même ordre ;   Tirer des calculs précédents une méthode de dimensionnement rapides pour un bâtiment isolé à la base : calcul du mode fondamental, calcul des efforts. e fforts.

87

 

CORRECTION EXAMEN DYNAMIQUE DES STRUCTURES 5 Avril 2016

Etude d’un bâtiment sur appuis parasismiques 

1.  Etude du bâtiment non isolé

m

0 

0

2m 

Matrice masse : M  

  

 k k    k k   3  

Matrice de rigidité : K   

Calculs des valeurs propres : det K   M    2

 Pulsations propres : 1



k

2m



 , 2

2



5 k

2

   2

2m

  

4

2k 



m

 k  

0 

 m 

 2   

   i 2      d i 1  Modes propres :     0  2 1 3         i     Modes propres : D1

2   1    , D2      1  1

2

m

1 

0  1

 1

m

1 

0  1

    0 2m  1 2 0 2m  1 1   , a1  Facteurs de participation : a1       m 0  2  3 m 0   1 3 1 1  2 1       0 2m  1   0 2m  1     2

2

   m 0  1   m 0  1  1 1    2 1     1  0 2m 1  0 2 m 8 m             m  , m2  Masses modales : m1      3 3 m 0  2  m 0   1 1 1  2 1       0 2m  1   0 2m  1   

88

 

On vérifie que

 m  M  3m

,

i

a D i  

i 

1      1

Applications numériques :  = 3 000 s-2 , T 1 = 0.16 s , T 2 = 0.08 s , Sa(T 1) = 7.56 m/s2 , Sa(T 2) = 7.56 m/s2 

1 2.02

4m Efforts dans le premier mode : F 1

1 a 1 a  a S MD  3 S 1  2.02 MN  

Efforts dans le deuxième mode : F 2

 a2 Sa MD2 

m

3

 1  0.50     1.00  MN   2    

Sa 

Effort tranchant à la base :

  Mode 1 : V 1 = 2.02 + 2.02 = 4.04 MN 



  Mode 2 : V 2 = -0.46 + 0.92 = 0.50 MN 



  Mode 1 + mode 2 : V  V12  V22    4.07MN  



2.  Etude du bâtiment isolé

La

rigidité

K22

k

de

2kK eq 2k  K eq

l’étage

inférieur

est

donnée

par

la

rigidité

de

deux

ressorts

en

série

 k  K eq     k   k   k k K    eq  

Matrice de rigidité : K   

2

Les pulsations propres sont données par :  

   3   



2

   3     8   4

 

Vérification pour    = = 2   correspondant à l’absence du système d’isolation on retrouve l’expression de la partie 1.

       2  2    Les vecteurs propres : D1    1 , D2    2         1   1  Applications numériques :  1 = 9.086 rd/s ,  2 = 67.398 rd/s , soit T 1 = 0.69 s , T 2 = 0.093 s D1

1.028   1.945      , D 2     1   1 

89

 

Masses modales : m1 ~ 0.60kt , m2 ~ 0kt Facteur de participation : a1 = 0.99 , a2 = 0.01 Accélérations spectrales : Sa(0.69s) = 2.74 m/s2, Sa(0.093s) = 7.56 m/s2 

 a S MD 

F Efforts dans le premier mode :

1

Efforts dans le premier mode : F 2

1 a

1

0.56  1.09  MN  

 0.03  a2 Sa MD2    MN    0.03 

Effort tranchant à la base :

  Mode 1 : V 1 = 0.56 + 1.09 = 1.65 MN 



  Mode 2 : V 2 = -0.03 + 0.03 = 0.00 MN 



Mode 1 + mode 2 : V

 V12  V22  V1   1.65MN  

Commentaires : Seul le premier mode contribue à la réponse ; la structure se comporte comme un solide rigide sur ses appuis. La période propre du mode fondamental s’obtient par T  2  3m K eq  0.69 s  et l’effort tranchant par 3mSa.

En introduisant la variable  les expressions des pulsations propres deviennent :  

 3    1     1    3 4   

3    1   4 

2

2

  2 1

22 

3  4

 4  3



2

4 

3

2 

2  1 2  1 2  2  3 1              O         2  3 8 3      

          O  3       1    O  3    1    O  3        9 3 3  3 

4

3 

2



2

4 2

3  2    O  3     1    O   3     9  2  3 9  2

Les développements au premier ordre des pulsations propres s’écrivent  :

1 



K eq 3       3 k     ,  2  1    1    3 6 3m 2  6 2 m

La première pulsation propre est celle de la structure rigide portée sur ses appuis ; la seconde est reliée à la pulsation propre « base encastrée » de la structure.

90

 

EXAMEN DYNAMIQUE DES STRUCTURES 18 Avril 2017

Problème 1 : Détermination des fréquences propres d’une poutre par la méthode de Rayleigh (durée 1h)

On se propose de calculer une estimation de la fréquence propre d’une poutre simplement appuyée de portée L, de masse répartie au mètre linéaire m et de produit d’inertie EI. La poutre supporte à mi-portée une masse ponctuelle M.

L/2

m , EI

L/2

M

m , EI

a.  Calculer la déflection de la poutre sous l’effet d’une force P appliquée à mi-portée. b.  Calculer la déflection de la poutre sous l’effet d’une force répartie mg. c.  Considérer le cas M = 0 et calculer pour les deux déformées une approximation de la fréquence propre fondamentale ; d.  Reprendre le calcul dans le cas M = 3mL  e.  Conclure pour chacun des cas c et d sur la déformée la mieux adaptée au calcul de la fréquence propre ; pouviez-vous anticiper ce résultat ?

Problème 2 : Réponse vibratoire d’un massif de fondation support de machine tournante (durée 2h)

On considère le massif ci-dessous supportant une machine tournante de masse M, équipée d’un balourd de masse m0, excentré de r=0.25m et tournant à la vitesse de 420 tours/minute. Les dimensions en plan du massif sont indiquées sur la figure ; la longueur du massif (hors plan) est de L=10m. La masse volumique du béton est prise égale à 2.5t/m3. La masse M  a pour valeur 50 tonnes et son centre de gravité est situé e=0.50m au-dessus de la face supérieure du massif. Le balourd a pour masse m0 = 2 tonnes.

91

 

Dans la suite on ne considère que les degrés de liberté situés dans le plan de la section transversale du massif, à savoir les translations horizontale, verticale vert icale et la rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan de la figure (orienté suivant la grand dimension L du massif). Le sol sur lequel repose le massif est remplacé par 3 ressorts en translation K X et K Z et un ressort en rotation K θ connectés à la sous face du massif en son centre de gravité.

d=2m M m

c=1.5m

a=2m

b=5m

a-  Calculer la position du centre de gravité du massif et de la machine ; on négligera la masse du balourd, on considèrera la machine assimilable à une masse ponctuelle et on prendra pour origine du repère le centre de la sous face du massif. b-  Etablir les équations littérales d’équilibre dynamique du massif dans des axes passant par le centre de gravité du massif. Pour cela on formera -  La matrice de masse. On rappelle que l’inertie massique en rotation d’un parallélépipède de côtés a et b, de longueur L et de masse m autour d’un axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre de gravité est  I G

=

m a2

( 12

2 + b )  et que l’inertie massique en

rotation autour d’un axe parallèle au précédent et distant de celui-ci d’une distance d est donnée par le théorème de Huygens  I - 

=

IG

+

2

m d  . L’inertie massique en rotation de la

machine est négligée. La matrice de rigidité ; on considère le massif béton comme infiniment rigidité et la seule souplesse provient du sol support. 

c-  Le massif a fait l’objet de mesures de vibration in situ fournissant les valeurs des pulsations propres ω i   (i=1 à 3) et les vecteurs propres associés [φ 1, φ 2, φ 3]. Une deuxième série de mesures a fourni les mêmes ω i  mais des vecteurs propres différents [φ ’  ’ 1, φ ’  ’2  , φ ’  ’3  ].  Avec les valeurs numériques sont fournies ci-dessous : -  Quel est le jeu de vecteurs propres qui vous semble correct et pourquoi ?

92

 

- 

- 

  Calculer les efforts appliqués par le balourd au niveau du centre de gravité de l’ensemble (effort vertical, effort horizontal et moment) Calculer en régime stationnaire pour un système non amorti le déplacement horizontal maximal du centre de gravité.

Valeurs numériques pour la question c :

d/s , ω2 = 125.433rd/s ω1 = 104.269 rrd

, ω 3 = 331.315 rd rd/s

 −1  0 0.2194       φ1 =  0  , φ2 = 1  φ 3 =  0  0.0758 0 0.9756  −1  0   0.22     ′   ′  φ1′ =  0  , φ2 = 1  φ 3 =  0  0.080 0   −0.98 

 

On vérifiera par ailleurs que la matrice de masse établie en (b) a pour valeurs numériques (valeurs en kt, degrés de liberté 1  translation horizontale, 2  translation verticale, 3  rotation) :

0 0   0.375  0   0.375 0 M=    0 0 1.111

93

 

  Problème 1

L/2

L/2

M

m , EI

m , EI

a.  Déflection de la poutre sous l’effet d’une force P  appliquée  appliquée à mi-portée.

P 

 u ( x ) = 12 EI   x − 4 x    2   P 3L 3 u ( x) = ( L − x)   ( L − x) − 12 EI   4 

 L

0 ≤  x ≤ 2  L

2

≤  x ≤ L

3L2

3

b.  Déflection de la poutre sous l’effet d’une force répartie mg.

mg

  (x 24 EI 

v ( x) = −

4

− 2 Lx3 + L3 x )  

c.  Cas M  = 0 :  calcul pour les deux déformées d’une approximation de la fréquence propre fondamentale fondamenta le ;  L’énergie potentielle maximale est donnée par

V =

1 2

∫

 L

0

    L  1 L 1 P L   P δ    u ( x ) d x = P u   = 2 2 2 9 6  EI      2

3

L’énergie cinétique maximale est donnée par

T

=

1 2

m

∫

 L

0

2

u  ( x ) 

dx

=

1 2

mω

2

∫

L

0

 P  u ( x )  d x  =    12 EI   2

La pulsation propre est donnée par

ω = 2

1120 x 12

2

 EI 4

96 x 17

mL

Avec la déformée sous charge répartie

   3.15  ⇒ ω  =    L 

2

EI  m

 

2

17 1120

2

7

mω  L

 

94

 

L’énergie potentielle maximale est donnée par

V =

1 2

2

∫

    ( mg )   L5   mg v ( x ) d x = 48 EI  5

 L

0

L’énergie cinétique maximale est

T=

ω2

∫

2

 L

0

2

2 9     ω  mg 31 L   m  v ( x )  d x =  m      2 2 4  EI  6 3 0    2

La pulsation propre est donnée par

ω = 2

2 x 630 x 24

2

48 x 5 x 31

   3.14  ⇒ ω  =    L 

 EI 4

mL

2

EI  m

 

d.  Cas M = 3mL 

Déformée sous charge ponctuelle 2

V =1 2 T= T=

1 2 1 2

∫

 L

0

3

P δ      L  u ( x ) d x = 1 P u  L  = 1 P L   2 2  2  96  EI 

mω

2

∫

 L

0

1

2

u ( x )  dx + ω 2 2

2

∫

L

0

2   L   P  M δ   u ( x )  d x =   2  12 EI   

 P  L  P  +    12 EI  16  12 EI 

2

6

Mω 

2

17 1120

2

17

  

1120

mω 2 L7 +

1 2

2

M ω 2 u (  L2 )  

 

2

17   P  3 +      12 EI    32 1120 

2 7   2 7 mω L = mω  L 

D’où

   1.92  ω  =     L 

2

EI  m

 

Cas de la déformée sous charge répartie

V =

ω2

T=

2

∫

 L

0

1 2

2

∫

 L

0

    ( mg )   L5   mg v ( x ) d x = 48 EI  5 2

m v ( x )  d x + 2

ω 2 2

∫

L

0

2   L M δ    v ( x )  d x 2 2

2

2

 ω   mg  31L  ω   mg   5L   ω    mg  75  9  31 + m+ M m  L     =       630 256   2   24 EI  630  2   24 EI   16   2   24 EI   2

T = D’où

9

2

4

2

 

95

 

   1.935  ω  =     L 

2

EI  m

 

e.  Conclusion

La fréquence propre est celle donnant la valeur la plus faible, soit la dernière valeur calculée. Dans les deux cas M=0 et M=3mL, il s’agit de celle correspondant à la déformée sous charge répartie. Le résultat pouvait être anticipé car la méthode de Rayleigh préconise de retenir comme déformée celle correspondant à l’application d’un champ de gravité uniforme aux masses. Pour la poutre avec une masse répartie, sans masse ponctuelle additionnelle, il parait légitime de considérer une distribution sous charge répartie comme chargement préférentiel. Lorsque la masse ponctuelle devient prépondérante devant la masse répartie, logiquement la déformée sous charge ponctuelle conduit à la meilleure approximation. Toutefois l’écart est faible entre les deux calculs et l’évaluation de l’énergie potentielle maximale pour une déformée sous charge ponctuelle plus immédiats.

96

 

 Problème 2

a.  Position du centre de gravité Bloc inférieur du massif

Lx=5m, Lz=2m, masse=5x2x10x2.5 10-3 = 0.25kt, ICDG = 0.25x(52+22)/12=0.604 kt.m2 Bloc supérieur

Lx=2m, Lz=1.5m, masse=1.5x2x10x2.5 10-3 = 0.075kt, ICDG = 0.075x(1.52+22)/12=0.039 kt.m2 

Position du CDG de l’ensemble

 Z G  = ( 0.2 0.25x1 5x1+0 +0.0 .075x 75x2. 2.75+ 75+0. 0.05 050x4 0x4) / ( 0.25 0.25 + 0. 0.075 075 + 0.050 0.050) = 1.75m 1.75m  

 

b. Equation d’équilibre

Matrice de masse

m * 0 0   0 m* 0   M=    0 0  J 

avec

m* =  ρ L ( ab + cd ) + M    J =  ρ

abL 12

2

2

a cdL c 2 ( a + b ) + ρ abL  2 − ZG  + ρ 12 ( c2 + d 2 ) + ρ cdL  a + 2  − ZG  + M ( a + c + e − Z G )       2

2

Masse totale m*= 0.25+0.075+0.05=0.375 kt Inertie massique autour du CDG de l’ensemble  J= 0.604+0.25*(1.75-1)2+0.039+0.075*(1.75-2.75)2+0.05*(1.75-4)2=1.111 kt.m2

Matrice de rigidité

 KX  0 K =   Z G K X

0 K Z

0

   0  K θ + Z G2 K X  Z G K X

c.  Réponse vibratoire

Seul le premier jeu de vecteurs propres est orthogonal par rapport à la matrice masse

97

 

T

−0.0001 0  0.3814  =  0 0.375 0   −0.0001 0 1.0755 

M 

Masses généralisées m1=0.3814kt, m2=0.375kt, m3=1.0745 kt.m2  Torseur des efforts au centre de gravité

 cos(ω t )   2  T = m0ω r  sin(ωt )   −d cos(ω t ) 

d = ( a + c + e − Z G )  = 2.25m

, ω =44rd/s  

Equation des différents modes T

1 + ω12 y1 =  y

φ 1  T    m0ω 2 r  m1

=

m1

( −0.0758d − 1) cos (ωt ) = −2.971cos (ω t )

T

 + ω y =  y 2

2

2

φ 2  T    m0ω 2 r 

=

2

m2

sin ωt = 2.581sin ω t 

( )

m2

 

( )

T

3 + ω y3 =  y 2 3

 

φ 3 T    m0ω 2 r  m3

=

m3

cos (ω t ) ( −0.9756d + 0.2194 ) cos (ωt ) = −1.778 co

Solutions stationnaires

 y1 =  y2 =  y3 =

−2.971 −4 cos ( ωt ) = −3.3210 cos ( ω t ) 2 2 104.269 − 44  

2.581  

2

125.433

− 44

2

sin

(ωt ) = 1.8710−

4

s in

(ω t )

 

−5 −1.780 cos ( ωt ) = −1.6510 cos ( ω t ) 2 2 331.31 .315 − 44  

Déplacement horizontal au CDG de l’ensemble l’e nsemble

u1 = φ11 y1 + φ12 y2 + φ13 y3 =

( 3.3210−  

Déplacement maximal u1  =  330 μm  

4

− 0.2194x1.6510−5 ) co  s (ωt ) = 3.310−4 cos (ωt )  

  

98

 

EXAMEN DYNAMIQUE DES STRUCTURES 27 Mars 2018

Etude de l'interaction entre deux portiques

On considère deux portiques réputés identiques, constitués chacun d'une traverse reposant sur deux poteaux. Les deux poteaux sont séparés par un joint au niveau de la traverse de dimension d (Figure 1).

d 

L

Figure 1: Schéma des deux portiques

Dans la suite on retient les hypothèses suivantes :

•  •  •  •  •  •  • 

Module d'Young des poteaux E ;  Inertie en flexion d'un poteau I ;  Les déformations de cisaillement et de compression des poteaux sont négligeables ; Les poteaux sont encastrés dans la traverse et en pied ; Les masses des poteaux sont négligées ; La traverse de chaque portique possède une masse m. On néglige l'amortissement des portiques.

Pour les questions requérant des applications numériques on prendra les valeurs suivantes :

 (0  ) = 0.1m/s . •  EI = 6.5MN.m2 , L = 6m , d  =  = 0.05m , m = 0.1kt , ε  =  = 0.05 , u 

99

 

Les relations suivantes sont rappelées pour les développements limités au premier ordre demandés à certaines questions :

sin(x ) = x +  (x 3 ) et cos(x ) = 1 +   (x 2 )     n 

(1 + x ) = 1 + n x +  (x 2 )  

Questions:

1.  Combien le système constitué des 2 portiques possède–t–il de degrés de liberté dynamique ? Identifiez ces degrés de liberté.

2.  Ecrire la rigidité d'un portique. Calculer sa pulsation propre ω et sa fréquence propre f .

 ( 0 )  au niveau de la traverse. Ecrire la 3.  On impose à un portique une vitesse initiale horizontale u  réponse vibratoire d'un portique.

 ( 0 ) au niveau de leurs 4.  Les deux portiques sont maintenant soumis à la même vitesse initiale u  traverses. Quel est le déplacement relatif entre les deux portiques? Y a–t–il risque d'entrechoquement?

5.  Des mesures sur site de la fréquence fondamentale du portique ont permis de constater que par suite des incertitudes régnant sur les propriétés mécaniques des poteaux et/ou des masses des traverses, la fréquence propre d'un des deux portiques est augmentée par rapport à celui du premier d'une quantité ε , que l'on considérera comme faible  f2

= f 1  (1  + ε ) . Calculer de façon

analytique, en développant au premier ordre (pour des faibles valeurs du temps t ), ), le déplacement différentiel des deux portiques. Calculer sa valeur maximale sur une période ; exprimer cette

 ( 0 )  et de ε . Y a–t–il risque quantité en fonction de la période T  du  du portique, de la vitesse initiale u  d'entrechoquement ?

6.  Sans faire d'approximation au premier ordre du déplacement et en reprenant l'expression de la réponse calculée en 3, a. Existe–t–il une possibilité pour que les déplacements des deux portiques deviennent pour la première fois en opposition de phase (déphasage de 180°) ? b. Peut–on trouver un temps tel que les déplacements des deux portiques soient sensiblement maximaux et de signe opposé? c. Quel devrait être alors la dimension du joint de séparation pour prévenir tout risque d'entrechoquement ?

100

 

7.  Les deux portiques, supposés identiques, sont maintenant soumis à une sollicitation sismique dont le spectre de réponse à 0% d'amortissement est donné sur la figure 2. Calculer le déplacement maximal de la traverse. Y a–t–il risque d'entrechoquement ?

16.0

14.0

12.0

    )    2    s     / 10.0    m     (    n    o    i    t    a    r     é     l 8.0     é    c    c    a    o     d    u    e 6.0    s    P

4.0

2.0

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Période (s)

Figure 2: Spectre de réponse à 0% 0 % de la sollicitation sismique

Les équations définissant les différentes branches du spectre sont :

0 ≤ T ≤ 0.15 s

Sa  = 3.6 + 60.6T 

0.15 ≤ T ≤ 0.5 s

S a  = 12.7

0.5 ≤ T ≤ 2.5 s

Sa  = 6.35 / T 

 

8.  De manière identique à la question 5 on considère une variation ε  de  de la fréquence propre d'un des deux portiques. Tenant compte tenu de la localisation de la période propre du portique sur le spectre de réponse, calculer analytiquement la valeur du déplacement maximal du deuxième portique en fonction de celle du premier portique et de ε . En vous inspirant du résultat de la question 6, et en justifiant son utilisation, donner une estimation plausible du déplacement relatif des deux portiques. Y a–t–il risque d'entrechoquement ? Nota: on admettra que dans la gamme des périodes considérées pour les portiques et compte tenu

de l'absence d'amortissement, on peut confondre vitesse relative et e t pseudo–vitesse.

101

 

9.  Afin de prévenir le risque d'entrechoquement entre les deux portiques, port iques, ceux–ci sont liaisonnés au niveau des traverses par une liaison rigide sans masse. Calculer dans les conditions de la question 8 le déplacement maximal du système constitué des deux portiques liaisonnés. On admettra que le décalage de fréquences entre les deux portiques résulte d'un écart de rigidité entre les deux c hacun des portiques (k 1 < k 2). portiques et on notera k 1 et k 2 les rigidités respectives de chacun

10.  Une liaison ne pouvant être considérée comme infiniment rigide, elle est réalisée avec une barre de rigidité axiale K . On admettra que le décalage de fréquence propre entre les deux portiques est lié à un écart de rigidité des poteaux des deux portiques. Calculer dans ces conditions le déplacement relatif entre les deux portiques et en déduire la rigidité K  de   de l'élément de liaison nécessaire pour prévenir l'entrechoquement; quelle est la force induite dans l'élément de liaison lors de la sollicitation sismique.  est grand devant la rigidité des poteaux. Nota: on pourra faire l'hypothèse que K  est

102

 

Solutions

1. 

Le système possède 2 degrés de liberté correspondant aux déplacement horizontaux u1  et u2 des traverses. 

2. 

Les poteaux sont doublement encastrés ; la rigidité d'un poteau est k  = 12

24EI 

du portique est ω   = =

3. 

mL3

EI  L3

 ; la pulsation propre

= 2.69 rd/s soit  f  = 0.43 Hz  

La réponse en vibration libre sous l'effet d'une vitesse initiale est donnée par (poly, eq.(2.40)

  u  ( 0 )

u (t ) =

ω 

sin (ω t )  

4. 

Si les deux portiques sont identiques (mêmes fréquences propres) et sont soumis à la même vitesse initiale, alors leurs déplacements sont parfaitement en phase et le déplacement relatif est nul. Pas de risque d'entrechoquement.

5. 

Le deuxième portique de pulsation ω  (1+  (1+ ε ) aura pour réponse en développant au premier ordre et pour les faibles valeurs de t :

u 2 (t ) =

u (0) ω

=

(1 + ε )

u (0) ω

 (0) u  sin (ωt (1 + ε ) ) =   (1 − ε )  sin (ωt ) cos ( εεω ωt ) + cos ( ωt ) sin ( εωt )    ω 

 

(1 − ε ) sin (ωt ) + εωt cos (ωt )  =

u (0) ω

sin (ωt ) + ε

 (0) u  ω 

ωt cos (ωt ) − sin ( ωt )    

Le déplacement différentiel entre les deux poteaux est donné par: ∆u

(t ) = ε

 (0) u  ω 

ωt cos ( ωt ) − sin (ωt )      

Sur une période ( 0 ≤ ωt  ≤ 2π  ), le déplacement différentiel atteint un extrémum lorsque sa dérivée par rapport à ω tt  est  est nulle, soit ωt sin (ω t  ) = 0 . ωt

=0 ⇒

∆u  = 0

ωt

=π

∆u

⇒

=−

επ u (0)

=−

ω 

 (0) u  2

εT   

 

 (0) 2επ u  ωt

= 2π

⇒

∆u

=

ω 

 

= u (0)εT

 

 

103

 

Le déplacement différentiel maximal est atteint pour t = T   et vaut ∆u   = 1.2cm . La distance de séparation étant de 5cm sur cette durée il n'y a pas de risque d'entrechoquement pendant ce laps de temps.

6. 

Les déplacements respectifs des deux portiques sont

u1 (t ) =

u (0) ω

si sin n(ωt ) et u1 (t ) =

lorsque ω (1 + ε ) t

= ωt + π 

 (0) u  ω

(1 + ε )

soit à t 1  

sin  ω (1 + ε ) t  . Ils  passent en opposition de phase

  π 

=

ωε 

= 23.3 s .

Le déplacement différentiel maximal ne peut être supérieur à u1max produit si ω2 ω1

∃n   entier tel que ω1t =

π

2

+ 2nπ

,

ω2t

=

3π  2

+ u 2max  . Cette situation se

    + 2nπ  , soit

2 − ε  1  3 . La valeur n = 10 satisfait pratiquement cette équation, 2 n 2 n  soit n= + = +  2  2 4ε 

correspondant au temps t  =  = 23.9s se produisant peu après le passage en opposition de phase. On peut donc en conclure qu'il existe un temps t  tel  tel que u1max = −u 2 max . Le joint de séparation doit alors avoir pour dimension d 7. 

La fréquence propre du 1er portique a été calculé à la question 2 et vaut 0.43Hz soit une période de 2.32s. La pseudo accélération est prise sur la branche en 1/T  du  du spectre de réponse pour laquelle la 2 pseudo–vitesse est constante; elle vaut Sa  = 2.73m/s , la pseudo–vitesse vaut Sv   = 1.0m/s et le  = 37.2cm. Comme pour la question 4 il n'y a pas déplacement relatif maximal de la traverse vaut Sd  = de risque d'entrechoquement puisque les deux portiques sont en phase.

S v 

er

8. 

= u1max + u 2max  

Le déplacement relatif maximal du 1  portique vaut Sd 

Sd 2 =

Sv 2π

T2 =

= 2π T  . Celui du deuxième portique vaut

S v 

T1 (1 − ε ) = Sd 1 (1 − ε ) . La vitesse maximale étant de 1.0m/s, même si elle est 2π 

plus faible en fin de sollicitation, le portique étant non amorti, la vibration perdurera après la fin du séisme avec un déphasage qui augmentera progressivement. Le risque d'entrechoquement ne peut être écarté à moins que l'espacement d  ne  ne satisfasse d

> u1max + u 2max .

Application numérique:

u1max  = 37 37.2 cm , u 2max = 37.2 (1 − 0.05 ) = 35.3 cm . d  =  = 5cm < 35.2+35.3=70.5cm 35 .2+35.3=70.5cm

104

 

  9. 

Les deux portiques étant liaisonnés rigidement ω

2

2

ω2

=

k1 + k 2 2m

=

1 2

2

ω 1

= k 2 = (1 + ε )

2

m

ω

Soit

2

 k 2   1 +  , ω 1 étant la pulsation propre calculée en 2. Par ailleurs,  k 1  2

ω1

≈ (1 + 2ε ) k 1

m 

= (1 + ε ) ω12

⇒

ω

⇒ k 2 ≈ (1 + 2ε ) k 1  

= (1 + 0.5ε ) ω1  

 

Application numérique: ω  =  = 2.69x 1.025= 2.76 rd/s

u  =

10. 

S v  ω 

 

⇒  f  = 0.44 Hz  

= 36.2 cm  

On appelle u1  et u2  les deux degrés de liberté du système; la matrice de rigidité est donnée par (obtenue soit par la méthode directe soit par dérivation du potentiel élastique):

k1 + K K =  −K

−K       1 −1  puisque K >> k 1 et k 2. La matrice masse est M = mI   et les valeurs  ≈ K  k 2 + K     −1 1 

propres sont racines de ω

2

( 2K − m ω  ) = 0 . 2

Les vecteurs propres associés sont D rigide

 = ω  =

1 = 1 , 1 

D 

2

1 =   . Le premier mode est un mode de corps  −1

0; le déplacement relatif des deux masse vaut 0 et ce mode n'induit pas d'effort; le second a

pour pulsation ω  =  =

2K 

*

; la masse généralisée

m2

m 

T

=

=

  D2 D2 M

et la facteur de participation

2m  

T

a 2 =

D 2 M ∆  

* 2

m 

= 1 . Les déplacements maximaux dans le mode 2 valent

U

1 = a 2 D 2Sd = Sd     . Le  −1

 pour prévenir tout déplacement relatif entre les deux masses vaut ∆ = 2S d  ; celui-ci doit être inférieur à d  pour risque d'entrechoquement. On doit donc avoir S d 

=

Sa  2

ω 

≤

d  2

, soit ω   2

=

4π 2 T2

≥

2Sa  d

⇒ S a  ≤

2π 2d  T2

=

0.99 T2

 

. La figure ci–

dessous présente la courbe 0.99/T 2 superposée au spectre de réponse. La condition est satisfaite sur le

105

 

plateau du spectre; il s'ensuit que T  ≤

condition est ω   =

2π T

La force vaut alors F

=

2K m

0.99 S a 

⇒ K  ≥

0.99

=

12.7

2π 2m  T 2

= 0.28 s . La rigidité nécessaire pour obtenir cette

= 25.1MN/m .

= Kd  = 1.26MN  

16.0

14.0

12.0

    )    2    s     / 10.0    m     (    n    o    i    t    a    r     é     l 8.0     é    c    a    o     d    u    e 6.0    s    P

4.0

2.0

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Période (s)

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0