Rectas Planos y Superficies

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

INDICE RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO _____  __________ ___________ ____________ ____________ ____________ _________ ___3 PLANOS EN EL ESPACIO.................... ...................... ....................... ..................... ..... ......... ......... ..... . 5

Ecuación de un plano............. ........................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. .......................... ................. .......... .......... ....... 5 Ángulo entre dos planos............. ........................... ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ............ 6 Trazado de planos en el espacio............. ........................... ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ..................... ............ ..... 8 Distancia de un punto a un plano............. ........................... ............................. ............................. ............................ ............................ ......................... ................ ........... .......... 9 Distancia de un punto a una recta.............. ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .................. ........... ............ ........... ..... 10 SUPERFICIES EN EL ESPACIO................... ....................... ....................... .... ..... ..... ..... ..... 11

Esferas .............. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ....................... .............. .......... ....... Cilindros .............. ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... ............... ....... Superficies Superfici es cuádricas ............. ........................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ......................... ............... Superficies Superfici es de revolució revoluciónn.............. ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ .......................... ................. .........

2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

11 12 13 18

RECTAS, PLANOS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO RECTAS EN EL ESPACIO .

En el espacio, al igual que en el plano, para expresar la ecuación de una recta es suficiente, ya sea, conocer dos puntos diferentes por los que pase la recta o conocer un punto y su dirección. En el plano la dirección dirección la dá el ángulo de inclinación de la recta con respecto al eje ‘x’ o su pendiente, que es la razón de cambio de las coordenadas de sus puntos. En el espacio, la dirección la determina un vector.

Ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de la recta . Supongamos que conocemos un punto P( x1 , y1 , z1 ) que pertenece a la recta y un vector  v

 a, b, c

paralelo a la recta.

v es el vector de dirección de la recta

Si tomamos un punto cualquiera de la recta Q( x , y , z )  y formamos el vector  que es PQ  x  x , y  y , z  z  

z

v

1

Q

1

1

paral ralelo y, por lo tan tanto, to, múltipl tiplo o escalar del vector de dirección v .

P

y

x

r

PQ tv x  x1 , y  y1 , z  z1  t a, b, c x  x1 , y y1 , z  z1  at, bt, ct  

de la igualdad de vectores tenemos que: x x1  at

at    x x1  at  y y1  bt  y  y1  bt   z z1  ct  ct    z z1  ct

Que se denominan como las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por  P( x1 , y1 , z1 ) y es paralela al vector  v  a, b, c . La variable variable t es el parámetro, y conforme t varía el punto Q se mueve sobre la línea. Los coeficientes a, b y c  son los números directores ( o de dirección) de la recta. Si desp despeja ejamo mos s t en cada cada una una de las las ecua ecuacio ciones nes para paramé métri trica cas s e iguala igualamo mos s obtendremos las ecuaciones simétricas de la recta:

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

3

x  x1



y  y1



z  z1  

a b c Ejemplo: Ejemplo: Hallar Hallar un conj conjunto unto de de ecuacio ecuaciones nes param paramétri étricas cas y las las ecuacion ecuaciones es simétricas para la recta que pasa por el punto  P  1,3,5  y es paralela al vector  v

 2,4,1

. Solución: Tomam omamos os las las coor coorden denad adas as del del punto punto P y los números de x1  1, y1  3, z1   5

z P(1,3,5)

dirección del vector  v : a  2, b  4, c  1 v

 x  x1  at  x  1  2t     paramétricas  y 1y b t  y 3  4 t    z z  ct  z 5  t   1   x 1 y 3 z 5  ecuaciones ecuaciones simétricas simétricas:   4 1 2

ecuaciones

y x

Ejemplo: Ejemplo: Hallar Hallar un conjunto conjunto de ecuacio ecuaciones nes paramét paramétrica ricas s y las ecuacion ecuaciones es simétricas para la recta que pasa por los puntos  P  1,5,3 y Q  2,3,6  . Solución: z

Como nos dan dos puntos de la recta, con ello ellos s form formam amos os un vect vector or de dire direcc cció ión n r v  PQ  2  1, 3  5, 6  3  3,  2, 3 y tomando

Q(2,3,6) PQ

P(-1,5,3)

uno de los puntos (P por ejemplo) tenemos un conjunto de  x  1  3t 

y x

ecuaciones ecuaciones paramétricas: paramétricas:  y  5  2t  y las  z  3  3t 

ecuaciones simétricas

x 1

3



y 5

2



z 3 

3

.

Si en lugar de tomar el punto P usamos las coordenadas del punto Q tendríamos ecuaciones diferentes:  x  2  3t  x 2 y 3 z 6    paramétricas:  y  3  2t  simétricas .  z  6  3t 

3

2

3

O, incluso si el vector de dirección fuera el vector  QP  obtendríamos obtendríamos otros conjuntos de ecuaciones representando a la misma recta.

4

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

 x  2  3t 

paramétricas:

 y  3  2t 

x 2

simétricas

3

 z  6  3t 



y 3

2



z 6 

3

.

PLANOS EN EL ESPACIO 

Cuando ndo empezamo amos a trab rabajar jar en tres tres dimen dimensio siones nes,, el espa espacio cio se divid dividió ió en ocho ocho octantes por medio de tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el plano yz. Cada uno de estos planos es perpendicular a uno de los ejes, por ejemplo, el plano xy es perpendicular al eje z. Por lo tanto cualquier vector  normal (perpendicular) al plano xy es paralelo al eje z y al vector unitario k ˆ .

z Plano yz plano xz i  j k plano xy x vectores vectores unitarios normales a los planos coordenados

Suponiendo que el vector normal fuera una palanca pegada al plano que tiene que permanecer perpendicular a éste. Si cambiamos la orientación (dirección) del vector cambiaría tambien la orientación del plano.

Ecuación de un plano Supo Suponi nien endo do que cono conoce cemo mos s un vect vector  or  n  a, b, c normal al plano y las coordenadas de uno de sus puntos si Si tomamos un punto P( x1 , y1 , z1 ) ,

z Q

n PQ

cualquiera del plano Q( x , y , z )  y formamos el P

vector  PQ  x  x1 , y  y1 , z  z1   vector normal n .

y x r

n PQ  a, b, c

 x  x1 , y 

ortogonal al

Como sabemos el producto escalar de dos vectores ortogonales es cero: y1 , z  z1  a  x  x1   b  y  y1   c  z z1    0

ecuación del plano en su forma canónica : a  x  x1 



b y

a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1 



y1 



c z



z1  



0

cz    ax1  by1  cz1    0  ax  by  cz

de donde se desprende la forma general de la ecuación del plano: ax

con d



by



cz



d  

0

b y1 - cz1 .  -ax1 - by

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

5

Ejemplo: Encuentre Encuentre la ecuación ecuación general del plano que contiene a P(1,3,-2) P(1,3,-2) y con un vector normal n  2,5,1 Solución: Sustituimos las coordenadas de P( x1 , y1 , z1 ) y los números de dirección

del vector normal n  a, b, c en la ecuación a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1    0 .

2  x 1  5  y 3  1 z 2    0 2 x 2  5 y 15  z 2   0 2 x 5 y z  15  0 Ejemplo: Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P(1,2,0), Q(0,3,4) y R(2,0,2). Solución: Si los puntos dados no son colineales entonces el producto vectorial de dos de los vectores que unen a dichos puntos da como resultado un vector  ortogonal a los vectores en el plano y, por lo tanto, normal al plano.  PQ 

1,1,4 ,  PR  1, 2, 2 n  PQ  PR  10,6,1

Q

4

2 PQ

La ecua ecuació ción n del del plano plano,, toman tomando do el punto P(1,2,0)

R PR

2 P

1

3

2

10  x 1  6  y 2   1 z 0    0 10 x 10  6 y 12  z 0  10 x 6 y z  22  0

El vector normal como el producto cruz de PQ y PR

n=PQxPR

Ángulo entre dos planos Dos planos no paralelos se intersectarán en una recta formando un ángulo entre ellos. Si tomamos sus vectores normales podemos ver que forman el mismo ángulo que los planos, por lo tanto, si es dicho ángulo, entonces

n2

cos   

n1

n1 n2

u r

u u r

n1 n2

n1x n2

ngulo entre 2 planos

6

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

ó

 1     cos  

  u u r  n2   

u r u u r

n1 n2

u r

n1

y el producto cruz de las normales es un vector paralelo a la recta intersección de los planos.

Ejemplo: Calcule el ángulo entre planos y encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta intersección. 2 x 3 y z  6  0 Plano 1: 5 x 2 y 4 z 10  0 Plano 2: Solución: de las ecuaciones de los planos obtenemos los vectores normales r r n1  2, 3, 1 y n2  5, 2, 4 , con n1  14 y n2  45 , sustit sustituy uyend endo o en la fórmula:

 1     cos  

  1  10  6  4   90  cos1  0   90 u r u u r   cos    n1 n2  14 45     los planos son perpendiculares  n1 n2  0  . u r u u r

n1 n2

Para las ecuaciones de la recta inte inters rsec ecci ción ón sola solame ment nte e nece necesi sita tamo mos s encontrar un punto común a los planos, ya que sabemos que el producto cruz de las normales es paralelo a la recta. iˆ r

v

ˆj

k ˆ

r r  n1  n2  2 3 1  10iˆ  13 ˆj  19kˆ 5 2 4

 

El punto común lo hallamos resolviendo el sistema de ecuaciones

2 x 3 y z  6  0 5 x 2 y 4 z 10  0 de donde tenemos que  y 

34  13 x 10

y

 z  

42  19 x , 10

si hacemos que  x   2 , entonces  y  6 y  z   8 . 6, 8) 8) y el vector  vr  10iˆ  13 ˆj  19kˆ ,   las Con el punto  P (2, 6, las ecua ecuaci cion ones es paramétricas de la recta serían:  x  2  10t   y  6  13t   z  8  19t 

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

7

Trazado de planos en el espacio Si querem queremos os dibujar dibujar un plano plano es útil hallar hallar las intersecci intersecciones ones con los ejes coordenados coordenados y trazar rectas por esos puntos. Las rectas de intersección con los planos coordenados se denominan trazas. Ejemplo: Dibuje los planos y la recta intersección x 2 y 6 z  6  0 Plano 1: 5 x 3 y 5 z 15  0 Plano 2: Solución: Para encontrar las intersecciones del plano con cada eje, hacemos que los valores de las otras dos variables sean cero en la ecuación y resolvemos

Intersección con: condición  y  z   0 Eje ‘x’

ecuación

punto  6,0,0   0,3,0   0,0,1

 x  6  0

Eje ‘y’

 x  z   0

2 y  6  0

Eje ‘z’

 x  y  0

6 z   6

Intersección con: condición  y  z   0 Eje ‘x’

0

ecuación

 x  z   0

3 y  15  0

Eje ‘z’

 x  y  0

5 z   15  0

6 5 Plano 2 5x+3y+5z-15=0

4 3 2 Recta intersección de los planos

punto  3,0,0  0,5,0  0,0,3

5 x  15  0

Eje ‘y’

z

1 1

1

2

3

4

5

2 3 4 x+2y+6z-6=0 5 Plano 1 6 x

Cuando no aparece alguna de las variables en la ecuación ecuación entonces el plano es paralelo al eje de esa variable. Cuando faltan dos variables, es paralelo al plano coordenado de las variables ausentes. z

z

z

6

6

5

4 3

2

1 1

5

Paralelo al eje 'y'

4 3

Plano 3y+5z-15=0

2

Paralelo al eje 'x'

6

5

4 3

1

2

3

4

5

Plano xz

2

1

y

2

1

3

1 1

2

3

4

5

y

1 2

2

4

3

5

4

6

1 2

3

4

5

y

Paralelo al plano 'xz'

3

Plano 5x+5z-15=0

5

5 x

Plano 3y-15=0

4

6

6

x

x

Cuando no aparece el término independiente ( d = 0 ), el plano corta a los tres ejes en el origen O(0,0,0).

8

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

y

z

Plano x+y-z=0

6 5 4 3

y=z

2 1

x=z 1 2

1 2

3

4

5

6

y

pasa por el origen

3 5

4

6 x

Distancia de un punto a un plano Ya analizamos el caso de querer calcular la distancia entre dos puntos en el espacio, pero, ¿qué pasa cuando queremos encontrar la distancia de un punto a un plano o a una recta? Primero, consideremos un plano y un punto Q que no pertenezca a éste. La dista istanc ncia ia D es la longitu gitud d del n Q segmento QR perpend perpendicul icular ar al plano plano (paralelo al vector normal n ). PQ D ProynP Q

R

Tomamos un punto cualquiera P del plano y formamos el vector   PQ con

P

como el ángulo entre  PQ y n . r

Donde cos   

PQ n

u u u r

r

PQ n r

D

La distancia D entre el punto Q y el plano: Para el plano ax  by  cz  d   0 con n  a, b, c

u uu r

PQ cos   

  PQn r

n

y PQ  x0  x1 , y0  y1 , z0  z1   la

distancia entre el punto Q  x0 , y0 , z0  y el plano está dada por   D 

ax0  by0  cz0  d r

n



ax0  by0  cz0  d   a 2  b2  c 2

Ejemplo: ¿Qué tan cerca pasa el plano x 2 y 6 z  6  0 del origen? ¿A qué distancia del punto Q(1,2,3)? Solución:

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

9

De la ecuación del plano obtenemos los valores de a=1, b=2, c=6 y d = - 6. Los sustituimos junto con las coordenadas del punto dado en la fórmula:  D 

 D 

ax0  by0  cz0  d   a 2  b2  c2 ax0  by0  cz0  d   a 2  b2  c2

 

1(0)  2(0)  6(0)  6 12  22  62 1(1)  2(2)  6(3)  6 12  22  62



6  0.937 del origen. 41



17  2.655 del punto Q. 41

Distancia de un punto a una recta Si tenemos una recta que pasa por el punto P y es paralela al vector  v

 a, b, c

,

la distancia de un punto Q a la recta está dada por  D PQsen   . Con como el ángulo entre los vectores  PQ y v , tal que r

PQ v

Q

D

r



PQ v sen   , de donde

PQ

r

sen   

PQ v u u u r

r

PQ v

v

y, por lo tanto,

P

r

 D 

PQ v r

v

Ejemplo:

 x  1  2t   Calcule la distancia entre la recta con ecuaciones   y  3  t  y el punto Q(2,-1,3)   z  4t   Solución: un punto de la recta es P(1,3,0) (cuando t=0). El vector   PQ  1, 4, 3 y el vector  v  2,1,4 . El producto cruz de  PQ y v : uu u r

iˆ r

PQ v r

PQ v 10

ˆj

k ˆ

1 4 3  19 ˆ i 10 ˆ j 9 ˆk,   2 1 4

 19 2  10 2  9 2  542 ,

r

v

 21

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

La distancia del punto a la recta: z

r

PQ v

 D 

Q

r

v

-1 P

y

4

3

542  5.08 21



1 2

x

SUPERFICIES EN EL ESPACIO 

Los planos son un tipo de superficie en el espacio. Existen muchos otros tipos de superficies, de las cuales, vamos a estudiar algunas en esta sección.

Esferas Una esfera es el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo. Ese punto fijo es el centro de la esfera C  x0 , y0 , z 0   y la distancia el radio r. Si tomamos un punto cualquiera de la esfera P  x, y, z   y consideramos que la distancia a C es igual a r, entonces d  PC  

Ecuación canónica de la esfera:

  x  x0  2   y  y0  2   z  z0  2  r .  

x  x0 

2





y  y0 

2





z  z0 

2



2

r

 

Desarrollando obtenemos la ecuación general de una esfera x2



y2



z2



Gx Hy Hy Iz Iz J   

0

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio r = 3. Solución: Sustituimos las coordenadas del centro y el

radio:  x 0 

2

  y 0  2   z 0  2  32

de donde obtenemos

la ecuación: x2  y2  z2    90 Esfera creada en Derive

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

11

Ejemplo: Ejemplo: Encuentr Encuentre e las coorden coordenadas adas del del centro centro y la longit longitud ud del radio radio de la 2 2 2 esfera con ecuación x  y  z  8 x 6 y  4 z   4  0 7.5 5 2.5

De la ecuac ecuación ión gene general ral obten obtenemo emos s la Solución: forma canónica reordenando términos y completando completando trinomios cuadrados perfectos. x2  y2  z2  8 x 6 y  4 z   4  0 2

2

0

5

2.5

2

 8 x  16  y  6 y 9  z  4 z 4    4  16  9  4 2 2 2  x 4    y 3   z 2    25 x

0

-2.5

-7.5 -5

De dond donde e obten obtenemo emos s las las coord coorden enad adas as del del centr centro o C ( 4, 3, 3, 2) 2) y el radio r   5

-2.5 0

Esfera creada en Mathematica

Cilindros Regularmente, Regularmente, cuando pensamos pensamos en un cilindro nos viene a la mente la figura del cilindro circular recto, como el que se muestra en la figura. Para obtener esta superficie imaginemos que dibujamos un círculo en un plano y hacemos pasar rectas perpendiculares al plano por cada uno de los puntos de la circunferencia.

Recta L Rectas generatrices

curva directriz C

Ahora, si tomamos una curva cualquiera C en el plano y una recta L no paralela al mismo plano y hacemos pasar rectas paralelas a L por cada punto de la curva C, entonces la superficie que obtendre obtendremos mos es un cilindro. La curva C se directriz del denomina curva directriz del cili cilind ndro ro y las las líneas paralelas a la recta L se conocen como rectas generatrices.

Si el plano que contiene a la curva C es alguno de los planos coordenados coordenados y las rectas generatrices son perpendiculares a éste, entonces la ecuación del cilindro es una expresión que contiene solamente las variables de dicho plano. Por ejemp ejemplo, lo, la gráf gráfica ica de la ecua ecuació ción n  z  x 2 es una parábola en el plano xz. En el espacio  z  x 2 representa a la superficie que se muestra en la figura. En el plano yz.

5 2.5 0

En el espacio es un cilindro

-2.5

-5 5

2

12

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

0

-2

-4 -2 0

Otro ejemplo de un cilindro es la ecuación  z  3 sen y en el plano yz es una curva sen senoid oidal y en el espacio cio es la sup superfic rficie ie mostrada.

¿Cómo será la superficie con ecuación  y

2

2

 x  1? Su traza (intersección de la superficie con el plano) en el plano xy es una hipérbola.

Superficies cuádricas La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es la ecuación de segundo grado de tres variables Ax2  By2  Cy2  Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J  0 Para Para dibu dibuja jarr una una supe superf rfic icie ie es útil útil dete determ rmin inar ar sus sus traz trazas as con con los los plan planos os coordenados y con algunos otros planos paralelos.

Elipsoide x2

y2

z2  

x2

y2

z2  

   1 con centro a 2 b2 c2 en el origen O(0,0,0) y a,b,c como las longitudes longitudes de los semiejes semiejes en la dirección de x,y,z respectivamente. La forma canónica de la ecuación de un elipsoide es

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación

9



4



1

1

Trazas con los planos coordenados. Plano xy ( z = 0).  x 2 y 2 Elipse  1

9

Plano xz ( y = 0).  x 2 z 2 Elipse  1

4

9

1

traza con el plano xy

Plano yz ( x = 0).  y 2 z 2 Elipse  1

4

1

traza con el plano

1 0.5 0 -0.5 2

-1 1 -2 0 0 -1 2

-2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

13

Elipsoide

Hiperboloide de una hoja x2

La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es



y2



z2  

1

a 2 b2 c2 (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es negativo, el eje es el de la variable del término negativo).

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación

Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 2  x y  x 2 Elipse Hipérbola  1

9

4

traza con el plano xy

9



2

z 

4

1

x2

9



y2

4



z2  

4

1

Plan Plano o yz ( x = 0). 0). 2 2  y z  Hipérbola  1

4

traza con el plano xz

4

traza con el plano yz

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas z2

La forma canónica de la ecuación del hiperbolide de una hoja es



x2



y2

1

c2 a 2 b2 (uno de los coeficientes de los términos cuadráticos es positivo, el eje es el de la variable del término positivo y no hay traza en el plano perpendicular al eje).

Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 14

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

z2

4



x2

9



y2

4

1

Plan Plano o yz ( x = 0). 0).



 x 2

9



y2

4

1

Hipérbola

 z 2

4



x2

9

1

 z 2

Hipérbola

4



y2

4

1

No hay traza

traza con traza

el plano xz con el plano yz

Hiperboloide de dos hojas

Cono elíptico La ecuación canónica del cono elíptico es parecida a la del hiperboloide solo que se iguala a cero en vez de igualar a uno. x2 y2 z2   Ecuación de un cono elíptico 2  2  2  0 (uno de los coeficientes de los a b c términos cuadráticos es de signo diferente a los otros dos, el eje es el de la variable de signo diferente). x2 y2 z2   Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación   0

9

Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 2 2 2  x y  x z 

9



4

0

es el punto (0,0)

traza con el plano xy

9



4

0

son las rectas  z  

4

4

Plan Plano o yz ( x = 0). 0). 2 2  y z 

4 2 x 3

traza con el plano xz

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III



4

0

son las rectas  z   y

traza con el plano yz

15

Cono elíptico

Paraboloide elíptico La ecuación canónica del paraboloide paraboloide elíptico solo tiene términos cuadráticos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.  x 2 y 2 Ecuación de un paraboloide elíptico  z   2  2 (los coeficientes de los términos términos a b cuadráticos son del mismo signo, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático).  x 2 y 2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación  z   

9

Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2 2 2  x y  x Parábola  z    0

9

4

4

Plan Plano o yz ( x = 0). 0).  y 2 Parábola  z  

4

9

es el punto (0,0)

traza con el plano xy traza con el plano yz

traza con el plano xz

Paraboloide hiperbólico

Paraboloide elíptico

La ecuació ecuación n canónic canónica a del parabolo paraboloide ide hiperból hiperbólico, ico, al igual igual que la superfi superficie cie anterior, solo tiene términos cuadráticos en dos de sus variables y de la tercera solo término lineal.

16

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

Ecuación Ecuación de un parabol paraboloide oide hiperbó hiperbólico lico  z  

 x 2

 2

y2

(los (los coefici coeficiente entes s de los a b2 términos cuadráticos son de signo contrario, el eje del paraboloide es el de la variable sin término cuadrático).  x 2 y 2 Ejemplo: Dibuje la superficie con ecuación  z   

9

Trazas con los planos coordenados. Plan Plano o xy ( z = 0). 0). Plan Plano o xz ( y = 0). 0). 2  x 2 y 2  x Parábola  z    0

9

4

rectas  y  

4

Plan Plano o yz ( x = 0). 0).  y 2 Parábola  z   

4

9

2 x 3

tr  za con el plano xy traza con el plano xz

a

traza con el plano yz

curvas de nivel

En ocaciones no basta con conocer las trazas con los planos coordenados coordenados para imaginar imaginarse se a la superfi superficie cie y será necesario necesario utilizar utilizar otros planos planos paralel paralelos os a alguno de los planos coordenados para realizar cortes a la superficie y dibujar  esas trazas. Por ejemplo, con planos paralelos al xy, xy, dando diferentes diferentes valores a la variable z, obtendremos las curvas de intersección con los planos a diferentes alturas. Estas gráficas se denominan curvas de nivel ( son todos los puntos que se encuentran a la misma altura con respecto al plano xy ). En topografía esas curvas de nivel se conocen como mapas de contorno, en metereología se usan para determinar zonas de temperaturas ( cada curva es una isoterma-“misma temperatura” ) ó zonas de presión presión ( isobaras ).

Para Para la super superfic ficie ie  z  

 x 2

9



y2

4

ya obtu obtuvi vimo mos s las las traz trazas as con con los los plan planos os

coordenados las cuales no nos dan mucha información. Ahora probemos con algunas curvas de nivel.

Planos paralelos al xy

ecuación de la curva M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

tipo de curva 17

 z   4

4 

x2



9

 z   2  z   1

1 

 z   0

0



x

y2



4

2

2 

y2

16

2



y

y



4

8

2

2

2

9

 x

2

9

 z   1





y

4

y

4

 z   2

2

 z   4



x 9

2

4



x 9

4

2

y



y

4

2

x



1

9

hipérbola rectas hipérbola

2

4 2



x

18

2



hipérbola

3

 x

y

hipérbola

18

2

2



1

  y   x

9 2

x2



2

4

1

y



1

36

2

9

x

x2



2



2



x

36



y

8

y2 16

1 1

hipérbola hipérbola

2

1

0

-1

-2 -3

Cor Cortes tes con con pla planos nos z=1, z=1, z=z=-2

-2

-1

0

1

2

Curv urvas de nive nivell

3

Para arabolo boloiide hipe hiperrból bólico ico

Superficies de revolución Ya vimos que un cilindro circular recto se forma cuando hacemos girar, por un círculo, a una recta perpendicular perpendicular al plano plano que contiene contiene a ese círculo. Existe Existe un eje central paralelo a la recta generatriz y, por lo tanto, a la superficie. ¿Que pasaría si , en lugar de una recta, lo que se moviera alrededor del eje superficie de fuera fuera cualq cualquie uierr curva curva? ? Lo que que obte obtenem nemos os se deno denomin mina a una una superficie revolución. Por ejemplo, si tenemos una curva C, definida por una función que determine la dist distan anci cia a de sus sus punt puntos os a algun lguno o de los los ejes ejes coor coorde dena nado dos. s. Diga Digamo mos, s, y  r( x)  x , para una curva en el plano xy. Cuando hacemos girar la curva alrededor del eje x nos genera la superficie de revolución.

18

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

2 2 Paraboloide circular  x  y  z  

C es la curva generatriz de la superficie de revolución

y  r( x) es la función radio de los círculos paralelos paralelos al plano yz que se forman al gira girarr todo todos s los los punt puntos os de C alre alrede dedo dorr del del eje eje x. Para Para cada cada valo valorr x o de x

obtendre obtendremos mos un círculo círculo de radio radio r ( x0 ) con ecuació ecuación n

y2  z2

  r x0  

2

.

Si

hacemos que x pueda tomar cualquier valor del dominio de r ( x) entonces la 2

2 2 ecuación de la superficie de revolución es y  z   r x  .

En el ejemplo, la función radio es y  r( x)  2 2 y  z   r  x 

y2  z2  



x

x , la ecuación de la superficie es

2

2

ecuación de un paraboloide.



y2  z2  x

Ecuación de la superficie de revolución Si el eje de giro es alguno de los ejes coordenados, la ecuación toma la forma: 2

y2  z2

Alrededor del eje y:

  r x  2 x2  z2   r y 

Alrededor del eje z:

x2  y2

Alrededor del eje x:

  r z  

2

Ejemplo: Hallar Hallar la ecuación ecuación de la superficie que que se genera al girar la gráfica gráfica de 2 2 4 x  9 z   36  0 alrededor del eje z . Bosqueje su gráfica Solución: La curva C está en el plano  xz  y gira alrededor del eje z , debemos obtener una función radio x  r( z)  despejando la variable  x , tenemos

4 x2  9 z2  36  0  4 x2  36  9 2z 2

36  9 x 4

2

36  9  x 4 z

2

 

36  9   func funció iónn radi radioo (r ) z 4

z

2

z

 

para para la ecua ecuaci ción ón de la supe superf rfic icie ie toma tomamo mos s la terc tercer era a opci opción ón (alrededor de z) 2

x2  y2

  r z   2 2   36  9 z   x 2  y 2    4   36  9 z 2  x 2  y 2  4

2

2

2

4 x  4 y  9 z   36 

x2

9



y2

9



z2  

4

1 Elipsoide

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

19

Ejemplo: Hallar Hallar la ecuación ecuación de la superficie que que se genera al girar la gráfica gráfica de  yz   1 alrededor del eje y . Bosqueje su gráfica Solución: La curva C está en el plano yz  y gira alrededor del eje y , debemos obtener una función radio z  r( y) despejando la variable z, tenemos

yz 1 

z

1  y

Alrededor del eje y:

20

función radio ( r ) y x2  z2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1 , y 2

  r y  

x2  z2   

1  y 2