Recta Tangente A Una Elipse

 

RECTA TANGENTE A UNA ELIPSE

Es la recta que tiene un punto común con la elipse, este punto en común se llama  punto de tangencia. tangencia. En el gráfico se presenta una recta

 tangente a una elipse en el punto T

 LT

Propiedad 1:

   Sea   una elipse cuya ecuación en un sistema XY es:    = 1, entonces se demuestra que la pendiente de la recta tangente   a la elipse   en el punto  = ,  es: ⁄  =  ⁄ 



La gráfica muestra a la recta tangente a  en el punto

 =,   LT

1

 

Demostración: .

ℰ

Sabemos por el tercer caso que LT es tangente a la elipse , entonces D = 0 y  x





2

mka mk a

2 2(b 2  a 2 m 2 )  

 pero nuestro x ahora ahora es xT de donde tenemos lo siguiente:

 xT 



 xT  a

2

2mka 2



2(b 2





2

mk 



(b 2

2

a m



 

2

a m

2

)

)

  …………………….……..……...………………… (1) 

  …………………………………….……..………… (α) 

. T = (x T , y T ) ∈     LT : y = mx + k  

→  =     

………………………………………..….………… (2)

.  Reemplazand Reemplazandoo la ecuación (1 (1)) en la ecuac ecuación ión (2) :

   mka  yT   m    b  a m 2

2

2

2

 yT 



 yT  

 yT  b2







2

2

    k      2

2

2

m ka k (b2 a m )   b am  2 

 2

m 2 ka 2  kb2  ka 2 m 2 b2  a 2m2 k 

b2



a 2 m2

 

  ………………………………………………… ………(β) 

2

 

.  (α)   () xt a yt

- mk

  2

b + a 2m 2 = k

b2

2

2

2

.

 

2

b +a m

xt yt

a2 =

-m 

b2

⁄  =  ⁄ 

⁄ Entonces la pendiente de la recta tangente   es igual a  ⁄    En el enunciado de la propiedad se usa de , es por ello que diremos:

 ⁄  =  ⁄ 

 como símbolo de la pendiente

⁄ Entonces la pendiente de la recta tangente   es    . ⁄ En el enunciado de la propiedad se uso   como símbolo de la pendiente de   , es por ello que diremos :

 =  ⁄⁄ 

…..Lqqd.  

3

 

Propiedad 2:

La recta normal

  en el punto T de una elipse es bisectriz del ángulo

determinado por por los rayos focales que pparten arten del punto T. La figura ilustra esta propiedad en donde se demuestra que L N  

 = . LT

β 

Demostración: .

Sabemos que en todo triángulo cuando se traza la bisectriz interior esta divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados del triángulo que concurren el vértice del triángulo tr iángulo de donde parte la bisectriz.

. 

El gráfico ilustra el teorema cconocido onocido como el teorema de la bisectriz interior:

  

a

m

.

 

b

→  =  

n

El teorema se cumple también  en sentido contrario tal como se ilustra en el siguiente gráfico:

4

 

  

a

 

m

.

 =  →=  

b

n

 es la recta normal y el ángulo determinado por los rayos focales es   , demostraremos que ∠ =∠ . Tal como se

Para vuestro caso

lustra en la figura:

LT

 

Y

 

L N

(xT,yT)



 

 

 

(xA,yA)

 

(c,0)

 

(-c,0)

.  Tendríamos que

ddemostrar emostrar qu que: e:

⃗  =  ⃗        ⃗   ⃗   Sabemos que L   ⊥ L , entonces :  .    = -1 − de donde:  =     En el sistema  con origen en   y eje coincidente con el eje focal, la    ecuación de la elipse es:    = 1  ⁄ también se sabe que:  =   ⁄ y de esa manera concluir que α = β

.

 N

T

 

5

 

⁄ entonces:   = ⁄ . 

.  La ecuación

 

de L N sería:

  yT    b 2 ( x  x )    L N  : ( y   y t  )     T    xT  2    a   .  Sea

. 

eje    x ∩LN entonces A sería de la forma {A} = eje

  ∈ , entonces:

yT   LN

: (0 - y t ) =

xT

b2

, 0 

(x A - x T )  

a2

  .     =     Despejando



 :

 =   −  

 pero: a2- b2 =c2 (Por teoría de elipse)

  Luego:  =      ⃗.   =  ⃗ = (   ;0) –  (-c;0)  (-c;0) = (   + c;0)  

T

T

.

⃗  = [   ; 0] ; ⃗  =      ⃗  =  ⃗ = (  ;0)-(c;0) =    –   –  c;0)  c;0)  ⃗  =[   ; 0]; ⃗  =    T

T

Sabemos por teoría de elipse (ya ( ya demostrado anteriormente) .

⃗ =   6

 

⃗ =   ⃗    Cálculo de: ⃗   ⃗.  =   +   =   ⃗  +  ⃗     Cálculo de: ⃗  ⃗.  =  −  =   ⃗  −  .

 

…………………………..…………………. (1)

 

………………………...….………………. (2)

De (1) y (2):

⃗  =  ⃗     ⃗  ⃗ 

∠

∠

Por lo tanto: m F1TA = m ATF2

α = β …Lqqd. 

7

 

Propiedad 3:

La recta tangente a una elipse en el extremo del lado recto determina con el eje

 

focal un ángulo agudo cuya tangente es  donde siendo

,

 focos y

 

 propiedad:

,

2=⃗ , 2=⃗  

 vértices de la elipse. La siguiente figura ilustra la

    

Tan α =

Propiedad 4:



 relativa a un foco F y  una recta tangente a la elipse en el punto T. Si   y   se intersecan en el punto Q, entonces se demuestra que̅  es perpendicular a̅. La siguiente gráfica

Sea  una elipse con recta directriz

ilustra la propiedad:

̅ ⊥̅

 

8

 

Propiedad 5:

̅ una cuerda focal, entonces se demuestra que tangentes a



Sea  una elipse y

 en los puntos M  y  y N se intersectan en un punto de la directriz. Esta propiedad

queda ilustrada en la siguiente gráfica:  ∈

Propiedad 6:



Sea  una elipse donde b es la longitud del semieje menor y

 

 una recta

tangente, entonces se demuestra que el producto de las distancias de los focos a la recta tangente es igual al cuadrado de b. A continuación, se muestra una gráfica ilustrando la propiedad: 

d2

d1

 

 b

 

d1.d2 = b2 

 

9

 

Propiedad 7:



, vértices  y  y sean  Y rectas tangentes a  en el punto T y  respectivamente. Si  ∩  = , entonces se demuestra

Sea  una elipse de centro que

 L

. La siguiente gráfica ilustra il ustra esta propiedad:

⃗//⃗ 

 

⃗//⃗

 

10

 

Recta Directriz De Una Elipse

Es la recta perpendicular al eje focal y que dista del centro de la elipse en una longitud

a

2

c

, donde “a” es la longitud del semieje mayor y “2c” es la distancia

entre los focos de la elipse. La gráfica ilustra esta definición:

 



 

 

 

F2

 

 

Propiedad:

  es la recta directriz relativa al foco F de una elipse y P es un punto cualquiera de esta elipse, entonces se demuestra que: ⃗  =  =    ,  Si



: excentricidad de la elipse 

La gráfica ilustra la propiedad:

⃗ =  =  , 

F 



 

 

11

 

Demostración: .

En la gráfica siguiente se muestra la directriz

. Sabemos que

⃗  

 x c 

a   

 relativa al foco .

 y en la figura se tiene que d(P,

a

) =  x. a

2

c

Entonces:

⃗   ; 

a

 xc a

a



 xc



a



2

2

  a 

c



c

a 2





 xc

= e…Lqqd. 

a

 x c

Se observa que este cociente no depende de x, es decir no depende de cuál es la posición de P en la elipse, es por ello que a esta constante (c/a) denotado  por “e” lo llamamos excentricidad de a elipse, tal como se mencionó

anteriormente en el enunciado de esta propiedad. Observación: Sabemos

caso de la elipse.

  

que c < a, entonces < 1 es decir e < 1 en el

La e de una elipse es menor que 1 pero mayor que 0.

12

 

Propiedad 8:

  



   

Sea  una elipse de centro , focos y ,  es una recta directriz relativa a  y  es una recta tangente a  en el punto T. Si la prolongación de   intersecta a  en un punto Q, entonces se demuestra que  intersecta a    perpendicularmente.  perpendicularme nte. La gráfica ilustra la propiedad:





̅

̅



Q

 

 

 

α  α =90° 

  

 

 

Propiedad 9: 



Sean dos rectas secantes entre sí en un punto de una elipse  y que cada una de estas rectas contiene a un vértice distinto de . Si estas rectas intersectan en dos  puntos diferentes diferentes a una recta directriz directriz relativa a un foc focoo entonces eestos stos puntos y el foco mencionado determinaran un triángulo recto en dicho foco. Esta propiedad se puede ilustrar a través de la siguiente gráfica:



 



 

 

 

α

 

α = 90° 

 

13

 

Ejercicio 1:

ℰ

Sea  una elipse con focos

 = (-7; y) y  , con centro  en el eje Y . P = (8;1) +

ℰ. L ={A + t(-1;1)} es bisectriz dedell ángulo F PF  de medida  tal que 4/3. Si A pertenece al eje focal de . Comp  , Comp  ,  ℰ ⃗     > 0 ⃗  < 0 ⃗ ⃗ = 2√ 2 y el área de la región triangular F PF  es 20 u , hallar la ecuación vectorial de ℰ .

ϵ 

1

θ

2

(1;0)

tan θ =

(0;1)

1

2

2

Solución: . De acuerdo al enunciado se deduce el ssiguiente iguiente gráfico:

. tan θ = 4/3 4/3 (dato) 

→ tan   = + =  

14

 

.

Comp ⃗ = 2√ 2  (dato) Comp →  Proy →    =

|Comp ⃗|  = 2√ 2  |Proy ⃗|  = 2√ 2  ⃗ |  = 2√ 2  |

   ⃗ .ℎ = 20   ⃗  = 2√ 2  Pero h = 

.  Área de F1PF2 = 20

(dato)

Entonces:

.

.

⃗ =10 =10√ √ 2  2c = 10√ 2  c = 5√ 2  L= {A + t(-1;1)} (dato), entonces: ̅ = 1  ̅−̅     P: tan = + ̅ ̅ θ/2

Reemplazandoo valores obtenemos: Reemplazand = -1/3

̅̅//(-3,1)   ̅ = {(8,1) + t(-3,1)} F   ̅  = (8 - 3t, 1+t) Pero por dato⃗ = (-7,y) 1

ϵ

 

→ F1

Entonces 8 - 3t = -7 → t = 5 y=1+t → y = 6  . 

Sea

 = (0, f)

⃗ =7,6  15

 

. .

⃗ =⃗ ⃗ =7;6  ⃗ = 5√ 2  Por dato Pero

Reemplazando:

.

.

Despejando

 7 6 = 5√ 2   = 7 ∧   = 5 →

 

Se elige  = 5 por la pendiente p endiente del eje focal negativa, entonces: entonces:

⃗= ;− √   

⃗ =⃗ ⃗ = 7;6  8;8;11 = 15;5  ⃗ =⃗ ⃗ = 7;7;44  8;8;11 = 1;3  De donde:

⃗  = 5√ 1010   ⃗  = √ 1010    

 

.  Sabemos por teoría:

⃗   ⃗ =2   

 

reemplazando valores:

 pero:

5√ 110 0 √ 110=2 0=2  6√ 10=2 1 0=2  3√ 10= 1 0=  =√  , entonces:  =  (3(3√ 10) 10)  (5√ 2)2) = 2√ 1010  16

 

.

Sabemos por teoría:

ℰ ∶ {⃗  ′⃗  ′⃗┴ / .

   = 1 }   

Para nuestra elipse su ecuación vectorial es:

  ;−  ;  ′ ′ ℰ ∶ { 0;5;5   √    √    / √   √  = 1 } Rpta. 

17

 

Ejercicio 2:

ℰ es una elipse con focos ,  y eje focal con pendiente positiva. Las rectas L // (1,1) y L // (3,-1) son tangentes a  ℰ  en los puntos P  = (2,3) y P  = (2,1/3). Si F        y Q = (4,-3) es un punto en la recta directriz correspondiente a F , ̅ecuación  vectorial de ℰ. hallar la 1

2

1

1

ϵ

2

1

Solución:

Del enunciado se deduce el siguiente gráfico:

T

Q= (4,-3)

.  Hallamos

la lass ecuac ecuaciones iones de L1 y L2: 

 = 2,3  1,1

  =2,   3,1 3,1 18

 

Sea la intersección de las rectas L1 y  N= (0,1) . Recordemos la siguiente propiedad:

.

, entonces:

 ∈ 

.

Entonces:

⃗  =⃗  ⃗  = (0,1)  (4,-3)  (4,-3) ⃗  = (-4,4) // (-1,1)  L  // (1,1) ⃗  = ( 1,1)/√ 2  ⃗  = (0, 8/3) // (0,1 (0,1)) pero pero F  ⃗  (dato), entonces:  = (2,3) + r (0,1) = (2, 3+r).  

 – 

 

.

 

1

 

 

.  Recordemos la siguiente propieda propiedadd mediante el siguie siguiente nte gráfico:

19

 

Entonces aplicando la propiedad tenemos: 

.

⃗   ⃗  ⃗ // (1,0) 

 

  = t (1,0)

 

⃗⃗- ⃗= t (1,0) (2, 3+r) - (0, 1) = t ( 1,0)   t = 2   r= -2

⃗ = {(0,1) + t (1,0)} ⃗  = 2 (1, 0)    = (2,1)    : {(2,1) + g (1,1)} Sea T la intersección de   con      En el ⊿ : ⃗=⃗ +⃗  

. 

 







. .

 

(0,2) = d(1,-1) + n(1,1) 2 = n –  d

n=1

0=d+n

d = -1 

⃗ 1

 .

= (1,1) y

⃗ =√ 2  

Sabemos por teoría que:

 d( ,  ) = c

d ( , LD)= a/e = a2/c



d( , LD) = Pero 

   =    

⃗  = √ 2 ,  =

 = √ √ 2  

 ,entonces:

  .



Sea A la intersección del eje focal con la recta normal a  en el punto entonces:

, 20

 

⃗    ⊥    pero:  //1,1, entonces: ,−  = √  ⃗  . Sea m∠   =   ⃗  ⃗  cos   . P1: ⃗ .⃗   =  ,− (0,-1). √   = cos    

 = 45  .

focales entonces .

 es bisectriz del ángulo formado por los rayos m∠   = m∠    =

Por propiedad de elipse,

 

Luego:

⃗.⃗ = cos   ,−. (x,y) =1/√ 2  √   

x –  y = 1

x=1

+= 1 (Por ser  unitario) ⃗   = (1,0) .  .

y=0

: {(2,3) + t (1,0)}

F̅ ̅ 2

   F2 = (2,3) + t(1,0)

F2 

 

 F2 = (2, 1) + g(1,1) 

⃗12 = F

t=2 g=2 F2 = (4,3)

F1=( 4, 3) - (2, 1) = (2, 2) 2 –   F

⃗  = 2√ 2  2c = 2√ 2 c = √  √ 2 

 

21

 

 el centro de la elipse, entonces:   = (3,2) ⃗ = ⃗ +⃗  = ,+, 

.

Sea

.

De

.

√ 2  Por teoría de elipse:    =     

 

 = √ √2    obtenido anteriormente tenemos:  b =

reemplazando los valores:

 = √ 2  √ 2    =  2

.

Sabemos por teoría que la ecuación para una elipse sería:

ℰ =    ′⃗  ′⃗┴ / ′  ′ = 1  

.  Para nues nuestra tra elipse su ecuación vectorial es:

ℰ = {(3, 2) +

 x' (1,1)

2



 

 x '

2

4

 y ' ( 1,1)

2

2



 y '

2



1 } Rpta.

 

22