Reales Fmm007

FACULTAD DE MEDICINA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ BELLO UNIVERSIDAD ANDRES ´ MATEMATICAS AVANZADAS - FMM007

´ GU´IA DE NUMEROS REALES

1. Demuestre que

√

2 es un n´ umero irracional.

2. Usando los axiomas de cuerpo de los n´ umeros reales y los teoremas de unicidad, demuestre las siguientes dos propiedades Para todo x, y reales (−x) + (−y) es opuesto (inverso aditivo) de x + y Si a, b, c y d son reales que verifican la relaci´on (ad) + (−(cb)) = 0 entonces ((a + b) · d) + (− ((c + d) · b)) = 0. Indicaci´ on: mencione en cada paso el axioma utilizado. 3. Pruebe las siguientes desigualdades (i) 0 < x + y − xy < 1 siempre que 0 < x < 1, 0 < y < 1 1 1 1 1 + < + siempre que 0 < a < x < b (ii) x a+b+x a b 4. Demuestre que si a, b > 0, entonces 2 ≤

a b + b a

5. Use el ejercicio anterior para demostrar que si a, b, c > 0, entonces   1 1 4 ≤ (a + b) · + a b Ademas demuestre que ab · (a + b) + bc · (b + c) + ac · (a + c) > 6abc. 6. Sean a, b, c, d ∈ R tal que a < b < c < d. Simplifique, |a − b| |a − c| · |c − d| · |d − a| − + a−b (c − a) · (b − c) · (a − d)

p (b − d)2 d−b

4 x3 x2 x 1 + + + < 2 7. Demuestre que si |x| ≤ 1 entonces x + 2 4 8 16 8. Utilice la desigualdad triangular y el hecho de que 0 < |a| < |b| =⇒

1 1 < , para establecer |b| |a|

la siguiente cadena de desigualdad 1 1 1 1 1 1 x2 + 3 − |x| + 2 ≤ x2 + 3 + |x| + 2 ≤ 3 + 2

9. Resolver las siguientes desigualdades x −3 2 −5x − 4 ≥ 3 − 6x 2(x + 3) > 3(x − 1) + 6 18 − 5x > 2x + 3 > 4 − 3x 5 + 3x > 1 4x + 5 2 3 ≤ − 3 − 5x 5

a) 1 − 2x > b) c) d) e) f)

g)

2 3 −5 < +2 x x

h) 3x2 + 7x − 6 ≤ 0 3x2 − 27 ≥ 0 5 − 3x √ j ) x + 2 < 2x2 + 5x − 12 √ √ k ) x2 − 2x − 1 < x2 + x + 1 i)

10. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto 2x + 3 ≤ 6 a) 4x − 6 b) |x + 1| + 3 < |2x + 6| p √ c) |x − 1| + 4 − x − 6 < 2 11. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto a) |5 + |x − 4|| = 6 b) |x + 5 − |2x + 3|| = 5x − 4

Problemas Aplicados 12. Se ha establecido que el virus sinsicial respiratorio que ataca preferentemente a los nin˜os se debe a dos factores que son: la posibilidad de contagio C = 2x2 − 5x + 4, la disminuci´on de ciertas vitaminas en el organismo V = x2 + 6x − 8. Ambas expresiones dependen de la edad x. Si se estima que los mayores trastornos producidos por este virus se producen cuando la diferencia entre ambos factores es menor que 12 ¿Cu´ales son las edades de mayor riesgo para contraer esta enfermedad? 13. Se han sugerido varias reglas para modificar las dosis de medicamentos para adulto y as´ı encontrar la dosis para ni˜ nos peque˜ nos. Sea a la dosis para adulto (en mg.), y t la edad del ni˜ no (en a˜ nos). Algunas reglas t´ıpicas son las siguientes y=

t+1 a 24

(Regla de Cowling)

y=

2 ta 25

(Regla de Friend)

¿Para qu´e edad aproximadamente la dosis seg´ un Regla de Friend es menor que la dosis seg´ un Regla de Cowling? √ 14. Se espera que la poblaci´ on P de una ciudad (en miles) crezca de acuerdo a P = 15 + 3t + 2, en donde el tiempo t est´ a medido en a˜ nos ¿Despu´es de cu´anto tiempo la poblaci´on ser´a de al menos 20 mil personas? 15. Se realizar´a un scaner a enfermos cr´ onicos del pulm´on. Para esto se suministra a cada paciente un l´ıquido de contraste, cuyo porcentaje residual en el cuerpo en funci´on del tiempo medido en horas es p = −2t2 + 8t. Se requiere una concentraci´on m´ınima de un 6 % para poder realizar el examen. Si se le administra el contraste a las 12:00 horas A.M. ¿entre qu´e hora es posible realizar el examen?

16. Al realizar un estudio en un sector minero se encontr´o un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud p´ ublica decidi´o comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6 % de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad del plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relaci´ on x2 + 5x + 6 P = 2 , con P expresado en % x +x+1 ¿Al menos cu´ antos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %?