Real Roots of Cubic Equation

���� ����� �� ����� �������� (����� ��, 10/7/2014)

����������

����� � ����� ��������,

  +   +  +  = 0

, ���� ��� ��������� ���� ���

�������� ����� ����� ����� ���� �����, ��� ���� � �� �����. ��� ��� ����������������� ����������������� ��������.

�������

���

  − 9 + 27    3    − −    2   = 3 ���  = 27  0

, ���� ��� ���� �����, ��� ���� 4 ��� ���� ����)

2. ���������� �� ��� ������

���� ��� ����� ���

  = 2 − 3  = ����� �������  3  = − 3  = ��� ��� 13  +   = ��� ��� 13  + 2 2 +   = ��� ��� 13  + 4 + 

��������

�������� ��� ��������

����

 − 10 + 7 + 1 = 0  = −26.3333  = −49.7407   = 5.5.9255  = 0.2966  = 3.3333 �9.2299,−0.1215,0.8917� ,

,

,

�������� ��� ������

.

1

 ���

���������� �� ���������

1. �����, ������ ��� ����� �������� �� � ���������� ������ ��������.

 =  +   + 3 +  + 3 +  + 2  +  +   +  +   = 0      = −/(3)   +  +  = 0   = (3 − )/(3)  = (2 − 9 + 27)/(27)

�

���

�

�� �������

, ���� ��� �������� �������� �������

, ��� ����������� ��

�����

 ������� ����, ��������

���

(1)

.

2. ����, �������� ��� ��������� ������������� ��������

���(3) = ���(2)���() − ��� (2) ���() = (���()  − ���() )���()  − (2���()���())���() = ���() − 3���() ���()  = ���()  − 3���()(1− ���() ) ���(3) = 4���()  − 3���() 4���() − 3���() − ���(3) = 0

��

3. ��������� ��� ������� ����� (1) �� ����� ��� ������������� �������� (2). ���

 = ���()

 ��� ���������� �� (1) �� ������

  ���() + ���()+  = 0 4/ 4���() +  4 ���() +  4 = 0

���� �������� ��� �������� ��

 �� ����� ��� ����� ���� �� (2),

�� �������� �� ����� ���� (2), �� ��� �

4 = −3 →  = 2 −    3 ���� ������,

4���() − 3���()−  3 = 0 2

(2)

�� ��������� ���� �������� (2), �� �������� ����

���(3) =  3



��� �� ��� ����������� �� �������, �� ���� ����� �������� ��������� ���  �� �� ���

 = ������ 3 3 =   =  + 2 3 =  + 4 ���() = ���3 ; ���() = ��� +32   ; ���() = ��� +4 3 

��� ���

,3

 ���

, ��

  =  +  = ���() +   = ���() +  = ���3 +   = ���() +  = ��� +3 2 +   = ���() +  = ��� +3 4 + 

4. ��������� ���� �� ��� ������� �������� ��� .

���� ��, ��� ����� ���

�����  �����

  = 2 −/3  

� ���� ��� ���� �����

   = 2 3  = ����� 3       = −2 3 ����3 

4