Reacciones en en Los Apoyos

 

EQUILIBRIO IO DEL SÓLIDO RIGIDO. EQUILIBR “REACCIONES EN LOS APOYOS”. SUMARIO 1. Cu Cuerp erpo o ríg rígido ido e en n equ equil ilibr ibrio io 2. Di Diagr agrama amas s de cuer cuerpos pos li libre bres s (d. c. l). 3. Equil Equilibri ibrio o en 2D. Rea Reaccion cciones es en los ap apoyos oyos de una es estruc tructura tura en 2D. 4. Reac Reaccione ciones s es estátic táticament amente e in indete determina rminadas. das. 5. Equil Equilibri ibrio o de un cu cuerpo erpo rí rígido gido so sometid metido o a 2 y 3 fuer fuerzas. zas.

DESARROLLO MOTIVACIÓN ¿Cómo ¿Cóm o pu pued eden en di divi vidi dirs rse e las las re reac acci cion ones es qu que e ge gene nera ran n lo los s pu punt ntos os de sustentación?

OBJETIVOS Al finalizar la actividad deben ustedes ser capaces de: 1. Iden Identifi tificar car las c condic ondiciones iones nece necesaria sarias s y su sufici ficiente entes s para el equil equilibri ibrio o estático. 2. Conocer la clasifi fic cación de las estructur uras as pro indeterminación.

su grad grado o

de

3. Ide Identi ntifi ficar car los tip tipos os de apoyo apoyos s de acu acuerd erdo o a los grados de libe liberta rtad d que restringen.

Cuerpo rígido en equilibrio.



“Se dice que un cuerpo rígido está en equilibrio cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre el forman un sistema de fuerzas equivalente a cero”.

Es decir: F 

0  

∑ M 

O

∑ ( r 

)

F  = 0

Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un Sólido Rígido. Descom Desc ompo poni nien endo do la las s fuer fuerza zas s y ca cada da mo mome ment nto o en su sus s co comp mpon onen ente tes s rectangulares, obtenemos las 6 expresiones escalares siguientes. F   X  M   X 

0 0 

 

F Y  M Y 

0 0 

∑ F  Z  = 0 ∑ M  Z  = 0

 

   

 

Estas Esta s ec ecua uaci cion ones es,, que ex expr pres esan an el si sist stem ema a de fuer fuerza zas s ex exte tern rnas as,, no impr im prim imen en ning ningún ún mo movi vimi mien ento to de tr tras asla laci ción ón ni de rota rotaci ción ón al S. S.R. R. considerado. Ahora Ahor a bien bien:: ¿C ¿Cóm ómo o ap apli lica camo mos s es esta tas s ec ecua uaci cion ones es en la solu soluci ción ón de un problema dado?. Esto será abordado en los siguientes ep epígrafes. ígrafes.

Diagrama de cuerpo libre



De Física debemos recordar el equilibrio de una partícula. pa rtícula. Tenemos una partícula A sobre la que actúan 4 fuerzas.

“Cuand “Cua ndo o la resu result ltan ante te de toda todas s la las s fuer fuerza zas s que que actú actúan an sobr sobre e una una  partícula se hace cero, la partícula esta en equilibrio”.

Esta figura constituye el diagrama de cuerpo libre de la partícula A. Entonces: R

F 

∑   Se obtienen 2 ecuaciones escalares según los ejes cartesianos: F   X 

∑ F 

0  

Y 

= 0

Esta es la condición necesaria y suficiente para el equilibrio de la partícula. Comprobemos que la partícula A está en equilibrio. +

 

[∑

F   X 

=

0 ] 

200

300(cos 45 0 ) - 586(cos45 0 ) = 0 

200

300(0.7) - 586(0.7) = 0

200

210 - 410   0

= =

0 0

 

[∑

F Y  = 0 ] 

586(sen45 0 )

 

586( 0.7  ) 410

210

300(   sen45 0 )

300( 0.7  )

620 = 0

620 = 0

620 = 0   0

=

0

Ot Otro ro proc proced imie ient nto o no es el su suma mar gr gráfi áfica ment nte e cor todas todas las ladiente s fuer fu erza s y establ est ablece ecer r edim un pol polígo ígono de de fue fuerza rzas s rcon la came esc escala ala corres respon pondie nte. .zas Est Este e polígono debe cerrarse con las 4 fuerzas. Al resolver un problema relativo al equilibrio de un cuerpo rígido, es esencial considerar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, es importante, tamb tambié ién, n, ex excl clui uirr toda toda fu fuer erza za qu que e no se apl apliq ique ue dire direct ctam amen ente te so sobr bre e el cuer cu erpo. po. El om omit itir ir o in incl clui uirr otra otra fu fuer erza za de dest stru ruir iría ía la las s co cond ndic icio ione nes s de equilibrio. Por tanto, el primer paso para la solución de problemas de equilibrio debe consis con sistir tir en hac hacer er un cor correc recto to dia diagra grama ma de cue cuerpo rpo li libre bre (diagr (diagrama ama de cuerpo libre) o diagrama de fuerzas. Por su imp import ortanc ancia ia res resumi umirem remos os los pasos esen esenci ciale ales s para real realiza izarr el diagrama de cuerpo libre (diagrama de cuerpo libre). 1. Defi Definir nir c clarame laramente nte cuá cuáll es el cuerp cuerpo o libr libre e que se v va a a usar. 2.

Sep Separa ararr el cu cuerp erpo o de su base de suste sustenta ntació ción, n, así como de cualq cualquie uierr otro cuerpo.

3. Se d dibuja ibuja e ell c contor ontorno no del cuerp cuerpo o ais aislado. lado. 4.

Se representan todas las fuerzas externas. Estas fuerzas son: la acción ejercida sobre el cuerpo por la base de sustentación y por los cuerpos que qu e se ha han n sepa separa rado. do. El pe peso so de dell cu cuer erpo po apl aplic icado ado en su ce cent ntro ro de gr grav aved edad ad.. La Las s fuer fuerza zas s ap apli lica cada das s pa para ra un pr prop opós ósit ito o da dado do.. Se de debe be dest de stac acar ar cl clar aram amen ente te en el dia diagr grama ama de cu cuer erpo po li libr bre e la magn magnit itud, ud, dirección, sentido y punto de aplicación de las fuerzas externas conocidas (estas son: el peso y las fuerzas aplicadas con un fin especifico). Las fuerz fue rzas as ext extern ernas as des descon conoci ocidas das son son,, gen genera eralm lment ente, e, las rea reacci ccione ones s o fuerzas de ligaduras, y actúan en los puntos donde el cuerpo libre se apoya o conecta a otros cuerpos.

5. Se debe deben n inclu incluir ir las dim dimensi ensiones ones es esencia enciales les del c cuerpo, uerpo, deb debido ido a que se necesitan para calcular los momentos de las fuerzas. 

Equil quilib ibrrio en 2D. Rea Reaccion iones en los los apoyos de una estructura bidimensional.

Las reacciones ejercidas en una estructura bidimensional se pueden dividir en tres grupos correspondientes correspondientes a tres tipos de conexiones o apoyos según los grados de libertad que son capaces de restringen. Cuando no se ve claramente el sentido de una fuerza o de un par, este sentido o fuerza se puede poner arbitrariamente, el signo de la respuesta indicara si la dirección fue correcta o no.

 

1. Reacciones equivalentes a una fuerza con línea de acción conocida TIPOS DE APOYOS Diagrama de Incógnitas cuerpo libre

1

1

1

2. Reacciones equivalentes a una fuerza con línea de acción desconocida

2

3. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par

 

3

Equilibrio de un cuerpo rígido en 2D.



Para el equi Para equili libr brio io de un cu cuer erpo po rí rígi gido do en el plan plano, o, es de deci cirr en 2D, se cumplen las siguientes ecuaciones de equilibrio. F   Z 

0   F   X 

0  

M   X  F  Y 

M  Y  0  

= M O M   Z 

0  

∑ M 

O

= 0 

Como se puede hacer mome momento nto respect respecto o a cualq cualquier uier punto en el plano, se cumple que: F   X 

0  

F  Y 

0  

∑ M 

 A

= 0 

Con estas ecuaciones sólo pueden determinarse tres incógnitas. Por ejemplo consideremos la siguiente estructura:

El diagrama de cuerpo libre de dicha estructura será:

Para determinar las reacciones en los apoyos ( AX, aplicar las siguientes ecuaciones de equilibrio:

[

M  A = 0 ] Se determina

BY

AY y BY) se pueden

 

[

= 0 F   X 

[

=0 F  Y 

] Se determina AX

]

Se determina AY

También se puede aplicar:

[

M  A = 0 ] Se determina

BY

[

M B = 0 ] Se determina

AY

[

= 0 F   X 

]

Se determina AX

O las siguientes ecuaciones ecuaciones::

[

M  A = 0 ] Se determina

BY

[

M B = 0 ] Se determina

AY

[

M D = 0 ] Se determina

AX

Con esto se quiere significar que se puede realizar cualquier combinación de estas ecuaciones. Es aconsejable siempre seleccionar ecuaciones de equilibrio que tengan una sola incógnita, ya que se evita la solución de sistemas de ecuaciones.

Equilibrio de un cuerpo rígido en 3D.



Se toman las 6 ecuaciones de equilibrio posibles posibles,, o sea:

[ F  X 

0]  

[ M  X 

0]  

[

F y 

[

M y 

0]   [ 0]   [

F   z  = 0 ]  

] M   z  = 0  

Estas son validas para un cuerpo en el espacio, sin embargo si analizamos solo el plano XY, las ecuaciones validas serian

[ F   X 

0]  

[

F y 

0]   [

M   z 

M O = 0] 

Con estas 3 ecuaciones se pueden determinar 3 incógnitas. •

Reacciones indeterminadas.

estáticamente

En el ej ejem empl plo o an ante teri rior or in inte terv rven enía ían n tres tres incógnitas y disponíamos de tres ecuaciones de equilibrio. En este caso se dice que las reacciones reacc iones son está estáticam ticamente ente deter determinad minadas as y el cuerpo está completamente ligado. No siempre que las reacciones sean estáticam está ticamente ente deter determinad minadas as impl implica ica que el cuerpo esté completamente ligado, tal es el caso siguiente: En el diagram diagrama a

de cuer cuerpo po libr libre e se obtie obtiene: ne:

 

Se tienen 3 incógnitas ( AY, B Y  y CY) y se disponen de tres ecuaciones. Visto así las reacciones son estáticamente determinadas, sin embargo el cuerpo tiene la posibilidad de moverse (y de hecho lo hace) hacia la izquierda, de acuerdo a la posición de las fuerzas externas, entonces no se garantiza el equilibrio. En tal caso es una estructura impropiamente ligada. Si ocurriese que el número de ecuaciones sea mayor que el número de incógnitas, las reacciones siguen siendo estáticamente determinadas, pero la estructura estará parcialmente ligada. Como por ejemplo la siguiente estructura:

Cuyo diagrama de cuerpo libre sería:

Si oc ocur urre re qu que e el nú núme mero ro de ecua ecuaci cion ones es es me meno norr qu que e el nú núm mer ero o de incógnitas, estar arííamos en pr pre esencia de que que las reacciones son estáti est áticam cament ente e ind indete eterm rmina inadas, das, se nec necesi esitar taría ía de una cua cuarta rta ecuac ecuación ión (deformaciones en Resistencia de Materiales) para resolver el problema. En este est e cas caso o la est estruc ructur tura a est está á en con constr stricc icción ión imp improp ropia. ia. En las sig siguie uiente ntes s figuras se expone este caso:

 

•

•

Equilibrio de un cuerpo rígido sometido a 2 y a 3 fuerzas. Equilibrio de cuerpos rígidos sometidos a la acción de 2 fuerzas.

Si cuerpo rígido sometido a la acción de dos fuer fuerza zas s es está tá en eq equi uili libr brio io,, la las s do dos s fu fuer erza zas s deberán tener la misma magnitud, la misma dirección y sentido opuestos. Si el cue cuerpo rpo est está á en equ equil ilibr ibro, o, ent entonc onces es se debe cumplir que:

[

M  A = 0 ]

Para que un cuerpo este en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas, éstas deben tener igual línea de acción, igual magnitud, y en sentidos opuestos. •

Equilibrio de cuerpos rígidos sometidos a la acción de 3 fuerzas. Si un cuerpo rígido sometido a la acción de tres fuerzas está en equilibrio, si las tres fuerzas son paralelas o concurrentes. Si el cuerpo está en equilibro, entonces se debe cumplir que: Sea un sól ólid ido o rí rígi gido do som omet etid ido o a la acci acción ón de tr tres es fuer fuerza zas s no pa para rale lela las s entre sí. La

fu fuer erz za

F 1

obliga obli gato tori riam amen ente te,, punto común O.

y

F 3

se

ti tien enen en,,

qu que e

co cort rtar ar

en un

 

Si aplicamos sumatoria de momentos respecto a O, lógicamente las fuerzas F 1 y F 3  no realizan momento respecto a dicho punto, pues sus líneas de acción pasan por dicho punto (el brazo es cero).

[

M O = 0 ]

Entonc Ento nces es pa para ra qu que e el só sóli lido do rí rígi gido do esté esté en eq equi uili libr brio io no qu qued eda a otra otra alternativa de que la línea de acción de F 2  pase, también por el punto O

Si qu quer erem emos os de dete term rmin inar ar las las reac reacci cion ones es en lo los s apo apoyo yos s en el si sigu guie ient nte e diagrama de cuerpo libre.

Para la solución del problema se aplican:

∑ F  ∑ F 

= 0

 X 

Y 

= 0

se puede determinar A X; ∑ M  A se puede determinar AY

= 0

se pue puede de det determ ermina inarr

By;

Pero también:

∑ M  ∑ F 

 A

 X 

= 0

= 0

se puede deter determinar minar By; ∑ M B se puede determinar AX.

= 0

se puede deter determinar minar AY;

se puede deter determinar minar By; ∑ M B se puede determinar AX.

= 0

se puede deter determinar minar AY;

O también:

∑ M  ∑ M 

 A

C 

= 0

= 0

O sea, que son varias las combinaciones de ecuaciones de equilibrio que se pueden aplicar para solucionar el problema, pero hay que tener presente

 

que sólo se deben aplicar 3 ecuaciones, porque estamos trabajando en el plano.

 

Conclusiones En esta conferencia analizamos las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio estático de sólidos rígidos.

“Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula se hace cero, la partícula esta en en equilibrio”.

Es decir: F 

0  

∑ M 

O

∑ ( r 

)

F  = 0

Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un Sólido Rígido. Descom Desc ompo poni nien endo do la las s fuer fuerza zas s y ca cada da mo mome ment nto o en su sus s co comp mpon onen ente tes s rectangulares, obtenemos las 6 expresiones escalares siguientes. F

=0

 

F

=0

  ∑F

=0

 

X Z “Se dice que un Ycuerpo rígido esta en equil equilibrio ibrio cuando todas las M = 0   M = 0   M = 0   ∑ fuer fuerza s ex exte tern rnas as qu que e ac actú túan anZ so sobr bre e el fo form rman an un si sist stem ema a de X zas  Y fuerzas equivalente a cero”.

Bibliografía •

Mecánica Vectorial para Ingenieros. (Tomo I), Beer.