Re Son an CIA

RESONANCIA

Resonancia es un proceso de oscilaciones forzadas de frecuencia tal que la amplitud de las mismas sea máxima a igualdad de las condiciones restantes. Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

Resonancia serie

.

.

La corriente es:

De módulo

I=

U ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ R + j ⎜⎜ ϖ L − ϖ C ⎝ ⎠

U

I=

⎛ 1 ⎞ ⎟ R + ⎜⎜ ϖ L − ϖ C ⎟⎠ ⎝

2

2

Para

ω0

ϖ0 L =

1 w0

.

Pulsación de resonancia

En resonancia

.

U I0 = R

ϖ0 =

1 LC

f0 =

1 2 π ϖ0

VL0 = VC0

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

2

Análisis del factor de mérito .

.

.

U L0

U = j ϖ 0 L I0 = j ϖ 0 L R .

.

U

U L0 = ϖ0 L

.

V C0

1

.

.

U =−j I0 = − j ϖ0 C ϖ0 C R

Otra definición de Q

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

1

Q=2π

R

U L0 ϖ 0 L = =Q U R

. .

VC =

1

U

ϖ0 C R

Máxima energía almacenada Energía disipada por ciclo

UC 0 U

=

1 =Q ϖ0 C R

1 L I 2máx ϖ L = 0 Q = 2 π 22 R I máx 1 R 2 f0 1 C U 2máx 1 Q = 2 π 22 = ϖ0 C R 1 I máx R 2 f0

3

Resonancia - Energía u c = U cmax cos[ϖ 0 t ]

Energía en C

2

1 1 w = w L + w C = L i 2 + C u C2 2 2

1.5 1

1 1 2 cos 2 [ϖ 0 t ] w = L I 2max sen 2 [ϖ 0 t ] + C U max 2 2

0.5 wt

1 1 w = w L + w C = L I 2max = C U 2max 2 2

2

4

1 ϖ0 C

= I max

8

-0.5

Tensión en C

-1

U Cmax = I max

6

L C Energía total

modulo 2

Energía en L 2

1.5

1.5 1

1

0.5

0.5

Energía en C

Energía en L

wt 2

4

6

8

wt 2

-0.5

4

6

8

-0.5

-1

Corriente en L Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

-1

4

Análisis de la impedancia Impedancia compleja

Circuito serie R - L - C

1 ⎞ ⎛ Z = R + j ⎜ ϖL − ⎟ ϖC ⎠ ⎝

z =

1 ⎞ ⎛ R + ⎜ ϖL − ⎟ ϖC ⎠ ⎝ 2

2

Corriente fasorial .

I =

.

V 1 ⎞ ⎛ R+j ⎜ ϖ L− ⎟ ϖC ⎠ ⎝

Corriente modular

cos ϕ =

R 1 ⎞ ⎛ R2 + ⎜ ϖL− ⎟ ϖC ⎠ ⎝

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

V

I = 2

2 ⎛

1 ⎞ R +⎜ ϖ L− ⎟ ϖC ⎠ ⎝

2

Factor de potencia

5

Evolución de parámetros

mho Ω[ohm]

R1 R2 R3

Reactancia Inductiva; ωL

5

3 2

Resistencia; R pulsación [w]

1 0 -1 -2

w0

Admitancia

Reactancia, resistencia

4

Reactancia Capacitiva; -1/ωC

-3 -4 -5

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

w0

pulsación ω

6

Evolución de parámetros Corriente en función de la frecuencia

Defasaje en función de la frecuencia

A

Corriente

Q1 Q2 Q3

Q1 Q2 Q3

grados 90 60

Fase

30 0

w0

pulsación (w)

-30 -60

w0

pulsación

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

w

-90

7

Variación de Z con la frecuencia

Para

R =0;

f (ϖ ) = 0

con

f ( ϖ ) = ϖL − ϖ0L =

1 ϖC

1 ϖ 0C

No existe continuidad dedlaZ derivada 1en = − 2 −L ωL=1/ωC dϖ ϖ C

En ϖ 0 se tiene punto anguloso

ϖ−

dZ dϖ

módulo 5 4

Para

3

R ≠0;

f (ϖ) = Minimo

2

R=0

1

w wo 1

2

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

3

4

5

0

= L+ ϖ+

1 ϖ 02 C

1 ⎞ ⎛ f ( ϖ ) = R + ⎜ ϖL − ⎟ ϖ C ⎝ ⎠ 1 con ϖ0L = ϖ 0C 2

2

= Z

dZ continua ∀ϖ dϖ 8

Variación de la tensión en la inductancia .

•

UL =

•

jϖL

1 ⎞ ⎛ R + j ⎜ ϖL − ⎟ ϖC ⎠ ⎝

U

UL = UL =

Datos: L = 1hy , C = 1F , R = variable , U = 1V R = 2,5 Ω

Q = 0,4

R = 0,707 Ω

Q = 0,707

R = 0,5 Ω

Q = 2,0

para

⎛ ϖ ϖ0 ⎞ ⎟⎟ − 1 + Q ⎜⎜ ϖ ϖ ⎝ 0 ⎠

2

2

ϖL 1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ ϖL − ⎟ ϖC ⎠ ⎝

dU L =0 dϖ

2

U

resulta ϖ =

2 Q2 2 Q 2 −1

ϖ0

módulo UL mó dulo UL 1 21

0.8 0.8 1.5 0.6 0.6 1 0.4 0.4 0.5 0.2 0.2 22

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

ϖ L I0

44

66

88

10 10

wo ww wo

9

PUNTOS DE POTENCIA MITAD Datos del circuito Q = 20 ,

ω0 = 1000

AB = ϖ 2 − ϖ1

1 − ϖ 1L = R ϖ 1C 1 ϖ 2L − =R ϖ 2C

módulo I

Imax

1 0.8

0,7 Imax

ϖ1 =

−R+

R 2 + 4L / C 2L

R + R 2 + 4L / C ϖ2 = 2L

0.6

Q0 =

0.4 0.2 w 900

1000

ω1 Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

ω2

1100

1200

ϖ0 =

ϖ0 AB

ϖ1 ϖ 2 10

CURVA UNIVERSAL DE RESONANCIA .

I I0

=

R0 1 ⎞ ⎛ R + j ⎜ ϖL − ⎟ ϖC ⎠ ⎝

con

I0 =

U R0

Variando ω en un entorno de ω0

δ=

f − f0 ϖ − ϖ0 = f0 ϖ0

ϖ = ϖ 0 ( δ + 1)

δ des int onia relativa

.

I = I0

R0

⎛ ϖ 02 L C (δ + 1)2 − 1 ⎞ ⎟ R + j⎜ ⎜ ϖ 0 (δ + 1)C ⎟⎠ ⎝

=

1 R δ2 + 2 δ + jQ R0 δ +1

Para un entorno reducido de ϖ

ϖ R ≈ = δ +1 R 0 ϖ0

.

I = I0

1 ⎛δ+2⎞ δ +1+ jQ δ ⎜ ⎟ ⎝ δ +1 ⎠

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

≅

1 1 = 1+ jQ δ 1+ j2 a

a = Qδ

des int onia fraccional relativo

11

GRÁFICA DE LA CURVA UNIVERSAL DE RESONANCIA

Y I 1 = = Y0 I0 1+ j 2 a Modulo 1

HL

Módulo

y = y0

Parte real

⎛ Y⎞ 1 ⎟⎟ = Re ⎜⎜ 2 ⎝ Y0 ⎠ 1 + 4 a

Parte imaginaria

⎛Y⎞ − 2a Im ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⎝ Y0 ⎠ 1 + 4 a

Y Yo

-2

-1

1 + 4a2

Parte Real 1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 a

-3

1

1

2

3

Parte Imag

HL

HL Y Yo

a -3

-2

-1

1

2

3

Y Yo

0.4 0.2 a -3

-2

-1

1

2

3

-0.2 -0.4

12

Parámetros de la curva universal de resonancia

Máximos parte imaginaria

1

Modulo

Parte real

0.8

⎛ Y⎞ d ⎜⎜ Im ⎟⎟ ⎝ Y0 ⎠ = da

0.6 0.4 0.2 -3

-2

-1

1 -0.2 -0.4

Parte imaginaria

⎛Y⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Y0 ⎠

2

3

⎛Y⎞ 1 Im ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ Y0 ⎠ a = −1 / 2 2 ⎛Y⎞ Re ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Y0 ⎠

= a = ±1 / 2

1 2

⎛ 2 a ⎞⎟ d ⎜⎜ − 2⎟ ⎝ 1+ 4a ⎠ = 0 da

= a = ±1 / 2

⇒

a=±

1 2

⎛Y⎞ 1 Im ⎜⎜ ⎟⎟ =− 2 ⎝ Y0 ⎠ a =1 / 2

1 2

a = ±1/2 son puntos de potencia mitad

13

Resonancia paralelo u = U m sen [ϖ t ] iR = Um

1 sen [ϖ t ] R

i = I m sen [ϖ t − ϕ] π⎞ ⎛ i b = U m (b L − bC ) sen ⎜ ϖ t − ⎟ 2⎠ ⎝

p = ui = u (i R + i B ) = p u + pf p u = U 2m

1 sen 2 (ϖ t ) R

π⎞ ⎛ pf = U 2m (b L − bC )sen (ϖ t ) sen ⎜ ϖ t − ⎟ 2⎠ ⎝

En resonancia pf = 0

bL = bC

ϖ0 =

Factor de mérito Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

Q=2π

ϖ 0C =

1 ϖ0L

1 LC

Máxima energía almacenada R = Energía disipada por ciclo ϖ0L 14

Evolución de parámetros Admitancia con G≠0

Susceptancia bC

módulo 4

Conductancia

2 w wo 0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 Susceptancia bL

Admitancia con G=0

-4

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

15

Resonancia en circuito paralelo

YT =

Im [Y ] = 0

1 + jϖC R L + jϖL

ϖ0 =

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

L − C R 2L = L

1 LC

C R 2L 1− L

16

Resonancia en circuito paralelo

YT =

⎛ R ⎞ 1 1 R + =⎜ 2 L 2 + 2 C 2 ⎟+ R L + j x L R C − j x C ⎜⎝ R L + x L R C + x C ⎟⎠

Im [Y ] = 0

RL = RC =

ϖ0 =

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

ϖ0 = L/C L/C L/C

R 2L − L / C R C2 − L / C

Re sonacia ∀ϖ

L/C

RL = RC ⎧R L > ⎨ R ⎩ C ⎧⎪R L > ⎨ ⎪⎩R C <

1 LC

⎛ x ⎞ x j⎜ 2 C 2 − 2 L 2 ⎟ ⎜R +x R L + x L ⎟⎠ C ⎝ C

o o

1 LC

⎧R L < ⎨ R ⎩ C ⎧⎪ R L < ⎨ ⎪⎩R C >

L/C L/C L/C

∃ϖ 0 no ∃ ϖ 0

17

Ejemplo Encontrar el valor de RL para lograr la resonancia en el circuito de la figura con una frecuencia fija. De la expresión YT =

⎛ R ⎞ 1 1 R + = ⎜ 2 L 2 + 2 C 2 ⎟+ R L + j x L R C − j x C ⎜⎝ R L + x L R C + x C ⎟⎠

xC

En resonancia Con

zC =

R C2

R C2

+

x C2

Se obtiene

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

+

x C2

=

xL R 2L

+

x 2L

L=

⎛ x ⎞ x j⎜ 2 C 2 − 2 L 2 ⎟ ⎜R +x R L + x L ⎟⎠ C ⎝ C

L=

(

) (R

1 ⎡ 2 C R C + x C2 ± 2 ⎢⎣

2 C

)

+ x C2 − 4 R 2L x C2 ⎤ ⎥⎦

1 ⎡ 2 C z C ± z C4 − 4 R 2L X C2 ⎤ ⎥⎦ 2 ⎣⎢

z C4 > 4 R 2L x C2

∃ L1 y L 2

z C4 = 4 R 2L x C2

L=

z C4 < 4 R 2L x C2

no ∃ resonancia

p / resonancia

1 C z C2 2 18

Resonancia en circuitos no disipativos módulo X 4 2 w 1

2

3

4

Reactancia

-2 -4

módulo 4

Susceptancia

2

w 1

2

3

4

-2 -4

Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

Reactancia 19

Resonancia en circuitos no disipativos módulo x 10 8 6 4 2 w 0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 -4

Las frecuencias de resonancia interna son 3 y dos externas. Para ω 0 la X tiende a debido a L1.

 debido a C1,

Para ω

 la X tiende a

0

La frecuencia de resonancia paralelo permanece en la misma frecuencia y se tienen dos frecuencias de resonancia serie por la interacción del circuito serie y el paralelo. Análisis de Circuitos 1 Escuela de Ingeniería Eléctrica

20