RDM

RESISTANCE DES MATERIAUX

F.Golay I.S.I.T.V.

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I.S.I.T.V.

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Résistance des Matériaux

Ce cours de résistance des matériaux a pour objectif d'approfondir la mécanique des solides élastiques, puis à partir de la mécanique des milieux continus, nous introduirons la théorie des poutres. Dans une première partie, nous étudierons la démarche qui nous permet l'établissement des équations de la théorie des poutres (une démarche similaire pourrait être utilisée pour les plaques et coques). Dans une deuxième partie, nous nous attacherons à exposer les outils classiques de la théorie des poutres: étude de cas simples, méthodes énergétiques, …etc… La résistance des matériaux est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des structures. Même si d'autres méthodes (par exemple les éléments finis) sont en général utilisées, un calcul rapide de RDM permet de vérifier les ordres de grandeur et de juger de l'opportunité d'utiliser d'autres méthodes plus complexes.

Ce polycopié est en perpétuel correction (quand j’en prends le temps). C'est pourquoi, je serai reconnaissant aux étudiants de m'exposer toute suggestion susceptible d'en améliorer le contenu.

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SOMMAIRE

RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS I - CINEMATIQUE ............................................................................................................................................7 I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ........................................................................................7 I - 2 Déformation......................................................................................................................................8 I - 3 Cas des petites perturbations............................................................................................................9 I - 4 Conditions de compatibilité ............................................................................................................10 II - STHENIQUE .............................................................................................................................................11 II -1 Forces.............................................................................................................................................11 II - 2 Contraintes ....................................................................................................................................11 II -3 Equilibre.........................................................................................................................................13 II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes............................................................................18 III - LOI DE COMPORTEMENT POUR LES SOLIDES ELASTIQUES ......................................................................21 III - 1 Approche expérimentale: essai de traction ..................................................................................21 III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) .......................................................................22 III - 3 Théorème de superposition ..........................................................................................................24 III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes .........................................................24 III - 5 Thermoélasticité...........................................................................................................................24 THEORIE DES POUTRES I - DEFINITIONS, HYPOTHESES DE BERNOUILLI ............................................................................................25 I - 1 Définition d'une poutre ...................................................................................................................25 I - 2 Notations.........................................................................................................................................25 I - 3 Hypothèse de Bernouilli..................................................................................................................26 II - DEPLACEMENTS ET FORCES GENERALISES ..............................................................................................27 II - 1 Déplacement généralisé ................................................................................................................27 II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ......................................................................................28 II - 3 Forces généralisées .......................................................................................................................28 III - DEFORMATION ET CONTRAINTES GENERALISEES ..................................................................................29 III - 1 Déformations généralisées...........................................................................................................29 III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs.....................................................................................31 III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre............................................................................32 IV - LOI DE COMPORTEMENT ELASTIQUE LINEAIRE .....................................................................................34

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Résistance des Matériaux ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

I - TRACTION OU COMPRESSION ...................................................................................................................36 I - 1 Définition ........................................................................................................................................36 I - 2 Déformations et contraintes............................................................................................................36 II - TORSION .................................................................................................................................................37 II - 1 Définition.......................................................................................................................................37 II - 2 Déplacement, contraintes, déformations .......................................................................................37 II - 3 Exemple .........................................................................................................................................39 III - FLEXION................................................................................................................................................40 III - 1 Flexion pure .................................................................................................................................40 III - 2 Flexion pure plane .......................................................................................................................40 III - 3 Flexion plane simple ....................................................................................................................41 III - 4 Exemples ......................................................................................................................................42 III - 5 Etude de la déformation des poutres en flexion ...........................................................................44 METHODES ENERGETIQUES I - THEOREMES DE L'ENERGIE EN ELASTICITE LINEAIRE ...............................................................................49 I - 1 Notations et définitions ...................................................................................................................49 I - 2 Théorème fondamental ...................................................................................................................50 II - ENERGIE DE DEFORMATION EN RDM .....................................................................................................51 II - 1 Cas général ...................................................................................................................................51 II - 2 Cas particulier de la Traction/Compression .................................................................................51 II - 3 Cas particulier de la flexion plane simple.....................................................................................52 II - 4 Cas particulier de la torsion..........................................................................................................52 III - THEOREME DE RECIPROCITE DE MAXWELL-BETTI ................................................................................53 IV - THEOREME DE CASTIGLIANO ET APPLICATIONS ....................................................................................54 IV - 1 Théorème de Castigliano .............................................................................................................54 IV - 2

Conséquence: Principe du travail minimum ou théorème de Ménabréa .............................55

IV - 3 Exemples ......................................................................................................................................56 V - EQUATION DE BERTRAND DE FONTVIOLANT ..........................................................................................58 V - 1 Enoncé ...........................................................................................................................................58 V-2

Application: Evaluation des réactions hyperstatiques surabondantes .....................................59

V-3

Application: Détermination des déplacements et rotations ......................................................60

FLAMBEMENT I - STABILITE D'UNE POUTRE EN COMPRESSION ............................................................................................62 II - ETUDE DE QUELQUES CAS SIMPLES .........................................................................................................63 II-1 Colonne Rotule-Rotule ....................................................................................................................63

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-6II-2 Colonne Encastrée-Libre.................................................................................................................65 II-3 Colonne Encastrée-Rotule...............................................................................................................65 III - GENERALISATION: FORMULE D'EULER..................................................................................................66 IV - EXEMPLE ..............................................................................................................................................68 COMPORTEMENT AU DELA DU DOMAINE ELASTIQUE - CHARGES LIMITES I - INTRODUCTION ........................................................................................................................................70 I-1 Critères de défaillance......................................................................................................................70 I-2 Comportement du matériau ..............................................................................................................70 II - ANALYSE LIMITE EN TRACTION ..............................................................................................................71 II-1 Analyse élastique.............................................................................................................................71 II-2 Analyse élastique-plastique .............................................................................................................72 II-3 Décharge .........................................................................................................................................73 III - ANALYSE LIMITE A LA TORSION ............................................................................................................74 III-1 Généralités .....................................................................................................................................74 III-2 Exemple..........................................................................................................................................75 IV - ANALYSE LIMITE A LA FLEXION ............................................................................................................76 IV-1 Généralités .....................................................................................................................................76 IV-2 Exemple: Méthode "pas à pas".......................................................................................................77 IV-3 Théorème énergétique ....................................................................................................................79 BIBLIOGRAPHIE.........................................................................................................................................82 ANNEXE.........................................................................................................................................................84

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Résistance des Matériaux

RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

I - Cinématique I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ...    L'espace physique est rapporté à un repère orthonormé direct (O, e 1 , e 2 , e3 ). L'ensemble des particules ou points matériels constituant le milieu continu étudié, occupe à chaque instant t, un ensemble de positions dans l'espace: c'est la configuration du système à l'instant t, noté Ω(t) (d'intérieur Ω(t) et de frontière ∂Ω(t)). On introduit aussi la notion de configuration de référence: c'est la configuration particulière du système à un instant t0 fixé. Souvent on prendra Ω0 = Ω (0) , et on parlera alors de configuration initiale.  Toute particule M0 de Ω0 est repérée par son vecteur position X(t) dans la configuration  de référence. Toute particule M de Ω(t) est repérée par son vecteur position x(t) dans la configuration actuelle (à l'instant t).  

ϕ ( X ,t)

Ω0

 e3  e2  e1

Ω   x( X , t )

  u( X , t )

M  X

M

O Configuration de référence à l’instant t0

Configuration actuelle à l’instant t

Figure 1 La position de chaque particule M sera donc déterminée si on connaît sa position dans la configuration de référence et une fonction Φ telle que:   x(t) = Φ X, t (1)    Φ définit le mouvement par rapport à (O, e 1 , e 2 , e3 ) . Dire que le milieu est continu, c'est

( )

dire que Φ est une fonction continue et biunivoque de X.  X et t définissent les variables de Lagrange  x et t définissent les variables d'Euler

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Rappel de MMC

Le déplacement par rapport à la configuration Ω0 , à l'instant t, de la particule M0 est le vecteur

   u(X, t) = x(X, t) − X

(2)

I - 2 Déformation Considérons deux particules voisines X et X+dX. A l'instant t ces particules occupent la     position x et x+dx avec dx(t) = Φ X + dX, t − Φ X, t

(

) ( )

Par définition du gradient on écrit:      2 ∂Φ  X, t dX + Θ dX  Φ X + dX, t = Φ X, t + ∂X  

(

)

( )

( )

Soit

( )

( )

( )

 ∂Φ  F X, t = X, t (3) ∂X F est une application linéaire qui fait passer de l'espace vectoriel dans lequel peut varier   dX dans l'espace vectoriel où varie à priori dx . Cette application linéaire, appelée tenseur gradient, permet donc le passage de la configuration Ω0 à la configuration Ω(t).    dx = F X, t dX avec

En notation indicielle,

Fij =

∂Φ i ∂x i = ∂X j ∂X j

 ∂x 1   ∂X1 ∂x F= 2  ∂X  1  ∂x 3  ∂X1

∂x 1 ∂X 2 ∂x 2 ∂X 2 ∂x 3 ∂X 2

∂x 1   ∂X 3  ∂x 2  ∂X 3   ∂x 3  ∂X 3 

Remarques: * Transformation d'un élément de volume dV dans Ω0 en un élément de volume dv dans Ω(t).

()

dv = det F dV

 * Transformation d'un élément de surface N dS dans Ω0 en un élément de surface dans Ω(t). -T   n ds = det F F N dS Le tenseur gradient décrit la transformation locale au voisinage d'une particule donnée. Afin de rendre compte des déformations, c'est à dire des changements de forme autour de cette particule, on s'intéresse à l'évolution du produit scalaire de deux vecteurs matériels pris respectivement dans les deux configurations Ω0 et Ω(t). Considérons trois particules voisines X, X+dX, X+dX'. Après déformations, elles occupent dans Ω(t) les positions respectives x, x+dx, x+dx'.

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Résistance des Matériaux

(

)(

)

      ∂x   ∂x ′   dx ⋅ dx ′ = F(X, t) dX ⋅ F(X ′, t ) dX ′ =  k dX i  ⋅  k dX ′j    ∂X i   ∂X ′j  d'où sa variation autour de la transformation    ∂x ∂x ′k    dx ⋅ dx ′ - dX ⋅ dX ′ =  k − δ ij dX i dX ′j  ∂X i ∂X ′j    soit

      dx ⋅ dx ′ - dX ⋅ dX ′ = 2dXεdX ′

en posant ε=

1 T   F (X, t )F(X, t ) − 1 2 

(4)

L'application linéaire ε est appelée tenseur des déformations. Cette application est    symétrique mais dépend bien sûr de la base (O, e 1 , e 2 , e3 ) initialement choisie.

Autre écriture: D'après (2) et (3) F(X, t) =

∂x ∂u (X, t) = 1 + (X, t) ∂X ∂X

soit T T   1  ∂u ∂u ∂u ∂u  ε =  (X, t) + (X, t)+ (X, t) (X, t)  2  ∂X ∂X ∂X ∂X   

(5)

ou encore en notation indicielle 1  ∂u ∂u j ∂u k ∂u k  + ε ij =  i + 2  ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j 

I - 3 Cas des petites perturbations  ∂u Cette hypothèse correspond au cas où u (X, t ) et (X, t ) sont petits. ∂X En reprenant (5) et en ne retenant que les termes d'ordre 1, on obtient: T   1  ∂u ∂u  ε HPP =  (X, t) + (X, t)  2  ∂X ∂X    ou encore en notation indicielle 1  ∂u ∂u j  ε ij =  i + 2  ∂X j ∂X i 

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(6)

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Rappel de MMC

I - 4 Conditions de compatibilité  A tout déplacement u on fait correspondre une déformation ε . On peut aussi se poser le problème inverse. Ce problème est dit 'problème de compatibilité géométrique d'un champ de

déformation', ou encore 'problème d'intégrabilité d'un champ de déformation'. Les conditions de compatibilité peuvent être établies dans le cas général, cependant nous ne les établirons que dans le cas des petites perturbations. Décomposons maintenant le gradient des déplacements en une partie symétrique ε et une partie antisymétrique ω . ∂u (X, t) = ε(X, t ) + ω(X, t ) ∂X T   1  ∂u ∂u  ω=  (X, t) − (X, t)  2  ∂X ∂X   

ωij =

1  ∂u i ∂u j − 2  ∂X j ∂X i

   

On a ωij,k = ε ki, j − ε jk ,i soit en dérivant une nouvelle fois ω ij,kl = ω ij,lk ∀ i,j,k,l dans {1,2,3} ∀i, j, k, lε ij, kl + ε kl, ij − ε ik , jl − ε jl, ik = 0

(7)

Réciproquement, si ε vérifie (7), alors les formes différentielles dωij = ε ki , j − ε jk ,i dx k

(

)

sont exactes; elles permettent donc de construire le champ ω de tenseur antisymétrique. On vérifie ensuite que les formes différentielles du i = (ωik + ε ik )dx k

 sont exactes, d'où la possibilité de construire un champ de déplacement u (X,t) défini dans Ω0 .

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Résistance des Matériaux

II - Sthénique II -1 Forces Elles résument les effets mécaniques, autres que cinématiques, exercés sur le milieu continu considéré par le reste du domaine physique. Leur schématisation à chaque instant  repose sur la définition d'un champ de vecteur Φ (x,t) et d'une mesure positive ω, définis sur  la configuration actuelle Ω(t). Φ (x,t) est une densité de force pour la mesure ω.  * Si ω est une mesure de volume, alors Φ (x,t) est une force volumique (densité volumique Ω(t) de la configuration actuelle, par la fonction   de force) définie dans 3 f: x ∈Ω(t) → f (x, t) ∈ ℜ  * Si ω est une mesure de surface, alors Φ (x,t) est une force surfacique (densité surfacique de force) définie sur ∂ΩF(t) de la configuration actuelle, par la fonction    F : x ∈∂Ω F (t) → F(x,t) ∈ ℜ 3 * ... etc ...

Remarques: * Les forces sont définies sur la configuration actuelle. * A un instant donné et en un point donné x de ∂Ω(t), on ne peut imposer à la fois le déplacement et la force !. Mais l'un des deux doit être imposé. On note ∂ΩF(t) la frontière où la force est imposée, et ∂ΩU(t) la frontière où le déplacement est imposé. Dans le cas des appuis mobiles, les composantes non imposées cinématiquement le sont pour les forces * Le monde extérieur au milieu considéré doit, pour imposer le déplacement U(t) au bord  ∂ΩU(t), exercer des forces que nous noterons R (x,t) . Comme elles sont à priori inconnues, nous les appellerons réactions pour éviter de les confondre avec les autres forces qui, elles, sont données.

II - 2 Contraintes

e3

II - 2.1 Notion de Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes Soit un corps (C) en équilibre par application d'un système d'actions mécaniques extérieures. Imagi-nons e2 dF

O e1

Σ

δΣ M

qu'une surface Σ divise (C) en deux parties (1) et (2). La  n

partie (1) est en équilibre sous les actions mécaniques extérieures qui lui sont appliquées et les actions

ds

mécaniques exercées par la partie (2). Nous admettrons que sur chaque élément de surface dΣ de Σ, (2) exerce sur   (1) une force dF( x , t , n )1 / 2 de densité superficielle   T(x, t, n ) .

    dF( x, t , n )1 / 2 = T( x , t , n )dΣ (8)   T ( x , t , n ) est le vecteur contrainte au point x, relativement à la facette dΣ définie par son

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Rappel de MMC

 vecteur normal n . La densité surfacique de forces exercées en x dépend de x, t et aussi de l'orientation de la  surface Σ au voisinage de x. Elle est linéairement dépendante de n . On introduit alors l'application σ telle que:    T( x , t , n ) = σ( x , t )n

(9)

L'application σ (x,t) s'appelle le tenseur des contraintes de Cauchy en x à l'instant t; il caractérise, dans la configuration actuelle, les efforts intérieurs de cohésion exercés sur une  partie du solide à travers l'élément de surface n dΣ.

II - 2.2 Autre écriture du tenseur des contraintes   En utilisant la remarque du §I-2 pour exprimer n dΣ en fonction de N dS, (8) devient:     dF x (X, t ), t , n ( N, t ) = Π N(X)dS

(

)

où Π est le tenseur     Π (X,t): N ∈ℜ 3 → Π(X, t, N ) = Π(X,t)N

∈ ℜ3

défini par Π (X, t ) = (det F)σF

−T

Cette application linéaire Π (X, t ) , définie pour X ∈Ω 0 , s'appelle le premier tenseur des

contraintes de Piola-Kirchoff en X à l'instant t; la composante Πij est la iième composante du  vecteur contrainte exercée sur la déformée d'une surface unité, normale à e j , de la configuration de référence. On prendra garde au fait que le tenseur Π n'est pas symétrique. Si maintenant on cherche le vecteur "force de cohésion" dans la configuration de référence   −1     dF0 X, t , N = F (X, t )dF x (X, t ), t , n ( N, t ) = SN(X)dS

(

)

(

)

où S est le tenseur défini par −1

S=F Π Cette application linéaire S(X,t) , définie pour X ∈Ω 0 , s'appelle le second tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff en X à l'instant t. Attention, sa composante Sij n'est pas la iième composante du vecteur contrainte exercée sur la déformée d'une surface unité, normale à  e j , de la configuration de référence, mais seulement la iième composante de son transporté dans la configuration de référence. Selon le jeu d'écriture adopté, on a donc trois descriptions des contraintes:

( )

σ = det F

−1

T

( )

Π F = det F

−1

FSF

T

(10)

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Résistance des Matériaux

II -3 Equilibre II - 3.1 Le Principe des Puissances Virtuelles Pour schématiser les efforts mis en jeu, il est commode d'imaginer des mouvements fictifs (ou virtuels) et d'analyser le travail ou la puissance qui en résulte. Par exemple, pour évaluer les forces de gravité agissant sur un objet, on peut imaginer de le soulever (mouvement virtuel de bas en haut). II-3.1.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972) Un milieu matériel étant isolé, on peut distinguer les actions extérieures qui agissent sur le milieu, des actions intérieures qui représentent les liaisons existant entre toutes les parties du milieu.

Axiome d'objectivité La puissance virtuelle des efforts intérieurs associée à tout mouvement rigidifiant est nulle. Axiome d'équilibre Pour tout milieu matériel repéré dans un référentiel absolu, à chaque instant et pour tout mouvement virtuel, la puissance virtuelle des quantités d'accélération ∏a est égale à la somme des puissances virtuelles des efforts intérieurs ∏i et des efforts extérieurs ∏e. II-3.1.2 Position du problème F

e3

n

e2

O e1

f

Ω(t )

Σ(t )

Soit un milieu continu Ω(t) d'intérieur Ω(t) et de frontière ∂Ω(t). Isolons maintenant un domaine Σ(t)  de frontière ∂Σ(t) intérieur à Ω(t), et soit n la normale en un point de ∂Σ (t). A un instant t fixé, un mouvement virtuel défini par une vitesse  virtuelle δv est appliqué à Σ(t). Cette vitesse est supposée continue et continûment dérivable sur Σ(t).

II-3.1.3 Puissance virtuelle des efforts intérieurs Pour déterminer la puissance virtuelle des efforts intérieurs nous ferons les hypothèses suivantes: * Πi admet une densité volumique pi: Π i =∫∫∫Σ p i dx



* Πi est en chaque point une forme linéaire des valeurs en ce point de δ v et de ses dérivées premières:

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Rappel de MMC

En décomposant le gradient des vitesses virtuelles en une partie symétrique δD et une partie antisymétrique δW ,

∂δv =δD+δW ∂x T  1  ∂δv ∂δv  δW =  − 2  ∂x ∂x    T  1  ∂δv ∂δv  δD=  + 2  ∂x ∂x   

1  ∂δv i ∂δv j  δWij =  − 2  ∂x j ∂x i  1  ∂δv i ∂δv j  δD ij =  + 2  ∂x j ∂x i 

la densité volumique des efforts intérieurs devient: pi = Ai δvi + Bij δwij - σij δDij

(11)

Le premier axiome du principe des puissances virtuelles impose que pour tout mouvement de solide rigide la puissance des efforts intérieurs soit nulle. D'où:   - Soit un mouvement de translation: δv ≠ 0 , δW=0 et δD=0 alors

  Π i =∫∫∫Σ p i dx =∫∫∫Σ A ⋅ δvdx =0 ∀ ∑ dans Ω      soit A ⋅ δv = 0 ∀ δv , ou encore A = 0   - Soit un mouvement de rotation: δv = 0 , δW≠0 et δD=0 alors

Π i = ∫∫∫ pi dx = ∫∫∫ B:δW dx = 0 Σ

Σ

∀ Σ dans Ω

soit B : δW =0∀δW , ou encore B = 0 . Donc en définitive:

Π i =− ∫∫∫Σ σ:δDdx

(12)

On peut montrer que le tenseur σ introduit ici correspond bien au tenseur des contraintes de Cauchy exprimé au §II-2.1. II-3.1.4 Puissance virtuelle des efforts extérieurs Les efforts extérieurs comprennent - des efforts exercés à distance par des systèmes extérieurs à Ω, supposés définis par une  densité volumique de forces f ,  - des efforts de cohésion schématisés par une densité surfacique de force T sur ∂∑     Π e =∫∫∫Σ f ⋅ δvdx + ∫∫∂Σ T ⋅ δvdx (13)

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Résistance des Matériaux

II-3.1.5 Puissance virtuelle des quantités d'accélération  Si γ est l'accélération et ρ la masse volumique de chacun des points de ∑, alors   Π a =∫∫∫Σ ργ ⋅ δvdx (14)

II - 3.2 Application du Principe des Puissances Virtuelles En application du Principe des Puissances Virtuelles on obtient:       − ∫∫∫Σ σ:δDdx+ ∫∫∫Σ f ⋅ δvdx+ ∫∫∂Σ T ⋅ δvdx =∫∫∫Σ ργ ⋅ δvdx

(15)

Pour exploiter le fait que (15) est vérifié pour tout mouvement virtuel, nous allons faire  apparaître δv dans chacun des termes. En appliquant le théorème de la divergence, le premier terme devient:    ∂δv − ∫∫∫Σ σ:δDdx =− ∫∫∫Σ σ: dx=−∫∫∂Σ σ ⋅ δv ⋅ ndx + ∫∫∫Σ div x σ ⋅ δvdx ∂x Soit:         ∫∫∂Σ T−σ ⋅ n ⋅ δvdx+ ∫∫∫Σ f +div x σ−ργ ⋅ δvdx = 0∀δv

(

)

(

)

Ou encore  f +div x σ=ργ dansΣ   T=σ ⋅ n sur∂Σ

(16)

II - 3.3 Equilibre En considérant les développements du paragraphe précédent et en se ramenant au domaine Ω(t), nous pouvons donc écrire les équations d'équilibre d'un solide soumis à un champ de  forces extérieures f dans Ω(t), à un champ de forces extérieures Fe sur ∂ΩF(t) et à un  déplacement imposé U e sur ∂ΩU(t). Dans la configuration actuelle:   f ( x , t )+div x σ( x , t )=0∀x∈Ω( t )  Fe ( x , t )∀x∈∂Ω F ( t )  σ( x , t ) ⋅ n ( x , t )=  R ( x , t ) ∀x∈∂Ω U ( t )

(17) (18)

Dans la configuration deréférence:   De même, si on note f0 , R 0 et F0 les densités volumiques et surfaciques de forces mesurées dans la configuration de référence:   f 0 (X, t )+div X Π (X, t )=0∀x∈Ω 0

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(19)

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Rappel de MMC

 F0 ( x , t )∀x∈x −1 (∂Ω F ( t ), t )  Π (X, t ) ⋅ N(X, t )=  R 0 ( x , t )∀x∈∂Ω 0 U

(20)

II - 3.4 Cas des petites perturbations Reprenons (17), en l'exprimant en fonction de X ∂σ ij f i (x (X, t ), t )+ ( x (X, t ), t )=0∀x (X, t )∈Ω( t ) ∂x j

f i (x (X, t ), t )+

∂σij ∂X k

(X, t )

∂X k (X, t )=0∀X∈Ω 0 ∂x j

   ∂x ∂u Or x(X,t) = X + u(X,t) soit (X, t )=1+ ( X, t ) ∂X ∂X On peut donc écrire l'équation d'équilibre sous la forme −1

 ∂u  f i (x (X, t ), t )+ (X, t )1+ (X, t ) =0∀X∈Ω 0 ∂X k  ∂X  kj ∂σij

Sous l'hypothèse des petites perturbations, on peut alors écrire: −1

 ∂u  ∂u (X, t ) =1− ( X, t ) 1+ ∂X  ∂X  soit fi (x(X,t),t ) +

∂σ ij

  ∂u (X,t) δ jk − k (X,t)  = 0 ∂X k ∂X j  

∀ X ∈Ω 0

Enfin, en ne retenant que les termes d'ordre 0, et après avoir effectué un développement de fi au voisinage de X, on obtient: ∂σij f i (X, t )+ (X, t )=0∀X∈Ω 0 ∂X j soit

  f (X, t )+div X σ(X, t )=0∀x∈Ω 0

(21)   Le raisonnement qui a permis de remplacer f (x(X,t),t) par f (X,t), permet aussi de   remplacer Fe (x(X,t),t) par Fe (X,t) et R (x(X,t),t) par R (X,t). Donc, comme condition sur la frontière on obtient:   Fe (X, t )∀X∈∂Ω 0F σ(X, t ) ⋅ N(X, t )=  R (X, t ) ∀X∈∂Ω 0 U

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(22)

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Résistance des Matériaux

II - 3.5 Autre approche On utilise la loi fondamentale de la dynamique qui stipule que : le torseur dynamique, qui est la dérivée temporelle du torseur cinématique est égal au torseur des actions extérieures. Ce qui se met en équations sous la forme suivante, en l’appliquant au domaine d ‘étude Σ :   d  ∫∫∫Σ ρv dx = ∫∫∂Σ T dx + ∫∫∫Σ f dx dt (23)      d  ∫∫∫ OM ∧ ρv dx = ∫∫∂Σ OM ∧ T dx + ∫∫∫Σ OM ∧ f dx dt Σ  Par application des propriétés de la dérivée particulaire on peut écrire pour tout vecteur b :       ∂ρb d + div(ρb ⊗ v)  dx ∫∫∫Σ ρb dx = + ∫∫∫Σ  dt  ∂t    puis en utilisant le fait que pour tout vecteurs a et b       div(a ⊗ b) = ∇a ⋅ b + a divb on peut développer sous la forme       ∂ρb d  + ∇ρb ⋅ v + ρb divv  dx ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  dt  ∂t          ∂b  ∂ρ d  ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ + b + ρ∇b ⋅ v + ∇ρ ⊗ b ⋅ v + ρb divv  dx dt ∂t  ∂t         ∂ρ   ∂b    d ρ b dx = ρ + ∇ b ⋅ v  + b  + ∇ρ ⋅ v + ρ divv   dx  ∫∫∫Σ ∫∫∫Σ   dt  ∂t      ∂t Par définition de la dérivée particulaire :    db   ∂ρ d   ∫∫∫Σ ρb dx = ∫∫∫Σ  ρ + b  + divρv   dx dt  ∂t   dt Donc, grâce à la conservation de la masse ∂ρ  dρ  + divρv = + ρ divv = 0 ∂t dt et la définition du vecteur contrainte (8), la première équation de (23) devient :     d  dv dx = ∫∫∫Σ ργ dx = ∫∫∂Σ σn dx + ∫∫∫Σ f dx ∫∫∫Σ ρv dx = ∫∫∫Σ ρ dt dt et par application du théorème de la divergence   ∫∫∫Σ ργ dx = ∫∫∫Σ div σ dx + ∫∫∫Σ f dx .

(24)

On retrouve donc bien la forme locale de la conservation de la quantité de mouvement :   div σ + f = ργ (25)

I.S.I.T.V.

- 18 -

Rappel de MMC

II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes Le tenseur des contraintes est un tenseur symétrique. Dans tous les développements à venir, nous nous placerons dans le cas des petites perturbations pour un solide en équilibre. En conséquence, nous omettrons les variables x et t.

II - 4.1 Contrainte normale et contrainte tangentielle σn

 n

  T(n)

τ

 Considérons une facette de normale n . Tout naturellement, le   vecteur contrainte T (n ) peut être décomposé en une composante normale σn et une composante tangentielle τ.      σ n =T (n ) ⋅ n =n ⋅ σ ⋅ n et 2  2 τ = σ⋅n − n ⋅σ⋅n

( ) (

)

On dira que σn est positive en traction et négative en compression.

II - 4.2 Directions principales, contraintes principales La matrice représentant le tenseur des contraintes est symétrique, elle est donc diagonalisable. Les valeurs propres sont réelles et appelées contraintes principales (σI, σII, σIII). Les vecteurs propres, orthogonaux deux à deux, sont les directions principales    (n I , nII , nIII ). On a donc:          σ I =T (n I ) ⋅ n I ,σ II =T (n II ) ⋅ n II ,σ III =T (n III ) ⋅ n III II - 4.3 Invariants Le tenseur des contraintes possède trois invariants définis mathématiquement comme les coefficients de l'équation caractéristique det σ − α 1 . C'est à dire les quantité scalaires:

(

)

Σ I = Tr(σ) 2  1 Σ II = Tr (σ) 2 −Tr (σ ) 2 

(27)

Σ III =Det (σ)

(29)

(28)

Exprimés en fonction des contraintes principales, on obtient ΣI = σI + σII + σIII ΣII = σI σII + σII σIII + σIII σI ΣIII = σI σII σIII

II - 4.4 Cercles de Mohr Connaissant le tenseur des contraintes σ , on se propose de déterminer le domaine  engendré par l'extrémité du vecteur contrainte quand n varie. Par commodité, nous nous I.S.I.T.V.

- 19 -

Résistance des Matériaux

plaçons dans une base orthonormée dirigée suivant les directions principales de σ . Soit n1  σ1 0 0     n=n 2 et σ= 0 σ2 0  avecn12 +n 22 +n 32 =1 n   0 0 σ3   3 et

n σ    1 1 T = n 2 σ 2  n σ   3 3 D'après (23) 2 2 2 σ n = σI n1 + σ II n2 + σ III n 3 et d'après (24) 2 2 2 2 2 2 2 2 τ + σ n = σ I n1 + σII n 2 + σ III n3 Dans l'hypothèse où les contraintes principales sont distinctes, on obtient alors après résolution du système: 2 2 τ + (σ n −σ II )(σ n −σ III ) n1 = (σ I −σ II )(σ I −σ III ) n 22 =

τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ III ) (σ II −σ I )(σ II −σ III )

n 32 =

τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ II ) (σ III −σ I )(σ III −σ II )

Si on ordonne les contraintes principales de telle sorte que σI ≥ σII ≥ σIII , alors

τ 2 + (σ n −σ II )(σ n −σ III )≥0 τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ III )≤0 τ 2 + (σ n −σ I )(σ n −σ II )≥0 ou encore 2

σ +σ   σ −σ   τ + σ n − II III  ≥ II III  2 2    

2

2

2

σ +σ   σ −σ   τ 2 + σ n − I III  ≤ I III  2   2   2

σ +σ   σ −σ   τ + σ n − I II  ≥ I II  2   2  

(30)

2

(31)

2

2

(32)

Dans le plan de Mohr, l'extrémité du vecteur contrainte, d'après (31), est donc intérieure au cercle centré sur 0σn d'abscisse (σI + σIII)/2 et de rayon (σI - σIII)/2. Par contre, d'après (30) (res. (32)), l'extrémité du vecteur contrainte est extérieure au cercle centré sur 0σn d'abscisses (σII + σIII)/2 (resp.(σI + σII)/2) et de rayon (σII - σIII)/2 (resp.(σI + σII)/2).

I.S.I.T.V.

- 20 -

Rappel de MMC

τ → T σIII

σII

σI

σn

Description des Cercles principaux: Nous allons étudier la description du grand Cercle de Mohr. Les facettes concernées sont parallèles à la direction associée à la contrainte principale σII.

III → t

→ n

On constitue avec les directions I,III,II un trièdre direct     (O, e I , e III , e II ) , la normale n de la facette évoluant dans le plan I

θ

III.

I

    Et on définit l'angle θ = (I, n ), et le vecteur t tel que ( n , t ,II) soit direct.

On a alors    n =Cosθe I +Sinθe III et

   T=σ I Cosθe I +σ III Sinθe III

     En utilisant les formules de changement de base de (O, e I , e III , e II ) à ( n , t ,II), on a donc σ +σ σ −σ σ n = I III + I III Cos 2θ 2 2 σ −σ τ=− I III Sin 2θ 2 τ

σIII

σI+σ σIII 2

Lorsque la facette tourne autour de la direction de la contrainte principale σII d'un angle donné, σI − 2θ

σn

l'extrémité du vecteur-contrainte tourne sur le cercle de Mohr d'un angle double dans le sens opposé (autour du centre du cercle).

→ T

I.S.I.T.V.

- 21 -

Résistance des Matériaux

III - Loi de Comportement pour les solides élastiques Pour déterminer l'évolution d'un système déformable, nous avons déjà déterminé les équations de la cinématique et de la sthénique. A ces équations, il est maintenant nécessaire d'adjoindre une relation supplémentaire reliant les efforts internes et les grandeurs cinématiques. Cette relation, appelée Loi de Comportement, dépend du matériau considéré. La construction d'une loi de comportement est basée sur des observations expérimentales. Dans ce chapitre nous exposerons le modèle de comportement des matériaux élastiques, sous l'hypothèse des petites perturbations.

III - 1 Approche expérimentale: essai de traction Pour effectuer un essai de traction simple sur un métal,

on

utilise

une

éprouvette

cylindrique

caractérisée par: - des extrémités surdimensionnées - des congés de raccordement (pour éviter les concentrations de contrainte) - une partie médiane cylindrique dans laquelle le L champ de contrainte est supposé homogène, de

L0

S0

traction simple parallèlement à l'axe de l'éprouvette. L'essai de traction consiste à enregistrer l'évolution de l'allongement relatif de la longueur initiale L0 en fonction de la force de traction F, ou du rapport F/S0, où S0 représente l'aire initiale de la section de l'éprouvette.

σ0

La figure ci-contre représente un tel enregistrement pour un

B

F S0

acier inox. On remarque alors les propriétés suivantes: - Le diagramme est indépendant de la vitesse de chargement

A

- La partie OA du diagramme est réversible. Si on charge jusqu'à un niveau inférieur à σ0, alors la décharge décrit la même courbe OA.

C

²L L0

- La partie réversible est linéaire - Si on effectue un chargement au delà du seuil σ0, puis une décharge, l'éprouvette

permanente.

I.S.I.T.V.

présente une déformation

- 22 -

Rappel de MMC

La partie réversible du diagramme de traction est, par définition, représentative du comportement élastique du matériau. σ0 est la limite initiale d'élasticité du matériau. La linéarité du segment OA caractérise le comportement élastique linéaire du matériau.

III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) III - 2.1 Forme générale A partir des observations expérimentales on peut écrire que les contraintes dépendent linéairement des déformations. En l'absence d'effets thermique et de contraintes initiales on a:

σ( x , t )=C( x ):ε( x , t )

(33)

C est un tenseur du quatrième ordre, dont les composantes sont les coefficients d'élasticité du matériau. σ ij ( x , t )=C ijkl ε kl ( x , t ) En utilisant les propriétés des tenseurs de contrainte et de déformation, on peut montrer que: Cijkl = Cjikl Cijkl = Cijlk Cijkl = Cklij Le tenseur C , dont la matrice représentative comporte 81 composantes, ne dépend donc plus que de 21 paramètres indépendants.

III - 2.2 Matériau élastique homogène isotrope Toutes les directions sont équivalentes, de telle sorte que la loi de comportement est invariante dans toute rotation de la configuration de référence. Ce modèle s'applique à la plupart des matériaux: acier, béton, ... Si la configuration est libre de contraintes, alors la loi de comportement s'écrit:

σ=λTr (ε)1+2µε

(34)

ou encore en notation indicielle σij =λε kk δij +2µεij Les coefficients matériel λ et µ, qui dépendent de la particule considérée, sont appelés les

coefficients de Lamé. Leur expression en fonction du module d'Young E et du coefficient de Poisson ν, est E νE µ= etλ= ou 2(1+ν) (1+ν)(1−2ν)

(35)

µ(3λ + 2µ) λ E= etν = λ+µ 2( λ + µ ) avec, en inversant (34) ν 1+ν ε=− Tr (σ)1+ σ E E

(36)

I.S.I.T.V.

- 23 -

Résistance des Matériaux

III - 2.3 Matériau élastique homogène orthotrope Le matériau possède trois directions privilégiées deux à deux orthogonales. La loi de comportement est invariante par les symétries par rapport aux plans orthogonaux construits à partir de ces directions. Dans ces matériaux, on peut classer les tôles laminées, les composites tissés, le bois, certains bétons structurés, ... Dans ce cas on montre que la matrice de comportement est définie par 9 paramètres indépendants. Dans le repère principal d'orthotropie, la loi se met sous la forme: − ν12 − ν13  1  0 0 0   E E1 E1  1  − ν 23 1  − ν 21 0 0 0   σ11  ε11    E E E 2 2 ε   2  σ 22  1  22   − ν 31 − ν 32  0 0 0  ε 33   E  σ E3 E3   33  3  = σ  1 2ε12   0 0 0 0 0   12  G12 2ε 23    σ 23     1   σ  2ε13  0 0 0 0 0    13  G 23   1   0 0 0 0 0  G13 

(37)

Avec les conditions de symétrie ν12 ν 21 ν13 ν31 ν32 ν 23 = = = E1 E2 E1 E 3 E3 E2

III - 2.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse Un matériau homogène isotrope transverse est tel que la matrice de comportement est invariante par toute rotation autour d'un axe privilégié. En utilisant cette invariance, on montre que seuls 5 paramètres indépendants caractérisent le comportement. Si l'axe est porté par la direction 3, on a alors: − ν12  1  E E1  1 − ν 1  21 ε11   E1 ε   E1 22 − ν − ν 31    31 ε 33   E 3 E3  = 2ε12   0 0 2ε 23     2ε13   0 0    0 0 

− ν13 E1 − ν13 E1 1 E3

0

0

0

0

0

0

0

1 G12

0

0

0

1 G13

0

0

0

I.S.I.T.V.

 0   0  σ11   σ 22   0   σ   33   σ  0  12  σ 23    0  σ13   1   G13 

(38)

- 24 -

Rappel de MMC

III - 3 Théorème de superposition       Si ( U, f , F) et (V, g, G ) sont deux jeux de données engendrant respectivement des solutions           u et v , alors α u +β v est solution du problème de données (αU + βV,αf + β g,αF + β G ) .

III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes Les critères de résistance que nous allons définir représentent des valeurs limites pour les contraintes maximales, et permettent de ce fait de garder un caractère élastique aux déformations.

III - 4.1 Critère de Tresca Il consiste à considérer de manière indépendante les trois contraintes de cisaillement maximal du tricercle de Mohr. Soit en fonction des contraintes principales Sup{σ I −σ II , σ I −σ III , σ II −σ III }≤σ 0

III - 4.2 Critère de Von-Mises 1 (σ I −σ II ) 2 +(σ I −σ III ) 2 +(σ II −σ III ) 2 ≤σ 0 2

(

)

(39)

(40)

ou encore 1 (σ11 −σ 22 ) 2 +(σ11 −σ 33 ) 2 +(σ 22 −σ33 ) 2 +6(σ12 2 + σ13 2 + σ 232 ) ≤σ 0 2

(

)

III - 5 Thermoélasticité Tout solide soumis à un écart de température cherche à se dilater s’il le peut. S’il ne peut se dilater, alors il y a apparition de contraintes dites « d’origine thermiques ». Ce phénomène, pour des écarts de température δT faibles par rapport à la « température de repos se traduit par une loi de comportement dans le cas général sous la forme:

(

σ(x, t) = C(x) : ε(x, t) − αδT

)

(41)

où α représente le tenseur anisotrope des dilatations (en °C-1). Pour plus de rigueur, nous invitons le lecteur à se référer au polycopié du cours de Mécanique des Milieux Continus. Dans le cas où le matériau est isotrope la loi se simplifie en : σ = λ Tr( ε) 1 + 2 µ ε − α(3λ + 2µ) δT 1 Et la relation inverse : ν 1+ ν ε = − Tr( σ) 1 + σ + α δT 1 E E

I.S.I.T.V.

(42)

(43)

- 25 -

Résistance des Matériaux

THEORIE DES POUTRES A partir de ce chapitre, on utilise les hypothèses des petites perturbations, du quasiéquilibre et de l'élasticité linéaire isotrope.

I - Définitions, hypothèses de Bernouilli I - 1 Définition d'une poutre On appelle poutre le solide engendré par une surface plane dont le centre de gravité décrit une courbe γ, la surface S restant normale à cette courbe, avec: * La courbe γ est appelée ligne moyenne ou fibre moyenne * La surface S est appelée section normale * Le rayon de courbure en tout point de γ doit être grand par rapport aux dimensions de S * Les dimensions de S sont négligeables devant la longueur de la courbe γ * Les variations de forme et de dimension de S doivent être progressives

I - 2 Notations Considérons une poutre rectiligne de section droite constante S0 et de longueur L0 dans la configuration de référence. A cette configuration de référence on associe le repère orthonormé    direct (O,e1 ,e 2 ,e3 ) , tel que : * O est un point d'une section extrémité de la poutre sur la fibre moyenne  * e1 est le vecteur unitaire porté par l'axe de la poutre  * e 2 est un vecteur unitaire dans le plan des sections droites, de préférence parallèle à un axe de symétrie de S (s'il en existe un) → e 2

→ e1 X1 → e3

S

On note S(X1) la section droite d'abscisse X1. Dans la configuration déformée, le point  courant de la fibre moyenne déformée est x( X1 ) , * le vecteur unitaire tangent à la déformée de la fibre moyenne I.S.I.T.V.

- 26 -

Théorie des poutres

   −1 t (X1 )=a F(X1 )e1 aveca = F(X1 )e1    * Le plan P(X1) tangent en x( X1 ) à x(S(X1 )) , défini par le point x( X1 ) et les vecteurs     −1 F(X1 )e3 et E 2 (X1 )=bF(X1 )e 2 avecb= F(X1 )e 2  * Le vecteur unitaire E 1 (X1 ) normal à P(X1)     * Le vecteur unitaire E 3 (X1 ) tel que ( x (X1 ),E1 (X1 ),E 2 (X1 ),E 3 (X1 )) soit un repère

orthonormé direct.

S(X 1 )

→ E 3 (X1 )

→ E 2 (X1 ) → E 1 (X1 ) → t (X1 )

   On notera u (X)=u (X1 , X 2 , X 3 ) le déplacement de la particule X, et u (X1 ) celui de la particule située sur la fibre moyenne.

I - 3 Hypothèse de Bernouilli Le caractère linéique de la géométrie des poutres fait qu'on s'attend à ce que les phénomènes prépondérants soient essentiellement longitudinaux. On ne s'intéressera donc pas aux déformations de sections droites. On énonce alors les hypothèses de Bernouilli

(i) Les sections droites restent planes (ii) Les sections droites se déforment librement dans leur plan (iii) La variation des déformations de la section le long de la poutre est très petite Remarques: * D'après (i) on peut confondre P(X1) et x(S(X1)) * Le déplacement de la section droite peut être représenté par un vecteur translation (par   exemple u (X1 ) et par un vecteur rotation (par exemple le vecteur rotation ω (X1 ) du repère       ( x (X1 ),E1 (X1 ),E 2 (X1 ),E 3 (X1 )) par rapport au repère (O, e1 , e 2 , e3 ). * Le déplacement d'un point courant de la section considérée, dû à la déformation de la section, est donc de la forme   v 2 ( X )E 2 ( X1 )+ v 3 ( X )E 3 ( X1 ) les fonctions v2 et v3 sont nulles en X1, et d'après (iii) leurs dérivées v2,1 et v3,1 petites

I.S.I.T.V.

- 27 -

Résistance des Matériaux

devant ui , ωi et ui,1 , ωi,1. On peut donc écrire:       ∀ X ∈ S(X1 ) u(X) = u(X1 ) + ω(X1 ) ∧ X1X + v 2 (X) E 2 (X1 ) + v 3 (X) E 3 (X1 ) (1) L'hypothèse des petites perturbations fait que les composantes ui, vi, et ωi sont petites; ceci     implique que E 2 (X1 ) est de la forme e 2 + η , ainsi que E 3 (X1 ).    Si on explicite (1) dans la base (e1 , e 2 , e3 ) en ne retenant que les termes d'ordre 1, on obtient:

u1 (X1 )+ω 2 (X1 )X 3 −ω3 (X1 )X 2     ∀X∈S(X1 )u (X)=u 2 (X1 )−ω1 (X1 )X 3 + v 2 (X)   u ( X ) +ω ( X ) X + v ( X )  1 1 2 3  3 1 

(2)

On remarque alors, en ne retenant que les termes d'ordre 1:    - F(X1 ) e 2 et x(X1 ) x(X1 ,1,0) sont égaux et unitaires, donc égaux à E 2   - F(X1 ) e 3 est unitaire et orthogonal à F(X1 ) e 2 Par contre,

(F(X )e )⋅ (F(X )e )≈u (F(X )e )⋅ (F(X )e )≈u 1

1

1

2

2,1 (X1 )−ω3 ( X1 ) + ⋯

1

1

1

3

3,1 ( X1 )+ω 2 ( X1 ) + ⋯

Donc en général la déformée d'une section droite n'est pas, au second ordre près, orthogonale à la déformée de la fibre moyenne.

II - Déplacements et forces généralisés La géométrie des poutres fait que les sollicitations extérieures peuvent être considérées comme données i i +1 0 J - soit sur une partie de la surface latérale [ X1 ; X1 ]∈∂S i ∈ {0,...,J} avec X 1 =0 et X1 =L - soit sur les sections extrémités i - soit sur des cercles Γi = { X1 }∈∂S

II - 1 Déplacement généralisé Afin de bien distinguer le déplacement du milieu continu de celui de la fibre moyenne, on note   u (X1 ,0,0)=u f

 D'après (2), se donner u satisfaisant à l'hypothèse de Bernouilli équivaut à se donner   u p =(u f , ω) On appellera uP le déplacement généralisé de la poutre.

I.S.I.T.V.

- 28 -

Théorie des poutres

II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs   Soit δu une vitesse virtuelle de déplacement et φ un système de forces extérieures, c'est à   dire le couple ( f , F ) densité volumique de forces et densité surfacique de forces. La puissance virtuelle des efforts extérieurs s'écrit alors:       Π ext (δu , φ)=∫∫∫Ω f ⋅ δudx + ∫∫∂Ω F ⋅ δudx ou encore

(

)

J −1x i +1   J    J −1x i +1      Π ext (δu , φ)= ∑ ∫ ∫∫S f ⋅ δu dx dX i + ∑ ∫  ∫ F ⋅ δu dx dX i + ∑ ∫ F ⋅ δu dx i =1 x i i =1 x i  ∂S i =1Γi  f  p Soit δu = (δu ,δω ) une vitesse virtuelle généralisée de la poutre, et associons lui la

vitesse virtuelle de déplacement

 δu1f   δω1f   0  δu1f + δωf2 X 3 − δωf3 X 2               δu(X) = δu f (X1 ) + δω(X1 ) ∧ X1X =  δu f2  + δωf2  ∧  X 2  =  δu f2 − δω1f X 3  f f  δu f   δωf   X    δu 3 + δω1 X 2  3  3  3  

(

)

      et en utilisant la propriété du produit mixte (a ∧ b) ⋅ c = a ⋅ (b ∧ c) , on a finalement   J −1 x i +1    Π ext ( δu, φ) = ∑ ∫ δu f ⋅  ∫∫S f dx + ∫ F dx  dX1 i =1 x i ∂S       J −1 x i +1  + ∑ ∫ δω⋅  ∫∫S X1X ∧ f dx + ∫ X1X ∧ F dx  dX1 (3) i =1 x i ∂S  

    J    + ∑ δu f (X1i ) ⋅ ∫ F dx + δω(X1i ) ⋅ ∫ X1X ∧ F dx  i =1  Γi Γi 

II - 3 Forces généralisées En posant      f f (X1 ) = ∫∫S f dx + ∫ F dx Fi = ∫ F dx ∂S Γi       i f c (X1 ) = ∫∫S X1X ∧ f dx + ∫ X1X ∧ F dx C = ∫ X1X ∧ F dx ∂S

Γi

Soit J   Π ext (δu , φ)=Π ext (δu p , φ p )=∫0L δu f (X1 ) ⋅ φ f (X1 )dX1 + ∑ δu f (X1i ) ⋅ Φ i i =1 f f i  i  i p f 1 J f avec φ = φ ,Φ ,⋯, Φ etφ = f ,c ,Φ = F ,C

(

)

(

) (

(4)

)

On appelle φP force généralisée appliquée à la poutre. Cette force est constituée d'une densité linéique de force généralisée φf répartie le long de la fibre moyenne et de forces généralisée concentrées Φi.

I.S.I.T.V.

- 29 -

Résistance des Matériaux

III - Déformation et contraintes généralisées III - 1 Déformations généralisées D'après (2) en utilisant l'hypothèse des petites perturbations, et en négligeant les dérivées de v2 et v3,on obtient  f  Sym Sym  u1,1 + ω2,1X 3 − ω3,1X 2 1  (5) v 2, 2 Sym  ε=  u f2,1 − ω1,1X 3 − ω3 2  1  1 uf + ω X + ω (v 2,3 + v 3,2 ) v 3,3  1,1 2 2  2 3,1 2 

( (

) )

En introduisant alors les six quantités a1 (X1 )=u1f,1 (X1 ) χ1 (X1 )=ω1,1 (X1 )

a 2 (X1 )=u f2,1 (X1 ) − ω3 (X1 ) χ 2 (X1 )=ω2,1 (X1 ) a 3 (X1 )=u 3f ,1 (X1 ) + ω 2 (X1 ) on trouve de manière simple  a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2  1 (a 2 − χ1X 3 ) ε=   2  1 (a + χ X ) 1 2  2 3

(6)

χ 3 (X1 )=ω3,1 (X1 )

Sym v 2, 2 1 (v 2,3 + v 3,2 ) 2

 Sym   Sym   v 3,3  

(7)

Les six quantités définies par (6) constituent la déformation généralisée de la poutre en la section S(X1). Afin d'interpréter mécaniquement cette définition nous allons étudier successivement les cas où une seule de ces quantités est non nulle.

Cas1: a1≠0, a2=a3=χ1=χ2=χ3=0 On en déduit

  u 2f = 0, u f3 = 0 et ω = 0

a1 L

soit u1(X)=a1X1 et u3(X)=u2(X)=0 La poutre est dans un état d'allongement pur

I.S.I.T.V.

- 30 -

Théorie des poutres

Cas2: a2≠0,a1=a3=χ1=χ2=χ3=0

On en déduit   u 1f = 0,u 3f = 0et ω = 0

→ e2 a2 L

u f2 (X1 ) = a 2 X1 et u 2 (X) = a 2 X1 La poutre est dans un état de glissement   dans le plan (e1 , e 2 ) Cas3: a3 ≠0, a1=a2=χ1=χ2=χ3=0

→ e1

La poutre est dans un état de glissement   dans le plan (e1 , e 3 ) → e3

a3 L → e1

Cas4: χ1≠0, a1 = a2 = a3 = χ2 = χ3 =0

On en déduit   a i = 0soit u f = 0

→ e2

etω2 = ω3 = 0,etω1 = χ1X1

χ1 L

La poutre est dans un état de torsion autour de son axe

→ e1

Cas5: χ2≠0, a1=a2=a3=χ1=χ3=0

u1f = u f2 = 0 et ω1 = ω3 = 0

→ e3

1 Soit ω2 = χ 2 X1 et u f3 (X1 ) = − χ 2 X12 2 D ' où u1 (X) = χ 2 X1X 3 ,

1

- 2 χ 2 x 21

→ e1

1 u 2 (X) = 0, u 3 (X) = − χ 2 X12 2

χ2 L

La fibre moyenne se déforme selon une   parabole dans le plan (e1 , e 3 ), la section  droite tournant de χ2X1 autour de e 2 . Cas6: χ3≠0, a1=a2=a3=χ1=χ2=0 ω1 = ω2 = 0 et par suite u1 (X) = −χ3X1X 2 ,

χ3 L

→ e2

1 u3 (X) = 0 et u 2 (X) = χ3X12 2 La fibre moyenne se déforme selon une   parabole dans le plan (e1 , e 2 ) , la section  droite tournant de χ3X1 autour de e 3

I.S.I.T.V.

1 χ x2 2 3 1

→ e1

- 31 -

Résistance des Matériaux

On en déduit alors la signification des déformées généralisées: - a1 est l'allongement unitaire de la fibre moyenne     - a2 et a3 sont des glissements dans les plans (e1 , e 2 ) et (e1 , e 3 )  - χ1 est l'angle de torsion autour de l'axe e 1 par unité de longueur     - χ2, χ3 sont les courbures de la fibre moyenne dans les plans (e1 , e 2 ) , (e1 , e 3 )

III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs En tenant compte de la cinématique particulière des poutres, nous allons expliciter l'équation

Π int (δε, σ)=− ∫∫∫Ω σ : δεdX

(8)

où δε désigne une vitesse virtuelle de déformation, et σ l'état de contrainte dans la poutre. Nous choisirons, bien sûr, δε de la forme   δa 1 + δχ 2 X 3 − δχ 3 X 2 Sym Sym   1  (δa 2 − δχ1X 3 ) δε=  δv 2, 2 Sym   2  1  1 (δa + δχ X ) (δv 2,3 + δv 3,2 ) δv 3,3  3 1 2  2  2

(9)

Pour que les contraintes satisfassent l'hypothèse (ii) de Bernouilli, il est nécessaire que  σ11 σ12 σ13  σ= σ12 0 0  (10) σ13 0 0  En portant (9) et (10) dans (8), on trouve finalement

( )

− Π int δε, σ

= ∫0L [δa 1 ∫∫S σ11dX + δa 2 ∫∫S σ12 dX + δa 3 ∫∫S σ13dX ]dX1 + ∫0L [δχ1 ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX ]dX1 +

L ∫0

Posons alors T1 (X1 ) = ∫∫S σ11dX

[δχ 2 ∫∫S X 3σ11dX − δχ 3 ∫∫S X 2 σ11dX]dX1 M1 (X1 ) = ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX

T2 (X1 ) = ∫∫S σ12 dX M 2 (X1 ) = ∫∫S X 3 σ11dX

T3 (X1 ) = ∫∫S σ13dX

(11)

(12)

M 3 (X1 ) = − ∫∫S X 2 σ11dX

avec ces notation, on obtient plus simplement 3  − Π int δε, σ =∫0L  ∑ (δa i Ti (X1 )+δχ i M i (X1 ) ) dX1 i =1 

( )

ou encore   T = ∫∫S σe1dX et

   M = ∫∫S X1X ∧ σe1dX

I.S.I.T.V.

(13)

- 32 -

Théorie des poutres

III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre III - 3.1 Contraintes généralisées On définit les contraintes généralisées comme étant la fonction p s : X1 ∈ [0, L] → s p (X1 ) = T1 (X1 ), T2 (X1 ), T3 (X1 ), M1 (X1 ), M 2 (X1 ), M 3 (X1 ) ∈ ℝ6 (14) On appelle T1 l'effort normal, T2 et T3 les efforts tranchants, M1 le moment de torsion, M2 et M3 les moments de flexion. Si on considère la partie de la poutre à gauche de la section S(X1), alors la normale unitaire   sur S(X1) sortante est n = e1 ; la densité surfacique de force exercée par la partie droite de la  poutre sur la partie gauche est σn , c'est à dire le vecteur de composante σ11,σ12,σ13. En conséquence,

la contrainte généralisée sP(X1) est constituée des éléments de réduction, au centre de la section S(X1), du torseur des forces appliquées par la partie droite de la poutre sur la partie gauche! Certains états de sollicitation élémentaires sont appelés 'sollicitations simples', ils correspondent à des cas de chargement fréquemment rencontrés. Leur étude permet par le théorème de superposition l'étude de cas plus complexes appelés 'sollicitations combinées'.

T1

T2ou3

M1

M2ou3

≠0

0

0

0

Traction ou compression simple

0

≠0

0

0

Cisaillement pur

0

0

≠0

0

Torsion pure

0

0

0

≠0

Flexion pure

0

≠0

0

≠0

Flexion simple

≠0

0

0

≠0

Flexion composée

Désignation

I.S.I.T.V.

- 33 -

Résistance des Matériaux

III - 3.2 Equation d'équilibre Nous allons maintenant appliquer le principe des puissances virtuelles pour déterminer les équations d'équilibre. Pour toute vitesse virtuelle de déplacement généralisé, on doit avoir Πext + Πint = 0 Nous avons d'après (4)    J −1x i +1  J     Π ext = ∑ ∫ δu f ⋅ f f (X1 ) + δω ⋅ c f (X1 ) dX1 + ∑ δu f (X1i ) ⋅ F i +δω(X1i ) ⋅ C i i =1 x i

(

)

{

i =1

}

et d'après (13) 3  Π int =−∫0L  ∑ (δa i Ti (X1 )+δχ i M i (X1 ) ) dX1 i =1  En utilisant la définition des déformations généralisées (6),     Π int =− ∫0L δu ,f1 ⋅ T(X1 ) − δω3T2 + δω 2 T3 + δω,f1 ⋅ M (X1 ) dX1     Soit en remarquant que e1 ∧ T = T2 e 3 − T3 e 2        Π int =− ∫0L δu ,f1 ⋅ T(X1 ) + δω,f1 ⋅ M (X1 ) − δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1

[

]

[

]

On décompose alors l'intégrale en somme d'intégrales comme pour les efforts extérieurs    J −1 i +1     Π int =− ∑ ∫ Xi1 δu ,f1 ⋅ T(X1 ) + δω,f1 ⋅ M (X1 ) − δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1 i =1 X1

[

]

i+

i

En effectuant une intégration par partie et en notant X1 la valeur de X1 pris par valeur supérieur, Π int

J −1

X1i +1 i i =1 X1 J −1  f

=

∑∫

f

]

      ⋅ T,1 (X1 ) + δωf ⋅ M ,1 (X1 ) + δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1

 i+  f   i +1− ∑ δu ⋅  T(X1 ) − T(X1 )  + δω   i =1

− Soit Π int

[δu

J −1

X1i +1 i i =1 X1 J   f

=

∑∫

[δu

f

  − +  ⋅  M (X1i +1 ) − M (X1i )   

]

      ⋅ T,1 (X1 ) + δωf ⋅ M ,1 (X1 ) + δωf ⋅ (e1 ∧ T) dX1

 i−   i −   f   i+   i+ ∑ δu ⋅  T(X1 ) − T(X1 )  + δω ⋅  M (X1 ) − M (X1 )      i =1

+

Enfin en application du principe des puissances virtuelles f   J −1 i +1   f f   X f ∑ ∫ i1 δu ⋅ f + T,1 + δω ⋅ c + M ,1 + e1 ∧ T dX1 i =1 X1 J  

[

(

)

(

   + −  + ∑ δu ⋅  F i + T(X1i ) − T(X1i )  + δωf   i =1 f

)]

(15)  i  i+  i −   ⋅  C + M ( X1 ) − M ( X1 )   = 0  

Comme (15) est vérifié pour toute vitesse virtuelle, on obtient pour l'équilibre    Pourchaqueint ervalle X1i , X1i +1 f f + T,1 = 0 (a )   f   c + M ,1 + e1 ∧ T = 0 ( b)     + − Pour X1i i = 1, … , J F i + T(X1i ) − T(X1i ) = 0 (c )  i  i+   i− C + M ( X1 ) − M ( X1 ) = 0 (d )

]

[

I.S.I.T.V.

(16)

- 34 -

Théorie des poutres

Remarque importante: Sur un tronçon de poutre X1i , X1i +1 , dans le cas où il n'est pas chargé, on a       T,1 = 0et M ,1 + e1 ∧ T = 0

]

[

soit en particulier dM 3 dM 2 =T3 et =− T2 dX1 dX1

IV - Loi de Comportement élastique linéaire σ11 Sym Sym  0 Sym  D'après (10), à cause de l'hypothèse (ii) de Bernouilli σ= σ12 σ13 0 0  Or, pour un matériau élastique la loi de comportement en fonction du module d'Young E et du coefficient de poisson est ν 1+ν ε=− Tr (σ)1+ σ E E Soit dans notre cas 1 −ν 1+ ν 1+ ν ε11 = σ11 ,ε 22 = ε 33 = σ11 ,ε12 = σ12 ,ε13 = σ13 ,ε 23 = 0 E E E E D'où T1 = ∫∫S σ11 dX = ∫∫S Eε11 dX = ∫∫S E(a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 )dX E E ε12 dX = ∫∫S (a 2 − χ1X 3 )dX 2(1 + ν) 1+ ν E E (a 3 + χ1X 2 )dX ε13 dX = ∫∫S T3 = ∫∫S σ13 dX = ∫∫S 1+ ν 2(1 + ν) E M 1 = ∫∫S (X 2 σ 31 − X 3 σ 21 )dX = ∫∫S − a 2 X 3 + a 3 X 2 + χ1 (X 22 + X 32 ) dX 2(1 + ν)

T2 = ∫∫S σ12 dX = ∫∫S

(

(

)

)

M 2 = ∫∫S X 3 σ11 dX = ∫∫S E a 1X 3 + χ 2 X 32 − χ 3 X 2 X 3 dX

(

)

M 3 = − ∫∫S X 2 σ11 dX = − ∫∫S E a 1X 2 − χ 3 X 22 + χ 2 X 2 X 3 dX Pour simplifier les écritures, nous définirons la fibre moyenne telle que ∫∫S E(X)OMdX=0 c'est à dire ∫∫S E X2 dX = ∫∫S E X 3 dX = 0  de plus nous choisirons e 2 de telle manière que ∫∫ E X2 X3 dX = 0 S

Dans ces conditions, nous obtenons

I.S.I.T.V.

- 35 -

Résistance des Matériaux

T1 = a 1 ∫∫S EdX E E dX−χ1 ∫∫S X 3 dX 2(1 + ν) 2(1 + ν) E E T3 = a 3 ∫∫S dX+χ1 ∫∫S X 2 dX 2(1 + ν) 2(1 + ν) E M1 = ∫∫S χ1 (X 22 + X 32 )dX 2(1 + ν)

T2 = a 2 ∫∫S

M 2 = χ 2 ∫∫S EX 32 dX M 3 = χ 3 ∫∫S EX 22 dX Si de plus les caractéristiques ne dépendent pas de l'espace, c'est à dire que l'on peut sortir E et ν des intégrales, on obtient: a ES a ES T1 =a1 ES,T2 = 2 ,T3 = 3 2(1 + ν) 2(1 + ν) et M1 =

(17)

χ1 E 2 2 2 2 ∫∫S (X 2 + X 3 )dX,M 2 =Eχ 2 ∫∫S X 3 dX,M 3 =Eχ 3 ∫∫S X 2 dX 2(1 + ν)

ou encore M1=

χ1 EI1 ,M 2 =Eχ 2 I 2 ,M 3 =Eχ3 I3 2(1 + ν)

 où Ii est le moment d'inertie autour de l'axe (O, e i ).

I.S.I.T.V.

(18)

- 36 -

Sollicitations simples

ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

I - Traction ou compression I - 1 Définition On dit qu'une poutre est dans un état de traction (ou compression) quant le torseur des actions extérieures est de la forme: T1 ≠ 0 , T2 = 0 , T3 = 0 , M1 = 0 , M 2 = 0 , M 3 = 0

       f f = f f e1 ,c f = 0,Fi = Fi e1 ,Ci = 0 Attention: lorsque la longueur est supérieure à environs 8 fois la plus grande dimension transversale, une poutre sollicitée en compression est calculée au "flambement".

I - 2 Déformations et contraintes De (II-17) et (II-18) on déduit: T1 = a 1 E S , a 2 = a3 = 0 et

χ1 = χ 2 = χ 3 = 0

Le tenseur des contraintes qui satisfait l'équilibre est de la forme: σ n 0 0  σ= 0 0 0  0 0 0

(1)

(2)

où σn est une valeur constante dans toute la section. On obtient alors pour le tenseur des déformations:  σn E  ε=  0    0

0 −ν

σn E

0

   0   σn  −ν E  0

(3)

Relation de la contrainte avec l'effort normal On sait que T1 (X1 )=∫∫S σ11 dX

I.S.I.T.V.

- 37 -

Résistance des Matériaux

donc dans notre cas σn =

T1 S

(4)

Allongement de la poutre Soit ∆L l'allongement subi par une poutre de longueur L. Par définition ∆L=∫γ du1

 Dans le cas présent, le déplacement d'une section droite est une translation d'axe e1 . du σ ε11 = 1 = n (5) dX1 E Soit

σn T dX1 =∫γ 1 dX1 E SE Si la section de la poutre est constante TL ∆L= 1 SE ∆L=∫γ ε11dX1 =∫γ

(6)

(7)

II - Torsion Les sections droites de contour quelconque, lorsqu'elles sont sollicitées en torsion, se gauchissent. Ce phénomène remet en cause l'hypothèse de Bernouilli. Les poutres droites de section circulaire ne subissent pas de gauchissement.

II - 1 Définition Une poutre est sollicitée en torsion pure si: T1 = 0 , T2 = 0 , T3 = 0 , M1 ≠ 0 , M 2 = 0 , M 3 = 0         f f = 0, c f = f f e1 , Fi = 0, Ci = Ci e1

(8)

II - 2 Déplacement, contraintes, déformations De (8), (II-17) et (II-18) on déduit: a1 = 0,a 2 = 0,a 3 = 0,χ1 ≠ 0,χ 2 = 0,χ3 = 0 (9) f  D'après (9), on a u = 0 , la section tourne donc uniformément autour de son axe. χ1 est l'angle unitaire de torsion. Comme ε11 = a 1 + χ 2 X 3 − χ 3 X 2 = 0 alors σ11

I.S.I.T.V.

 0 = 0 , soit σ= σ12 σ13

σ12 0 0

σ13  0  0 

- 38 -

Sollicitations simples

De la loi de comportement, ε ij = 1+Eν σ ij − Eν σ kk δ ij , on tire:  0  ε= 1+Eν σ12  1+ν σ13  E

 e3 G

 e

θ

 0   χ1X3  = − 2   χ1X 2   2

1+ν σ E 12

1+ ν σ  E 13

0

0

0

0

 er

θ

 e2

−

χ1X3 2

χ1X 2  2 

0   0 0      Dans le repère (G, e1 , e r , eθ )    ∀ M u(M) = −ω1 X3 e2 + ω 1X2 e 3    Or e r = Cosθ e 2 + Sinθ e 3    et eθ = − Sinθ e 2 + Cosθ e3 0

  Soit u (M )=ω1reθ

(10)

Pour déterminer les déformations, nous utilisons la définition des déformations en coordonnées cylindriques:  ∂u1  ∂X1    ε (G ,e1 ,er ,eθ ) = Sym  Sym 

(

1 ∂u1 + ∂u r 2 ∂r ∂X1 ∂u r ∂r Sym

Soit, en utilisant (II-6)  0 0  ε (G ,e1 ,er ,eθ ) = 0 0 Sym 0 

r ω1,1  2 

)

(

)

1 1 ∂u1 + ∂u θ 2 r ∂θ ∂X1 u u ∂ 1 1 r − θ + ∂u θ 2 r ∂θ r ∂r 1 ∂u θ + u r r ∂θ

(

 0 0  0  = 0 0 0  Sym 0  

(

)

  0   = 0    Sym  

0

)

0 Sym

( )

1 ∂u θ 2 ∂X1 1 − u θ + ∂u θ 2 r ∂r

(

     

)

0

r χ1  2 

0 0  

et

0 0 τ    0 0  τ 0 0

σ ( G ,e1 ,e r ,eθ ) = 0

avec τ = 2Gε X1θ

et

G=

E 2(1+ ν )

G est appelé le module de glissement ou module de Coulomb. En définitive, on peut écrire: τ = Grχ1 (11) Relation entre la contrainte et les efforts généralisés 2 χ EI τI En utilisant (II-18) et (11) M1 = 1 1 =χ1 G I1 = 1 2(1 + ν) r τ Soit Μ τ= 1r 3 Ι1

La contrainte de cisaillement est maximale à la périphérie.

I.S.I.T.V.

(11)

- 39 -

Résistance des Matériaux

Détermination de l'angle de torsion χ1 est l'angle unitaire de torsion. Donc, si on note θAB l'angle de torsion entre deux sections A et B, on obtient:

θ AB =∫XX B χ1dX1 =∫XX B A

A

τ dX1 Gr

soit

θ AB = ∫

XB

XA

M1 dX1 G I1

(12)

II - 3 Exemple Un arbre en acier de longueur L=1m est sollicité en torsion par un couple M=1500 mN. Sous l'action de ce couple, on désire que l'angle unitaire de torsion reste inférieur à une valeur limite αL=0.25 °/m et que la contrainte de cisaillement soit inférieure à 120 N/mm2. On prendra G=8.104 N/mm2 et ρ=7800 kg/m3. a) Calculer le diamètre admissible D1 de l'arbre. b) On suppose que l'arbre est un tube de diamètre extérieur De=90 mm. Quel doit-être le diamètre intérieur Di ? c) Quelle économie de masse a-t-on réalisée ? Réponses: a) Pour que la géométrie de l'arbre soit admissible, il est nécessaire de satisfaire deux critères. * Critère de déformation On veut χ1 < αL soit χ1 = Or

(

)

M M ≤ α L ou encore I1 ≥ =43.10 5 mm 4 G I1 Gα L

I1 =∫∫ X 22 + X 32 dX=∫∫ r 2 rdrdθ=2π

R 4 D14 =π 4 32

1

Soit

 32M  4  ≈82mm D1≥  πGα L 

* Critère de résistance 1

 16M  3 MD1  ≈40mm On veut τ= ≤120N / mm 2 soit D1≥ 2I1  120π  Pour satisfaire au cahier des charges, l'arbre doit au moins avoir 82 mm de diamètre. D 4e − D4i b) Pour un tube, le moment quadratique est I1 = π . 32 Avec la condition I1Fe le barreau AC est B

45°

45°

D

entièrement plastifié et ne peut supporter de charge supplémentaire. L'effort normal dans le barreau AC est donc constant et égal à Sσe.

S σe

En appliquant le Principe Fondamental de la Statique pour traduire l'équilibre du point A

A

(isostatique), on obtient : T  TAB + Sσ e + AD − F = 0  2 2  T T − AB + AD = 0  2 2

F

soit, TAB = TAC =

1 2

(F − Sσ e )

(4)

Lorsque le barreau AB (ou AD) atteint la limite d'élasticité, alors les trois barreaux sont plastifiés et la structure n'est plus en état de déformation limitée (mécanisme de ruine). On peut déterminer la force limite pour laquelle on atteint ce mécanisme de ruine: T On cherche la force Fl telle que AB = σ e . Soit: S Fl = Sσ e 1 + 2 (5)

(

)

et le déplacement correspondant 2σ e L ∆L ACl = 2∆L AB = E

(6)

F Fl Fe

Fl = 1, 41 Fe ∆ L AC σ eL E

2 σe L E

Au-delà du comportement élastique, la structure dispose d'une "réserve" de 41% avant de rompre ! I.S.I.T.V.

- 73 -

Résistance des Matériaux

1

TAC Sσ e

1 2

F Sσ e

TAB Sσ e 1+

1 2

1+ 2

Attention: Le déplacement n'est plus proportionnel à la charge appliquée. Le principe de superposition des contraintes ne peut plus être utilisé.

II-3 Décharge On se place juste avant la charge ultime. Les barreaux AB et AD sont élastiques. Le barreau AC, par contre, est plastifié et a subi un allongement permanent. A la décharge, le comportement des trois barreaux est élastique. La barre AC sera comprimée et les barres AB et AD tendues. Pour trouver les efforts normaux résiduels, on remplace F par -Fl dans (1) pour obtenir le retour élastique, puis on superpose avec (4)  1+ 2  1  = Sσ e  1 −  TABr = Sσ e − Sσ e  2+ 2 2   1+ 2 T = Sσ e − 2Sσ e = Sσ e 1 − 2 AC r  2+ 2

(

)

(

1 1 2 1−

)

(

(7)

)

TAC Sσ e

1 2

F Sσ e

TAB Sσ e 1+

1− 2

I.S.I.T.V.

1 2

1+ 2

- 74 -

Charges limites

III - Analyse limite à la torsion III-1 Généralités τ

σe

On a vu que pour un cylindre soumis à de la torsion pure : M τ = Grχ1 = 1 r I1

Cas1: On augmente le couple de torsion de telle sorte que les fibres extérieures atteignent la limite d'élasticité σe.

Comme I1 =

πR 4 , nous obtenons donc le moment limite 2

élastique M1e =

πR 3 σe 2

(8)

θe = ∫

Lσ e M1 dX1 = GI1 GR

(9)

et

σe

Cas2: On augmente le couple de torsion. La déformation

augmente, donc l'angle de torsion augmente, mais la contrainte ne peut dépasser la valeur limite σe.

σe

Cas3: La limite d'élasticité est atteinte dans toute la section du cylindre. Toutes les fibres supportent donc une contrainte σe et

rien ne s'oppose à la rotation de la section. Le couple limite est alors:

M1L = ∫∫ (X 2 σ13 − X 3 σ 21 )dX 2 dX 3

= ∫∫ (r cos θσ e cos θ − r sin θ(− sin θ) )rdθdr

= 2πσ e ∫0R r 2 dr 2 4 M1L = πσ e R 3 = M1e 3 3

(10)

Il existe donc une réserve de 33% avant l'écoulement de la section ne soit complet.

I.S.I.T.V.

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Résistance des Matériaux

III-2 Exemple

MB C B

Soit un cylindre plein de longueur L encastré aux deux extrémités. on lui applique, à un tiers de sa longueur, un

A

couple de torsion MB.

2L/3 L/3

* Analyse élastique MA + MC = MB

et θ AC = θ AB + θ BC = 0

2  M A = 3 M B Soit  1 M C = M B 3  A la limite du comportement élastique, la section A commence à plastifier. Soit MA=M1e et M Be

3 3πR 3 = M1e = σe 2 4

* Analyse limite Le seul mécanisme de ruine possible est lorsque les deux sections en A et C on atteint la

valeur limite. Soit: M A = M C = M1L =

4 M1e 3

et 8 M1e 3 MBL/MBe=1,78 M BL =

Donc, à partir de l'apparition de la plasticité, on dispose encore d'une réserve de 78% avant la ruine complète de la structure.

I.S.I.T.V.

- 76 -

Charges limites

IV - Analyse limite à la flexion IV-1 Généralités 2

Dans le cas de la flexion plane, la contrainte varie h 1

linéairement avec l'épaisseur, M σ11 = − 3 X 2 I3

ainsi, bien sur, que la déformation axiale σe σ ε11 = 11 = −χ 3 X 2 E Le moment maximum est atteint lorsque les fibres extrémales subissent une contrainte σe. Soit: I3 h w=I3/h est appelé le module de flexion. M 3e = ± σ e

(11)

Si on dépasse le moment M3e alors les fibres inférieures et supérieures plastifient. Lorsque toute la section est plastifiée, on dit que l'on a une rotule plastique.

σe

σe Dans ce cas: M 3L = − ∫∫ X 2 σ11dX 2 dX 3 = −σ e ∫∫ X 2 dX 2 dX 3 S

S

soit M 3 L = 2σ e S X

(12)

où SX est le moment statique de la moitié de la section droite par rapport à l'axe X3. Plus généralement, on peut écrire M 3L = KM 3e où K est le facteur de forme de la section (dépendant uniquement de la géométrie). Section rectangulaire pleine K=1,5 Section circulaire pleine K=1,7 Section en I K=1,1 à 1,2

I.S.I.T.V.

- 77 -

Résistance des Matériaux

IV-2 Exemple: Méthode "pas à pas" F On étudie une poutre sur trois appuis supportant une charge F et on cherche le

D A

C

B

mécanisme de ruine et la charge limite.

* Etude élastique RA

F RB

q(x ) = R A x

−1

M 3 (x) = R A x

[

−F x −L/2 1

R A − F + R B + R C = 0  − L F + LR + 2LR = 0 B C  2

RC

−1

+ RB x − L

1

− F x − L/2 + RB x − L

−1 1

]

1 2 2 2 R A x − F x − L / 2 + R B x − L + C1 2 1 3 3 3 EI 3 u f2 ( x ) = R A x − F x − L / 2 + R B x − L + 3C1 x + C 2 6 EI 3 u f2,1 ( x ) =

[

]

Pour déterminer les constantes et l'inconnue hyperstatique, on utilise les conditions aux limites:

u f2 (0) = u f2 (L) = u f2 (2L) = 0 et on obtient 13F 22F 3F 3FL2 , RB = , RC = − , C1 = − , C2 = 0 32 32 32 32 En observant le graphe du moment fléchissant ci-après, on constate que le maximum est RA =

atteint dans la section D. M3

13FL 64

B A

D -3FL 32

I.S.I.T.V.

C

x

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Charges limites

* Premier Pas: On augmente la charge F jusqu'à ce que la section D plastifie entièrement. Dans ce cas on a: 13 F1L 64 soit la charge 64 M L F1 = 13 L Pour cette charge le moment fléchissant dans la section B est : 6 M 3 ( L) = − M L 13 ML =

* Deuxième Pas: ²F

On augmente alors la charge F1 de ∆F.

R'B

R'C

En décomposant le problème, on se trouve maintenant dans le cas d'une étude

Rotule plastique

élastique avec une rotule dans la section D.

Les équations d'équilibre nous donnent les réactions isostatiques; 3 1 R ′B = − ∆F , R ′C = ∆F 2 2 et le diagramme des moments fléchissants M3

B

C

x

D

A

-² FL 2 Donc, par superposition avec le problème précédent, on constate que la section B plastifie ensuite lorsque M3(L)=-ML, c'est-à-dire: 6 1 − M L − ∆FL = − M L 13 2 ou encore pour un accroissement de charge 14 M L ∆F = 13 L Lorsque les section D et B sont plastifiées, la structure s'effondre. On a atteint alors la charge limite FL = F1 + ∆F = 6

ML L I.S.I.T.V.

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Résistance des Matériaux

La flèche dans la section D est

u f2 (L / 2) =

23 F1L3 ∆FL3 5 M L L2 + = 1536 EI 3 8EI 3 24 EI 3

IV-3 Théorème énergétique D'après le principe des travaux virtuels, la somme du travail des efforts extérieurs et de l'énergie interne est nulle. Si on se place dans le cas d'une structure soumise en flexion à un état limite (mécanisme de ruine) alors seules les rotules plastiques contribuent à l'énergie élastique. Soit une structure soumise à N forces d'intensité Pi (1≤i≤N) et présentant un mécanisme de ruine à M rotules plastiques. On note θj (1≤j≤M) la rotation d'une rotule plastique et δi le déplacement au point d'application d'une force. On peut alors écrire: N

M

i =1

j=1

∑ Pi δi = ∑ M jθ j

Exemple d'application: ω

Le mécanisme de ruine apparaît lorsque les trois sections A,B et C plastifient entièrement. Dans ce cas la déformée est telle que:

B

A

C

B

L

L/2

L/2

0

0

0

We = ∫ ωu f2 ( x )dx = 2 ∫ ωxtgθdx ≈ 2 ∫ ωxθdx = θω

L θ

Travail des forces extérieures L2 4

Travail des forces intérieures − Wi = M A θ A + M B θ B + M C θ C = − M A θ + 2M B θ + M C θ

θ

2θ C

A

M A = −M L , M B = M L

Or , M C = M L , donc

à

L2 − 4M L θ = 0 4 et la charge limite est donc: M ω L = 16 2L L θω

I.S.I.T.V.

l'état

limite

on

a

- 80 -

Charges limites

Vérification par la méthode pas à pas: RA Le système est hyperstatique. Par symétrie on RB a naturellement: ω MB MA ωL RA = RB = 2 M A = −M B Afin de déterminer l'inconnue hyperstatique nous cherchons la déformée: q ( x ) = −M A x

−2

+ RA x

−1

−ω x

0

ω 2 x 2 R ω EI 3 u f2,1 ( x ) = − M A x + A x 2 − x 3 2 6 M R ω 4 EI 3 u f2 ( x ) = − A x 2 + A x 3 − x 2 6 24 f La condition de symétrie u 2,1 (L / 2) = 0 nous amène à M 3 ( x ) = −M A x

MA =

0

+ RA x

1

−

ωL2 12

et

M3

2 ω   L L2  M 3 (x) = − x −  − 2   2 12  ωL2 24

En considérant le comportement élastique jusqu'à la rotule plastique, les premières sections

C

A

x

B ωL2 12 ωe =

plastifier

sont

les

sections

extrémités A et C, pour une charge ωe telle

ωL 12

2

-

à

que : M 3 (0) = M 3 (L) = M L soit

12M L L2

La flèche maximale est ω L4 M L2 δe = e = L 384EI 3 32EI 3 Dans une deuxième étape, on se place dans le cas où la poutre est soumise à une charge répartie, et du fait des rotules plastiques aux extrémités, soumise à 2 couples sur les sections extrêmes en appui simple.

I.S.I.T.V.

Résistance des Matériaux

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ω

Ce système est isostatique. Le moment ML fléchissant est:

ML

A

C

ωL ωx 2 M 3 ( x ) = −M L + x− 2 2 Le maximum est naturellement atteint dans la

section milieu B: ωL2 ωL2 ωL2 − = − ML 4 8 8 On aura un mécanisme de ruine quand M3(L/2)=ML, soit 16M L ωL = L2 M 3 ( L / 2) = − M L +

16M L L2 12 M L L2

ω

δ M L L2 32EI 3

M L L2 24EI 3

I.S.I.T.V.

M L L2 12EI 3

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Bibliographie

BIBLIOGRAPHIE *

"Mécanique des solides avancée: Théorie des poutres" Cours ESIM 1991, O. Débordes

*

"Rappels de résistance des matériaux" Cours ESIM 1989, O. Débordes

*

"Mécanique des Milieux Continus" Cours ESIM 1984, Equipe IMST Marseille

*

"Résistance des matériaux I II III" Cours ESIM , C. Nouveau

*

"Mécanique des structure: Poutres" Cours Sup'Aéro 1987, S. Laroze

*

"Mécanique des Milieux Continus" ed. Masson 1990, G. Duvaut

*

"Introduction à la Mécanique des Milieux Continus" ed. Masson 1995, P. Germain - P. Muller

*

"Mécanique des Milieux Continus" ed. ellipse 1988, J. Salençon

*

"Résistance des matériaux" ed. de l'école polytechnique de Montréal 1993, A. Bazergui, T. Bui-Quoc,A. Biron, G. McIntyre, C. Laberge

*

"Résistance des matériaux" Tomes 1,2,3 ed. Dunod 1976, A. Giet, L. Géminard

*

" Mécanique des Milieux Continus" ed. Dunos 1997, J. Coirier

I.S.I.T.V.

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Résistance des Matériaux

I.S.I.T.V.

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Annexe

ANNEXE FORMULES ESSENTIELLES EN MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

1. Coordonnées cartésiennes orthonormées    OM = xe x + ye y + ze z     * Soit v = v x e x + v y e y + v z e z un vecteur, alors

 ∂v x  ∂x   ∂v i   ∂v grad ( v) = ∇v = e i ⊗ e j =  ∂xy  ∂x j  ∂vz  ∂x

∂v x ∂y ∂v y ∂y ∂v z ∂y

∂v x  ∂z  ∂v y  ∂z  ∂v z  ∂z  

et

∂v y ∂v z ∂v    ∂v divv = i = Tr (grad ( v) ) = x + + ∂x i ∂x ∂y ∂z ∂ 2 vi        ∆v = div(grad ( v) ) = e i = ∆v x e x + ∆v y e y + ∆v z e z ∂x j ∂x j * Soit f une fonction scalaire, alors  ∂f     ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂f   ∂∂xf  ∆f = div(grad (f ) ) = = 2 + 2 + 2 grad (f ) = ∇f = e i =  ∂y  et ∂x j∂x j ∂x ∂x i ∂y ∂z  ∂f   ∂z  Txx Txy Txz    * Soit T = Tij e i ⊗ e j = Tyx Tyy Tyz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:  Tzx Tzy Tzz     ∂Txx + ∂Txy + ∂Txz  ∆Txx ∆Txy ∆Txz  ∂y ∂z   ∂x ∂Tij   ∂Tyx ∂Tyy ∂Tyz  ∂ 2 Tij     div(T) = e i =  ∂x + ∂y + ∂z  et ∆T = e i ⊗ e j = ∆Tyx ∆Tyy ∆Tyz  ∂x j ∂x k ∂x k  ∂T  ∆Tzx ∆Tzy ∆Tzz  ∂Tzy ∂Tzz  zx   + +  ∂x  ∂y ∂z  

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Résistance des Matériaux

2. Coordonnées cylindriques   ∂ OM  1 ∂ OM  ∂ OM  = er , = eθ , = ez OM = re r + ze z et ∂r ∂z r ∂θ    d(OM) = e r dr + rdθe θ + e z dz    ∂e θ ∂e r ∂e z , =0 =0 , =0 ∂r ∂r ∂r ∂e θ ∂e r  ∂e r  = eθ , = −e r , =0 ∂θ ∂θ ∂θ    ∂e θ ∂e r ∂e z =0 , =0 , =0 ∂z ∂z ∂z     * Soit v = v r e r + v θ e θ + v z e z un vecteur, alors

( (

) )

∂v r   ∂v r 1 ∂vr − v θ ∂ r r ∂θ ∂z   ∂v   ∂vθ ∂v θ θ 1   et grad ( v) = ∇v = ∂r r ∂θ + v r ∂z  ∂v z ∂v z  1 ∂v z  ∂r r ∂θ ∂z     v ∂v  1 ∂v θ ∂v z divv = Tr (grad ( v) ) = r + r + + ∂r r r ∂θ ∂z v  v       2 ∂v 2 ∂v  ∆v = div(grad ( v) ) =  ∆v r − 2 θ + 2r e r +  ∆v θ + 2 r − 2θ e r + ∆v z e z r ∂θ r  r ∂θ r   

* Soit f une fonction scalaire, alors    ∂f e ∂f  grad (f ) = ∂∂fr e r + 1r ∂θ θ + ∂z e z et

∆f =

∂ 2f ∂r 2

+

1 ∂f 1 ∂ 2 f ∂ 2 f + + r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2

 Trr Trθ Trz    * Soit T = Tij e i ⊗ e j = Tθr Tθθ Tθz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:  Tzr Tzθ Tzz   ∂Trr + 1 ∂Trθ + ∂Trz + Trr −Tθθ  ∂z r  ∂∂Tr r ∂∂θ  Tθθ ∂Tθz 2Trθ  θr 1 div(T) =  ∂r + r ∂θ + ∂z + r   ∂Tzr 1 ∂Tzθ ∂Tzz Tzr   ∂r + r ∂θ + ∂z + r 

3. Coordonnées sphériques  ∂ OM  1 ∂ OM  1 ∂ OM  OM = re r et = er , = eθ , = eϕ ∂r r ∂θ rsin θ ∂ϕ    d (OM ) = e r dr + rdθe θ + e ϕ r sin θdϕ

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Annexe

   ∂e ϕ ∂e θ ∂e r =0 , =0 , =0 ∂r ∂r ∂r ∂e ϕ ∂e θ ∂e r   = eθ , = −e r , =0 ∂θ ∂θ ∂θ    ∂e ϕ ∂e θ ∂e r     = sin θe ϕ , = cos θe ϕ , = sin θe r − cos θe θ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ     * Soit v = v r e r + vθe θ + v ϕ eϕ un vecteur, alors

( (

) )

)

(

 ∂vr 1 ∂v r  1 1 ∂v r − v ϕ  ∂r r ∂θ − v θ  r sin θ ∂ϕ    ∂vθ 1 ∂vθ  ∂ v θ 1 1 grad ( v) =  ∂r r ∂θ + v r − cot gθv ϕ  et r sin θ ∂ϕ  ∂vϕ 1 ∂v ϕ 1  1 ∂v ϕ + cot gθv + v   θ r   ∂r r ∂θ r  sin θ ∂ϕ   v   ∂v v  1 ∂v θ 1 ∂v ϕ divv = Tr (grad( v) ) = r + 2 r + + + cot gθ θ ∂r r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r

(

)

 2 1 ∂ ( vθ sin θ) 1 ∂vϕ   ∆v r − r 2  v r + sin θ ∂θ + sin θ ∂ϕ     ∂v ∆v = ∆vθ + 22  ∂v r − vθ2 − cos2θ ϕ   r  ∂θ 2 sin θ sin θ ∂ϕ    v ∆vϕ + 2 2  ∂v r +cot gθ ∂vθ − ϕ   ∂ϕ 2 sin θ   r sin θ  ∂ϕ 

* Soit f une fonction scalaire, alors  ∂f   1∂∂rf   ∂ 2 f 2 ∂f 1 ∂ 2 f 1 ∂f 1 ∂ 2f grad(f ) =  r ∂θ  et ∆f = 2 + + + cot gθ + 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 r 2 ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2 ∂r  1 ∂f   r sin θ ∂ϕ   Trr Trθ Trϕ    * Soit T = Tij e i ⊗ e j =  Tθr Tθθ Tθϕ  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors: Tϕr Tϕθ Tϕϕ    ∂ T ∂ T ∂ T rϕ  rr + 1 rθ + 1 + 1 (2T −T −T +T cot gθ )  ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ r rr θθ ϕϕ rθ  ∂Tθϕ  ∂Tθr 1 ∂Tθθ  1 1 div(T) =  ∂r + r ∂θ + r sin θ ∂ϕ + r [(Tθθ −Tϕϕ ) cot gθ + 3Trθ ]  ∂Tϕr 1 ∂Tϕθ  1 ∂Tϕϕ + 1 [2T cot gθ + 3T ]  ∂r + r ∂θ + r sin  θϕ r ϕ θ ∂ϕ r  

4.

Comment retrouver les formules en coordonnées cylindriques

     ∂ 1 ∂ ∂ On note V = v r e r + v θ e θ + v z e z = v i e i avec i=r, θ, z et , i = , , ∂r r ∂θ ∂z    eθ  er Donc, avec cette convention e r ,θ = et e θ,θ = − r r Chercher le gradient d'un tenseur consiste à augmenter l'ordre de ce tenseur, soit

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Résistance des Matériaux

  grad(**) = (* *), j ⊗ e j Si on applique cette remarque à un vecteur, on obtient:     grad(V) = (v i e i ), j ⊗ e j En n'oubliant pas de dériver les vecteurs de base car nous sommes dans un système de coordonnées cylindrique,             grad (V) = (v i ei ), j ⊗ e j = v i, j ei ⊗ e j + v i e i, j ⊗ e j = v i, j e i ⊗ e j + v i e i,θ ⊗ e θ       = v i , j e i ⊗ e j + v r e r ,θ ⊗ e θ + v θ e θ,θ ⊗ e θ v    v    = v i, j ei ⊗ e j + r e θ ⊗ eθ − θ e r ⊗ e θ r r Pour obtenir l'opérateur divergence, il suffit de prendre la trace du gradient,  div(**) = Tr (grad(**)) soit dans le cas d'un vecteur:    v ∂v 1 ∂v θ ∂v z v r div(V) = Tr grad (V) = v i,i + r = r + + + r ∂r r ∂θ ∂z r Appliquons maintenant cette méthodologie à un tenseur d'ordre 2.     grad (T) = Tij e i ⊗ e j ⊗ e k   ,k        = Tij,k e i ⊗ e j ⊗ e k + Tij e i,k ⊗ e j ⊗ e k + Tij e i ⊗ e j,k ⊗ e k          = Tij,k e i ⊗ e j ⊗ e k + Tij e i,θ ⊗ e j ⊗ e θ + Tij e i ⊗ e j,θ ⊗ e θ Trj  Tθj         = Tij,k e i ⊗ e j ⊗ e k + eθ ⊗ e j ⊗ eθ − e r ⊗ e j ⊗ eθ r r Tiθ  Tir      + ei ⊗ e θ ⊗ e θ − ei ⊗ e r ⊗ eθ r r Pour obtenir la trace de ce tenseur d'ordre 3 on contracte les deux derniers indices: T    T  T  div T = Tr grad (T) = Tij, j ei + rθ e θ − θθ e r + ir e i r r r  ∂Trr 1 ∂Trθ ∂Trz Tθθ Trr   = + + − + e r r ∂θ ∂z r r   ∂r 1 ∂Tθθ ∂Tθz Trθ Tθr    ∂T +  θr + + + + e θ r ∂θ ∂z r r   ∂r 1 ∂Tzθ ∂Tzz Tzr    ∂T +  zr + + + e z r ∂θ ∂z r   ∂r

(

)

(

() (

)

)

On peut donc maintenant retrouver l'opérateur Laplacien d'un vecteur :    ∆v = div(gradv ) v  v     v r ,θ − θ   v θ ,θ + r  v v v i ,r   r  r  r ,θ  θ,θ  eθ − er +  eθ −  er + ei = v i, jj e i + r r r r r v   v   2 ∂v 2 ∂v  =  ∆v r − 2 θ − 2r e r +  ∆v θ + 2 r − 2θ e θ + (∆v θ )e z r ∂θ r  r ∂θ r   

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